Copyright RUNET and C. Georgiadis 2002-2016 Βιβλίο Οδηγιών
Το πρόγραμμα FRAME2Dexpress που περιγράφεται σε αυτό το βιβλίο οδηγιών, προστατεύεται από τους νόμους περί πνευματικών δικαιωμάτων και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας καθώς και από άλλους συναφείς νόμους και συμβάσεις. Παραχωρείται μόνον η άδεια χρήσης του προγράμματος σύμφωνα με τη νομοθεσία περί Προγραμμάτων Ηλεκτρονικών Υπολογιστών που ισχύει Διεθνώς και στην Ελλάδα. Σύμφωνα με τη νομοθεσία αυτή, είναι παράνομη η αντιγραφή και διανομή του προγράμματος από τρίτους εκτός τους έχοντες το Copyright. Copyright 2002-2016 Κ. Γεωργιάδης και RUNET, All rights reserved. Επιμέλεια βιβλίου οδηγιών : Greta Κ. Tenfjord Ο συγγραφέας του προγράμματος και η RUNET δεν έχουν καμιά ευθύνη για τα αποτελέσματα του προγράμματος και τον τρόπο που αυτά θα χρησιμοποιηθούν. Βιβλίο οδηγιών 2
Περιεχόμενα Γενικά...4 Σύστημα συντεταγμένων...5 Μονάδες...5 Συντεταγμένες κόμβων...5 Διατομές δοκών...6 Στοιχεία δοκών...6 Στοιχεία με αρθρώσεις...6 Στηρίξεις...7 Κομβικά φορτία...7 Κομβικές μάζες...8 Κατανεμημένα φορτία δοκών...8 Κατανεμημένες μάζες...8 Στατική ανάλυση...9 Δυναμική ανάλυση...9 Μετατοπίσεις...9 Εσωτερικές δυνάμεις δοκών...10 Διαγράμματα...10 Ιδιοσυχνότητες...10 Ιδιομορφές...10 Δισδιάστατη Εσχάρα...11 Τεύχη...12 Παράμετροι γραφικών...13 Βιβλιογραφία...13 Βιβλίο οδηγιών 3
Γενικά Πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων για στατική και δυναμική ανάλυση διδιάστατων φορέων. Το πρόγραμμα δέχεται επικόμβια φορτία και μάζες (nodal loads and nodal masses), καθώς και κατανεμημένα φορτία και μάζες στους δοκούς (element distributed loads and masses). Τα φορτία αντιστοιχούν σε μόνιμα και κινητά, η δε επίλυση γίνεται για συνδυασμό αυτών γgxfg+γqxfq. Αποτελέσματα στατικής ανάλυσης: κομβικές μετατοπίσεις εσωτερικές δυνάμεις στα άκρα των δοκών διαγράμματα μετατοπίσεων εσωτερικών δυνάμεων Αποτελέσματα δυναμικής ανάλυσης: ιδιοσυχνότητες ιδιομορφές διαγράμματα ιδιομορφών Πρόσθετες εκτυπώσεις Μητρώα ακαμψίας Εξισώσεις στατικής επίλυσης Εξισώσεις δυναμικής επίλυσης Μονάδες Μετατροπή μονάδων Εισαγωγή δεδομένων Συντεταγμένες κόμβων Διατομές δοκών Στοιχεία δοκών Στοιχεία με αρθρώσεις Στηρίξεις Κομβικά φορτία και κομβικές μάζες Κατανεμημένα φορτία στις δοκούς και κατανεμημένες μάζες Οδηγός επεξεργασίας εισαγωγής δεδομένων κόμβων και στοιχείων Βιβλίο οδηγιών 4
Σύστημα συντεταγμένων Καθολικό σύστημα συντεταγμένων Τοπικό σύστημα συντεταγμένων Μονάδες Οι μονάδες που χρησιμοποιούνται στο πρόγραμμα είναι : Μήκη, συντεταγμένες, σε m (μέτρα). Φορτία, δυνάμεις σε kn, ροπές σε kn.m, κατανεμημένα φορτία σε kn/m. Μάζες, αντί για μάζες δίνουμε αντίστοιχα βάρη σε kn ή kn/m και οι μάζες υπολογίζονται διαιρώντας με την επιτάχυνση της βαρύτητας g. (9.81m/sec²). Μέτρο ελαστικότητας σε GPa (kn/mm²). Διαστάσεις διατομών, επιλέγετε τις μονάδες (mm, cm, m) από το αντίστοιχο πλαίσιο. Συντεταγμένες κόμβων Αφού αριθμήσετε τους κόμβους, δίνετε τις συντεταγμένες κόμβων σε μέτρα (m), στο καθολικό σύστημα συντεταγμένων. Η αρίθμηση των κόμβων πρέπει να είναι μοναδική, δηλαδή οι αριθμοί κόμβων δεν πρέπει να επαναλαμβάνονται. Βιβλίο οδηγιών 5
Διατομές δοκών Δίνετε τα στοιχεία διατομής δοκών. Ομαδοποιείτε τις διατομές και αριθμείτε τις ομάδες π.χ. υποστυλώματα =1, δοκοί =2. Για κάθε ομάδα δίνετε τα στοιχεία της διατομής. Η αρίθμηση των ομάδων διατομών πρέπει να είναι μοναδική και οι διατομές δεν μπορεί να έχουν τον ίδιο αριθμό. Επιλέγετε υλικό κατασκευής (γενικά, beton, χάλυβας, ξύλο). Δίνετε το μέτρο ελαστικότητας του υλικού σε GPa (kn/mm²), (σε περίπτωση επιλογής beton, χάλυβας, ξύλο, το πρόγραμμα βάζει μία ενδεικτική μέση τιμή). Επιλέγετε τις μονάδες για τα μεγέθη της διατομής (mm, cm, m). Αν η διατομή είναι ορθογωνική δίνετε το πλάτος (b) και το ύψος (h) της διατομής και υπολογίζονται το εμβαδόν και η ροπή αδρανείας. Για μη ορθογωνική μπορεί να δώσετε, b=0, h=0, (A ) το εμβαδόν και (I) την ροπή αδρανείας, (στα στοιχεία εμβαδού και ροπή αδρανείας το σύμβολο e (E) σημαίνει δύναμη του 10, π.χ. Ε002 σημαίνει 10² και μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε στην εισαγωγή δεδομένων). Σε περίπτωση που επιλέξετε υλικό beton, σας δίνεται η δυνατότητα να δώσετε επί πλέον της ορθογωνικής διατομής, διατομή πλακοδοκού. Η επιλογή γίνεται με κλικ στην δεύτερη στήλη (διατ.). Στοιχεία δοκών Δίνετε την τοπολογία της κατασκευής, καθορίζοντας τα στοιχεία δοκούς. Για κάθε δοκό με μοναδική αρίθμηση, δίνετε τους δύο ακραίους κόμβους και τον αριθμό διατομής που έχει καθοριστεί στις ιδιότητες διατομών. Οι δύο κόμβοι Α και Β, καθορίζουν και τη διάταξη της δοκού. Η δοκός διατάσσεται με τον κόμβο Α αριστερά και τον κόμβο Β δεξιά και έτσι καθορίζεται το κάτω πέλμα της δοκού, το οποίο όταν εφελκύεται καθορίζει την θετική φορά των καμπτικών ροπών. Στοιχεία με αρθρώσεις Σε μερικές περιπτώσεις θέλετε να χρησιμοποιήσετε στοιχεία με αρθρωτή σύνδεση δεξιά ή αριστερά. Βιβλίο οδηγιών 6
Πρώτα τσεκάρετε Εμφανίζεται νέα στήλη Είδος στα δεδομένα των στοιχείων όπου επιλέγετε στοιχείο με άρθρωση αριστερά, δεξιά ή ελκυστήρα. Αν (άσχετα τι είδος στοιχεία έχετε δώσει) τσεκάρετε κανονικά στοιχεία με άκαμπτες συνδέσεις. τότε η επίλυση γίνεται για Στηρίξεις Τρόπος στήριξης της κατασκευής στο έδαφος και οι επιβαλλόμενες (αν υπάρχουν) κομβικές μετατοπίσεις. Κάνοντας κλικ στην δεύτερη στήλη (στήριξη) εμφανίζεται το παράθυρο για την επιλογή του είδους στήριξης. Για επιβαλλόμενες μετατοπίσεις, επιλέγετε την κατάλληλη στήριξη και δίνετε την μετατόπιση σε χιλιοστά ή την στροφή σε rad. Π.χ., αν σε κόμβο επιβάλλεται οριζόντια μόνο μετατόπιση 3 mm και όχι κατακόρυφη μετατόπιση, επιλέγετε την πρώτη επιλογή του μενού και δίνετε δχ=3 mm, (η στροφή εφόσον δεν καθορίζεται θα θεωρηθεί ελεύθερη, η δε κατακόρυφη μετατόπιση 0). Επιλέγοντας την τελευταία επιλογή δ=, μπορείτε να καθορίσετε τις κομβικές μετατοπίσεις σε mm και την κομβική στροφή σε rad. Κομβικά φορτία Κομβικά φορτία δυνάμεις κατά x και y κατεύθυνση σε kn και ροπή σε knm. Η θετική φορά των δυνάμεων και ροπών καθορίζεται από τη φορά του συστήματος συντεταγμένων. Συντελεστές συνδυασμού φορτίσεων, γg και γq. Η φόρτιση στην στατική ανάλυση λαμβάνεται γgxfg+γqxfq. Από default είναι γg=1.35 και γq=1.50 (Ευρωκώδικας 1, EC1). Βιβλίο οδηγιών 7
Fgx, Fqx κομβικές δυνάμεις, σε kn, κατά x-x, για μόνιμα και κινητά φορτία, θετικές από αριστερά προς δεξιά. Fgy, Fqy κομβικές δυνάμεις, σε kn, κατά y-y, για μόνιμα και κινητά φορτία, θετικές από κάτω προς τα πάνω. Mg, Mq κομβικές ροπές, σε knm, για μόνιμα και κινητά φορτία, θετικές δεξιόστροφα. Κομβικές μάζες Κομβικές μάζες (lamped masses). Για να μην υπάρχει σύγχυση στις μονάδες μαζών, αντί για μάζες πρέπει να δοθούν τα αντίστοιχα βάρη σε kn και το πρόγραμμα υπολογίζει τις μάζες διαιρώντας με 9.81 m/sec². Συντελεστές συνδυασμού μαζών, γg και γq. Η μάζα στην δυναμική ανάλυση λαμβάνεται γgxμg+γqxmq. Από default είναι γg=1.00 και γq=0.30 (Ευρωκώδικας 1, EC1). Κατανεμημένα φορτία δοκών Κατανεμημένα φορτία στα στοιχεία δοκών, μόνιμα και κινητά σε kn/m. Πέντε είδη κατανεμημένων φορτίων μπορεί να καθοριστούν και επιλέγονται από το μενού που εμφανίζεται με κλικ στο είδος (δεύτερη στήλη) του φορτίου. Τα είδη των φορτίων είναι: ομοιόμορφο κατανεμημένο, τριγωνικά κατανεμημένο με μέγιστο φορτίο στο δεξιά ή αριστερά άκρο του στοιχείου, συμμετρικό τριγωνικό και παραβολικό κατανεμημένο. Η κατεύθυνση του φορτίου, κάθετα στον άξονα της δοκού, κατακόρυφο, οριζόντιο, καθορίζονται από το μενού που εμφανίζεται με κλικ στην τελευταία στήλη. Επιπλέον μπορεί να καθοριστούν οι συντελεστές συνδυασμού φορτίσεων, γg και γq. Η φόρτιση στην στατική ανάλυση λαμβάνεται γgxfg+γqxfq. Από default είναι γg=1.35 και γq=1.50 (Ευρωκώδικας 1, EC1). Προσοχή, στη σελίδα μάζες στοιχείων μπορείτε να καθορίσετε αν το ίδιο βάρος των στοιχείων συμπεριλαμβάνεται στα κατανεμημένα φορτία των στοιχείων της κατασκευής. Κατανεμημένες μάζες Κατανεμημένες μάζες στα στοιχεία δοκών. Για να μην υπάρχει σύγχυση στις μονάδες μαζών, αντί για μάζες πρέπει να δοθούν τα αντίστοιχα κατανεμημένα βάρη σε kn/m και το πρόγραμμα υπολογίζει τις κατανεμημένες μάζες στις δοκούς διαιρώντας με 9.81 m/sec². Συντελεστές συνδυασμού μαζών, γg και γq. Η μάζα στην δυναμική ανάλυση λαμβάνεται γgxμg+γqxmq. Από default είναι γg=1.00 και γq=0.30 (Ευρωκώδικας 1, EC1). Βιβλίο οδηγιών 8
Αν τσεκαριστεί το πλαίσιο Ιδιο βάρος στοιχείων σε φορτία και μάζα, τότε το κατανεμημένο φορτίο λόγω ιδίου βάρους των στοιχείων (δοκών) θα συμπεριληφθεί στα κατακόρυφα φορτία της στατικής ανάλυσης και στις μάζες της δυναμικής ανάλυσης. Το φορτίο αυτό υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το εμβαδόν της αντίστοιχης διατομής με το ειδικό βάρος του υλικού. Στατική ανάλυση Τα βήματα υπολογισμού εμφανίζονται στην οθόνη με τους αντίστοιχους χρόνους. Πρώτα κατασκευάζονται τα 6x6 μητρώα ακαμψίας των στοιχείων, χρησιμοποιώντας γραμμική ελαστική θεωρία και κάθε ένα τοποθετείται κατάλληλα, στο ολικό μητρώο ακαμψίας της κατασκευής (matrix assembling) το οποίο έχει διαστάσεις 3Νx3B, όπου Ν είναι ο αριθμός κόμβων της κατασκευής και Β είναι η μεγίστη διαφορά κόμβων μεταξύ άκρων δοκών, (bandwidth). Εν συνεχεία τα φορτία στους δοκούς μετατρέπονται σε ισοδύναμα κομβικά φορτία και προσθέτονται στα υπάρχοντα κομβικά φορτία και έτσι προκύπτει το δεξιά μητρώο φορτίσεων στην τελική εξίσωση. Οι συνθήκες στηρίξεων εφαρμόζονται μεταβάλλοντας το μητρώο ακαμψίας καθώς και το μητρώο φόρτισης. Το τελικό σύστημα εξισώσεων επιλύεται με τη gauss elimination μέθοδο και προκύπτουν οι κομβικές μετατοπίσεις και οι άγνωστες αντιδράσεις. Από τις κομβικές μετατοπίσεις προκύπτουν οι μετατοπίσεις στα άκρα κάθε στοιχείου (δοκού), οι οποίες πολλαπλασιαζόμενες με το μητρώο ακαμψίας του αντίστοιχου στοιχείου δίνουν σαν αποτέλεσμα τις εσωτερικές δυνάμεις στα άκρα του στοιχείου (δοκού). Από τις εσωτερικές δυνάμεις στα άκρα κάθε στοιχείου (δοκού) και την ενδιάμεση φόρτιση της δοκού προκύπτουν τα διαγράμματα καμπτικών ροπών, διατμητικών και αξονικών δυνάμεων. Δυναμική ανάλυση Τα βήματα υπολογισμού εμφανίζονται στην οθόνη με τους αντίστοιχους χρόνους. Πρώτα κατασκευάζονται τα 6x6 μητρώα ακαμψίας και μάζας των στοιχείων. Για το μητρώο ακαμψίας χρησιμοποιείται γραμμική ελαστική θεωρία, για δε το μητρώο μάζας χρησιμοποιείται consistent δημιουργία. Κάθε ένα από τα μητρώα ακαμψίας και μάζας τοποθετούνται κατάλληλα, στα ολικά μητρώα ακαμψίας και μάζας της κατασκευής (matrix assembling) τα οποίο έχουν διαστάσεις 3Νx3B, όπου Ν είναι ο αριθμός κόμβων της κατασκευής και Β είναι η μεγίστη διαφορά κόμβων μεταξύ άκρων δοκών, (bandwidth). Η μητρωική δυναμική εξίσωση επιλύεται για την εύρεση ιδιοσυχνοτήτων, με τη γενικευμένη μέθοδο του Jacobi. Μετατοπίσεις Η ρύθμιση των χρωμάτων, των παχών των γραμμών καθώς και ο αριθμός ενδιάμεσων σημείων υπολογισμού των διαγραμμάτων γίνεται από το μενού Παράμετροι γραφικών. Αν δεν θέλετε να εμφανίζονται αριθμοί κόμβων και στοιχείων στα διαγράμματα επιλέξτε γι αυτά χρώμα άσπρο. Βιβλίο οδηγιών 9
Εσωτερικές δυνάμεις δοκών Δυνάμεις στα άκρα δοκών και εσωτερικές δυνάμεις Διαγράμματα Η ρύθμιση των χρωμάτων, των παχών των γραμμών καθώς και ο αριθμός ενδιάμεσων σημείων υπολογισμού των διαγραμμάτων γίνεται από το μενού Παράμετροι γραφικών. Αν δεν θέλετε να εμφανίζονται αριθμοί κόμβων και στοιχείων στα διαγράμματα επιλέξτε γι αυτά χρώμα άσπρο. Ιδιοσυχνότητες Οι ιδιοσυχνότητες (Hz) και οι ιδιοπερίοδοι (sec) της κατασκευής προκύπτουν μετά τη δυναμική ανάλυση. Ιδιομορφές Οι ιδιομορφές της κατασκευής προκύπτουν μετά τη δυναμική ανάλυση. Βιβλίο οδηγιών 10
Δισδιάστατη Εσχάρα Δημιουργία ή άνοιγμα αρχείου εσχάρας από το μενού του προγράμματος Αρχείο/Αρχείο [Εσχάρα]. Τα αρχεία έχουν κατάληξη *.GRID2DexpressData. X,Y συντεταγμένες και δεδομένα στοιχείων όπως και στις πλαισιακές κατασκευές. Σύστημα συντεταγμένων όπως στην παρακάτω εικόνα, X, Y συντεταγμένες στο επίπεδο της εσχάρας, Z συντεταγμένη κάθετα στο επίπεδο της εσχάρας. Στηρίξεις 1 : Z κίνηση μηδενική dz = 0 2,3 : Πάκτωση. Όλες οι μετακινήσεις και στροφές μηδενικές. 4 : Κατακόρυφη μετακίνηση και στροφή περί x-άξονα μηδενικές. dz = 0, drx = 0, χρησιμοποιήστε αυτή τη συνθήκη στήριξης για οριζόντιους δοκούς με παρεμποδιζόμενη τη στρέψη στις στηρίξεις. 5 : Κατακόρυφη μετακίνηση και στροφή περί y-άξονα μηδενικές. dz = 0, dry = 0 χρησιμοποιήστε αυτή τη συνθήκη στήριξης για κατακόρυφες δοκούς με παρεμποδιζόμενη τη στρέψη στις στηρίξεις. Για την επίλυση της εσχάρας το μέτρο διάτμησης λαμβάνεται 0.40 του μέτρου Ελαστικότητας, G=0.40xE Για κομβικά φορτία στη Z κατεύθυνση προς τα κάτω δώστε αρνητικό (-) πρόσημο. Φορτία στοιχείων με θετικό (+) πρόσημο θεωρούνται προς τα κάτω. Η διαστασιολόγηση οπλισμένου σκυροδέματος, χάλυβα ή ξύλου περιλαμβάνει και διαστασιολόγηση έναντι στρέψης. Η δημιουργία εσχάρας είναι ενεργή στην έκδοση FRAME2Dexpress + EC Design. Βιβλίο οδηγιών 11
Τεύχη Με την προεπισκόπηση ή εκτύπωση τευχών παρουσιάζεται το παράθυρο με το αντίστοιχο τεύχος. Με τα κουμπιά κάτω αριστερά επιλέγετε εκτύπωση, διάσωση σε αρχείο ή μεταφορά του τεύχους σε κείμενο word. Στο παράθυρο Παράμετροι γραφικών μπορεί να καθοριστεί ο αριθμός των εκτυπούμενων ιδιομορφών. Το μέγεθος και το είδος της γραμματοσειράς των τευχών, καθώς επίσης και τα περιθώρια εκτύπωσης, καθορίζονται στο μενού Διαμόρφωση τεύχους. Παράδειγμα εκτύπωσης Βιβλίο οδηγιών 12
Παράμετροι γραφικών Ρύθμιση παραμέτρων εμφάνισης και εκτύπωσης γραφικών. Σημεία διαγραμμάτων ανά στοιχείο. Ο αριθμός καθορίζει το πλήθος των σημείων ανά στοιχείο (δοκό) στα οποία υπολογίζονται και σχεδιάζονται τα διαγράμματα. Για επιλογή χρωμάτων και παχών γραμμών των διαγραμμάτων, επιλέγετε στο πλαίσιο αριστερά το αντικείμενο, π.χ. Διαγρ. μετατοπίσεων και στα τρία πλαίσια δεξιά κάνετε κλικ στο αντίστοιχο xρώμα και πάχος γραμμής. Η επιλογή κατασκευή είναι για το πρώτο διάγραμμα της κατασκευής. Η επιλογή Διαγρ. κατασκευή είναι για την κατασκευή στα διαγράμματα. Η επιλογή κάνναβος εμφανής είναι για να εμφανίζεται ο κάνναβος 1.00mx1.00m στο σχέδιο της κατασκευής. Το χρώμα και το πάχος γραμμής του καννάβου ρυθμίζεται με την επιλογή εσχάρα καννάβου. Με την επιλογή εκτυπούμενες ιδιομορφές επιλέγετε την περιοχή από μέχρι των ιδιομορφών που εκτυπώνονται στον εκτυπωτή (εκτυπώνονται μέχρι 8 ιδιομορφές ανά σελίδα). Βιβλιογραφία Bathe K. J., Wilson E. L.,"Numerical methods in finite element analysis", Prentice-Hall, Inc., 1976. Gallagher R. H., "Finite element analysis, fundamentals", Prentice-Hall, Inc.,1975. Ghali A., Neville A. M., "Structural analysis a unified clasical and matrix approach", Chapman and Hall, 1978. Huebner K.H, "The finite element method for engineers", John Wiley and Sons, 1975. Jennings A., "Matrix computation for engineers and scientists", John Wiley and Sons, 1977. Meek J. L., "Matrix structural analysis", McGraw-Hill, 1971. Zienkiewicz O.C., " The finite element method in engineering science". 2nd Ed. McGraw-Hill, 1971. Βιβλίο οδηγιών 13