Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός)

3 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 9, Ώρα:. 3. Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜΑ ( µονάδες) α. Είδος κίνησης ράβδου: Tη χρονική στιγµή t=s η ράβδος αφήνεται ελεύθερη και κλείνει το κύκλωµα οπότε διαρρέεται από ρεύµα Ι. Στη ράβδο τότε ασκούνται το βάρος της mg=ν και η δύναµη Laplace F L =Β.Ι. l µε αντίθετη κατεύθυνση και µε µέτρο που υπολογίζεται ως εξής: Ι= E R όπου R.R Rολ = r + = Ω R + R ολ 8 Ι= = 4A, αλλά Ι=Ι +Ι =4Α και Ι =Ι Ι =Ι =7A. Εποµένως F L =Β.Ι.l F L =.7.=4N και mg> F L. Κ R=Ω Ζ I I F e mg I Α Ε,r F L Β=Τ - + υ Λ Κ I Α δ Γ I E επ I Ισοδ κυκλ R E,r R Ζ Λ Γ Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα η ράβδος να αρχίσει να επιταχύνεται προς τα κάτω και θα ισχύει: ΣF=m.α mg-f L =m.α mg-β.ι.l=m.α Στα άκρα της ράβδου θα εµφανιστεί λόγω του νόµου του Faraday, επαγωγική τάση µε το άκρο Κ αρνητικό και το άκρο Λ θετικό. Το γεγονός αυτό έχει σαν αποτέλεσµα η ράβδος να διαρρέεται από ρεύµα µεγαλύτερης έντασης. Το αποτέλεσµα τελικά είναι η αύξηση του µέτρου της δύναµης Laplace. Αυτό θα συµβαίνει µέχρι η F L να γίνει ίσου µέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης µε το βάρος της ράβδου. Η συνισταµένη δύναµη στη ράβδο θα ισούται τότε µε ΣF=. Η κίνηση της ράβδου θα είναι αρχικά επιταχυνόµενη, µε επιτάχυνση που µειώνεται συνεχώς και όταν η συνισταµένη δύναµη που θα ασκείται στη ράβδο µηδενιστεί, θα κινείται µε οµαλή ευθύγραµµη κίνηση µε σταθερή, οριακή ταχύτητα. (µ. 4)

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) β. Οριακή ταχύτητα ράβδου: Οριακή ταχύτητα αποκτά η ράβδος όταν Σ F = mg FL = B. Ι. l = mg Ι = A Από το ισοδύναµο κύκλωµα έχουµε: Ι =Ι +Ι Ι= +Ι () Για το κύκλωµα ισχύει: V Z = VK Λ = VAΓ Ι R = ΙR Eεπ = E Ιr Ι R =Ι R B. l. υ ορ = E Ιr, Ι R = E Ι r και σε συνδιασµό µε τη σχέση () Ι = 8 Ι Ι = 6A.6 8 Ι =. υορ υ ορ = = υ ορ = 4m / s (µ. 7) γ. Επιβεβαίωση της αρχής διατήρησης της ενέργειας: Από τη στιγµή που η ράβδος θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα και µετά, στο κύκλωµα προσφέρεται ενέργεια από την πηγή Ε και µηχανική ενέργεια λόγω µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της ράβδου. Η προσφερόµενη ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα στις αντιστάσεις του κυκλώµατος εφόσον η κινητική ενέργεια της ράβδου θα παραµένει σταθερή. Η ενέργεια ανά µονάδα χρόνου που καταναλώνεται λόγω φαινοµένου Joule στις αντιστάσεις του κυκλώµατος όταν η ράβδος αποκτήσει οριακή ταχύτητα είναι: Q =Ι +Ι +Ι = + +.r.r.r 6.. 6. = 56 + + 7 Q = 58J/ s (µ. ) Ο ρυθµός µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας που προσφέρεται από τη ράβδο στο κύκλωµα είναι: E δ βαρ = mgυ =..4 ορ E δ βαρ = 8J/ s Η ηλεκτρική ενέργεια ανά µονάδα χρόνου που προσφέρει η πηγή στο κύκλωµα είναι: Wηλ E. 8.6 = Ι = W ηλ = 448J / s W E ηλ δ βαρ Q + = Αρχή διατήρησης της ενέργειας

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) ΘΕΜΑ ( µονάδες) m B + d F ελ mg m h max u r A u r B m B m Α y l u= m Α y y m Α u= AAΘ ΘΦΜ ΤΘΙ AΘΙ ΚAΘ F ελmax M Ν θέση φυσικού µήκους Α.Θ.Ι Θέση έκρηξης Κάτω ακραία θέση m A Mg Άνω ακραία θέση m A α. Εξίσωση αποµάκρυνσης σώµατος m A Μετά την έκρηξη το σώµα m A εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε τελική θέση ισορροπίας (ΤΘΙ) η οποία θα ανέβει κατά y πάνω από την αρχική θέση ισορροπίας εξ αιτίας της αποχώρησης της µάζας m B. Το ελατήριο δηλαδή θα ανέβει (αποσυσπειρωθεί) κατά y όπου m.g B. y = = y =,5m k Το πλάτος y ο της ταλάντωσης θα είναι είναι ίσο µε y =y+ l =,5+,=,5m (µ. ) k Η κυκλική συχνότητα είναι: ω= = ω = rad / s ma Τη χρονική στιγµή t=s, το σώµα m Α έχει αποµάκρυνση y=-,5m από τη θέση ισορροπίας και αρνητική ταχύτητα διότι κινείται προς τα κάτω. Η εξίσωση της ταλάντωσης του συστήµατος ελατήριο-µάζα m A είναι: y = y ηµ ( ω t + φ),5 =,5 ηµ ( φ) φ =,339rad( απορ) ή (µ. ) φ =,8π rad = 3, 48rad( εκτη) Τελικά προκύπτει ότι: y =,5 ηµ (t + 3,48) 3

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) β. ιερεύνηση αν το σώµα M χάνει επαφή κατά την ταλάντωση του m A Το σώµα βρίσκεται αρχικά σε µια αρχική θέση ισορροπίας (ΑΘΙ), στην οποία το ελατήριο είναι συσπειρωµένο κατά d από τη θέση φυσικού µήκους (ΘΦΜ). mg Σ F = Fελ = mg d = d =,5m k Στο σώµα µάζας Μ ασκείται από το ελατήριο η µέγιστη δυνατή δύναµη F ελmax µε φορά προς τα πάνω, όταν το σώµα Α βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση, η οποία είναι πιο πάνω από τη θέση φυσικού µήκους (ΘΦΜ) του ελατηρίου κατά απόσταση y +y-d=,5+,5-,5=,5m. (µ. ) Εποµένως Fελ max = k(y + y d) =.,5 F max ελ = N (µ. ) Για το σώµα ισχύει: N+F ελ =Mg και θα έχανε την επαφή του µε το δάπεδο αν ήταν Ν=, δηλ αν F ελ =Μg=5N. Αυτό δεν ισχύει αφού F ελmax =Ν, άρα δεν χάνει επαφή. (µ. ) γ. Υπολογισµός µέγιστου ύψους Η ταχύτητα του τµήµατος Α αµέσως µετά την έκρηξη υπολογίζεται από την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης: k(y y ) (,5),5 ).m.u A +.ky = ky u A = = u A = m/s ma (µ. ) µε φορά προς τα κάτω. Από την αρχή διατήρησης της ορµής κατά την έκρηξη υπολογίζεται η ταχύτητα του τµήµατος m Β : r r r r r r (µ. ) Pαρχ = Pτελ = m A.uA + m B.uB = +.ub ub =+ m/s Από την αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την κίνηση του σώµατος m Β στον αέρα ισχύει: ub ( ) m.u B B = mghmax hmax = hmax = h max =,4m (µ. ) g ΘΕΜΑ 3 ( µονάδες) α. Εξίσωση στάσιµου κύµατος: H εξίσωση του στάσιµου κύµατος µε σηµείο αναφοράς x= το σηµείο Ο (κοιλία) είναι: πx πt y = y συν. ηµ λ T y = cm y = 5cm λ = 4cm λ = 8cm x 6 υ= = = m / s t 3 λ 8 T = = = 4s υ πχ πt y = συν ηµ 4 y, x cm, t s 4

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) Τα δύο κύµατα που το δηµιούργησαν έχουν εξισώσεις: t x t x y = yηµ π( ) = 5ηµ π( ) T λ 4 8 t x t x y = yηµ ( π + ) = 5ηµ ( π + ) T λ 4 8 y, x cm, t s β. Ενέργεια του υλικού σηµείου x=7cm τις χρονικές στιγµές t =3s και t =6s Για t =3s δεν άρχισε η συµβολή στο σηµείο x=7cm, άρα το πλάτος ταλάντωσης είναι 5cm. 3 π 4 E = mω y =. 5. E=6,5. -6 J (µ. ) 4 Για t=6s το στάσιµο κύµα κάλυψε απόσταση υt και καταλαµβάνει έκταση από -cm µέχρι +cm άρα άρχισε η συµβολή στη θέση x=7cm. To πλάτος ταλάντωσης του υλικού αυτού σηµείου είναι: ' πx π7 7π y (x) = yσυν = συν = συν = = 5 cm = 7,7. m λ 8 4 Eποµένως η ενέργεια είναι: π E m. y.. 5. 4 ' ' 3 4 = ω = E =,5. -6 J (µ. ) γ. ιαφορά φάσης Για t =3s το στάσιµο κύµα εκτίνεται από -6m εως +6m διότι x=υt =.3=6m. Eποµένως στα σηµεία Α και Β επικρατεί κατάσταση τρέχοντος κύµατος. Η διαφορά φάσης των δύο σηµείων δίνεται από τη σχέση: π π 3π φ = x = ( 8) = λ 8 4 φ=,75π rad (µ. ) Για t =6s το στάσιµο κύµα εκτίνεται από -m εως +m διότι x=υt =.6=m. Eποµένως στα σηµεία Α και Β επικρατεί κατάσταση στάσιµου κύµατος µε κοιλίες τα σηµεία 4m,8m,m και δεσµούς τα σηµεία m,6m,m. Τα σηµεία Α και Β διαφέρουν απόσταση x=3m και βρίσκονται εκατέρωθεν του δεσµού (x=m). Άρα φ=π rad (µ. ) 5

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) δ. ιάγραµµα ψ=f(t) του σηµείου x=6cm για s t 5s: ψ(cm) ψ=f(t) 5-5 - 3 4 5 6 t(s) ε. Στιγµιότυπο του κύµατος Το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t 3 =5s είναι: ψ (cm) x -4 - -6-6 4 x (cm) - (µ. 4) ΘΕΜΑ 4 ( µονάδες) α. Υπολογισµός τιµών επιτάχυνσης και συµπλήρωση πίνακα: Κατά την κίνησή του ο κύλινδρος εκτελεί οµαλή επιταχυνόµενη κίνηση και ισχύει η σχέση: L L = αt α = από την οποία υπολογίζουµε την επιτάχυνση και συµπληρώνουµε τον t πίνακα. 6

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) Πίνακας h (m) t (s) α (m/s ), 4,47,,5,58,3,7,3,4,8,,5 (µ. ) β. Γραφική παράσταση α = f(h) και πειραµατικός υπολογισµός της ροπής αδράνειας του κυλίνδρου: α(m/s ),6 α=f(h),5,4,3 α=,4m/s,, φ h=,65m,,,3,4,5,6,7,8,9 h(m) (µ. 4) α, 4 Η κλίση της γραφικής είναι ίση µε εφφ= = εφφ=6,5 h,65 (µ. ) Από το Θεώρηµα ιατήρησης της Μηχανικής ενέργειας για την κίνηση του κυλίνδρου: Ε ΜΗΧ() = Ε ΜΗΧ() υ αl mgh = Iω + mυ mgh = I + mυ mgh = I + m. α.l R R I.L mgh = α ( + ml) R mg α=.h I L(m + ) R (µ. 6) Από τη σχέση αυτή παρατηρούµε ότι η κλίση της γραφικής µας είναι: mg g 6 9,8 =εφφ Ι= mr.65. I Ι= Lεφφ 6,5 L(m + ) R 4 I = 3,7. kg.m (µ. ) 7

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) γ. Υπολογισµός θεωρητικής τιµής ροπής αδράνειας κυλίνδρου και (%) σφάλµα: Η θεωρητική τιµή υπολογίζεται από τη σχέση: Ι = mr =..,5 To % σφάλµα είναι: I = 3,5. kg.m 4 Ι Ιπειρ Ι Ι =.% = 8,4% Ι Ι Ι ΘΕΜΑ 5 ( µονάδες) α. Ροπή αδράνειας: ML Ι=Ι ρ +Ι m = + ml =.6. +. 3 3 I= 6kgm (µ. ) β. Γωνιακή ταχύτητα συστήµατος στην κατώτερη θέση: 3L L E µ = E Mg mgl Mg I µ + = + ω 6..3 +... = 6.. + 6ω ω=5 rad/s γ. Ποσοστό µεταβολής της κινητικής ενέργειας: () L Eµ = E ( ) µ Mg + Iω 3 = Mg L h + mg(l h ) L 6.. + 8ω = 6..(L συν 3 ) +.(L Lσυν3 ) 6.. + 8ω = 6συν 3 + 4 4συν3 O ω = rad/s (µ. 4) K 3 () (3) Ek = Ιω Ιω = 6.5 6. = 9J π = E = 9 9 = αρχ Ιω k %( E k ).%.%.% E k ποσοστό απώλειας=96% 8

3η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός) δ. Πλάτος ταλάντωσης µετά την κρούση: Αρχή διατήρησης στροφορµής του συστήµατος και της µάζας m κατά την κρούση. L = L Ιω = +Ιω + m LV 6.5 = 6. + 9,6..V V=-5m/s π µ Η κρούση γίνεται στη θέση ισορροπίας άρα V=V. Εποµένως Eολ = kx = = x =,5m ταλ mv 96x 9,6.5 (µ. ) ε. Χρόνος που θα ξαναβρεθεί για πρώτη φορά στο φυσικό του µήκος: m 9,6 T = π = π =,πs k 96 Το ελατήριο θα ξαναβρεθεί στο φυσικό του µήκος µετά από χρόνο: T,π t = = t=,πs στ. Γραφική παράσταση y=f(t): y(m),5 y=f(t),5 -,5 -,5,5,,5,,5 t(πs) (µ. ) 9