Ασκήσεις Εξετάσεων Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Διοίκηση των Επιχειρήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 1: Έλεγχος για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Η αντικαπνιστική νομοθεσία υποχρεώνει τους καπνιστές που εργάζονται σε χώρους γραφείων να κάνουν διαλείμματα και να πηγαίνουν σε περιορισμένους χώρους όπου επιτρέπεται το κάπνισμα, για να ικανοποιήσουν αυτή την ανάγκη τους. Από παλαιότερες μελέτες, γνωρίζουμε ότι οι καπνιστές χάνουν κατά μέσο όρο 32 λεπτά την ημέρα για τέτοια διαλείμματα. Για να μειωθεί αυτός ο χρόνος πολλά κτίρια γραφείων δημιούργησαν χώρους καπνιστών με ισχυρούς εξαερισμούς. Σε ένα τέτοιο κτίριο επιλέχθηκε ένα τυχαίο δείγμα 110 καπνιστών και καταγράφηκε ο χρόνος που βρέθηκαν μακριά από τη θέση τους στη διάρκεια μιας ημέρας. Να ελέγξετε αν υπήρξε μείωση του μέσου χρόνου που χάνεται λόγω καπνίσματος. One-Sample Statistics N Std. Deviation Std. Error Minutes 110 29,92 5,709,544 One-Sample Test Test Value = 32 95% Confidence Interval t df Sig. (2-tailed) Difference Lower Upper Minutes -3,825 109,000-2,082 28,84 31 n 110 30, μεγάλο δείγμα και δεν απαιτείται έλεγχος κανονικότητας. Από τον πίνακα των στατιστικών παρατηρούμε ότι, μετά τη δημιουργία των χώρων με ισχυρούς εξαερισμούς, ο μέσος χρόνος που χάνουν οι καπνιστές εκτιμάται σε 29,92 min, και επομένως φαίνεται να έχει μειωθεί. 0 1 : 32 : 32. Sig. 2-tailed 0 000 Sig. 1-tailed 0. 000 0. 05 2 2 και η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Για επίπεδο σημαντικότητας 0,05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος που χάνουν τώρα οι καπνιστές, στατιστικά, είναι σημαντικά μικρότερος από 32 min. Επομένως, η δημιουργία χώρων καπνιστών με ισχυρούς εξαερισμούς συνέβαλλε στη μείωση του μέσου χρόνου που χάνεται λόγω καπνίσματος. ΕΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΜΙΚΡΟ ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΗΓΕΙΤΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ 2
ΑΣΚΗΣΗ 2 : Σύγκριση Πληθυσμών Δείγματα Ανεξάρτητα Τί συμβαίνει σε μία οικογενειακή επιχείρηση όταν ο ιδρυτής αποσυρθεί και αναλάβει κάποιος άλλος; Είναι καλύτερα αν ο νέος διευθυντής είναι κάποιο από τα παιδιά του αρχικού, ή αν αναλάβει κάποιος ξένος; Μια έρευνα επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 140 οικογενειακών επιχειρήσεων, στις οποίες αποσύρθηκε ο αρχικός διευθυντής και κατέγραψε την ποσοστιαία μεταβολή του συνολικού ενεργητικού ένα χρόνο μετά την αλλαγή διευθυντή, σε σύγκριση με ένα χρόνο πριν. Παρακάτω βλέπετε τα αποτελέσματα του ελέγχου. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η πορεία της επιχείρησης είναι διαφορετική για τα δύο είδη διευθυντών; Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. ΠΑΙΔΙ,076 42,200 *,980 42,648 ΞΕΝΟΣ,080 98,200 *,985 98,852 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. Group Statistics Διευθυντής N Std. Deviation Std. Error Μεταβολή Ενεργητικού ΠΑΙΔΙ 42 -,1000 1,94614,30030 ΞΕΝΟΣ 98 1,2359 2,83457,28633 Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of s Μεταβολή Ενεργητικού Equal variances assumed Equal variances not assumed F Sig. t df Sig. (2-tailed) 6,871,010-2,783 138,006-3,220 110,749,002 3
Επειδή οι διασπορές των πληθυσμών είναι άγνωστες, πρέπει απαιτείται έλεγχος για την κανονικότητα των πληθυσμών. 0 1 : Τα δεδομένα προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό : Τα δεδομένα ΔΕΝ προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό Για την περίπτωση που ο νέος διευθυντής είναι κάποιο από τα παιδιά του αρχικού, έχουμε n 42 50 και επομένως χρησιμοποιούμε τον έλεγχο Shapiro Wilk. Sig. 0.648 0.05 και συνεπώς η μηδενική υπόθεση δεν απορρίπτεται, και δεχόμαστε την Κανονικότητα του πληθυσμού. Για την περίπτωση που ο νέος διευθυντής είναι κάποιος ξένος, έχουμε n 98 50 και επομένως χρησιμοποιούμε τον έλεγχο Kolmogorov Smirnov. Sig. 0.200 0.05 και συνεπώς η μηδενική υπόθεση δεν απορρίπτεται, και δεχόμαστε την Κανονικότητα του πληθυσμού. Καθώς και οι δύο πληθυσμοί είναι Κανονικοί, μπορούμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του ελέγχου. Στον πίνακα των στατιστικών, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που ο νέος διευθυντής είναι ένα από τα παιδιά του αρχικού, η μέση ποσοστιαία μεταβολή του ενεργητικού είναι αρνητική (-0,1 %) ενώ στην περίπτωση που ο νέος διευθυντής είναι ξένος έχουμε θετική μεταβολή (1,23%) Έλεγχος για την ισότητα των διασπορών 0 1 : Διασπορές ίσες : Διασπορές άνισες Sig. 0.01 0.05 και η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Επομένως θεωρούμε ότι οι διασπορές στους δύο πληθυσμούς είναι άνισες. Έλεγχος για τη διαφορά των μέσων τιμών : 0 1 2 : 1 1 2 Sig.(2 tailed) 0.002 0.05, και η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι η μέση μεταβολή του ενεργητικού, στατιστικά, είναι σημαντικά διαφορετική στις δύο περιπτώσεις. Επομένως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η πορεία της επιχείρησης είναι διαφορετική για τα δύο είδη των διευθυντών. 4
ΑΣΚΗΣΗ 3 : Σύγκριση Πληθυσμών Ζευγαρωτές Παρατηρήσεις Μια έρευνα σχετικά με το φύλο και τις επαγγελματικές προσφορές που δέχονται οι απόφοιτοι MBA επέλεξε 25 ζεύγη αποφοίτων. Σε κάθε ζεύγος υπήρχε ένας άνδρας και μία γυναίκα, που δεν διέφεραν ως προς την ηλικία, τη μέση βαθμολογία, το αντικείμενο σπουδών και την προηγούμενη εργασιακή εμπειρία, και καταγράφηκε η υψηλότερη προσφορά (σε χιλιάδες δολάρια) που δέχτηκε ο καθένας. Με την προϋπόθεση ότι οι πληθυσμοί ακολουθούν την Κανονική κατανομή, να ελέγξετε εάν το φύλο επηρεάζει το ύψος των προσφορών. Paired Samples Statistics N Std. Deviation Std. Error Pair 1 Γυναίκες 55,68 25 10,278 2,056 Άνδρες 56,40 25 10,805 2,161 Paired Samples Correlations N Correlation Sig. Pair 1 Γυναίκες & Άνδρες 25,955,000 Paired Samples Test Paired Differences Std. Deviation Std. Error 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper t df Sig. (2-tailed) Pair 1 Γυναίκες - Άνδρες -,720 3,195 0,639-2,039 6,822-1,127 24,271 Από τον πίνακα των στατιστικών, παρατηρούμε ότι το μέσο ύψος των προσφορών για τις γυναίκες είναι χαμηλότερο από το αντίστοιχο των ανδρών. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι 0,995 0, 4, επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στον έλεγχο για τη σύγκριση των μέσων τιμών. : 0 1 2 : 1 1 2 Sig.(2 tailed) 0.271 0.05, και η μηδενική υπόθεση δεν απορρίπτεται. Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι το μέσο ύψος προσφορών, στατιστικά, δεν είναι σημαντικά διαφορετικό ανάμεσα στους άνδρες και τις γυναίκες. Επομένως, το φύλο δεν φαίνεται να επηρεάζει το ύψος των προσφορών. 5
ΑΣΚΗΣΗ 4 : ANOVA Μία έρευνα του Πανεπιστημίου Columbia κατέγραψε πόσες φορές στη διάρκεια μια διάλεξης» οι καθηγητές τριών τμημάτων έλεγαν «ααα..» ή «εεε» για να καλύψουν κενά στο λόγο τους (πηγή: περιοδικό Report no Business, Αύγουστος 1991). Τα δεδομένα καταγράφηκαν από 100 διαλέξεις κάθε τμήματος. Με την προϋπόθεση της Κανονικότητας των πληθυσμών, αν δεχτούμε ότι όσο περισσότερα κενά κάνει ο ομιλητής τόσο ποιο βαρετή είναι μια διάλεξη, μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε ότι οι καθηγητές κάποιου από τα τρία τμήματα είναι ποιο βαρετοί από τους άλλους; Descriptives AaaEee N Std. Deviation Std. Error 95% Confidence Interval for Minimum Maximum Lower Bound Upper Bound English 100 5,81 2,493,249 5,32 6,30 0 11 Mathematics 100 5,30 2,013,201 4,90 5,70 0 9 Political Sciense 100 5,33 1,975,197 4,94 5,72 0 9 Total 300 5,48 2,178,126 5,23 5,73 0 11 Test of Homogeneity of Variances AaaEee Levene Statistic df1 df2 Sig. 2,952 2 297,061 ANOVA AaaEee Sum of Squares df Square F Sig. Between Groups 16,380 2 8,190 3,734,048 Within Groups 1402,500 297 4,722 Total 1418,880 299 6
Multiple Comparisons AaaEee Bonferroni (I) ΜΑΘΗΜΑ (J) ΜΑΘΗΜΑ Difference (I-J) Std. Error Sig. 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound English - 1 Mathematics - 2 Political Sciense - 3 Mathematics,510,307,0358 -,23 1,25 Political Sciense,480,307,0433 -,26 1,22 English -,510,307,0358-1,25,23 Political Sciense -,030,307 1,000 -,77,71 Mathematics -,480,307 1,000-1,22,26 English,030,307,0433 -,71,77 7
Στον πίνακα των στατιστικών παρατηρούμε ότι, κατά μέσο όρο, τα περισσότερα «ααα..» ή «εεε.» λένε οι καθηγητές των Αγγλικών, και ακολουθούν οι καθηγητές των Πολιτικών Επιστημών και τέλος οι καθηγητές των Μαθηματικών. Έλεγχος για την ισότητα των διασπορών 0 1 : Διασπορές ίσες : Διασπορές άνισες p value Sig. 0.061 0.05 και η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. Επομένως, θεωρούμε ότι οι διασπορές στους πληθυσμούς είναι ίσες και μπορούμε να προχωρήσουμε στον έλεγχο για την ισότητα των μέσων τιμών των πληθυσμών. Έλεγχος για την ισότητα των μέσων τιμών 0 : 1 2 3 1 : Δεν είναι όλα τα j ίσα μεταξύ τους, j 1, 2, 3 Ισχύει ότι p value Sig. 0.048 0.05, και η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Συμπέρασμα Για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, συμπεραίνουμε ότι για, τουλάχιστον, καθηγητές ο μέσος αριθμός των «ααα.» ή «εεε» που έλεγαν κατά τη διάρκεια των διαλέξεων είναι διαφορετικός. Εκ των υστέρων έλεγχοι Οι έλεγχοι που διεξάγουμε είναι οι εξής: 0 1 : i : i j j Στατιστικά σημαντική διαφορά εμφανίζουν: Οι καθηγητές των Αγγλικών με τους καθηγητές των Μαθηματικών (Sig. = 0.0358 < 0.05) Οι καθηγητές των Αγγλικών με τους καθηγητές των Πολιτικών Επιστημών (Sig. = 0.0433 < 0.05) Το γράφημα παρατηρούμε το μεγαλύτερο μέσο αριθμό «ααα» «εεε» για τους καθηγητές των Αγγλικών. Για τις άλλες δύο ειδικότητες, η διαφορά τόσο ανάμεσα στο μέσο πλήθος αλλά και στο εύρος των διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι αμελητέα. 8
ΑΣΚΗΣΗ 5 : ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ Χ 2 Ένα τουριστικό γραφείο ενδιαφέρεται να δει αν υπάρχει σχέση μεταξύ του φύλου και της προτίμησης για το είδος των διακοπών. Για ένα τυχαίο δείγμα 100 τυχαία επιλεγμένων ατόμων διεξήγαγε έλεγχο Χ 2 και πήρε τα παρακάτω αποτελέσματα. Οι μεταβλητές μας είναι: ΦΥΛΟ, για το φύλο και ΠΡΟΤΙΜΗΣΗ, για το είδος των διακοπών που προτιμούν ΦΥΛΟ * ΠΡΟΤΙΜΗΣΗ Crosstabulation Resort ΠΡΟΤΙΜΗΣΗ Ταξίδι Total Count 6 42 48 Άνδρας Expected Count 19,2 28,8 48,0 ΦΥΛΟ % within ΦΥΛΟ 12,5% 87,5% 100,0% Count 34 18 52 Γυναίκα Expected Count 20,8 31,2 52,0 % within ΦΥΛΟ 65,4% 34,6% 100,0% Count 40 60 100 Total Expected Count 40,0 60,0 100,0 % within ΦΥΛΟ 40,0% 60,0% 100,0% Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Pearson Chi-Square 29,087 a 1,000 Likelihood Ratio 31,349 1,000 Fisher's Exact Test N of Valid Cases 100 a. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 19,20. Να διατυπωθούν οι υποθέσεις και τα συμπεράσματα του ελέγχου. 9
Στον πίνακα Crosstabulation παρατηρούμε ότι μόνον το 12.5% των ανδρών προτιμούν ως προορισμό των διακοπών τους κάποιο Resort ενώ το 87.5% προτιμούν το ταξίδι. Αντίθετα, η πλειοψηφία των γυναικών, 65.4%,προτιμά ως προορισμό των διακοπών το Resort και σε πολύ μικρότερο ποσοστό 36.4% προτιμούν το ταξίδι. 0 1 : Η "προτίμηση για το είδος των διακοπών" είναι ανεξάρτητη από το "Φύλο" : Η "προτίμηση για το είδος των διακοπών" είναι ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ανεξάρτητη από το "Φύλο" Το ποσοστό των κελιών με συχνότητα μικρότερη του 5 είναι 0% < 20% και επομένως τα αποτελέσματα της δοκιμασίας είναι έγκυρα. Η τιμή του στατιστικού Pearson Chi-Square είναι 29.087, ενώ για το επίπεδο σημαντικότητας έχουμε Asymp. Sig. (2-sided) = 0,000 < 0,05 και η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Επομένως, υπάρχουν σημαντικές στατιστικές ενδείξεις ότι οι μεταβλητές «Φύλο» και «Προτίμηση» δεν είναι ανεξάρτητες και, συνεπώς, ο παράγοντας φύλο φαίνεται να επηρεάζει την προτίμηση για το είδος των διακοπών. Παρατηρούμε επιπλέον την πολύ ισχυρή απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης. 10