ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας

7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω Αν πάνω στη µία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουµε τυχαία σηµεία Μ και Ν και φέρουµε τις κάθετες MM και NN προς την άλλη πλευρά της γωνίας, τότε τα τρίγωνα OMM και O N N θα είναι όµοια, οπότε θα ισχύει: ( MM) ( NN) ( OM) ( ON) ( MM) ( NN) =, = και = ( OM ) ( ON) ( OM ) ( ON) ( OM ) ( ON ) Εποµένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα ( MM ) ( OM ) OM, OM ( MM) και ( OM ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σηµείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουµε από Γυµνάσιο, ονο- µάζονται ηµίτονο, συνηµίτονο και εφαπτοµένη της γωνίας ω και συµβολίζονται µε ηµω, συνω και εφω, αντιστοίχως ηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο MOM, ισχύει: ηµω ( MM ) απέναντι κάθετη ( OM ) υποτείνουσα =

80 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συνω ( OM ) προσκείµενη κάθετη ( OM ) υποτείνουσα = ( MM) απέναντι κάθετη εφω= ( OM) προσκείµενη κάθετη Ορίζουµε ακόµα ως συνεφαπτοµένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συµβολίζουµε µε σφω, το σταθερό πηλίκο ( OM) προσκείµενη κάθετη σφω MM = ( ) απέναντι κάθετη Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε 0 ω 60 Έστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο, Ot µία ηµιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ηµιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο µέχρι να συµπέσει για πρώτη φορά µε την η- µιευθεία Ot (Σχ α, β ) Ο θετικός ηµιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ηµιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω Σχήµα α Σχήµα β Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουµε τυχαίο σηµείο Μ( x, y ) και φέρνουµε την κάθετη MΜ στον άξονα x' x (Σχ α και β ) Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ α ), τότε, όπως είδαµε παραπάνω, ισχύουν οι ισότητες: (ΜM) (OΜ ) (ΜM) (OΜ ) ηµω =, συνω =, εφω = και σφω= (OM) (OM) (OΜ ) (Μ M) = x + y = ρ> Εποµένως, οι πα- Όµως (OΜ ) = x, (MM) = y και ραπάνω ισότητες γράφονται: y ηµω=, ρ x συνω=, ρ y εφω= και x (ΟΜ) 0 x σφω=, όπου y ρ x = + y > 0

7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 8 Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουµε µε τον ίδιο τρόπο τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήµα β ) Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουµε: y y ηµω=, εφω= εφόσον x 0 ρ x x x συνω=, σφω= εφόσον y 0 ρ y, όπου ρ= x + y > 0 όπου ( x, y ) οι συντεταγµένες οποιουδήποτε σηµείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και από το Ο ρ x y = + > 0 η απόσταση του Μ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών µεγαλύτερων των 60 ο και αρνητικών γωνιών Ας υποθέσουµε ότι ο ηµιάξονας Ox ενός συστήµατος συντεταγµένων Ox περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά Αν πραγµατοποιήσει µια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία µέτρου 0, τότε λέµε ότι ο Ox έχει διαγράψει γωνία ω= 60 + 0 = 90 Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι µεγαλύτερες των 60, δηλαδή οι γωνίες της µορφής: ω= ν 60 + µ, όπου ν N και 0 µ < 60 Αν τώρα ο ηµιάξονας Ox, στρεφόµενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγµατοποιήσει µια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία µέτρου 0, τότε λέµε ότι ο ηµιάξονας Ox έχει διαγράψει αρνητική γωνία 60 + 0 = 90 ή αλλιώς γωνία:

8 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ω= (60 + 0 ) = 90 Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της µορφής: ( 60 ) ω= ν + µ, όπου ν N και 0 µ < 60 Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών που είναι µεγαλύτερες από 60, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών από 0 µέχρι 60 ηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουµε: y y ηµω=, εφω= εφόσον x 0 ρ x x x συνω=, σφω= εφόσον y 0 ρ y ρ x, όπου = + y > 0 όπου ( x, y ) οι συντεταγµένες οποιουδήποτε σηµείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και από το Ο ρ x = + y > 0 η απόσταση του Μ Ας θεωρήσουµε τώρα µια γωνία ω (θετική ή αρνητική) µε αρχική πλευρά τον ηµιάξονα Ox Αν ο ηµιάξονας Ox, στρεφόµενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συ- µπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά µε την ω Αν όµως ο ηµιάξονας Ox, στρεφόµενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συµπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά µε την ω Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της µορφής k 60 + ω, k Z, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Εποµένως, για κάθε k Z θα ισχύει: ( 60 ), ( 60 ) ( 60 ), ( 60 ) ηµ k + ω = ηµω εφ k + ω = εφω συν k + ω = συνω σφ k + ω = σφω

7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 8 Ο τριγωνοµετρικός κύκλος Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντοµο, υπολογισµό των τριγωνοµετρικών αριθµών, χρησιµοποιούµε τον λεγόµενο τριγωνοµετρικό κύκλο Ο τριγωνο- µετρικός κύκλος θα µας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόµενες παραγράφους Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήµατος συντεταγµένων και ακτίνα ρ= γράψουµε έναν κύκλο Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνοµετρικός κύκλος Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά µιας γωνίας, πχ της γωνίας ω=5 ο, τέµνει τον κύκλο αυτό α β στο σηµείο Ν (, ) β Επειδή ηµ 5 = και ρ= θα ρ ισχύει ηµ 5 = β 0,57 Οµοίως, επειδή συν5 α = και ρ=, θα ισχύει συν5 = α 0,8 ρ Γενικότερα, αν η τελική πλευρά µιας γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο στο σηµείο Μ ( x, y ), τότε ισχύει: συνω= x= τετµηµένη του σηµείου Μ ηµω= y= τεταγµένη του σηµείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας x' x λέγεται και άξονας των συνηµίτονων, ενώ ο άξονας y ' y λέγεται και άξονας των ηµίτονων Άµεσες συνέπειες του παραπάνω συµπεράσµατος είναι οι εξής: Οι τιµές του συνω και του ηµω µιας γωνίας ω δεν µπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη τιµή την ακτίνα του τριγωνοµετρικού κύκλου, που είναι ίση µε ηλαδή ισχύει: συνω και ηµω

84 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω, ανάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας ο ο ο 4 ο ηµω + + συνω + + εφω + + σφω + + Ο άξονας των εφαπτοµένων Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο και µια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέµνει στο ση- µείο M ( x, y ) Φέρνουµε την εφαπτοµένη ε του τριγωνοµετρικού κύκλου στο σηµείο Α Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο και η ευθεία ΟΜ τέµνει την ε στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AO E Αν µε θα έχουµε ( ΟΑ) ΑΕ ΑΕ εφω= = = E οπότε θα είναι ( ΑΕ) ΑΕ = y, y παραστήσουµε την τεταγµένη του Ε, τότε θα ισχύει E εφω= y E Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτηµόριο Εποµένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: εφω = y Ε = τεταγµένη του σηµείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x=, λέγεται άξονας των εφαπτοµένων

7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 85 Το ακτίνιο ως µονάδα µέτρησης γωνιών Έχουµε γνωρίσει στο Γυµνάσιο το ακτίνιο ως µονάδα µέτρησης τόξων Συγκεκριµένα, ένα τόξο AB ενός κύκλου ( Ο,ρ ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή rad), αν το τόξο αυτό έχει µήκος ίσο µε την ακτίνα ρ του κύκλου Εποµένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad ) έχει µήκος S= α ρ Ορίζουµε τώρα το ακτίνιο και ως µονάδα µέτρησης των γωνιών ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ακτίνιο (ή rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή rad) Από τον ορισµό αυτό προκύπτει και η σχέση µοίρας και ακτινίου ως µονάδων µέτρησης γωνιών, ως εξής: Έστω ότι µια γωνία ω είναι µ και α rad Επειδή το µήκος ενός κύκλου α- κτίνας ρ είναι πρ, η γωνία 60 είναι ίση µε π rad οπότε, η γωνία rad είναι ίση µε 60 π µοίρες, Εποµένως, 80 η γωνία α rad είναι ίση µε α µοίρες π Επειδή όµως η γωνία ω είναι µ 80, θα ισχύει µ = α, οπότε θα έχουµε: π α µ π = 80 Για παράδειγµα: Για να εκφράσουµε τη γωνία 60 σε ακτίνια, θέτουµε στον τύπο α µ = όπου µ= 60 και έχουµε π 80 α 60 π = α =, π 80 π Άρα είναι 60 = rad

86 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Για να εκφράσουµε τη γωνία 5 π rad σε µοίρες, θέτουµε στον τύπο 6 α µ π = 80 όπου π α= και έχουµε 56 5π 6 µ 5 µ µ 50 π = 80 6 = 80 = Άρα 5 π rad = 50 6 Στον παρακάτω πίνακα επαναλαµβάνουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µερικών γωνιών που είχαµε υπολογίσει στο Γυµνάσιο και οι οποίοι είναι ι- διαίτερα χρήσιµοι στις διάφορες εφαρµογές Γωνία ω Τριγωνοµετρικοί αριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω 0 0 0 0 0 π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 εν ορίζεται εν ορίζεται 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνοµετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει µήκος x, αντί να γράφουµε σφ x rad, θα γράφουµε απλά ηµ ( x rad ), συν( x rad ), εφ( x rad ) και ηµx, Για παράδειγµα, αντί να γράφουµε πχ συν x, εφx και σφx και αντί ηµ ( 00rad ) θα γράφουµε απλά ηµ 00 π ηµ rad θα γράφουµε απλά π ηµ

7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 87 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Οι µετρήσεις που έκανε ένας µηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καµπαναριού ΓΚ, φαίνονται στο διπλανό σχήµα Να υπολογιστεί το ύψος του καµπαναριού σε µέτρα µε προσέγγιση ακέραιας µονάδας ΛΥΣΗ Από το σχήµα έχουµε: h εφ48 =, οπότε ΑΓ ΑΓ εφ70 h =, οπότε ΒΓ ΒΓ ΑΓ ΒΓ = ΑΒ= 0m h εφ48 = h εφ70 = h h Εποµένως = 0, οπότε εφ48 εφ70 0εφ70 εφ48 h= εφ70 εφ48 Με τους τριγωνοµετρικούς πίνακες ή µε ένα κοµπιουτεράκι βρίσκουµε ότι Αντικαθιστούµε στην () και έχουµε: εφ70, 75 και εφ48, 6,05 h 7,64 Άρα το ύψος του καµπαναριού είναι περίπου 7m η Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας 750 ο ΛΥΣΗ Αν διαιρέσουµε το 750 µε το 60 βρίσκουµε πηλίκο και υπόλοιπο 0, έτσι έχουµε 750 = 60 + 0 Εποµένως ηµ 750 = ηµ ( 60 + 0 ) = ηµ 0 = συν 750 = συν 0 = εϕ750 = εϕ 0 = σϕ750 = σϕ 0 =

88 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ η Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας 79 π rad ΛΥΣΗ Είναι 79 π = 79 π Αν τώρα διαιρέσουµε τον 79 µε τον 6 βρίσκουµε πηλίκο και 6 79π 79 π υπόλοιπο Εποµένως είναι = π = + π = π+, οπότε θα έχουµε: 6 6 79π π π 79π π ηµ = ηµ π+ = ηµ = συν = συν = 79 π π 79π π εφ = εφ = σφ = σφ = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε τα µήκη x, yκαι τη γωνία ω Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του διπλανού σχήµατος Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6 cm Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ= cm ii) ρ= cm iii) ρ= cm 4 Να εκφράσετε σε rad γωνία i) 0 ii) 0 iii) 60 iv) 485 5 Να µετατρέψετε σε µοίρες γωνία: π 5π i) rad ii) 0 6 rad iii) 9π rad iv) 00rad 6 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς γωνίας i) 80 ii) 940 iii) 980 iv) 600

7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 89 Β ΟΜΑ ΑΣ Σε µικρά αεροδρόµια υπολογίζουν το ύψος των νεφών µε τη βοήθεια µιας ισχυρής λάµπας εντός παραβολικού κατόπτρου, η οποία βρίσκεται σε απόσταση 000 πόδια (πόδι 0, m ) από το ση- µείο του παρατηρητή Η λά- µπα είναι τοποθετηµένη υπό σταθερή γωνία και ο παρατηρητής στρέφει το όργανο παρατήρησης στο σηµείο ανάκλασης του φωτός από τα νέφη i) Να προσδιορίσετε το ύψος h για ω= 0, 45 και 60 ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h= 000 πόδια; Με τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος: i) Να δείξετε ότι: (ΑΓ) = (ΒΓ) = ηµ 45 = ii) Να εξηγήσετε γιατί είναι (ΕΒ) = 4 ηµ, 5 iii) Να υπολογίσετε το µήκος (ΓΕ) iv) Να δείξετε, χρησιµοποιώντας το τρίγωνο ΒΕΓ, ότι (ΕΒ) = v) Να υπολογίσετε το ηµ, 5 vi) Ποιων άλλων γωνιών µπορείτε να υπολογίσετε το ηµίτονο και πώς πρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοπό αυτό; Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του τριγώνου ΑΓ του διπλανού σχήµατος 4 Η πιο αργή κίνηση που µπορεί να επισηµάνει το ανθρώπινο µάτι είναι mm ανά δευτερόλεπτο Να βρείτε πόσο µήκος πρέπει να έχει ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού για να µπορούµε να επισηµάνουµε την κίνηση του άκρου του

7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Από τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω προκύπτουν ορισµένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνο- µετρικές ταυτότητες Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιµες στο λογισµό µε παραστάσεις που περιέχουν τριγωνοµετρικούς αριθµούς Συγκεκριµένα ισχύουν: ηµω συνω + = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αν M( x, y ) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε θα είναι: Επειδή όµως, x= συνω και y= ηµω ( OM ) = και ( OM ) = x + y = x + y θα ισχύει: οπότε θα έχουµε: x + y =, + = συνω ηµ ω ηµω συνω εφω= και σφω= συνω ηµω ΑΠΟ ΕΙΞΗ Στο ίδιο σχήµα έχουµε: y ηµω εφω= = (εφόσον x= συνω 0 x συνω x συνω σφω= = (εφόσον y= ηµω 0 y ηµω

7 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 9 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων () και (), θα αποδείξουµε δύο επιπλέον χρήσι- µες ταυτότητες εφω σφω= ΑΠΟ ΕΙΞΗ Είναι: ηµω συνω εφω και σφω συνω ηµω (εφόσον συνω 0 και ηµω 0) Εποµένως: ηµω συνω εφω σφω= = συνω ηµω 4 εφω συνω= και ηµω= + εφω + εφω ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) ιαιρούµε και τα δύο µέλη της ταυτότητας και έχουµε βρίσκουµε: ηµω συνω + = µε συνω 0 ηµ ω συνω εφω συνω + = + = = συνω ηµω συνω συνω + εφω Άρα συνω = + εφω ii) Αν στην ταυτότητα ηµω συνω + = θέσουµε συνω =, έχουµε: + εφω εφω + = = = ηµ ω ηµ ω ηµω + εφω + εφω + εφω Άρα ηµω εφω εφω = +

9 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η 5 Αν ηµω = και 90 < ω < 80, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθ- µοί της γωνίας ω ΛΥΣΗ Από την ταυτότητα ηµ ω συνω + = προκύπτει ότι συνω ηµ ω µε το ηµω µε 5 και έχουµε: 5 5 69 5 44 συνω= = = = 69 69 69 Επειδή 90 < ω< 80, είναι συνω< 0, οπότε έχουµε Από τις ταυτότητες τώρα 44 συνω= = 69 ηµω εφω= και συνω συνω σφω=, έχουµε: ηµω = Αντικαθιστού- 5 5 εφω= = και σφω= = 5 5 η Να αποδειχθεί ότι i) 4 4 ηµω + συν ω = ηµ ωσυν ω ii) = 4 4 ηµω συν ω ηµ ω ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) Έχουµε διαδοχικά: 4 4 ηµ ω+ συνω= ηµω + συνω = + ηµ ω συνω ηµ ω συν ω = + = ηµ ω συν ω, (επειδήηµω συν ω ) ii) Έχουµε διαδοχικά: ( ηµ ω συν ω)( ηµω συν ω) 4 4 ηµ ω συν ω= ηµω συν ω = + = ηµ ω συνω ηµ ω+ συν ω= ηµ ω ηµ ω ηµ ω = = (επειδή )

7 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ π Αν ηµx= και < x< π, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς 5 της γωνίας x rad π Αν συνx= και π< x<, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθ- µούς της γωνίας x rad Αν εφx= και π < x< π, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x rad 5 π 4 Αν σφx= και 0< x<, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθ- 5 µούς της γωνίας x rad 5 Αν σφx= και ηµxσυνx +συνx π < x< π, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 6 Να εξετάσετε, αν υπάρχουν τιµές του x για τις οποίες: i) Να ισχύει συγχρόνως ηµx= 0 και συνx= 0 ii) Να ισχύει συγχρόνως ηµx= και συνx= iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµx= και 5 7 Να αποδείξετε ότι, τα σηµεία (, ) y= ηµθ, είναι σηµεία κύκλου ( 0,0) 4 συνx= 5 M x y του επιπέδου µε x= συνθ και O κέντρου και ακτίνας ρ= 8 Αν ισχύει x= συνθ και y= ηµθ, να δείξετε ότι 9x 4y 6 + = 9 Αν είναι x= r ηµθσυνφ, y= rηµθηµφ και z= rσυνθ, να δείξετε ότι x + y + z = r 0 Να αποδείξετε ότι: ηµα συνα i) = + συνα ηµα ii) 4 4 συνα ηµ α συν α =

94 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να αποδείξετε ότι: ηµθ + συνθ i) + = + συνθ ηµθ ηµθ ii) συνx συνx + = ηµx + ηµx συνx Να αποδείξετε ότι: εφα+ σφβ εφα i) = εφβ+ σφα εφβ ii) εφα ηµ α= εφα ηµ α Να αποδείξετε ότι: συνx ηµx i) ηµx συνx εφx + σφx = + + = ηµx εφx συνx ii) ( συνx) iii) ηµx συνx εφx+ σφx = B ΟΜΑ ΑΣ iv) ηµx συνx = ηµx συνx ηµx συνx Αν ηµx+ συνx= α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: i) ηµx συνx ii) iii) εφx+ σφx iv) + ηµx συνx ηµ x+ συν x Να αποδείξετε ότι: 4 4 i) ηµ x+ συν x= ηµ x συν x ii) iii) Η παράσταση ( ηµ 6 x συν 6 x) ( ηµ 4 x συν 4 x) x, δηλαδή είναι σταθερή 6 6 ηµ x συν x ηµ x συν x + = + + έχει τιµή ανεξάρτητη του Αν π π < x<, να αποδείξετε ότι + ηµx ηµx = εφx ηµx + ηµx π 4 Αν 0 x<, να αποδείξετε ότι + συνx+ συνx + ηµx συνx = = + συνx συνx συνx ηµx

7 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο υπολογισµός των τριγωνοµετρικών αριθµών οποιασδήποτε γωνίας µπορεί να γίνει, όπως θα δούµε στη συνέχεια, µε τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς γωνιών από 0 ο µέχρι 90 ο Ας θεωρήσουµε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέµνουν τον τριγωνοµετρικό κύκλο στα σηµεία Μ και Μ' αντιστοίχως Γωνίες αντίθετες Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, δηλαδή αν ω = ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα ση- µεία Μ και Μ είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα x x Εποµένως τα σηµεία αυτά έχουν την ίδια τετµη- µένη και αντίθετες τεταγµένες Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή: συν ω = συνω ηµ ω = ηµω εφ ω = εφω σφ ω = σφω Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Για παράδειγµα: Έχουµε: ( 0 ) = ( 0 ) = ( 0 ) ( συν συν 0 ) ηµ ηµ εφ = = ( 0 ) = εφ( 0 ) = ( σφ ) σφ ( ) Επίσης, έχουµε: 0 = 0 = π π ηµ = ηµ = 4 4 π π συν = συν = 4 4

96 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π π εφ = εφ = 4 4 π π σφ = σφ = 4 4 Γωνίες µε άθροισµα 80 ο Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισµα 80, δηλαδή αν ω = 80 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα σηµεία Μ και Μ' είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y y Εποµένως τα σηµεία αυτά έχουν την ίδια τεταγµένη και αντίθετες τετµηµένες Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή, ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ηµ ω = ηµω συν ω = συνω εφ ω = εφω σφ ω = σφω Οι γωνίες µε άθροισµα 80 ο έχουν το ίδιο ηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Για παράδειγµα: Επειδή 50 = 80 0, έχουµε: ηµ 50 = ηµ ( 80 0 ) = ηµ 0 = συν50 = συν 80 0 = συν0 = εφ50 = εφ 80 0 = εφ0 = σφ50 = σφ 80 0 = σφ0 = Επειδή π π = π, έχουµε: π π π ηµ = ηµ π = ηµ =

7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 97 π π π συν = συν π = συν = π π π εφ = εφ π = εφ = π π π σφ = σφ π = σφ = Γωνίες που διαφέρουν κατά 80 ο Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 80 o, δηλαδή αν ω = 80 + ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα σηµεία Μ και Μ' είναι συµµετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Εποµένως τα σηµεία αυτά έχουν αντίθετες τετµηµένες και αντίθετες τεταγµένες Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή, ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ηµ + ω = ηµω συν + ω = συνω εφ + ω = εφω σφ + ω = σφω Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 ο έχουν αντίθετο ηµίτονο και συνηµίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτοµένη και συνεφαπτοµένη Για παράδειγµα: Επειδή 0 = 80 + 0, έχουµε: ηµ 0 = ηµ ( 80 + 0 ) = ηµ 0 = συν0 = συν 80 + 0 = συν0 = εφ0 = εφ 80 + 0 = εφ0 = σφ0 = σφ 80 + 0 = σφ0 =

98 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Επειδή 4 π π = π+, έχουµε: 4π π π ηµ = ηµ π+ = ηµ = 4π π π συν = συν π+ = συν = 4π π π εφ = εφ π+ = εφ = 4π π π σφ = σφ π+ = σφ = Γωνίες µε άθροισµα 90 ο Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισµα 90 ο, δηλαδή ω = 90 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα ση- µεία Μ και Μ' είναι συµµετρικά ως προς τη διχοτόµο της γωνίας x ˆΟ y Εποµένως η τετµηµένη του καθενός ισούται µε την τεταγµένη του άλλου Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή, ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) ηµ ω = συνω συν ω = ηµω εφ ω = σφω σφ ω = εφω Αν δύο γωνίες έχουν άθροισµα 90 ο, τότε το ηµίτονο της µιας ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης και η εφαπτοµένη της µιας ισούται µε τη συνεφαπτοµένη της άλλης Για παράδειγµα, επειδή 60 = 90 0, έχουµε: ηµ 60 = συν0 = εφ60 = σφ0 =, και συν60 = ηµ 0 =, σφ60 = εφ0 =

7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 99 ΣΧΟΛΙΟ Από τα προηγούµενα καταλαβαίνουµε ότι δεν χρειάζεται να έχουµε πίνακες τριγωνοµετρικών αριθµών όλων των γωνιών, αλλά µόνο των γωνιών από 0 ο µέχρι 90 ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η ίνεται ότι ΛΥΣΗ της γωνίας 54 συν6 Επειδή 54 = 90 6, έχουµε + 5 = Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί + 5 ηµ 54 = συν6 = 4 Σύµφωνα µε την ταυτότητα ηµ ω+ συνω= ισχύει ηµ 54 + συν 54 =, οπότε: οπότε Εποµένως είναι: + 5 6+ 5 0 5 συν 54 = ηµ 54 = = =, 6 6 συν54 = 0 5 4 εφ54 ηµ 54 + 5 = = και συν54 0 5 σφ54 συν54 0 5 = = ηµ 54 + 5 η Να υπολογιστεί µε τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών: α) 90 + ω, β) 70 ω και γ) 70 + ω ΛΥΣΗ i) Επειδή 90 + ω= 90 ( ω), έχουµε: ( 90 ) ( 90 ) ηµ + ω = ηµ ω = συν ω = συνω Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 90 + ω

00 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Επειδή 70 ω= 80 + ( 90 ω),έχουµε: ( ) ηµ 70 ω = ηµ 80 + 90 ω = ηµ 90 ω = συνω Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 70 iii) Επειδή 70 + ω= 60 90 + ω= 60 + ( ω 90 ) ( 70 ) ( 90 ) ( 90 ),έχουµε: εφ + ω = εφ ω = εφ ω = σφω Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 70 ω + ω ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας: i) 00 ii) 850 Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 87π π i) rad ii) rad 6 4 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: ηµ Α ηµ Β Γ i) = ( + ) ii) συν συν iii) Α Β+ Γ ηµ = συν iv) Α+ Β+ Γ = 0 Α Β+ Γ συν = ηµ 4 Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( 80 + α) ( ) ( 90 + ) συν α συν ηµ α ηµ α 5 Να αποδείξετε ότι: 9π εφ( π x) συν( π+ x) συν + x = π ηµ ( π+ x) συν( x) σφ x 6 Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιµή η παράσταση: π ηµ π x + συν π x συν π x + ηµ x

7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 0 Β ΟΜΑ ΑΣ Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ηµ 495 συν0 + συν495 συν 0 εφ 0 + εφ495 Να αποδείξετε ότι: 5π 7π ηµ ( 5π+ ω) συν( 7π ω) ηµ ω συν + ω 5π 7π σφ( 5π+ ω) ηµ ( 7π ω) συν ω σφ + ω = ηµω π π Αν εφ x + εφ + x = 5, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 6 π π 6 εφ x + εφ + x 4 Να αποδείξετε ότι: εφπ ( + x) 0< < εφx+ σφπ ( + x) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ 7 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράµµα Α, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής και το γράµµα Ψ, αν ο ισχυρισµός είναι ψευδής Αν ηµω=, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω= 0 Αν συνω= 0, τότε υποχρεωτικά θα είναι ηµω= Α Ψ Α Ψ Υπάρχει γωνία ω µε ηµω+ συνω= Α Ψ 4 Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω = συν ω Α Ψ 5 ηµ 0 + ηµ 70 = Α Ψ 6 Για κάθε x R ισχύει ηµ ( x π) = ηµx Α Ψ 7 Για κάθε x R ισχύει ηµ x= ηµx Α Ψ

0 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π 8 Αν συν( x ) + ηµx= 0, τότε ηµx= 0 Α Ψ π π 9 Για κάθε x R ισχύει συν( x ) ηµ ( + x) = 0 Α Ψ 6 II Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της Α οµάδας µε τον ίσο του από τη Β οµάδα Α ΟΜΑ Α ηµ 0 συν50 ηµ 0 4 συν00 5 εφ0 6 σφ00 7 εφ00 8 σφ0 Β ΟΜΑ Α Α Β Γ Ε Ζ Η Θ III Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α= 90 ) και µη ισοσκελές, τότε: Α) + =, Β) ηµ Β ηµ Γ + =, Γ) εφβ= ηµ Β συν Γ Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν( Β+ Γ) = συνα, Β) ηµ ( Β+ Γ) = ηµα, Γ) εφβ ( + Γ) = εφα Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Β+ Γ Α Β+ Γ Α Β+ Γ Α Α) συν = ηµ, Β), συν = συν Γ) εφ = εφ

7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 0 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ενώ είναι κοινώς παραδεκτό ότι η γεωµετρία είναι δηµιούργηµα της κλασικής περιόδου της αρχαίας Ελλάδας, εντούτοις δεν είναι εξίσου γνωστό ότι η τριγωνοµετρία είναι δηµιούργηµα της ελληνιστικής περιόδου µε πρωταγωνιστές τον 'Ιππαρχο, τον Μενέλαο και τον Πτολεµαίο Η τριγωνοµετρία ξεπήδησε στην προσπάθεια να θεµελιωθεί µια ποσοτική αστρονοµία η οποία θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για να προβλεφθούν οι θέσεις των ουρανίων σωµάτων, ο υπολογισµός του ηµερολογίου και να ε- φαρµοσθεί στη ναυσιπλοΐα και στη γεωγραφία Θεµελιωτής της αστρονοµίας υπήρξε ο Ίππαρχος που έζησε στη Ρόδο και στην Αλεξάνδρεια και πέθανε γύρω στο 5 πχ Για την προσωπική του ζωή ξέρουµε πολύ λίγα και τα περισσότερα που ξέρουµε γι' αυτόν προέρχονται από τα βιβλία του Πτολε- µαίου Ο Ίππαρχος συνέβαλε αποφασιστικά στη διαµόρφωση της θεωρίας των επικύκλων, και ήταν σε θέση να υπολογίσει εκλείψεις της σελήνης µε ακρίβεια µιας έως δύο ωρών ιέθετε επίσης και µια θεωρία για µια ικανοποιητική εξήγηση του φαινοµένου των εποχών Η σηµαντικότερη ανακάλυψη του ήταν ότι τα σηµεία που ο άξονας περιστροφής της γης τέµνει την ουράνια σφαίρα µετακινούνται και διαγράφουν κύκλο µε περίοδο 600 χρόνια Το µεγαλύτερο µέρος της τριγωνοµετρίας του Ιππάρχου αναφέρεται σε αυτό που σήµερα ονοµάζουµε σφαιρική τριγωνοµετρία Και αυτό είναι µοιραίο, αφού τον ενδιέφεραν κυρίως τρίγωνα που σχη- µατίζονται πάνω στον ουράνιο θόλο Όµως ανέπτυξε και βασικά σηµεία της επιπέδου τριγωνοµετρίας Το έργο του Ίππαρχου συνέχισε ο Μενέλαος που έζησε γύρω στο 98 µχ και του οποίου το βασικό έργο είναι τα «σφαιρικά» Η ανάπτυξη της ελληνικής τριγωνοµετρίας και των εφαρµογών της στην α- στρονοµία ολοκληρώνεται µε το έργο του Πτολεµαίου που έζησε στην Αλεξάνδρεια γύρω στο 68 µχ και του οποίου το κύριο σύγγραµµα είναι η Αλ- µαγέστη (αραβική παραφθορά της λέξης «Μεγίστη») Το βιβλίο Α της Αλµαγέστης περιέχει όλα τα αναγκαία θεωρήµατα για την κατασκευή ενός πίνακα ηµιτόνων και συνηµιτόνων Το Βασικό θεώρηµα για την κατασκευή αυτού του πίνακα είναι το εξής: «Έστω ΑΒΓ είναι κυρτό τετράπλευρο εγγεγραµµένο σε κύκλο Τότε ισχύει: ΑΒ Γ +Α ΒΓ=ΑΓ Β»

04 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Στο θεώρηµα αυτό στηρίχτηκε και ο Πτολεµαίος για να βρει διάφορους τριγωνοµετρικούς τύπους µεταξύ των οποίων και αυτού που σήµερα εκφράζου- µε ως ηµ(α -β ) = ηµα συνβ συνα ηµβ Η Αλµαγέστη έκανε για την τριγωνοµετρία ότι έκαναν τα «Στοιχεία του Ευκλείδη» για τη Γεωµετρία: Την διετύπωσαν στη µορφή που παρέµεινε για τα επόµενα 000 χρόνια Μετά το 00 µχ µε την τριγωνοµετρία ασχολήθηκαν και οι Ινδοί µε κίνητρο επίσης την αντιµετώπιση αστρονοµικών προβληµάτων εν είχαν σηµαντική συνεισφορά και αξίζει να σηµειωθεί ότι για διάφορους τριγωνοµετρικούς και αστρονοµικούς όρους όπως κέντρο, λεπτό κτλ, χρησιµοποιούσαν τις ελληνικές λέξεις Κατά τα χρόνια του Μεσαίωνα µε την τριγωνοµετρία ασχολούνται και οι Άραβες, χωρίς να συνεισφέρουν σε αυτήν κάτι σηµαντικό δικό τους Συνέβαλαν όµως στο να µεταδώσουν την Ελληνική τριγωνοµετρία στην Ευρώπη