Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Χρήστος Μακρόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ

Χρήση των μοντέλων για την επίλυση προβλημάτων Εισροές Ταυρωπού Ταμιευτήρας Εκτροπή προς Θεσσαλία Σήραγγα προσαγωγής Στρόβιλος Ταυρωπός Παραγωγή ΥΗΕ Ανάρ. δεξαμενή Ύδρευση Άρδευση Καλέτζης

Επίλυση? Μετά τη δημιουργία του μοντέλου: Αναλυτικά (πρέπει να είναι πολύ απλό) Με δοκιμή και πλάνη (trial and error) (πρέπει να είστε πολύ τυχεροί ή να ξέρετε πολύ καλά το σύστημα Βελτιστοποίηση

Στάδια επίλυσης 2 στάδια για την επίλυση ενός προβλήματος: Προσομοίωση (η παραμετροποίηση) προβλήματος Βελτιστοποίηση (μέσω αντικειμενικής συνάρτησης) Τα 2 αυτά στάδια δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (και τα 2 είναι εξίσου σημαντικά) (και είναι στην ουσία ο τρόπος που λύνουμε όλα τα προβλήματα μηχανικού ακόμα και τα κρυμμένα ).

Πότε; Η προσομοίωση συνιστάται για: Τη μελέτη πολύπλοκων συστημάτων, δηλ. συστήματα για τα οποία η αναλυτικές λύσεις είναι ανέφικτες Για τη σύγκριση εναλλακτικών σχεδίων για ένα σύστημα που δεν υπάρχει ακόμα Για τη μελέτη των επιπτώσεων πιθανών μεταβολών σε ένα υπάρχον σύστημα. Γιατί δεν αλλάζουμε το σύστημα; Για την επαλήθευση αναλυτικών λύσεων Η προσομοίωση δεν συνιστάται όταν: Οι παραδοχές του μοντέλου είναι τόσο απλές που μπορούμε να εφαρμόσουμε μαθηματικές μεθόδους για να βρούμε ακριβείς απαντήσεις (αναλυτικές λύσεις)

Πόσο ακριβής είναι μια προσομοίωση; Αν και οι παράμετροι θεωρούνται γνωστές μπορεί να είναι αβέβαιες: Λάθη στις μετρήσεις: είναι οι χρονοσειρές εισροών ακριβείς; Ανεπάρκεια μετρήσεων για τον ζητούμενο χώρο και χρόνο Λάθη στην απεικόνιση του προβλήματος στο μοντέλο (ή έλλειψη βασικών διεργασιών από το μοντέλο) Έλλειψη πληροφορίας (ξέρουμε πραγματικά την παροχετευτικότητα του υδραγωγείου; Μπορεί να έχει αλλάξει το τελευταίο εξάμηνο, ξέρουμε τη ζήτηση σε 5 χρόνια;)

Με δεδομένη αυτή την αβεβαιότητα πόσο καλές μπορεί να είναι οι προβλέψεις; Χρησιμοποιούμε ιστορικά δεδομένα για να υπολογίσουμε τις παραμέτρους του μοντέλου (βαθμονόμηση) Οταν ζητάμε μελλοντικές προβλέψεις απο το μοντέλο, υποθέτουμε (εμμέσως) οτι τα ιστορικά δεδομένα είναι αντιπροσωπευτικά του μελλοντικού συστήματος.

Χρήση μοντέλων εκτός περιοχής δεδομένων (extrapolation) Όσο πιο πολύ χρειάζεται να απομακρυνθούμε από τις συνθήκες των μετρήσεων που έχουμε, τόσο μεγαλύτερη η αβεβαιότητα tn/s 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 y = 0,000000193x 2,652796317 R² = 0,735585973? 0,0 0 100 200 300 400 500 600 m3/s Μελέτη στερεοπαροχής ποταμού Αλιάκμωνα (θέση Ιλαρίωνα): Στερεοπαροχές 1962 1982. Απορροές 1962 1992

Η ακρίβεια του μοντέλου εξαρτάται: Από την ακρίβεια με την οποία προσομοιώνει ιστορικές συνθήκες Την ομοιότητα των μελλοντικών συνθηκών με αυτές που καταγράφονται μέσω των ιστορικών δεδομένων

Τύποι αβεβαιότητας Στις γνώσεις μας (π.χ., μετρήσεις, διεργασίες, δομή μοντέλου) Στη φύση (π.χ., χωροχρονική μεταβολή βροχής) Στις αποφάσεις (π.χ., προτεραιότητες του επόμενου Περιφερειάρχη, τιμή της kwh ενέργειας)

Πόσο μπορούμε να μειώσουμε την αβεβαιότητα των μοντέλων μας Πλήρως ντετερμινιστικό σύστημα που περιγράφεται μόνο μία μεταβλητή X t από τη σχέση: Χρονική εξέλιξη Χ1 t, X2 t X t =k*x t 1 *(1 X t 1 ) Με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες Χρονική εξέλιξη Χ1 t X2 t πχ: Έστω, k=3.7 Δοκιμή 1: X1=0.660000 Δοκιμή 2: X1=0.660001

Σκέψεις... Πως λέγεται η θεωρία που εξηγεί την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες; Τι επιπτώσεις έχει αυτή η θεωρία στις μακροπρόθεσμες προβλέψεις (ακόμα και τελείως ντετερμινιστικών) συστημάτων που επηρεάζονται από τις αρχικές συνθήκες τόσο πολύ; Ποιό είναι το σύστημα στο οποίο δούλευε ο άνθρωπος που ανακάλυψε το φαινόμενο; Και πόσο μπροστά μπορούμε να προβλέψουμε στο σύστημα αυτό; Τι να σημαίνει (δυστυχώς) αυτό για τα GCMs; Είναι το πρόβλημα αυτό φαινομενολογικό ή επιστημολογικό (άραγε); When the Butterfly Effect Took Flight https://www.technologyreview.com/s/422809/when the butterfly effect took flight/

Ανάλυση Αβεβαιότητας και Ευαισθησίας Ανάλυση αβεβαιότητας και ανάλυση ευαισθησίας: μεταβολή παραμέτρων και εξέταση επίπτωσης στα αποτελέσματα. Αν το μοντέλο είναι πολύ ευαίσθητο σε κάποιες παραμέτρους, ίσως πρέπει να τις προσέξουμε περισσότερο! (πχ. νέα συλλογή/ανάλυση δεδομένων)

Ευαισθησία & Αβεβαιότητα Στην ανάλυση ευαισθησίας προσπαθούμε να υπολογίσουμε την επίπτωση ενός (μικρού) λάθους των παραμέτρων εισόδου στα αποτελέσματα του μοντέλου Στην ανάλυση αβεβαιότητας χρησιμοποιούμε πιθανοτικές κατανομές των παραμέτρων εισόδου για να υπολογίσουμε πιθανοτικές κατανομές των αποτελεσμάτων του μοντέλου.

Ανάλυση Ευαισθησίας Στην ανάλυση ευαισθησίας, θέλουμε να υπολογίσουμε την επίπτωση που θα έχουν (μικρές) μεταβολές της παραμέτρου εισόδου που μας ενδιαφέρει στο αποτέλεσμα. Μια απλή μέθοδος είναι η μεταβολή (μόνο αυτής) της παραμέτρου μέσα σε ένα διάστημα [α, β], π.χ., τα μέγιστο ελάχιστο διάστημα μέσα στο οποίο έχει φυσικό νόημα η παράμετρος ή πιο συχνά ένα % (πχ 5%, 10%) και να τρέχουμε το μοντέλο για τα όρια αυτά, υπολογίζοντας τα όρια των αποτελεσμάτων. Διάγραμμα Tornedo

Παράδειγμα: Ευαισθησία σε παραμέτρους του προβλήματος τ. Πλαστήρα Με πόση ακρίβεια ξέρουμε όλες τις παραμέτρους του προβλήματος μας; Πχ: παραμέτρους σχήματος ταμιευτήρα k, λ, ειδικής ενέργειας ψ και παροχετευτικότητας αγωγού πτώσης Qmax. Αλλάζω τις παραμέτρους (μια μια) μεταξύ ±5% Σε ποιες παραμέτρους το σύστημα είναι πιο ευαίσθητο (πχ η οικονομική του απόδοση αλλάζει περισσότερο )

Ανάλυση Αβεβαιότητας Στην ανάλυση αβεβαιότητας πρέπει: I. να ανακαλύψουμε από ποιά συνάρτηση πιθανότητας απο την οποία προέρχεται η παράμετρος εισοδου του μοντέλου που μας ενδιαφέρει και II. επιλέγοντας τυχαία στοιχεία (δείγματα) από την κατανομή αυτή να υπολογίσουμε τη συνάρτηση πιθανότητας των αποτελεσμάτων. Και πως μπορεί να μας είναι χρήσιμο κάτι τέτοιο; Σχήμα: έχουμε 2 εναλλακτικές λύσεις του ίδιου προβλήματος και δύο κριτήρια για τη κάθε λύση (επίδοση(αβέβαιη) και κόστος (βέβαιο)).

Monte Carlo 1. Υποθέτω (ή υπολογίζω) την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητα των εισόδων. 2. Διατυπώνω την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (F(x) πιθανότητα μη υπέρβασης) 3. Παίρνω δείγματα (με ρουλέτα): Δημιουργώ τιμές ομοιόμορφα στο [0, 1]. Τις θεωρώ πιθανότητες μη υπέρβασης. 4. Διαβάζω τα x που αντιστοιχούν στις (τυχαίες) πιθανότητες μη υπέρβασης. 5. Τις τιμές του x αυτές τις χρησιμοποιώ σαν εισόδους στο μοντέλο 6. Υπολογίζω τις παραμέτρους εξόδου. 7. Επαναλαμβάνουμε πολλές φορές 8. Καταλήγουμε στον υπολογισμό της (εμπειρικής) κατανομής των παραμέτρων εξόδου.

Προβλήματα της Monte Carlo Χρειαζόμαστε πολλές τιμές και πολλούς υπολογισμούς του μοντέλου μας για να δημιουργήσουμε τις κατανομές (1000;) Αλλιώς μπορεί να έχουμε πολύ πληροφορία για ένα μέρος της κατανομής και πολύ λίγη πληροφορία για άλλο μέρος...

Μια πιο έξυπνη λύση: Latin Hypercube Sampling Χωρίζουμε την κατανομή της παραμέτρου εισόδου σε ισο πιθανά τμήματα. Διαλέγω ένα δείγμα από κάθε τέτοιο τμήμα για κάθε μεταβλητή εισόδου. Συνδυάζω (τυχαία) τα δείγματα από τις διάφορες μεταβλητές Διαλέγω μια τιμή από κάθε τμήμα και τα χρησιμοποιώ στο μοντέλο. Υπολογίζω την κατανομή της παραμέτρου εξόδου. Δείτε: Iman, R.L. and Helton, J.C., 1988. An investigation of uncertainty and sensitivity analysis techniques for computer models. Risk analysis, 8(1), pp.71 90. (στη βιβλιογραφία του μαθήματος) https://www.mathworks.com/help/stats/lhsdesign.html?requeste ddomain=www.mathworks.com

Παράδειγμα: Αβεβαιότητα σε παραμέτρους του προβλήματος τ. Πλαστήρα Πόσο καλά μπορούμε να εκτιμήσουμε όμως τη ζήτηση; Έστω ότι η αρδευτική ζήτηση που εκτιμάται ως 150 hm 3 /έτος ακολουθεί βήτα κατανομή με τυπική απόκλιση 10 hm 3 Ποια η κατανομή πιθανοτήτων των στόχων μας (πχ του κόστους/οφέλους πχ. πόσο πιθανό είναι να βγάλουμε πάνω από 450.000 ;)

Τί γίνεται όμως αν δεν είμαστε οι διαχειριστές του συστήματος; (ή καλύτερα αν δεν υπάρχουν κεντρικοί διαχειριστές;)

Στοιχεία Θεωρίας Παιγνίων

Εισαγωγή στην έννοια της απόφασης «Ως επιδίωξη Ισχύος εννοούμε αρχικά την γυμνή βούληση της αυτοσυντηρήσεως ως έσχατο μέγεθος, το οποίο δεν ανάγεται σε κάποιο άλλο και μετέχει καθοριστικά στην υφή όλων των ατομικών και συλλογικών υποκειμένων» Παναγιώτης Κονδύλης, Επιστήμη, Ισχύς και Απόφαση (2001), σελ. 160 «Η αυτοσυντήρηση και η επιδίωξη ισχύος στο πεδίο των ιδεατών μεγεθών, όπως και στο στενότερο θεωρητικό επιστημονικό πεδίο, λαμβάνουν χώρα στο πλαίσιο και μέσω μιας απόφασης» «Απόφαση (De cisio, Ent scheidung) είναι λοιπόν μια εν μέρει συνειδητή κι εν μέρει υποσυνείδητη πράξη ή διαδικασία διαχωρισμού, κατά την οποία γεννιέται μια οργανωμένη και ιεραρχημένη κοσμοεικόνα που εγγυάται την απαραίτητη για την αυτοσυντήρηση ικανότητα προσανατολισμού και υπηρετεί την επιδίωξη ισχύος παρέχοντας πάγια ταυτότητα» Παναγιώτης Κονδύλης, Επιστήμη, Ισχύς και Απόφαση (2001), σελ. 161 162 Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 2

Πεδία εφαρμογής Θεωρίας Παιγνίων Πού εφαρμόζεται η Θεωρία Παιγνίων; Πρακτικά, σε οποιονδήποτε τομέα της ανθρώπινης δράσης Ενδεικτικά πεδία σύγχρονων εφαρμογών της Θεωρίας Παιγνίων Ανθρώπινες σχέσεις όλων των ειδών Διαπραγματεύσεις όλων των ειδών Γεωστρατηγική και Εξωτερική Πολιτική (Si vis pacem, para bellum) Πολεμικές επιχειρήσεις (Η Τέχνη του Πολέμου, του Sun Tzu) Διαχείριση φυσικών πόρων (Ενέργεια, ύδατα, ορυκτά, βιολογικοί πόροι) Διαχείριση ανθρώπινου δυναμικού (Απόφαση για επένδυση σε εκπαίδευση) Επιχειρηματικά σχέδια (Είσοδος σε νέες αγορές, διαφοροποίηση προϊόντων) Πολιτικά προγράμματα (Προεκλογικές υποσχέσεις και κοινωνικά συμβόλαια) Χρηματιστηριακές συναλλαγές παικτών με σημαντική βαρύτητα (Θεσμικοί επενδυτές) Νομισματική πολιτική (Απόφαση Κεντρικών Τραπεζών για αλλαγή επιτοκίων) Δημοσιονομική πολιτική (Απόφαση κυβέρνησης για φοροαπαλλαγές ή επιδοτήσεις) Νομοθεσία (Απόφαση για ποινικοποίηση μεγαλύτερου εύρους αδικημάτων) Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 4

Γιατί τα χρησιμοποιούμε; 1.2.4. to begin with, the economic problems were not formulated clearly and are often stated in such vague terms as to make mathematical treatment a priori seem hopeless because it is quite uncertain what the problems really are. There is no point using exact methods where there is no clarity in the concepts and issues to which they are to be applied John Von Neumman and Oscar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior (1944), p. 4 Προϋποθέσεις ύπαρξης και διεξαγωγής παιγνίου: 1. Ύπαρξη τουλάχιστον δύο συμμετεχόντων (n 2) 2. Πλήρως ή μερικώς εθελοντική συμμετοχή του κάθε παίκτη (Αλλιώς δεν είναι παίγνιο) 3. Καλώς (σαφώς) ορισμένος στόχος του κάθε παίκτη (Τί θέλει να πετύχει;) 4. Καλώς (σαφώς) ορισμένοι κανόνες δράσης των παικτών (Όπως στο Σκάκι) 5. Καλώς (σαφώς) ορισμένο μέγεθος της συνολικής αμοιβής προς κατανομή 6. Καλώς (σαφώς) ορισμένο σημείο ολοκλήρωσης (ισορροπίας) του παιγνίου Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 3

Στοιχεία Οικονομικής Ανάλυσης Αγορά: Οποιοδήποτε μέσο διεκπεραίωσης συναλλαγών μεταξύ αγοραστών (καταναλωτών) και πωλητών (παραγωγών ή εμπόρων) Τιμή Ισορροπίας Καταναλωτή Τιμή Ισορροπίας Παραγωγού Η Καμπύλη (Γραμμή) Ζήτησης εκφράζει την αρνητική σχέση μεταξύ τιμής και ζητούμενης ποσότητας (όσο αυξάνεται η τιμή τόσο λιγότερο αγοράζει ο καταναλωτής με δεδομένο εισόδημα). Η Καμπύλη (Γραμμή) Προσφοράς εκφράζει την θετική σχέση μεταξύ τιμής και προσφερόμενης ποσότητας (όσο αυξάνεται η τιμή, τόσο πιο πολύ κερδίζει ο παραγωγός με δεδομένο κόστος). Q D a D b D P Q S a S b S P Q D,S, a D,S, b D,S 0 Η επίλυση του συστήματος Q D =Q S (έχοντας γνώση των παραμέτρων a και b) δίνει την Τιμή Ισορροπίας της Αγοράς P* (Market Equilibrium) Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 5

Πόροι Ελεύθερης Προσπέλασης (Η Τραγωδία των «Κοινών»)

Τα «Κοινά»: Ένα ζήτημα από την αρχαιότητα «Αφιερώνουν ένα πολύ μικρό μέρος του χρόνου τους για να συλλογιστούν πάνω στο οποιοδήποτε δημόσιο (κοινό) αγαθό, ενώ αφιερώνουν το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου τους για την φροντίδα των δικών τους περιουσιών. Εν τω μεταξύ, ο καθένας ισχυρίζεται ότι δεν προκαλείται τίποτα κακό από αυτήν την αμέλεια ότι είναι το καθήκον κάποιου άλλου να φροντίσει γι αυτά (Σημ: εννοεί να τον εκπροσωπήσει) έτσι με το ίδιο επιχείρημα η έννοια των κοινών διασκορπίζεται από τον καθένα ξεχωριστά ώστε το κοινό αγαθό να αποσυντίθεται αναπόφευκτα» Θουκυδίδης, Ιστορία του Πελοποννησιακού Πολέμου, Βιβλίο 1, 141 «Ότι όλα τα άτομα καλούν το ίδιο πράγμα «δικό τους» μπορεί να είναι εξαιρετικό αλλά καθόλου πρακτικό. Αν κανείς σκεφτεί πάνω σε αυτά διαφορετικά, τότε αυτή η ενότητα με κανέναν τρόπο δεν παράγει αρμονία. Και υπάρχει κι άλλη μια αντίρρηση σε αυτήν την πρόταση. Το ότι από την εμπειρία μας βλέπουμε ότι τα πράγματα με το μεγαλύτερο κοινό ενδιαφέρον παραμελούνται πιο πολύ. Ο καθένας ενδιαφέρεται γι αυτά πολύ σπάνια για το κοινό καλό αλλά μόνο όταν τον ενδιαφέρουν ως άτομο. Γιατί πέρα από αυτά, ο καθένας είναι πιο επιρρεπής στο να παραμελεί τα καθήκοντα τα οποία περιμένει κάποιος άλλος να φροντίσει, όπως και στις οικογένειες, οι πολλοί προστάτες είναι λιγότερο χρήσιμοι από τους λίγους» Αριστοτέλης, Πολιτικά, Βιβλίο 2, 3 1261β Η σύγχρονη Τραγωδία των Κοινών Ο Hardin (1968) ανέδειξε το ζήτημα της ατομικής συμπεριφοράς (ορθολογικός καταναλωτής, homo economicus) απέναντι σε κοινά αγαθά ή «αγαθά ελεύθερης προσπέλασης». Αυτά τα αγαθά χρησιμοποιούνται δίχως κάποιον κανόνα εισόδου χρήσης (όπως η τιμή σε μια αγορά), με τάση να παράγονται ατομικά οφέλη αλλά συλλογικά κόστη, οδηγώντας σε ταχεία εξάντληση του πόρου. Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 6

Απόκλιση ιδιωτικού και κοινωνικού Οφέλους Κόστους Στους Πόρους Ελεύθερης Προσπέλασης (ΠΕΠ), το ζήτημα αφορά στο ότι τιμολογούνται ατομικά μόνον τα οφέλη ενώ τα κόστη με το Μέσο Συνολικό Κοινωνικό Κόστος (ΜΣΚΚ) P N Q D Κοινωνική Τιμή Ισορροπίας a D Q N b D S N P Πλεόνασμα του Free Rider Q SN a Τιμολόγηση με το ΜΣΚΚ και Free Riding Το συνολικό κόστος (ΣΚ) κάθε ατόμου είναι a+b X Τo σταθερό κόστος (ΣτΚ) κάθε ατόμου είναι a Το ΜΣΚΚ ισούται με (a+b X)/X. Στους ΠΕΠ το ΣτΚ (=a) αποτελεί και το μεγαλύτερο μέρος του ΜΣΚΚ και τιμολογείται κοινωνικά. Όσο αυξάνεται η εξαγωγή πόρου, το ΜΣτΚ a/x είναι χαμηλό στα αρχικά στάδια όπου ο πόρος είναι άφθονος και μειώνεται με φθίνον ρυθμό. Αυτό σημαίνει ότι το κάθε άτομο το συμφέρει να εξαντλήσει όσο πιο γρήγορα μπορεί τον πόρο, μεταθέτοντας το υψηλό μελλοντικό κόστος στους άλλους (Free Riding) SN b SN P Η επίλυση του νέου συστήματος Q D =Q SΝ (έχοντας γνώση των (πιθανώς νέων) παραμέτρων a και b) δίνει την Τιμή Ισορροπίας της Αγοράς Πλήρους Τιμολόγησης P Ν N Q D,S, a D,S, b D,S 0 Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 7

Ελεύθερη προσπέλαση σε πόρους με διάκριση ποιότητας Το νερό ως «ρικαρδιανός» πόρος Τα φυσικά χαρακτηριστικά μιας προσφερόμενης ποσότητας νερού με οικονομική αξία (π.χ. ποιότητα) είναι περιορισμένα και διαβαθμισμένα, έστω κι αν η ποσότητα είναι άφθονη Ύπαρξη πλεονάσματος μεταξύ τιμής αγοράς και κόστους παραγωγής που οφείλεται μονάχα στα φυσικά χαρακτηριστικά του πόρου (π.χ. έτοιμη καλή ποιότητα στο περιβάλλον) 35 30 25 20 15 10 5 0 Κόστος/Μονάδα/Επίπεδο Ποιότητας Τιμή 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Βήματα της προσπέλασης Υποθέτουμε πως 10 άτομα πρέπει να μοιραστούν μια έκταση 10 στρεμμάτων με ποιοτική διαβάθμιση (π.χ. καλύτερη θέα, περιβάλλον κλπ.) Ο πρώτος που θα προλάβει να πάει στην περιοχή έχει 10 επιλογές, ο δεύτερος έχει 9, ο τρίτος 8, κ.ο.κ.. Εναλλακτικά, η πρώτη περιοχή μπορεί να διανεμηθεί με 10 διαφορετικούς τρόπους, η δεύτερη με 9 τρόπους, η τρίτη με 8, κ.ο.κ.. Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 8

Το Δίλημμα του Ανακρινόμενου (prisoner s dilemma) ( 11, ) ( 2 e, 1 e) ( 11, e) ( 0, 0) (με e=1/n) Περιγραφή του Παιγνίου Ατομική σκέψη κάθε κρατούμενου (1 2): Περίπτωση 1: Ο 2 δε συνεργάζεται με τις αρχές Εάν συνεργαστώ, τιμωρούμαι με 0 έτη Εάν δεν συνεργαστώ, τιμωρούμαι με 1 έτος (0 < 1) Περίπτωση 2: Ο 2 συνεργάζεται με τις αρχές Εάν συνεργαστώ, τιμωρούμαι με 3 έτη Εάν δεν συνεργαστώ, τιμωρούμαι με 5 έτη (3 < 5) Κάθε κρατούμενος, σκεπτόμενος καθαρά ατομικά, θα συνεργαστεί με τις αρχές και θα καταδώσει τον συνεργάτη του. Το αποτέλεσμα θα είναι οι κρατούμενοι να λάβουν από 3 χρόνια φυλακής ο καθένας. (Μια κακή λύση για τους κρατούμενους). Δίδαγμα: Οι αυστηρά ατομικιστικές επιλογές μπορεί να οδηγήσουν σε κακές εκβάσεις για τους παίχτες του παγνίου. Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 9

Δυνατότητες: (ομολογώ: cooperate δεν ομολογώ: defect)

Υπόγεια ύδατα: Κλασική περίπτωση Θεωρίας Παιγνίων Υπάρχουν n βαμβακοκαλλιεργητές που αντλούν από αριθμό υπόγειων υδροφορέων. Κάθε m 3 νερού αντλούμενο από τον κοινό υδροφορέα κοστίζει =aστην κοινότητα (λόγω υποβάθμισης του πόρου υφαλμύρωση ή/και πτώση της στάθμης, όπως και της παραπάνω χρήσης σε ενέργεια) Το Μέσο Κόστος (για κάθε αγρότη) είναι a Χ/n. Τα έσοδα από το βαμβάκι εξαρτώνται από τον αριθμό Χ των m 3 νερού που αντλούνται από τον κοινό υδροφορέα, αλλά είναιέσοδατουκάθεαγρότηξεχωριστά κι όχι της κοινότητας Κάθε αγρότης που αντλεί κερδίζει b X. Η απόφαση εξαρτάται από την εξίσωση: ΝΒ = b Χ (a Χ/n) (έστω με α=β=1). Για κάθε επόμενο m 3 ισχύει: ΝΒ = 1 (1/n) > 0,άρασυμφέρει πάντα η άντληση. Διορθώνεται το παιχνίδι; Τι γίνεται αν το παιχνίδι παίζεται σε πολλά βήματα; Γ. Καρακατσάνης και Χ. Μακρόπουλος: Υδατικοί πόροι και Θεωρία Παιγνίων 10