ΑΚΗΕΙ ΡΕΤΣΩΝ 1. Το κλειςτό δοχείο του ςχιματοσ περιζχει ακίνθτο υγρό πυκνότθτασ ρ και φψουσ h και βρίςκεται εντόσ πεδίου βαρφτθτασ και εντόσ ατμόςφαιρασ. Το δοχείο κλείνεται πλευρικά με εφαρμοςτό ζμβολο αμελθτζων διαςτάςεων και διατομισ Α. Το ζμβολο ιςορροπεί, με τθν επίδραςθ οριηόντιασ δφναμθσ F χωρίσ να δζχεται τριβζσ. Να υπολογιςτεί θ πίεςθ του υγροφ ςτα ςθμεία Κ, Λ. h h 1 K Λ Σ F 2. Σωλινασ ςχιματοσ U περιζχει νερό πυκνότθτασ ρ ςε ιςορροπία. Τα Σ ςκζλθ του ςωλινα ζχουν κυλινδρικό ςχιμα διατομϊν Α 1 το αριςτερό και Α 2 το δεξί με Α 1 = 2Α 2. Τοποκετοφμε ςτο αριςτερό ςκζλοσ κυλινδρικό ςϊμα Σ διατομισ Α 1 και κατεβάηοντασ το με ςχεδόν μθδενικι ταχφτθτα, βρίςκουμε μια κζςθ ςτθν οποία το όλο ςφςτθμα ιςορροπεί. Σε αυτι τθ κζςθ, θ μετατόπιςθ του ςϊματοσ από τθν αρχικι του κζςθ είναι h 1. Να υπολογιςτεί το βάροσ του ςϊματοσ Σ. Οι τριβζσ μεταξφ ςϊματοσ και δοχείου κεωροφνται αμελθτζεσ. 3. Στο δοχείο ςχιματοσ U περιζχεται νερό πυκνότθτασ ρ ν και λάδι πυκνότθτασ ρ λ, όπωσ ςτο διπλανό ςχιμα. Το φψοσ τθσ ςτιλθσ του λαδιοφ είναι h 1, ενϊ το φψοσ τθσ ςτιλθσ του νεροφ, πάνω από το επίπεδο διαχωριςμοφ των δφο υγρϊν, είναι h 2. Το δεξί ςκζλοσ του δοχείου είναι κλειςτό, ενϊ πάνω από τθν ελεφκερθ επιφάνεια του νεροφ υπάρχει εγκλωβιςμζνοσ αζρασ πίεςθσ P α. Στο αριςτερό ςκζλοσ και πάνω ςτο λάδι είναι τοποκετθμζνο εφαρμοςτό ζμβολο βάρουσ B και διατομισ Α, ςτο οποίο δεν αςκείται τριβι. Το όλο ςφςτθμα ιςορροπεί. Να υπολογιςτεί θ πίεςθ P α του εγκλωβιςμζνου αζρα. h 1 Κ Λ α Ν Μ h 2 4. Τα ςυγκοινωνοφντα δοχεία του ςχιματοσ ζχουν ςτακερό εμβαδόν διατομισ A = 0,01m 2 και περιζχουν νερό πυκνότθτασ ρ = 10 3 Kg /m 3. Από ζνα ελατιριο ςτακεράσ Κ = 200 N/m κρζμεται μζςα ςτο ζνα δοχείο ςϊμα Σ 1 μάηασ m 1 = 4Kg που καλφπτει υδατοςτεγϊσ το νερό. Στθν κατάςταςθ τθσ ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ θ υψομετρικι διαφορά του νεροφ ςτα δφο δοχεία είναι h = 0,2 m με πιο ψθλά τθ ςτάκμθ του νεροφ ςτο δοχείο που δεν υπάρχει το ςϊμα. α. Να υπολογίςετε τθν παραμόρφωςθ του ελατθρίου. Αφινουμε πάνω ςτο ςϊμα Σ 1 άλλο ςϊμα Σ 2 που κολλάει ςε αυτό και γίνεται ενιαίο ςώμα μάηασ m ολ = 8 Kg. β. Να βρείτε τθ κζςθ ιςορροπίασ του νζου ενιαίου ςϊματοσ Σ. γ. Εξθγείςτε ότι το ςϊμα (Σ) εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ. δ. να βρείτε το πλάτοσ και τθν περίοδο ε. να γράψετε τθ χρονικι εξίςωςθ απομάκρυνςθσ. Θεωρείςτε αμελθτζεσ τισ διαςτάςεισ των ςωμάτων, κετικι φορά προσ τα πάνω, αρχι των χρόνων t ο = 0 τθν ςτιγμι ζναρξθσ τθσ ταλάντωςθσ και g = 10m/s 2. (0.1 m, 0.1 m, 0,1 θμ(5 2t+π/2) Φυσικός Σελίδα 1
5. Ζνασ κυλινδρικόσ ςωλινασ νεροφ βρίςκεται ςτο κατακόρυφο επίπεδο και αποτελείται από τρία τμιματα μεταβλθτισ διατομισ, όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα. Το τμιμα Α ζχει εμβαδό διατομισ A 1 = 5 cm 2, το τμιμα Β, A 2 = 2 cm 2 και το τμιμα Γ, A 3. Στο τμιμα Β το νερό ζχει ταχφτθτα υ 2 =5 m/s. Στο τμιμα Γ του ςωλινα θ κινθτικι ενζργεια του νεροφ ανά μονάδα όγκου είναι 5 10 4 J/m 3. V Στο τμιμα Γ(ςθμεία 3 και 4, βλζπε ςχιμα) θ διατομι είναι ίδια και το νερό από τθν ζξοδο Δ εξζρχεται από το ςωλινα ςτον αζρα. Η υψομετρικι διαφορά μεταξφ των ςθμείων 1 και 2 είναι h 1 = 50 cm και μεταξφ των ςθμείων 2 και 3 είναι h 2 =30 cm. Α) τθν ταχφτθτα υ 4 του νεροφ ςτθν ζξοδο Δ. Β) το εμβαδό διατομισa 3 ςτο τμιμα Γ. Γ) τισ πιζςεισ ςτα ςθμεία 1, 2, 3 και 4 του ςωλινα. Δ) το ςυνολικό ζργο που παρζχεται ςε όγκο νεροφ ΔV = 1L, κατά τθν μετακίνθςι του από το ςθμείο 2 ςτο ςθμείο 3. Να κεωριςετε το νερό ιδανικό ρευςτό. Δίνονται: θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g =10 m/s 2, θ πυκνότθτα του νεροφ ρ=10 3 kg/m 3 και θ ατμοςφαιρικι πίεςθ p atm = 10 5 N/m 2. (10 m/s, 1cm 3,10 5 N/m 2, 1,345.10 5 N/m 2, 1,4.10 5 N/m 2, 37.5 J) 6. Μια πριςματικι δεξαμενι με τετράγωνθ βάςθ πλευράσ α = 0,5 m και φψουσ Η = 1 m ζχει ςτον πυκμζνα τθσ ζνα τετράγωνο άνοιγμα πλευράσ d= 1 cm. Πάνω από τθν δεξαμενι υπάρχει μια βρφςθ που ρίχνει νερό πυκνότθτασ ρ = 10 3 Kg/ m 3 ςτθν δεξαμενι με παροχι Π = 24L/ min. Παρατθροφμε ότι θ ςτάκμθ του νεροφ ανζρχεται μζχρι που ςτακεροποιείται ςε κάποιο φψοσ h. Μετά τθ ςτακεροποίθςθ τθσ ςτάκμθσ του νεροφ να βρείτε: α. τθν ταχφτθτα εξόδου του νεροφ από τθν δεξαμενι, β. το φψοσ hςτο οποίο ζχει ςτακεροποιθκεί θ ςτάκμθ του νεροφ. Στθ ςυνζχεια κλείνουμε το άνοιγμα ςτον πυκμζνα με κάποιο πϊμα: γ. να βρείτε ςε πόςο χρόνο κα γεμίςει θ δεξαμενι. δ. Όταν γεμίςει θ δεξαμενι κλείνουμε τθ βρφςθ και ςτθν ελεφκερθ επιφάνεια του νεροφ τοποκετοφμε ζνα ζμβολο μάηασ m= 5 kg και πάνω ςε αυτό βάηουμε ζνα ςϊμα μάηασ m ϋ. Αν το πϊμα για να παραμείνει ςτθ κζςθ του αντζχει μζγιςτθ πίεςθ 11.200 pa, να βρείτε τθ μάηα mϋ, που οριακά το πϊμα παραμζνει ςτθ κζςθ του. Δίνεται: g = 10 m/s 2 ( 4 m/s, 0.8 m, 125 s, 25 kg) Φυσικός Σελίδα 2
7. Το δοχείο μεγάλθσ επιφάνειασ, που φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα, είναι ανοικτό και γεμάτο με νερό. Η επιφάνεια τθσ διατομισ του δοχείου είναι A 1 και ςτο κατϊτερο ςθμείο του πλευρικοφ τοιχϊματοσ, ςε βάκοσ h 1 =80 cm από τθν ελεφκερθ επιφάνεια του νεροφ, υπάρχει μικρό άνοιγμα από το οποίο εξζρχεται ςωλινασ Β, με εμβαδό εςωτερικισ διατομισ A 2 = 2 cm 2. Ο ςωλινασ ςτθ ςυνζχεια ςτενεφει ςε μικρότερο ςωλινα Γ, με εμβαδό εςωτερικισ διατομισ A 3 = 1 cm 2. Οι διατομζσ A 2 και A 3 είναι πολφ μικρότερεσ από τθν επιφάνεια του δοχείου A 1. Πάνω ςτο ςωλινα Β είναι προςαρμοςμζνοσ λεπτόσ κατακόρυφοσ ανοικτόσ ςωλινασ, ςτον οποίο θ ςτιλθ νεροφ ζχει φψοσ h 2. Από το ςωλινα Γ το νερό εξζρχεται με ταχφτθτα υ 3 ςτον αζρα. Α) τθν ταχφτθτα υ 3 του νεροφ ςτο ςθμείο εξόδου του ςωλινα, Γ. Β) τθν ταχφτθτα υ 2 του νεροφ ςτο ςθμείο 2 τθσ εξόδου από το δοχείο. Γ) τθν πίεςθ P 2 ςτο ςωλινα Β, ςτο ςθμείο 2. Δ) το φψοσ h 2 τθσ ςτιλθσ του νεροφ ςτον κατακόρυφο λεπτό ςωλινα. Να κεωριςετε το νερό ιδανικό ρευςτό. Δίνονται: θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g =10 m/s 2, θ πυκνότθτα του νεροφ ρ=10 3 kg/m 3 και θ ατμοςφαιρικι πίεςθ p atm = 10 5 N/m 2. 8. Στον οριηόντιο ςωλινα Venturi, μεταβλθτισ διατομισ, ρζει φυςικό αζριο. Τα δφο μζρθ του ςωλινα ζχουν διατομζσa 1 και A 2, αντίςτοιχα, όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα. Κάτω από τον οριηόντιο ςωλινα υπάρχει δεφτεροσ υοειδισ λεπτόσ ςωλινασ που περιζχει νερό. Μζςα από τον οριηόντιο ςωλινα μεταφζρονται 0,6 kg αερίου το λεπτό. Όταν ςτο ςθμείο Α θ κινθτικι ενζργεια ανά μονάδα όγκου του αερίου είναι 4 J/m 3, θ υψομετρικι διαφορά του νεροφ ςτουσ δφο κατακόρυφουσ ςωλινεσ είναι Δh=0,21 cm. Α) τθν ταχφτθτα υ 1 του φυςικοφ αερίου ςτο πρϊτο κομμάτι του οριηόντιου ςωλινα (ςθμείο 1). Β) τθν μεταβολι ςτθν πίεςθ του αερίου, κακϊσ αυτό μεταβαίνει από το πρϊτο ςτο δεφτερο μζροσ του οριηόντιου ςωλινα. Γ) τθν ταχφτθτα υ 2 του φυςικοφ αερίου ςτο δεφτερο κομμάτι του οριηόντιου ςωλινα (ςθμείο 2). Δ) τισ διατομζσ A 1 και A 2 ςτα δφο μζρθ του οριηόντιου ςωλινα. Να κεωριςετε το φυςικό αζριο ιδανικό ρευςτό. Δίνονται: θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g =10 m/s 2,θ πυκνότθτα του νεροφ ρ ν=10 3 kg/m 3, θ πυκνότθτα του φυςικοφ αερίου ρ α = 0,5 kg/m 3 και θ ατμοςφαιρικι πίεςθ p atm = 10 5 N/m 2. (4 m/s, -21 N/m 2, 10 m/s, 0.02 m 3 /s, 50 cm 2, 20 cm 2 ) Φυσικός Σελίδα 3
9. Σε ζνα μεγάλο κατακόρυφο ςωλινα θρεμοφν δφο υγρά, νερό με πυκνότθτα ρ 1 =1.000kg/m 3 και λάδι πυκνότθτασ ρ 2 =700kg/m 3, όπωσ ςτο ςχιμα, όπου h 1 =0,8m και h 2 =0,7m. Μια τάπα, κλείνει μια οπι του δοχείου, εμβαδοφ Α=0,4cm 2, θ οποία βρίςκεται ςε φψοσ h=0,2m από τθν βάςθ του ςωλινα. i) Να υπολογιςτεί θ δφναμθ που δζχεται θ τάπα από το νερό, κακϊσ και θ δφναμθ τθν οποία δζχεται από τα τοιχϊματα του ςωλινα, κεωρϊντασ αμελθτζο το βάροσ τθσ. ii) Σε μια ςτιγμι βγάηουμε τθν τάπα, οπότε μζςα ςε ελάχιςτο χρόνο, αποκακίςταται μια μόνιμθ και ςτρωτι ροι. Να υπολογιςτεί θ ταχφτθτα εκροισ, κεωρϊντασ ότι θ διατομι του ςωλινα, είναι πολφ μεγαλφτερθ από τθν διατομι τθσ οπισ. iii) Αν θ διατομι του ςωλινα ζχει εμβαδόν Α 1 =2cm 2, να υπολογιςτεί ξανά θ ταχφτθτα εκροισ, κακϊσ και ο ρυκμόσ με τον οποίο κατεβαίνει θ πάνω επιφάνεια του λαδιοφ. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g=10m/s 2, θ ατμοςφαιρικι πίεςθ p ατ =10 5 Ν/m 2, ενϊ και οι δφο παραπάνω ροζσ να κεωρθκοφν μόνιμεσ και ςτρωτζσ ροζσ ιδανικοφ ρευςτοφ. Παρατιρθςθ: Η ταχφτθτα εκροισ του νεροφ δεν κα παραμζνει ςτακερι, αλλά κα μειϊνεται κακϊσ κα κατεβαίνει θ ςτάκμθ του λαδιοφ, οπότε γενικά, θ ροι δεν κα είναι μόνιμθ. Η ηθτοφμενθ ταχφτθτα εκροισ, είναι αυτι που κα αποκαταςτακεί μζςα ςε ελάχιςτο χρόνο, μόλισ απομακρυνκεί θ τάπα και τθν οποία για ζνα μικρό διάςτθμα μποροφμε να κεωριςουμε ςτακερι. 10. Το δοχείο μεγάλθσ επιφάνειασ, που φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα, είναι ανοικτό, ζχει διατομι με μεγάλθ επιφάνεια, Α 1 και είναι γεμάτο με νερό. Σε κάποιο ςθμείο του πυκμζνα του δοχείου υπάρχει ζνα μικρό άνοιγμα, από το οποίο εξζρχεται ςωλινασ Β, με εμβαδό εςωτερικισ διατομισ A 2 = 4 cm 2. Ο ςωλινασ ςτθ ςυνζχεια ςτενεφει ςε μικρότερο ςωλινα, Γ, με εμβαδό εςωτερικισ διατομισ A 3 = 2 cm 2. Οι διατομζσ A 2 και A 3 είναι πολφ μικρότερεσ από τθν επιφάνεια του δοχείου A 1. Η ςτιλθ του νεροφ ςτο δοχείο ζχει ςτακερό φψοσ h 1 =1 m, ενϊ ο ςωλινασ ζχει ςυνολικό μικοσ h 2 =1 m. Το νερό από το ςωλινα εξζρχεται ςτον αζρα, ςτο ςθμείο 3, με ταχφτθτα υ 3, ενϊ ςτο ςθμείο 2 το νερό εξζρχεται από το δοχείο με ταχφτθτα υ 2. Α) τθν ταχφτθτα υ 3 του νεροφ ςτο ςθμείο εξόδου του ςωλινα Γ, ςτο ςθμείο 3. Β) τθν ταχφτθτα υ 2 του νεροφ ςτο ςθμείο εξόδου από το δοχείο, ςτο ςθμείο 2. Γ) τθν πίεςθ P 2 ςτο ςθμείο εξόδου από το δοχείο, ςτο ςθμείο 2. Δ) πόςοσ όγκοσ νεροφ εξζρχεται από το ςωλινα Γ ςε χρόνο t = 1 min. Να κεωριςετε το νερό ιδανικό ρευςτό. Δίνονται: θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g =10 m/s 2, θ πυκνότθτα του νεροφ ρ=10 3 kg/m 3 και θ ατμοςφαιρικι πίεςθ p atm = 10 5 N/m 2. (2 10 m/s, 10 m/s, 1,05.10 5 N/m 2, 24 10.10-3 m 3 ) Φυσικός Σελίδα 4
11. Ζνασ ςωλινασ εςωτερικισ διατομισ Α=10 cm 2 με τθ βοικεια πιεςτικισ αντλίασ εκτοξεφει νερό με ρυκμό 1L κάκε δευτερόλεπτο, παράλλθλα ςε πλάγιο δάπεδο, γωνίασ κλίςθσ φ = 30 0 και κατεφκυνςθ προσ τα πάνω. Το νερό προςπίπτει κάκετα ςτθν πλευρικι επιφάνεια ενόσ ςϊματοσ μάηασ m= 0,5 kg, που παραμζνει ακίνθτο πάνω ςτο πλάγιο επίπεδο, όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα. Το ςϊμα παρουςιάηει με το δάπεδο ςυντελεςτι ςτατικισ τριβισ μ ς. Το νερό μετά τθν πρόςκρουςι του ςτο ςϊμα πζφτει προσ το δάπεδο χωρίσ ταχφτθτα και απομακρφνεται. Α) τθν ταχφτθτα με τθν οποία εξζρχεται το νερό από το ςωλινα. Β) τθν ιςχφ τθσ αντλίασ που προωκεί το νερό, αν κεωριςουμε ότι θ δυναμικι του ενζργεια δεν μεταβάλλεται. Γ) τθ δφναμθ που αςκεί το νερό ςτο ςϊμα κατά τθν πρόςκρουςι του ςε αυτό. Δ) τον ελάχιςτο ςυντελεςτι ςτατικισ τριβισ μ ς, ϊςτε το ςϊμα να παραμζνει ακίνθτο. Δίνονται: θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g =10 m/s 2, θμ30 0 = 1 2, ςυν300 = 3 2 και θ πυκνότθτα του νεροφ ρ =1 g/cm 3. (1 m/s, 0.5 W, 1 N ) 12. Μεταλλικό αβαρζσ φφλλο (ε) ορκογϊνιου ςχιματοσ ζχει αμελθτζο πάχοσ, διαςτάςεισ 5 cm x10cm και βρίςκεται ανάμεςα ςε δφο οριηόντιεσ επιφάνειεσ (1) και (2). Μεταξφ των επιφανειϊν (1) και (2) και του οριηόντιου μεταλλικοφ φφλλου παρεμβάλλονται νευτϊνεια ρευςτά, με ςυντελεςτζσ ιξϊδουσ n 1 = 0,2 N.s/m 2 και n 2 αντίςτοιχα. Το μεταλλικό φφλλο απζχει από τισ επιφάνειεσ (1) και (2) αποςτάςεισ L 1 = 1 mm και L 2 = 1,5 mm αντίςτοιχα, όπωσ απεικονίηεται ςτο ακόλουκο ςχιμα. Το φφλλο κινείται με ςτακερι οριηόντια ταχφτθτα υ με τθ βοικεια ςτακερισ οριηόντιασ δφναμθσ F=0,7 Ν. Η οριηόντια δφναμθ F, που αςκείται ςτο μεταλλικό φφλλο από το ρευςτό με ςυντελεςτι ιξϊδουσ n 1 ζχει μζτρο 0,5 Ν. α. Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ. β. Να υπολογίςετε τον ςυντελεςτι ιξϊδουσ n 2 (0,5 m/s, 0,12 N.s/m 2 ) 13. Πάνω ςε ζνα τραπζηι ζχει ςτρωκεί ζνα λεπτό ςτρϊμα μθχανζλαιου πάχουσ l=0,1cm. Μια πλάκα μάηασ m 1 =0,5kg και εμβαδοφ Α=0,2m 2, θρεμεί πάνω ςτθν γλυκερίνθ. Δζνουμε τθν πλάκα με αβαρζσ νιμα, το οποίο αφοφ περάςουμε από αβαρι τροχαλία όπωσ ςτο ςχιμα, ςτο άλλο του άκρο του δζνουμε ζνα ςϊμα Σ, μάηασ m 2 = 0,5kg, το οποίο κάποια ςτιγμι (t=0) αφινουμε να κινθκεί. i) Να βρεκεί θ αρχικι επιτάχυνςθ του ςϊματοσ Σ. ii) Αν μετά από λίγο, το ςϊμα Σ αποκτά ςτακερι ταχφτθτα πτϊςθσ υ=10cm/s, να βρεκεί ο ςυντελεςτισ ιξϊδουσ του μθχανζλαιου. iii) Ποια θ επιτάχυνςθ τθσ πλάκασ τθ ςτιγμι που ζχει ταχφτθτα υ 1 =4cm/s, κεωρϊντασ ότι κάκε ςτιγμι ιςχφει θ γνωςτι εξίςωςθ για τθν τριβι που αςκείται ςτθν πλάκα από το μθχανζλαιο. Δίνεται g=10m/s 2. Φυσικός Σελίδα 5