Кинематика флуида и напонско стање

Кинематика флуида и напонско стање У механици флуида решавају се динамичке једначине кретања за разна струјања која су присутна у техничким, физичким, биолошким и другим областима. При томе упознају се све спољашње и унутрашње карактеристике, односно инерцијске, вискозне, притисне, турбулентне, спољашње, еластичне и остале силе (величина, карактер, повезаност, дејства, утицај и последице). Кинематика флуида, која се бави проучавањем геометријских и кинематских карактеристика струјања, само привидно је без нарочитог значаја у решавању струјних проблема. Њен значај лежи у чињеници да је до данас решен ограничен број стварних струјних проблема (реалан флуид), па је свака информација о струјању, без обзира са које стране долази (нпр. аналогија са оптиком, електротехником, магнетизмом, еластомехаником), драгоцена. Струјна слика са распоредом брзина формира се непосредно под дејством наведених динамичких величина. Флуид је непрекидна средина, врло покретна и деформабилна. Непрекидност се задржава и при изузетно високим деформацијама које су често присутне у струјном пољу. Уместо деформација разматрају се умереније изражене величине брзине деформација које су повезане са напонским стањем. За покретни флуид потребно је да се одреде следеће величине: v = ( v, v, v ), p, ρ, T x y z Свеукупност ових величина у посматраном простору и времену описује струјно поље. Струјно поље је стационарно, ако су све горе наведене величине само функције положаја. Када су ове величине променљиве функције и времена, поље је нестационарно. Постоје два начина за проучавање кретања флуида: o Лагранжов, када се за сваки флуидни делић одређује путања, брзина и убрзање; o Ојлеров, који се састоји у праћењу брзина, убрзања и других својстава флуидних делића у једној непокретној тачки поља. Иако се Лагранжовим начином у сваком тренутку задржава чврста физичка повезаност свих карактеристика посматраног флуидног делића, најчешће се због непрекидности флуидне средине и равноправног значаја било ког флуидног делића, користи Ојлеров начин. Практичну примену Ојлеровог начина омогућила је теорија поља математичка дисциплина која се бави проучавањем општих својстава скаларних, векторских и тензорских поља. Природне особине струјног поља, које је предмет интересовања, садрже се у скаларном пољу притиска, температуре, густине; векторском пољу брзине и убрзања, и тензорском пољу брзина деформације и напона. Струјно поље покривено наведеним пољима представља математички модел реалног флуида у кретању. Експериментална мерења, која је лакше извршити непокретним инструментима постављеним у једну тачку струјног поља, дају предност Ојлеровом начину описивања. Лагранжов метод Посматра се одређен флуидни делић на слици 1. Положај делића је функција његовог почетног положаја r0 = ( x0, y0, z0) и времена t. Путања делића зато се пише у облику: r = r( r0, t). Брзина и убрзање флуидног делића дати су тоталним изводима: 49

r r( t+ t) r( t) dr v = lim = lim = t 0 t t 0 t dt 2 v d r a = lim = t 0 2 t dt Oво описивање одговарајуће je за величине које су везане за одређене флуидне делиће, нпр. распростирање полутаната. Сви закони одржања (масе, количине кретања и енергије) такође се физички јасније представљају Лагранжовим методом. Међутим, Лагранжова метода захтева велики број једначина за једно струјно поље, због великог броја флуидних делића, те је стога неприхватљива за већину проблема. Такође, било каква мерења тешко су изводљива, јер би мерни апарати морали да прате флуидне делиће. Ојлеров метод Слика 1. Путања флуидног делића и слика материјалног извода Овим методом разматра се промена струјних величина у једном сталном месту простора, док делићи пролазе кроз ово место. Струјне величине могу да се мере непокретним мерним уређајима. Међусобна веза између Лагранжовог и Ојлеровог метода дата је у следећој једначини за својство флуидног делића ϕ: dϕ ϕ ϕ dx ϕ dy ϕ dz = + + + = dt t x dt y dt y dt ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + vx + vy + vz = + vgradϕ t x y y t Материјална (супстанцијална) промена величине ϕ (тотални извод) (која може да се одреди Лагранжовом методом) једнака је збиру њене локалне и конвективне промене (Ојлеров метод). Локална промена представља промену својства ϕ у једној тачки флуидног простора током времена, а конвективна промена је промена својства флуида због тога што делић флуида прелази из једне у другу тачку струјног простора, тј. конвективна промена описује како поље брзина утиче на величину ϕ ( v gradϕ ). На пример, својство ϕ може да буде температура Т. Тада тотални извод температуре може да се прикаже у виду локалне временске промене температуре и конвективне промене која се односи на утицај поља брзина на ту промену. d T T = + v grad T dt t Кинематика флуида обрадиће се кроз упознавање са битним струјним својствима у скаларном, векторском и тензорском пољу. Скаларно поље Скаларно поље је простор у коме је дефинисана скаларна функција положаја U=U(x,y,z). Скаларна функција положаја може да описује простор, површину или линију, па су скаларна поља тада 50

просторна, површинска или линијска. Линије или површине на којима скаларна функција задржава исту вредност су еквискаларне. Градијент скаларне функције Слика 2. Градијент скаларне функције правац најоштрије промене Ради описивања правца промене скаларне величине, својства општег за све врсте скаларних поља, уводи се диференцијално-векторски оператор набла = i + j + k x y z који се примењује на скаларну функцију U=U(x,y,z) и одређује градијент скаларне функције U (gradu): U U U gradu = i + j + k. x y z gradu (вектор) има правац и смер нормале у произвољној тачки површине U=U(x,y,z), а пошто је нормала најкраће растојање између две вредности скалара U 1 и U 2, то gradu представља правац најјаче промене скалара U. Смер gradu је смер пораста промене скалара (слика 2). Са познатим gradu може да се одреди промена скаларне функције U у било ком првцу r. Тотални диференцијал U U U du = dx + dy + dz = ( grad U, r0 ) dr x y z где је доводи до du d dr = dr r 0 ( grad Ur, ) 0 r =. Градијент притиска (gradp) је израз који се врло често употребљава. Њим су представљене силе притиска по јединици масе флуида, а оне су значајне и у статици и у динамици флуида. Векторско поље брзине Скаларна поља притиска, густине и векторска поља брзине и убрзања, дефинишу струјно поље стационарног, идеалног (савршеног) и вискозно-ламинарног флуида. Поље брзине је од највећег утицаја на формирање струјног поља, па су све карактеристике везане за векторска поља дефинисане у пољу брзине. Струјница За векторско поље брзине везује се појам струјнице (струјне линије) и појам путање (трајекторије) флуидног делића. Струјница дочарава слику о струјању у било ком тренутку јер показује тенденцију 51

оријентације флуидних делића. Струјнице су линије којима је брзина флуидних делића тангента у сваком временском тренутку. Оне дају тренутну слику поља брзине. У следећем временском тренутку положај струјница може да буде сасвим другачији. Путања представља "траг" који за собом оставља један флуидни делић. При стационарном кретању струјнице су уједно и путање. Једначина струјнице одређена је векторском једначином: [ v,d s ] = 0 Развијањем векторског производа добија се: dx dy dz = = v v v x y z Увођење струјнице одговара Ојлеровом начину посматрања. Струјна цев Слика 3. Струјна цев Без неких значајнијих промена карактеристика струјнице, могуће је проширити струјницу на струјну цев (слика 3), тј. на скуп свих струјница које пролазе кроз све тачке затворене криве линије. У проточном пресеку струјне цеви брзине не морају бити једнаке, док се притисци сматрају непроменљивим, кад год су изводнице струјне цеви приближно паралелне. Дивергенција вектора брзине Примена оператора преко скаларног производа на векторску функцију доводи до скаларне величине дивергенције те векторске функције: x y z v = divv = i + j + k ( vxi + vyj + vzk) = + + x y z x y z Проток Слика 4. divv као мера запреминског протока кроз површину А 52

Дивергенција брзине може да се доведе у везу са запреминским протоком кроз произвољну флуидну запремину V омеђену површином А (слика 4). За стационарно струјање, ако тачкама елементарног проточног пресека припадају брзине v, мора бити: тј. dm = ρd Q= ρ( v,d A) m= ρ ( v,d A) где су: m - масени проток флуида кроз површину А [kg/s] Q - запремински проток флуида кроз површину А [m 3 /s]. За течности густина се не мења, па је m Q ( v,d A ) v d A v d A v d A ρ = = = + ± A 1 1 2 2 0 0 A A A A 1 2 0 где су: A - површина омотач запремине флуида V: A= A0 + A1+ A2 v - тј. v 0, v 1, v - брзине нормалне на одговарајуће делове површине А. 2 Површински интеграл може да се замени запреминским, те следи Q= divvdv V Ако већа количина флуида истиче из запремине V него што утиче, Q је веће од нуле, односно divv > 0, тј. из посматране запремине извире течност која се додаје струји. divv представља, дакле, разлику количине флуида која истече из јединице запремине простора у јединици времена, и количине флуида која у њу утече за исто време. Ово се може описати изразом d(d V ) divvv d =. dt Следећи симболи, према томе, представљају: o divv = 0 o divv > 0 o divv < 0 Једначина континуитета проток је константан, у посматраној запремини се налази извор (извор у пољу) у посматраној запремини се налази понор (понор у пољу). Промена количине флуида у некој запремини током времена описује се са divv. Ова промена је позната под називом једначина континуитета. Разни облици ове једначине добијају се полазећи од израза за елементарну масу флуида у уоченој непокретној запремини струјног простора dm= ρdv Промена елементарне (или коначне) масе током времена, може да буде већа, мања или једнака нули, што зависи од тога да ли у уоченој запремини постоје или не постоје извор или понор dm dt 0 Ако се пође од претпоставке да је овај простор без извора и понора, важи 53

d(d m) dρ d(d V) = dv + ρ = 0 dt dt dt заменом d(d V ) = div vdv dt добија се dρ + ρ divv dv = 0 dt или како је уочена елементарна непокретна запремина произвољна (dv 0) dρ + ρ divv = 0. dt У развијеном облику ова једнaчина постаје: ρ ρ v v x y vz v ρ x v ρ + + y + vz + ρ + + = 0 t x y z x y z или ρ + ( vgrad ρ) + ρdivv = 0 t или ρ + div( ρv) = 0. t Када је струјање стационарно, а флуид нестишљив, једначина континуитета представља се са divv = 0 односно dq = 0. Ако се у флуидној запремини налази извор или понор издашности ±ε, једначина континуитета је ρ + div( ρv) = ρε t где је ± ε ε = - специфична издашност извора или понора [m 3 /s/m 3 ]. dv Једначина континуитета представља закон одржања масе флуида и уз карактеристичну и динамичку једначину (законе кретања) служи за одређивање непознатих струјних параметара: ρ, p и v. Ротор брзине Ако се оператор набла примени на векторску функцију брзине преко векторског производа, добија се сложена векторско-диференцијална величина која се назива ротор брзине rot v. Математички израз у Декартовим координатама је 54

i j k v v z y v v x vz y vx rot v [, v] = = = i + j + k. x y z y z z x x y vx vy vz У физичком смислу ротор брзине представља меру обртања флуидног делића око сопствене тежишне осе. Ако је распоред брзине у раванском пољу (x,y) такав да обезбеђује, на слици 5 приказану, промену брзине, појавиће се обртање флуидног делића око z-осе. Интензитет овог обртања је 1 y x 2 x y јер је v ω = r па је y dx x dy ωz = x dx y dy пошто се обртање дешава равноправно под дејством обе промене брзине v y x и y x. Слика 5. Графички приказ rot v Вртлог Обртање се представља вектором угаоне брзине ω = ω i + ω j + ω k x y z где су пројекције 1 z y 1 x z 1 y x ωx = ; ωy = ; ωz = 2 y z 2 z x 2 x y rot v = 2 ω назива се вртлогом. Вртлог је позитиван уколико је обртање флуидних делића у смеру супротном од кретања казаљке на часовнику (слика 5). Ротор брзине показује колико је и какво обртање флуидног делића у ма којој тачки струјног поља око сопствене тежишне осе. 55

Када се сва течност обрће константном угаоном брзином ω=const. око неке осе (тачке), као да се ради о чврстом телу, а не флуиду; сви њени делићи обрћу се истом угаоном брзином око те исте осе (тачке). Ово је тзв. заробљен вештачки вртлог. Циркулација Слика 6. Циркулација Г Линијски интеграл по затвореној кривој С скаларног производа вектора брзине v и вектора елемента криве линије ds означава се са Г (гама) и назива се циркулација. Γ= ( v,d s) = vcosαd s= (rot v, da) = (2 ω, da). C C A A Коначна вредност циркулације означава присуство "протока вртлога 2( ω,d A) " кроз целу површину А. При томе, исто као и за вртлог, уколико се при обилажењу контуре С у правцу супротном од кретања казаљке на сату добија вредност већа од нуле, циркулација је позитивна и обрнуто. A Слика 7. Независност Г од облика и величине затворене контуре Ако се само у једној тачки В струјног поља (слика 7) флуидни делићи који стижу у њу обрћу, проток вртлога кроз елементарну површиницу da око те тачке има коначну вредност. Та вредност остаје непромењена уколико се елементарна површиница da прошири на површину А, јер се флуидни делићи ван тачке В не обрћу. Из овога следи да је вредност циркулације непромењена, без обзира на облик и величину затворене контуре око тачке В. Класификација струјних поља У кинематском смислу, струјна поља разврставају се према вредностима дивергенције и ротора брзине. Дивергенција брзине описује промену запремине уоченог дела флуидног простора, или проток флуида кроз уочени простор. Ротор брзине указује на постојање неког распореда брзине, односно вртложења флуидних делића. Неједнолике брзине, тј. вртложење, последица су вискозности 56

флуида, а промена запремине - деформације флуида, те ова кинематска класификација садржи важна струјна својства реалног флуида. Лапласово поље. Код Лапласовог поља divv = 0 и rot v = 0. Задовољена је једначина v = graddivv rot rot v = 0. У оваквом пољу нема вртлога, а проток је устаљен. Потенцијално поље. Код потенцијалног поља divv 0 и rot v = 0. Када је rot v = 0, мора бити v = gradφ, пошто је rot grad φ = [, ] φ = 0. Функција φ назива се потенцијал брзине. За познати потенцијал φ=φ(x,y,z) за стационарно струјање, познате су пројекције брзина: φ φ φ vx = ; vy = ; vz = ; тј. v = gradφ x y z Корист познавања потенцијала брзине φ огледа се у томе што се три пројекције брзине v x,v y и v z, које су непознате при проучавању струјања, замењују једном скаларном функцијом φ, тј. једном непознатом. Потенцијална поља су невртложна, али у пољу могу постојати извори или понори. Слика 8. Вртложно поље Вртложно (соленоидно) поље (слика 8). Код вртложног поља divv = 0 и rot v 0. Овакво поље је без извора и понора. Линије, чије тангенте одређују правац и интензитет вртложног вектора угаоне брзине ω, називају се вртложницама. Једначина вртложница гласи: dx dy dz = = ω ω ω x y z За вртложна влакна и цеви важи закон о неуништивости вртлога и представља се једначином (за ω = const. по пресеку А) ω A где су површине А 1 и А 2 нормалне на ω 1 и ω 2. = ω A 1 1 2 2 Слика 9. Неуништивост идеалног вртлога 57

Вртложне линије не почињу и не завршавају се у вртложном пољу. Неуништивост вртлога важи за идеализовани случај вртложења без трења (идеалан флуид слика 9). У реалном флуиду вртлози, који се најчешће принудно формирају, нестају током времена. Њихова енергија претвара се у топлотну и предаје околном флуиду. Неуништивост вртлога објашњава дуго време постојања циклон, торнада, урагана, одн. вртложних формација у атмосфери. Сложено поље. Код сложеног поља важи divv 0 извора и понора. Компликовано је за проучавање. Векторско поље убрзања и rot v 0. У оваквом пољу има и вртлога и Поље убрзања значајно је јер репрезентује инерцијске силе. У свакој тачки овог поља одређен је вектор убрзања флуидних делића који се у датим тренуцима налазе у њој. Инерцијске силе, као и остале величине у механици флуида, изражавају се по јединици масе флуида, те су представљене убрзањем и имају такву димензију. dv v v x y z a = = + vx + vy + vz = + ( v, ) v dt t x y z t где су: dv - супстанцијални или тотални извод брзине по времену; dt - локални извод по времену, одн. како се мења брзина v у уоченој тачки струјног поља са t временом: ( v, ) v - назива се конвективни извод брзине v и представља промену брзине v у једној тачки поља при њеном померању у неком правцу. Тензорско поље У савременој физици проучавају се појмови који не могу да се опишу уобичајеним изразима Више математике. У ову групу спадају и тензори. Тензори су скупови више величина којима се дефинише неко физичко својство тела у простору. Простор где су тензори дефинисани назива се тензорским пољем. У таквим пољима као и у скаларним и векторским, тензори су функција положаја. У наставку помињу се тензори брзине деформисања флуидних делића и напони који су с тим повезани. Тензор брзина деформисања делића Потпуна слика о кретању делића течности добија се једино када се, поред кретања, познаје и начин на који се делићи деформишу. С обзиром на то што гасови и течности представљају веома покретљиве средине, делићи флуида се јако деформишу, тако да је важнија брзина деформисања од самих деформација. Овом одликом флуиди се битно разликују од чврстих тела где су деформације веома мале и споре. Слика 10. Раванска деформација флуидног делића 58

У равни (слика 10) флуидни делић представља се паралелограмом, дијагонале d која гради углове α и β са оближњим странама. При деформисању делића једна дијагонала се издужује, друга се скраћује, а мењају се и углови. Временско релативно издужење првобитних дијагонала назива се брзином линеарне деформације, а временска промена углова - брзином угаоне деформације. Ове две врсте деформисања су основне карактеристике деформацијског стања и сачињавају тензор брзине деформисања ε: x 1 y x 1 z x + + x 2 x y 2 x z 1 v v x y vy 1 v v z y ε + + 2 y x y 2 y z 1 vx vz 1 y vz z + + 2 z x 2 z y z где су: x y z,, - брзине линеарних деформација у x, y, z правцима, x y z а остали чланови одговарајуће брзине деформација у равнима нормалним на x, y, z правце. Слика 11. divv - брзина релативне запреминске промене делића У свакој тачки струјно-деформацијског поља, тензор ε може да има другачију вредност, али за једну, произвољну тачку је инваријанта која не зависи од употребљаваног координатног система, што представља његов основни физички значај. Збир три дијагонална члана даје: x y z divv = + + x y z што представља брзину релативне запреминске промене делића (слика 11), јер се под дејством нормалних напона првобитна запремина шири или скупља. Из раније поменуте једначине Q= divvdv divv представља и елементарни проток флуида. V 59

Тензор напона напонско стање Ако се из бестежинског вискозно-струјног флуидног простора издвоји флуидни елемент, његово равнотежно стање дато је одређеном конфигурацијом тангенцијалних и нормалних напона, који представљају дејство околне вискозне средине на издвојени флуидни делић. Нормални напони усмерени су у правцу спољашњих нормала граничних површина издвојеног делића и представљају дејство привлачних вискозних нормалних сила околине. Тангентни напони распоређени су у равнима омотачима издвојеног делића, а представљају дејствовање смичућих сила околине због издвајања њеног дела. Први индекс означава осу која је нормална на површиницу, а други правац осе по којој се напон испољава. Напони σ xx, σ yy и σ zz су нормални напони услед чисте вискозности, а τ yx =τ xy, τ zx =τ xz и τ zy =τ yz су тангентни напони. Нормални и тангентни напони имају позитиван знак кад смер нормале на површину и смер деловања напона имају исти знак у односу на оријентацију координата. У противном, напони су негативни (слика 12). Слика 12. Распоред напона на издвојеном флуидном делићу Тензор напона вискозних сила представљен је са: σxx τ yx τzx S τxy σ yy τzy. τxz τ yz σ zz Веза напона са брзинама деформисања Њутн је успоставио везу између напонског и деформацијског стања у виду следећих једначина x 1 x y σxx = 2η + λdiv v; τxy = τ yx = 2η + x 2 y x y 1 x z σ yy = 2η + λdiv v; τxz = τ yx = 2η + y 2 z x z 1 y z σzz = 2η + λdiv v; τ yz = τzy = 2η + z 2 z y 60

Постављене релације важе само за ламинарно струјање Њутновских флуида. Нормални вискозни напони доведени су у везу са брзинама релативног издужења (брзине линеарне деформације) и запреминске промене делића (div v је мера за промену запремине флуидних делића). Тангентни напони изазивају промену облика делића па су повезани са одговарајућим брзинама угаоних деформација. Фактор пропорционалности 2η (η је динамичка вискозност) утврђен је мерењима, а λ се одређује из претпоставке да је збир три нормална вискозна напона у једној тачки струјног простора једнак нули (такође потврђено мерењима): σ xx + σ yy + σzz = 0 Одатле следи да је: 2 λ = η 3 Изрази за везу напона са брзинама деформисања сада добијају облик x 2 x y σxx = 2η - ηdiv v; τxy = τ yx = η + x 3 y x vy 2 vx vz σ yy 2η - ηdiv v; τxz τ yx η = = = + y 3 z x v 2 v z y vz σzz 2η = - ηdiv v; τ yz = τzy = η + z 3 z y За једнолико струјање константним протоком divv = 0, v=f(y) нормални вискозни напони не постоје, а тангентни напон, супротан од смера струјања, је: dv τ = η dy што представља уобичајен поједностављен облик Њутнових законитости, а важи за ламинарно струјање преко равне плоче. Веза између напона и брзина деформисања користи се за извођење Навије-Стоксове једначине. Притисак Притисак у једној тачки струјног простора има константну вредност, без обзира на оријентацију површине на коју дејствује. Он је последица дејства спољашњих поремећаја (клип који притискује флуид) или запреминских спољашњих сила (привлачна сила Земљине теже тежина флуида). Притисак дејствује у истом правцу као и нормални вискозни напон, али је супротно оријентисан усмерен ка омотачу издвојене флуидне запремине. Разлика интензитета притиска и нормалног вискозног напона одређује општи нормални напон, који је усмерен ка површини на којој се мери (не важи правило са индексима). Три нормална (општа) напона дата су са: p = p σ ; p = p σ ; p = p σ xx xx yy yy zz zz Сабирање ова три нормална напона, водећи рачуна да је σ xx + σ yy + σzz = 0 добија се 1 p = ( pxx + pyy + pzz ) 3 Ова једначина служи за одређивање вредности притиска у једној тачки струјног простора. Притисак је непроменљив у једној тачки и одређује се преко нормалних напона p xx, p yy, p zz који се мере појединачно. 61

За флуид, у стању мировања, важи σ = σ = σ = 0, односно xx yy zz p = pxx = pyy = pzz. У динамици флуида статички притисак одговара горњој релацији. 62