TEREOMEETRI c Ristthus c c c c Kuu 6 Püstis P inl Kü t lg = l Klis l P inl Kü t lg l Ristlõige Koäne üii P n inl Kü n inl Põhj t lg 4 P
NÄITEÜLENDED. ) Püiii õhjs on võhne olnu, ille lus on 4 c j h c. Kõi ülgthu ooustv üiii õhjg hethulise nug 60 o. Leie üiii ülginl. Lhenus. iline h t R Koonus t Ke 4 4 R R 4 0 60 0 60 O Tähiste üiii õguse = O. Külgthu, ille luses on 4 c otee on j ülgthu, ille luses on c otee on. Kolnug O j O on võse KNK (ülgnu-ülg) tunnuse õhjl. eeg on võse ülgthue oteei (tähiste ). e vl ülginl 0 4. Teises leie õhjs olev olnug siseingjoone iuse.
Kolnug inl s lei siseingjoone iuse või eoni vlei jägi c 4 0 40 0 0 6 40 4 5c 0 0 5 4 5 0 c. 5 Leie nüü täisnusest olnugst O (O) oteei cos 60 5 5 4 5 0 5 c 5 stus. Püiii ülginl on 5 c². : 4 5 5 c ) Koäse olnuse üstis õhisev on c j ülgsev on c. vutge is üe ujuntu e ius ( is tiu suv e innl). Lhenus. Kun tegeist on oäse isg, siis e esunt O su is õguse esuntis O. Ke ius R = O. tlee täisnuset olnu O. Lõi O = 4 c (ool õgusest) j h, us O R h on õhjs olev olnug õgus j ss ein, un olnu on võülgne. Meinie lõieunt jot eini suhtes. : j tiu oole jää nii h R Leie Pythgose teoeei il olnug õguse h c. h c. Leie nüü olnugst O Pythgose teoeei il e iuse R O 4 9c. stus. Ke ius on 9 c.
) Riigies 999 (0.) Püstööthu igonli on 9 c j c. Te õhj üeõõt on c j ülgsev on 4 c. Leie üstööthu uul. Leie olnuse üiii DD uul. Lhenus. Ülesne nete õhjl D = c j = 9 c; ( + ) = c; Kõgus = = = = DD = 4 c Lei tule thu uul. D D luste õhj inl leiiseg. elles leie eslt õhjsolev ööüliu igonlie iuse. Ksutes Pythgose teoeei leie täisnusest olnugst igonli = = 9 4 65c 4 7c. Rööüliu ülje leie seostest 7 65 9 4 5 9 9 0 0 j j olnugst DD = D = Moouste võnisüsteei j lhene selle (9 ) 4: iete i teoeei õhjl 9 4 5 j 9 5 4 : eeg on eil = 5 (c) j = 4 (c). Rööüliu õguse leie Pythgose teoeei sutes võnisüsteeist h x x x x x x h x x 7 5 5 x 4 7 40x 0x 4 x,4c h x h 4,4 0,4 h, c Leie nüü õhj inl ui ööüliu inl näites vlei h 5, 6 c. x D h h il. 4
Ruul 6 4 64c. Kolnuse üiii DD uul leiises leie eslt olnug D 6 inl D c (ooust ööüliuinlst oole) j üiii uul 4 0 c. stus Püstööthu uul on 64 c³ j üiii uul 0 c³. 4) Riigies 999 (5.) Koäse olnuse üiii õhj üeõõt on 0 c ning õhj j ülgthu vheline hethuline nu on 0 o. vutge selle üiii täisinl. Lhenus. 0 0 0 0 Leie õhisev iuse = 0 : 40 c. Kun õhjs on võülgne olnu, siis leie õhj õguse näites seosest sin 60 h h 40 40 60c. h 40 60 Põhj inl 00 c. Külginl leiises on vj te ülgthu oteei. Leie selle täisnusest olnugst seosest cos 0. Et õhjs on võülgne olnu, siis h 60 : 0 c 0 40 40 j c. cos0 n 40 40 Külginl 400c. Täisinl 00 400 00 c. (einie lõieunti ouse õhjl), siis stus. Püiii täisinl on 00 c². 5
5) Riigies 999 (5.) Koonuse telglõie tiunu on 64 o j õhj üeõõt on 6 c. vutge selle oonuse ülginl j uul. Lhenus. 6 Ülesne nete õhjl on õhj üeõõt = 6. Kun telglõies on võhne olnu, us õgus oolit tiunug, siis 6 sin. sin Koonuse ülginl 6 6 4c. sin Leie oonuse õguse 6 tn. tn Koonuse uul 6 6 54 c tn. stus. Koonuse ülginl on ligiuu 4 c² j uul 54 c³. 64 6) õhne olnu hg c j lusnugg 0 o ööle üe ühe h. Leie teinu ööeh uul j inl. Lhenus. Kolnug ööleisel tei ööeh, is oosne hest oonusest, illeel on ühine õhi. Ühe oonuse istlõige on võhne olnu j teisel. Leie öölev olnug luse x. x cos 0 x cos0 4 c. eeg on olnug lus 4 = c O 0 x Koonuse ius = O = O. Leie selle sin 0 x 4 c. Ühe oonuse õguses on O j teisel O. Leie esiese oonuse õguse O 4 64 4 4c. eeg on teise oonuse õgus 4 = 4 (c). Jäeliult on oonuste uul võse j 6 ööeh uul vlu 4 4 c. Pööeh inl ooustv õle oonuse ülginl. Leie esiese oonuse ülginl 4 c. Teise oonuse ülginl 4 96 c. Pööeh inl on 96 c. stus. Pööeh uul on c³ j inl. c². 6
7) Koäse üiii luses on hulnu, ille sisenue su on 70 o. Leie selle üiii uul tees, et t ülgsev iuseg l ooust õguseg nug 0 o. Lhenus. Kun hulnug nue su 70 s n 0 n n 4 n 0 uusnu. 6 Püiii uul vlu. vle täisnusest olnugst O l õguse cos0 j l l õhisev sin 0. l n Leie õhj inl vleist., st. õhjs on oäne l 0 O Põhj otee l. 4 6 l l l Põhj inl on. 4 l l l Ruul üh. 6 l stus. Püiii uul vlu ülgsev uu 6 üh³. ) Riigies 00(0.) Koonuse tiu läiv tsn lõi oonuse õhj öö õõlu, ille ius on võne iuseg. Lei oonuse teinu ose uule suhe. Lhenus. Koonuse uul vlu. tlee eslt oonuse õhj. Põhjl tei võülgne olnu, seeg on esnu = 60º j oonusest eluv ujun D 60 ooust ogu uulst 60 6. D 60 7
Püiii D uul vlu. 4 Lõige el ujuni D ( 6 oonusest lhut üii) uulg 6. 6 5 uue os oonusest j selle uul 5 5. 6 6 6 e tsnilise lõieg elunu suue os oonusest 5 5 0. 6 0 0 Leie suhte :. 6 6 0 stus. Koonuse teinu ose uule suhe on. 9) Riigies 00(0.) Ristthuujulisest tooiust seveg, j c vlisttse etil. Eslt uuitse tooiust läi ügune v iuseg nii, et v telg ühti istthu süeetiteljeg, is on lleelne ülgsevg. eejäel tehse uuuujulise istlõieg v, ille süeetitelg ühti istthu süeetiteljeg, is on lleelne ülgsevg. v uuuujulie istlõie ülg on, usjues. vlge etili. välisinn inl;. uul;. õõnsuste inl. Lhenus. tlee eslt, illistest osest välisin oosne. e ol einevt ujunit. c Pinl on c Pinl on c c Pinl on c
Kun ig ujuni vststh on ssugune, siis se välisinn inls c c. Jägises leie uul.tlee ujuni läilõiget eltvtes. Ristthu uul il väljlõigetet on RT c ; Ristthuujulise väljõie uul on ; iliniujulise väljlõie uul on e etili uuls c ( ). ( ), un. iises leie õõnsuste inl. tlee eslt istthuujulist õõnsust. Ristthu s thu on uuuujulise (oäne nelinune üstis) ning sellest on väljlõigtu ingi. Ristthu ujulise õõnsuse inls on (neljst istüliust lhut ingi) 4. iliniujulise õõnsuse inl ( ). õõnsuse 4 e õõnsuste inls ou ( ). stus. älisinn inl c c, etili uul c ( ) j õõnsuste inl 4 ( ). õõnsuse 0) ntu on oonus, ille õgus on 5 c j uul 0 c³. Koonuse sisse on ujuntu siline.. Leie oonuse õhj ius R.. vlge silini õgus h te õhj iuse uu.. vlge silini uul te õhj iuse uu. 4. Kui suu e ole silini õhj ius, et selle uul oles silne? Lhenus.. Tee, et oonuse uul on 0 R 0 c R 6 5 R 6c.. ilini õguse h vlises te õhj iuse uu se ijut välj võe (un olnug j DF on snse) 5 6 6 5 5 h h 5 90 6h 5 6h 90 5 : 6 h 5,5. D h R F 5 9
. ilini uul h 5,5.. ilini silse uul leiises lhene esteeuülesne. Ksute eelises untis leitu uul vlist ning esteeui ääises leie selle tuletise nulloh. 5,5 ( ) 0 7,5 7,5 4 0 ei soi 0 0 5,5 4 Kontollie nüü teise tuletise il, s = 4 nn silse uul. ( ) 0 5 0 5 4 0 0, st. tegeist on siuohg. stus. Koonuse õhj ius on 6 c j silini õgus vlu h 5, 5. ilini uul vlu 5,5 ning silse uul nn ius = 4 c. ) Kesse iuseg 6 c on ujuntu oonus telglõie tiunugg 60 o. Lei e j oonuse uule vhe. Lhenus. 4 4 Ke uul R 6 c. Kun oonuse telglõie tiunu on 60 º, siis on te telglõies võülgne olnu. õülgse olnug õgus vlu ülje uu h. 4 Tee, et e ius 6 c ooust 6 60 oonuse telglõie õgusest (einie lõieunti ouse õhjl) R 6 6 eeg oonuse ius on 0,5 0,5 6 c. c. Kun õgusest on 6 c, siis on oonuse õgus 6 9 c. 9 7 9 c Ke j oonuse uul vhe on 07 c. Leie oonuse uul. stus. Ke j oonuse uule vhe on 07 c³. 0
RJUTUÜLENDED ) Ke sisse on ujuntu oonus. vl selle oonuse uul, ui oonuse telglõie tiunu on j e ius R. vut oonuse uul, ui R =,5 j = o R sin cos 5. : 4, ) Riigies 99 On ntu oäne nelinune üii, ille ülgsev j õhj vhelise nug tngens on ning õhj igonl c. Püiii sisse on ujuntu oäne nelinune is nii, et selle luine õhi su üiii õhjl j üleise õhj sev ülgthuel. ) vl is uul te õhj igonli uu. ) Millise väätuse ol on is uul silne? vut is silne uul? : = 6² - 0,75³ ; 56 c³ 9 ) Riigies99 Koonuse ti su untis T(0;0;), unt ( ; ;6) ine õhj üeingjoonel j õhj ius on c. Lei oonuse täisinl. Kui ugele tiust tule teh õhjg lleelne lõige, ille inl on veen õhj inlst? : t = 44 c²; c 4) ilini telglõige j õhi on invõse. vl silini täisinl, ui silini õgus on h. : 4h 5) Kolnuse oäse üiii õi ülgthu ooustv õhithug nug 60 o j otee on c. Lei üiii täisinl j uul. : t 4 c j 64 c 6) Koonuse ti su oointie lgusuntis j õhi on isti y-teljeg. Punt ( ;;0 ) su õhj üeingjoonel. Lei ) oonuse telglõie tiunu, ) oonuse täisinl j uul, c) itu otsenti ooust oonuse õhj inl ülginlst? : = 0º; t = 9 üh² j = 7 üh³ ; 6,6% 7) Tets, ille luse on 4 c j 9 c ning h on c j 4 c, ööle üe ie luse. Lei teiv ööeh uul j inl. : =,64 c³ j = 6 c² ) Ro, ille ülg on j üs nuest 0 o, ööle ülje üe. vl ööeh inl j uul. : = ² üh², = 0,5³ üh³ 9) Riigies000 Koonuseujulise nu telglõie tiunu on 60º. nusse settse se uul iuseg j vltse vett uni veenivoo t uuli. Lei veenivoo õgus äst uuli eelist. : 5 0) Riigies000 Koonuses, ille telglõie tiunu on 60º, ultu vesi õguseni h. nusse settse ust e iusegs, is jää täieliult vee ll. Lei veenivoo õgus siis, ui e on oonuses. : h h
) Riigies 00 Telgi õhjs on istüli, ille ius on j lius. Telgi tus oosne hest olnugst j hest tetsist, is lõiuv hoisontltsinng nug ll. Leie ) telgi hj ius ) telgi õgus c) telgi tuse inl ) telgi uul. tn : ; ; ; ( ) tn ; cos ) REX00 Ristthuujulise j ius on, lius ning (seinte) õgus c. Ktuse in oosne hest tetsist j hest olnugst, usjuues õi nee neli os lõiuv hoisontltsinng nug ll. Lei ) tusehj ius : - ) j õgus innst tusehjni : c) tuse inl : cos ( tn c ) ööningu uul : ) tn ) REX00 Toni oonuseujulise tuse läiõõt, õõetun õige liest ohst, on,0 j õgus 4,. Mitu ilogi vävi tules ost toni tuse väviises, ui ühe uuteeti väviises ulu 00 g vävi? : 5 g 4) Riigies 00 (0.) On ntu e uulg 6 c³. Ke sisse on ujuntu oonus. ) Leie e ius R. ) vlge oonuse õhj ius õguse h uu. c) vlge oonuse uul õguse h uu. ) Kui suu e ole oonuse õgus h, et oonuse h uul oles silne? R : R = c; = 6h h ; = h²(6 h); h = 4 c; 5) Riigies 00 (5) Mj sein vstu ehittse ilest svuhoone, ille esisein õgus on,5 j tgsein õgus on (vt joonist). Põhj õõte on, j ning tuselti ius,. Kui lju ulu ilet tuse, tetsiujuliste ülgseinte j esisein tises? : 9,
6) Riigies 00 (0) ituse istlõige (vt joonisei) on su võülgsest olnugst selle ühe nug üisel ingjoone eg, ille ius on. eljuues olnug s ülge on ingjoone uutujtes. ituse lius j ius on vstvlt 4 j. Leie vituse inl, tuseluse uul j õgus h. : 6 ; ; h 5. 7) Riigies 004 (0) Lilleott on oäne hesnune is, ille õõnsus on oole (vt joonist). eljuues ) oole suuingi tsn ühti is üleise õhj tsnig, ) oole süeetitelg j is süeetitelg ühtiv, c) oole uul on ool is uulst, ) lilleoti õhj sus (õige õhes ohs) võu ülgsein suseg (õige õhes ohs). () vlge ooleujulise õõnsuse uul is õhisev iuse uu. () Milline es ole väätus täissentieetites, et õõnsuse ht oles vähelt 0,5 liitit? : tn,5 ) Riigies 005 (0) ; tn,5 0,56. iliniujulisse neg i on iguttu 4 ühesuuust lli, nii et ig ll uutu i õhj, nt j ülgsein ning hte nelli (vt joonist). Kui suue os i uulst täiv lli? : ligiuu 46%.
9) Riigies 005 (0) Kuui D'''D' sevel ' j DD' setsev vstvlt unti '' j D'', is jotv nee sev ltes untiest j D suhtes : (vt joonist). Läi untie ', '' j D'' on settu tsn γ. Kujutge teinu uui lõige joonisel.. Millises suhtes jot lõige uui seve D j?. vlge lõie inl, ui uui sev on. 7 7 : Lõige oolit õhisev;. 4 0) Riigies 006 (0) Kün (vt joonist) ots on võhse tetsi, is on õhjg isti j ille üs lus on teisest 0% võ ie. Kün ülgsein j õhi on istüliu, õhj lius on. Kün sügvus on h j vee sügvus üns on 0,5 h. Kün lluttse ühele ülgseinle, uni vstsülgsein välju täieliult veest. Tehe inls, s os veest vool seejuues üle ün ääe. : Os veest vool llutisel välj. ) Riigies 007 (0) Koonuse õhjl on neli ühesuuust e, illest igüs uutu ülejäänu eest hte. Nenel eel setse viies niis suu e, vt joonist. Ig e uutu oonuse ülgin. Leie ugus viien e õige õgest untist oonuse õhjni j oonuse telglõie tiunug suuus, ui ee ius on. : ;90. ) Riigies 00(0). Kolnuse üiii O sevel O j O setsev vstvlt unti K j L, is jotv nee sev tiust O ltes suhtes : j :. ) Tähistge üiii tiu j täienge joonist lõietsnig KL. 4
) Millises suhtes jot lõietsn KL üiii uul? ) Riigies 009(0) Püstööthu DD (vt joonist) õhjs on o D, ille tevnu D =α j igonl D =. Püstööthu igonl ooust õhithug nug β. ) vl üstööthu igonllõigete inl nue α j β ning igonli uu. ) ntu üstööthusse on ujuntu üii OKL, us unti K j L on vstvlt üstööthu seve D j esunti ning unt O on oi D igonlie lõieunt. Lei üstööthu j üiii OKL uule suhe. ) Näit, et sige O on isti sigeg D. tn tn : ; ;:. tn tn 4) Riigies 00 (0) ilinis on istthus D D (vt joonist). Ristthu ie õhisev on j õhithu igonlievheline tevnu on α. Ristthu igonl ooust ülgthug, ille inl on väise, nug β.. vlge silini ülginl, α j β uu.. Näie, et = c, α = 60 o j β = 45 o ol on silini ülginl π c. tn tn :. cos tn 5
5) Riigies 0 (0) Koäse uusnuse üiii TDEF ülginl on, j õhj inl 4 c. vut üiii õgus. : c 6) Riigies 0 (0) oone l os on oolsilini- j õge os istthuujuline. Ristthu lius on võne oolsiliniujulise otssein ieetig. Ristthu ius j lius suhtuv ngu : ning selle õgus on o suue l os iusest. iliniujulise os tuse innlotuse üeõõt on P. ) vl ogu hoone uul üeõõu P j ieeti uu. ) Kui suu es ntu P väätuse ol ole oolingiujulise otssein ius, et l os tuse inl oles võiliult suu? : P 6 P ;. 4 6) Riigies 0 (0) Kolnuse üstis õhjs on olnu, ille s ülge on 6,7 j 9,4 c ning nenevheline nu 4. Nu is väisei inlg ülgthu igonli j õhithu vhel on 45. Tehe selgitv joonis j vutge selle is täisinl. : 50,5 c 7) Riigies 0 (0) õhne tevnune olnu hg j tiunugg ööle ue ühe h.. vlge teinu ööeh täisinl ning uul h j tiunug uu.. vutge teinu ööeh täisinl j uul, ui 4 0. 75 5 5 5 5 j 0. 6
49 sin 4 : ; sin cos. ) Riigies 0 (0) ilini täisinl on 5π. Kui selle silini iust vähen s o j õgus jätt ss, siis vähene silini täisinl 4π võ. Lei esilgse silini õgus j ius. : = 4 c j = 5 c. 9) Riigies 0 (0) Kesse iuseg R on ujuntu oäne olnune üii nii, et õi üiii tiu uuutv e in. ) Kui ugle e esuntist e su üiii õhi, et üiii uul oles silne? ) Lei üiii j e uule suhe. 7