http://users.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωρία Δικτύων Παράδειγμα δικτύου Τα δίκτυα είναι παντού (όπως και η Επιχειρησιακή Έρευνα) Τα δίκτυα είναι παντού (συνέχεια) Ένα δίκτυο είναι μία συλλογή κόμβων (nodes) οι οποίοι συνδέονται με γραμμές, τις οποίες ονομάζουμε ακμές (arcs, branches). Υποθέτουμε ότι μεταξύ των κόμβων και διαμέσου των ακμών μπορούν να «ρέουν» διάφορα υλικά (συστήματα συγκοινωνίας, μεταφορές, πληροφορική και επικοινωνίες, συστήματα διανομής, παραγωγή κλπ). Κόμβοι: σημεία ς των ακμών (διασταυρώσεις, πόλεις, σταθμοί επεξεργασίας, στάσεις μέσων μεταφοράς, υπολογιστές και άλλοι δικτυακοί πόροι, τηλεπικοινωνιακά κέντρα, αντλιοστάσια, κλπ). Ακμές: δρόμοι, αεροδιάδρομοι, γραμμές μετρό, τηλεπικοινωνιακά καλώδια, καλώδια ροής δεδομένων, αγωγοί ύδρευσης, ιμάντες μεταφοράς κλπ Σύστημα Κόμβοι Ακμές Ροή Τιμή Συγκοινωνίες πόλεις, διασταυρώσεις, δρόμοι, εθνικές οδοί, Οχήματα, τραίνα, απόσταση, σταθμοί, στάσεις αεροδιάδρομοι, επιβάτες, φορτία χρόνος, γραμμές τραίνων κόστος Υδραυλικά αντλιοστάσια, αγωγοί Νερό, αέριο, κόστος, όγκος συστήματα ταμιευτήρες, λίμνες πετρέλαιο, υγρά Δίκτυα servers, βάσεις καλώδια, ασύρματες Δεδομένα απόσταση, υπολογιστών, δεδομένων, υπολογιστές, συνδέσεις, συνδέσεις κόστος, Internet άλλοι πόροι μεγάλου εύρους σύνδεση, χωρητικότητα Γραμμές σταθμοί εργασίας ιμάντες μεταφοράς πρώτες ύλες, χρόνος, παραγωγής ημικατεργασμένα κόστος, προϊόντα χωρητικότητα, δυναμικότητα Τυπωμένα πύλες, καταχωρητές, καλώδια Ηλεκτρικό φορτίο ταχύτητα, κυκλώματα επεξεργαστές δυναμικότητα Σύστημα Κόμβοι Ακμές Ροή Τιμή Διανομές Σημεία παραγωγής, Συγκοινωνιακά δίκτυα Οχήματα απόσταση, προμηθευτές, αποθήκες, χρόνος, πελάτες κόστος Διαχείριση Σημεία παραγωγής, Συγκοινωνιακά δίκτυα, Απόβλητα, κόστος, όγκος αποβλήτων μονάδες επεξεργασίας, αγωγοί σκουπίδια ΧΥΤΑ Χρηματοοικονομική Πηγές ρευστού, αποφάσεις κεφάλαια Κόστος, βραχυπρόθεσμες χρηματοροές επενδύσεις, ταμειακές ροές Διαχείριση Έργων δραστηριότητες ή σχέσεις προτεραιότητας - χρόνος χρονικές στιγμές ή δραστηριότητες υλοποίησης http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Πλεονεκτήματα μοντελοποίησης με τη θεωρία δικτύων Γραφική μοντελοποίηση- απεικόνιση συστήματος Εύκολη αναπαράσταση προβλήματος Πολλά διοικητικά προβλήματα προσαρμόζονται στις δομές αυτές Αποδοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Λογισμικό επίλυσης και ευκολία χρήσης Δυνατότητα πειραματισμού Ορολογία () Γράφημα, κόμβοι (κορυφές), ακμές Δίκτυο: γράφημα με ροή στις ακμές του Αλυσίδα: συλλογή ακμών που συνδέει δύο κορυφές Διαδρομή, μονοπάτι, δρόμος: αλυσίδα με κατεύθυνση διαδρομής Κύκλος: μονοπάτι που συνδέει μία κορυφή με τον εαυτό της χωρίς επαναλήψεις ακμών Δέντρο: γράφημα χωρίς κύκλους (n- ακμές) Άμεσα συνδεδεμένοι κόμβοι: κόμβοι που συνδέονται με μία ακμή (γειτονικοί κόμβοι) Επικοινωνία κόμβων: υπάρχει ένα μονοπάτι σύνδεσης Συνεκτικό γράφημα: όλες οι κορυφές μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους ανά δύο Ορολογία () Προσανατολισμένη ακμή: υπάρχει κατεύθυνση ροής Προσανατολισμένο δίκτυο: όλες οι ακμές είναι προσανατολισμένες Μη προσανατολισμένο δίκτυο: υπάρχει δυνατότητα ροής και προς τις δύο κατευθύνσεις των ακμών Δυναμικότητα ροής ακμής: το πλήθος των αντικειμένων που μπορούν να περάσουν από μία ακμή προς μία κατεύθυνση, στη μονάδα του χρόνου Δυναμικότητα ροής μονοπατιού: το πλήθος των αντικειμένων που μπορούν να περάσουν από ένα μονοπάτι προς μία κατεύθυνση, στη μονάδα του χρόνου Ορολογία () Αφετηρία, Προορισμός: Οι κόμβοι έναρξης και τερματισμού στο πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής Πηγή και δέκτης: Ο κόμβος εκπομπής (προσφοράς) υλικού και ο κόμβος αποδοχής (ζήτησης) υλικού στο πρόβλημα της μέγιστης ροής Ζευγνύον δέντρο: ένα συνεκτικό δέντρο Ελάχιστο ζευγνύον δέντρο: το ζευγνύον δέντρο το οποίο έχει συνολικό «κόστος» ακμών το μικρότερο δυνατό http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Δίκτυο με δεδομένα δυναμικότητας ροής στις ακμές Δίκτυο - Υποδίκτυο δέντρο ελάχιστο ζευγνύον δέντρο Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής (Shortest Path) O αλγόριθμος του Dijkstra ΠΗΓΗ ΔΕΚΤΗΣ Δυναμικότητες ροής Ζητούμενο: Ο εντοπισμός της βέλτιστης διαδρομής («συντομότερης») μεταξύ ενός κόμβου εκκίνησης (αφετηρία) και ενός κόμβου τερματισμού (προορισμός) Συνεκτικό δίκτυο Εντοπίζονται οι βέλτιστες διαδρομές από την αφετηρία προς όλους τους ενδιάμεσους κόμβους Το «μήκος» ακμής μπορεί να είναι κόστος, κίνδυνος, αναλωθέν κεφάλαιο, απόσταση, κ.λπ. Edsger Wybe Dijkstra (-) Καθηγητής στο Eindhoven University of Technology Ανάμεσα στους υποστηρικτές του δομημένου προγραμματισμού τη δεκαετία του Οπαδός της ALGOL (ανέπτυξε μαζί με τον Jaap Zonneveld τον πρώτο compiler της ALGOL) Ένθερμος θιασώτης της επικοινωνίας μέσω κειμένων (πληκτρολόγιο ή μολύβι), αναζητήστε κείμενα με γενικό τίτλο EWDs (δείτε εδώ: http://www.cs.utexas.edu/users/ewd/) http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Παραδείγματα εφαρμογών Εύρεση συντομότερης διαδρομής μεταξύ δύο τοποθεσιών σε ένα υπάρχον δίκτυο (π.χ. Google maps) Εύρεση της βέλτιστης σειράς διαδοχικών αποφάσεων σε ένα πολυσταδιακό πρόβλημα (π.χ. χρηματοοικονομική) Εφαρμογές σε δίκτυα υπολογιστών (minimum delay path problem) Σχεδίαση παραγωγικών εγκαταστάσεων Μεταφορές, δρομολόγηση Σχεδίαση κυκλωμάτων Ακόμη και σε video games Παράδειγμα (SP) Source: Introduction to Management Science, B. Taylor III, th ed. Prentice Hall Στόχος : Εντοπισμός του μονοπατιού με ελάχιστο συνολικό χρόνο ταξιδιού Το δίκτυο του παραδείγματος : Διατύπωση του αλγορίθμου του Dijkstra-της συντομότερης διαδρομής (): Βήμα : Βρίσκουμε τους άμεσα συνδεδεμένους προς την αφετηρία κόμβους και καταγράφουμε τις «αποστάσεις» τους (ακμές). Ο κόμβος με την μικρότερη απόσταση από την αφετηρία καθίσταται «μόνιμος» («λυμένος») και εισέρχεται στο σύνολο των λυμένων κόμβων (Λ), δηλαδή, βρέθηκε γι αυτόν η ελάχιστη απόσταση από την αφετηρία. Βήμα : Σαρώνουμε τη γειτονιά του τελευταίου λυμένου κόμβου και βρίσκουμε τις (προσωρινές) αποστάσεις, από την αφετηρία, όλων των μη λυμένων που συνδέονται άμεσα με αυτόν, βελτιώνοντας όσες είναι δυνατό. Ο κόμβος με τη μικρότερη προσωρινή απόσταση από την αφετηρία (μέσω οποιουδήποτε λυμένου) εισέρχεται στο σύνολο των μονίμων (λυμένων). http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg
http://users.uom.gr/~acg Διατύπωση του αλγορίθμου της συντομότερης διαδρομής (): Βήμα : Αν έγινε μόνιμος ο προορισμός (εναλλακτικά, αν έγιναν όλοι οι κόμβοι μόνιμοι εφόσον θέλουμε να βρούμε τις ελάχιστες αποστάσεις και βέλτιστες διαδρομές από την αφετηρία προς κάθε άλλο κόμβο) τότε ολοκληρώνεται το προδρομικό σάρωμα του δικτύου πήγαινε στο Βήμα, διαφορετικά: επαναλαμβάνουμε από το Βήμα. Βήμα : Εντοπίζουμε την άριστη διαδρομή ελέγχοντας το δίκτυο «οπισθοδρομικά», σκιαγραφώντας από τις καταγεγραμμένες πληροφορίες το μονοπάτι της ελάχιστης απόστασης που έχει βρεθεί από την αφετηρία προς τον προορισμό (ή από την αφετηρία προς κάθε άλλο κόμβο, αν αυτό ήταν το ζητούμενο). Εφαρμογή με τη χρήση πίνακα (): α/α Σύνολο μόνιμων κόμβων Ακμή άμεσα Προσωρινό Λυμένος Τελικό (συνολικό) συνδεδεμένου μήκος κόμβος μήκος βέλτιστης κόμβου διαδρομής διαδρομής Λ={} + - {} - - - Λ={, } + {} - += - += - += Λ={,, } + {} - += - += - += ΟΧΙ Εφαρμογή με τη χρήση πίνακα (): - += Λ={,,, } + - += ΟΧΙ {} - += - += ΟΧΙ - += - += Λ={,,,, } + {} - += - += ΟΧΙ - += Λ={,,,,, } + {} Εφαρμογή επάνω στο σχήμα () Λ= {}+ {},, Αρχή, ος, http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg,, ος http://users.uom.gr/~acg Εφαρμογή επάνω στο σχήμα () Λ={, } + { } Εφαρμογή επάνω στο σχήμα () Λ={,, } + {} Εφαρμογή επάνω στο σχήμα () Λ={,,, } + {} Εφαρμογή επάνω στο σχήμα () Λ={,,,, } + {},, ος, Αρχή, ος,,,, ος,,, ος,,, Αρχή, ος, ος,, ος,,, ος,,,,, Αρχή, ος,, ος,, ος,, ος,, ος,,,, ος,, Αρχή, ος,, ος,, ος,, ος http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Εφαρμογή επάνω στο σχήμα () Λ={,,,,, } + {},,,, ος,, ος, Αρχή, ος,,, ος, ος,, ος,, ος Σύνοψη της βέλτιστης λύσης του παραδείγματος Σχόλια: Κατά την επίλυση, ο προορισμός εισήλθε τελευταίος στο σύνολο των λυμένων κόμβων Οι τελικές άριστες αποστάσεις από την αφετηρία όλων των υπολοίπων κόμβων του δικτύου, βρέθηκαν κατά τις επαναλήψεις του αλγορίθμου αφού προηγήθηκαν Είναι δυνατόν ο προορισμός να εισέλθει στο σύνολο των λυμένων χωρίς να έχουν προηγηθεί όλοι οι άλλοι (π.χ. τι θα συνέβαινε αν ο προορισμός ήταν ο κόμβος?) Η οπισθοδρομική ιχνηλάτηση του δικτύου εντοπίζει όλες τις άριστες διαδρομές Λιτόχωρο (Πιερίας) Ιωάννινα () km, ώρες και λεπτά ΜΕ διόδια http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Λιτόχωρο (Πιερίας) Ιωάννινα () km, ώρες και λεπτά ΧΩΡΙΣ διόδια Λιτόχωρο (Πιερίας) Ιωάννινα () km, ώρες και λεπτά ΜΕ διόδια To αρχικό παράδειγμα (διαφ.) Λ={,,,,, } με τη σειρά αυτή Άριστες διαδρομές Κόμβος Απόσταση Άριστη Εναλλακτική,, ος,,, ος,,, ος, ή,, ος,, ος διαδρομή - - -- - -- --- --- ---- http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg
http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα Το δίκτυο του παραδείγματος Η επίλυση του παραδείγματος () Η επίλυση του παραδείγματος () Μία εταιρία μεταφορών έχει αναλάβει τη μετακόμιση της οικοσκευής μιας οικογένειας από την πόλη που έμενε μέχρι τώρα, η οποία παριστάνεται με τον κόμβο του παρακάτω δικτύου, στη νέα της κατοικία σε μια άλλη πόλη, η οποία παριστάνεται με τον κόμβο του δικτύου. Οι υπόλοιποι κόμβοι είναι άλλες ενδιάμεσες πόλεις του διαθέσιμου οδικού δικτύου και οι ακμές είναι οι δυνατές διαδρομές μέσω του δικτύου αυτού. Οι τιμές επάνω στις ακμές του δικτύου παριστάνουν μέση διάρκεια μετάβασης σε ώρες. Όπως είναι φυσικό, η οικογένεια θέλει να μεταφέρει την οικοσυσκευή όσο γίνεται συντομότερα στον προορισμό της. Να προσδιορισθεί η κατάλληλη διαδρομή για το σκοπό αυτό. http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Η επίλυση του παραδείγματος () Η επίλυση του παραδείγματος () Η επίλυση του παραδείγματος () Η επίλυση του παραδείγματος () http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Η επίλυση του παραδείγματος () Η επίλυση του παραδείγματος () Η επίλυση του παραδείγματος () Η άριστη λύση του παραδείγματος Ελάχιστος χρόνος = ώρες http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα : Αγορά, συντήρηση, αντικατάσταση εξοπλισμού Διαθέσιμες πληροφορίες Το κόστος αγοράς εξοπλισμού κατά την έναρξη κάθε περιόδου (ΚΠΑ) Το κόστος διατήρησης (συντήρησης) εξοπλισμού κατά τη διάρκεια μίας περιόδου (ΚΠΑ) Η υπολειμματική αξία εξοπλισμού στο τέλος μίας περιόδου (ΚΠΑ) Στρατηγικές: Αγορά καινούργιου εξοπλισμού στην αρχή κάποιας περιόδου ή διατήρηση του υπάρχοντος. Στο τέλος του ορίζοντα προγραμματισμού ο εξοπλισμός πωλείται http://users.uom.gr/~acg Δεδομένα παραδείγματος Αρχή περιόδου Κόστος αγοράς (χμ) η η η η Ηλικία εξοπλισμού Κόστος συντήρησης Υπολειμματική αξία (περίοδοι χρήσης) ανά περίοδο Υπολογίζονται οι χρηματικές ροές και τοποθετούνται σε δίκτυο http://users.uom.gr/~acg Επίλυση παραδείγματος () ++++- = +++- = ++- = + + + + - = -= -= -= ++- = +++- = ++- = http://users.uom.gr/~acg Επίλυση παραδείγματος () Λ={,,,, }, Αρχή, ος,, ος,, ος,, ος http://users.uom.gr/~acg,, ή,, ος
http://users.uom.gr/~acg Η διαδικασία της επίλυσης του δικτύου Επανάληψη η : Σύνοψη της βέλτιστης λύσης του παραδείγματος Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Επανάληψη η : κόμβος :, κόμβος :, κόμβος :, κόμβος :, Άρα ο κόμβος μπαίνει στο σύνολο των λυμένων Λ={} + {} Επανάληψη η : κόμβος : + = > μένει όπως έχει κόμβος : + = >, μένει όπως έχει : + = <, βελτίωση κατά χμ Άρα ο κόμβος εισέρχεται στο σύνολο των λυμένων Λ={, } + {} κόμβος : + = >, μένει όπως είναι κόμβος : + = =, εναλλ. διαδρομή Άρα, ο κόμβος εισέρχεται στο σύνολο των λυμένων Λ={,, } + {} Επανάληψη η : κόμβος : + = >, μένει όπως είναι Άρα, ο κόμβος εισέρχεται στο σύνολο των λυμένων Λ={,,, } + {}, τέλος της διαδικασίας. Ελάχιστο συνολικό κόστος = χμ Βέλτιστες διαδρομές: ή εναλλακτικά Δηλαδή: Αγορά Αγορά Διατήρηση Διατήρηση Πώληση Αγορά Διατήρηση Αγορά Διατήρηση Πώληση Σύνδεση όλων των κόμβων άμεσα ή έμμεσα με το ελάχιστο δυνατό συνολικό κόστος (μήκος, κεφάλαια, χρόνος κλπ). Σχεδίαση δικτύων μεταφοράς και επικοινωνίας. Σε δίκτυο με n κορυφές, ζευγνύον δέντρο είναι υποδίκτυο με n- ακμές, που συνδέει όλες τις κορυφές του δικτύου άμεσα ή έμμεσα χωρίς κύκλους Ελάχιστο ζευγνύον δέντρο είναι εκείνο που εκτός από τα παραπάνω έχει και ελάχιστο συνολικό «μήκος» ακμών Ελάχιστο ζευγνύον δέντρο συντομότερη διαδρομή??? http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Παραδείγματα εφαρμογών Ο αλγόριθμος του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου (Prim): Παράδειγμα : Δίκτυο αγωγών κοινής ωφέλειας Επανάληψη η Σχεδίαση o τηλεπικοινωνιακών δικτύων o δικτύων μέσων μαζικής μεταφοράς (μετρό, τραμ) o βασικών δικτύων υδροδότησης, αποχέτευσης φυσικού αερίου, ηλεκτροδότησης o καλωδίωσης κυκλωμάτων ηλεκτρονικών συσκευών και μηχανημάτων o διασύνδεσης δικτύων υπολογιστών Βήμα : Επιλέγουμε αυθαίρετα μία κορυφή για να αρχίσουμε την διαδικασία. Εντοπίζουμε την πλησιέστερη άμεσα συνδεδεμένη προς αυτήν κορυφή και τη συνδέουμε μόνιμα. Βήμα : Βρίσκουμε την πλησιέστερη κορυφή άμεσα συνδεδεμένη με οποιαδήποτε από αυτές που έχουν ήδη συνδεθεί. Τη συνδέουμε και αυτή μόνιμα Βήμα : Επαναλαμβάνουμε το Βήμα μέχρι να συνδεθούν μόνιμα όλες οι κορυφές. μήκος ή κόστος ή όγκος κλπ συστήματα αγωγών σύνδεση Κορυφές: πόλεις που θα διασυνδεθούν http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επανάληψη η Επανάληψη η Επανάληψη η Επανάληψη η http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επανάληψη η Η Άριστη λύση (το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο) Χάρτης ΜΕΤΡΟ Αθήνα Χάρτης ΜΕΤΡΟ Λονδίνο Όλες οι κορυφές επικοινωνούν Ελάχιστο συνολικό μήκος αγωγού = + + + + + = Πόσες είναι οι κορυφές, πόσες είναι οι ακμές?? Έχουν διασυνδεθεί όλοι οι κόμβοι άμεσα ή έμμεσα http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg
http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα (υπόθεση εργασίας διαφορές - ομοιότητες) Εύρεση της συντομότερης διαδρομής από προς όλους τους κόμβους Λ={,,,,,, },, ος,, ος,, ος, Αρχή, ος,, ος,, ος,, ος Οι συντομότερες διαδρομές από προς όλους τους κόμβους + + + + + = > http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα Το παράδειγμα (SP) ως πρόβλημα ζεύξης (διαφ.) http://users.uom.gr/~acg Επίλυση: Ελάχιστο ζευγνύον δέντρο με συνολικό μήκος = http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα Οι «CA/CD» (δημοφιλές metal συγκρότημα) προετοιμάζουν τη συναυλία τους στο στάδιο της πόλης. Ο τεχνικός ήχου έχει τοποθετήσει σε στρατηγικά σημεία γύρω από τη Σκηνή, συστοιχίες ηχείων που στο διάγραμμα αναπαριστώνται από τους κόμβους έως. Οι ακμές παριστάνουν τους δυνατούς τρόπους διασύνδεσης των ηχείων με καλώδια και οι αριθμοί στις ακμές είναι μέτρα (μήκος). Για να μπορούν όλες οι συστοιχίες να μεταδώσουν ήχο, αρκεί να συνδέονται είτε άμεσα με τη Σκηνή είτε να διασυνδέονται έμμεσα με αυτήν μέσω των άλλων συστοιχιών ηχείων. Για λόγους ασφαλείας, τα καλώδια πρέπει να είναι καλυμμένα με άθραυστα κανάλια και αυτό ανεβάζει σημαντικά το κόστος εγκατάστασης. Πόσο είναι το ελάχιστο μήκος καναλιών που πρέπει να προμηθευτεί και να εγκαταστήσει ο τεχνικός ώστε να μπορέσει να πραγματοποιηθεί με ασφάλεια η συναυλία; Το δίκτυο του παραδείγματος Επίλυση του παραδείγματος () Σκηνή : Επίλυση του παραδείγματος () : http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () : : : Σκηνή : http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () Η άριστη λυση του παραδείγματος : : : Ελάχιστο συνολικό μήκος = + + + + + + + + = m http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg
http://users.uom.gr/~acg Το πρόβλημα της μέγιστης ροής Μεγιστοποίηση του πλήθους των αντικειμένων (όγκου, βάρους, τεμαχίων κλπ) που ρέουν από μία πηγή (αρχικός κόμβος) σε ένα δέκτη (τελικός κόμβος) Συνεκτικό δίκτυο Κυρίως στη φάση σχεδίασης Περιορισμένη δυναμικότητα ροής ακμών (στη μονάδα χρόνου) Μία πηγή ένας δέκτης (πολλές πηγές, πολλοί δέκτες??) Διατήρηση της ροής σε όλες τις κορυφές (εκτός από ποιες??) Καθορισμένη δυναμικότητα ροής προς κάθε κατεύθυνση Δυναμικότητα ροής μονοπατιού: πλήθος των αντικειμένων που μπορούν να περάσουν από ένα μονοπάτι, στη μονάδα του χρόνου Παραδείγματα εφαρμογών Μεγιστοποίηση της ροής οντοτήτων στην εφοδιαστική αλυσίδα (logistics): o προϊόντων στο δίκτυο διανομής από τα κέντρα διανομής προς τους πελάτες o πρώτων υλών από τους προμηθευτές προς τα κέντρα παραγωγής Μεγιστοποίηση o της ροής πετρελαίου προς τα κέντρα διύλισης σε ένα σύστημα αγωγών o της ροής ηλεκτρικού ρεύματος προς τα κέντρα κατανάλωσης o της ροής οχημάτων σε ένα συγκοινωνιακό δίκτυο o της ροής νερού προς τα σημεία κατανάλωσης o της ροής φυσικού αερίου από τα σημεία εισόδου προς τις πόλεις o της ροής απόρριψης αποβλήτων σε ασφαλή τοποθεσία Σχόλια: Στο πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής ή του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου αντιμετωπίστηκε η περίπτωση της περιορισμένης δυναμικότητας ροής? Παραδείγματα εφαρμογής: Δίκτυο υδροδότησης, (περιορίζεται η ροή?), Φυσικό αέριο, γραμμές παραγωγής, ροή οχημάτων σε αυτοκινητόδρομους Στόχος: Με βάση το γεγονός ότι οι ακμές έχουν περιορισμένη (και όχι ίδια κατ' ανάγκη) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη, ποιά είναι η μέγιστη δυνατή ροή από την πηγή στο δέκτη στη μονάδα χρόνου? Στενώσεις σε δρόμους ταχείας κυκλοφορίας Source: http://ops.fhwa.dot.gov/trafficanalysistools/tat_vol/sec.htm http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα : Παράδειγμα (συνέχεια): Σκιαγράφηση του αλγορίθμου της μέγιστης ροής: Επανάληψη η Μεταφορά εξαρτημάτων σε σιδηροδρομικό δίκτυο Ροή: πλήθος (δυναμικότητα) εμπορικών αμαξοστοιχιών οι οποίες μισθώνονται για την μεταφορά των προϊόντων στη μονάδα χρόνου Πόσα δρομολόγια μπορούν να πραγματοποιηθούν ώστε να μεγιστοποιηθεί η δυναμικότητα μεταφοράς από την πόλη φόρτωσης στην πόλη προορισμό? ΠΗΓΗ ΔΕΚΤΗΣ Βήμα : Επιλέγουμε αυθαίρετα ένα μονοπάτι που συνδέει την πηγή με το δέκτη, υπολογίζουμε τη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού Βήμα : Αφαιρούμε τη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού από κάθε δυναμικότητα ακμής προς τη κατεύθυνση του δέκτη Βήμα : Προσθέτουμε τη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού από κάθε ακμή, προς την κατεύθυνση της πηγής. Βήμα : Επαναλαμβάνουμε από το πρώτο βήμα μέχρι να μην υπάρχουν μονοπάτια με διαθέσιμη μη μηδενική δυναμικότητα ροής. Μονοπάτι: Ροή που εκχωρείται: μονάδες http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επανάληψη η Επανάληψη η Επανάληψη η Ολοκλήρωση - Άριστη λύση Μονοπάτι: Ροή που εκχωρείται: μονάδες Μονοπάτι: Ροή που εκχωρείται: μονάδες Μονοπάτι: Ροή που εκχωρείται: μονάδα Δεν υπάρχουν δρόμοι με μη μηδενική δυναμικότητα ροής Μέγιστη ροή = μονάδες, οι ροές σημειώνονται στο σχήμα http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Παράδειγμα Το δίκτυο του παραδείγματος : Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () Στο ακόλουθο σχήμα ο κόμβος είναι ένας server ο οποίος στέλνει δεδομένα προς τον κόμβο, έναν άλλο server. Τα δεδομένα αυτά αποστέλλονται μέσω ενός δικτύου ενδιάμεσων αναμεταδοτών που παριστάνονται από τους υπόλοιπους κόμβους. Ο συνολικός όγκος δεδομένων που αποστέλλει ο κόμβος ανέρχεται στα Μegabytes/sec ( Mbps). Οι αριθμοί πάνω σε κάθε ακμή παριστάνουν τα Mbps τα οποία μπορούν να σταλούν από τον + αντίστοιχο κόμβο προς το γειτονικό του. Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη μέθοδο της θεωρίας δικτύων για να απαντήσετε στο ερώτημα: Μπορούν να φτάσουν και τα MB τα οποία στέλνονται σε ένα συγκεκριμένο δευτερόλεπτο στον κόμβο ; Ποια πρέπει να είναι η ροή δεδομένων από κάθε ακμή ώστε να μπορεί να αποσταλεί ο μεγαλύτερος δυνατός όγκος δεδομένων στον κόμβο ; : ροή = : ροή = http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg
http://users.uom.gr/~acg Επίλυση του παραδείγματος () Επίλυση του παραδείγματος () Η άριστη λύση του παραδείγματος Τρομακτικό Παράδειγμα (επαναληπτικό παράδειγμα ) Το ακόλουθο δίκτυο παριστάνει το πεδίο ορεινών ασκήσεων της ης Μοίρας Καταδρομών. Ο κόμβος είναι ένα Παρατηρητήριο και ο κόμβος είναι ένας Στόχος, + + + στον οποίο αναμένεται να επιχειρήσει από στιγμή σε στιγμή ένα σμήνος βομβαρδιστικών, εξαπολύοντας επίθεση με πραγματικά πυρά. Στους κόμβους έως και υπάρχουν στρατόπεδα με τμήματα του προσωπικού της Μοίρας. Οι ακμές παριστάνουν υπάρχοντες δασικούς δρόμους, που συνδέουν τα διάφορα στρατόπεδα και οι αριθμοί πάνω στις ακμές παριστάνουν το χρόνο μετάβασης από κόμβο σε κόμβο (σε λεπτά). Τα τμήματα της Μοίρας θα εκτεθούν σε μεγάλο κίνδυνο αν παραμείνουν στα στρατόπεδά τους (δηλαδή στους κόμβους έως και ) κατά τη διάρκεια του βομβαρδισμού που πρέπει να ξεκινήσει το συντομότερο δυνατό. Το μόνο ασφαλές σημείο είναι το Παρατηρητήριο. Στις :, δόθηκε εντολή επείγουσας και άμεσης εκκένωσης των στρατοπέδων. Όλο το προσωπικό της Μοίρας («κι όταν λέμε όλο εννοούμε όλο») πρέπει να μεταβεί, απ όπου κι αν βρίσκεται, στο ασφαλές Παρατηρητήριο (κόμβος ). Τι ώρα μπορεί να ξεκινήσει ο βομβαρδισμός; : ροή = : ροή =, δεν υπάρχουν άλλα μονοπάτια με θετική δυναμικότητα ροής Μέγιστη ροή = + + + = http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Τρομακτικό Παράδειγμα (σχήμα) Τρομακτικό Παράδειγμα (σχόλια) Τρομακτικό Παράδειγμα (επίλυση-) Επίλυση- Ποιο (καταρχάς) είναι το ζητούμενο ; Όλοι πρέπει να μεταφερθούν στο Παρατηρητήριο Το δίκτυο υπάρχει (δεν είναι υπό κατασκευή) Πρέπει να βρεθεί η συντομότερη διαδρομή από κάθε κόμβο προς το Παρατηρητήριο (και όχι να επικοινωνούν όλοι μεταξύ τους) Όλοι πρέπει να προλάβουν να φτάσουν στον κόμβο ο μεγαλύτερος από τους συντομότερους δρόμους προς τον κόμβο καθορίζει την ώρα έναρξης του βομβαρδισμού Μεθοδολογία: αφετηρία κάθε κόμβος ξεχωριστά, προορισμός ο κόμβος Μεθοδολογία: Ισοδύναμα, αφετηρία ο κόμβος, προορισμός κάθε άλλος κόμβος και καταγραφή της διαδρομής αντίστροφα (μη προσανατολισμένο δίκτυο) http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επίλυση- Επίλυση- Επίλυση- Επίλυση- http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επίλυση- Επίλυση- Τρομακτικό Παράδειγμα - αποτελέσματα Αυτό τώρα, τι είναι ; (επαναληπτικό παράδειγμα ) Σημείωση: Η προηγούμενη διαδικασία επίλυσης πρακτικά υλοποιείται σε ένα μόνο σχήμα Η δασική υπηρεσία σχεδιάζει την αναδάσωση μίας μεγάλης περιοχής δημιουργώντας συστάδες (δασύλλια) με διάφορες ποικιλίες δέντρων. Επιθυμεί να αναπτύξει ένα σύστημα δασικών δρόμων που θα καθιστά κάθε δασύλλιο προσβάσιμο από Κόμβος Βέλτιστη Διαδρομή Ελάχιστος Χρόνος (λεπτά) - οποιοδήποτε άλλο. Οι αποστάσεις (km) μεταξύ ζευγών δασυλλίων δίνονται στον ακόλουθο πίνακα, μόνο όπου υπάρχει δυνατότητα κατασκευής δρόμου. Οι δρόμοι που θα κατασκευαστούν θα είναι διπλής κατεύθυνσης. Απόσταση μεταξύ ζευγαριών δασυλλίων (km) Δασύλλιο....... Δασύλλιο....................... Τελικά, τι ώρα μπορεί να ξεκινήσει ο βομβαρδισμός; ; ;.......... http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg
http://users.uom.gr/~acg Αυτό τώρα, τι είναι (); Επαναληπτικό Παράδειγμα Επαναληπτικό Παράδειγμα, δεδομένα Επαναληπτικό Παράδειγμα, δίκτυο προβλήματος Όπως αναφέρθηκε, η διοίκηση της δασικής υπηρεσίας επιθυμεί να προσδιορίσει τους δρόμους που θα κατασκευάσει, ώστε να μπορεί κάθε επισκέπτης της περιοχής να μεταβεί από οποιοδήποτε δασύλλιο βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο. Το κόστος κατασκευής κάθε δρόμου είναι ανάλογο της χιλιομετρικής απόστασης και το συνολικό κόστος του έργου αποτελεί το βασικό κριτήριο για τη εύρεση της καλύτερης δυνατής λύσης. Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση της δασικής υπηρεσίας να επιλύσει το πρόβλημα. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να διατυπώσετε με σαφήνεια την κατηγορία προβλημάτων στην οποία ανήκει το προς επίλυση πρόβλημα, δικαιολογώντας την απάντησή σας, καθώς και τον αλγόριθμο με τον οποίο Γαλακτοβιομηχανία συλλέγει το πρωτογενές γάλα από τους παραγωγούς σε ένα κεντρικό Σιλό (Σ). Σύμφωνα με τον τρόπο οργάνωσης της παραγωγικής διαδικασίας του φρέσκου παστεριωμένου γάλακτος, από το σιλό το γάλα ρέει μέσω αγωγών σε έναν από τέσσερις παράλληλους Σταθμούς προετοιμασίας και προεπεξεργασίας (Σ, Σ, Σ, Σ). Ακολούθως, διοχετεύεται σε μία από τρεις παράλληλες συσκευές της συστοιχίας Ψύξης και Παστερίωσης (Ψ, Ψ, Ψ). Μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας αυτής, ακολουθεί το τμήμα Συσκευασίας και Διανομής με μία συστοιχία δύο παράλληλων εγκαταστάσεων (Δ, Δ). Από εκεί, το συσκευασμένο γάλα φεύγει για να διατεθεί στην Αγορά (Α). Οι αγωγοί μέσα από τους οποίους ρέει το ημικατεργασμένο προϊόν είναι ρυθμισμένοι σε κάποιες μέγιστες ημερήσιες δυναμικότητες ροής (σε λίτρα) A Σ Σ Σ Ψ Ψ Δ ΑΓΟΡΑ επιτυγχάνεται η λύση. Η επίλυση που θα παρουσιάσετε να είναι σαφής και να δείχνει ότι εφαρμόζετε με ακρίβεια το σχετικό αλγόριθμο πάνω στο δίκτυο που θα κατασκευάσετε με σύμφωνα με τους παρακάτω πίνακες όπου καταγράφεται η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί στη μονάδα του χρόνου. Δ βάση τα δεδομένα. Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου Ψ να βοηθήσετε τη διοίκηση της εταιρείας να μεγιστοποιήσει την ημερήσια ποσότητα τελικού προϊόντος που προωθείται στην αγορά. Σ http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Α - Σ -Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Α - Σ -Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Α - Σ Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Σ Α Σ Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Α Σ Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Α Σ Ψ Δ -ΑΓΟΡΑ Ψ Α Σ Ψ Δ -ΑΓΟΡΑ Σ Δ A Ψ ΑΓΟΡΑ Σ Δ Ψ Α - Σ Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Σ Α Σ Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Α Σ Ψ Δ - ΑΓΟΡΑ Α Σ Ψ Δ -ΑΓΟΡΑ Ψ Α Σ Ψ Δ -ΑΓΟΡΑ Α Σ Ψ Δ -ΑΓΟΡΑ Σ Δ A Ψ ΑΓΟΡΑ Σ Δ Ψ Σ Σ http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση Επαναληπτικό Παράδειγμα, επίλυση - τέλος Επαναληπτικό Παράδειγμα, σχόλια Από τη φύση του αλγορίθμου της μέγιστης ροής, είναι πιθανόν να μην υπάρχει μόνο μία μοναδική σειρά επαναλήψεων και μονοπατιών, αφού σε κάθε επανάληψη, το μονοπάτι με μη μηδενική δυναμικότητα ροής προσδιορίζεται αυθαίρετα. Υπάρχουν εναλλακτικά μονοπάτια τα οποία επίσης επιτυγχάνουν τη μέγιστη ροή (και αυτό συμβαίνει συχνά στα προβλήματα αυτού του τύπου). Για παράδειγμα (δοκιμάστε το), επιλέγοντας διαδοχικά τα μονοπάτια: Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες), Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες), Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες), Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες), Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες), Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες), και Α-Σ-Ψ-Δ-ΑΓΟΡΑ (με ροή μονάδες) Έχουμε εναλλακτική άριστη λύση με ίδια μέγιστη ροή (ίση με λίτρα). http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg http://users.uom.gr/~acg