ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ NEWMARK ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ NEWMARK ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ Β. ΠΡΑΠΑ ΠΑΤΡΑ 214

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα Διατριβή Διπλώματος Ειδίκευσης εκπονήθηκε στο τμήμα πολιτικών μηχανικών της Πολυτεχνικής σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Με αφορμή την παρούσα εργασία, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα αυτής της διατριβής ειδίκευσης κ. Απόστολο Παπαγεωργίου, Καθηγητή του τμήματος Πολιτικών μηχανικών, για την καθοδήγηση, την επιστημονική βοήθεια, και κυρίως την αμέριστη υποστήριξη και υπομονή που έδειξε καθ όλη την διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής μου. Ένα ευχαριστώ θα ήθελα να εκφράσω στην συνάδελφο και φίλη, υποψήφια διδάκτορα του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών κ. Ευφροσύνη Τζουρά για την ενθάρρυνση για συνέχεια των σπουδών μου και την βοήθειά και συνεργασία της κατά την διάρκεια της μεταπτυχιακής μου εκπαίδευσης. Τέλος, απεριόριστες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω στον αδερφό μου και την μητέρα μου, που μου συμπαραστάθηκαν όλα τα χρόνια των σπουδών μου, στήριξαν στις επιλογές μου και παρείχαν αμέριστη ηθική υποστήριξη σε όσες δυσκολίες προέκυψαν. Πάτρα Αύγουστος 214, Πράπα Β. Ευγενία 3

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μεγάλος αριθμός έργων του πολιτικού μηχανικού και κυρίως έργα του γεωτεχνικού μηχανικού, αναπτύσσουν μηχανισμούς ολίσθησης. Η ευστάθεια πρανούς που καταπονούνται από σεισμικές διεγέρσεις είναι ένα πρόβλημα που απασχόλησε πληθώρα μελετητών κατά την διάρκεια των χρόνων και οδήγησε στην ανάπτυξη διαφόρων μεθόδων για την εκτίμηση των μόνιμων παραμορφώσεων με το πέρας της κίνησης. Κατά την διάρκεια σεισμικής δραστηριότητας, όπως έχει αποδειχθεί, έχουν προκύψει τεράστιοι κίνδυνοι εξαιτίας του εν λόγω προβλήματος, όπως για παράδειγμα η αποκόλληση ολόκληρου τμήματος εδάφους πρανούς και ολίσθηση κατά μήκος της διεπιφάνειας σε επιχώματα ή η κατάρρευση φραγμάτων που οδήγησαν σε πλημμύρα. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να μελετήσει το φαινόμενο της ασύμμετρης ολίσθησης πρανούς προσομοιώνοντάς το, με ένα μοντέλο που αναπτύχθηκε το 1965 από τον Newmark και να καταδείξει το μέγεθος των μετατοπίσεων που αναπτύσσονται, το πώς η πολικότητα του σεισμού επηρεάζει την συμπεριφορά του πρανούς καθώς και την περεταίρω μελέτη που επιβάλλεται να διεξαχθεί. Στο 1 ο κεφάλαιο παρατίθενται παραδείγματα περιπτώσεων στα οποία ολίσθηση λαμβάνει χώρα και απαριθμούνται οι παράγοντες που λαμβάνονται σε κάθε περίπτωση υπ όψη. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται το μοντέλο ολίσθησης Newmark, όπως αυτό αναπτύχθηκε από τον ίδιο, καθώς και οι τροποποιήσεις που έλαβε μετέπειτα από άλλους ερευνητές που βασίστηκαν στην αρχική ιδέα. Στο 2 ο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση του το μαθηματικού τμήματος του προβλήματος της ολίσθησης, τη γεωμετρίας του, των εξισώσεων που το διέπουν καθώς και των παραδοχών που έγιναν. Σε αυτό το σημείο, εισάγονται οι έννοιες της συμμετρικής και ασύμμετρης ολίσθησης καθώς και νόμος που καθορίζει την συμπεριφορά του σώματος- διεπιφάνειας κατά την διάρκεια της κίνησης. Ορίζονται λοιπόν οι ισοδύναμοι συντελεστές τριβής ανάλογα με την φορά της τριβής που αναπτύσσεται στην διεπιφάνεια του σώματος με το έδαφος και το πρόβλημα του πρανούς που βρίσκεται υπό κλίση μεταφέρεται στο επίπεδο. Αφού περιγραφεί η λειτουργία του συστήματος κατά την διάρκεια του σεισμού, αναλύεται ο πρώτος τρόπος με τον οποίο αντιμετωπίστηκε το πρόβλημα, αναπτύσσοντας μία αναλυτική λύση, και παρουσιάζεται βήμα προς βήμα το πώς μορφώθηκε ο αλγόριθμος με τον οποίο έγιναν οι υπολογισμοί. Μία δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος έγινε μέσω του υστερητικού μοντέλου Bouc-Wen με κατάλληλη επιλογή παραμέτρων και παρουσιάζεται η σύγκριση ανάμεσα στους δύο τρόπους επίλυσης. Στο 3 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα συγκεκριμένων αναλύσεων χρονοϊστορίας άλλων μελετητών, που ασχολήθηκαν με το ίδιο πρόβλημα, οι προβληματισμοί σχετικά με τα συμπεράσματα που προκύπτουν και γίνεται νέα σύγκριση 4

με τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας για τον έλεγχο της ορθότητας του αλγορίθμου. Στο 4 ο κεφάλαιο παρατίθενται τα αποτελέσματα ανάλυσης χρονοϊστορίας με κύριες παραμέτρους τον συντελεστή τριβής στην πλευρά που υφίσταται ολίσθηση καθώς και την γωνίας πρανούς και σχολιάζονται τα αποτελέσματα. Οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν για ένα αρκετά μεγάλο αριθμό επιταχυνσιογραφημάτων αλλά κρίθηκε σκόπιμο εδώ να παρουσιαστεί ένα ενδεικτικό μέρος αυτών. Τέλος στο 5 ο κεφάλαιο, αναφέρονται θέματα που θα μπορούσαν να αποτελέσουν αντικείμενο περεταίρω μελλοντικής έρευνας. 5

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 8 1.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 8 1.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ NEWMARK 1 2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ NEWMARK 12 2.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΡΙΒΗΣ 12 2.2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 15 2.3 ΔΟΜΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ 16 2.4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ BOUC -WEN 22 3. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 29 4. ΠΑΡΑΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ 39 5. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ 49 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 5 6

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Συστήματα ολίσθησης στην επιστήμη του γεωτεχνικού μηχανικού... 8 Σχήμα 2.1 ολίσθηση προς τα κάτω... 12 Σχήμα 2.2 ολίσθηση προς τα πάνω... 13 Σχήμα 2.3 Σχηματική παρουσίαση ισοδύναμων συντελεστών ολίσθησης βάσει φοράς κίνησης... 13 Σχήμα 2.4 Στερεοπλαστική συμπεριφορά σώματος διεπιφάνειας... 14 Σχήμα 2.5 Γραμμική μεταβολή επιτάχυνσης στην διάρκεια χρονικού βήματος Δt... 16 Σχήμα 2.6 Σχηματική απεικόνιση αλλαγής προσήμου ταχύτητας... 19 Σχήμα 2.7 Σχηματική απεικόνιση διαγράμματος επιτάχυνσης... 2 Σχήμα 2.8 Γραφική απεικόνιση διγραμμικής συμπεριφοράς υστερητικού μοντέλου Bouc- Wen... 22 Σχήμα 2.9 Τριγωνικός παλμός για χρονικό βήμα dt=.1... 24 Σχήμα 2.1 Ημιτονοειδής παλμός για dt=.1sec... 26 Σχήμα 2.11 Απόκριση για οριζόντιο επίπεδο β = για την σεισμική διέγερση Takatori και διάφορες τιμές της κρίσιμης επιτάχυνσης... 27 Σχήμα 2.12 Απόκριση για οριζόντιο επίπεδο β =, για την σεισμική διέγερση Rinaldi 228 και διάφορες τιμές της κρίσιμης επιτάχυνσης... 28 Σχήμα 3.1 Εδαφική κίνηση και ταχύτητα (Younis και Tadjbakhsh, 1984)... 29 Σχήμα 3.2 Διάγραμμα ταχύτητας για ημιτονοειδή φόρτιση... 29 Σχήμα 3.3 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Takatori και τιμές κρίσιμης επιτάχυνσης.5 και.1... 31 Σχήμα 3.4 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Takatori και τιμές κρίσιμης επιτάχυνσης.2 και.3... 32 Σχήμα 3.5 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Takatori και τιμή κρίσιμης... 33 Σχήμα 3.6 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (αc =.1)... 34 Σχήμα 3.7 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την ανεστραμμένη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (ac =.5)... 35 Σχήμα 3.8 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την ανεστραμμένη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (ac =.5)... 36 Σχήμα 4.1 Eπιρροή της γωνίας πρανούς στην μεταβολή της παραμόρφωσης (Rinaldi 228⁰, ac =.1)... 39 7

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 1.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μεγάλος αριθμός κατασκευών του γεωτεχνικού μηχανικού αναπτύσσουν μηχανισμού ολίσθησης με την μορφή των κατολισθήσεων κάτω από δυναμική φόρτιση, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση ενός φράγματος ή επιχώματος που αστοχεί με μορφή σφήνας. Τέτοιοι μηχανισμοί ωστόσο, αναπτύσσονται όχι μόνο σε τεχνητά αλλά και σε φυσικά πρανή ως αποτέλεσμα της απώλειας της διατμητικής αντοχής και συνεπώς σχετική ολίσθηση εδαφικού πρίσματος ως προς το υπερκείμενο έδαφος με αστοχία της διεπιφάνειας που προέκυψε κατά την διάρκεια του σεισμού. Η επιφάνεια που επηρεάζεται από τον σεισμό εξαρτάται από πολλούς παράγοντες συμπεριλαμβανομένων την ένταση του σεισμού, του εστιακού βάθους, την τοπογραφία, τα γεωλογικά δεδομένα, το εύρος, το περιεχόμενο σε συχνότητες ( frequency content) και την διάρκεια της εδαφικής κίνησης. Σχήμα 1.1 Συστήματα ολίσθησης στην επιστήμη του γεωτεχνικού μηχανικού 8

Το σύστημα ολισθαίνοντος σώματος- κεκλιμένου επιπέδου βρίσκει εφαρμογή και στη εκτίμηση δυναμικών καθιζήσεων επιφανειακών θεμελίων καθώς και την ολίσθηση τοίχων αντιστήριξης. Ολισθαίνοντα συστήματα θεωρούνται και οι σεισμικά μονωμένες κατασκευές επί εφεδράνων τριβής, είτε μικρού μεγέθους όπως για παράδειγμα το άγαλμα του Ερμή του Πραξιτέλους στο μουσείο της Ολυμπίας, είτε μεγαλύτερες δομοστατικές κατασκευές. Εικόνα 1.2 Συστήματα σεισμικής μόνωσης με ολίσθηση. Εφαρμογή εφεδράνων τριβής στο άγαλμα του Πραξιτέλους την Ολυμπία (πάνω) και σεισμική μόνωση σε δομοστατική κατασκευή (κάτω) 9

1.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ NEWMARK Το 1965 ο Nathan Newmark, με έμπνευση την αδημοσίευτη μελέτη του R.V.Whitman για τις παραμορφώσεις του πρανούς στο κανάλι του Παναμά, πρότεινε ένα απλό μοντέλο προσομοίωσης συμπεριφοράς χωμάτινων φραγμάτων και επιχωμάτων που διεγείρονται σεισμικά. Οι υπολογισμοί βασίστηκαν στην παραδοχή πως ολόκληρη η μάζα κατά την διάρκεια της κίνησής της συμπεριφέρεται σαν στερεό σώμα ενώ αναπτύσσεται αντίσταση στην επιφάνεια ολίσθησης. Στη περίπτωση του πρανούς, η προκύπτουσα αντίσταση είναι προφανώς διαφορετική ανάλογα με την διεύθυνση της ολίσθησης. Σχήμα 1.3 Μοντέλο Ολίσθησης NEWMARK Βάσει αυτών των παραδοχών περιέγραψε τις μόνιμες παραμορφώσεις που προκύπτουν όταν οι αδρανειακές δυνάμεις ξεπεράσουν την αντίσταση τριβής στην επιφάνεια αστοχίας και εισήγαγε το ομώνυμο μοντέλο ολίσθησης Newmark. Ένα χρόνο αργότερα, το 1966 οι Seed & Martin πραγματεύονται την αξιοπιστία της ψευδοστατικής ανάλυσης στον αντισεισμικό σχεδιασμό με την χρήση ενός σεισμικού συντελεστή και εισάγουν το σκεπτικό πρόβλεψης των σεισμικών δυνάμεων εφαρμόζοντας το μοντέλο Newmark για την εκτίμηση παραμορφώσεων σε φράγματα. Το 1978 οι Maksisi & Seed αναπτύσσουν μια απλοποιημένη διαδικασία που περιορίζεται σε εδάφη με μικρή απώλεια αντοχής λόγω της κυκλικής φόρτισης και το 1979 οι Richards & Elms επεκτείνουν την εφαρμογή του μοντέλου σε τοίχους αντιστηριξης. Ωστόσο το αρχικό μοντέλο εμφανίζει αρκετές ελλείψεις και αναπτύσσονται τροποποιήσεις του όπως π.χ. 1

συμπεριλάβει τις ιδιότητες του υλικού στην διεπιφάνεια αστοχίας (Kramer & Smith,1997) ή να τις μη συντηρητικές παραδοχές απέναντι σε έντονες σεισμικές διεγέρσεις (Bray &Rathje, 1999). Πιο πρόσφατα μελέτες, εισήγαγαν και τις τρεις συνιστώσες του σεισμού, εφαρμόζοντας τρισδιάστατη ανάλυση, σύγκριναν τα αποτελέσματα με αυτά της μονοδιάστατης που ο Newmark αρχικά είχε προτείνει (Kramer & Lindwal, 24) και αποδείχθηκε η ελάσσονα σημασία της κάθετης σεισμικής συνιστώσας (Garini et al, 29). Το μοντέλο αυτό κατά την διάρκεια των χρόνων υιοθετήθηκε από πληθώρα μελετητών και ακολούθησαν πλείστες τροποποιήσεις αυτού: στην εκτίμηση παραμορφώσεων σε φράγματα από τους Ambraseys & Sarma (1967), Sarma (1975, 1981), Franklin & Chang (1977, Lin & Whitman (1983), Constantinou & Gazetas (1987), Yegian et al (1991), Sawada et al (1993) Gazetas & Uddin (1994), Kramer (1996), σε παραμορφώσεις λόγω κατολισθήσεων από τους Wilson & Keefer (1983), Jibson (1994), Harp & Jibson (1995), Del Gaudio et al (23), την σεισμική απόκριση επιχωμάτων επενδυμένα με από τους Yegian et al (1998) όπως και την χρήση του σε χώρους υγειονομικής ταφής σερεών αποβλήτων από τους Bray & Rathjee (1998), καθίζηση λόγω σεισμικής δραστηριότητας στις επιφανειακές θεμελιώσεις από Richards et al (1982); Στην ολίσθηση φραγμάτων βαρύτητας από σκυρόδεμα από τους Leger & Katsouli (1989), Danay & Adeghe (1993) και Fenves & Chopra (1996). 11

2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ NEWMARK 2.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΤΡΙΒΗΣ Το προσομοίωμα Newmark περιγράφεται από ένα απόλυτα στερεό σώμα μάζας m, εδράζόμενο επί κεκλιμένου επιπέδου το οποίο σχηματίζει γωνία βμε το οριζόντιο επίπεδο και συντελεστή τριβής μ. Η φόρτιση η οποία υφίσταται είναι σεισμική και παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Εάν θεωρήσουμε την δυναμική ισορροπία του σώματος: i. Για κίνηση του σώματος προς τα κάτω: Σχήμα 2.1 ολίσθηση προς τα κάτω Η δύναμη της τριβής λειτουργεί πάντα αντίθετα στη φορά της κίνησης και συνεπώς η ολική αντίσταση τριβής θα είναι ίση με F 1 = Τ μgsinβ = mg(μ cos β sin β) = μ 1 mg Ισοδύναμος συντελεστής τριβής για ολίσθηση προς τα κάτω: μ 1 = μ cos β sin β (2.1) 12

ii. Για κίνηση του σώματος προς τα πάνω Σχήμα 2.2 ολίσθηση προς τα πάνω F 2 = Τ + μgsinβ = mg(μ cos β + sin β) = μ 2 mg Ισοδύναμος συντελεστής τριβής για ολίσθηση προς τα πάνω: (2.2) μ 2 = μ cos β + sin β Μεταφέρουμε λοιπόν την κίνηση στο επίπεδο ορίζοντας του δύο παραπάνω ισοδύναμους Σχήμα 2.3 Σχηματική παρουσίαση ισοδύναμων συντελεστών ολίσθησης βάσει φοράς κίνησης συντελεστές τριβής ολίσθησης ανάλογα με την φορά της κίνησής. Προφανώς για γωνία θ =, μ 1 = μ 2 = μ,δηλαδή οι δύο συντελεστές ταυτίζονται και έχουμε συμμετρική 13

ολίσθηση. Στην περίπτωση του κεκλιμένου επιπέδου οι δυο συντελεστές διαφέρουν και έχουμε ασύμμετρη ολίσθηση. Σε αυτό τι σημείο θα πρέπει να διασαφηνιστεί πως γίνεται παραδοχή στερεοπλαστικής συμπεριφοράς της διεπιφάνειας επιπέδου σώματος δηλαδή, παραδοχή ισότητας συντελεστή στατικής και κινητικής τριβής. Ο νόμος που διέπει την κίνησης φαίνεται στην εικόνα 2.4 F μ 1 mg μ 2 mg u (t) Οι δύο ισοδύναμοι συντελεστές συνδέονται με τη σχέση μ 2 = μ 1 + 2sinβ (2.3) Σχήμα 2.4 Στερεοπλαστική συμπεριφορά σώματος διεπιφάνειας Με τον συντελεστή τριβής μ να παίρνει τιμές.5 < μ <.8 και τη γωνία β 25. Η καθοριστική παράμετρος για την απόκριση του αναλόγου Newmark είναι ο λόγος δ = μ 2 /μ 1 : μ 1 = 2sinβ (δ 1) (2.4) 14

2.2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Η συμπεριφορά του σώματος είναι απλή και διέπεται από τους θεμελιώδεις νόμους της δυναμικής. Το σώμα ξεκινάει από ακινησία με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταχύτητας και μετατόπισης. Όσο η επιτάχυνση του εδάφους είναι κατ απόλυτη τιμή μικρότερη από την κανονικοποιημένη τριβή δεν υπάρχει καμία ολίσθηση και ισχύει πως u g < f = μg, u block = u g και συνεπώς u rel,b = u rel,b =. Όταν η επιτάχυνση του εδάφους υπερνικήσει την τριβή, u g f ξεκινά η ολίσθηση. Κατά την διάρκεια της κίνησης θα υπάρξουν χρονικές στιγμές που η ταχύτητα του σώματος και του εδάφους θα γίνουν ίδιες, συνεπώς η σχετική ταχύτητα του σώματος θα λάβει μηδενική τιμή. Αν εκείνη τη στιγμή η επιτάχυνση του εδάφους είναι μικρότερη από την κανονικοποιημένη τριβή u g < f η ολίσθηση θα λάβει τέλος. Ορίζουμε λοιπόν σαν κρίσιμη επιτάχυνση την τιμή Α c = α c g την οποία θα πρέπει να ξεπεράσει η τιμή της u g με Α c = μg για την συμμετρική ολίσθηση και Α c1 = μ 1 g και Α c2 = μ 2 g αντίστοιχα για την ασύμμετρη ολίσθηση. 15

2.3 ΔΟΜΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ Οι αναλύσεις χρονοϊστορίας έγιναν στο πρόγραμμα Matlab 214a όπου εισήχθησαν οι εξισώσεις αναλυτικά και δεν έγινε χρήση καμίας ρουτίνας. Παρουσιάζεται βήμα βήμα η δομή του αλγορίθμου για την κατανόηση της ανάλυσης. i. Προσδιορισμός της επιτάχυνσης του εδάφους u g Στην ανάλυσή μας έγινε παραδοχή γραμμικής μεταβολής της εδαφικής επιτάχυνσης σε κάθε χρονικό βήμα Δt ώστε να μπορεί να γίνει γραμμική παρεμβολή για τον υπολογισμό της σε ενδιάμεση χρονική στιγμή. Σχήμα 2.5 Γραμμική μεταβολή επιτάχυνσης στην διάρκεια χρονικού βήματος Δt Εάν ορίσουμε σαν s την κλίση της επιτάχυνσης μέσα σε ένα χρονικό βήμα, θα ισούται με: s = u g(t + Δt) u g(t) Δt Και η επιτάχυνση σε μία τυχαία χρονική στιγμή τ, < τ < Δt θα έχει τιμή (2.5) u g(t + τ) = sτ + u g(t) (2.6) Είναι λοιπόν μία εξίσωση ευθείας της μορφής u g(t + τ) = sτ + β με β = u g(t) 16

ii. Μόρφωση της γενικής εξίσωσης κίνησης Με απλή εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα mu tot = f Διαιρώντας με την μάζα m(u rel) = f mu g u rel = f m u g u rel(t) = f u g(t) (2.7) Όπου u tot = u rel + u g η απόλυτη επιτάχυνση του σώματος ίση με το άθροισμα της σχετικής και της επιτάχυνσης του εδάφους f η δύναμη της τριβής (f = f η κανονικοποιημένη τριβή ως προς τη μάζα) m Βάσει της παραπάνω θεώρησης σε μία τυχαία χρονική στιγμή u rel(t + τ) = f (ατ + β) (2.8) iii. Μόρφωση της εξίσωση κίνησης ανάλογα με την κατεύθυνση κίνησης Καταρχήν, ορίζεται ισοδύναμος συντελεστής τριβής ανάλογα με την φορά της κίνησης : Για κίνηση προς τα πάνω: Για κίνηση προς τα κάτω μ 2 = (μ cos θ + sin θ) (2.9) μ 1 = (μ cos θ sin θ) (2.1) Όπως έχει ήδη αναφερθεί οι δύο συντελεστές λαμβάνουν προφανώς διαφορετικές τιμές (ασύμμετρη ολίσθηση) με μ 2 μ 1 έτσι ώστε κατά το πλείστων των περιπτώσεων ολίσθηση να προκύπτει μόνο προς τα κάτω. 17

Στο παρακάτω δενδροδιάγραμμα παρουσιάζεται σχηματικά η τιμή που λαμβάνει η κανονικοποιημένη τριβή ανάλογα με το πρόσημο της σχετικής ταχύτητας του σώματος καθώς και της εδαφικής επιτάχυνσης και έπειτα βάσει αυτού πως διαμορφώνεται η εξίσωση κίνησης: u rel = > f = μ 1 g = u g = > u g { > μ 2g f = μ 2 g < μ 2 g f = u g = f = < u g { > μ 1g f = μ 1 g { < μ 1 g f = u g { < f = μ 2 g (2.11) > u rel = μ 1 g u g u rel = = u g = > u g { > μ 2g u rel = μ 2 g u g < μ 2 g u rel = = u rel = < u { g { > μ 1g u rel = μ 1 g u g < μ 1 g u rel = { < u rel = μ 2 g u g (2.12) iv. Ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης για τον υπολογισμό της ταχύτητας Θεωρώντας την επιτάχυνση γραμμική σαν άθροισμα μιας σταθεράς και μιας γραμμικής συνάρτησης η σχετική ταχύτητα μία τυχαία στιγμή θα πρέπει να είναι συνάρτηση δευτέρου βαθμού: u rel(t + τ) = f τ a τ2 2 βτ + u rel(t) (2.13) Μετά τον υπολογισμό της ταχύτητας στο τέλος του βήματος για την χρήση της στην αρχή του επόμενου, επιβάλλεται έλεγχος αλλαγής προσήμου της ταχύτητας. Στη περίπτωση που υπάρχει αλλαγή, υπάρχει σφάλμα στον υπολογισμό του u rel(t + Δt) λόγω της αλλαγής προσήμου του f την στιγμή του μηδενισμού και θα πρέπει να γίνει διαίρεση του χρονικού βήματος και ολοκλήρωση των επιμέρους τμημάτων για τον επαναυπολογισμό της ταχύτητας. 18

Σχηματικά Σχήμα 2.6 Σχηματική απεικόνιση αλλαγής προσήμου ταχύτητας Η συνθήκη για διαίρεση του βήματος u rel(t)u rel(t + Δt) < (2.14) Αν t + τ 1 η χρονική στιγμή μηδενισμού τότε την στιγμή εκείνη Συνεπώς u rel(t + τ 1 ) = a τ 1 2 2 + (f + β)τ 1 u rel(t) = Πρόκειται για μία εξίσωση δευτέρου βαθμού με ακριβή λύση τ 1 = [f + β] ± [f + β] 2 + 2au rel(t) a (2.15) Η εξίσωση αυτή θα δώσει δύο λύσεις. Αποδεκτή είναι η θετική εκ των δύο ενώ η αρνητική θα πρέπει να απορριφθεί. 19

v. Υπολογισμός της επιτάχυνσης στο σημείο μηδενισμού της ταχύτητας και επανϋπολογισμός της επιτάχυνσης και της ταχύτητας στο τέλος του χρονικού βήματος Αφού υπολογιστεί το σημείο μηδενισμού της ταχύτητας επιβάλλεται να γίνει έλεγχος ολίσθησης στο σημείο αυτό. Ενδέχεται είτε η επιτάχυνση του εδάφους να μην ξεπερνά την τριβή και η κίνηση να λάβει τέλος είτε απλά το σώμα να αρχίσει να κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Εάν η ολίσθηση συνεχίζεται με αντίθετη ταχύτητα υπολογίζεται ξανά η επιτάχυνση στο τέλος του βήματος. Ο υπολογισμός της επιτάχυνσης στο σημείο μηδενισμού της ταχύτητας γίνεται με χρήση του μεσαίου κλάδου του παραπάνω αλγορίθμου. Στη συνέχεια υπολογίζεται η νέα επιτάχυνση με την σωστή δύναμη τριβής και κατ επέκταση η ταχύτητα στο τέλος του χρονικού βήματος. Σχήμα 2.7 Σχηματική απεικόνιση διαγράμματος επιτάχυνσης u rel(t + Δt) = f (sδt + β) (2.16) u rel(t + Δt) = 1 2 (u rel(t + τ 1 ) + u rel(t))τ 1 + 1 2 (u rel(t + τ 1 ) + u rel(t + Δt))(Δt τ 1 ) (2.17) 2

vi. Υπολογισμός της απόκρισης σε κάθε χρονική στιγμή με ολοκλήρωση της εξίσωσης της ταχύτητας Η απόκριση θα είναι εξίσωση τρίτου βαθμού και σε μία τυχαία χρονική στιγμή προκύπτει ίση με: Για τ = τ u rel (t + τ) = f 2 τ3 τ2 s β 2 6 2 + u rel(t)τ + c 2 u rel (t + τ) = u rel (t) c 2 = u rel (t) u rel (t + τ) = f τ2 2 s τ3 6 β τ2 2 + u rel(t)τ + u rel (t) Στο τέλoς του χρονικού βήματος τ = Δt ή u rel (t + Δt) = f Δt2 2 Δt3 s 6 Δt2 β 2 + u rel(t)δt + u rel (t) (2.18) u rel (t) = u rel (t) + Δt u rel(t) + Δt2 6 (u rel(t + Δt) + 2u rel(t)) (2.19) 21

2.4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ BOUC -WEN Μία δεύτερη προσπάθεια για προσομοίωση της μη γραμμικής συμπεριφοράς του προβλήματός μας έγινε και μέσω του μοντέλου Bouc- Wen. F y K pl K el u y Σχήμα 2.8 Γραφική απεικόνιση διγραμμικής συμπεριφοράς υστερητικού μοντέλου Bouc- Wen To μοντέλο Bouc-Wen είναι ένα μοντέλο υστερητικό που περιγράφει την συμπεριφορά μη γραμμικών συστημάτων όπως φαίνεται στη παραπάνω εικόνα. Σύμφωνα με αυτό η δύναμη επαναφοράς είναι ίση με : F(t) = ak i u(t) + (1 a)k i u y z(t) (2.2) όπου a = Κ pl /Κ el ο λόγος των δυσκαμψιών πριν και μετά την διαρροή z(t) μία παράμετρος που υπακούει στην παρακάτω διαφορική z (t) = 1 u y (Au (t) βu (t) z(t) n γu (t)z(t) z(t) n ) (2.21) Θεωρώντας λοιπόν, την εξίσωση κίνησης mu rel + F(t) = mu g (2.22) 22

Είναι προφανές πως στο πρόβλημα της ολίσθηση, ως δύναμη επαναφοράς λειτουργεί η τριβή. Για να επιτύχουμε την στερεοπλαστική συμπεριφορά αφενός θεωρήσαμε τιμή της μεταβλητής a = (για μηδενική τιμή της δυσκαμψίας μετά την διαρροή) και αφετέρου για απαλοιφή του γραμμικού κλάδου και επίτευξη της άπειρης αρχικής δυσκαμψίας δόθηκε μία πάρα πολύ μικρή τιμή στην μετακίνηση διαρροής της τάξεως του 1 7. Η δυσκαμψία Κ el βάσει του σχήματος είναι ίση με Όπου Κ el = F y u y (2.23) F y = μ ι mg (2.24) H επίλυση της διαφορικής εξίσωσης έγινε με την εντολή ODE15s tου Matlab για δύσκαμπτα συστήματα. Στον πίνακα που ακολουθεί παρατίθενται οι τιμές που δώθηκαν στις παραμέτρους του μοντέλου. Πίνακας 2.1 Πίνακας παραμέτρων μοντέλου Bouc- Wen A β γ n u y 1.5.5 21 1 7 Ο αρχικός έλεγχος του αλγορίθμου έγινε για απλές φορτίσεις, έναn τριγωνικό και έναn ημιτονοειδής παλμό για την περίπτωση της συμμετρικής ολίσθησης και συντελεστή τριβής μ =.3. Οι αναλύσεις έγιναν για διάφορες τιμές του χρονικού βήματος, είτε αρκετά μεγάλο ( π.χ. dt =.25 sec) είτε για αρκετά μικρό ( π.χ. dt =.1 sec). Tα αποτελέσματα ακολουθούν. Αυτό που παρατηρήθηκε είναι πως για τον τριγωνικό παλμό όσο η τιμή του dt μειώνεται, στο διάγραμμα της επιτάχυνσης εμφανίζεται μία συμπεριφορά υψηλών συχνοτήτων τύπου θορύβου. 23

a tot (m/sec 2 ) v rel (m/sec) a g (m/sec 2 ) 6 ground acceleration 4 2-2 5 1 15 2-4 -6 relative velocity,8,4 -,4 -,8 5 1 15 2 Bouc-Wen Model closed-form solution 4 total acceleration 2-2 -4 5 1 15 2 Bouc-Wen Model Closed-form solution Σχήμα 2.9 Τριγωνικός παλμός για χρονικό βήμα dt=.1 24

v rel (m/sec) a tot (m/sec 2 ) a g (m/sec 2 ) 6 ground acceleration 4 2-2 1 2 3 4-4 -6 4 total acceleration 2-2 -4 1 2 3 4 Bouc-Wen Model Closed- form soution 1 relative velocity,5 -,5-1 1 2 3 4 Bouc-Wen Model closed-form solution 25

v tot (m/sec) total velocity 1,5 1,5 -,5-1 -1,5 1 2 3 4 Bouc= Wen Model closed-form solution Σχήμα 2.1 Ημιτονοειδής παλμός για dt=.1sec Στην περίπτωση της ημιτονοειδούς φόρτισης δεν παρατηρούμε κάποια αστάθεια του διαγράμματος της ολικής επιτάχυνσης σε αντίθεση με αυτή τoυ τριγωνικού παλμού. Τέλος, έγιναν αναλύσεις χρονοϊστορίας ενδεικτικά για κάποιες σεισμικές διεγέρσεις (για αυτές που συγκρίναμε από τη βιβλιογραφία) και τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά σε σχέση με αυτά τη αναλυτικής λύσης με εξισώσεις που έχει ήδη παρουσιασθεί. Η απόκριση βρέθηκε ευαίσθητη στην τιμή της παραμέτρου n όσον αφορά στον υπολογισμό της μόνιμης παραμόρφωσης. 26

u rel (m) u rel (m) u rel (m) u rel (m) u rel (m),6 -,6 3 6 9 12 15 18 a c =.5 Closed-form solution Bouc-Wen Model,8 a c =.1,4 -,4 3 6 9 12 15 18 t (sec Closed-form solution Bouc-Wen Model,6,2 -,2 3 6 9 12 15 18 a c =.2 Closed-form solution Bouc-Wen Model,4 a c =.3,2-2 3 8 13 18 Closed-form solution Bouc-Wen Model,2,1 3 6 9 12 15 18 a c =.4 Closed-form solution Bouc-Wen Model Σχήμα 2.11 Απόκριση για οριζόντιο επίπεδο (β = ) για την σεισμική διέγερση Takatori και διάφορες τιμές της κρίσιμης επιτάχυνσης 27

u rel (m) a tot (m/sec 2 ) v tot (m/sec) total velocity,6,4 closed-form solution Bouc-Wen Model,2 -,2 3 6 9 12 -,4 -,6 1,5 1 total aceleration Closed-form Solution Bouc-Wen Model,5 -,5 2 4 6 8 1 12-1 -1,5 displacement,6,3 closed-form solution Bouc- Wen Model 3 6 9 12 -,3 Σχήμα 2.12 Απόκριση για οριζόντιο επίπεδο (β = ), για την σεισμική διέγερση Rinaldi 228 και διάφορες τιμές της κρίσιμης επιτάχυνσης 28

velocity (m/s) 3. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Για τον έλεγχο της ορθότητας του αλγορίθμου έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων με αυτών της βιβλιογραφίας: Σχήμα 3.1 Εδαφική κίνηση και ταχύτητα (Younis και Tadjbakhsh, 1984) 1,5 1,5 Ημιτονοειδής φόρτιση total velocity ground velocity -,5,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5-1 -1,5 Σχήμα 3.2 Διάγραμμα ταχύτητας για ημιτονοειδή φόρτιση Το παραπάνω διάγραμμα έγινε για μ 1 = μ 2 =.2 και ημιτονοειδή φόρτιση και αποδεικνύει πως η ένωση των σημείων μηδενισμού της ταχύτητας αποτελείται από ευθείες με κλίση ίση με μg όπως είχαν αποδείξει και το 1984 στη δημοσίευση τους οι Younis και Tadjbakhsh (Εικόνα 3.2). Ακολουθεί η σύγκριση των αποτελεσμάτων για συγκεκριμένα σεισμογραφήματα με την πρόσφατη δημοσίευση των GARINI ET AL (214) (δεξιά στήλη). 29

Στη παρούσα εργασία οι αναλύσεις με τον αλγόριθμο που κατασκευάστηκε βάσει της προαναφερθείσας λογικής, ενώ τα προς σύγκριση διαγράμματα δεν γνωρίζουμε από ποιο πρόγραμμα προέκυψαν καθώς και τι παραδοχές ίσως έχουν γίνει. Τα αποτελέσματα ωστόσο, δείχνουν να είναι ικανοποιητικά αφού όπως φαίνεται στη συνέχεια,οι αποκλίσεις είναι πολύ μικρές και κυρίως στα διαγράμματα της απόκρισης, γεγονός που αποδίδεται είτε στην διαδοχική ολοκλήρωση είτε στο γεγονός ότι μικροδιαφορές παρουσιάζουν μεταξύ τους και τα αρχικά επιταχυνσιογραφήματα που δόθηκαν σαν φόρτιση. 3

d (m) d (m),6,3 -,3 a c =.5 3 6 9 12 15 18 -,6.49m,8,4.43m a c =.1 3 6 9 12 15 18 -,4 Σχήμα 3.3 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Takatori και τιμές κρίσιμης επιτάχυνσης.5 και.1 31

d(m) d (m),6.45m,4,2 α c =.2 -,2 3 6 9 12 15 18,4,2.25m α c =.3 5 1 15 Σχήμα 3.4 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Takatori και τιμές κρίσιμης επιτάχυνσης.2 και.3 32

d (m),2 a c =.4,1 3 6 9 12 15 18 Σχήμα 3.5 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο για την σεισμική διέγερση Takatori και τιμή κρίσιμης επιτάχυνσης.4 33

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 9 6 3-3 2 4 6 8 1-6 -9 2, 1,, 2 4 6 8 1-1,,6.35m,3 -,3 2 4 6 8 1 Σχήμα 3.6 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (a c =.5) 34

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 9 6 3-3 -6-9 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5-2, 2 4 6 8 1 12 2 4 6 8 1 12 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 Σχήμα 3.7 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την ανεστραμμένη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (a c =.5) 35

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 9 6 3-3 2 4 6 8 1 12-6 -9 2, 1,5 1,,5, -,5 2 4 6 8 1 12-1, -1,5 1,8 1,2 1.71m,6 2 4 6 8 1 12 Σχήμα 3.8 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την ανεστραμμένη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 (a c =.5) 36

d (m) d (m) d (m) 4,5 3,6 a c /a H =.5 2,7 1,8 1.98m,9 4,5 3,6 2 4 6 8 1 a c /a H =.1 2,7 1,8 1.23m,9 4,5 3,6 2 4 6 8 1 a c /a H =.2 2,7 1,8,9 2 4 6 8 1.53m Σχήμα 3.9 Σύγκριση αποτελεσμάτων για την σεισμική διέγερση Rinaldi 228 για διάφορες τιμές του λόγου α c /a P όπου a P =.84 (δεξιά Gazetas et.al 29) Στα παραπάνω διαγράμματα παρουσιάζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων με την δημοσίευση των GAZETAS ET. AL (211). Στην συγκεκριμένη μελέτη δίνονται τιμές στον κρίσιμο συντελεστή τριβής ως ποσοστό της μέγιστης εδαφικής επιτάχυνσης(α P = a p g ) της εκάστοτε σεισμικής διέγερσης. Και σε αυτή τη περίπτωση οι αποκλίσεις είναι σχετικά μικρές και σε καμία περίπτωση δεν αλλάζουν την τάξη μεγέθους της μετακίνησης. 37

d (m) d (m) d (m) 4,5 3,6 2,7 1,8,9 4,5 3,6 2,7 1,8 a c /a H =.5 4.12m 2 4 6 8 1 a c /a H =.1 2.8m,9 4,5 3,6 2 4 6 8 1 a c /a H =.2 2,7 1,8,9.96m 2 4 6 8 1 Σχήμα 3.1 Σύγκριση αποτελεσμάτων για την ανεστραμμένη σεισμική διέγερση Rinaldi 228 για διάφορες τιμές του λόγου α c /a P όπου a P =.84 (δεξιά Gazetas et.al 29) 38

d (m) 4. ΠΑΡΑΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Καθοριστικοί παράμετροι στην ανάλυση μας ορίζονται η γωνία του πρανούς β και η κρίσιμη επιτάχυνση α c και διερευνάται η συμπεριφορά του σώματος για διάφορες τιμές τους. Στο παρακάτω διάγραμμα γίνεται ξεκάθαρο το πώς η γωνία β επηρεάζει την τιμή της μόνιμης παραμόρφωσης. Παρατηρούμε για τιμές της γωνίας μικρές ( β < 1 ), μικρή αύξηση της γωνίας προκαλεί αξιοσημείωτη μεταβολή της της παραμόρφωσης, ενώ για μεγαλύτερες τιμές της γωνίας η τιμή της συγκλίνει. 1,8 1,2 β=2⁰ β=5⁰ β=6⁰,6 β=8⁰ β=1⁰ 2 4 6 8 1 β=15⁰ β=25⁰ Σχήμα 4.1 Eπιρροή της γωνίας πρανούς στην μεταβολή της παραμόρφωσης (Rinaldi 228⁰, a c =.1) β β u g Σχήμα 4.2 Πρανή προσομοίωσης διαφορετικής πολικότητας σεισμικής διέγερσης 39

Περιπτώσεις με ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποτελούν Το οριζόντιο επίπεδο με β = Πρανές κλίσης β = 25, μία αντιπροσωπευτική τιμή ενός τυπικού πρανούς Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης χρονοϊστορίας για σεισμικές διεγέρσεις είτε για την ορθή φορά του σεισμού είτε ανεστραμμένου. Ουσιαστικά εξετάζουμε την συμπεριφορά δύο πρανών με τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά, όπως αυτά του Σχ. 4.2 τα οποία όπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια σε συγκεκριμένες περιπτώσεις για την ίδια σεισμική φόρτιση θα εμφανίσουν αξιοσημείωτες διαφορές στην απόκρισή τους. 4

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 6 3 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -6 1,, 1 2 3 4 5 6 7 8-1,,4,2 2 4 6 8 -,2 -,4 Σχήμα 4.3 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο (β = ) για την σεισμική διέγερση Parkfield, station C2 (a c =.5) 41

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 6 3 2 4 6 8-3 -6 1,,5, 2 4 6 8 -,5-1,,8,6,4,2 1 2 3 4 5 6 7 8 Σχήμα 4.4 Απόκριση για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την σεισμική διέγερση Parkfield, station C2 (a c =.5) 42

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 6 3 1 2 3 4 5 6 7 8-3 -6 1,,5, 2 4 6 8 -,5-1, 1,5 1 2 3 4 5 6 7 8 Σχ 4.5 Απόκριση για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την σεισμική διέγερση Parkfield, station C2 (a c =.5) 43

d (m) d (m),8.62m,6,4,2.23m.4m 1 2 3 4 5 6 7 8 μ₁=.5 μ₁=.1 μ₁=.2 μ₁=.4,8,6.56m,4.31m,2.12m 2 4 6 8 μ₁=.5 μ₁=.1 μ₁=.2 μ₁=.4 Σχήμα 4.6 Απόκριση για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την σεισμική διέγερση Parkfield, station C2 (ορθά και ανάστροφα) για διάφορες τιμές της κρίσιμης επιτάχυνσης Τα δύο παραπάνω διαγράμματα αποδεικνύουν αφ ενός την μείωση της απόκρισης για αύξηση της τιμής της κρίσιμης επιτάχυνσης καθώς και πως η συγκεκριμένη σεισμική διέγερση δεν επηρεάζεται από την πολικότητα του σεισμού. 44

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 9 6 3 5 1 15 2-3 -6-9 2, 1,, 5 1 15 2-1, -2,,9,6,3, 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 -,3 -,6 -,9.85m Σχήμα 4.7 Ανάλυση χρονοϊστορίας για οριζόντιο επίπεδο (β = ) για την σεισμική διέγερση Tabas (a c =.5) 45

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 8 6 4 2-2 5 1 15 2-4 -6-8 1,5 1,,5, 5 1 15 2 -,5-1, 3 2.85m 2 1 5 1 15 2 Εικόνα 4.8 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την σεισμική διέγερση Tabas (a c =.5) 46

d (m) v (m/sec) a (m/sec 2 ) 8 6 4 2-2 5 1 15 2-4 -6-8 1,,5, -,5 5 1 15 2-1, -1,5 3 2,5 2 2.63m 1,5 1,5 5 1 15 2 Εικόνα 4.9 Ανάλυση χρονοϊστορίας για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την ανεστραμμένη σεισμική διέγερσηtabas (a c =.5) 47

d (m) d (m) 3 2,5 2 2.85m 1,5 1,5 1.33m.28m 5 1 15 2 μ₁=.5 μ₁=.1 μ₁=.2 μ₁=.4 3 2,5 2 2.63m 1,5 1,5 1.8m.3m 5 1 15 2 μ₁=.5 μ₁=.1 μ₁=.2 μ₁=.4 Εικόνα 4.1 Απόκριση για κεκλιμένο επίπεδο (β = 25 ) για την σεισμική διέγερση Tabas (ορθά και ανάστροφα) για διάφορες τιμές της κρίσιμης επιτάχυνσης 48

5. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ Στις προηγούμενες ενότητες, παρουσιάστηκε αναλυτικά το μοντέλο NEWMARK, έγινε ένα σύνολο αναλύσεων για σεισμικές διεγέρσεις εγγύς πεδίου (near fault ground motions) και για κάθε μία κατασκευάστηκαν τα διαγράμματα επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετατόπισης. Οι εδαφικές κινήσεις εγγύς πεδίου απασχόλησαν πλήθως μελετητών και έγινε προσπάθεια προσομοίωσής τους με κυματίδια (wavelets) ( Gabor, Ricker, Berlage, κ.α.). Ο λόγος για την προσπάθεια αυτή είναι η σύσταση τους από έναν παλμό και ένα υψίσυχνο τμήμα τύπου θορύβου. Στην ερευνητική εργασία των MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU (23) με τίτλο «Mathematical Representation of Near Fault Ground Motion», οι συγγραφείς προτείνουν ένα αναλυτικό μοντέλο για την αναπαράσταση σεισμικών κινήσεων εγγύς πεδίου. Το μοντέλο αυτό αποδεικνύεται πως περιγράφει επαρκώς τον ωστικό χαρακτήρα τους και γίνεται βαθμονόμηση με την χρήση όλων των διαθέσιμων εδαφικών διεγέρσεων. Προσομοιώνονται ικανοποιητικά η εδαφική μετατόπιση, ταχύτητα και σε πολλές περιπτώσεις και τη επιτάχυνση ενώ οι παράμετροι που το διέπουν έχουν σαφή φυσική σημασία. Προτείνεται λοιπόν η δυναμική ανάλυση για το μοντέλο NEWMARK ξεχωριστά για το τμήμα του παλμού με την χρήση του μοντέλου των MAVROEIDIS & PAPAGEORGIOU και για το τμήμα του θορύβου (με αφαίρεση του παλμού από το επιταχυνσιογράφημα). Λόγω της μη γραμμικότητας του προβλήματος αναμένεται η επαλληλία των αποτελεσμάτων να μην συμπίπτει με το αποτέλεσμα ανάλυσης της εκάστοτε εδαφικής κίνησης (όπως αυτή υπολογίστηκε στην παρούσα εργασία). Τέλος, συστήνεται η διερεύνηση των τιμών των παραμέτρων για τις οποίες η επαλληλία των δύο αναλύσεων θα προσεγγίσει τα αποτελέσματα της χρονοϊστορίας. 49

6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bray, J. D. & Rathje, E. M. (1998). Earthquake-induced displacements of solid-waste landfills. J. Geotech. Geoenviron. Eng, ASCE 124, No. 3, 242 253. Constantinou, M. C. & Gazetas, G. (1987). Probabilistic seismic sliding deformations of earth dams and slopes. Proceedings of the specialty conference on probabilistic mechanics and structural reliability, ASCE, Berkeley, pp. 318 321. Constantinou, M. C., Gazetas, G. & Tadjbakhsh, I. (1984). Stochastic seismic sliding of rigid mass against asymmetric coulomb friction. Earthquake Eng Struct. Dynamics 12, No. 7, 777 793. Garini E, Gazetas G, Anastasopoulos I (211) Asymmetric Newmark sliding caused by motions containing severe directivity and fling pulses. Géotechnique 61(9):733 756 E. Garini N. Makris G. Gazetas (214) Elastic and inelastic systems under near-fault seismic shaking: acceleration records versus optimally-fitted wavelets. Bull Earthquake Eng DOI 1.17/s1518-14-9631-z Gazetas G, Garini E, Anastasopoulos I, Georgarakos T (29) Effects of near-fault ground shaking on sliding systems. J Geotech Geoenviron Eng ASCE 135 No. 12, 196 1921 Gazetas, G, Garini, E., Anastasopoulos, I. & Georgarakos, T. (29). Effects of near-fault ground shaking on sliding systems.j. Geotech. Geoenviron. Engng, ASCE 135, No. 12, 196 1921. Kramer, S. L. & Lindwall, N. W. (24). Dimensionality and directionality effects of Newmark stability analysis. J. Geotech Geoenviron. Eng, ASCE 13, No. 3, 33 315. Kramer, S. L. & Smith, M. (1997). Modified Newmark model for seismic displacements of compliant slopes. J. Geotech. Geoenviron. Eng, ASCE 123, No. 7, 635 644. Kramer, S. L. (1996). Geotechnical earthquake engineering. Prentice-Hall. Makdisi, F. I. & Seed, H. B. (1978). Simplified procedure Mavroeidis, P. G., Dong, G. & Papageorgiou, S. A. (24). Near fault ground motions, and the response of elastic and inelastic single-degree-of-freedom (SDOF) systems. Earthquake Engng Struct. Dynamics 33, No. 9, 123 149. Mavroeidis, P.G. & Papageorgiou, S. A. (23). A mathematical representation of nearfault ground motions. Bull. Seismol. Soc. Am. 93, No. 3, 199 1131. Newmark, N. M. (1965). Effects of earthquakes on dams and embankments, Geotechnique 15, No. 2, 139 16, doi: 1.168/ geot.1965.15.2.139. Rathje, E. M. & Bray, J. D. (1999). An examination of simplified earthquake-induced displacement procedures for earth structures. Can. Geotech. J. 36, No. 1, 72 87. 5

Rathje, E. M. & Bray, J. D. (2). Nonlinear coupled seismic Richards, R. & Elms, D. G. (1979). Seismic behaviour of gravityre taining walls. J. Geotech. Eng Div., ASCE 15, No. 4,449 464 Yegian, M. K., Harb, J. N. & Kadakal, U. (1998). Dynamic response analysis procedure for landfills and geosynthetic liners. J. Geotech. Geoenviron. Eng, ASCE 124, No. 1, 127 133. Younis J. C., Tadjbakhsh G.I.(1984). Response of sliding rigid structure to base excitation. Journal of Eng. Mech., ASCE Vol.11, No. 3,417-432 m 51