ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Παπαδόπουλος Ιωάννης 1. και Ελευθεριάδης 2 Ιωάννης Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Α. Π. Θ. 1 ypapadop@eled.auth.gr 2 ioannice@eled.auth.gr Στην εργασία αυτή μαθητές της Στ Δημοτικού υπολογίζουν αριθμητικές παραστάσεις που εμπλέκουν τη χρήση παρενθέσεων και εξετάζονται οι αντιλήψεις τους για το ρόλο και τη χρήση τους. Τα ευρήματα αναδεικνύουν τον ισχυρό ρόλο που φαίνεται να διαδραματίζει το πλαίσιο με το οποίο σχετίζεται η παράσταση καθώς επιβάλλει τον τρόπο ανάλυσης των παραστάσεων ακόμη και όταν δεν είναι μαθηματικά ορθή μια τέτοια προσέγγιση. Επίσης, αποτυπώνονται μια σειρά από άλλες προσεγγίσεις που ακολουθούν οι μαθητές στον υπολογισμό των αριθμητικών παραστάσεων με το ενδιαφέρον να εστιάζεται σε αυτήν που βασίζεται στη δυαδική φύση των πράξεων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Στα Μαθηματικά η χρήση των παρενθέσεων παρουσιάζει τόσο μια εννοιολογική όσο και μια διαδικαστική-αλγοριθμική πτυχή. Η πρώτη σχετίζεται με τη λειτουργία της παρένθεσης ως βασικού δομικού στοιχείου μιας παράστασης μέσω της οποίας διαμορφώνονται οι σχέσεις μεταξύ των μερών της δομής αφού χωρίς την παρουσία των παρενθέσεων ο υπολογισμός θα κατέληγε σε άλλο αποτέλεσμα ενώ η δεύτερη σχετίζεται με τους κανόνες για την προτεραιότητα των πράξεων (Gunnarsson et al., 2015). Φαίνεται όμως οι μαθητές να μην έρχονται σε επαφή με αυτήν τη διπλή πτυχή της παρένθεσης στα πλαίσια της εκπαίδευσής τους στα Μαθηματικά όπου κυρίαρχη είναι η συσχέτισή της με τους κανόνες για την προτεραιότητα των πράξεων. Επομένως, παρουσιάζει ενδιαφέρον το πώς αντιλαμβάνονται οι μαθητές το ρόλολειτουργία της παρένθεσης αλλά και πως τη χρησιμοποιούν σε διαδικασίες υπολογισμού αριθμητικών παραστάσεων. Για το λόγο αυτό στην παρούσα εργασία εξετάζονται οι απαντήσεις μαθητών της Στ Δημοτικού -αφού έχουν ήδη διδαχθεί την προτεραιότητα των πράξεωνπροκειμένου να δοθούν απαντήσεις στα εξής ερευνητικά ερωτήματα: Πότε οι μαθητές ανακαλούν τη γνώση τους σχετικά με τη χρήση των παρενθέσεων; 214
Ποιους τύπους προσέγγισης ακολουθούν στην αξιολόγηση (υπολογισμό) αριθμητικών παραστάσεων που εμπλέκουν χρήση παρενθέσεων; ΤΙ ΛΕΕΙ Η ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Η έρευνα έχει μελετήσει τη συμβολή της παρένθεσης σε θέματα ανάπτυξης της αίσθησης της δομής (Hoch & Dreyfus, 2010) και επιτυχούς επίλυσης αριθμητικών εξισώσεων (Marchini & Papadopoulos, 2011). O Radford (2000) τις αποκαλεί προσθήκες του νου προκειμένου να διεκπεραιωθούν από το λύτη ενέργειες που απαιτούνται από το περιβάλλον των δραστηριοτήτων. Σε αυτό το πνεύμα, οι λύτες, μέσα από μια κατάλληλη αντικατάσταση, θεωρούν έναν πολύπλοκο όρο ως μια ενιαία οντότητα, με αποτέλεσμα να αναγνωρίζουν μια οικεία δομή [πχ, 5x] σε μια πιο σύνθετη μορφή [πχ, 5(2+3)], κάτι που θεωρείται απαραίτητο για την ανάπτυξη της αίσθησης της δομής (Hoch & Dreyfus, 2010). Ανάλογη λειτουργία των παρενθέσεων, ως μιας επιλογής που βοηθά τους μαθητές να εστιάσουν στο περιεχόμενό τους ως ένα ενιαίο όλον αναφέρουν και οι Marchini και Papadopoulos (2011) σε έρευνά τους με μαθητές της Β και Γ Δημοτικού πάνω στον υπολογισμό ανοικτών αριθμητικών προτάσεων. Στην περίπτωση αυτή η παρένθεση λειτούργησε ως ένα «εξωτερικό» συστατικό το οποίο επέδρασε τόσο στη διαμόρφωση του «σχήματος»-μορφή της παράστασης, όσο και στην ανάδειξη της δομής της, συνεισφέροντας έτσι στον επιτυχή υπολογισμό (εσωτερικά συστατικά). Για παράδειγμα, περισσότεροι μαθητές έλυσαν σωστά την εξίσωση ( +4)=9 παρά την +4=9. Οι ίδιοι οι μαθητές φαίνεται να έχουν μια στατική αντίληψη για τις παρενθέσεις. Γι αυτούς οι παρενθέσεις σε μια αριθμητική παράσταση λειτουργούν κυρίως ως μια ένδειξη εφαρμογής των κανόνων για την προτεραιότητα των πράξεων, με τις πράξεις στο εσωτερικό τους να προηγούνται (Okazaki, 2006), κάτι για το οποίο ίσως μεγάλο μερίδιο ευθύνης φέρει ο τρόπος που λαμβάνει χώρα η σχετική διδασκαλία στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση (Wu, 2007). Αυτό φαίνεται με τη σειρά του να περιορίζει τη δυνατότητα των μαθητών να αναγνωρίσουν σχέσεις μεταξύ των μερών μιας μαθηματικής δομής όπως αυτή αποτυπώνεται σε μια αριθμητική παράσταση με παρενθέσεις. Κάποιες φορές φαίνεται ότι το πλαίσιο με το οποίο σχετίζεται μια δοσμένη παράσταση προσδιορίζει και τη σειρά των πράξεων (Booth, 1988), ενώ σε περίπτωση απουσίας του συνηθίζουν να αξιολογούν από αριστερά προς τα δεξιά (Kieran, 1979). Άλλες φορές πάλι οι μαθητές τείνουν να κάνουν χρήση μια άσχετης πληροφορίας που σχετίζεται με την απόσταση μεταξύ των συμβόλων σε μια σύνθετη αριθμητική παράσταση που ενέχει πρόσθεση ή 215
πολλαπλασιασμό (Landy & Goldstone, 2007) ή από τη διαχωριστική επίδραση του συμβόλου της αφαίρεσης (Linchevski & Livneh, 1999) όπου οι μαθητές θεωρούν μια αριθμητική παράσταση όπως η 19 3 + 6 ίση με 19 9 = 10, με το σύμβολο της αφαίρεσης να λειτουργεί ως ένα σημείο διαχωρισμού της παράστασης. Τέλος, τείνουν να συσχετίζουν την εμφάνιση των παρενθέσεων με την αρχική εκτέλεση των πράξεων αδυνατώντας να δουν την ισοδυναμία ανάμεσα σε εκφράσεις όπως η 900-150-150 και η 900-(150+150) (Linchevski & Herscovics, 1996). ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Στην έρευνα συμμετείχαν 112 μαθητές της Στ Δημοτικού από πέντε διαφορετικά σχολεία της Θεσσαλονίκης και των Γιαννιτσών (η συγκεκριμένη έρευνα αποτελεί μέρος μιας μεγαλύτερης στην οποία συμμετέχουν και μαθητές της Ε Δημοτικού). Οι μαθητές, είχαν μια πρώτη (πολύ σύντομη) επαφή με τις παρενθέσεις στην Γ Δημοτικού (επιμεριστική ιδιότητα), ωστόσο η τυπική τους εισαγωγή στη διδασκαλία λαμβάνει χώρα στην Στ τάξη στο πλαίσιο των κανόνων της προτεραιότητας των πράξεων και είναι αυτή που ουσιαστικά δημιουργεί μια περιορισμένη κατανόηση της λειτουργικότητάς τους (Kieran, 1979). Εικόνα 1: 1 η και 3 η ομάδα δραστηριοτήτων Στους μαθητές δόθηκε μια συλλογή από 6 ομάδες δραστηριοτήτων. Η συλλογή συνδιαμορφώθηκε σε συνεργασία με αντίστοιχη ερευνητική ομάδα από το Jönköping University της Σουηδίας όπου τρέχει παράλληλα η ίδια έρευνα. Η αρχική μορφή του τεστ ελέγχθηκε μέσω πιλοτικής έρευνας με 26 μαθητές. Τα αποτελέσματά της αξιολογήθηκαν και οδήγησαν στην τελική μορφή του τεστ. Όλες οι δραστηριότητες του τελικού τεστ απαντήθηκαν από όλους τους συμμετέχοντες μαθητές της 216
Στ τάξης (112 άτομα). Εδώ περιοριζόμαστε στην πρώτη και τρίτη ομάδα δραστηριοτήτων. Η διαδικασία επίλυσης του τεστ (χρόνος επίλυσης, οδηγίεςεπισημάνσεις) ήταν πανομοιότυπη για όλα τα τμήματα που συμμετείχαν στην έρευνα, με τους μαθητές να παροτρύνονται να καταγράψουν αναλυτικά την πορεία επίλυσής τους. Σε ό,τι αφορά την ανάλυση των δεδομένων αυτή έγινε σε δύο επίπεδα. Αρχικά, σε ένα ποιοτικό επίπεδο, όπου οι απαντήσεις των μαθητών κατηγοριοποιήθηκαν ανάλογα με το αν ήταν ορθές, ή -στην περίπτωση που δεν ήταν- ανάλογα με την προσέγγιση που υιοθετούσαν στους υπολογισμούς τους. Στη συνέχεια, σε ένα ποσοτικό επίπεδο, υπολογίστηκαν συχνότητες και ποσοστά για όλες τις παραπάνω κατηγορίες. Επίσης, επιχειρήθηκε μία σύγκριση των απαντήσεων ανάμεσα σε συγκεκριμένες δραστηριότητες που εξέταζαν το ίδιο φαινόμενο προκειμένου να διαπιστωθούν τυχόν συσχετίσεις. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΕΥΡΗΜΑΤΩΝ Η πρώτη ομάδα δραστηριοτήτων ζητούσε από τους μαθητές να γράψουν κάθε κλάσμα ως οριζόντια διαίρεση και να προβούν στους αντίστοιχους υπολογισμούς. Δινόταν το παράδειγμα του 8 που γράφεται ως 8:4. Λίγοι 4 μαθητές έφτασαν στο σωστό αποτέλεσμα ακολουθώντας μια ορθή μαθηματική διαδικασία. Εδώ αναφερόμαστε στην αναγκαιότητα χρήσης παρενθέσεων στην οριζόντια γραφή που θα εξασφάλιζε το σωστό αποτέλεσμα. Έτσι για παράδειγμα, η 3η δραστηριότητα της πρώτης ομάδας θα έπρεπε να γραφεί οριζόντια ως (8+12):(3+2)=20:5=4. Χρήση παρενθέσεων Χωρίς παρενθέσεις Δραστ.1 Δραστ.2 Δραστ.3 Δραστ.4 Δραστ.5 3 (2.7%) 5(4.5%) 7(6.3%) 10(8.9%) 6(5.4%) 61(54.5%) 88(78.6%) 86(76.8%) 69(61.6%) 68(60.7%) Πίνακας 1: Απαντήσεις με σωστό αποτέλεσμα στην ομάδα-1 Όπως φαίνεται στον Πίνακα 1 πολύ λίγοι ήταν οι μαθητές που ανταποκρίθηκαν με επιτυχία στην προσέγγιση αυτή. Είναι ενδιαφέρον όμως ότι στον ίδιο πίνακα υπάρχει ένας σημαντικά μεγάλος αριθμός μαθητών που έφτασε στο σωστό αποτέλεσμα μέσα από μια αριθμητική παράσταση που αν αξιολογηθεί με τους κανόνες για την προτεραιότητα των πράξεων θα έπρεπε να οδηγήσει σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, για την ίδια δραστηριότητα, οι συγκεκριμένοι μαθητές απάντησαν: 8+12:3+2=20:5=4 παραβιάζοντας έτσι το πρωτόκολλο της προτεραιότητας των πράξεων σύμφωνα με το οποίο το αποτέλεσμα θα 217
έπρεπε να είναι 8+12:3+2=8+4+2=14. Μια δεύτερη όμως ματιά στα ίδια αποτελέσματα, στο φως των ευρημάτων της επόμενης ομάδας δραστηριοτήτων, μπορεί ίσως να δώσει μια άλλη ερμηνεία στο εν λόγω φαινόμενο. Στη δεύτερη ομάδα δραστηριοτήτων οι σωστές απαντήσεις με- και χωρίςτη χρήση παρενθέσεων φαίνονται στον Πίνακα 2. Η εκφώνηση ζητούσε τον υπολογισμό των παραστάσεων χωρίς καμία αναφορά στη χρήση παρενθέσεων οι οποίες στην προκειμένη περίπτωση δεν κρίνονταν απαραίτητες. Δραστ- α Δραστ- β Δραστ- γ Δραστ- δ Χρήση παρενθέσεων 18(16%) 20(17.9%) 14(13.1%) 11(9.7%) Χωρίς παρενθέσεις 42(37.5%) 45(40.2%) 36(32.1%) 39(34.8%) Πίνακας 2: Απαντήσεις με σωστό αποτέλεσμα στην ομάδα-3 Φαίνεται λοιπόν πως ένα μέρος των μαθητών (αυξημένο σε σχέση με την ομάδα 1) έκανε χρήση παρενθέσεων για τον τελικό υπολογισμό. Ενδιαφέρον επίσης παρουσιάζει το γεγονός ότι αθροιστικά (με και χωρίς παρενθέσεις) το ποσοστό των σωστών απαντήσεων έχει μειωθεί στην ομάδα-3 σε σχέση με την ομάδα 1. Στο σημείο αυτό, αξίζει να επισημανθεί ο καίριος ρόλος που φαίνεται να διαδραματίζει το πλαίσιο στην όλη διαδικασία ως «οδηγός» για τις διαδικασίες υπολογισμού (Booth, 1988). Στην πρώτη ομάδα, η κατανόηση της έννοιας του κλάσματος επιβάλλει την προσέγγιση που θα ακολουθηθεί. Ο ρόλος του πλαισίου εδώ είναι πολύ βοηθητικός αφού δηλώνει ξεκάθαρα τον τρόπο ανάλυσης ( α = α:β ). Ο μαθητής έχοντας αυτή τη γνώση ως οδηγό, ακόμη β και όταν γράφει 8+12:3+2 για την 3 η δραστηριότητα, προχωρά στον υπολογισμό κάνοντας χρήση αυτών που αποκαλούμε στην εργασία «νοερές παρενθέσεις». Δηλαδή προχωρά στον υπολογισμό της παράστασης ως οι παρενθέσεις να ήταν παρούσες και να επέβαλαν έναν υπολογισμό της μορφής (8+12):(3+2). Το ίδιο ισχύει και για τις άλλες δραστηριότητες της ομάδας 1. Το ερώτημα που προκύπτει έτσι είναι αν ο σωστός υπολογισμός οφείλεται αποκλειστικά στην επίδραση του πλαισίου (έννοια κλάσματος) οπότε η γνώση της χρήσης της παρένθεσης είναι απούσα. Πράγματι, όλες οι δραστηριότητες (πλην της τελευταίας) στην ομάδα αυτή θα μπορούσαν να απαντηθούν και μόνο με την καλή γνώση της έννοιας του κλάσματος που επιβάλλει αρχικά τον υπολογισμό κάθε όρου του κλάσματος προκειμένου στη συνέχεια να γίνει η σχετική διαίρεση. Η Δραστηριότητα-5 όμως της ομάδας αυτής απαιτεί και μια 218
επιπλέον γνώση των κανόνων για την προτεραιότητα προκειμένου να επιτευχθεί ο υπολογισμός στον αριθμητή. Εξετάζοντας μόνη της την εν λόγω ομάδα θα μπορούσε ο μεγάλος αριθμός σωστών απαντήσεων σε αυτήν να αποδοθεί στο ρόλο που παίζει το πλαίσιο μέσα στο οποίο είναι ενταγμένη η δραστηριότητα. Εξετάζοντας επίσης μόνη της την ομάδα 3, μπορεί να δει κανείς ότι οι απαντήσεις των μαθητών (Πίνακας 2) είναι ενδεικτικές της καλής γνώσης των κανόνων για την προτεραιότητα των πράξεων (κάτι που δεν μπορεί με σιγουριά να επικαλεστεί κανείς στις δραστηριότητες της ομάδας 1 όπου το πλαίσιο συμβάλλει καθοριστικά). Όμως, η παράλληλη εξέταση των απαντήσεων των μαθητών και στις δυο ομάδες μπορεί να ρίξει φως στο όλο θέμα. Νοερές παρενθ. (Ομ-1) Χρήση κανόνων προτερ. (Ομ-3) Δραστ-1 Δραστ-2 Δραστ-3 Δραστ-4 Δραστ-5 61 88 86 69 68 44(72,1%) 60(68,1%) 56(65,1%) 49 (71%) 51(75%) Πίνακας 3: Συνέπεια μεταξύ απαντήσεων σε ομάδα 1 και ομάδα 3 Όπως φαίνεται στον Πίνακα 3, το μεγαλύτερο μέρος των μαθητών (κατά μέσο όρο το 70% περίπου) που φάνηκε να κάνουν χρήση των νοερών παρενθέσεων στις δραστηριότητες της ομάδας 1, ήταν σε θέση να υπολογίσει σωστά τις αριθμητικές παραστάσεις στην ομάδα 3 όπου προαπαιτούμενο ήταν η καλή γνώση των κανόνων για την προτεραιότητα των πράξεων. Αυτό ενισχύει την άποψη ότι όταν το πλαίσιο επιβάλλει τον τρόπο ανάλυσης μιας παράστασης, οι μαθητές το σέβονται και το ακολουθούν χωρίς να ελέγχουν την μαθηματική ορθότητα όσων γράφουν. Στην περίπτωσή μας η απαραίτητη χρήση των παρενθέσεων στις κλασματικές παραστάσεις της ομάδας 1 φαίνεται να αγνοείται. Όμως αυτό που μάλλον συμβαίνει είναι ότι οι μαθητές θέτουν σε προτεραιότητα το πλαίσιο της έννοιας και κάνουν στον υπολογισμό τους χρήση νοερών παρενθέσεων (αν και φαινομενικά δείχνει να συμβαίνει το αντίθετο). Αντιθέτως, όταν δεν υπάρχει πλαίσιο που να επιβάλλεται (περίπτωση ομάδας 3), τότε οι μαθητές υπολογίζουν τις αριθμητικές παραστάσεις με προφανή το σεβασμό στους κανόνες προτεραιότητας των πράξεων και κάνοντας -σε ορισμένες περιπτώσεις- χρήση παρενθέσεων. Πέρα τώρα από τις δυο παραπάνω προσεγγίσεις που οδήγησαν τους μαθητές σε ορθές απαντήσεις, εντοπίστηκαν και άλλες προσεγγίσεις που φανέρωναν απουσία γνώσης, ή ελλιπή κατανόηση στη διαχείριση αριθμητικών παραστάσεων. Οι βασικές προσεγγίσεις που οδήγησαν σε 219
λάθη είναι: ο υπολογισμός από τα αριστερά προς τα δεξιά, λάθη λόγω διαστήματος μεταξύ των συμβόλων, λάθη λόγω της ισχυρής επίδρασης του συμβόλου της αφαίρεσης και λάθη που σχετίζονται με τη δυαδική φύση των πράξεων. Ο Πίνακας 4 αντλεί σχετικά αριθμητικά δεδομένα από τις δραστηριότητες της ομάδας 3. Δραστ-α Δραστ-β Δραστ-γ Δραστ-δ Αριστερά προς τα δεξιά 19(17%) 21(18,8%) 22(19,6%) 24(21,4%) Διάστημα συμβόλων μεταξύ 12(10,7%) - - - Διαχωριστική επίδραση συμβόλου αφαίρεσης - - 21(18,8%) - Δυαδική φύση πράξεων 6(5,4%) 7(6,3%) 6(5,4%) 8(7,2%) Πίνακας 4: Προσεγγίσεις που οδήγησαν σε λάθη στην ομάδα-3 Όπως φαίνεται και από τον Πίνακα 4 η δημοφιλέστερη προσέγγιση που οδήγησε σε λάθη ήταν αυτή της εκτέλεσης των πράξεων στις αριθμητικές παραστάσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά (Kieran, 1979). Μια τέτοια απάντηση για την πρώτη δραστηριότητα της ομάδας 3 είναι της μορφής: 9 2 3 2 = 7 3 2 = 21 2 = 19 και όχι αυτή που σέβεται την προτεραιότητα των πράξεων (δηλαδή, 9 2 3 2 = 9 6 2 = 1). Η ίδια προσέγγιση συναντήθηκε και στην ομάδα 1, ιδιαίτερα στη Δραστηριότητα 5 (18 απαντήσεις, 16,1%), όπου παρόλο που το πλαίσιο επέβαλε μια ιεραρχία στην εκτέλεση πράξεων, εν τούτοις για τον υπολογισμό του αποτελέσματος στον αριθμητή οι λύτες έπρεπε να εφαρμόσουν τη γνώση για την προτεραιότητα των πράξεων. Η δεύτερη προσέγγιση, ενδεχομένως σχετίζεται με την επίδραση των οπτικών νύξεων (Landy & Goldstone, 2007). Έτσι η ύπαρξη του συμβόλου του πολλαπλασιασμού στο μέσον της αριθμητικής παράστασης στη Δραστηριότητα-α της ομάδας 3, με ικανή απόσταση από τα γειτονικά της σύμβολα/ψηφία οδήγησε πιθανόν τους 12 μαθητές στο να υπολογίσουν το αποτέλεσμα ως 9 2 3 2 = 7 1 = 7. Η επόμενη προσέγγιση που οδήγησε σε λάθος σχετίζεται πιθανόν με τη διαχωριστική επίδραση του συμβόλου της αφαίρεσης (Linchevski & Livneh, 1999). Στην ομάδα 3 μόνο η δραστηριότητα-γ προσφερόταν για το λάθος αυτό και ισχυριζόμαστε ότι εμπίπτει στην κατηγορία αυτή λόγω του ότι η πλειοψηφία των μαθητών αυτών ακολούθησε με συνέπεια τους κανόνες για την προτεραιότητα των πράξεων στις υπόλοιπες 220
δραστηριότητες της ίδιας ομάδας. Θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί για το ρόλο της πρώτης δραστηριότητας όπου και πάλι εμφανίζεται το σύμβολο της αφαίρεσης. Σύμφωνα όμως με τους Linchevski και Livneh (1999) το φαινόμενο αυτό παρουσιάζεται μόνο όταν έχουμε μια μόνο εμφάνιση του συμβόλου της αφαίρεσης στην αριθμητική παράσταση. Αυτό δικαιολογεί γιατί δεν έχουμε αντίστοιχες απαντήσεις στην πρώτη δραστηριότητα της ομάδας που περιέχει δυο αφαιρέσεις. Εικόνα 1: Δυαδική φύση πράξεων με άρτιο πλήθος όρων Και οι τρεις προηγούμενες προσεγγίσεις μας είναι ήδη γνωστές από το βιβλιογραφία. Ενδιαφέρον παρουσιάζει όμως η επόμενη προσέγγιση που δεν απαντάται στη βιβλιογραφία. Σχετίζεται με την τάση των μαθητών να συνδέουν κάθε σύμβολο πράξης με δύο όρους εκατέρωθεν του συμβόλου που θα πρέπει να συνδυαστούν προκειμένου να δώσουν ένα αποτέλεσμα. Συγκεκριμένα έξι μαθητές ακολούθησαν με συνέπεια την προσέγγιση αυτή σε όλες τις δραστηριότητες. Η προσέγγιση μάλιστα αυτή εμφανίζεται με δύο διαφορετικές όψεις που σχετίζονται με το αν ο αριθμός των όρων που εμπλέκονται στην παράσταση είναι άρτιος ή περιττός. Στην πρώτη περίπτωση (Δραστηριότητες α, β και γ) οι μαθητές χωρίζουν σε ζεύγη με τη βοήθεια παρενθέσεων τους όρους της παράστασης έτσι ώστε κάθε δύο όροι να συνδέονται με ένα ενδιάμεσο σύμβολο πράξης και στη συνέχεια προχωρούν στον υπολογισμό (βλ. Εικ.1). Στην περίπτωση που το πλήθος των όρων είναι περιττός αριθμός (Δραστηριότητα-δ) τότε φαίνεται οι μαθητές να ακολουθούν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: Η πρώτη προσέγγιση απαιτεί το διπλασιασμό ενός εκ των όρων της παράστασης, προκειμένου να επιτευχθεί άρτιο πλήθος όρων και έτσι να ακολουθηθεί η πιο πάνω τακτική των ζευγών (Εικ.2, πάνω.). Έτσι, η παράσταση όπως φαίνεται και από την εικόνα υπολογίζεται με διπλασιασμό του 4 ώστε να δημιουργηθούν σε ζεύγη οι πράξεις (5 3), (2 4), (4 5) και (3 2), που οδηγεί σε τέσσερα επιμέρους αποτελέσματα (15, 8, 20, 6) και στη συνέχεια με εφαρμογή και πάλι ζευγών (15+8), (20+6) υπολογίζεται το τελικό αποτέλεσμα. Η δεύτερη 221
προσέγγιση υιοθετεί μία πιο «απλή» στρατηγική. Δημιουργεί ζεύγη με το άρτιο πλήθος όρων και πάλι με τη βοήθεια παρενθέσεων (όλοι εκτός έναν, συνήθως τον τελευταίο). Εφαρμόζει τη λογική των ζευγών με αυτούς. Εικόνα 2: Δυαδική φύση πράξεων με περιττό πλήθος όρων Αν τα επιμέρους αποτελέσματα μαζί με τον εναπομείναντα όρο αποτελούν άρτιο πλήθος, τότε ακολουθείται η τακτική των ζευγών. Αν και πάλι το πλήθος είναι περιττό τότε επαναλαμβάνεται η τακτική ζεύγη συν ένας. Για παράδειγμα, στη Δραστηριότητα-δ (Εικ.2, κάτω), υπολογίζονται τα 3 πρώτα ζεύγη (5 3), (2 4), (5+3). Αυτά οδηγούν στα επιμέρους αποτελέσματα 15, 8 και 8 που μαζί με το 2 που είχε μείνει δημιουργούν τα ζεύγη (15+8) και (8 2). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η παρούσα έρευνα αναδεικνύει τον κυρίαρχο ρόλο που μπορεί να παίξει το πλαίσιο εκφοράς μιας αριθμητικής παράστασης στον υπολογισμό της, σε σημείο που να οδηγεί τους μαθητές στο να αγνοούν φαινομενικά την αναγκαιότητα για τη χρήση των παρενθέσεων. Ισχυριζόμαστε ότι πρόκειται για φαινομενική παράλειψη και ότι οι υπολογισμοί γίνονται με τη χρήση νοερών παρενθέσεων καθώς από τη μια το σωστό αριθμητικό αποτέλεσμα δικαιολογεί την παρουσία αυτών των νοερών παρενθέσεων και από την άλλη οι ίδιοι μαθητές σε ένα άλλο πλαίσιο προσανατολισμένο καθαρά στην προτεραιότητα των πράξεων είναι σε θέση να κάνουν την ανάλογη χρήση των παρενθέσεων ακολουθώντας τους σχετικούς κανόνες. Ενδιαφέρον επίσης παρουσιάζει μια ξεχωριστή προσέγγιση υπολογισμού αριθμητικών παραστάσεων επηρεασμένη από τη δυαδική φύση των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων την οποία δεν έχουμε συναντήσει μέχρι στιγμής στη σχετική βιβλιογραφία. 222
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Gunnarsson, R., Sönnerhed, W. W., & Hernell, B. (2016). Does it help to use mathematically superfluous brackets when teaching the rules for the order of operations?. Educational Studies in Mathematics, 92(1), 91-105. Okazaki, M. (2006). Semiotic chaining in an expression constructing activity aimed at the transition from arithmetic to algebra. International Group for the Psychology of Mathematics Education, 4, 257-264 Hoch, M. & Dreyfus, T. (2010). Developing Katy s algebraic structure sense. In V. Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne and F. Arzarello (Eds.), Proceedings of CERME-6, (pp. 529-538). Institut National De Recherche Pedagogique, Lyon, France 529 538 Wu, H. (2004). Order of operations and other oddities in school mathematics. Ανακτήθηκε 2 Μαρτίου, 2017: https://math.berkeley.edu/~wu/order5.pdf (πρόσβαση) Linchevski, L., & Herscovics, N. (1996). Crossing the cognitive gap between arithmetic and algebra: Operating on the unknown in the context of equations. Educational studies in mathematics, 30(1), 39-65. Marchini, C., & Papadopoulos, I. (2011). Are useless brackets useful tools for teaching? Proceedings of PME 35, 3, 185-192. Radford, L. (2000). Signs and meanings in students emergent algebraic thinking: a semiotic analysis, Educational Studies in Mathematics, 42, 237-268. Booth, L. R. (1988). Children s difficulties in beginning algebra. In A. F.Coxford and A. P. Schulte (Eds.), The ideas of algebra, k-12 (1988 yearbook)(pp. 20 32). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Kieran, C. (1979). Children s operational thinking within the context of bracketing and the order of operations. In Proceedings of the 3rd PME International Conference (Vol. 1, pp. 128-133). Landy, D., & Goldstone, R. L. (2007). The alignment of ordering and space in arithmetic computation. In D. S. McNamara & J. G. Trafton (Eds.),Proceedings of the 29th Annual Conference of the Cognitive Science Society(pp. 437 442). Austin, TX: Cognitive Science Society Linchevski, L., & Livneh, D. (1999). Structure sense: The relationship between algebraic and numerical contexts. Educational studies in mathematics, 40(2), 173-196. 223