ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Η κοινή ρίζα των εξισώσεων αυτών είναι μ =. Επομένως το Ρ(χ) είναι

1 2-1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Οι παραστάσεις -χ 3 +1 και -χ 3 +3α 2 χ-3αχ 2 +α 3 είναι πολυώνυμα του χ,ενώ οι παραστάσεις χ + και χ 4-2χ ι/3 + 4χ- 1 δεν είναι πολυώνυμα του χ. 2. i) P(x) + Q(x) = x 2-5x + 2 + x 3 + 3x + 1 = χ 3 + χ 2-2χ + 3 ii) 2P(x)-3Q(x) = 2(x 2-5x + 2)-3(x 3 + 3x + 1) = 2χ 2-10χ + 4-3χ 3 9χ-3 = -3χ 3 + 2χ 2-19χ+ 1 iii) Ρ(χ) Q(x) = (χ 2-5χ + 2)(χ 3 + 3χ + 1) = χ 5-5χ 4 + 2χ 3 + 3χ 3-15χ 2 + 6χ + χ 2-5χ + 2 = Χ 5-5Χ 4 + 5χ 3-14Χ 2 + Χ + 2 iv) Ρ(χ)] 2 = (χ 2 5χ + 2) 2 = χ 4 + 25χ 2 + 4 10χ 3 + 4χ 2 20χ = χ 4-10χ 3 + 29χ 2-20χ + 4. 3. Για να είναι το Ρ(χ) το μηδενικό πολυώνυμο αρκεί 4μ 3 -μ = 0 και μ 2 --^-=0 και -2μ + 1 = 0 1 Η κοινή ρίζα των εξισώσεων αυτών είναι μ =. Επομένως το Ρ(χ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο αν μ= -γ. 4. Από τον ορισμό της ισότητας δύο πολυωνύμων αρκεί α 2-3α =-2 και 1=α 2 και α 3-1 =0 και α = 1 ή α 2-3α+ 2 = 0 και α 2-1 = 0 και α 3-1 = 0 και α= 1. Η κοινή ρίζα αυτών είναι α = 1, που είναι η ζητούμενη τιμή του α. 5. i).'εχουμε Ρ(- 1) = 2(-Ι) 3 3( 1) 2 + 2(- 1) + 7= -2-3-2 + 7 = 0, οπότε το -1 είναι ρίζα του Ρ(χ). Ρ(1) = 2 1 3-3 1 2 + 2 1 + 7 = 8, οπότε το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(χ). ii) Ομοίως έχουμε Q( 1) = ( 1) 4 +1= 1 + 1= 0, οπότε το - 1 είναι ρίζα του Q(x). Q(l)= 1 4 +1 = 1 + 1 =0, οπότε το 1 είναι ρίζα του Q(x). Q(3)= - 3 4 + 1 = - 80^0, οπότε το 3 δεν είναι ρίζα του Q(x). 6. Για να είναι το 2 ρίζα του Ρ (χ) αρκεί Ρ(2) = 0 2 3 k 2 2 + 5 2+ k = 0 <=> 3k + 18 = 0 <=> 3k= 18 <=> k = 6 68

7. Έχουμε P(-l)=l 5( 1) 2 + 3α(- 1) + α 2-2 = 1 <=> α 2-3α + 2 = 0 <=> α = 1 ή α = 2. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε f(x) = ax(x + 1) + βχ + γ = αχ 2 + (α + β)χ + γ Για να παίρνει το 3χ 2-7χ + 5 τη μορφή αχ 2 + (α + β)χ + γ αρκεί τα δύο αυτά πολυώνυμα να είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι α = 3, α + β=-7και γ = 5, οπότε α = 3, β = 10 και γ = 5 2. Το -2 είναι ρίζα του Ρ(χ) αν και μόνο αν Ρ( - 2) = 0 3(-2) 3 + α(-2) 2 + β(-2)-6 = 0 <=> - 24 + 4α - 2β - 6 = 0 «4α - 2β = 30 2α-β = 15 (1) Το 3 είναι ρίζα του Ρ(χ) μόνο αν Ρ(3) = 0 <=> 3 3 3 + α 3 2 + β 3-6 = 0 <=> 81+9α + 3β-6 = 0 <=> 27 + 3α + β-2 = 0 ο 3α + β= - 25 (2) Από τις (1) και (2) βρίσκουμε α= - 2, β = 19 3. Το 1 είναι ρίζα του Ρ(χ) αν και μόνο αν Ρ(1) = 0 ο 2+λ+μ+6=0» λ + μ=-8 (1) Ακόμη Ρ( 2)= 12 <=> 2(-2) 3 + λ( 2) 2 + μ(-2) + 6= 12 <=* 16 + 4λ 2μ + 6= 12 <=> 4λ - 2μ = - 2 «2λ μ = 1 (2) Από (1) και (2) παίρνουμε λ=-3 και μ=-5. 4. Το πολυώνυμο Ρ(χ) γράφεται Ρ(χ) = λ(9λ 2-4)χ 3 + (9λ 2-4)χ - (3λ - 2) = λ(3λ - 2)(3λ + 2)χ 3 + (3λ - 2)(3λ + 2)χ - (3λ - 2) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 2 2 ί) Αν λ = 0 και λ = και λ = -, τότε ο βαθμός του πολυωνύμου Ρ(χ) είναι 3. ii) Αν λ = 0, τότε Ρ(χ) = - 4χ + 2 και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 1. 69

7 iii) Αν λ =, τότι: Ρ(χ) = 0, είναι δηλαδή το μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό. 2 iv) Αν λ =, τότε Ρ(\) = 4, είναι δη/.αδή ένα σταθερό πολυώνυμο και επομένως έχει βαθμό μηδέν. 5. Είναι φανερό ότι ο βαθμός του Ρ(\) είναι 2. Έστω Ρ(χ) = αχ 2 4-βχ 4 γ. Τότε έχουμε: (2x4 1)(αχ 2 4-βχ + γ) = 2χ, -9χ 2-3χ4- I <=* 2αχ ' + 2βχ 2 + 2γχ 4 αχ 2 Η βχ 4 γ = 2χ 3-9χ 2-3χ 4 1 ο 2αχ! 4 (2β 4 α)χ : 4(2γ4 β)χ4 γ = 2χ 3-9χ 2-3χ + I 2α = 2, 2β + α= 9, 2γ + β=-3 KUI γ = 1 <=» α= 1. β= -5, γ = 1 Είναι επομένως Ρ(χ) = χ 2 5x4- I. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.2 Α ΟΜΑΛΑΣ i. 3χ ' 4 6χ 2-17χ 4 20 Χ4 3-3χ 5-9χ 2 3Χ 2-3Χ-8-3χ 2-17x420 4 3χ 2 4 9χ - 8χ 4 20 8 χ 4 24 44 Επομένως 3χ' 4 6χ 2-17χ + 20 = (χ 4 3)(3χ 2-3χ - 8)4 44 ii) χ -81 χ 4 + 3χ' 3χ 1-81 3χ'' 4 9χ 2 9χ : -81-9χ Γ 4 27χ 27χ -81-27χ 4 81 χ 3 χ'+ 3χ 2 4 9χ 4 27

Επομένως χ 4-81 =(χ 3)(χ' + 3χ 2 + 9χ + 27). iii) 24χ 5 + 20χ - Ι6χ 2-15 6χ 2 + 5-24χ 5-20χ 3 - ' - τ - 16χ 2-15 16χ 2 - I 5 ~ 3 ο Επομένως 24χ 5 + 20χ 3-16χ 2-15 = (6χ 2 + 5)(4\ 3 ) - iv) 2χ 4 + 4χ 3-5χ 2 + 3χ 2 2χ 4 4χ 3 + 6χ 2 χ + 3χ - 2 - χ 2-2χ + 3 χ+ i χ' + 2χ-3 2χ 2 + 1 Επομένως 2χ 4 + 4χ'- 5χ 2 + 3χ- 2 = (χ 2 + 2χ-3)(2χ 2 + 1) + χ + I ν) Είναι (χ - 1)' = χ 3-3χ 2 f 3χ - 1 οπότε - χ 4 + 3χ- - 3χ 2 + χ 3χ'-3χ 2 + χ - 3χ 3 + 9χ 2-9χ + 3 6Χ 2-8Χ + 3 χ 3-3χ 2 + 3.x - I χ + 3 Επομένως χ 4 = (χ 3-3χ 2 + 3χ - Ι)(χ + 3) + 6\ 2-8χ + 3 = (χ- 1)'(χ + 3) + 6χ 2-8χ + 3 vi) χ -χ 5 + χ 2 λ-1 i Επομένως χ 5 + 7 = (χ 3-1)χ 2 + χ 2 + 7 2. Έστω Ρ(χ)= 18χ 80-6χ 50 + 4χ 20-2. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ=ρ(-1) = 18-6 + 4-2= 14 3. Το χ - 1 είναι παράγοντας του g(x) αν και μόνο αν το 1 είναι ρίζα του g(x), δηλαδή μόνο αν g( I) = 0» k 2 + 3k-4 = 0 «=> k = 1 ή k = - 4

4. i) Με το σχήμα Horner έχουμε m -1 0 75-250 ρ = - 10 10-100 250-1 10-25 0 Επομένως το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι π(χ)= -χ 2 + 10χ-25 και υ = 0 αντιστοίχως. ii) Ομοίως έχουμε 1 0 0 512 ρ= -8 β vzvy/s -8 64-512 1-8 64 0 Επομένως το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι π(χ) = χ 2-8χ + 64 και υ = 0 αντιστοίχως. iii) Ομοίως έχουμε 1 0 0 0 0 1 ρ = 1 t H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Επομένως το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι n(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x +1 και υ = 2 αντιστοίχως. iv) Ομοίως έχουμε -3 0 0 0 0 ρ = 2-6 -12-24 -48-3 -6-12 -24-48 72

Επομένως το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι π(χ)= -3Χ 3-6Χ 2-12Χ-24 και υ=-48 αντιστοίχως. ν) Ομοίως έχουμε 4 16-23 -15 ρ = - 1/2 ϋ ΐ -2-7 15 4 14-30 0 Επομένως το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι π(χ) = 4χ 2 + 14χ-30 και υ = 0 αντιστοίχως. 5. Το σχήμα του Horner για το Ρ(χ) και για ρ = -11 δίνει: Β -2-2 - 1 2409 ρ= 11 22-220 2431-2 20-221 4840 Επομένως Ρ(- 11) = 4840. 6. i) Για ρ = -3 έχουμε 1 0-25 0 144 m I II CL β -3 9 48 1-3 -16 48 0 Δηλαδή Ρ( 3) = 0. Επομένως το χ + 3 είναι παράγοντας του Ρ(χ). ii) Για ρ= έχουμε 16-8 9 14-4 ρ =1/4 Β 4-1 2 4 16-4 8 16 0 Δηλαδή ρ(-^-) = 0, επομένως το χ - είναι παράγοντας του Ρ(χ). iii) Για ρ = 1 + V3 έχουμε 73

1-3 0 2 ρ = 1 + \β hip 1 +V3 1-V3-2 1-2 + V3 1-V3 0 Δηλαδή P(1 + V3) = 0, επομένως το χ-ι-χ/3 του Ρ(χ). είναι παραγοντας 7. Θεωρούμε τα χ ν -y ν και x + y ως πολυώνυμα του χ. Αν P(x) = x v -y v, τότε για ρ= -y παίρνουμε: Ρ(ρ) = Ρ(- y) = ( - y) v - y v = y v - y v = 0,- αφού ν άρτιος. Επομένως το x-p=x+y είναι παράγοντας του P(x) = x v -y v. 8. i) Έχουμε Ρ(ρ) = 4ρ 4 + 7ρ 2 + 12>0, για κάθε pelr. Επομένως Ρ(ρ)*0 για κάθε pelr, που σημαίνει ότι το Ρ(\) δεν έχει πραγματική ρίζα ή αλλιώς το Ρ(χ) δεν έχει παράγοντα της μορφής χ-ρ. ii) Για κάθε pelr έχουμε Q(p)= -- 5ρ - 3ρ"~ 4<0. Επομένως Q(p)= 0 για κάθε pefr, που σημαίνει ότι to Q(x) δεν έχει παράγοντα της μορφής χ-ρ. 9. Έστω Ρ(χ) = χ ν + 1, τότε Ρ(- 1) = (- 1) ν ι 1 1 + 1=0 αφού ο ν είναι περιττός φυσικός. Αυτό σημαίνει ότι όταν το ν είναι περιττός, τότε το χ + 1 είναι παράγοντας του χ ν + 1. Το σχήμα Horner με διαιρετέος το x v + 1 και διαιρέτη το χ + 1 δίνει: Β 1. 0 0 0 0 1 ρ - ι - 1 1-1 1 -- 1 1-1 1-1 1 0 Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης (χ ν +1):(χ+1) είναι το π(χ) = χ ν 1 -χ ν 2 + χ ν '-... + 1 ενώ το υπόλοιπο είναι υ = ϋ. Τέλος η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται χ 1 + 1 = (χ + 1 )(χ ν + \ " -...+ 1) 10. iii) Θεωρούμε διαιρετέο και διαιρέτη ως πολυιόνυμα του χ και κάνου- 3χ 2-2αχ-8α" χ-2α -3χ 2 + 6αχ 3χ + 4α 4αχ-8α : -4αχ + 8α 2 0 74

ii) Θεωρούμε διαιρετέο και διαιρέτη ως πολυώνυμα του χ, και κάνουμε τη διαίρεση: χ + αχ' -αχ -α -χ 3 - αχ : α "χ - α α : χ + α ' 0 χ + α χ α 1$ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν το ν είναι παράγοντας του μ, δηλαδή μ = ρν, pefn, τότε έχουμε χ" - α" = χ ρν -α ρν = ( χτ-(ατ = (χ ν α ν )[(χ ν ) ρ ' + (χ )" : α ν +... + (α ν ) ρ '] = (χ ν -α ν )(χ ν1ρ " " + χ ν "' : 'α ν +... + α ν "' "). Επομένως το χ μ --α μ διαιρείται με το χ ν α. 2. ί) Έστω π(χ) το πηλίκο και υ(χ) το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ): <αχ + β). Τότε έχουμε Ρ(χ) = (αχ + β)π(χ) + υ(χ) Επειδή ο διαιρέτης αχ + β είναι 1ου βαθμού το υπόλοιπο θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο. Έστω υ(χ) = υ. Τότε έχουμε: Ρ(χ) = (αχ + β)π(χ) + υ Για χ= α παίρνουμε p (-^-) = ( - a v + P W _^' + l) ~ υ = ρ ( " α ) ii) Το πολυώνυμο Ρ(χ) = αχ' + β διαιρείται με το αχ + β αν και μόνο αν β\ λ _/ ρ α ' ν α ' β <=> - ^ u +β = 0 <=» -β' + α β = 0 > = ρ( ) = 0 <=> α(- ) +β = 0. y «β(α : -β) = 0 3. Για το Ρ(χ) και για ρ = 1 έχουμε. <=> β = 0 ή α^β 2 <=> β = Ο ή α = β ή α=-β 7s

75 2-6 5-3 2 Ρ = ι 2-4 1-2 2-4 1-2 0 οπότε ρ(χ) = (χ - 1 )(2χ 3-4χ 2 + χ - 2). Για το π(χ) = 2χ 3-4χ 2 + χ -2 και για ρ = 2 έχουμε 2-4 1-2 ρ = 2 4 0 2 2 0 1 0 οπότε π(χ) = (χ-2)(2χ 2 + 1). Έτσι έχουμε P(x) = (x- 1)(χ-2)(2χ 2 + 1). Αυτό σημαίνει ότι το Ρ(χ) διαιρείται με το (χ - 1 )(χ 2) και το πηλίκο της διαίρεσης είναι το 2χ 2 + 1. 4. Έχουμε 2χ 3 + 3χ 2 + χ = χ(2χ 2 + 3χ + 1) = 2χ(χ+ 1)(χ + -y). Για το πολυώνυμο Ρ(χ) είναι: Ρ(0) = (0 + 1) 2ν 0 2ν 2-0-1 = 1-1=0, οπότε το χ-0 = χ είναι παράγοντας του Ρ(χ). Ρ( 1) = ( 1 + 1) 2ν -(-1) 2ν -2(-1)-1 = -1+2-1=0, οπότε το χ + 1 είναι παράγοντας του Ρ(χ). 2 ' 2 1 \2ν / 1 ^2ν = ( ) -( ) + 1-1 =0, οπότε και το χ+ είναι παρά- ~2> γοντας του Ρ(χ). ν 5ο Για να είναι το (χ - I) 2 παράγοντας του Ρ(χ) αρκεί το (χ - 1) να είναι παράγοντας και του Ρ(χ) και του πηλίκου π(χ) της διαίρεσης Ρ(χ): (χ - 1), δηλαδή αρκεί Ρ(1) = 0 και π(1) = 0. Έχουμε λοιπόν Ρ(1) = 0 <=> α + β + 1 =0 β = - 1 - α. (1) To Ρ(χ) τότε γράφεται

Ρ(χ) = αχ ν+1 - (1 + α)χ ν + 1 = αχ ν+ι -αχ ν -χ ν + 1 = αχ ν (χ- 1) (χ ν 1) = αχ ν (χ- 1)-(χ- 1)(χ ν ~' + χ ν ~ 2 +... + χ + 1) (χ 1)(αχ ν χ ν ~ 1 χ ν ~ 2... χ 1) Έτσι είναι π(χ) = αχ ν -χ ν_ι -... - χ- 1 και επομένως π(1) = 0 <=> α- 1 1 -... - 1-1 =0 ο α-ν = 0 <=> α = ν. Τότε, λόγω της (1), είναι β = 1 ν. ΛΥΣΕΙΣ 2.3 Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Καθεμιά από τις εξισώσεις διαδοχικά γράφεται: i) 5X 4-6X 2 = 0» Χ 2 (5Χ 2-6) = 0 <=> x = 0 ή χ = V6/5 ή χ = -λ/ό/5. ii) χ 3 + 2χ 2-9χ-18 = 0 ο χ 2 (χ + 2)-9(χ + 2) = 0 <=> (χ + 2)(χ 2-9) = 0 <=> (χ + 2)(χ - 3)(χ + 3) = 0 <=> χ = -2 ή χ = 3 ή χ = -3 iii) 3χ 5 + 5χ 4 = 3χ 3 + 5χ 2 <=> 3χ' + 5χ 4-3χ 3-5χ 2 = 0 <=> 3χ 3 (χ 2-1) + 5χ 2 (χ 2-1) = 0 «χ 2 (χ 2-1)(3χ + 5) = 0 ** χ = 0 (διπλή) ή χ = 1 ή χ = -1 ή χ = iv) χ 6 64 = 0 <=> χ 6 2 6 = 0 (χ 3-2 3 )(χ 3 + 2 3 ) = 0 φ=> (χ-2)(χ 2 + 2χ + 4)(χ + 2)(χ 2-2χ + 4) = 0 φφ χ = 2 ή χ=-2 αφού τα τριώνυμα χ 2 + 2χ + 4 και χ 2-2χ + 4 δεν έχουν ρίζες. ν) Χ 3 + Χ 2-2 = 0 x 3 + x 2 1 1 =0 <=φ (χ- 1)(χ 2 + χ + 1) + (χ 1)(χ + 1) = 0 <=> (χ 1)(χ 2 + 2χ + 2) = 0 *=> χ= 1, αφού το τριώνυμο χ 2 + 2χ + 2 δεν έχει ρίζες. vi) x 3 7x + 6 = 0 «=> χ 3 -χ-6χ + 6 = 0 <=» χ(χ 2 1) 6(χ 1) = 0 <=> χ(χ- 1)(χ+ 1)-6(χ- 1) = 0 <=» (χ-1)(χ 2 + χ-6) = 0 <=> (χ 1)(χ 2)(χ + 3) = 0 <=» χ= 1 ή χ = 2 ή χ=-3. 77

vii) (χ + 1 ) 3 + 1 - Ο (χ + 1) 3 1 <=> χ + 1 = 1 <=> χ 2 viii) 7(3x + 2)~(1 - x)? - (3x + 2)(1 -x) 3 = 0 ^ (3x + 2)( 1 - x) ; 7(3x + 2) - (1 - χ)] = 0 «(3x + 2)(x - l) : (22x4 13) = 0 ο x^ ή χ = 1 ή χ = - 13 22 ix) χ 3 + 8 = 7(x 2 + 5x + 6) + 9x : - 36 «=> (x + 2)(x : 2x f 4) = 7(x + 2)(x + 3) f9(x-2)(x + 2) 4=> (χ + 2)[χ 2-2x + 4-7x - 21-9x + 18] = 0 <=> (x + 2)(x 2 18x + 1) = 0 <=> χ = --2 ή χ = 9 + 4V5 ή χ = 9-4\ί5. χ) χ'-3χ 3 + 6χ-4 = 0 <=» χ 4-2 3χ(χ 2-2) = 0 <=> (χ 2-2)(χ : + 2) - 3χ(χ : -2) = () <=> (Χ 2-2)(Χ 2-3Χ + 2) = 0 «(χ-/2)(χ+/2χ χ -ΐχ χ -2)=0 <=> χ = V2 ή χ = Λ/2 ή χ = 1 ή 2. ϊ) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες ±1, ±2 του σταθερού όρου 2. Με το σχήμα Horner για ρ = 1 και ρ = - 1 βρίσκουμε Ρ(1)= 1 Φθ και Ρ(- 1)= - 3 ^=0, οπότε οι 1 και - 1 δεν είναι ρίζες της εξίσωσης, ενώ για ρ = 2 έχουμε: 1-3 1 2 ρ = 2 ϋ^ 2-2 -2 1-1 - 1 0 Είναι δηλαδή Ρ(2) = 0, οπότε το 2 είναι ρίζα της εξίσωσης. Τέλος για ρ = - 2 βρίσκουμε Ρ(-2) = 20=^0, οπότε το -2 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η μόνη ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι το 2. ii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±1, ±2, ±4. Με το σχήμα Horner για ρ = 1 έχουμε

3 8-15 4 ρ= 1 m 3 11-4 3 11-4 0 Δηλαδή το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η εξίσωση γράφεται: (χ- 1)(3χ 2 + 11 χ 4) = 0 <=> χ 1=0 ή 3χ 2 + 11χ-4 = 0 ο χ=1 ή χ= -4 ή χ = Επομένως οι ακέραιες ρίζες είναι οι 1 και -4. iii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Με το σχήμα του Horner βρίσκουμε ότι οι ±1,2 δεν είναι ρίζες, ενώ για ρ = - 2 το σχήμα του Horner δίνει: 1 3 1 0-10 -12 ό ii i to -2 4 12 1-2 -6 0 Δηλαδή το - 2 είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η εξίσωση γράφεται: (χ+ 2) (Χ 2-2Χ-6) = 0 <=> χ + 2 = 0 ή χ 2-2χ-6 = 0 «=> χ = - 2 ή χ = 1 -V7 ή x=l+v7. Επομένως η μόνη ακέραια ρίζα είναι το -2. ίν) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ±1, ±2, ±3, ±6. Επειδή όμως οι συντελεστές της εξίσωσης είναι όλοι θετικοί, οι θετικές ρίζες αποκλείονται. Για το λόγο αυτό δοκιμάζουμε μόνο για αρνητικές ρίζες. Το σχήμα Horner για ρ = - 1 δίνει: 1 2 7 6 ρ = -1 ϋ ϋ -1-1 -6 1 1 6 0 Δηλαδή το - 1 είναι ρίζα της εξίσωσης. Επομένως η εξίσωση γράφεται: (Χ + l)(x 2 + x + 6) = 0 <=> χ + 1 = 0, αφού το χ 2 + χ + 6 έχει Δ = 23<θ <=> χ = - 1. 79

Επομένως η μόνη ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι το -1. 3. I) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ±1, ±2. Αν θέσουμε Ρ(Χ) = Χ 4 + 3 Χ - 2, θα είναι Ρ ( 1 ) = 2 * 0, Ρ ( - 1 ) = - 4 * 0, Ρ ( 2 ) = 2 0 * 0 και Ρ(-2) = 8*0. Επομένως η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες. ii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι: ±1, ±5. Αν θέσουμε Ρ(χ) = 2χ 4-3χ 3 + 6χ 2-24χ + 5 και υπολογίσουμε τα Ρ(1), Ρ( 1), Ρ(5), Ρ(-5), βρίσκουμε ότι κανένα από αυτά δεν είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες. 4. i) Έχουμε x 3 + 2x 2 + 3x + 6>0 & χ 2 (χ + 2) + 3(χ + 2)>0 (χ + 2)(χ 2 + 3)>0 «= χ + 2>0, αφού χ 2 + 3>0 για κάθε xeir <=> χ> -2. ii) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου Ρ(χ) = χ 4-6χ 3 + 22χ 2-30χ +13 είναι ±1, ±13. για ρ = 1 έχουμε Με το σχήμα Horner m 1-6 22-30 13 ρ=1 1-5 17-13 1-5 17-13 0 οπότε P(x) = (x- 1)(χ 3-5χ 2 + 17χ- 13). Ομοίως για το πολυώνυμο π(χ) = χ 3-5χ 2 + 17χ- 13 και για ρ = 1 έχουμε: 1-5 17-13 ρ = 1 1-4 13 1-4 13 0 οπότε π(χ) = (χ- 1)(χ 2-4χ+ 13) και η ανίσωση γράφεται: (χ- 1) 2 (χ 2-4χ + 13)^0 <=> (χ- 1) 2^0, [αφού χ 2-4χ+ 13>0 <=> χ= 1. Αρα η ανίσωση έχει μοναδική λύση την x = 1. 80

iii) Έχουμε x 3-3x + 2<0 «x 3 -X-2X + 2<0 ο x(x 2 - l)-2(x- 1)<0 <=» (x- l)[x(x+ 1) 2] <0 «=> (x- 1)(X 2 + X-2)<0 (x- l) 2 (x + 2)<0 <=> x + 2<0, [αφού (x l) 2 >0 για κάθε xeir, με x*=l] ο x< -2. iv) Αν εργαστούμε με το σχήμα του Horner για ρ = -1 βρίσκουμε: fh 1-1 1-3 -6 ρ -ι -1 2-3 6 1-2 3-6 0 οποτε η ανίσωση γράφεται (χ+ 1)(Χ 3-2Χ 2 + 3Χ-6)^0 <=» (χ + 1)[χ 2 (χ 2) + 3(χ 2)] ^ 0 «(χ+1)(χ-2)(χ 2 + 3)^0 ο (χ+1)(χ-2)^0, <=> χ^-1 ή χ>2. [αφού χ 2 + 3 >0 για κάθε xeir]. i) Τα σημεία τομής έχουν ως τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης 3Χ 3-3Χ 2-5Χ-2 = 0. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±1, ±2. Με το σχήμα Horner βρίσκουμε ότι: f(l)*0, f(- 1)*0, ενώ για ρ = 2 έχουμε 3-3 -5-2 ρ = 2 th 6 6 2 3 3 1 0 οπότε f(x) = (x-2)(3x 2 + 3x+ 1). Το τριώνυμο όμως 3x 2 + 3x+1 δεν έ- χει ρίζες οπότε η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x'x στο σημείο (2, 0). ii) Όπως και στην περίπτωση ΐ)αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 4χ 3-3χ-1=0. Αυτή διαδοχικά γράφεται: 3x 3 3x + x 3 1=0 <=> 3χ(χ 2 1) + (χ 1)(χ 2 + χ+ 1) = 0 <=> (χ- 1)[3χ 2 + 3χ + χ 2 + χ + ΐ] =0 <=> (χ-1)(4χ 2 + 4χ+1) = 0 «(χ-1)(2χ+1) 2 = 0 1 1 ή χ = " 2 (διπλή) 81

Επομένως η γραφική παράσταση της g τέμνει τον χ'χ στα σημεία (1,0) και εφάπτεται αυτού στο σημείο (- 0) 6. Αρκεί να βρούμε τα xeir για τα οποία ισχύει χ 4 ~5Χ 3 + 3Χ 2 + χ<0 <=> Χ(Χ 3-5Χ 2 + 3Χ+1)<0 χ(χ 3 -χ 2-3χ 2 + 3χ-χ 2 +1)<0 «=> xjx 2 (x- 1)-3χ(χ- 1) (χ 1)(χ+ 1)] <0 <=> χ(χ 1 )(χ 2 4χ 1J < 0 «=> χ(χ- 1 )(χ 2 λ/ 5 )(χ 2 -(- V5)<0 Από την τελευταία βρίσκουμε το σχήμα: ΤΤ77 \Ί S 0 ' 2 +V5 Επομένως οι λύσεις είναι όλα τα χ, με 2 - V5 < χ < 0 ή 1 < χ < 2 + Vs. 7. i) Αν θέσουμε x 4 = y η εξίσωση γίνεται y? - 15y 16 = 0 και έχει ρίζες y, = 16 και y 2 = 1. Επομένως: Για y = 16 έχουμε χ 4 = 16 «=» χ ±2 Για y= - 1 έχουμε x 4 = - 1, που είναι αδύνατη. ii) Αν θέσουμε (χ - l) 3 = y η εξίσωση γίνεται y 2-9y + 8 = 0 και έχει ρίζες y, = 1 και y 2 = 8. Επομένως: Για y = 1 έχουμε (x- I) 5 = 1 <=> χ 1 = 1 <=» χ = 2 Για y = 8 έχουμε (x 1) 3 = 8 «=> χ-1=2 «=» χ = 3 iii) Αν για χ* - 1 θέσουμε ^ εξίσωση γίνεται 6y 2 + 5y-6 = 0 3 και έχει ρίζες y, = - και 2 y 2 =. Επομένως η αρχική εξίσωση γράφεται: χ η χ +1 2 χ 4-1 3 <=> 2χ = - 3χ - 3 ή 3χ = 2χ + 2-3, ο χ = ζ η χ = 2 82

χ { 'f(o) = -3<0 8. Έστω f(x) = x' + 5χ-3 Τότε J(l) = 3 >0 Αρα η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1) Υπολογίζουμε, τις τιμές f(0,l), f(0,2),...,f(0,9) και βρίσκουμε.: ' 1(0,5) = - 0,375 <0 Γ(0,6) = 0,216 > 0 Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα στο διάστημα (0,5, 0,6) Ομοίως τις τιμές f(0,5l), f(0,52),... f(0,59) και βρίσκουμε: Τ(0,56)~-0,03<0 f(0,57)i0,03 >0 Αρα η εξίσωση έχει μια ρίζα στο διάστημα (0,56, 0,57). Είναι δηλαδή 0,56<ρ<0,57 και άρα ρ = 0,6. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Αν πολλαπλασιάσουμε με 10 βρίσκουμε την ισοδύναμη εξίσωση Χ 3 + 5Χ 2 + 2Χ-8 = 0 η οποία έχει ακέραιους συντελεστές. Οι πιθανές α- κέραιες ρίζες είναι ±1, ±2, ±4, ±8. Με το σχήμα Horner έχουμε: 1 5 2-8 Ρ = ι Hi 1 6 8 1 6 8 0 οποτε η εξίσωση γραφεται: (Χ - 1)(Χ : + 6Χ + 8) = 0 και έχει ρίζες x, = 1, χ 2 = - 2, χ, = - 4. ii) Αν πολλαπλασιάσουμε με το 6 βρίσκουμε την ισοδύναμη εξίσωση 6χ 3-5χ : -44χ+ 15 = 0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±1, ±3, ±5, ±15. Με την βοήθεια του σχήματος Horner βρίσκουμε ότι το 3 είναι ρίζα της εξίσωσης. Συγκεκριμένα έχουμε:

Β 6-5 -44 15 ρ = 3 18 39-15 6 13-5 0 οπότε η εξίσωση γράφεται (χ-3)(6χ 2 + 13χ 5) = 0 και έχει ρίζες χ, = 3, χ 2 = -2,5, χ 3 = j 2. Το Ρ(χ) έχει παράγοντα το x + 1, αν και μόνο αν Ρ(-1) = 0 «(-1) 4 + α(-1) 3 + β(-1) 2-16(-1)-12 = 0 «=» 1 α + β + 16 12 = 0 α - β = 5 (1) Το Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-2, αν και μόνο αν Ρ(2) = 0 2 4 + α 2 3 + β 2 2-16 2-12 = 0 «16 + 8α + 4β-32-12 = 0 <=> 8α + 4β-28 = 0 2α + β = 7 (2) Από τις (1) και (2) παίρνουμε α = 4 και β = 1, οπότε Ρ(χ) = χ 4 + 4χ 3 χ 2 16χ 12 Με το σχήμα Horner για ρ = -1 παίρνουμε Hi 1 4-1 -16-12 Ρ= -ι -ι -3 4 12 1 3-4 -12 0 οπότε P(x) = (x+ 1)(χ 3 + 3χ 2-4χ- 12) Ομοίως με το σχήμα Horner για το πολυώνυμο Χ 3 + 3Χ 2-4Χ- 12 και για ρ = 2 παίρνουμε: Β 1 3-4 -12 Ρ = 2 2 10 12 1 5 6 0 οπότε χ 3 + 3χ 2-4χ- 12 = (χ-2)(χ 2 + 5χ + 6), και άρα Ρ(χ) = (χ+1)(χ-2)(χ 2 + 5χ + 6) και η εξίσωση Ρ(χ) = 0 θα έχει ρίζες Χ, = ι, Χ 2 = 2, Χ 3 =-2 και x 4 = -3. 8 4

85 3. Οι δυνατές ακέραιες ρίζες είναι ±1, ±3. Για χ = 1 έχουμε 1-1 + k + 3 = 0 <=> k = -3. Για x = - 1 έχουμε -1-1 -k + 3 = 0 <=» k = 1 Για x = 3 έχουμε 27-9 +3k+ 3 = 0 *=> k = 7 Για χ = -3 έχουμε -27-9-3k+ 3 = 0 ο k=-ll Επομένως οι τιμές του k είναι -3, 1, -7, - 11. 4. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ±1, ±2. Για χ = 1 έχουμε 1 + 2λ - 2 ρίζα της εξίσωσης. Για χ = - 1 έχουμε (- 1) ν 2λ 2 = 0 <=> 0 λ = ί Ζ, οπότε το 1 δεν είναι λ = -, αν ν άρτιος t λ=, αν ν περιττός δηλαδή λ&ί, οπότε το -1 δεν είναι ρίζα. Ανάλογα αποδεικνύουμε ότι οι - 2 και 2 δεν είναι ρίζες. Επομένως η ε- ξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες. 5. Το χ - 1 είναι παράγοντας του Ρ(χ) αν και μόνο αν Ρ(1) = 0 <=» 1 5 10 + k = 0 <=> k 14 = 0 ο k = 14. Για την τιμή αυτή του k είναι: Ρ(χ) = χ 6-5χ 4-10χ 2 +14. Αν θέσουμε χ 2 = y βρίσκουμε το πολυώνυμο Q(y) = y 3-5y 2-10y +14 για το οποίο από το σχήμα Horner, για ρ = 1 παίρνουμε: 1-5 -10 14 ρ = ι iff 1-4 -14 1-4 -14 0 οπότε Q(y) = (y- 1 )(y 2 4y 14) και άρα P(x) = (x 2 1)(Χ 4-4Χ 2 14) = (Χ - 1)(Χ+ 1)(χ 4 4Χ 2 14). Επομένως: Ρ(χ) = 0 «(χ 1)(Χ+ 1)(χ 4 4Χ 2 14) = 0 <=> χ= 1 ή χ= - 1 ή χ"-4χ 2-14 = 0 Αν θέσουμε χ 2 = ω η τελευταία εξίσωση γίνεται ω 2-4ω - 14 = 0 και έχει ρίζες g> = 2 + 3V2 και ω 2 = 2-3\/2. _ Από αυτές δεκτή είναι μόνο η θετική 2 + 3λ/2, οπότε Χ 2 = 2 + 3Λ/2 <=> χ = ^Ι2 + 3\ίϊ ή Χ = -V2 + 3V2 Επομένως οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι: ι, - ι, -V2 + 3V2, V2 + 3V2

6. Ο όγκος του κουτιού θα είναι V = (9-2χ)(5-2χ)χ, οπότε έχουμε την εξίσωση (9-2χ)(5-2χ)χ = 21 που γράφεται ισοδύναμα ως εξής: 4x'-28x J + 45χ-21-0 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι ± 1, ±3, ±7, ±21. Το σχήμα Horner για ρ = 1 δίνει 4-28 45-21 Ρ= ι 4-24 21 4-24 21 0 οποτε η εξίσωση γραφεται: (χ 1 )(4χ 2 24χ + 21) 0 και έχει μοναδική ακέραια ρίζα το I. Επομένως x = I din και οι διαστάσεις του κουτιού είναι 3, 7, 1 Έχουμε 3t 4 + 2t'-300t-200 = 0 <=* ι (3t +2) l00(3t + 2) = 0 <=> (3t + 2)(t' - 100) - ο <=> t=-y ή t J = 100 <=> t - ι =/l()0. Η ρίζα - y δεν είναι δεκτή αφού πρέπει 1^0. Επομένως t =V 100. Παρατηρούμε ότι 64= 4' < 100 < 5 =125 97,3^(4,6)' < 100 <(4,7)' ^ 103,8 99,8 (4,64) 1 < 100 < (4,65)' ^ 100,5 Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ι \ 100 ^4,6 οπότε η μέγιστη συγκέντρωση είναι: 3 (4,6)"+ 4.6 68,08 100 + 50 150-0,45 8. Ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι ίσος με x : (x+ 1 )cmεπειδή ο όγκος αυτός είναι ίσος με 36cm 1 έχουμε: x : (x+l) = 36 χ' + χ : -36 = 0 <=> χ'-27 + χ : -9 = 0 «(χ-3)(χ : + 3χ + 9) + (χ-3)(χ + 3) = 0 <=> (χ-3)(χ* + 4χ+ 12) = 0 <=> χ-3=0, αφού το χ : + 4χ + 12 δεν έχει ρίζες. <=> χ = 3m. s(i

9. Το παγόβουνο λιώνει τελείως όταν γίνει V = 0. Για να βρούμε επομένως μετά πόσο χρόνο θα λιώσει, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση * (2000 - ΙΟΟν + 20ν 2 - ν 3 ) = 0 «=> ν 3-20ν 2 +ΙΟΟν-2000 = 0 <=> ν 2 (ν - 20) + 100(ν - 20) = 0 <=» (ν 20)(ν 2 + 100) = 0 <=> ν = 20 ημέρες. 10. Η μπάρα θα επανέλθει στην αρχική της θέση όταν το d γίνει μηδέν. Αρκεί λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση 15t(t 3 6t 9) = 0 <=* t = 0 ή t 3 61 9 = 0 Η ρίζα t = 0 αντιστοιχεί στη στιγμή της πρόσκρουσης, οπότε ο χρόνος που ζητάμε θα είναι ρίζα της εξίσωσης 1 3 6t 9 = 0 => t 3-9t + 3t 9 = 0 «=» t(t - 9) + 3(t - 3) = 0 <=> (t-3)(t 2 + 3t+ 3) = 0 <=> t = 3 sec, αφού η t 2 + 3l + 3 = 0 δεν έχει ρίζες. 11. Πρέπει y -t 4x ζ 108 και χ 2 y = 11664. 11664 11664, ^1ΛΟ οποτε y = γ και Τ h4x<108. χ χ* Η ανίσωση γράφεται: 4χ 3-108χ 2 +11664<0 <=> χ 3-27χ 2 + 2916<0 <=» χ 3-18χ 2-9χ 2 +18 162^0 <=> χ 2 (χ-18)-9(χ 2-324)^0 <=» χ 2 (χ-18)-9(χ-18)(χ+18)ίζο <=> (χ-18)(χ 2-9χ -162)^0 <=> (χ- 18) 2 (χ + 9Κ0 «=> χ = 18 ή χ + 9^0 «=> χ = 18 ή χ ^ 9 Η χ^ - 9 δεν ισχύει αφού x θετικό, άρα χ= 18cm, οπότε 11664 18" = 36cm. 12. i) Έστω y^x + β η εξίσωση της ευθείας. Επειδή τα Α( 1,2) και β(-ί -4-) ανήκουν στην ευθεία αυτή, έχουμε: 1 1 2 = λ + β και - = λ + β «=» β + λ = 2 και 2β + λ=-1 <=> λ = 5 και β = -3. Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι y = 5x-3. 8 7

ii) Τα σημεία τομής των δύο γραμμών, αποτελούν τη λύση του συστήματος 'y = x 3 + x 2 χ 3 + χ 2 = 5χ-3 Ly = 5χ - 3 y = 5χ - 3 Επομένως τα χ των σημείων τομής επαληθει υν την εξίσωση χ 3 + χ 2 = 5χ-3 <=> χ 3 + χ 2-5χ + 3=0. iii) Με το σχήμα Horner έχουμε: x 3 + x 2-5χ + 3 = 0 ι* (χ 1)(χ 2 + 2χ 3) = 0 «=» χ=1 [διπλή ρίζα] ή χ = -3. Για χ = -3 παίρνουμε y = 5(- 3)-3 =- 18. Επομένως οι συντεταγμένες του Γ είναι (-3, - 18). 13. α) Η εξίσωση του προβλήματος είναι χ(χ+1)(χ + 2) = 200 χ 3 + 3χ 2 + 2χ-200 = 0 Έστω f(x) = χ 3 + 3χ 2 + 2χ - 200. (lml = 1cm 3 ) Τότε: f f(4) = 80<0. Άρα 4<χ<5. U(5)=10>0 Επίσης -f(4,9)= 0,52<0 ^ f(5) 10 > 0. Άρα 4,9<χ<5 και r f(4,90)= -0,52<0 U(4,91) = 0,52>0. Άρα 4,90<χ<4,91 Επομένως χ = 4,9cm = 49mm. β) Η εξίσωση του προβλήματος είναι nr 2 (r+ 10)= 1000 «r 3-4-1 Or 2 = 1000 /ι = 318 (1 lit = 1000cm 3 ) <=> r 3 + 1 Or 2 318 = 0 Έστω f(r) = r 3 + 1 Or 2 318. Τότε f(4)= 94<0 f(5) = 57 > 0 Άρα 4<r<5 Επίσης 'f(4,6)= 9,07<0. Άρα 4,6<r<4,7 J(4,7) = 6,72>0 S<S

'f(4,65)= 1,24 <0 και. Άρα 4,65<r<4,66 J(4,66) = 0,34>0 Επομένως r = 4,7cm = 47mm γ) Η εξίσωση του προβλήματος είναι y(h + 5) 2 h = 250 ο (h 2 + 10h + 25)h = 750 (lml = lcm 3 ) <=> h 3 + 10h 2 + 25h-750 = 0 Έστω f(h) = h 3 +10h 2 + 25h-750 Τότε ff(6) = 24<0.f(7) = 258>0. Άρα 6<h<7 rf(6,0)= 24<0 Επίσης j. Άρα 6,0<h<6,l Cf(6,l)= 1,58 > 0 Τέλος [ f(6,09)= - 101 <0 f(6,10)= 1,58 >0. Άρα 6,09<h<6,10 Επομένως h = 6,lcm = 61mm. ΛΥΣΕΙΣ 2.4 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xeir με χ*0 και χ*1. Για αυτές τις τιμές του χ η εξίσωση γράφεται χ(3χ 2-1)^2 = (χ- 1)(χ 2-3χ + 2) <=» 3χ 3 -χ-2 = χ 3-3χ 2 + 2χ-χ 2 + 3χ-2 <=> 2χ 3 + 4χ 2-6χ = 0 ο 2χ(χ 2 + 2χ-3) = 0 <=» χ 2 + 2χ-3 = 0, [αφούχ^ο] <=> χ= -3 ή χ = 1 <=>χ=-3, [αφού χ#1.] ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε χ e IR με χ Φ1 και χ Φ - 1. Για αυτές τις τιμές του χ η εξίσωση γράφεται: χ 2 (χ+1)-2(χ-1)=4 <= χ 3 +χ 2-2χ-2=0 ο χ 2 (χ + 1)-2(χ+1) = 0 (χ+ 1 )(χ 2 2) = 0 <=> χ = -1 ή χ=-v2 ή \ = \ίϊ. Από αυτές δεκτές είναι μόνο οι - V2, λ/2 αφού χ Φ - 1.

2. Η ανίσωση ορίζεται για κάθε xeir με χ*0 και χ*= -γ. Για αυτές τις τιμές του χ γράφεται: χ2+ _1_ - 1 ^ ο «χ 2 (2χ-1)χ+2χ-1 >, 0 2χ-1 χ(2χ Ι) χ(2χ 1) - χ <=> χ(χ 3 +1)^0 «χ(χ+ 1)(χ 2 -χ + 1)^0 <=> χ(χ+ 1)^0 -Ι- ή ( Χ > ο.με * φ -). 3. Η εξίσωση γράφεται 2 2ημ 3 χ+ 1 -ημ 2 χ+ 2ημχ-2 = 0 «=» 2ημ 3 χ-ημ 2 χ + 2ημχ- 1 =0 <=> ημ 2 χ(2ημχ - 1) + 2ημχ - 1=0 <=> (2ημχ-1)(ημ 2 χ+1) = 0 *=> 2ημχ-1 = 0 1 <=> ημχ = «ημχ=ημ Άρα χ-2κπ+ ή x = 2krt + -^~, kez. ο 6 4. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε χ [Ο, +<»). Για αυτά τα χ έχουμε: S7 = -4χ «=» χ = 0 (αφού -4χ < 0) ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε χ έχουμε Γ2 3' +οο. Για αυτά τα x διαδοχικά V 3χ - 2=4 3 χ 2 = 16 (υψώνουμε στο τετράγωνο) Αυτή έχει ρίζα το x = 6. Με επαλήθευση διαπιστώνουμε ότι το 6 είναι και ρίζα της αρχικής. iii) Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού V5x- 1 είναι θετικό, ενώ το -4 είναι αρνητικό. >10

iv) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xeir με χ + 3>0, δηλαδή για κάθε χ^ - 3. Με αυτό τον περιορισμό έχουμε διαδοχικά: Vx + 3 = x4 1 χ + 3 = χ : + 2χ+1 [Υψώσαμε στο τετράγωνο] χ 2 + χ-2-0 χ= -2 ή χ-1 Από τις ρίζες αυτές, όπο>ς διαπιστώνουμε με δοκιμές, ρίζα της αρχικής εξίσωσης είναι μόνο ή x = 1. ν) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xe IR με χ + 3^0 και 10-χ ^0, δηλαδή για κάθε xe -3, 10. Με αυτό τον περιορισμό έχουμε διαδοχικά Vx + 3=Vl0-x+l x + 3= 10-Χ+ 1 +2\/ΐ0-χ 2χ - 8 = 2V10- χ χ - 4 = \ 10 - χ Χ 2-7Χ + 6 = 0 χ = 1 ή χ = 6 [Υψώσαμε στο τετράγωνο] Από τις ρίζες αυτές, όπως διαπιστώνουμε με δοκιμές, ρίζα της αρχικής εξίσωσης είναι μόνο η x = 6. vi) Η εξίσωση ορίζεται για xeir με χ^ο και χ-20>0 δηλαδή, για χ ^20. Με αυτόν τον περιορισμό διαδοχικά έχουμε (Vx-20 ) 2 = (10-Vx) 2 χ - 20 = 100-2oVχ + χ 20 V χ = 120 Vx =6 χ = 36. Η τιμή 36 ικανοποιεί τον περιορισμό x ^20 και αν θέσουμε στην αρχική χ = 36, αυτή επαληθεύεται. Επομένως το 36 είναι ρίζα και της αρχικής εξίσωσης. νί») Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xe(0, 4 *>). Με αυτόν τον περιορισμό διαδοχικά έχουμε 2x = x - 8 4 6Vx (1) χ 4 8 = 6 V χ (χ 4 8) 2 = 36χ χ 2 4 16χ + 64 = 36χ χ 2-20x4 64 = 0 χ = 4 ήχ = 16 Οι τιμές 4 και 16 ικανοποιούν τον περιορισμό χ>0 και επαληθεύουν την αρχική εξίσωση. Άρα είναι ρίζες της. <>1

viii) Η εξίσωση ορίζεται για χ e IR με χ ^ 0 και χ > - 1 δηλαδή, για χ ^ 0. Με αυτόν το περιορισμό διαδοχικά έχουμε: V1 +2Vx =Vx + 1 2\/χ =χ 4χ = χ 2 χ(χ - 4) = 0 χ = 0 ή χ = 4 υψ(όνουμε στο τετράγωνο] Οι τιμές 0 και 4 ικανοποιούν τον περιορισμό χ^ο και αν θέσουμε στην αρχική, την επαληθεύουν. Είναι επομένως ρίζες της. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η ανίσωση ορίζεται για χεκμε2χ + 3^0 και 1-3x^0 δηλαδή για 3 1 ^χ^. Με αυτόν τον περιορισμό διαδοχικά έχουμε: λ/2χ + 3 <Vl-3x (V2x + 3 ) 2 <(Vl-3x ) 2 <=> 2x + 3<l-3x 4=> 5χ< -2 ^ - 2 «=> χ < jj και.λόγω του περιορισμού βρίσκουμε ως λύσεις της ανίσωσης τα xeir 3 ^ -2 με - ζ χ < 2 5 ii) Η ανίσωση ορίζεται για κάθε xeir με χ^3. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Ανχ-5<0«χ<5, τότε η ανίσωση ισχύει για κάθε xeir με 3 ^χ<5. (γιατί το Ιο μέλος της είναι θετικό). Ανχ-5^0 <=> χ^5, τότε διαδοχικά έχουμε Vx-3 >x-5 <=» χ-3^(χ-5) 2 <=> χ-3 >χ 2-10χ + 25 «=* χ 2-11χ + 28<0 «=> 4<χ<7 <=> 5^χ<7, επειδή χ^5. 2. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε xe [θ, + α>). Αν θέσουμε Vx = y η εξίσωση γίνεται y 2 + 3y- 10 = 0 και έχει ρίζες y, = 2 και y 2 = -5. Επειδή y = Vx ^0, δεκτή είναι μόνο η y, = 2, οπότε Vx = 2 δηλαδή x = 4. 92

Η τιμή 4 ικανοποιεί τον περιορισμό χ ^ 0 και επαληθεύει την αρχική εξί- ' σωση, άρα είναι ρίζα της. ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x e[0, + ). Αν θέσουμε Vx = y η ε- ξίσωση γίνεται y 2 + y - 6 = 0 και έχει ρίζες y, =2 και y 2 = -3. Ε- πειδή y = yfx >0, δεκτή είναι μόνο η y -2, οπότε Vx = 2 δηλαδή χ = 8. Η τιμή x = 8 ικανοποιεί τον περιορισμό χ >0 και επαληθεύει την αρχική εξίσωση, άρα είναι ρίζα της. 3. Ι) Αν θέσουμε x 2 +x-2 = y (1) η εξίσωση γράφεται: y-2 = /y (2) Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον y 0. Με τον περιορισμό αυτό από την εξίσωση (2) προκύπτει η εξίσωση (y-2) 2 = y η οποία γράφεται διαδοχικά: y 2-4y+4 = y «y 2-5y+4 = 0 y=l ή y=4 Από τις τιμές αυτές μόνο η y=4 είναι ρίζα της (2). Ετσι, λόγω της (1), έχουμε: x 2 +x-2 = 4 «= χ 2 +χ-6 = 0 «= χ = -3 ή χ = +2 ii) Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον χ-1>φ και χ-4 >0 και χ+4 >0, δηλαδή χ>4. Με τον περιορισμό αυτό από την εξίσωση αυτή προκύπτουν διαδοχικά οι εξισώσεις: ( / χ-1 + / χ-4 ) 2 = ( / χ+4 ) 2 χ-1+χ-4+2ι/ (χ-ΐχχ-4) = χ+4 2'Ί (χ-1χχ-4) = 9-χ (2"/ (χ-ΐχχ-4)) 2 = (9-χ) 2 4(χ 2-5χ+4) = 81-18χ+χ 2 3χ 2-2χ-65 = 0 χ. 1 ψ. <_π 6 3 Από τις τιμές αυτές του χ μόνο η χ=5 είναι ρίζα της αρχικής εξίσαχτης. 4. ί) Πρέπει χ -1 >0 δηλαδή χ^ 1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν α<0, η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν α^0, τότε Vx-1 =α <=> χ -1 = α 2 <=> χ = α 2 + 1 ii) Η εξίσωση ορίζεται σε όλο το IR. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 2χ-λ<0 δηλαδή χ< -y, η εξίσωση είναι αδύνατη. λ Αν 2χ - λ ^ 0 δηλαδή χ ^, τότε: V4x 2 +1 =2χ-λ «=> 4χ 2 +1 =4χ 2-4λχ + λ 2 <=> 4λχ = λ 2-1. 93

Η τελευταία εξίσωση, αν λ = Ο είναι αδύνατη, ενώ λ 2-1 αν λ*0 έχει μία λύση χ = 4λ. Η λύση αυτή είναι δεκτή μόνο αν επαληθεύει τον περιορισμό χ^, δηλαδή μόνο αν λ 2 1 λ (λ 2 Η 1) 4λ y» "~4λ ~ 4λ(λ : +1)<0 <=> λ<0. 5. Η εξίσωση γράφεται: 2ημ 4 χ - 3ημ 3 χ - 3(1 -ημ 2 χ)-3ημχ + 4 = 0 ή 2ημ 4 χ - 3ημ 3 χ + 3ημ 2 χ - 3ημχ + 1 = 0 Αν θέσουμε ημχ = γ βρίσκουμε την πολυωνυμική εξίσωση 2y 4-3y 3 + 3y 2-3y + 1 =0 (1) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της είναι ±1. Με το σχήμα Horner για ρ= 1 βρίσκουμε 2-3 3-3 1 ρ= 1 Β 2-1 2-1 2-1 2-1 0 οπότε ή (Ι)διαδοχικά γίνεται: (y - l)(2y 3 -y 2 + 2y- 1) = 0 (y-l) y 2 (2y-l) + 2y- 1 =0 «(y- 1 )(2y l)(y 2 + 1) = 0 και έχει ρίζες y, = 1 και y, =. Επομένως έχουμε ημχ = 1 ή ημχ = y δηλαδή χ = 2κπ + 4* ή χ = 2κπ+4- ή χ = 2κπ + kez. Ζ Ο Ό ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ I. Θεωρούμε τη διαφορά Ρ(χ) - (χ 2 + χ + 1) = χ 3ν + χ 3μ + ι + χ 3ρ + 2 - χ 2 - χ - 1 = χ 3ν 1+χ 3μ + ι χ + χ 3ρ + 2 χ 2 ( )4 = (χ 3 ) ν 1 +χ[(χ 3 ) μ - ΐ] + χ 2 [(χ 3 ) ρ - 1 j = (χ 3-1)π,(χ) + χ(χ 3-1)π 2 (χ)+χ 2 (χ 3-1)π 3 (χ) (χ 3 1) π(χ), όπου π(χ) ένα πολυώνυμο του χ.

I Επομένως Ρ(χ) = (χ 2 + χ + 1) + (χ 3-1) π(χ) = χ 2 + χ + 1 +(χ- 1)(χ 2 + χ + 1)π(χ) = (χ 2 + χ+ 1) 1 +(χ- 1)π(χ)] = (χ 2 + χ + 1) π,(χ) που σημαίνει ότι το Ρ(χ) διαιρείται με το χ 2 + χ+ 1. 2. i) Το πολυο')νυμο f(x) γράφεται f(x) = vx Uf 1 - νχ ν -χ ν + 1 = νχ ν (χ- 1)-(χ ν - 1) = νχ ν (χ- 1) (χ 1)(χ ν 1 + χ ν : +... + χ+ 1) = (χ 1)[νχ ν - χ ν_1 - χ ν ~ 2 -... - χ- 1] Αν θέσουμε Ρ(χ) = νχ ν -χ ν ' -χ ν 2 -...-χ-1, τότε είναι f(x) = (x-1) Ρ(χ) και Ρ(1) = ν - 1-1 -... - 1-1 = ν -ν = 0, οπότε Ρ(χ) = (χ 1)π(χ), όπου π(χ) πολυώνυμο του χ. Επομένως f(x) = (x-i) (χ-1) π(χ) = (χ-1) 2 π(χ), που σημαίνει ότι το f(x) διαιρείται με το (χ - I) 2. Το πηλίκο π(χ) υπολογίζεται με το σχήμα Horner, για το πολυιόνυμο Ρ(χ) και για ρ = 1, ως εξής: Β ν ν- I ν - ν + 2 1 ν ν- 1 1 0 ν - I - 1-1 - I ρ= 1 < Έχουμε δηλαδή π(χ) = νχ ν 1 + (ν- 1)χ ν 2 +... + 1. ii) To g(x) γράφεται g(x) = (v-2)x v -νχ ν ' + VX-V + 2 = νχ ν - 2χ ν - νχ ν " 1 + vx - ν + 2 = νχ ν (χ 1) 2(x v 1) + v(x 1) = vx v '(x- l)-2(x- l)(x v ~' + x v 2 +... + x+ 1) + v(x- 1) = (x- 1 ) vx v 1-2x v 1-2x v ' 2 -... - 2x- 2 + v Αν θέσουμε P(x) = vx v 1-2x v 1-2x v " 2 -... -2x-2 + ν, τότε g(x) = (χ 1 )P(x) (1) και P(l) = v 2 2... 2 + v = 2v 2v = 0, οπότε Επομένως P(x) = (x l)q(x), όπου Q(\) πολυοινυμο του χ. g(x) = (x-1) 2 Q(X) (2). Υπολογίζουμε το Q(x) με το σχήμα Horner ως εξής: 95

ν-2-2 - 2-2 ν-2 ρ= 1 ν-2 ν 4 ν - 2(ν - 2) - ν + 2 ν-2 ν 4 ν-6 ν - 2(ν 1) Έχουμε δηλαδή: Q(x) = (ν - 2)χ ν ~ 2 + (ν - 4)χ ν_3 + (ν - 6)χ ν ~ 4 +... + [ν - 2(ν - 1)] Ακόμη έχουμε Q(l) = (v-2) + (v-4) + (v-6) +... + [ν 2(ν 1)] = ν -2 + ν-2 2 + ν-2 3 +... + ν-2(ν-1) = (ν + ν +... + ν)-2[ΐ + 2 + 3 +... + (ν- 1)] = ν(ν- 1)-2 [t + cv-okv-l) = ν ( ν_ 1 )_ ν ( ν _ 1 ) = 0 ο Αυτό σημαίνει ότι χ-1 είναι παράγοντας του Q(x), δηλαδή Q(x) = (x- 1)Π(χ) (3) Από τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουμε g(x) = (x- 1) 3 π(χ) Επομένως το g(x) διαιρείται με το (χ - I) 3. 3. i) Η εξίσωση είναι αντίστροφη και το 0 δεν είναι ρίζα της, οπότε έχουμε 2 1 χ 4 + 2χ 3 + 2χ+ 1 =0 <=> x 2 + 2x+ +^Ι = 0 (διαιρούμε με χ 2 ) ο χ"+ 2 +2(χη ν ) 0 χ x ' Αν θέσουμε χ+ -jj- =y τότε χ 2 + =y 2-2 και η εξίσωση γίνεται y 2-2 + 2y = 0 <=> y 2 + 2y-2 = 0 «y = 1 -V3 ή y=-l+v3 Έτσι είναι x+- = -1-V3 ή χ+ = 1 ν/3 χ χ ή ισοδύναμα X 2 + (1+V3)X+1=0 ή x 2 + (l-v3)x+1 =0 Είναι Δ, = (1 + Α/3) 2-4 = 2\/3 και Δ 2 = (1 -V3) 2-4= -2V3<0 οπότε η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, ενώ η πρώτη έχει τις -1-V3-Vl2" -1-V3 +Vl2" και χ, = - 2 που είναι και οι ρίζες της αρχικής. ii) Η εξίσωση δεν έχει ρίζα το 0, έτσι αν διαιρέσουμε με χ 2 έχουμε χ +X-4+ 1 + 1 = 0 <=> χ 2 + Λ +χ + 1 4 = 0 ( )6

Αν θέσουμε χ+ y =y τότε χ 2 + =y 2-2 και η εξίσωση γίνεται και έχει ρίζες y, = 3 και y 2 = 2. y 2-2 + y -4 = 0 ή y 2 + y -6 = 0 Έτσι έχουμε x+-=-3 ή χ+ =2 χ χ ή ισοδύναμα χ 2 + 3χ + 1 = 0 ή χ 2 2χ + 1 = 0.., -3 + V5-3-Vs Αυτές έχουν ρίζες χ, =, χ 2 = ^ ^ π Ρ ωττ 1 και χ 3 = 1 η δεύτερη. Επομένως οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι οι: -3 + Vi -3-V5 2 2 4. i) Επειδή το χ = 0 δεν είναι ρίζα, διαιρούμε με χ 2 και έχουμε: 2 4, λ? 4 2 χ 2 + χ-16 + + 2=0-7 <=> x 2 + +χ 16 = 0 x x χ χ χ 2 Ζ, / Ζ 2 \2, Αν θέσουμε χ - =y τότε (χ - ] = y, οπότε και-η εξίσωση γίνεται 4 2 4 χ 2 + 2-2χ =y 2, δηλαδή χ 2 Η y =y 2 + 4 χ χ ^ χ που έχει ρίζες y, = - 4 και y 2 = 3 Επομένως 2 y 2 + 4 + y-16 = 0 ή y 2 + y-12 = 0 χ = -4 Λ η ' ' χ = 13 χ χ ΟΧ 2 + 4Χ-2 = 0 ή x 2-3x-2 = 0 2, 17. ^ 17 3-VI7. 3 + VrT <=> χ = - 2-V6 η χ= -2 + V6 η χ= η χ= ii) Αν εργασθούμε όπως στην i) η εξίσωση γράφεται χ 2 + ^+ 8 ( χ -γ)+ 1 3 = Αν θέσουμε χ - =y τότε χ 2 + χ χ =y 2 + 2 και η εξίσωση γίνεται 97

y z +8y +15 = 0 που έχει ρίζες y, = 3 και y 2 = - 5 Επομένως διαδοχικά έχουμε Οι τελευταίες έχουν ρίζες 1 1 χ -3 λ η χ =-5 < χ χ x 2 + 3x - 1 = 0 ή χ 2 + 5χ- 1 =0-3 VT3-3 + λ/π και Χ3 = -5-V29-5 + V29 2 ' * 4 = ~ - 1 2 -, Χ2= 2 αντιστοίχως. Αυτές όλες είναι οι ρίζες της αρχικής. 5. Αν θέσουμε x 2 + 2x-l = y η εξίσωση γίνεται y 2-3(y+4)+14 = 0 ή y 2-3y + 2 = 0 και έχει ρίζες y, = 1 και y 2 =2, οπότε έχουμε x 2 +2x-l = l ή χ 2 + 2χ-1=2 ο χ 2 + 2χ-2 = 0 ή χ 2 + 2χ-3=0 Οι εξισώσεις αυτές έχουν ρίζες τους αριθμούς -1-λ/ί, -Ι + λ/3 η πρώτη και 1, -3 η δεύτερη. Επομένως οι ρίζες της αρχικής είναι χ, = -l-y/j, x 2 = -1+VJ, χ 3 =1, χ 4 = -3 6. Λπό την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι: χ 5 + 3χ 2 + αχ + β = (χ 2-2) π(χ) + 5χ + 8 Για χ = λ/2 έχουμε (V2) 5 + 3(V2) 2 + av2 + β = 0 + 5\/2 +8 <=> 4V 2 + 6 + av 2 + β = 5"ν/2 +8 <=> av2 + β = V2 + 2 (1) Για x = -il έχουμε α/γ - β = 4 Ϊ - 2 Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκουμε ότι α=1 και β=2. 98 (2)

7. Με το σχήμα Horner παίρνουμε it! 11-11 11 1-12 12-12... 12-1 Ρ = 11-11 11 1-1 1-1... 1 10 επομένως Ρ(11) = 10. Αν δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το Ρ(13) με τον ίδιο τρόπο θα διαπιστώσουμε ότι οι πράξεις είναι αρκετά επίπονες. Ένας πιο σύντομος τρόπος είναι ο εξής: ΤΟ Ρ(Χ) = Χ 17 1-12χ(χ 15 χ 14 + χ 13... + χ 1) χ 16-1 = χ 1 12χ χ+1 χ 17 -χ = χ 1 12 χ+1 Οπότε Ρ(13)= 13 17 13 ι7-13 - 1-2 13 + 1 = 13 17-1 13' 7 13 6(13' 7 +1) 7 7 Με έναν υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε το 13 17 και έτσι έχουμε το Ρ(13). 8. Ο παγετώνας τελειώνει όταν η θερμοκρασία Τ = Τ(χ) ανερχόμενη συνεχώς μηδενίζεται, ενώ αυτός ξαναρχίζει όταν η θερμοκρασία κατερχόμενη μηδενίζεται. Για να λύσουμε λοιπόν το πρόβλημα, αρκεί να βρούμε τα σημεία μηδενισμού της συνάρτησης Τ(χ) καθώς επίσης και τα διαστήματα μονοτονίας της. 99

Αν θέσουμε Τ = 0 προκύπτει η ε- ξίσωση 10χ 3 100Χ 2 + 270Χ 180 = 0 ο χ 3 10Χ 2 + 27Χ 18 = 0 <=* Χ 3-9Χ 2 -Χ 2 + 9Χ+18χ-18 = 0 ο χ 2 (χ 1) 9χ(χ 1)+ 18(χ 1) = 0 Ο (χ - 1)(Χ 2-9Χ+ 18) = 0 ο (χ - 1)(χ - 3)(χ - 6) = 0 Με τη βοήθεια των ριζών και ενός πίνακα τιμών βρίσκουμε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης T,(x) = x 3-10Χ 2 + 27Χ- 18. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης βρίσκουμε ότι: α) το τέλος των παγετώνων θα έρθει μετά από 1 εκατομμύριο χρόνια, β) Ο επόμενος παγετώνας θα αρχίσει σε 3 εκατομμύρια χρόνια και θα διαρκέσει 6-3 = 3 εκατομμύρια χρόνια. 100