Νόμος Ampere- Διανυσματικό Δυναμικό
Δομή Διάλεξης Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμων αγωγών Ο στροβιλισμός και η κλίση μαγνητικού πεδίου: ο νόμος του Ampere Εφαρμογές του Νόμου του Ampere To διανυσματικό δυναμικό Σύνοψη
Ολοκλήρωμα Μαγνητικού Πεδίου Για άπειρο ευθύγραμμο αγωγό από τον Νόμο Biot-Savart αποδείξαμε ότι: Ολοκλήρωμα κατά μήκος τυχαίου βρόχου που περικλείει τον ευθύγραμμο αγωγό (μια περιστροφή).
Ολοκλήρωμα Μαγνητικού Πεδίου Γενίκευση για πολλούς αγωγούς: Για χωρικά ρεύματα αντί για ευθύγραμμους αγωγούς: Θεώρημα Stokes Το αποδείξαμε μόνο για άπειρους ευθύγραμμους αγωγούς αλλά ισχύει γενικά
Η απόκλιση του μαγνητικού πεδίου Νόμος Biot-Savart για χωρικά ρεύματα: Από τον Νόμο Biot-Savart για χωρικά ρεύματα μπορεί να υπολογιστεί η απόκλιση (ως προς x, y, z) του μαγνητικού πεδίου: Η απόκλιση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδεν. Δεν υπάρχουν πηγές μαγνητικού πεδίου (μαγνητικά μονόπολα) εξάρτηση μόνο από x, y, z ο στροβιλισμός των πηγών είναι μηδέν (να γίνει αναλυτική απόδειξη)
Ο στροβιλισμός του μαγνητικού πεδίου: Νόμος Ampere Νόμος Biot-Savart για χωρικά ρεύματα: Από τον Νόμο Biot-Savart για χωρικά ρεύματα μπορεί να υπολογιστεί ο στροβιλσμός (ως προς x, y, z) του μαγνητικού πεδίου: Μπορεί να αποδειχτεί ότι το ολοκλήρωμα αυτού του όρου μηδενίζεται αν μηδενίζονται τα χωρικά ρεύματα στο άπειρο. +0 (παράγωγοι του J ως προς x, y, z) Νόμος Ampere (αποδείχτηκε στην γενική περίπτωση)
Νόμος Ampere: Ολοκληρωτική Μορφή Με χρήση θεωρήματος Stokes έχουμε: Γενική ολοκληρωτική σχέση που ισχύει για οποιοδήποτε ρεύμα και όχι μόνο για ευθύγραμμους αγωγούς. Παράδειγμα ευθύγραμμου αγωγού: Η θετική φορά του ρεύματος καθορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού αφού οριστεί θετική φορά διαγραφής της καμπύλης του ορίου.
Μαγνητικό Πεδίο Επιφανειακού Ρεύματος Από Νόμο Biot-Savart και από συμμετρία το μαγνητικό πεδίο είναι παράλληλο με το άπειρο επίπεδο και κάθετο στο ρεύμα. Άρα επιλέγουμε κατάλληλο Αμπεριανό βρόχο: Επίπεδο ρεύματος Αμπεριανός Βρόχος
Μαγνητικό Πεδίο Σωληνοειδούς Από Νόμο Biot-Savart και από συμμετρία το μαγνητικό πεδίο δεν μπορεί να έχει ακτινική ή αζιμουθιακή συνιστώσα. Άρα επιλέγουμε κατάλληλους Αμπεριανούς βρόχους: Για τον εξωτερικό Αμπεριανό βρόχο έχουμε: Σε μεγάλες αποστάσεις τα ρεύματα από τις δυο μεριές του σωληνοειδούς εξουδετερώνουν τις συνεισφορές τους άρα το μαγνητικό πεδίο μηδενίζεται. Άρα (αφού είναι και ανεξάρτητο της απόστασης από το σωληνοειδές) είναι παντού μηδέν. Αμπεριανός Βρόχος Για τον άλλο Αμπεριανό βρόχο έχουμε: στο εσωτερικό στο εξωτερικό
Μαγνητικό Πεδίο Τοροειδούς Από Νόμο Biot-Savart και από συμμετρία το μαγνητικό πεδίο έχει μόνο αζιμουθιακή συνιστώσα. Άρα επιλέγουμε κατάλληλο αζιμουθιακό Αμπεριανό βρόχο: στο εσωτερικό στο εξωτερικό
Μαγνητοστατική Ηλεκτροστατική (ανασκόπηση) Νόμοι Ηλεκτροστατικής: Περιέχουν νόμο Coulomb + αρχή υπέρθεσης Νόμοι Μαγνητοστατικής: Δύναμη Lorentz: Για v<<c οι ηλεκτρικές δυνάμεις υπερισχύoυν κατά πολύ των μαγνητικών (για το ίδιο φορτίο).
Διανυσματικό Δυναμικό Ανασκόπηση εισαγωγής ηλεκτρικού δυναμικού V: Αντίστοιχα για το μαγνητικό πεδίο έχουμε: διανυσματικό δυναμικό Εξίσωση για διανυσματικό δυναμικό: Ελευθερία στην επιλογή του ηλεκτρικού δυναμικού: Προσθήκη αυθαίρετης συνάρτησης με μηδενική κλίση δεν αλλάζει το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο. Συμμετρία Βαθμίδας: Ελευθερία στην επιλογή του διανυσματικού δυναμικού: Προσθήκη αυθαίρετης συνάρτησης με μηδενικό στροβιλισμού δεν αλλάζει το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο. Πχ προσθήκη της κλίσης αυθαίρετης συνάρτησης λ(r).
Βαθμίδα Coulomb Συμμετρία Βαθμίδας: Ελευθερία στην επιλογή του διανυσματικού δυναμικού: Προσθήκη αυθαίρετης συνάρτησης με μηδενικό στροβιλισμού δεν αλλάζει το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο. Πχ προσθήκη της κλίσης αυθαίρετης συνάρτησης λ(r). Έστω αρχική βαθμίδα Α 0. Εύρεση συνάρτησης λ έτσι ώστε στην νέα βαθμίδα να έχουμε:
Διανυσματικό Δυναμικό στην Βαθμίδα Coulomb Συμμετρία Βαθμίδας: Ελευθερία στην επιλογή του διανυσματικού δυναμικού: Προσθήκη αυθαίρετης συνάρτησης με μηδενικό στροβιλισμού δεν αλλάζει το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο. Πχ προσθήκη της κλίσης αυθαίρετης συνάρτησης λ(r).
Μαγνητοστατικό Βαθμωτό Δυναμικό Σε περιοχές του χώρου όπου δεν υπάρχουν ρεύματα (μηδενικός στροβιλισμός μαγνητικού πεδίου) μπορούμε να ορίσουμε το μαγνητοστατικό βαθμωτό δυναμικό ως:
Διανυσματικό Δυναμικό Σωληνοειδούς Συσχέτιση με την μαγνητική ροή: Βρόχος στο εσωτερικό: Βρόχος στο εξωτερικό:
Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.21, 5.23, 5.24, 5.25, 5.26.
Συνοριακές Συνθήκες Μαγνητικού Πεδίου Για τις κάθετες στην επιφάνεια συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου έχουμε: Για τις παράλληλες στην επιφάνεια συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου έχουμε: Άσκηση 5.31 Συνοριακές συνθήκες για διανυσματικό δυναμικό:
Συνοριακές Συνθήκες Μαγνητικού Πεδίου Συνοριακές συνθήκες για διανυσματικό δυναμικό: Ασυνέχεια για παράγωγο διανυσματικού δυναμικού: Άσκηση 5.32
Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 5.31, 5.32.
Πολυπολικό Ανάπτυγμα Διανυσματικού Δυναμικού Το διανυσματικό δυναμικό προκύπτει με ολοκλήρωση ως:
Πολυπολικό Ανάπτυγμα Διανυσματικού Δυναμικού Το διανυσματικό δυναμικό αναπτύσσεται σε μεγάλες αποστάσεις από τα ρεύματα ως: Ο μονοπολικός όρος είναι 0 αφού : Ο διπολικός όρος γράφεται ως:
Ο Διπολικός Όρος Ο διπολικός όρος γράφεται ως: Υπολογισμός Μαγνητικής Διπολικής Ροπής Μαγνητική Διπολική Ροπή
Μαγνητικό Δίπολο Πότε ό διπολικός όρος δίνει ακριβή τιμή για το διανυσματικό δυναμικό; Μαγνητικό δίπολο: άπειρο ρεύμα, απειροστά μικρή επιφάνεια βρόχου
Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 1.61, 5.33, 5.34, 5.35
Σύνοψη Από τον Νόμο Biot-Savart προκύπτει ότι η απόκλιση του μαγνητικού πεδίου είναι πάντα μηδέν. Άρα δεν υπάρχουν σημειακές πηγές μαγνητικού πεδίου (μονόπολα). Ο στροβιλισμός του μαγνητικού πεδίου είναι ανάλογος της χωρικής πυκνότητας ρεύματος (νόμος του Ampere). Η ολοκληρωτική μορφή του Νόμου του Ampere είναι χρήσιμη κυρίως σε συστήματα όπου υπάρχει συμμετρια. Το διανυσματικό δυναμικό είναι διανυσματική συνάρτηση της οποίας ο στροβιλισμός δίνει το μαγνητικό πεδίο. Αν της προσθέσουμε την κλίση μιας οποιασδήποτε βαθμωτής συνάρτησης το αντίστοιχο μαγνητικό πεδίο δεν αλλάζει (συμμετρία βαθμίδας). Στην βαθμίδα Coulomb η απόκλιση του διανυσματικού δυναμικού μηδενίζεται. Το διανυσματικό δυναμικό μπορεί να αναπτυχθεί σε πολυπολικό ανάπτυγμα και ο διπολικός όρος κυριαρχεί σε μεγάλες αποστάσεις από τις πηγές (ρεύματα).