Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι - Κ Ε Φ Λ Ι Ο 2 Τριγωνομετρία ΛΟΟΣ ΕΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ α α β α β α β 1. ν 2, να υπολογίσετε τους λόγους :,, β β β α β 2. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 6 cm και ύψος, να υπολογίσετε τους λόγους : AB,,, 3. Σε ισοσκελές τρίγωνο με = = 10 cm και ύψος Η = 6 cm, να υπολογίσετε τους λόγους : AB B Η,,, A AΗ Η Η 4. Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με περίμετρο 36 μέτρα και εμβαδό 80 τετραγωνικά μέτρα, να υπολογίσετε το λόγο του μήκους, προς το πλάτος. 5. Να βρεθούν οι πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου, αν γνωρίζετε ότι ο λόγος δύο πλευρών του είναι 2 και η περίμετρός του ειναι 60 cm.
ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΡΙΘΜΩΝ 6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών γωνιών, στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα : 40 cm 16 m 9 mm 41 cm 300 dm 56 mm 10,6 cm 7. Στα παρακάτω τρίγωνα να εφαρμόσετε τους ορισμούς, για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που σας ζητούνται: Κ Λ Π Ρ ημ = ; ημμ = ; συνπ = ; εφσ = ; Μ συνλ = ; Σ Φ ημζ = ; εφη = ; Ζ Ξ εφξ = ; Ο Χ εφχ = ; Τ Ψ Η Ε Θ ημ = ; εφτ = ; Ω συντ =
8. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών γωνιών, στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα : α. β. 24 8 10 7 9. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθετες πλευρές και τέτοιες, ώστε = 2. Να βρείτε τις εφαπτομένες των γωνιών και 10. Να κατασκευάσετε γωνία ω τέτοια, ώστε: 4 4 α. εφω = β. εφω = 1,5 γ. ημω = 5 5 ΕΥΡΕΣΗ ΩΝΙΩΝ & ΠΛΕΥΡΩΝ 11. Η κλίση ενός ανηφορικού δρόμου, προς την κορυφή ενός λόφου, είναι 20%. ν το ύψος του λόφου είναι 800 m, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος του δρόμου. Υποθέτουμε ότι ο δρόμος δεν έχει στροφές, άσε που μπορεί και να ζαλιστούμε. 12. Σε ένα τόπο οι ακτίνες του ήλιου, κάποια στιγμή, έχουν κλίση 90%. ν τη στιγμή αυτή η σκιά ενός δέντρου είναι 5 m να βρείτε το ύψος του δέντρου.
13. Να υπολογίσετε όλες τις πλευρές, στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα: α. β. 24 30 10 15 14. Στο παρακάτω σχήμα, να υπολογίσετε τις πλευρές και. 42 20 20 15. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) είναι = 11 cm και Bˆ = 40. Να υπολογίσετε τις πλευρές και. 16. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) είναι = 8 cm και Bˆ = 55. Να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές του. 17. Οι κάθετες πλευρές και ορθογωνίου τριγώνου είναι 7 cm και 10 cm αντίστοιχα, να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του.
18. ίνεται τρίγωνο με = 10 cm και Â = 80. ν το ύψος του είναι 5 cm, να υπολογίσετε τις γωνίες του Bˆ, ˆ και τις πλευρές του και. 19. Η γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με 72. ν το ύψος, που φέρνουμε από την κορυφή προς την υποτείνουσα είναι 2 cm, να βρεθεί η υποτείνουσα. 20. Σε ένα τρίγωνο είναι Â = 30, ˆ = 45. Φέρνουμε το ύψος του τριγώνου. Να βρείτε τις πλευρές και, αν γνωρίζετε ότι = 10 cm. 21. ίνεται τρίγωνο με Â = 55 και Bˆ = 70. ν = 600 cm, να υπολογίσετε το ύψος του τριγώνου. 22. ίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο (Bˆ > 90 ) με = 24 cm και φέρνουμε το ύψος του τριγώνου. ν ισχύει ότι = 12 cm κι η είναι διχοτόμος της ˆ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. 23. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ), Bˆ = 20. Φέρνουμε τη = 5 cm ( επί της ) έτσι ώστε ˆ = 14. Να υπολογίσετε την πλευρά του τριγώνου. 24. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) με = 17 cm και Bˆ = 55. ν από το φέρουμε την, που τέμνει την στο, έτσι ώστε A Bˆ = 48, να βρεθεί το μήκος του τμήματος. 25. Στο διπλανό σχήμα δίνονται = 8, Ε = 6, Ε = 7 και = 4. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ω και φ είναι ίσες. ω Ε φ
26. Στο παρακάτω σχήμα, να υπολογιστεί η πλευρά x : φ φ x 4 3 ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ & ΕΜ 7 27. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) είναι συν = και = 14 m. Να 5 υπολογίσετε: α. το ημίτονο της γωνίας β. το εμβαδόν του τριγώνου 28. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) είναι ημ = 0,8 και = 20 m. Να υπολογίσετε: α. το συνημίτονο της γωνίας β. το εμβαδόν του τριγώνου 29. Σε τρίγωνο με Â = 90 είναι εφ = 4 3 και α = 15. Να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές και το εμβαδό του τριγώνου. 30. Σε παραλληλόγραμμο είναι Â = 150, = 10 και = 20. Να βρείτε το ύψος Ε και το εμβαδόν του.
31. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει = = 15 cm και Â = 120. Να υπολογίσετε την περίμετρό του. 32. Ένα τρίγωνο έχει Bˆ = 30, ˆ = 45 και ύψος = 10 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. 33. Ένα τρίγωνο έχει = 10, = 15 και ˆ = 30. Να βρείτε : α. την πλευρά β. το ύψος γ. το εμβαδόν του 34. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) έχει = 15 cm και = 9 cm. Να βρείτε : α. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών και β. το εμβαδό του τριγώνου γ. την περίμετρο του τριγώνου 35. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) έχει = 10 cm και Bˆ = 30. Να βρείτε : α. τη γωνία β. το μήκος των πλευρών και γ. το εμβαδό και την περίμετρο του τριγώνου 36. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) έχει = 12 cm και ˆ = 40. Να βρείτε : α. τη γωνία β. το μήκος των πλευρών και γ. το εμβαδό και την περίμετρο του τριγώνου 37. ια ένα τρίγωνο με ύψος, γνωρίζουμε ότι = 5 cm, = 3 cm και ˆ = 30. Να βρείτε : α. τις πλευρές του και β. το εμβαδό του τριγώνου
γ. η περίμετρος του τριγώνου 38. Στα παρακάτω σχήματα, να υπολογίσετε το εμβαδό και την περίμετρου του τετράπλευρου. 20 30 60 10 cm 3 cm 2 cm 39. Ένα τρίγωνο έχει = 5, = 9 και Â = 60. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. 40. Ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει = 20, = 6 και Â = Bˆ = 45. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. 41. Σε τρίγωνο είναι Â = 43, Bˆ = 62 και = 12. Να βρεθούν οι πλευρέ, και το εμβαδόν του. 42. Σε παράλληλόγραμμο είναι Â = 150, = 10 και = 20. Να υπολογίσετε το ύψος Ε και το εμβαδό του παραλληλόγραμμου. 43. ίνεται παραλληλόγραμμο με = = 8 cm, ˆ = 60 κι εμβαδόν 48 3 cm 2. Να υπολογίσετε την πλευρά και τα ύψη του παραλληλογράμμου.
44. Το ύψος ενός τραπεζίου είναι 18 cm, η μικρή βάση του 70 cm και οι μη παράλληλες πλευρές 40 cm και 85 cm. Να υπολογισθούν οι γωνίες και το εμβαδόν του τραπεζίου. 45. Οι διαγώνιοι και ενός τετραπλεύρου τέμνται κάθετα, ενώ η διχοτομεί τη. ν είναι Â = 60, Bˆ = 120 και = 8 cm, να υπολογιστεί το εμβαδόν και η περίμετρος του. 46. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) με = 30 και ημ = 0,309. Να βρεθεί το εμβαδόν του. 47. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με Bˆ = 70 και = 10 cm. Να βρεθούν τα άλλα ύψη του τριγώνου και το εμβαδόν του. 48. Στο διπλανό σχήμα, το είναι τετράγωνο με = 15 cm. ν εφ( A Ê ) = 1,6 και εφ( Ζ Ê ) = 1,5 να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΖΕ. Ε ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΡΙΘΜΩΝ 49. Να αποδείξετε ότι σ' ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) ισχύει ότι : εφ ημ συν = 2 1+ εφ 50. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) ισχύει η σχέση : ημ συν = εφ συν ημ
51. Σ' ένα ορθογώνιο τρίγωνο (Â = 90 ) είναι = 8 και = 10. Να υπολογίσετε: α. την β. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας γ. την τιμή της παράστασης: = ημ 2συν εφ 52. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90 ) με β < γ < α, να αποδείξετε ότι : 0 < 2 εφ < 1 2 1 εφ 53. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, με τη γωνία οξεία, και να φέρετε το ύψος του Ε. Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι: α. Ε = ημ β. Ε = ½ ημ 54. ν Ε είναι το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου (Â = 90 ) και α το μήκος της υποτείνουσάς του, να αποδείξετε ότι: εφ συν ημ 2 α 2Ε ΙάΦΟΡΕΣ/ ΣΥΝΥΣΤΙΚέΣ 55. Ένας κύκλος κέντρου Ο έχει διάμετρο 32 cm. Να βρεθεί το μήκος τη χορδής του κύκλου, αν η γωνία A ÔB ισούται με 80.
56. Σε έναν κύκλο (Κ, 12 cm), γράφουμε μια χορδή = 16 cm. Να υπολογίσετε τη γωνία Κ. 57. ίνεται κύκλος (Ο, 2 cm) και διάμετρος αυτού. Θεωρούμε σημείο του κύκλου, τέτοιο ώστε A Bˆ = 25. α. Να αποδείξετε ότι A Ô = 50. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου.