ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ ΙΙ ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρωση. Μονόθρα Δίκτα. Θεωρήματα hevenn Norton. Μετασχηματισμοί Πηγών 4. Μεταφορά Μέγιστης Ισχύος 5. Μη Γραμμικά Κκλωματικά Στοιχεία 6. Ανάλση Μικρού Σήματος LI ystems nd Computer Archtecture L
Μονόθρα Δίκτα Ένα γραμμικό δίκτο κκλωματικών στοιχείων με δύο ακροδέκτες (τερματικά) καλείται μονόθρο δίκτο (one port network). Κάθε μονόθρο δίκτο χαρακτηρίζεται πλήρως από την χαρακτηριστική ρεύματος τάσης ( ) πο το διέπει. Θύρα Γραμμικό Δίκτο Ακροδέκτες (τερματικά) Αντιπαράδειγμα Μονόθρα Δίκτα Το σκιασμένο γραμμικό δίκτο κκλωματικών στοιχείων δεν είναι μονόθρο δίκτο σε αντίθεση με τα δύο ακριανά πο είναι μονόθρα δίκτα. Μονόθρο Γραμμικό Δίκτο Πολύθρο Γραμμικό Δίκτο Μονόθρο Γραμμικό Δίκτο 4
Ισοδύναμο Σε πολλές περιπτώσεις κατά την αντιμετώπιση ενός προβλήματος είναι εξαιρετικά βολική η χρήση ενός κκλώματος το οποίο είναι ισοδύναμο αλλά πιο «απλό» σε σχέση με το αρχικό κύκλωμα. Στο παράδειγμα πο ακολοθεί, ο φόρτος των τριών αντιστάσεων αντικαθίσταται από μια ισοδύναμη αντίσταση EQ. EQ EQ Σνεπώς: EQ Πηγή Πηγή EQ Μονόθρα Δίκτα Ισοδύναμο (Equvlent Crcut) 5 Θεώρημα hevenn Ένα μονόθρο δίκτο, το οποίο αποτελείται από ιδανικές πηγές τάσης ή/και ρεύματος και από γραμμικές αντιστάσεις, μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα ισοδύναμο κύκλωμα πο αποτελείται από μια ιδανική πηγή τάσης σε σειρά με μια γραμμική αντίσταση. Πηγή Τ Τ Τ Ισοδύναμο κατά hevenn 6
Θεώρημα Norton Ένα μονόθρο δίκτο, το οποίο αποτελείται από ιδανικές πηγές τάσης ή/και ρεύματος και από γραμμικές αντιστάσεις, μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα ισοδύναμο κύκλωμα πο αποτελείται από μια ιδανική πηγή ρεύματος Ν παράλληλα με μια γραμμική αντίσταση Ν. Πηγή N N N N Ισοδύναμο κατά Norton 7 Υπολογισμός Αντιστάσεων ή N Για τον πολογισμό της ισοδύναμης αντίστασης κατά hevenn ή Norton σε ένα δίκτο αποτελούμενο από γραμμικές αντιστάσεις και ανεξάρτητες πηγές, απαιτείται η εύρεση της ισοδύναμης αντίστασης στα τερματικά άκρα το δικτύο. Ατό επιτγχάνεται θέτοντας όλες της πηγές το κκλώματος ίσες με μηδέν και πολογίζοντας ακολούθως την ισοδύναμη αντίσταση στα τερματικά άκρα το δικτύο, αφού αφαιρέσομε το φορτίο (φόρτο). Οι πηγές τάσης μηδενίζονται βραχκκλώνοντας τα άκρα τος (αντικαθίστανται από βραχκύκλωμα), ενώ οι πηγές ρεύματος μηδενίζονται ανοικτοκκλώνοντας ένα άκρο τος (αντικαθίστανται από ανοικτοκύκλωμα). Ισχύει ότι = N. L Αφαιρούμε την αντίσταση το φορτίο L και μηδενίζομε την πηγή τάσης ή N // 8 4
Εναλλακτικός Υπολογισμός ή N Γιατονπολογισμότηςισοδύναμηςαντίστασηςκατάhevenn ή Norton, αφού μηδενίσομε τις πηγές και αφαιρέσομε το φορτίο, μπορούμε εναλλακτικά να θεωρήσομε μια ποθετική πηγή τάσης x στα τερματικά άκρα το δικτύο. Η πηγή τάσης θα δημιοργήσει ένα ρεύμα x πο θα διαρρέει το νέο κύκλωμα. Ο λόγος της τάσης προς το ρεύμα είναι η ζητούμενη αντίσταση. N x x // L Αφαιρούμε την αντίσταση το φορτίο L και μηδενίζομε την πηγή τάσης x x 9 Παράδειγμα: Αντίσταση ή N Ι Πρόβλημα: Να βρεθούν η ισοδύναμη αντίσταση hevenn / Norton πο βλέπει το φορτίο L, όταν I=5A, = = 4 =0Ωκαι = 5 =0Ω. Λύση: Αρχικά αφαιρούμε το φορτίο L και μηδενίζομε την πηγή ρεύματος. Ι 4 4 5 L Η πηγή ρεύματος μηδενίζεται αντικαθιστώντας την με ένα ανοικτοκύκλωμα. Ακολούθως, κοιτώντας από τος ακροδέκτες και η ισοδύναμη αντίσταση είναι: ή N 5 4 // // 0Ω 5 Παρατήρηση: Η διαδικασία πο περιγράψαμε οδηγεί σε αποτέλεσμα το οποίο είναι ανεξάρτητο από το φορτίο! end 0 5
Παράδειγμα: Αντίσταση ή N ΙΙ Πρόβλημα: Να βρεθούν η ισοδύναμη αντίσταση hevenn / Norton πο βλέπει το φορτίο L, όταν =5, I=A, = = 4 =Ωκαι =Ω. Λύση: Αρχικά αφαιρούμε το φορτίο L και μηδενίζομε τις πηγές τάσης και ρεύματος. Ι 4 L Η πηγή τάσης μηδενίζεται αντικαθιστώντας την με ένα βραχκύκλωμα. Η πηγή ρεύματος μηδενίζεται αντικαθιστώντας την με ένα ανοικτοκύκλωμα. 4 Ακολούθως, κοιτώντας ώ από τος ακροδέκτες και η ισοδύναμη αντίσταση είναι: // Ω ή N 4 // end Υπολογισμός Τάσης hevenn I Η ισοδύναμη ιδανική πηγή τάσης κατά hevenn σε ένα δίκτο αποτελούμενο από γραμμικές αντιστάσεις και ανεξάρτητες πηγές, έχει τιμή ίση με την τάση ανοικτού κκλώματος στα τερματικά άκρα το δικτύο, όταν δηλ. το φορτίο έχει αφαιρεθεί. Ο πολογισμός γίνεται ως ακολούθως: Αφαιρέστε το φορτίο ώστε να ανοικτοκκλωθούν τα άκρα το κκλώματος. Καθορίστε την τάση OC στα άκρα το κκλώματος, εφαρμόζοντας οποιαδήποτε γνωστή μέθοδο ανάλσης. Ητάσηhevenn είναι: Τ = OC. =0 Μονόθρο Δίκτο OC Τ Τ Τ = OC Ισοδύναμο κατά hevenn 6
Υπολογισμός Τάσης hevenn II Στο κύκλωμα το σχήματος, για τον πολογισμό της τάσης κατά hevenn αφαιρούμε το φορτίο L, με αποτέλεσμα ο σχετικός κλάδος να ανοικτοκκλωθεί. Σνεπώς, ηαντίσταση δεν διαρρέεται από ρεύμα. Ητάσηστοςακροδέκτες, θα είναι ίση με την τάση στα άκρα της αντίστασης. Απότοδιαιρέτητάσηςστοναπλόβρόχοποσημειώνομεισχύει: OC L Αφαιρούμε την αντίσταση το φορτίο L =0 OC OC Σύνοψη: Ισοδύναμο κατά hevenn Σύμφωνα με τις ενέργειες πο παροσιάσαμε νωρίτερα για την εύρεση της τάσης και της αντίστασης κατά hevenn, το ισοδύναμο κύκλωμα κατά hevenn προκύπτει ως ακολούθως: // L Τα δύο κκλώματα είναι ισοδύναμα καθώς ο φόρτος διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα L : / / L L L L Ισοδύναμο κατά hevenn // Ισοδύναμο L L 4 7
Παράδειγμα: Ισοδναμία hevenn Πρόβλημα: Να βρεθεί το ισοδύναμο κατά hevenn για το κύκλωμα αριστερά των ακροδεκτών και, όταν =, =Ω, = =0Ωκαι 4 =0Ω. Λύση: Αφαιρούμε το φορτίο L. Ηζητούμενητάσηhevenn είναι η oc. Εφαρμόζομετηντεχνική μ ανάλσης κομβικών τάσεων. x x x OC 0 x x x OC 0 KCL: 0 0 x OC OC 0 x OC OC 0 4 0 0 x OC 0 0x x x OC 0 x OC 0 κόμβος αναφοράς 4 OC L x OC Ηλύσηδίνει: x 0.588 OC OC 0 x 7.059 OC 0 5 Παράδειγμα: Ισοδναμία hevenn Εν σνεχεία, αφαιρούμε και πάλι το φορτίο L και μηδενίζομε την πηγή τάσης για την εύρεση της αντίστασης hevenn. Στοκύκλωμα ποπροκύπτει ισχύει: ( // ) 7.059Ω 4 // Ισοδύναμο κατά hevenn 4 7.059Ω 7.059 L end 6 8
Παράδειγμα: Θ. hevenn Πρόβλημα: Προσδιορίστε το ρεύμα το φορτίο L με τη μέθοδο ισοδναμίας hevenn, όταν =4, Ι=Α, =4Ω, =Ωκαι L =6Ω. Λύση: Αρχικά, αφαιρούμε το φορτίο L και μηδενίζομε τις πηγές για την εύρεση της αντίστασηςhevenn. Προφανώς στο νέο κύκλωμα πο προκύπτει οι αντιστάσεις είναι παράλληλες μεταξύ τος: // L Ι L κόμβος αναφοράς 7 Παράδειγμα: Θ. hevenn Εν σνεχεία, αφαιρούμε και πάλι το φορτίο L από το αρχικό κύκλωμα και πολογίζομε την τάση ανάμεσα στος ακροδέκτες και ( OC ) για την εύρεση της τάσης hevenn. Εφαρμόζομε την τεχνική της ανάλσης κομβικών τάσεων: I 0 OC 7 Ι κόμβος αναφοράς L L κόμβος αναφοράς Ι OC 8 9
Παράδειγμα: Θ. hevenn Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλση, στο ισοδύναμο κύκλωμα κατά hevenn θα ισχύει: 7 Εφαρμόζοντας το νόμο το Ohm στο ισοδύναμο κύκλωμα προκύπτει: L A L Παρατήρηση: Το πλεονέκτημα στη χρήση ισοδύναμων κκλωμάτων είναι ότι ατά ισχύον ακόμη και αν αλλάξει το φορτίο! Ι κόμβος αναφοράς L L Τ Τ Ισοδύναμο κατά hevenn L L end 9 Υπολογισμός Ρεύματος Norton I Η ισοδύναμη ιδανική πηγή ρεύματος κατά Norton N σε ένα δίκτο αποτελούμενο από γραμμικές αντιστάσεις και ανεξάρτητες πηγές, έχει τιμή ίση με το ρεύμα βραχκκλώματος των τερματικών άκρων το δικτύο (δηλ. όταν το φορτίο έχει βραχκκλωθεί). Ο πολογισμός γίνεται ως ακολούθως: Αντικαταστήστε το φορτίο με ένα βραχκύκλωμα ανάμεσα στα άκρα το κκλώματος. Καθορίστε το ρεύμα C στον κλάδο το βραχκκλώματος, εφαρμόζοντας οποιαδήποτε γνωστή μέθοδο ανάλσης. Το ρεύμα Norton είναι: N = C. C C Μονόθρο Δίκτο N N Ισοδύναμο κατά Norton 0 0
Υπολογισμός Ρεύματος Norton II Στο κύκλωμα το σχήματος, για τον πολογισμό το ρεύματος κατά Norton βραχκκλώνομε το φορτίο L. Εφαρμόζομε την ανάλση ρεμάτων απλών βρόχων. Ισχύει ότι = C. Εφαρμόζομε KL: C 0 C C 0 C N L C 0 Βραχκκλώνομε την αντίσταση το φορτίο L C C C C Σύνοψη: Ισοδύναμο κατά Norton Σύμφωνα με τις ενέργειες πο παροσιάσαμε νωρίτερα για την εύρεση το ρεύματος και της αντίστασης κατά Norton, το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Norton προκύπτει ως ακολούθως: N N // (βλ. σελ. 8) L L Ισοδύναμο κατά Norton // L L Ισοδύναμο
Παράδειγμα: Ισοδύναμο κατά Norton Πρόβλημα: Προσδιορίστε το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Norton, όταν =6, Ι=Α, =6Ω, =Ωκαι =Ω. Λύση: Αρχικά, μηδενίζομε τις πηγές για την εύρεση της αντίστασης Norton. Προφανώς, στο νέο κύκλωμα πο προκύπτει οι αντιστάσεις και είναι παράλληλα σνδεδεμένες, και σνολικά σε σειρά με την : // 4Ω N Ι κόμβος αναφοράς Παράδειγμα: Ισοδύναμο κατά Norton Ι Εν σνεχεία, βραχκκλώνομε τος ακροδέκτες και το κκλώματος. Διακρίνομε δύο κόμβος. Η πηγή τάσης μεταξύ των δύο κόμβων επιβάλλει : Εφαρμόζομετη μ μέθοδο των κομβικών τάσεων. Από KCL έχομε: Κόμβος : I 0 I 0 Δύο άγνωστοι: και Μας ενδιαφέρει η καθώς: Κόμβος : 0 0 C Ι C κόμβος αναφοράς 4
Παράδειγμα: Ισοδύναμο κατά Norton Από την λύση των εξισώσεων προκύπτει:.5a Σνεπώς: N C.5A και N 4Ω Ι Ν =.5Α Ν =4Ω end 5 Μετασχηματισμοί Πηγών Ο μετασχηματισμός πηγών μας επιτρέπει ανάλογα με τις ανάγκες να αντικαταστήσομε σε ένα κύκλωμα πηγές ρεύματος με πηγές τάσης και το αντίστροφο, σύμφωνα με τις ισοδναμίες κατά hevenn και Norton. Σνεπώς, ένα κύκλωμα με την ισοδύναμη μορφή κατά Norton μπορεί να αντικατασταθεί με την ισοδύναμη μορφή κατά hevenn και το αντίστροφο. Ισχύει η σχέση: Τ = Τ Ν ήισοδύναμα Τ = Ν Ν, καθώς Τ = N N ή N N Μονόθρο Δίκτο Τ Τ N N Ισοδύναμο κατά hevenn Ισοδύναμο κατά Norton 6
Παράδειγμα: Μετασχ/τισμός τισμός Πηγών Στο κύκλωμα το σχήματος, το αριστερό τμήμα το κκλώματος μπορεί να αντικατασταθεί με το ισοδύναμο κατά Norton. Στη νέα αναπαράσταση το κκλώματος, οπολογισμόςτορεύματος είναι πιο εύκολος καθώς οι τρεις αντιστάσεις είναι παράλληλες στην πηγή ρεύματος (έχομε διαιρέτη ρεύματος). Σνεπώς: Μετασχηματισμός end 7 Παράδειγμα: Μετασχ/τισμός τισμός Πηγών Πρόβλημα: Προσδιορίστε με μετασχηματισμό των πηγών το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Norton, όταν =50, =5, Ι=0.5Α, =00Ω, =00Ω, =00Ω και 4 =60Ω. Λύση: Καθώς ζητάμε το ισοδύναμο κατά Norton, θα μετασχηματίσομε τις πηγές τάσης σε πηγές ρεύματος. 4 I L I 4 L Μετασχηματισμοί 8 4
Παράδειγμα: Μετασχ/τισμός τισμός Πηγών Αναδιατάσσομε τα εν παραλλήλω κκλωματικά στοιχεία για διεκόλνση. I 4 L Ακολούθως, αφαιρούμε το φορτίο και ανοικτοκκλώνομε τις πηγές ρεύματος για την εύρεση της N. 4 // // N 4 00 9 Παράδειγμα: Μετασχ/τισμός τισμός Πηγών Τέλος, βραχκκλώνοντας το φορτίο πολογίζομε το ρεύμα κατά Norton Ι Ν. I 4 Ι Ν Ισοδύναμο κατά Norton I N 4 // // // // I 5mA Ι Ν Ν L Παρατήρηση: Η χρήση το μετασχηματισμού πηγών επιτρέπει τη μετατροπή ενός τμήματος το κκλώματος σε μια μορφή η οποία διεκολύνει την εφαρμογή κάποιας επιθμητής μεθόδο ανάλσης κκλωμάτων! end 0 5
Μεταφορά Μέγιστης Ισχύος Ι Τα μοντέλα hevenn και Norton ποδηλώνον ότι ένα μέρος της ισχύος πο παράγεται στην πηγή καταναλώνεται εσωτερικά στην ίδια την πηγή. Τίθεται σνεπώς το ερώτημα: πόση ισχύς μπορεί να μεταφερθεί από την πηγή στο φορτίο πό ιδανικές σνθήκες; Ήεναλλακτικά: ποια πρέπει να είναι η τιμή της αντίστασης το φορτίο ώστε ατό να απορροφά τη μέγιστη ισχύ από την πηγή; PL LL PL L L L Τ L L Πραγματική Πηγή L Τ L Ισοδύναμο κύκλωμα της πηγής κατά hevenn Μεταφορά Μέγιστης Ισχύος ΙΙ Για την εύρεση της τιμής της L για την οποία μεγιστοποιείται η απορροφούμενη ισχύς P L από την πηγή, παίρνομε την παράγωγο της ισχύος ως προς την αντίσταση φόρτο και την εξισώνομε με το 0. Από τη λύση της εξίσωσης προκύπτει: dpl L L L d 4 L L dpl d L 0 L L L 0 L P L ς Κανονικοποιημένη ισχύς Κανονικοποιημένη αντίσταση L Τ Τ Ισοδύναμο κύκλωμα της πηγής κατά hevenn L L 6
Φόρτωση Πηγής Το ρεύμα πο διαρρέει το κύκλωμα πό την παροσία το φόρτο προκαλεί πτώση τάσης στην εσωτερική αντίσταση της πηγής, με αποτέλεσμα η τάση πο βλέπει το φορτίο να είναι μικρότερη από την τάση ανοικτού κκλώματος της πηγής (ονομαστική τιμή τάσης) Τ. Το φαινόμενο καλείται φόρτωση πηγής (source lodng). Παρόμοια σε μια πηγή ρεύματος, η εσωτερική της αντίσταση έχει ως αποτέλεσμα μόνο ένα μέρος το ρεύματος βραχκκλώματος N (ονομαστική τιμή ρεύματος) να διαρρέει τελικά το φορτίο. L L Τ L L N Τ Τ n L L L N n N N L L L Ισοδύναμο κύκλωμα της πηγής κατά hevenn Ισοδύναμο κύκλωμα της πηγής κατά Norton Μη Γραμμικά Κκλωματικά Στοιχεία Μέχρι ατό το σημείο εξετάσαμε κκλώματα τα οποία σνθέτονται από γραμμικά κκλωματικά στοιχεία (αντιστάσεις και πηγές). Στα γραμμικά κκλωματικά στοιχεία η περιγραφή της χαρακτηριστικής ρεύματος τάσης ( ) είναι μια γραμμική σχέση. Στην πράξη όμως τα κκλωματικά στοιχεία έχον μη γραμμικές χαρακτηριστικές. Σε ατές τις περιπτώσεις επιχειρούμε να χρησιμοποιήσομε τα μη γραμμικά κκλωματικά στοιχεία σε μια επιλεγμένη περιοχή λειτοργίας και κάτω από κατάλληλες σνθήκες ώστε η σμπεριφορά ρ τος (με καλή προσέγγιση για τα δεδομένα το προβλήματός μας) να είναι γραμμική! Ακολούθως, θαδείξομεπωςχειριζόμαστεκαιπωςαναλύομεκκλώματα πο περιέχον μη γραμμικά κκλωματικά στοιχεία. 4 7
Ανάλση Μικρού Σήματος I Γεννήτρια Σήματος s Ιδανική Γεννήτρια Σήματος (t) = s (t) =g( ) I Χαρακτηριστική Διόδο Καναλισμού Υποθέτομε ότι s <<, όπο s το σήμα και η πόλωση. 5 Ανάλση Μικρού Σήματος II s (t) I d (t) ( t) d(t) =g( ) (t) s KL (t) (t) g ο άγνωστος είναι η (t) (t) (t) () 6 8
Ανάλση Μικρού Σήματος III Προχωράμε αρχικά στη λύση θεωρώντας μόνο την C πηγή τροφοδοσίας δηλ. s =0 (αρχή της πέρθεσης)! C Ανάλση I s =0 Σημείο Λειτοργίας I I (, I ) =g( ) KL Οι σχέσεις: I I I =g( ) () Έχον κοινές λύσεις τις τομές των Ι χαρακτηριστικών (, I ) 7 Ανάλση Μικρού Σήματος I Σνεχίζομε στη λύση το σνολικού προβλήματος. κλίση: s (t) s(t) (t) =g( ) () Οι λύσεις της πρώτης σχέσης t είναι εθείες παράλληλες στην αρχική και οι κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων είναι οι τομές των γραφικών τος t 8 9
Ανάλση Μικρού Σήματος s (t) = d (t) (t) = I d (t) = g[ d (t)] (4) Έχομε ποθέσει ότι s <<. Η ανάλση μικρού σήματος είναι μια προσεγγιστική μέθοδος της οποίας οι λύσεις είναι έγκρες μόνο όταν το πλάτος s το σήματος s είναι μικρό. 9 Ανάλση Μικρού Σήματος I Εφαπτομένη στο ΣΛ s dg d Καθώς το s είναι μικρό σήμα, ηg κοντά στο ΣΛ μπορεί να αναλθεί σε μία Σειρά ylor παίρνοντας ως προσέγγιση μόνο τος δύο πρώτος όρος, δηλ.: dg dg ( 4) I d(t) g( ) d(t) d(t) d(t) (5) d d 40 0
Ανάλση Μικρού Σήματος II Και πάλι με βάση την αρχή της πέρθεσης επικεντρωνόμαστε μόνο στην παροσία της δηλ. s =0. AC Ανάλση s d d (t) = d (t) dg d Στην οσία προσεγγίζομε την χαρακτηριστική της διόδο γύρω από το σημείο λειτοργίας ΣΛ (, I ) με μία εθεία κλίσης: dg G (6) d 4 Ανάλση Μικρού Σήματος III AC Ανάλση s d d (t) = d (t) dg d Νόμος Ohm Νόμος Ohm d(t) d(t) d (t) (t) s (7) d(t) (διαιρέτης τάσης) (t) s (8) 4
Ανάλση Μικρού Σήματος IX Γραφική Λύση d κλίση: s I d Ισοδύναμο κύκλωμα μικρού σήματος στην περιοχή το σημείο λειτοργίας (, I ) s 4