Ερευνητική εργασία Α Λυκείου «Μαθηματική μοντελοποίηση: Πως τα μαθηματικά λύνουν προβλήματα της καθημερινής ζωής» Σχ. έτος: 2012-2013 8ο Γενικό Λύκειο Πάτρας Υπεύθυνοι Καθηγητές: Παναγιωτόπουλος Κ. (ΠΕ03) Ζαρναβέλλης Ιωάννης (ΠΕ12.04)
Αξιότιμοι κύριοι και κυρίες, Αγαπητοί συμμαθητές και συμμαθήτριες, Στην αρχή της φετινής χρονιάς στα πλαίσια του μαθήματος της Ερευνητικής Εργασίας, μαζί με τον καθηγητή των μαθηματικών κ. Παναγιωτόπουλο ξεκινήσαμε μια συζήτηση για τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή μας και αποφασίσαμε να ασχοληθούμε με την εκπόνηση μιας εργασίας με θέμα την Μαθηματική μοντελοποίηση.
Στο τμήμα ενδιαφέροντός μας Ε3 συμμετείχαμε οι παρακάτω 18 μαθητές και μαθήτριες από τα τμήματα Α1, Α2, Α3 και Α4 της Α Λυκείου του 8 ου Γενικού Λυκείου Πάτρας Αντωνόπουλος Απόστολος (Α1) Αντωνόπουλος Κων/νος (Α1) Αποστολοπούλου Βασιλική (Α1) Δημόπουλος Γεράσιμος (Α1) Διαμαντοπούλου Μαρία (Α2) Καραβίας Σωτήρης (Α2) Καραγιάννης Δημήτριος (Α2) Κολοβούρη Κωνσταντίνα (Α2) Κοτσανόπουλος Ανδρέας (Α3) Μπακοπούλου Ιωάννα (Α3) Ξυπολιά Μαρία (Α3) Παναγοπούλου Μαρία (Α3) Παπακανέλλος Αιμίλιος (Α3) Πιαστοπούλου Ιουλία (Α4) Πολυγένη Αικατερίνη (Α4) Πρίφτι Αντριάνα (Α4) Τσάμης Θεμιστοκλής (Α4) Τσούλος Γεώργιος (Α4)
Χωριστήκαμε σε τέσσερις ομάδες, δύο των τεσσάρων και δύο των πέντε ατόμων. Ο χωρισμός σε ομάδες έγινε με κοινωνιόγραμμα ανάλογα με τις προτιμήσεις μας και η κάθε ομάδα επέλεξε το δικό της όνομα. Συντάξαμε και υπογράψαμε το συμβόλαιό μας.
ΟΜΑΔΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ Λέω πάντα τη γνώμη μου στην ομάδα μου, όταν έρθει η σειρά μου. Αν θέλω να ξαναπάρω το λόγο, περιμένω να τελειώσουν οι προηγούμενοι. Σέβομαι τις απόψεις που εκφράζουν οι συμμαθητές μου στην ομάδα και ταυτόχρονα κάνω ελεύθερα την κριτική μου σ αυτές χωρίς κακόβουλα σχόλια. Σέβομαι την άποψη της πλειοψηφίας της ομάδας όπου αυτό χρειάζεται. Φροντίζω όσο μπορώ να κάνω με συνέπεια το μέρος της εργασίας που μου αναλογεί ώστε να αυξάνεται η απόδοση της ομάδας.
ΟΜΑΔΕΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ «MATHBUSTERS» Αντωνόπουλος Απόστολος Αντωνόπουλος Κων/νος Δημόπουλος Γεράσιμος Καραγιάννης Δημήτριος «MASKA 5» Διαμαντοπούλου Μαρία Καραβίας Σωτήρης Κολοβούρη Κων/να Κοτσανόπουλος Ανδρέας Παπακανέλλος Αιμίλιος «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ» Μπακοπούλου Ιωάννα Παναγοπούλου Μαρία Πιαστοπούλου Ιουλία Τσούλος Γεώργιος «ΘΑΛΗΣ» Αποστολοπούλου Βασιλική Ξυπολιά Μαρία Πολυγένη Αικατερίνη Πρίφτι Αντριάνα Τσάμης Θέμης
Στην εργασία αυτή προσπαθήσαμε να διερευνήσουμε προβλήματα της καθημερινής ζωής. Μετατρέψαμε προβλήματα από την καθημερινότητα μας σε μαθηματικά προβλήματα (μαθηματική μοντελοποίηση) και στη συνέχεια με τη χρήση μαθηματικών διαδικασιών και εννοιών προσπαθήσαμε να τα επιλύσουμε.
Διευκολυνθήκαμε ιδιαίτερα από τη χρήση των νέων τεχνολογιών, όπως το διαδίκτυο και το εκπαιδευτικό πρόγραμμα Function Probe, που είναι ένα πολυεποπτικό εργαλείο για τη σύγχρονη άλγεβρα, την τριγωνομετρία και την ανάλυση, που επιτρέπει τη διερεύνηση των συναρτήσεων και τη μαθηματική μοντελοποίηση. Η εκμάθηση του έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής και ευχαριστούμε τις υπεύθυνες καθηγήτριες για την διάθεση του εργαστηρίου για την εργασία μας.
H χρησιμότητα των Μαθηματικών Ζούμε σ' ένα κόσμο πρακτικών εφαρμογών και οι νέοι μαθαίνουν ή τουλάχιστον θέλουν να μάθουν εκείνες τις γνώσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν. Αυτό σημαίνει ότι αποκτά αξία μέσα τους κάθε τι χειροπιαστό και όχι κάτι το αφηρημένο. Όμως η κατάρα του αφηρημένου συνοδεύει τα μαθηματικά. Ωστόσο τα πράγματα δεν είναι ακριβώς έτσι.
Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας, μόνο που χρειάζεται κάποια προσπάθεια να τα ανακαλύψουμε. Αυτό συμβαίνει επειδή ο ρόλος των μαθηματικών στο επιστημονικό στερέωμα ήταν ανέκαθεν βοηθητικός. Οι υπόλοιπες επιστήμες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να λύσουν προβλήματα, με αποτέλεσμα η προσφορά των μαθηματικών να μην τονίζεται ιδιαίτερα.
Μερικά παραδείγματα για του λόγου το αληθές. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα μπορούσαν να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου, χωρίς τη γεωμετρία ούτε θα μπορούσαν να κτίσουν τις πυραμίδες Ο Κολόμβος δεν θα είχε ανακαλύψει την Αμερική αν δεν χρησιμοποιούσε τριγωνομετρία για να διαβάσει τ' αστέρια.
Δεν θα υπήρχε εναλλασσόμενο ρεύμα χωρίς μιγαδικούς αριθμούς Τα διαστημόπλοια δεν θα είχαν φτάσει στον Άρη αν προηγουμένως δεν είχαν περιγραφεί λεπτομερώς οι τροχιές τους με μαθηματικές εξισώσεις. Ούτε φυσικά θα υπήρχαν υπολογιστές αν δεν υπήρχε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης και η Άλγεβρα Boole Οι γιατροί δεν θα μπορούσαν να προβλέψουν μια πιθανή καρδιακή προσβολή χωρίς τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, κλπ.
Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που δεν δημιουργεί πολύ φασαρία γύρω της. Δεν χρειάζεται εργαστήρια και ακριβά μηχανήματα, ούτε πειραματόζωα, ούτε κοστίζει πολύ η έρευνα. Χρειάζεται μόνο χαρτί, μολύβι, βιβλίο και ένα ανθρώπινο νου με αρκετή όρεξη. Η στενή σύνδεση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία ειδικά στα θεωρητικά μαθηματικά, πολλές φορές αφήνει τον αναγνώστη μαθηματικών θεμάτων, άφωνο.
Υπάρχει μεγάλη πιθανότητα όταν δεν αντιλαμβανόμαστε μια μαθηματική έννοια να χρησιμοποιούμε την ερώτηση "πού χρησιμεύει αυτό;" σαν άλλοθι. Δηλαδή αν δεν πρόκειται να το χρησιμοποιήσουμε γιατί να το κατανοήσουμε; Ωστόσο δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να πειστούμε ότι τα μαθηματικά βρίσκονται παντού, και ότι σαν παγκόσμια γλώσσα συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει. Μερικά παραδείγματα πάντα υπάρχουν.
Αυτό που πρέπει περισσότερο να χωνέψουμε είναι ότι η μεγαλύτερη χρησιμότητα των μαθηματικών είναι η απαραίτητη βοήθεια που προσφέρουν στο να κατανοήσει κάποιος τη λειτουργία εκείνων των γνώσεων που τελικά θα χρησιμοποιήσει. Πολλοί ούτως ή άλλως πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι ένα σκοτεινό δωμάτιο. Όμως ένα σκοτεινό δωμάτιο δεν είναι απαραίτητα και άδειο.
Τα Μαθηματικά λοιπόν δεν είναι ένα μάθημα που απευθύνεται σε λίγους και έξυπνους, αλλά ένα μάθημα απαραίτητο σε κάθε άνθρωπο, όπως είναι και η γλώσσα. Ακόμη και άνθρωποι που δεν έχουν πάει ποτέ σχολείο χρησιμοποιούν καθημερινά στη ζωή τους τα Μαθηματικά.
Μαθηματικά και Τέχνη Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα παρά το ότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο ξεχωριστά διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εν τούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς. Τα μαθηματικά από παλιά μέχρι και σήμερα εξακολουθούν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών της τέχνης.
Σ όλες τις εποχές αναδείχθηκαν εξέχουσες μορφές της τέχνης, οι οποίες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης τους. Είναι προφανές ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρξουν κανόνες ή όρια σχετικά με τα θέματα ή τις ιδέες της μαθηματικής τέχνης. Υπάρχουν όμως κάποια θέματα τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί περισσότερο και δείχνουν ότι έχουν κερδίσει την προτίμηση ορισμένων καλλιτεχνών. Μεταξύ αυτών είναι τα πολύεδρα, τα ψηφιδωτά, τα ανέφικτα σχήματα, οι ταινίες Möbious και τα fractals.
Ο Leonardo da Vinci (1452-1519) είναι γνωστός για τα επιτεύγματά του τόσο στις επιστήμες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα του χρησιμοποίησε παραστατική γεωμετρία προκειμένου να δημιουργήσει τα πρώτα παραμορφωμένα πλέγματα, τα οποία όταν ειδωθούν από κάποια συγκεκριμένη γωνία εμφανίζονται κανονικά. Ο Johanes kepler (1580-1630) επίσης πέρα από τη αστρονομία είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τη δημιουργία γεωμετρικών ψηφιδωτών.
Mona Lisa or La Gioconda (1503 1505/1507) Louvre, Paris, France
The Vitruvian Man (c. 1485) Accademia, Venice
Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» ο νους μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη Maurits Escher (1898-1972), ο οποίος δικαίως θεωρείται ο πατέρας αυτού του είδους της τέχνης. Οι λιθογραφίες, οι ξυλογλυφίες και οι χαλκογραφίες του βρίσκονται κρεμασμένες στα σπίτια μαθηματικών και επιστημόνων σ όλο τον κόσμο. Πολλά έργα του έχουν ως βάση κάποια μαθηματικά θέματα που έχουν κατά καιρούς αναλυθεί σε βιβλία ψυχαγωγικών μαθηματικών.
Gravitation,1952
Relativity, 1953
Circle Limit III, 1959
Waterfall, 1961
Ο Salvator Dali (1904-1989) ήταν ένας άλλος διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικάτοπολογικά στοιχεία. Ο Dali απεικόνισε σε πολλά έργα του τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων. Για παράδειγμα, στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης», υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας.
Corpus Hypercubus - 1954
Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης -1979
Ορισμένα έργα του Van Gogh χαρακτηρίζουν χαοτικές δίνες που ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ποτάμι ή οι ανεμοστρόβιλοι.
Η έναστρη νύχτα
Από αυτά τα λίγα παραδείγματα αλλά και χιλιάδες ακόμη βλέπουμε ότι τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα - όχι μόνο η ζωγραφική - βρίσκονται σε στενή σχέση μεταξύ τους. Πάρα πολλοί καλλιτέχνες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να δημιουργήσουν τα έργα τους.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Τα προβλήματα μοντελοποίησης είναι μια μεγάλη κατηγορία προβλημάτων τα όποια συμπεριλαμβάνονται στα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών. Η ενασχόληση με προβλήματα μοντελοποίησης καλλιεργεί τις δεξιότητες της διερεύνησης και διαμορφώνει το πλαίσιο για την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης. Η διαδικασία της μοντελοποίησης εστιάζει στην μεταφορά από τον πραγματικό κόσμο στον μαθηματικό και στην επιστροφή στον πραγματικό.
Αν προσπαθήσουμε να περιγράψουμε μία εντύπωση, μία σκέψη, μία πραγματική κατάσταση το αποτέλεσμα της περιγραφής είναι ένα μοντέλο. Οι διαφορετικές εκδοχές που μπορούμε να δώσουμε στην περιγραφή χρειάζονται και την κατάλληλη γλώσσα για να διατυπωθούν. Μεταφορική, φιλοσοφική, μαθηματική κλπ.
Αν η γλώσσα που χρησιμοποιήσαμε είναι η μαθηματική το αποτέλεσμα είναι ένα μαθηματικό μοντέλο. Σπάνια συμπεριλαμβάνουμε όλες τις σκέψεις μας σ αυτό το μοντέλο γι αυτό παραλείπουμε τις λεπτομέρειες. Μπορούμε να κατασκευάσουμε πολλά μοντέλα της ίδιας κατάστασης ανάλογα με το ποιες και πόσες λεπτομέρειες θα λάβουμε υπόψη μας για να ενισχύσουμε την άποψή μας. Έτσι το μοντέλο που θα χρησιμοποιήσουμε μας βοηθά να αναλύσουμε την κατάσταση ή να μεταδώσουμε τη σκέψη μας.
Η σπουδαιότερη λειτουργία ενός μοντέλου είναι να γεννά και να αναπαριστά ένα απεριόριστο πλήθος ιδιοτήτων ξεκινώντας από ένα περιορισμένο αριθμό στοιχείων. Είναι δηλαδή ένας τρόπος αναπαράστασης που μας οδηγεί σε νέες πληροφορίες.
Γενικά, μαθηματικό μοντέλο είναι ένα μοντέλο που αποτελείται από μαθηματικές έννοιες, σταθερές, μεταβλητές, συναρτήσεις, εξισώσεις, ανισώσεις κλπ. οι οποίες μπορούν να παρασταθούν συμβολικά είτε γραφικά.
Μοντελοποίηση λοιπόν στα μαθηματικά εννοούμε όλες εκείνες τις ενέργειες που αποσκοπούν σ έναν πλήρη κύκλο με τα παρακάτω στάδια:
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Μέλη Μπακοπούλου Ιωάννα Παναγοπούλου Μαρία Πιαστοπούλου Ιουλία Τσούλος Γεώργιος Αντικείμενα της εργασίας Χρησιμότητα των μαθηματικών Προγράμματα κινητής τηλεφωνίας Η πρόσκληση
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑΣ Ομάδα «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ»
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Όταν οι προσφορές των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας υπόσχονται όλο και περισσότερο δωρεάν χρόνο ομιλίας ή μικρότερα ποσά για το πάγιο του μηνιαίου λογαριασμού, είναι φανερό να διερωτάται κανείς για το είδος της επιλογής που πρέπει να κάνει με σκοπό να πληρώνει όσο το δυνατό λιγότερα χρήματα για να καλύψει τις συγκεκριμένες τηλεπικοινωνιακές του ανάγκες. Με ποιο τρόπο, λοιπόν, θα μπορούσε να επιλέξει το συμφερότερο πρόγραμμα σύνδεσης από τα προσφερόμενα;
Αποφασίσαμε να εξετάσουμε 3 προγράμματα που παρέχουν τα ακόλουθα: απεριόριστες αστικές και υπεραστικές κλήσεις 60' λεπτά προς κινητά τηλέφωνα απεριόριστες κλήσεις προς εξωτερικό απεριόριστο broadband ADSL έως 24Mbps Τα προγράμματα στα οποία καταλήξαμε μετά από έρευνα στο διαδίκτυο είναι τα εξής: Wind Double Play L της Wind με 41,24 /μήνα Forthnet Double Play της Forthnet με 41,24 /μήνα Double Play 24 Απεριόριστα Plus του ΟΤΕ με 40,90 /μήνα
Οι προσφερόμενες υπηρεσίες ανά πρόγραμμα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πρόγραμμα broadband ADSL Χρόνος προς Σταθερά Χρόνος προς Κινητά Τιμοκ/λογος Τιμή/μήνα Μήνες Προσφοράς Προσφορά Τιμή/μήνα ΟΤΕ Double Play 24 Απεριόριστα Plus έως 24 Mbps Απεριόριστα 60' 40,90 6 35,90 Forthnet 2play έως 24 Mbps Απεριόριστα 60' 41,24-41,24 WIND Double Play L Έως 24 Mbps Απεριόριστα 60' 41,24 12 32,99
Μετά από έρευνα, από τη συλλογή δεδομένων οικονομικών προγραμμάτων εταιρειών κινητής τηλεφωνίας σχηματίσαμε τον παρακάτω πίνακα: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ C0 CB CA15 ΚΣ15 ΜΗΝ. ΠΑΓΙΟ 0 10 15 15 ΔΩΡΕΑΝ ΧΡΟΝΟΣ ΟΜΙΛΙΑΣ /min ΠΡΟΣ C ΠΡΟΣ ΑΛΛΟΥΣ - - 1500 15 ΔΩΡΕΑΝ /SMS ΠΡΟΣ C ΠΡΟΣ ΑΛΛΟΥΣ - - 1500 15 ΚΟΣΤΟΣ ΚΛΗΣΗΣ /min 0,50 0,25 0,15 0,20 ΚΟΣΤΟΣ SMS /SMS 0,1240 0,1240 0,1250 0,1136 Υποθέτουμε ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το κινητό μας τηλέφωνο μόνο για υπηρεσίες φωνής (ομιλία). Να εξεταστεί ποιο από τα ομοειδή προγράμματα C0, CB και KΣ μας συμφέρει να επιλέξουμε εάν έχουμε στη διάθεσή μας 25 μηνιαίως.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είναι φανερό ότι υπάρχει σχέση μεταξύ χρόνου ομιλίας x και κόστους y. Θεωρήσαμε άγνωστο x τον χρόνο ομιλίας προς κινητά. Κρατήσαμε σταθερό το πάγιο και υπολογίσαμε το κόστος y ανά μήνα σε κάθε μια περίπτωση. Έτσι δημιουργήσαμε τις παρακάτω γραμμικές συναρτήσεις: y = 0.50 x y = 10+0.25x y = 15+0.20x Έπειτα πινακοποιήσαμε τα δεδομένα στο F. Probe.
Με τη βοήθεια του Function Probe παραστήσαμε γραφικά τις τρεις συναρτήσεις στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, αλλάζοντας κατάλληλα τις κλίμακες στους άξονες.
t=25 y=15+0,10x y=10+0,25x y=0,50x
Kαι οι τρείς ήταν ευθείες της μορφής y = αx+β. Είδαμε από το κοινό γράφημα ότι εκεί πού τέμνονται οι δυο από τρεις ευθείες θα έχουμε το ίδιο κόστος για δυο προγράμματα ομιλίας. Αποφασίσαμε ποιο πρόγραμμα θα επιλέξουμε τελικά δικαιολογώντας μαθηματικά την επιλογή μας. Έτσι θα επιλέξουμε το πρόγραμμα CB με πάγιο 10 και κόστος ομιλίας 0,25 λεπτά/min γιατί με 25 έχουμε χρόνο ομιλίας 60 λεπτά το μήνα ενώ με τα άλλα προγράμματα 50 λεπτά.
2 η Δραστηριότητα
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Για το σχεδιασμό μιας πρόσκλησης θα χρησιμοποιηθεί χαρτί σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το εμβαδό του τυπωμένου υλικού της πρόσκλησης και τα περιθώρια εκτύπωσης είναι δεδομένα, ζητείται να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδό του χαρτιού που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τη πρόσκληση. Η πρόσκληση στη συνέχεια γίνεται ανακοίνωση και ζητείται να βρεθεί το μέγιστο εμβαδό του χαρτιού που θα χρησιμοποιηθεί ώστε να ισχύουν οι ίδιες προϋποθέσεις αλλά και ο επιπλέον περιορισμός το μήκος και το πλάτος της ανακοίνωσης να μη διαφέρουν περισσότερο από 4 εκατοστά.
Το πρόβλημα Η τάξη σου διοργανώνει μια εκδήλωση και πρέπει να ετοιμάσει προσκλήσεις. Μετά από συνέλευση της τάξης αποφασίστηκε η πρόσκληση να πληροί τις πιο κάτω προϋποθέσεις: Η πρόσκληση να αποτελείται από 400 τετραγωνικά εκατοστά τυπωμένου υλικού, με περιθώρια 3 εκατοστών στην κορυφή και στο κάτω μέρος της σελίδας και 2 εκατοστών στα πλάγια τμήματά της. Επίσης, λόγω του κόστους του χαρτιού, οι προσκλήσεις πρέπει να τυπωθούν σε χαρτί που να έχει την ελάχιστη επιφάνεια (εμβαδό) που ικανοποιεί τις παραπάνω προϋποθέσεις.
Στην αρχή σχεδιάζουμε ένα σχήμα για την πρόσκληση, ονομάζοντας το πλάτος της εκτύπωσης 'x και εκφράζουμε το μήκος της εκτύπωσης σε σχέση με το 'x' και τέλος το μήκος και το πλάτος ολόκληρης της πρόσκλησης σε σχέση με το 'x'. y 3 w Πλάτος εκτύπωσης: x Μήκος εκτύπωσης: y = 400/x Πλάτος πρόσκλησης: z = x+4 Μήκος πρόσκλησης: w=y+6=(400/x)+6 2 x z 3 2
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε στο Function Probe έναν πίνακα με τις ακόλουθες στήλες: 'Πλάτος εκτύπωσης', 'Μήκος εκτύπωσης', 'Πλάτος πρόσκλησης', 'Μήκος πρόσκλησης', Εμβαδό πρόσκλησης επιλέγοντας τιμές για το πλάτος από 10-30 cm
Καθώς αυξάνονται οι τιμές στην στήλη του πλάτους εκτύπωσης 'x', παρατηρούμε τα εξής: Οι τιμές του μήκους εκτύπωσης y μειώνονται αφού τα ποσά x και y έχουν σταθερό γινόμενο (αντιστρόφως ανάλογα) Οι τιμές του πλάτους πρόσκλησης z αυξάνονται Οι τιμές του μήκους πρόσκλησης w μειώνονται Οι τιμές του εμβαδού Α στην αρχή μειώνονται και από κάποια τιμή και μετά αυξάνονται
Με ενδιάμεσο γέμισμα μεταξύ τιμών πλάτους εκτύπωσης 16 και 17 εκατοστών βλέπουμε ότι η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι 619.96 τετρ. εκατοστά όταν x=16.3 εκατοστά.
Επίσης παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει μέγιστη τιμή για το εμβαδό της πρόσκλησης αφού όσο πλησιάζει το πλάτος x στο μηδέν το εμβαδόν αυξάνεται απεριόριστα και το ίδιο συμβαίνει όταν το x αυξάνεται απεριόριστα. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε από τη γραφική παράσταση του εμβαδού A της πρόσκλησης συναρτήσει του πλάτους εκτύπωσης, όπως φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια.
Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση του Εμβαδού Α είναι μια καμπύλη που παίρνει μια ελάχιστη τιμή. Επίσης βρήκαμε ότι το ελάχιστο εμβαδό είναι 619.96 τ. εκ. άρα για κάθε πρόσκληση η τάξη θα πληρώσει 619.96*1,5 /100 = 9.3, αφού το χαρτί κοστίζει 1,5 λεπτά το τετραγωνικό εκατοστό.
Εκτός από τις προσκλήσεις, αποφασίστηκε η τάξη να κολλήσει μια μεγάλη ανακοίνωση στον πίνακα ανακοινώσεων ως διαφήμιση για να ενημερωθούν για την εκδήλωση και οι υπόλοιποι μαθητές των άλλων τάξεων. Αυτή τη φορά, όμως, θέλει να μεγιστοποιήσει το εμβαδό της, ώστε να μπορούν οι άλλοι μαθητές να τη διαβάζουν από απόσταση. Εν τούτοις, εξακολουθούν να ισχύουν οι υπόλοιποι περιορισμοί.
Ας υποθέσουμε επιπλέον πως για λόγους αισθητικής, αποφασίστηκε το μήκος και το πλάτος της ανακοίνωσης να μη διαφέρουν περισσότερο από τέσσερα εκατοστά. Χρησιμοποιώντας το παράθυρο Πίνακας βρήκαμε το πλάτος και το μήκος της πρόσκλησης που μεγιστοποιούν το εμβαδό της ανακοίνωσης. Δημιουργήσαμε μια νέα στήλη στον πίνακα που να δείχνει τη διαφορά των διαστάσεων της πρόσκλησης.
Από τον πίνακα και με τη βοήθεια της στήλης της διαφοράς d=x-y, υπό την προϋπόθεση ότι αυτή θα παίρνει τιμή από -4 έως 4 βλέπουμε ότι η ανακοίνωση θα έχει μέγιστο εμβαδό Α = 628,998 τ. εκ. όταν το πλάτος της πρόσκλησης είναι ίσο με 26,1 εκ. και το μήκος της με 24,1 εκ. Οι αρνητικές τιμές της διαφοράς d σημαίνουν ότι σε αυτές τις περιπτώσεις το πλάτος x είναι μικρότερο του μήκους y.
ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: MATHBUSTERS Μέλη Αντωνόπουλος Απόστολος Αντωνόπουλος Κων/νος Δημόπουλος Γεράσιμος Καραγιάννης Δημήτριος Αντικείμενα της εργασίας μας Μαθηματικά και τέχνη Αγορά και κόστος κίνησης ενός επιβατικού αυτοκινήτου Ο παραγωγός μήλων
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η ΑΓΟΡΑ ΕΠΙΒΑΤΙΚΟΥ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ Ομάδα «MATHBUSTERS»
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Διανύουμε μια δύσκολη περίοδο για την ελληνική κοινωνία, καθώς ο λαός βιώνει και αντιμετωπίζει καθημερινά μια σκληρή λιτότητα, η οποία είναι αποτέλεσμα της οικονομικής κρίσης που πλήττει κυρίως την Ελλάδα αλλά και ολόκληρη την Ευρωπαϊκή ζώνη. Έτσι, αποφασίσαμε να εξετάσουμε ένα από τα προβλήματα που αντιμετωπίζει ο μέσος Έλληνας πολίτης, που είναι η αγορά επιβατικού αυτοκινήτου με χαμηλό κόστος χρήσης.
Μετά από έρευνα στο διαδίκτυο επιλέξαμε να συγκρίνουμε τρία αυτοκίνητα μιας αυτοκινητοβιομηχανίας (Fiat), του ίδιου περίπου κυβισμού που το καθένα από αυτά καταναλώνει διαφορετικό είδος καυσίμου, δηλ. ένα βενζινοκίνητο, ένα πετρελαιοκίνητο και ένα υγραεριοκίνητο. Λάβαμε υπόψη μας ότι το service, τα τέλη κυκλοφορίας και η ασφάλεια είναι περίπου ίδια και για τα τρία αυτοκίνητα.
Επίσης λάβαμε υπόψη: Την κατανάλωση καυσίμου σε μικτό (αστικό και υπεραστικό ) κύκλο σε lt/100 χλμ την τιμή της βενζίνης: 1,680 ευρώ/lt, την τιμή του πετρελαίου: 1,434 ευρώ/lt, την τιμή του υγραερίου: 1,02 ευρώ/lt. Στην επόμενη διαφάνεια φαίνεται ο πίνακας με τα τεχνικά χαρακτηριστικά των μοντέλων της Fiat.
Για τα αυτοκίνητα που διαλέξαμε έχουμε τα παρακάτω στοιχεία: Βενζινοκίνητο Πετρελαιοκίνητο Υγραεριοκίνητο Τιμή αγοράς σε 13800 15100 14300 Κατανάλωση (lt/100km) 5,4 3,5 7,0
ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είναι φανερό ότι υπάρχει σχέση μεταξύ χλμ. που διανύουμε και συν. κόστους αγοράς και χρήσης. Θεωρήσαμε σαν άγνωστο x τα διανυόμενα χλμ. και υπολογίσαμε το συνολικό κόστος y σε κάθε μια περίπτωση, προσθέτοντας στην τιμή αγοράς το κόστος του καυσίμου, που είναι ίσο με το γινόμενο (κόστος 1 lt ).(κατανάλωση ανά χλμ.).(αριθμό χλμ). Έτσι πήραμε τις παρακάτω γραμμικές συναρτήσεις: Βενζινοκίνητο y = 13800+0.09072x Πετρελαιοκίνητο y = 15100+0.05019x Υγραεριοκίνητο y = 14300+0.07140x Πινακοποιήσαμε τα δεδομένα στο F. Probe.
Με τη βοήθεια του Function Probe παραστήσαμε γραφικά τις τρεις συναρτήσεις, που τα σημεία τους βρίσκονται σε ευθείες, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, αλλάζοντας κατάλληλα τις κλίμακες στους δυο άξονες.
y=13800+0.09072x Βενζίνη z=15100+0.05019x Πετρέλαιο w=14300+0.07140x Υγραέριο
Από τις γραφικές παραστάσεις είδαμε ότι οι τρεις ευθείες τέμνονται ανά δυο και ότι τα σημεία τομής τους μας δείχνουν τα χλμ. στα οποία δυο αυτοκίνητα έχουν το ίδιο κόστος. Επίσης παρατηρούμε ότι: Μέχρι τα 26000 χλμ. συμφέρει το βενζινοκίνητο. Από 26000 έως 38000 χλμ. συμφέρει το υγραεριοκίνητο αφού η ευθεία του στο διάστημα αυτό βρίσκεται κάτω από τις άλλες δυο ευθείες. Από τα 38000 χλμ. και μετά συμφέρει το πετρελαιοκίνητο αφού έχει το μικρότερο συνολικό κόστος από τα άλλα δυο.
Ο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΗΛΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 η Ομάδα: MATHBUSTERS
Σύντομη Περιγραφή Ένας παραγωγός μήλων αντιμετωπίζει το εξής δίλημμα: αν μαζέψει νωρίς τα μήλα του, θα τα πουλήσει μεν σε χαμηλή τιμή αλλά θα έχει μεγάλη παραγωγή, ενώ αν τα μαζέψει αργότερα (μέσα σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα), θα έχει μικρότερη παραγωγή αλλά θα τα πουλήσει ακριβότερα. Ζητείται από τους μαθητές να διερευνήσουν ποια χρονική στιγμή τον συμφέρει να πουλήσει τα μήλα.
ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένας παραγωγός μήλων διαπίστωσε ότι τα μήλα στο κτήμα του ωρίμασαν και πρέπει να τα μαζέψει το αργότερο μέσα σε έξι εβδομάδες. Αντιμετωπίζει όμως το εξής πρόβλημα: Αν τα μαζέψει σήμερα, κάθε δέντρο θα του αποδώσει 42 κιλά κατά μέσο όρο. Για κάθε εβδομάδα που περνάει, εκτιμά ότι η απόδοση κάθε δέντρου θα μειώνεται κατά 1 κιλό (από πέσιμο μήλων στο έδαφος, κτλ.), ενώ η τιμή πώλησης θα αυξάνεται κατά 0,6 λεπτά το κιλό. Η σημερινή τιμή πώλησης είναι 24 λεπτά το κιλό.
Στην αρχή παρατηρούμε ότι αν ο παραγωγός πουλήσει σήμερα τα μήλα του θα εισπράξει 42*0,24 = 10,08 ευρώ ανά δένδρο. Στην αρχή της επόμενης εβδομάδας τα μήλα κάθε δένδρου θα ζυγίζουν 42-1= 41 κιλά, το κάθε κιλό θα κοστίζει 0,24+0,006 = 0,246 και το κέρδος του παραγωγού ανά δένδρο θα είναι 41*0,246 = 10,09.
Εργαζόμενοι με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να συμπληρώσουμε τον παρακάτω πίνακα θεωρώντας ως μηδενική εβδομάδα την τρέχουσα Αριθμός εβδομάδων Κέρδος ανά δένδρο (ευρώ) 0 10,08 1 10,09 2 10,08 3 10,06 4 10,03 5 9,99 6 9,94
Γενικεύοντας, την εβδομάδα x ο παραγωγός θα μαζέψει από κάθε μηλιά 42-x κιλά και θα πουλήσει το κάθε κιλό (0,24+0,006x), άρα το ποσό y που θα εισπράξει δίνεται από τον τύπο y = (42-x)(0,24+0,006x), το ανάπτυγμα του οποίου είναι μια δευτεροβάθμια συνάρτηση (τριώνυμο) της μορφής y=αx 2 +βx+γ. Στέλνοντας τα δεδομένα στον πίνακα του FP παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα:
Με το FP στέλνουμε τα σημεία στον πίνακα γράφημα, όπου με αλλαγή κλίμακας παίρνουμε το παρακάτω γράφημα:
Με την εντολή 'Σύνδεση σημείων' ενώνουμε τα παραπάνω σημεία. Χρησιμοποιώντας το εργαλείο 'Δείκτη σημείου' βρίσκουμε ότι αν πουλούσε τα μήλα του στα μισά της δεύτερης εβδομάδας δηλ. όταν x=2,5 τότε θα κέρδιζε 10,07 ανά δένδρο. Το ποσό αυτό δεν συμπίπτει με αυτό του πίνακα που είναι 10,073 ανά δένδρο. Αυτό γίνεται γιατί η σύνδεση των διαδοχικών σημείων γίνεται με ευθύγραμμα τμήματα ενώ τα σημεία μέσω του τύπου βρίσκονται σε καμπύλη δηλαδή στην παραβολή. Αυτό φαίνεται στο επόμενο διάγραμμα.
Από το διάγραμμα βλέπουμε ότι η πιο κατάλληλη εβδομάδα για να πουλήσει τα μήλα είναι η πρώτη (1), όπου έχουμε τις περισσότερες εισπράξεις ανά δένδρο που είναι 10,09, γεγονός όπου επαληθεύεται και από τον πίνακα.
ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: MASKA 5 Μέλη Διαμαντοπούλου Μαρία Καραβίας Σωτήρης Κολοβούρη Κων/να Κοτσανόπουλος Ανδρέας Παπακανέλλος Αιμίλιος Θέματα εργασίας Χρησιμότητα των Μαθηματικών Το ταξίδι Ο πύραυλος
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η ΤΟ ΤΑΞΙΔΙ Ομάδα «MASKA 5»
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Τα οκτώ μέλη μιας αρχαιολογικής σχέσης σχεδιάζουν ένα ταξίδι μιας εβδομάδας στην Αρχαία Ολυμπία. Ζητάμε το οικονομικότερο σχέδιο για το ταξίδι μιας εβδομάδας με βάση τις επόμενες δύο προσφορές:
Α προσφορά: Μπορούν να νοικιάσουν δύο μικρά αυτοκίνητα με ένα ειδικό πακέτο προσφοράς για μια εβδομάδα ή λιγότερο. Για να ισχύσει η ειδική προσφορά, θα πρέπει να δώσουν εφάπαξ 148 ευρώ παραλαμβάνοντας τα δυο αυτοκίνητα. Η βενζίνη και τα λάδια θα κοστίζουν 15 ευρώ την ημέρα και για τα δύο μικρά αυτοκίνητα. Κατά τα άλλα, θα ξοδεύουν 30 ευρώ το άτομο την ημέρα για φαγητό σε εστιατόρια και για τις διανυκτερεύσεις τους.
Β προσφορά: Μπορούν να νοικιάσουν στην τιμή των 80 ευρώ την ημέρα ένα πουλμανάκι και για τους οχτώ, το οποίο έχει ένα αρκετά μεγάλο ψυγείο. Το κόστος για το πούλμαν θα αφαιρείται αυτόματα στο τέλος κάθε ημέρας, από τον τραπεζικό λογαριασμό της λέσχης. Η βενζίνη και τα λάδια θα κοστίζουν 20 ευρώ την ημέρα. Όμως, επειδή θα μπορούν να ετοιμάζουν φαγητό και να το κρατάνε στο ψυγείο του πούλμαν, τα έξοδα της ημέρας για φαγητό και για διανυκτέρευση θα είναι μόνο 24 ευρώ το άτομο.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Φαίνεται ότι υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των ημερών του ταξιδιού και του κόστους. Θεωρήσαμε άγνωστο x τον αριθμό των ημερών. Με βάση τα δεδομένα υπολογίσαμε το κόστος y του ταξιδιού συναρτήσει του x. Έτσι για τις δυο προσφορές έχουμε τις παρακάτω συναρτήσεις: y = 148 + 255x και y = 292x Με τη βοήθεια του Function Probe πινακοποιήσαμε τα δεδομένα.
Με τη βοήθεια του Function Probe παραστήσαμε γραφικά τις δυο συναρτήσεις που σχηματίσαμε, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τροποποιώντας κατάλληλα τις κλίμακες στους δυο άξονες
y = 292x (Β) y = 148 + 255x (Α)
Και οι δυο ήταν ευθείες της μορφής y = αx+β. Είδαμε από το κοινό γράφημα πού τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις και ότι το σημείο τομής τους μας δείχνει ότι στις 4 ημέρες έχουμε το ίδιο κόστος (1168 ) και για τις δυο προσφορές. Για ταξίδι με διάρκεια μικρότερη των 4 ημερών συμφέρει να επιλέξουν την Β προσφορά. Για διάρκεια ταξιδιού μεγαλύτερη των 4 ημερών θα επιλέξουν τελικά την Α προσφορά αφού η ευθεία του κόστους της βρίσκεται κάτω από την άλλη ευθεία.
5 η Δραστηριότητα Ο ΠΥΡΑΥΛΟΣ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ο πύραυλος είναι μια δραστηριότητα που μας δίνει την ευκαιρία: α) να αντιστοιχίσουμε τους τύπους της ελεύθερης βολής της φυσικής με συναρτήσεις των μαθηματικών β) να αντιληφθούμε ότι η μελέτη της τροχιάς και της ταχύτητας ενός σώματος στην ελεύθερη βολή γίνεται με τη βοήθεια των συναρτήσεων της μορφής y=αx 2 +βx+γ και y=αx+β γ) μέσα από τη μελέτη αυτή να αποφανθούμε για τον τρόπο μεταβολής των τιμών των συναρτήσεων αυτών, καθώς και για τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές τους.
Το πρόβλημα Ένας πρότυπος πύραυλος εκτοξεύεται από τη Γη. Τη στιγμή που σταματάει να καίει καύσιμα απέχει 15,24 m από το έδαφος και η ταχύτητά του είναι 23,384 m/sec με κατακόρυφη προς τα πάνω διεύθυνση. Εξακολουθεί να κινείται με αυτή τη διεύθυνση και στη συνέχεια, λόγω της δράσης της βαρύτητας, στρίβει και πέφτει στο έδαφος. Χρησιμοποιήστε το Function Probe για να μελετήσετε τη σχέση ανάμεσα στο ύψος του πυραύλου και το χρόνο, θεωρώντας ως αρχικό ύψος και αρχικό χρόνο το σημείο που παύει να καίγεται το καύσιμο, καθώς και τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα του πυραύλου και το χρόνο.
Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι ο τύπος που μας δίνει το ύψος h συναρτήσει του χρόνου t είναι ο 1 h = h0 + v0t gt 2 όπου h 0, v 0 και g το αρχικό ύψος, η αρχική ταχύτητα και η επιτάχυνση της βαρύτητας ( g= 9,81 m/s 2 ). Ανήκει στην κατηγορία των τετραγωνικών συναρτήσεων της μορφής y=αx 2 +βx+γ με α = -0.5g=-0.5*9.81, β=v 0 =23.384, γ=h 0 =15,24 και x=t. 2
Με τη βοήθεια του Function Probe κατασκευάζουμε ένα πίνακα τιμών με πρώτη στήλη τις τιμές του χρόνου από 0 έως 8 sec και δεύτερη στήλη τις τιμές του ύψους h που προκύπτουν από τον αντίστοιχο τύπο, όπως φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια.
Από τον πίνακα που φτιάξαμε βλέπουμε ότι το μέγιστο ύψος του θα το αποκτήσει ο πύραυλος μεταξύ 2 και 3 sec. Ομοίως, θα προσκρούσει στο έδαφος μεταξύ 5 και 6 sec.
Με ενδιάμεσο γέμισμα μεταξύ τιμών χρόνου 2 και 3 sec και ρυθμίζοντας τα δεκαδικά ψηφία των στηλών σε 3 βλέπουμε ότι η μέγιστη τιμή του ύψους είναι 43.109 m όταν t = 2.4 sec. Ομοίως ο πύραυλος θα προσκρούσει στο έδαφος δηλ. θα έχει ύψος ίσο με μηδέν όταν t = 5.348 sec, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Στέλνοντας τα σημεία του πίνακα στο γράφημα κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της σχέσης ανάμεσα στο ύψος και στο χρόνο, από όπου βλέπουμε ότι επιβεβαιώνονται οι απαντήσεις που δώσαμε για τη χρονική στιγμή που παρατηρείται το μέγιστο ύψος και η πρόσκρουση στο έδαφος. Η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή και φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια
Ο τύπος που εκφράζει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο) και το χρόνο σε δευτερόλεπτα είναι ο v = v gt 0 Ανήκει στη κατηγορία των γραμμικών συναρτήσεων της μορφής y=αx+β με α = -g = -9.81 και β = v 0 = 23.384
Όπως φαίνεται στην επόμενη διαφάνεια πινακοποιούμε τα δεδομένα προσθέτοντας μια ακόμα στήλη στον πίνακα με τον τύπο της ταχύτητας.
Κατόπιν κατασκευάζουμε τη γραφική της παράσταση στέλνοντας τα αντίστοιχα σημεία στο διάγραμμα. Όπως ξέρουμε η γραφική της παράσταση θα είναι μια ημιευθεία.
Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι ο πύραυλος θα αποκτήσει τη μεγίστη θετική ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=0 και η τιμή της είναι v = 23.384 m/s. Επίσης ο πύραυλος θα αποκτήσει τη μεγίστη αρνητική του ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = 5.348 sec και η τιμή της είναι v = -29.08 m/s.
Με ενδιάμεσα γεμίσματα στον πίνακα τιμών βρίσκουμε ότι ο πύραυλος θα βρίσκεται σε ύψος h=30,48 m τις χρονικές στιγμές t = 0.779 sec, όταν ανεβαίνει, και t = 3.988 sec, όταν κατεβαίνει, και η ταχύτητα του πυραύλου και στις δυο αυτές χρονικές στιγμές έχει μέτρο v = 15.74 m/s.
Στη γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου υπάρχει ένα σημείο τομής της ευθείας με τον οριζόντιο άξονα και είναι αυτό στο οποίο η ταχύτητα μηδενίζεται για t=2.4 s, όπου ο πύραυλος φθάνει στο μέγιστο ύψος του.
Από τις δύο δραστηριότητες που ερευνήσαμε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά με τη μαθηματική μοντελοποίηση συμβάλλουν αποφασιστικά στην επίλυση προβλημάτων διάφορων άλλων επιστημών αλλά και της καθημερινότητάς μας.
ΟΜΑΔΑ: ΘΑΛΗΣ Μέλη Αποστολοπούλου Βασιλική Ξυπολιά Μαρία Πολυγένη Αικατερίνη Πρίφτι Αντριάνα Τσάμης Θέμης Θέματα της εργασίας μας Μαθηματική μοντελοποίηση Τα φωτοτυπικά μηχανήματα Η σχολική εκδρομή