0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ και ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ S.I. 0.1.1. Η Φσική χρησιμοποιεί για την περιγραφή των φσικών φαινομένων διάφορες έννοιες όπως : τροχιά, μήκος, ταχύτητα, αδράνεια, δύναμη Μερικές από τις έννοιες ατές είναι δνατόν να μετρηθούν ( όπως :. το μήκος, η ταχύτητα, η δύναμη ) και ονομάζονται φσικά μεγέθη. Όταν λέμε μέτρηση εννοούμε την ( άμεση ή έμμεση ) σύγκριση ενός μεγέθος με ένα άλλο όμοιο μέγεθος πο ονομάζεται μονάδα μέτρησης. Π.χ. μέτρηση μιας μάζας είναι η σύγκριση της μάζας ατής με 1 Kilogra πο έχει σμφωνηθεί να είναι η μονάδα μέτρησης της μάζας. Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι το μέτρο το μεγέθος πο μετρήσαμε ( π.χ. 0,85 kg ) πο αποτελείται από την τιμή ( 0,85 ) και την μονάδα μέτρησης ( kgr ) Αν κατά τον πολογισμό ενός μεγέθος προκύψει αρνητικό αποτέλεσμα ατό πρέπει να ερμηνετεί π.χ. ως μια αρνητική μεταβολή ή ως μια κατεύθνση αντίθετη με ατήν πο θεωρήθηκε ως θετική 0.1.. Για κάθε μέγεθος πάρχον πολλές μονάδες στις οποίες μπορεί να μετρηθεί π.χ. ένα μήκος μπορεί να μετρηθεί σε εκατοστόμετρα ( c ) ενώ ένα άλλο μήκος μπορεί να μετρηθεί σε χιλιόμετρα ( k ). Για το λόγο ατό σμφωνήσαμε ένα διεθνές σύστημα μονάδων ( Syste International ) το οποίο θα χρησιμοποιούμε στη Φσική κατά την επίλση όλων των προβλημάτων. S.Ι. Φσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης Όνομα Σύμβολο Ορισμός Όνομα Σύμβολο Άλλες μονάδες Μάζα Χιλιόγραμμο kg g, tn Μήκος l ή s ή x Μέτρο, c, k Χρόνος t Δετερόλεπτο s in, h, Δύναμη F Νιούτον Ν Εμβαδόν S S s. l Τετραγ. μέτρο Στρέμμα, εκτάριο Όγκος V V s. l. x Κβικό μέτρο Λίτρο Πκνότητα d d / V Χιλιόγραμμο ανά κβικό μέτρο kg / Ταχύτητα / Δt Μέτρο ανά δετερόλεπτο / s Χιλιόμετρα ανά ώρα Ορμή p p. kg. / s - 1 -
Να σμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας S.Ι. Φσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης Όνομα Σύμβολο Ορισμός Όνομα Σύμβολο Μάζα Μήκος Χρόνος Δύναμη Εμβαδόν Όγκος Πκνότητα Ταχύτητα Ορμή ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ 0.1.. Πριν την επίλση των προβλημάτων Φσικής οφείλομε λοιπόν να μετατρέπομε όλα τα μεγέθη στο σύστημα S.I.. Ο παρακάτω Πίνακας θα βοηθήσει στη μετατροπή των πολλαπλάσιων και ποπολλαπλάσιων μονάδων 1 Tera eter 1 T 10 1 1.000.000.000.000 1 τρισεκατομμύριο μέτρα 1 Giga eter 1 G 10 9 1.000.000.000 1 δισεκατομμύριο μέτρα 1 Mega eter 1 M 10 6 1.000.000 1 εκατομμύριο μέτρα 1 kilo eter 1 k 10 1.000 Χίλια μέτρα ( 1 eter) 1 1 deci eter 1 d 10 0,1 1 δέκατο το μέτρο 1 centi eter 1 c 10 0,01 1 εκατοστό το μέτρο 1 ili eter 1 10 0,001 1 χιλιοστό το μέτρο 1 icro eter 1 μ 10 6 0,000.001 1 εκατομμριοστό 1 nano eter 1 n 10 9 0,000.000.001 1 δισεκατομμριοστό 1 pico eter 1 p 10 0,000.000.000.001 1 τρισεκατομμριοστό - -
0.1.4. Να σμπληρωθεί ο παρακάτω Πίνακας 1 Tera gra 1 Giga gra 1 Mg 10 g ( 1 gra) 1 g 1 δέκατο το γραμμαρίο 1 centi gra 10 g 0,000 001 g 1 nano gra 1 pico gra 0.1.5. Πόσα τετραγωνικά δεκατόμετρα ( d ) είναι το 1 τετραγ. μέτρο ; Απάντηση: Όπως φαίνεται στο σχήμα : 1 1 1 10 d 10 d 100 d Δηλαδή 1 μέτρο ( ) έχει 10 δεκατόμετρα ( d ) ενώ 1 τετραγ. μέτρο ( ) έχει 100 τετραγ. δεκατόμετρα ( d ) 0.1.6. Πόσα κβικά εκατοστά ( c ) είναι το 1 κβικό μέτρο ( ) ; k 0.1.7. Να μετατραπούν τα παρακάτω μεγέθη στο S.I. : 90 h Απάντηση:, V500 l (1l 1d ) 90 900 6 5 k h s 9 100 9 4 s 1000 90 600s s V 500 l V 500 d V 500 ( 10 ) V 500. 10 V 5. 10. 10 V 5. 10 V 0,5 - -
0.1.8. Να μετατραπούν τα παρακάτω μεγέθη στο S.I. : 1 750 1 0 80 c 7 c in k s S 0,05 k V 1 4. 10 5 c 5 d S 1 100.000 V 00 l g 4 0, k S.000 c d 0,1 c ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 0.1.9. Στη Φσική θα χρειαστούμε βασικά στοιχεία τριγωνομετρίας. Α Ρ Έστω θ η γωνία ΒΟΡ ορίζομε : Ο Β OA ημθ OP OB, σνθ OP, εφθ ημθ σνθ ΟΑ ΟΒ Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μερικών γωνιών : θ ( ) μοίρες θ rad ημθ σνθ εφθ 0 0 0 1 0 0 45 60 90 π 6 π 4 π π 1 1 1 0 1 10 π 1 15 π 4 1 150 5 π 6 1 180 π 0 1 0 70 π 1 0 60 π 0 1 0-4 -
ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ π Γκενές Δ. Μ ημ O ημ Μ O Σ π 6 σν Ν Ν σν Σ π 4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ απέναντι κάθετος ΣΝ ηµφ ποτείνοσα ΟΣ Επειδή όμως ΣΝΟΜ τότε : OM ηµφ ΟΣ και αν θεωρήσω ότι ΟΣ1 (μοναδιαίος κύκλος) τελικά ημφομ Ομοίως προσκείμενη κάθετος ΟΝ σνφ ποτείνοσα ΟΣ και αν θεωρήσω ότι ΟΣ1 (μοναδιαίος κύκλος) τελικά σνοn π 4 Σ Ν Ν σν σν Μ ημ O Μ ημ O Σ Μ ημ O Σ Ν σν π 5π 6 Σ Ν σν O Μ ημ Σ ημ Μ π Ν O σν0 π Ν Σ σν ημ0 Μ O Ν - 5 -
0.1.10. Να σμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας θ ( ) μοίρες θ rad ημθ σνθ εφθ 0 0 45 60 90 180 0.1.11. Επίσης ισχύον πάντα ημθ 1, σνθ 1, εφθ + ημ θ + σν θ 1 ημ ( 90 θ) σνθ, σν ( 90 θ) ημθ ενώ ημ ( 180 θ) ημθ, σν ( 180 θ) σνθ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΠΡΑΞΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 0.1.1. Υπάρχον φσικά μεγέθη τα οποία για τον προσδιορισμό τος απαιτείται ο πολογισμός όχι μόνο το μέτρο τος αλλά και της κατεύθνσής τος ( δηλαδή της διεύθνσης και της φοράς τος ). Ατά τα μεγέθη όπως π.χ. η μετατόπιση, η ταχύτητα, η δύναμη,, λέγονται διανσματικά μεγέθη και σμβολίζονται με ένα διάνσμα ( βέλος ). Τα διανσματικά μεγέθη προστίθενται και αφαιρούνται (και πολλαπλασιάζονται ) διανσματικά και ΟΧΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. Προς το παρόν θα ασχοληθούμε με την προσθαφαίρεση των διανσμάτων. 0.1.1. Άθροισμα δο διανσμάτων a και b με μέτρο a 6 c και b 8 c α) ομόρροπων, β) αντίρροπων, γ) κάθετων a b α) a b a + b a + b a + b a + b 0,06 + 0,08 0,14 b β) αντίρροπα a b a a + b a + b a b a b 0,06 0,08 0,0 Το σημαίνει ότι το άθροισμα έχει φορά αντίθετη το a πο θεωρήσαμε ότι έχει θετική φορά - 6 -
γ) κάθετα a θ a b a + b b Εφαρμόζω Πθαγόρειο Θεώρημα a + b a b a b (6 c) + (8 c) a + b 6 c + 64 c 100 c a + b 10 c a + b 0,1 b 8 εφθ a 6 εφθ 4 0.1.14. Διαφορά δο διανσμάτων a b εννοούμε το άθροισμα a + ( b ). Δηλαδή σχεδιάζομε πρώτα το διάνσμα b και κατόπιν εργαζόμαστε όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα πρόσθεσης. Υπολογίστε τη διαφορά δο διανσμάτων a b με μέτρο a 4 και b α) ομόρροπων, β) αντίρροπων, γ) κάθετων 0.1.15. Υπολογίστε το άθροισμα δο δνάμεων 9 Ν και 1 Ν α) ομόρροπων, β) αντίρροπων, γ) κάθετων ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ως προς ένα ΜΕΓΕΘΟΣ 0.1.16. Να λθούν ως προς a οι παρακάτω εξισώσεις: α) a + b c β) a b c γ) a. a b c δ) c b 0.1.17. Να λθούν ως προς b οι παρακάτω εξισώσεις: α) a + b c β) a b c γ) a. b c δ) a c b ε) a b c στ) a c b ζ) a c. b η) a c b 0.1.18. Να λθεί η εξίσωση ο + a. t ως προς : α) ο, β) a, γ) t. 0.1.19. Να λθεί η εξίσωση x ο. t + ½. a. t ως προς : α) ο, β) a. 0.1.0. Να λθεί η εξίσωση K ½.. ως προς : α), β). - 7 -
ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ 0.1.1. Μεταβολή Δy ενός μεγέθος y ονομάζομε την διαφορά y τελ. y αρχ. Αντίθετα το αποτέλεσμα της αφαίρεσης y αρχ. y τελ. ονομάζεται διαφορά και σμβολίζεται δy. Δηλαδή : Μεταβολή Δy y τελ. y αρχ. ενώ διαφορά δy y αρχ. y τελ. Αν ένα μονόμετρο μέγεθος αξάνεται με το χρόνο τότε η μεταβολή το είναι θετική ενώ αρνητική μεταβολή ενός μεγέθος σημαίνει μείωση το μεγέθος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται κατά τον πολογισμό της μεταβολής των διανσματικών μεγεθών τα οποία αφαιρούνται διανσματικά. Έτσι για παράδειγμα αν ένα μπαλάκι με οριζόντια αρχική ταχύτητα μέτρο / s κτπήσει σ ένα κατακόρφο τοίχο και αναπηδήσει με τελική ταχύτητα ίδιο μέτρο αλλά αντίθετης φοράς τότε η μεταβολή της ταχύτητας δεν είναι 0, αλλά αρχ τελ Δ αρχ τελ Δ τελ αρχ Δ τελ αρχ Δ / s / s Δ 4 / s Όπο λάβαμε ως θετική τη φορά της αρχ, γι ατό και η μεταβολή προέκψε αρνητική αφού έχει φορά αντίθετη της αρχ 0.1.. Ρθμό μεταβολής ενός μεγέθος y ονομάζομε το πηλίκο Δy της μεταβολής Δt Δy ατού το μεγέθος προς την χρονική διάρκεια Δt μέσα στην οποία παρατηρήθηκε ατή η μεταβολή. y 0.1.. Ο παραπάνω ορισμός t στιγμιαίο ρθμό μεταβολής σταθερός. αναφέρεται στον μέσο ρθμό μεταβολής. Ατός τατίζεται με τον dy ορ y μόνο στη περίπτωση πο ο ρθμός μεταβολής είναι dt Δt 0 t 0.1.4. Ένα ατοκίνητο με ταχύτητα 7 k / h φρενάρει και μέσα σε s μειώνει την ταχύτητά το σε 54 k / h. Μετατρέψτε τα δεδομένα στο S.I. και πολογίστε : α) την μεταβολή της ταχύτητας το ατοκινήτο και β) το μέσο ρθμό μεταβολής της ταχύτητάς το. - 8 -
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 0.1.5. Τα Διαγράμματα χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση το τρόπο πο μεταβάλλεται ένα μέγεθος. Σνήθως χρησιμοποιούμε διαγράμματα σε δύο κάθετος άξονες ( καρτεσιανό σύστημα σντεταγμένων ). Έστω π.χ. το διάγραμμα Δ1 ταχύτητας () χρόνο ( t ) για ένα ατοκίνητο πο κινείται στην εθνική οδό. Στο διάγραμμα ατό πάρχον πολλές πληροφορίες, όπως α) ότι την αρχική στιγμή πο παρατηρήσαμε το Δ1 ατοκίνητο ατό είχε ταχύτητα ο 60 k / h β) η ταχύτητα αξάνεται και μάλιστα με σταθερό ρθμό για τα πρώτα 11,8 s, οπότε η ταχύτητά το έγινε 100 k / h. Υπάρχον όμως και πολλές πληροφορίες πο δεν φαίνονται στο διάγραμμα όπως π.χ. α) είναι η τροχιά εθεία η έχει στροφές ; β) ήταν ο δρόμος ανηφορικός ή κατηφορικός ; γ) πόση ήταν η ταχύτητα το ατοκινήτο τη χρονική στιγμή 1 s ; 0.1.6. Πώς φτιάχνομε ένα διάγραμμα ; Έστω ένα ταχύπλοο το οποίο αρχικά (t o 0) ακίνητο αρχίζει να κινείται διανύοντας διάστημα πο δίνεται από τη σχέση s 0,5. t για τα πρώτα 4 s ενώ για τα επόμενα 6 s διανύει 4 το κάθε δετερόλεπτο. Βήμα 1 ο : Καθορίζομε τα δύο μεγέθη το διαγράμματος : Εδώ θέλομε το διάστημα s (σε ) σε σνάρτηση με το χρόνο t ( σε s ). Άρα στον οριζόντιο άξονα θα απεικονίσομε τον χρόνο t ( σε s ) και στον κάθετο το διάστημα s (σε ). Βήμα ο : Φτιάχνομε ένα πίνακα τιμών : t s 0 1.0.0.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 s 0 0,5.0 4,5 8.0 1.0 16.0 0.0 4.0 8.0.0 Βήμα ο : Καθορίζομε την βαθμονόμηση των αξόνων : Τον οριζόντιο άξονα t πρέπει να περιέχει χρόνος από 0 ως 10 s, μπορούμε να χωρίσομε 5 ίσα τμήματα των s το καθένα. Τον κάθετο άξονα s πρέπει να περιέχει διαστήματα από 0 ως μπορούμε να τον χωρίσομε σε 8 ίσα τμήματα 4 το καθένα. Βήμα 4 ο : Φτιάχνομε τος άξονες τος ονομάζομε και τος βαθμονομούμε : - 9 - s 8 4 0 16 1 8 4 0 4 6 8 10 t s
Βήμα 5 ο : Επιλέγομε μερικά ζεύγη τιμών : s 8 4 0 16 1 8 4 0 4 6 8 10 t s Βήμα 6 ο : Χαράσσομε την καμπύλη : s 8 4 0 16 1 8 4 0 4 6 8 10 t s 0.1.7. Να γίνον για τα πρώτα 5 s τα διαγράμματα : α) x 5. t ( S.I.), β) 10. t ( S.I.) και γ) h 1,5 5. t ( S.I.) - 10 -
1. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΣΗ, ΚΙΝΗΣΗ, ΕΙΔΗ ΤΡΟΧΙΩΝ 1.1.1. Θέση ενός σώματος στη φσική ονομάζω το διάνσμα x πο έχει ως αρχή τη θέση το παρατηρητή και τέλος το σώμα ( το κέντρο το στερεού σώματος ). Για δο διαφορετικούς παρατηρητές Ο 1 και Ο έχω βέβαια και διαφορετικές θέσεις x 1 και x για το ίδιο σώμα Α Ο 1 Α x 1 x Ο 1.1.. Κίνηση ενός σώματος ονομάζω την αλλαγή της θέσης το σώματος καθώς περνά ο χρόνος. Η κίνηση είναι όμως ένα σχετικό φαινόμενο αφού εξαρτάται από τον παρατηρητή. Ας σκεφτούμε το παράδειγμα της παρατήρησης της μηχανής ενός τραίνο από τον μηχανοδηγό το τραίνο και από τον σταθμάρχη το σταθμού. 1.1.. Τροχιά ονομάζεται η σνεχής γραμμή πο ενώνει όλα τα διαδοχικά σημεία από τα οποία διέρχεται το κινούμενο σώμα. Ανάλογα με το είδος της τροχιάς οι κινήσεις διακρίνονται σε εθύγραμμες κκλικές, καμπλόγραμμες, σπειροειδείς,. Εμείς θα ασχοληθούμε κρίως με κινήσεις πάνω σ ένα επίπεδο ( οριζόντιο ή κατακόρφο ή πλάγιο ). Για δο ακίνητος μεταξύ τος παρατηρητές Ο 1 και Ο η τροχιά ΑΑ ενός κινούμενο σώματος είναι ίδια, όπως φαίνεται και στο σχήμα. - 11 - Ο 1 Α x 1 x Ο x 1 Α Δεν ισχύει όμως το ίδιο αν οι δο παρατηρητές κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο, ας σκεφτούμε την τροχιά της Σελήνης όπως φαίνεται από τη Γη και από ένα διαστημόπλοιο ΔΙΑΣΤΗΜΑ και ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ 1.1.4. Διάστημα s ονομάζεται το μήκος της τροχιάς. Στο προηγούμενο παράδειγμα το μήκος της καμπύλης ΑΑ. 1.1.5. Μετατόπιση ονομάζεται η μεταβολή της θέσης το σώματος ( x τελ x αρχ ) και ισούται με ένα διάνσμα πο ξεκινά από το σημείο πο βρισκόταν αρχικά το σώμα και τελειώνει στο σημείο πο βρίσκεται Α x 1 x Ο τελικά το σώμα. s Δο ακίνητοι μεταξύ τος παρατηρητές Ο 1 και Ο μετρούν ίδιο Διάστημα s και ίδια μετατόπιση. Ο 1 x x 1 Α x
Το Διάστημα s λαμβάνεται σνήθως μονόμετρο μέγεθος ενώ η μετατόπιση πάντα διανσματικό μέγεθος. Είναι γενικά διαφορετικά μεγέθη και τα μέτρα τος τατίζονται μόνο για εθύγραμμες κινήσεις με σταθερή κατεύθνση ( διεύθνση και φορά ). 1.1.6. Ένα σωματίδιο κινείται πάνω στον άξονα x x ξεκινώντας από τη θέση Α (x o +c) φθάνει στο Β (x 1 +5c) και γρνά στο Γ (x c). Να βρεθεί η σνολική μετατόπιση και το διάστημα πο διανύθηκε. 1.1.7. Ένα μρμήγκι διαγράφει την τροχιά ΑΒΓΔΕΖ το σχήματος όπο ΑΒΒΓΓΔΔΕΕΖ. να σχεδιαστεί το διάνσμα της μετατόπισης και να πολογιστούν τα μέτρα της μετατόπισης και το διαστήματος. x Γ Α Β x 0 + + +4 +5 +6 Γ Δ Α Β Ε Ζ 1.1.8. Μια μέλισσα διαγράφει την τροχιά ΑΒΓ το σχήματος πο είναι τα / 4 περιφέρειας κύκλο ακτίνας ΟΑΟΓ. Να σχεδιαστεί η σνολική μετατόπιση και να πολογιστούν τα Α Ο Β μέτρα της μετατόπισης και το διαστήματος. Γ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ( Ε.Ο.Κ. ) 1.1.9. Εθ. Ομαλή ονομάζεται η κίνηση ενός σώματος στην οποία το σώμα κινείται σε εθεία τροχιά και σε ίσος χρόνος Δt διανύει ίσες μετατοπίσεις. Δηλαδή είναι η εθύγραμμη κίνηση η οποία έχει σταθερό ρθμό μεταβολής της θέσης το κινούμενο σώματος σταθ.. Δt 1.1.10. Ταχύτητα στην Ε.Ο.Κ. ονομάζεται το φσικό διανσματικό μέγεθος το οποίο έχει κατεύθνση την κατεύθνση της μετατόπισης και μέτρο ίσο με το πηλίκο το μέτρο της μετατόπισης προς το αντίστοιχο χρόνο Δt Δ Δ x t Παράδειγμα: Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στη θέση ενός αεροπλάνο πο απομακρύνεται από το σημείο απογείωσής το σε σνάρτηση με το χρόνο. t s 10 11 1 1 14 15 16 17 18 19 0 S 100 00 00 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Προσέξτε ότι οποιαδήποτε χρονική διάρκεια και αν επιλέξομε για τον πολογισμό 00-100 της ταχύτητας το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: 100 ή Δt 11-10 s 500-00 100 ή 900-600 100 ή 1100-100 100 Δt 14-1 s Δt 18-15 s Δt 0-10 s - 1 -
Δηλαδή η ταχύτητα στο παράδειγμά μας είναι σταθερή. Αν φανταστούμε το Δt να μικραίνει :Δt 1 1 s, Δt 0,1 s, Δt 0,01 s, Δt 4 0,001 s τότε θα μικραίνει ανάλογα και το : 1100, 10, 1, 4 0,1 οπότε για οσοδήποτε μικρό Δt το πηλίκο είναι ίσο με 100 και ονομάζεται Δt s στιγμιαία ταχύτητα και είναι ατή πο δείχνει το ταχύμετρο το αεροπλάνο κάθε στιγμή. Στα Μαθηματικά ατή η στιγμιαία ταχύτητα θα την ορίζαμε ως ένα όριο : στ li Δ Δ x t Δt 0 Στο εξής όταν λέμε ταχύτητα θα εννοούμε την στιγμιαία ταχύτητα και ισούται με την μέση ταχύτητα μ Δ x s Δt Δt μόνο στη περίπτωση της Ε.Ο.Κ. 1.1.11. Νόμοι της Ε.Ο.Κ. 1 ος Νόμος ( της ταχύτητας ): Στην Ε.Ο.Κ. η ταχύτητα παραμένει σταθερή κατά μέτρο διεύθνση και φορά. σταθ. ος Νόμος ( της μετατόπισης ή το διαστήματος ): Στην Ε.Ο.Κ. η μετατόπιση μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. ο 1 0 t 1 t Η γραφική παράσταση είναι μια οριζόντια εθεία γιατί η ταχύτητα είναι σταθερή. Το γραμμοσκιασμένο εμβαδό αναπαριστά τη μετατόπιση 1 ο. t 1 από t o 0 ως t 1. x.δt ή x x o.δt ή x x o +.Δt 1 θ 0 t 1 t x x o +.Δt x o θ 0 t Στο διάγραμμα η κλίση εφθ ισούται με το πηλίκο δηλαδή ισούται με την σταθερή ταχύτητα. Δt 1 1 Στο διάγραμμα της θέσης x η αρχική θέση x o μπορεί να είναι 0 αλλά γενικά μπορεί να μην είναι 0 1.1.1. Ένα λικό σημείο κινείται στον άξονα x x διαγράφοντας την τροχιά ΑΒΓ. Αν χρειάστηκε s για την διαδρομή ΑΒ και άλλα s για την ΒΓ, να βρεθούν : α) η ταχύτητά το τα πρώτα s, β) η ταχύτητά το στην διαδρομή ΒΓ και γ) η μέση ταχύτητά το σε όλη τη διαδρομή ΑΒΓ. ( x ) x Γ Α Β x 0 + + +4 +5 +6-1 -
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ( Ε.Ο.Μ.Κ. ) 1.1.1. Εθ. Ομαλά μεταβαλλόμενη ονομάζεται η κίνηση ενός σώματος στην οποία το σώμα κινείται σε εθεία τροχιά και σε ίσος χρόνος Δt παροσιάζει ίσες μεταβολές της ταχύτητάς το Δ. Δηλαδή είναι η εθύγραμμη κίνηση η οποία έχει σταθερό ρθμό μεταβολής της ταχύτητας το κινούμενο σώματος σταθ. t. Όταν η απόλτη τιμή της ταχύτητας αξάνεται (Δ - ο >0) η κίνηση λέγεται Εθ. Ομαλά επιταχνόμενη ενώ όταν η ταχύτητα μειώνεται (Δ<0) η κίνηση λέγεται Εθ. Ομαλά επιβραδνόμενη. Στη πράξη επιλέγομε πάντα ως θετική φορά τη φορά της αρχικής ταχύτητας ώστε στην επιταχνόμενη κίνηση ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας Δ να προκύπτει θετικός ενώ στην επιβραδνόμενη κίνηση ο ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας Δ να προκύπτει αρνητικός ενώ στην 1.1.14. Επιτάχνση στην Ε.Ο.Μ.Κ. ονομάζεται το φσικό διανσματικό μέγεθος a το οποίο έχει κατεύθνση την κατεύθνση της μεταβολής της ταχύτητας Δ και μέτρο ίσο με το πηλίκο το μέτρο της της μεταβολής της ταχύτητας Δ προς το αντίστοιχο χρόνο Δt a t Στην Εθ. Ομαλά Επιταχνόμενη κίνηση η επιτάχνση a είναι σταθερή και θετική, ενώ στην Εθ. Ομαλά επιβραδνόμενη η επιτάχνση a είναι σταθερή και αρνητική (πό την προϋπόθεση ότι θετική φορά έχει επιλεγεί η φορά της αρχικής ταχύτητας ο ). Παράδειγμα: Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στη ταχύτητα ενός αεροπλάνο πο απογειώνεται σε σνάρτηση με το χρόνο. t s 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 / s 5 10 15 0 5 0 5 40 45 50 55 Προσέξτε ότι οποιαδήποτε χρονική διάρκεια και αν επιλέξομε για τον πολογισμό 15-5 της επιτάχνσης το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: a Δ,5 ή Δt 4-0 s Δ 5-10 40 a,5 ή a Δ 55-,5 Δt 1- s Δt 0-14 s Δηλαδή η επιτάχνση στο παράδειγμά μας είναι σταθερή. Ατό δεν σμβαίνει σνήθως στην πραγματικότητα αφού οι κινητήρες των οχημάτων σνήθως προσδίδον αρχικά μεγάλες επιταχύνσεις αλλά σταδιακά η επιτάχνση πο αποδίδον μειώνεται - 14 -
1.1.15. Νόμοι της Εθ. Ομαλά Επιταχνόμενης κίνησης. 1 ος Νόμος της επιτάχνσης : Στην Ε.Ο.Ε τ.κ. η επιτάχνση παραμένει σταθερή κατά a σταθ. μέτρο διεύθνση και φορά. a a ο Δ 1 0 t 1 t Η γραφική παράσταση είναι μια οριζόντια εθεία γιατί η επιτάχνση είναι σταθερή. Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν αναπαριστά τη μεταβολή της ταχύτητας Δ 1 a ο. t 1 από t o 0 ως t 1. ος Νόμος της ταχύτητας : Στην Ε.Ο.Ε τ.κ. η ταχύτητα μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. Δ a.δt ή o a.δt ή o + a.t o + a. t o θ Δ 1 0 t 1 t Στο διάγραμμα η κλίση εφθ ισούται με το πηλίκο δηλαδή ισούται με την σταθερή Επιτάχνση a. 1 t 1 Στο διάγραμμα ταχύτητας-χρόνο, το Εμβαδόν ισούται με το μέτρο της μετατόπισης. Άρα Ε παραλληλογράμμο + Ε τριγώνο ο. t 1 + ½. Δ 1. t 1 ο. t 1 + ½. a. t 1. t 1 ο. t 1 +½. a. t 1 ος Νόμος της μετατόπισης : Στην Ε.Ο.Ε τ.κ. η ταχύτητα μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο.. ο t 1 +½. a. t 1 ή x-x o. ο t 1 +½. a. t 1 1 φ 1 ή x x o + ο. t 1 +½. a. t 1 0 t 1 t Στο διάγραμμα η κλίση εφφ 1 ισούται με το πηλίκο x dt d 1 δηλαδή ισούται με το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας 1. 1 Σε κάθε διαφορετικό σημείο η εφαπτομένη στη καμπύλη σχηματίζει με την οριζόντια διαφορετική γωνία φ. Η καμπύλη δηλαδή έχει διαφορετική κλίση σε κάθε διαφορετικό t. Στην αρχή η κλίση είναι μικρή, γιατί η ταχύτητα είναι μικρή. 1.1.16. Ένα σωματίδιο ξεκινά από την ηρεμία ( ο 0) και επιταχύνεται ομαλά με σταθερή επιτάχνση a / s. Μετά από πόσο χρόνο t θα έχει φτάσει σ ένα σημείο Α πο απέχει 5, και τι ταχύτητα έχει όταν φτάνει εκεί ; 1.1.17. Ένα σώμα πο αρχικά κινείται με ταχύτητα ο 10 / s, αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχνση, οπότε μετά από t 1 5s έχει αποκτήσει ταχύτητα 1 15 / s. Να πολογιστεί η επιτάχνση a και να γίνον τα διαγράμματα (t) και (t) για τα πρώτα 5s. - 15 -
1.1.18. Νόμοι της Εθ. Ομαλά Επιβραδνόμενης κίνησης. 1 ος Νόμος της επιτάχνσης : Στην Ε.Ο.Ε β.κ. η επιβράδνση παραμένει σταθερή κατά a σταθ. μέτρο διεύθνση και φορά. a 0 t 1 t Δ 1 a ο Η γραφική παράσταση είναι μια οριζόντια εθεία κάτω από το 0 γιατί η επιτάχνση είναι σταθερά αρνητική. Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν αναπαριστά την αρνητική μεταβολή της ταχύτητας Δ 1 a ο. t 1 από t o 0 ως t 1. ος Νόμος της ταχύτητας : Στην Ε.Ο.Ε β.κ. η ταχύτητα μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. Δ a.δt ή o a.δt ή o a.t o a. t o θ 0 t 1 t Στο διάγραμμα η κλίση εφθ ισούται με το πηλίκο 1 t δηλαδή ισούται με το μέτρο της σταθερής Επιβράδνση a. 1 Στο διάγραμμα ταχύτητας-χρόνο, το Εμβαδόν ισούται με το μέτρο της μετατόπισης. Άρα Ε παραλληλογράμμο Ε τριγώνο ο. t 1 ½. Δ 1. t 1 ο. t 1 ½. a. t 1. t 1 ο. t 1 ½. a. t 1 ος Νόμος της μετατόπισης : Στην Ε.Ο.Κ. η ταχύτητα μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο. ο. t 1 ½. a. t 1 ή x x o ο. t 1 ½. a. t 1 1 ή x x o + ο. t 1 ½. a. t 1 0 t 1 t Στο διάγραμμα η κλίση ισούται με το πηλίκο x dt d 1 δηλαδή ισούται με την στιγμιαία ταχύτητα 1. 1 Σε κάθε διαφορετικό σημείο η εφαπτομένη στη καμπύλη σχηματίζει με την οριζόντια διαφορετική γωνία φ. Η καμπύλη δηλαδή έχει διαφορετική κλίση σε κάθε διαφορετικό t. Στην αρχή η κλίση είναι μεγάλη, γιατί η ταχύτητα είναι μεγάλη. 1.1.19. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ : Ένα σώμα εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα ο 0 / s και κινείται σε εθεία με σταθερή επιβράδνση a 10 / s για 7 s. α) πότε το σώμα θα σταματήσει ( 1 0) και σε ποια απόσταση ; β) Πόσο χρόνο χρειάζεται για να επιστρέψει στην αρχική το θέση ( 0) και με ποια ταχύτητα επιστρέφει ; γ) Πο βρίσκεται μετά από χρόνο t 7 s ; δ) Να γίνον τα διαγράμματα (t) και (t). - 16 -
ΔΕΔΟΜΕΝΑ ο 0 / s ΣΧΗΜΑ: 0 1 a 10 / s ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ α) 1 0, t 1 ;, 1 ; β) 0, t ;, ; γ) t 7s, ;, ; δ) t ; t ; ΛΥΣΗ : α) 1 o a.t 1 1 0 0 o a.t 1 o a.t 1 o a.t 1 t 1 ο a 0 t (S.I.) t1 10 1 Δηλαδή σταμάτησε ( 10) μετά από s σε απόσταση: 1 ο. t 1 ½. a. t 1 1 0. ½. 10. (S.I.) s 1 90 45 1 45 β) ο. t ½. a. t 0 ο. t ½. a. t 0 t. ( ο ½. a. t ) 0 ή t 0 (πριν ξεκινήσει ) ή ( ο ½. a. t )0 ο ½. a. t ο t a 0 t 10 t 6 s Οπότε γύρισε στην αρχική το θέση σε 6 s με ταχύτητα: o a.t 0 0.6 (S.I.) 0 / s γ) Σε χρόνο t 7s το σώμα θα βρίσκεται στη θέση ο. t ½. a. t 0. 7 ½. 10. 7 (S.I.) 10 45 5 (S.I.) και θα έχει ταχύτητα : o a.t 00.7 (S.I.) δ) t s 0 6 7 / s 0 0 0 40 0 45 0 5 40 / s 40 (/s) 0 0 10 t (s) 0 1 5 7-10 -0-0 -40-50 50 () 40 0 0 10 t (s) 0 0 1 5 7-10 -0-0 -40-17 -
1.1.0. Μια Mercendes με καινούρια λάστιχα και σύστημα ABS έχει μέγιστη επιβράδνση a 15 / s. Αν το ατοκίνητο ατό τρέχει με 108 k / h, α) σε πόσο χρόνο μετά το πάτημα το φρένο μπορεί να ακινητοποιηθεί ; β) Πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι να σταματήσει; και γ) αν ο χρόνος αντίδρασης το οδηγού είναι 0,8 s, ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη απόσταση από την οποία πρέπει να εντοπίσει ακίνητο εμπόδιο ώστε να μην τρακάρει ; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Επιτάχνση ονομάζεται το........................... το οποίο εκφράζει.................................... και ισούται με το............................................................................ Δηλ............................................................. Μια Εθύγραμμη Ομοιόμορφα Μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται Επιταχνόμενη όταν το μέτρο της ταχύτητάς το σώματος σνεχώς........... δηλαδή όταν το διάνσμα της........... ( a ) είναι ομόρροπο με το διάνσμα της αρχικής ταχύτητας ( 0 ). Αντίθετα όταν το διάνσμα της.............. είναι........... με το διάνσμα της...................... η κίνηση ονομάζεται........................... Στην Επιβραδνόμενη κίνηση το μέτρο της αρχικής ταχύτητας μειώνεται σνεχώς μέχρι να μηδενιστεί και κατόπιν (αν η κίνηση σνεχίζεται ) αντιστρέφεται η φορά της.......... Στην εθύγραμμη ομαλά επιταχνόμενη κίνηση: α.. η ταχύτητα είναι σταθερή. β. ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός. γ. ο ρθμός μεταβολής της θέσης είναι σταθερός. δ. η μετατόπιση είναι ανάλογη το χρόνο κίνησης. - 18 -
4. H επιτάχνση ενός κινητού εκφράζει το: α. πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η θέση το. β. πηλίκο της μετατόπισης δια το χρόνο. γ. πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα. δ. πόσο γρήγορα κινείται ένα κινητό. 5. Περιγράψτε της κινήσεις πο περιγράφον τα ζεύγη διανσμάτων με: Α : για την Ακινησία Β : για την Εθ. Ομαλή Κίνηση Γ : για την Εθ. Ομοιόμορφα Επιταχνόμενη Κίνηση Δ : για την Εθ. Ομοιόμορφα Επιβραδνόμενη Κίνηση ο 0 ο ο ο ο 0 aσταθ. aσταθ. a0 aσταθ. a0 6. Οι εξισώσεις κίνησης της Εθ. Ομαλής Κίνησης και τα αντίστοιχα διαγράμματα : / s a Εξίσωση της επιτάχνσης : a........... 0 t s /s Εξίσωση της ταχύτητας :........... 0 t s Εξίσωση της Μετατόπισης :....... x ή....... Εξίσωση της Θέσης : ή x....... 0 t s 0 t s - 19 -
7. Οι εξισώσεις κίνησης της Εθ. Ομοιόμορφα Επιταχνόμενης Κίνησης με αρχική ταχύτητα ο 0, αλλά x o 0 και τα αντίστοιχα διαγράμματα : / s a Εξίσωση επιτάχνσης : a........... 0 /s t s Εξίσωση ταχύτητας :........... 0 t s Εξίσωση Μετατόπισης :........ ή........ Εξίσωση Θέσης : ή x........ 0 t s 0 t s Xαρακτηρίστε με Σ τις παρακάτω προτάσεις, αν είναι σωστές, και με Λ, αν είναι λανθασμένες. 8. Στην εθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχνόμενη κίνηση, η επιτάχνση το κινητού α. Είναι ανάλογη το χρόνο κίνησης. β. Είναι διάφορη το μηδενός και σταθερή. γ. Είναι ίση με μηδέν. δ. Είναι ανάλογη προς το τετράγωνο το χρόνο κίνησης. 9. Στην εθύγραμμη ομοιόμορφα επιταχνόμενη κίνηση: α. Η ταχύτητα είναι σταθερή. β. Η επιτάχνση είναι σταθερή. γ. Το μέτρο της επιτάχνσης είναι σταθερό. δ. Ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός. ε. Ο ρθμός μεταβολής της θέσης είναι σταθερός. - 0 -
10. Να βάλετε μέσα στις παρενθέσεις πο πάρχον δίπλα από τα παρακάτω διαγράμματα, το γράμμα πο αντιστοιχεί στην κίνηση πο εκφράζει το καθένα. α. εθύγραμμη ομαλή. β. ακινησία. γ. εθύγραμμη κίνηση, στην οποία το μέτρο της ταχύτητας το κινητού αξάνει με σταθερό ρθμό. δ. εθύγραμμη κίνηση, στην οποία το μέτρο της ταχύτητας το κινητού μειώνεται με σταθερό ρθμό. ( ) ( ) t t x ( ) ( ) t t 11. Τα σώματα 1 και την στιγμή t o 0 βρίσκονται στο ίδιο σημείο xo0 και κινούνται στην ίδια εθεία τροχιά προς την ίδια φορά t s 0 1 4 x 1 0 4 6 8 1 / s x 0 / s 0 1 4 α ) Χαρακτηρίστε το είδος των κινήσεων. β ) Από ποιες εξισώσεις μπορούν να πολογιστούν τα μεγέθη 1 και x ; γ ) Σμπληρώστε τον πίνακα. δ ) Σχεδιάστε τα διαγράμματα 1 (t), (t) σε κοινούς άξονες, και x 1 (t) και x (t). / s x t s t s - 1 -
1. Να σμπληρωθούν οι τιμές των μεγεθών πο ζητούνται για τις κινήσεις πο περιγράφον τα πιο κάτω διαγράμματα / s / s x 1 0 0 15 0 5 t s 0 t s 0 6 t s α 1... α... α... ο1... ο... ο... 1ολ... ολ... ολ... 1. Δύο κινητά Α και Β βρίσκονται την χρονική στιγμή t o 0 στην ίδια θέση και η ταχύτητά τος φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. α) Σε πόσο χρόνο θα έχον την ίδια ταχύτητα ; β) Σε πόσο χρόνο θα ξανασναντηθούν ; γ) Σε πόσο χρόνο θ απέχον 100 ; s 10 B 5 A................................ 0............................... 5 10 15 0 t s............................................................................................................. 14. Ένα σώμα έχει την χρονική στιγμή t o 0 ταχύτητα ο 1 / sec και κινείται με εθύγραμμη Ομαλή κίνηση για χρόνο 6 s. Μετά το κινητό αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδνση / sec μέχρι να σταματήσει. α) Να βρεθεί ο ολικός χρόνος κίνησης το κινητού β) Να βρεθεί η ολική μετατόπιση το κινητού γ) Να γίνον τα διαγράμματα α t και t. 15. Κινητό ξεκινά από ηρεμία και κινείται εθύγραμμα με σταθερή επιτάχνση a 1 / sec μέχρι να μετατοπιστεί κατά x 1 100 οπότε σνεχίζει με σταθερή επιβράδνση a / sec μέχρι να σταματήσει. α) Να βρεθεί ο ολικός χρόνος κίνησης το κινητού β) Να βρεθεί η ολική μετατόπιση το κινητού γ) Να γίνον τα διαγράμματα α t και t. - -
16. Να εκτιμήσετε το είδος των εθύγραμμων κινήσεων πο αντιστοιχούν στις χρονικές διάρκειες Α, Β, Γ και Δ των παρακάτω διαγραμμάτων. x t Α Β Γ Δ Α Β Γ Δ t 17. Κινητό εκτελεί εθύγραμμη επιβραδνόμενη κίνηση με επιβράδνση α / sec. Αιτιολογήστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες όχι. i) Η μετατόπιση είναι ανάλογη το χρόνο. ii) Η ταχύτητα είναι ανάλογη το χρόνο. iii) Η μεταβολή της ταχύτητας είναι 4 / sec κάθε sec iv) Η διεύθνση της ταχύτητας παραμένει σταθερή. 18. Δίνονται οι εξισώσεις θέσης δύο κινητών : x 1 16. t. t και. x 16 +. t (S.I.) i) Τι είδος κίνηση εκτελούν τα δύο κινητά ; ii) Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα το κάθε κινητού και ο ρθμός μεταβολής της ; 19. Να σμπληρωθούν τα κενά Είδος Κίνησης Εξισώσεις Κίνησης στο S.I. Αρχικές τιμές........................., x 5 + 5. t + 4. t α...., ο...., x ο.... Εθ. Ομαλά Επιβραδ........., x........ α 0 / s, ο 5 / s, x ο 0........................., x 10 +. t α...., ο...., x ο.... 0. Η κίνηση το διαγράμματος είναι............................ Από το.......... το ( / s ) 40 διαγράμματος μπορεί να πολογιστεί η Μετατόπιση το κινητού.............. Από την............. της........ μπορεί να πολογιστεί ο ρθμός μεταβολής της ταχύτητας το κινητού.................. 0 0 4 6 8 10 t (s)...................................................... - -