ΣΤ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΓΙΑ GOMPERTZ ΚΑΙ MAKEHAM Όπως σηειώσαε παραπάνω, οι πιθανότητες που εξαρτώνται από τη σειρά των θανάτων πορούν να εφρασθούν συναρτήσει "πιθανοτήτων πρώτου θανάτου" Κατά συνέπεια, θα περιορίσουε τη ελέτη των από οινού πιθανοτήτων Gmer των από οινού πιθανοτήτων Makeham στις πιθανότητες συγεριένα στις σχέσεις που ισχύουν εταξύ Όσο για τις πιθανότητες, θα προχωρήσουε στον ορισό ιας "ισοδύναης ηλιίας" που, ατά άποιο τρόπο (διαφορετιό για την Gmer για την Makeham, αντιαθιστά το αθεστώς πολλών ζωών ( Υποθέτουε ότι η επιβίωση των ( ( διέπεται από τον ίδιο νόο Gmer B ( g ( e l Στην ανάλυση που θα αολουθήσει θα γράψουε απλά αφού η οπτιή παρουσία των παραστάσεων που επροσωπούν τα δεν είναι αναγαία για την εξαγωγή των επιδιωόενων συπερασάτων Όταν ισχύει ο νόος Gmer, η πιθανότητα d γίνεται B d ( B B d Εφόσον όως B B, το τελευταίο ολολήρωα είναι απλά βλέπουε ότι Είναι προφανές εξάλλου ότι η διαδιασία που αολουθήσαε λειτουργεί εξίσου αλά για οποιοδήποτε πλήθος ζωών, άρα γενιά Για να υπολογίσουε το ένταση θνησιότητας, εισάγουε την έννοια ιας "ισοδύναης ζωής" ( τέτοιας ώστε η να είναι ίδια ε την ένταση θνησιότητας του αθεστώτος ( Αν l(, τότε B B B (Το δεν θα είναι γενιά l αέραιος, πορούε όως να εργασθούε ε την αέραια ηλιία ~ ή, για εγαλύτερη αόα ασφάλεια, ε την αέραια ηλιία έχουε όνο [ ] [ ] ~ Σηειώνουε ότι, αν, δεν αλλά, άρα αθώς (Άσηση Κατά συνέπεια, πορούε να αγνοήσουε τελείως το αθεστώς ( να υπολογίσουε πιθανότητες (, όπως θα δούε, ασφάλιστρα για τη ια ζωή (! Μετά από αυτό το συπέρασα, η σχέση ανάγεται σε Για τον υπολογισό λοιπόν του, αρεί ο υπολογισός της ισοδύναης ηλιίας ~ η χρήση του πίναα Gmer στην ηλιία ~ Για τον υπολογισό του χρειάζεται, πέραν του (δηλαδή του ~, η παράετρος του πίναα Gmer Φυσιά, η σχέση γενιεύεται αέσως σε l( l ε
Πέρα από τα παραπάνω, πορούε εύολα να οδηγηθούε σε ένα αόα χρήσιο συπέρασα που είναι γνωστό ως "νόος της οοιόορφης αρχαιότητας" (la f uifrm eiri Αν, χωρίς απώλεια γενιότητας, θέσουε >, από την συπεραίνουε ότι < < πορούε να γράψουε m Η σχέση m l( γίνεται οδηγεί σε m Βλέπουε ότι το ποσό που l πρέπει να προστεθεί στη ιρότερη ηλιία, για να προύψει η ισοδύναη ηλιία, εξαρτάται όνον από τη διαφορά ανάεσα στις ηλιίες όχι από τις ίδιες τις ηλιίες Έτσι, όποιος άνει τους υπολογισούς δεν έχει παρά να σηειώσει τη διαφορά ανάεσα στις ηλιίες των δύο ασφαλισένων, να ανατρέξει σε πίναα που δίνει την τιή του m που αντιστοιχεί σε άθε τιή της διαφοράς να γράψει m Η διαδιασία αυτή πορεί να γενιευθεί, αλλά γίνεται δύσχρηστη για περισσότερες από τρεις ζωές Στην περίπτωση του νόου Makeham, τα πράγατα είναι άπως πιο πολύπλοα Γράφουε ( A B d A e : ( B B d A e : ( : A d A e βλέπουε ότι στην περίπτωση Makeham, ετός από τον όρο, έχουε έναν όρο στον οποίο εφανίζεται η (προσωρινή έση διάρεια e : του αθεστώτος ( Η γενίευση σε ζωές είναι άεση : A : e Η παραπάνω σχέση απλοποιείται αόα περισσότερο επειδή ένας νόος οοιόορφης αρχαιότητας ισχύει για ατανοές Makeham Εξαιτίας όως της παρουσίας του Α στην A B δεν πορούε να ορίσουε ία όνο ισοδύναη ζωή ( ορίζουε ένα ισοδύναο αθεστώς ( που έχει το ίδιο πλήθος ζωών ε το αλλά αποτελείται από άτοα της ίδιας ηλιίας [Η αντιατάσταση των ( e ε : e ίσως δεν "φαντάζει" ως απλοποίηση, όως είναι γιατί η : ολολήρωση, πχ, του d d d ], που είναι άεση!] Αφήνεται ως Άσηση το γεγονός ότι η είναι δυσολότερη από την ολολήρωση του συνεπάγεται (α την ίδια σχέση ε i αντί (β τη σχέση αθεστώτος ( ( του γεγονότος ότι γράφεται A e : i Με χρήση του, η τιή του
Για δύο ζωές ( ( (, ο νόος οοιόορφης αρχαιότητας για ια ατανοή Makeham l( l για ( (m : m είναι m (Άσηση l Ο υπολογισός ενιαίων ασφαλίστρων όταν η ατανοή είναι Gmer ή Makeham γίνεται ατά τον ίδιο αριβώς τρόπο Οι σχέσεις για το εταφράζονται άεσα σε σχέσεις για το ενιαίο ασφάλιστρο A Για Gmer, A A A, όπου ( η ισοδύναη προς το ( ζωή, για Makeham, A α A, όπου ( οήλιες ζωές ισοδύναες προς το ( (Άσηση Ζ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ίδονται,95,,9,, 85 Να βρεθούν τα,,,,,,, να ελεγχθεί η "εσωτεριή συνέπεια" των αποτελεσάτων (Απάντηση :,5,,,,5,,45,,95,,5,,75,,75 (i Αν,5, να δειχθεί ότι, για το αθεστώς ζωών (, (, 95 (ii Να δειχθεί ότι γενιά ( (i Να δειχθεί ότι, για αθεστώς ( ζωών, ότι ( ( (ii Να δειχθεί για ζωές ( 4 (i Να δειχθεί ότι ( (ii Ποια η αντίστοιχη σχέση για ; 5 Να δειχθεί ότι d [ ] [ ( ] d 6 (i Να βρεθεί (ii Εφόσον ότι : :, είναι : διολογείται το γεγονός ότι η e (Απάντηση : e < Πώς διολογείται αυτό το γεγονός πώς για τη συνάρτηση επιβίωσης ( e : : τείνει προς το όταν ; 7 (i Στην Άσηση 6, ποιες είναι οι σππ που αντιστοιχούν στις : : (Απάντηση : e e e (ii Ποιες οι αντίστοιχες συναρτήσεις επιβίωσης; (Απάντηση : e e e ;
8 (i Να βρεθούν τα για τη συνάρτηση επιβίωσης της Άσησης 5 (Απάντηση : ( e e ( e e ( e e πιθανοτήτων στο (i ; 9 ίδεται η συνάρτηση επιβίωσης (, (ii Τι παρατηρείτε για το άθροισα των δύο, δύο ζωές ηλιίας ( < < ηλιίας ( < (i Να βρεθεί η συνάρτηση ατανοής η συνάρτηση επιβίωσης < (Απάντηση : ( (, mi{, } (ii Να βρεθεί η αντίστοιχη σππ (Απάντηση : ( (, mi{, } (iii Να βρεθεί η : (Απάντηση : (απειρίζεται όταν το φθάσει το ιρότερο από τα Στην Άσηση 9, να βρεθεί η σ, για < υποθέτοντας (Απάντηση : > ( ( για (i Να βρεθούν τα (ii Να βρεθεί η για f( e e ( e (Απάντηση : : :: ( (Απάντηση : e e ( e ω (i Για τη συνάρτηση De Mivre (, να βρεθεί το για ω < ω < ω (Απάντηση : στο (i ω ω ω ω ω ω σε τι τα ω ω ; (ii Σε τι αντιστοιχεί ό όρος ( ( ( ( (i Να βρεθούν τα για τη συνάρτηση De Mivre ω ( ω ω ( ω ( ω παρατηρούε στο (i ισχύει γενιά για άθε συνάρτηση επιβίωσης ω (Απάντηση : (ii Να δειχθεί ότι η σχέση που 4 (i Να δειχθεί ότι για τη σππ f( e, οποιοδήποτε,,, (iii Να δειχθεί ότι (ii Να δειχθεί ότι! για
ω 5 (i Για (, να δειχθεί ότι ω ω αν > ω ω αν < ω (Αν, από τα δύο αποτελέσατα (ii Να δειχθεί ότι ω (iii Να δειχθεί ότι ω αν > αν < (Για, ω ω (iv Να δειχθεί ότι είναι το ίδιο στις δύο περιπτώσεις! αν >, όως ω αν <! (Το " " δεν ω 6 Να γραφούν τα, συναρτήσει πιθανοτήτων πρώτου θανάτου (Απάντηση :, 7 (i Να γραφεί το συναρτήσει πιθανοτήτων πρώτου θανάτου (Απάντηση : ( ( ( (ii Να γραφεί το συναρτήσει πιθανοτήτων για αθεστώτα του τύπου (Απάντηση : ( ( ( (iii Να συγριθούν τα αποτελέσατα (i (ii 8 (i Να δειχθεί ότι : (ii Να δειχθεί ότι το είναι ίσο ε αθένα από τα d, ( u u u u u u ( u u u u u u : dud, ddu ( δεν είναι σωστό για το u : ( το ολολήρωα d ; d (iii Γιατί 9 Να βρεθούν τα δ, ( δ( δ A, A, A, A A για ( e (Απάντηση : ( δ( δ δ, δ, Να γενιευθεί η Άσηση 9 να βρεθούν τα δ δ (Απάντηση :,, ( (i Να βρεθεί η τιή του ( δ( δ (ii Να βρεθεί η τιή του ( δ A, A, A ( ( δ A A ε βάση τα αποτελέσατα της Άσησης (Απάντηση : A (Απάντηση : ( δ ( δ ( δ
ίδεται νόος De Mivre l, (i Να δειχθεί ότι ( I α ( I α 6α 5 5α 5 5 5 A 5 : 4 A 5 : 4 Είναι οι τιές αυτές συνεπείς ε την τιή ( I α ( I α 5 5 5α 5α 6 5 του A 5 : 4 ; (ii Να δειχθεί ότι A 5 : 4 A 5 : 4 Πώς συγρίνονται οι τιές αυτές ε την τιή του ; (iii Να ελεγχθεί η συνέπεια των παραπάνω A 5 : 4 αποτελεσάτων προς τις τιές των A 5 A 4 ίδεται e (i Να γραφεί ο αντίστοιχος νόος Gmer ο αντίστοιχος νόος ( ( e οοιόορφης αρχαιότητας (Απάντηση : e m l e, όπου η διαφορά ανάεσα στις δύο ηλιίες m η διαφορά ανάεσα στην ισοδύναη ηλιία, τη ιρότερη από τις ηλιίες (ii Τι συβαίνει στο m αθώς η διαφορά ηλιιών αυξάνει; ( m ( 4 ίδεται,5, (i Να βρεθούν τα 4 5 (Απάντηση :,89685,959 (ii Να γραφεί ο νόος οοιόορφης αρχαιότητας (Απάντηση : [ (, ] l m l, (iii Να βρεθεί ζωή ( ~ ισοδύναη προς αθένα των (4 : 5, ( : ( : 6 (λαβάνοντας το ~ ως [], όπου η τιή που προύπτει από το νόο οοιόορφης αρχαιότητας (Απάντηση : 54, 6 5 (i Για το νόο Gmer της Άσησης 4, να βρεθεί το (Απάντηση :,86956 : 5 (ii Να βρεθούν τα : 5 : 5 (Απάντηση :,74,498 (iii Ποια είναι η εγγύτερη ηλιία τέτοια ώστε : 5 ; (Απάντηση : 5 η ισότητα είναι "απόλυτη" σε ηλιία 5,454 [ ] 6 (i Για το νόο Makeham,5 (, l (, l αρχαιότητας (Απάντηση : (Απάντηση : 44,8 [ ] 7 Έστω e (i Να δειχθεί ότι, να γραφεί ο νόος οοιόορφης m (ii Να βρεθεί τέτοιο ώστε ( ~ ( : 5 l, ( e e e ( e e A ε επιτόιο ηδέν (Απάντηση : e e e : : : e e δ 8 Να δειχθεί ότι το ολολήρωα e d είναι ίσο ε επίσης ίσο ε αυτά ολοληρώατα; A : (ii Να βρεθεί το A d d Για ποια ασφάλιση είναι ενιαίο ασφάλιστρο αθένα από τα τρία δ 9 Να γραφεί το ολολήρωα e A : d χωρίς το ενιαίο ασφάλιστρο
Ποια πιθανότητα παριστάνει το πολλαπλό ολολήρωα ; d d d