ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1

ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος. Το διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το Α και καταλήγει στο Β. Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα. Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα είναι μηδενικό διάνυσμα. Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα λέγεται φορέας του.ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το Α. μπορούμε να θεωρούμε Δύο μη μηδενικά διανύσματα και λέγονται: Ομόρροπα όταν: α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε. 2

Αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα και έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε. Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται: Ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα και είναι ίσα, γράφουμε. Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε και αντιστρόφως. Αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα και είναι αντίθετα, γράφουμε: 3

Την κυρτή γωνία, ˆ που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και και τη συμβολίζουμε με, ή,. Είναι φανερό επίσης ότι ή σε ακτίνια 0 και ειδικότερα: θ = 0, αν θ = π, αν Αν, τότε λέμε ότι τα διανύσματα και είναι ορθογώνια ή κάθετα και 2 γράφουμε. 4

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο +4 ο ΠΡΟΣΘΕΣΗ-ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Πρόσθεση διανυσμάτων: Έστω δύο διανύσματα και. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα και στη συνέχεια με αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα.το διάνυσμα λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων και και συμβολίζεται με Ιδιότητες: Α/Α Ιδιότητα Ονομασία 1 Αντιμεταθετική Προσεταιριστική 2 3 0 4 ( ) 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ (1) Από το προηγούμενο σχήμα έχουμε: 5

Επομένως, (2) Από το επόμενο σχήμα έχουμε: Επομένως: Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς. Ισχύει ακόμα γενικότερα: Αφαίρεση διανυσμάτων: Αν έχουμε δύο διανύσματα και, τότε υπάρχει μοναδικό διάνυσμα x, τέτοιο, ώστε x. Πράγματι, 6

Διάνυσμα θέσης: Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ. Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. Αν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα έχουμε OA AB OB και επομένως : "Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής". Ισχύει η τριγωνική ιδιότητα: Ασκήσεις (Σχολικό βιβλίο) 3/ Α. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: 7

4/Α. Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ ισχύει, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. 6/Α. Δίνεται κανονικό εξάγωνo ΑΒΓΔΕΖ. Αν ως συνάρτηση των και. και, να εκφράσετε το διάνυσμα 7/Α. Για ένα τυχαίο εξάγωνο PP 1 2P3 P4 P5 P6 να αποδείξετε ότι: Εργασία: Ασκήσεις: 2Α και 5 Α του σχολικού βιβλίου 8

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο +6 ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΜΟΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με 0 και ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το και το συμβολίζουμε με ή ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του, αν 0 και αντίρροπο του, αν 0 έχει μέτρο Αν είναι 0 ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα 0. Για παράδειγμα, αν το διάνυσμα του διπλανού σχήματος έχει μέτρο 3, τότε το διάνυσμα 2 είναι ομόρροπο με το και έχει μέτρο 2 2 23 6, ενώ το διάνυσμα 2 είναι αντίρροπο με το, αλλά έχει και αυτό μέτρο ίσο με 2 2 23 6. Το γινόμενο 1 το συμβολίζουμε και με Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Για το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: 1 2 3 4 0 0 ή 0 5 6 7 8 0, ό 9 0, ό 9

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων Ας θεωρήσουμε δύο διανύσματα και. Κάθε διάνυσμα v (, ) ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και. Παράδειγμα το διάνυσμα v 2 3 αποτελεί έναν γραμμικό συνδυσμό των διανυσμάτων και. Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων: 1, ό ( 0) 2, ό ( 0) 3 0, ό 0 4 / / ( 0) Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Είναι: Απόδειξη: Ας πάρουμε ένα διάνυσμα και ένα σημείο αναφοράς Ο. Για τη διανυσματική ακτίνα του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ έχουμε: (1) και (2) 10

Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: 2 Άρα: Ασκήσεις (Σχολικό Βιβλίο) 3/Α. Αν στο επόμενο σχήμα είναι 2. 3, να αποδείξετε ότι x 1 2 4/Α. Στο επόμενο σχήμα έχουμε: (i) Να εκφράσετε συναρτήσει των και τα διανύσματα,,, και (ii) Από τις εκφράσεις των και ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα σημεία Α, Ε και Γ; 5/Α. Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία A, Γ και Ε είναι συνευθειακά. 11

. ΘΕΜΑ 12 (Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου) Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση: 5P 2PK 3PM α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Για τα παραπάνω σημεία σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει: 2A 3 2 όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. Εργασία: Ασκήσεις: Α Ομάδα: 2, 6,7, 8, 9, 10 και Β Ομάδα 1, 2 12

ΜΑΘΗΜΑ 7 ο +8 ο ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Συντεταγμένες στο επίπεδο Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή a xi yj. Τα διανύσματα xi και yj λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a κατά τη διεύθυνση των i και j, ενώ οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του a στο σύστημα Oxy. Πιο συγκεκριμένα, ο x λέγεται τετμημένη του a και ο y λέγεται τεταγμένη του a. Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος προκύπτει ότι: Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. Καθένα από τα ίσα διανύσματα με τετμημένη x και τεταγμένη y, θα το συμβολίζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος x, y. Επομένως έχουμε τις ιδιότητες: Αν x, y x1, y1 x2, y2 x1 x2, y1 y2 x1, y1 x1, y1 το μέσο του τμήματος ΑΒ, τότε έχουμε: x x, y x y y 2 2 1 2 1 2 Οι συντεταγμένες (x,y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία 1, 1 2, 2 B x y δίνονται από τις σχέσεις: A x y και 13

Μέτρο διανύσματος: Η απόσταση των σημείων Ax1, y 1 και 2, 2 B x y είναι ίση με Αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα έχουμε: 14

Το πηλίκο y/x της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος a x, y με x 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του a και τον συμβολίζουμε με a ή απλώς με λ. Επομένως: Αν y=0, δηλαδή αν a / / x x, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος a είναι ο 0. Αν x=0, δηλαδή αν a / / y y, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος a. Η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα και και με συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ 2 διατυπώνεται ως εξής: Συνοψίζοντας τα βασικότερα σημεία της θεωρίας έχουμε τον επόμενο πίνακα: Α/Α x1, y1, x2, y2 1 x1 x2, y1 y2 2 x1 x2, y1 y2 3 x1, y1 4 2 2 x1 y1 5 y1 x1 x1, 0 6 x x 7 / / 8 Αν, 1 1 / / det, 0 0 A x 1, y 1, B x 2, y 2 y y 2 2 x1 x2 y1 y2 M x y μέσο του ΑΒ, τότε x και y 2 2 AB x x, y y 9 2 1 2 1 AB x2 x1 y2 y1 10 2 2 15

ΜΑΘΗΜΑ 9 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Ασκήσεις (σχολικό βιβλίο) 4/Α. Δίνονται τα διανύσματα: 2 2 3 2, 2 3 2 Να βρείτε το, ώστε να είναι., 2 5 6, 3 2 7 2. 5/Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα x,1 είναι ομόρροπα. και x,2 να 6/Α. Αν u 3, 4, ποιο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με τοu και έχει διπλάσιο μέτρο από τοu ; 7/Α. Στο επόμενο σύστημα συντεταγμένων είναι OA i συνάρτηση τηνi και j : και OB j. Να εκφράσετε ως α) Τα διανύσματα θέσεως των σημείων,,,, β) Τα διανύσματα,,,,, 3 5 7 5 3 1 K,, 3,, 4,, 3,1,, είναι τα μέσα των πλευρών 2 2 2 2 2 2 1/Β. Αν τα σημεία ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΑ, αντιστοίχως, του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του πενταγώνου. 16

2/Β. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων A και B είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Να βρείτε την τιμή του, ώστε το μέσον του τμήματος AB να έχει τετμημένη ίση με 4. Ασκήσεις (από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου) ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τα σημεία A1 2 a, 4a 2 και B5a 1, a a α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10. β) Έστω α=2. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. ΘΕΜΑ 11 Θεωρούμε τα σημεία Aa 1, 3, Ba, 4 και 4,5 4 α) Να βρείτε τα διανύσματα AB, B., a. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. γ) Αν a 1, να βρείτε αριθμό λ ώστε A AB ΘΕΜΑ 17 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία A1, 1, 4, 3 και 2, 3 α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓκαι ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. 17

ΜΑΘΗΜΑ 10 ο +11 ο ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και το συμβολίζουμε με τον πραγματικό αριθμό όπου φ η γωνία των διανυσμάτων. Αν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 3 Αν 2, 4 και είναι 24 8 4 3 6 6 2 Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων και προκύπτουν άμεσα οι επόμενες ιδιότητες: 1 (αντιμεταθετική) 2 0 3 4 5 2 2 Άσκηση (από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου) 1. Δίνονται τα διανύσματα και με, α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. β) Αν τα διανύσματα 2 και γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2 Ασκήσεις (Σχολικό βιβλίο) 3 και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.. 18

7/Α. Αν 1 u 2a 4, v a 8/Α. Αν τα διανύσματα και, 2, να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων 3 είναι μη μηδενικά, να αποδείξετε ότι: 9/Α. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u a και v a είναι κάθετα. 10/Α. Να αποδείξετε ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα 2 v είναι κάθετο στο., το διάνυσμα 13/Α. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 15/Α. Να εξετάσετε πότε ισχύει: και 1/Β. Τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά. Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει: Πότε ισχύει το 2/Α. Να αποδείξετε ότι: 3/Α. Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα. Να αποδείξετε ότι: (i) Ο φορέας του διανύσματος u a διχοτομεί τη γωνία των διανυσμάτων. 19

(ii) Ο φορέας του διανύσματος v διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των διανυσμάτων. 4/Α. Αν, να υπολογίσετε το άθροισμα 7/Β. Σε ημικύκλιο με διάμετρο AB και κέντρου O παίρνουμε σημείο M. (i) Να εκφράσετε τα διανύσματα ως συνάρτηση των (ii) Να βρείτε το γινόμενο. Τι συμπεραίνετε για τη γωνία των διανυσμάτων.ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχτεί; 8/Β. Σε τρίγωνο ABΓ τα δύο ύψη του BE και ΓΖ τέμνονται στο H. Έστω, (i) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως συνάρτηση των (ii) Να αποδείξετε ότι και (iii) Από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι Με τη βοήθεια της ισότητας αυτής να δείξετε ότι Γεωμετρίας έχει αποδειχτεί ;. Ποια πρόταση της Ευκλείδειας 20

ΜΑΘΗΜΑ 12 ο +13 ο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Αν a x1, y1 και x2, y2, τότε a x1 x2 y1 y2 Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: 1 a a 2 3 1, με, μη παράλληλα στον y y Αποδείξεις: 1.,, a x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x1x2 y1 y2 a,, x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 a Επομένως: a a και 2. Αν x3, y3, τότε έχουμε: 21

x1, y1x2 x3, y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 x x x x y y y y x x y y x x y y a 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 y y a a 0 x x y y 0 y y x x 1 1 1 2 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 x1 x2 Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων Αν x1, y1 και x2, y2είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε a και επομένως: Είναι όμως Επομένως: Για παράδειγμα, αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων a 1, 2 και 3, 1, τότε: Ασκήσεις (Σχολικό βιβλίο) 2/Α. Αν, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:, 11/Α. Δίνονται τα σημεία (i) Το εσωτερικό γινόμενο. Να υπολογίσετε (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα και ; 22

14/Α. Για τα διανύσματα του επόμενου σχήματος να υπολογίσετε την παράσταση:. 23

Έστω, v δύο διανύσματα του επιπέδου με 0. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και v. Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του και έστω 1 το ίχνος της καθέτου. ΜΑΘΗΜΑ 14 ο Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Το διάνυσμα 1 λέγεται προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα και συμβολίζεται με v. Δηλαδή, 1 v Αποδεικνύεται ότι η προβολή του v πάνω στο είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Για το εσωτερικό γινόμενο των και v έχουμε: Επομένως: Ερώτηση κατανόησης (Σχολικό βιβλίο): 13. Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: 24

Εργασία: Άσκηση: Να βρείτε την προβολή του διανύσματος v (2, 3) a 1, 2 πάνω στο διάνυσμα 25

ΜΑΘΗΜΑ 15 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Α. Γωνία δύο διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα a και που έχουν μέτρα 3. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων x a και y a. 6, 1και σχηματίζουν γωνία ΛΥΣΗ Αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων x και y, τότε υπολογίσουμε το x y και τα x, y. x y. Αρκεί, επομένως, να x y Έχουμε λοιπόν: 2 2 7 Άρα,,οπότε 71 7 Μέθοδος: Αν v και u και δίνονται τα a, ˆ vu και υπολογίζουμε: v u vu... 2 2 v... 2 2 u..., τότε έχουμε: 26

Β. Εύρεση προβολής διανύσματος σε διάνυσμα Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος των διανυσμάτων και και v είναι ίση με. 6, αν 1 2, v 3 και η γωνία ΛΥΣΗ Έστω v 1 v. Τότε θα ισχύει v 1. Επειδή v v v, έχουμε: 1 Άρα, v 1 3. Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει και τη μέθοδο εύρεσης της προβολής ενός διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα Γ. Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες Δίνονται τα διανύματα a 3, 1 και v 1, 2. Να αναλυθεί το v σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο. ΛΥΣΗ Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του. Από το πέρας Μ του φέρνουμε τις κάθετες MM 1 και MM 2 στη διεύθυνση του και στην ε αντιστοίχως και έστω. Έχουμε 27

Το διάνυσμα v 1 είναι η προβολή του v στο και επειδή v / / 1, υπάρχει, τέτοιο ώστε v1 3,. Όμως v v1 και επομένως έχουμε διαδοχικά: Επομένως: Το παραπάνω παράδειγμα δείχνει και τη μέθοδο της ανάλυσης διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες. Άσκηση (Σχολικό βιβλίο) 12/Α. Δίνονται τα διανύσματα a 2, 4 και 8, 5. Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το a. ΘΕΜΑ 15 (Τράπεζα θεμάτων του Υπουργείου) Δίνονται τα διανύσματα 1, 7 και 2, 4 α) Να βρεθεί η προβολή του πάνω στο. 28

β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο. ΛΥΣΗ α) Έστω v. Είναι v Έχουμε: 2 3 v 2 28 4 16 30 20 2 3 Επομένως v 2, 4v 3, 6 2 β) Έστω v και u οι δύο κάθετες συνιστώσες του διανύσματος από τις οποίες v / /. Άρα υπάρχει τέτοι, ώστε v v / / v 3, 6. Είναι ή (όπως στο ερώτημα (α)) v u με u v v u u v u v 1, 7 3, 6 u 2,1. Επομένως: ΘΕΜΑ 6 (Τράπεζα θεμάτων του Υπουργείου) 1 Δίνονται τα διανύσματα 2, 3 και 1,. 2 α) Να βρείτε την προβολή του a πάνω στο. β) Να αναλύσετε το a σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το 29

ΜΑΘΗΜΑ 16 ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: Α/Α x1, y1, x2, y2 1 x1 x2, y1 y2 2 x1 x2, y1 y2 3 x1, y1 4 2 2 x1 y1 5 y1 x1 x1, 0 6 x x 7 / / 8 Αν, 1 1 / / det, 0 0 A x 1, y 1, B x 2, y 2 y y 2 2 x1 x2 y1 y2 M x y μέσο του ΑΒ, τότε x και y 2 2 AB x x, y y 9 2 1 2 1 AB x2 x1 y2 y1 10 2 2 11 Ορισμός εσωτερικού γινομένου (, 0 ), 0 ( 0 ή 0 ) 12 (αντιμεταθετική) 13 0 14 15 16 2 2 a a 17 18 19 1, με, μη παράλληλα στον y y 20 v a av 30

Ερωτήσεις Κατανόησης (Σχολικό βιβλίο) 1. Δίνεται ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Καθεμία από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή ή λάθος. Αν είναι σωστή, κυκλώστε το γράμμα Σ, αν είναι λάθος κυκλώστε το Λ. (i) Σ Λ (ii) Σ Λ (iii) Σ Λ (iv) Σ Λ (v) Σ Λ (vi) Σ Λ 2. Αν Α, Β, Γ και Δ είναι τέσσερα σημεία, να συμπληρώσετε τις ισότητες: 3. Αν O είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ, να συμπληρώσετε τις ισότητες: 4. Για τα διανύσματα του επόμενου σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση 31

i) ii) iii) 5. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο δίνεται το σημείο A(-3,-2). Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 6. Δίνονται τα σημεία A(3,1), B(6,5), Γ( -4, -2), Δ(3, -3) και Ε( -3, 5). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε διάνυσμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του στη δεύτερη στήλη 1. Α. 0, 4 2. Β. 3, 4 3. Γ. 7, 3 4. Δ. 6, 4 5. Ε. 9, 0 7. Δίνονται τα σημεία A(3,2), B( -4, 5), Γ( -3, -2), Δ(3, -4). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε τμήμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη: 32

Τμήμα Συντεταγμένες μέσου 1. Α.0, 0 2. 3. 1 7 Β., 2 2 7 3 Γ., 2 2 4. Δ. 0, 3 8. Να βάλετε σε κύκλο τον αριθμό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. και τα σημεία A(4, -1), B( -2, 7), Γ(0,3) και Δ(1,5). (i) Δίνεται το διάνυσμα 3, 2 Ποιο από τα διανύσματα είναι ίσο με το : (ii) Δίνεται το διάνυσμα 1 3, 2. Ποιο από τα διανύσματα είναι παράλληλο με το : 9. Δίνονται τετράγωνο ΑΒΓΔ (όπως στο επόμενο σχήμα) με κέντρο O και πλευρά α. Να βρείτε ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) 1 Προφανώς είναι 4, 2 33

10. Τα διανύσματα έχουν μέτρα 2 και 3 αντιστοίχως. Να βρείτε το γινόμενο, αν η γωνία των διανυσμάτων αυτών είναι: 11. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: 12. Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γωνίας τους που αναφέρονται στη δεύτερη στήλη. Διανύσματα u 7,5, v 1, 2 1. 2. u 3, 4, v 2, 1 3. u 3,5, v 6, 0 4. u 0, 1, v 5, 4 5. u 2,3, v 3, 2 6. u,, v, Γωνία Α. Ορθή Β. Οξεία Γ. Αμβλεία 13. Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: 34

Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Αν δύο διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο, τότε οπωσδήποτε θα είναι ίσα. 2. Δύο διανύσματα που είναι αντίθετα είναι και αντίρροπα. 3. Το μέτρο ενός διανύσματος δηλώνει το μήκος του. 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει αυτό με τον άξονα x x. 5. Αν δύο διανύσματα είναι ίσα, τότε έχουν ίσες τις ομώνυμες συντεταγμένες τους. 6. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα. 7. Ισχύει: a / / 0 8. Αν δύο διανύσματα a και είναι αντίθετα, τότε 0 9. Αν a / /, τότε σε κάθε περίπτωση. 10. Αν δύο διανύσματα a και έχουν ίσες μη μηδενικές τεταγμένες και, τότε είναι ίσα. 35

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 2 ο ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα διανύσματα και με, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο. και 2, 2 2. β) Αν τα διανύσματα 2 γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2 και είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 2 Δίνονται τα διανύσματα i 2 j και 7, 3, 2i 5 j (Μονάδες 7) α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο (Μονάδες 10) β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 3 Δίνονται τα σημεία A2, 3, B1, 5, 2, 4 α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ. γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) 36

ΘΕΜΑ 4 Θεωρούμε τα σημεία A1 2 a, 4a 2 και B 5a 1, a, a. α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10. (Μονάδες 12) β) Έστω a 2. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. ΘΕΜΑ 5 Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: 3 a 9, 2 a 1 και, 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο (Μονάδες 13) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 2 3. (Μονάδες 12) ΘΕΜΑ 6 Δίνονται τα διανύσματα 2, 3 και 1 1,. 2 (Μονάδες 13) α) Να βρείτε την προβολή του a πάνω στο. (Μονάδες 10) β) Να αναλύσετε το a σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το ΘΕΜΑ 7 1 Δίνονται τα διανύσματα 1, 3 και 2,. 2 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 2. (Μονάδες 15) β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και v x 2, x 1 (Μονάδες 10) είναι κάθετα. (Μονάδες 15) 37

ΘΕΜΑ 8 Δίνονται τα διανύσματα 1, 3 α) Τη γωνία, ˆ και 3, 3. Να υπολογίσετε: u. 2 β) Το διάνυσμα 2 (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 9 Δίνονται τα διανύσματα, με 1, 2 και, ˆ. Να υπολογίσετε τα εξής: 3 α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, και κατόπιν την τιμή της παράστασης 2 2 β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων 2 και 2. ΘΕΜΑ 10 Έστω, δυο διανύσματα με 2, 2 α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα 5,, ˆ και u. και u 2 6 (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u. (Μονάδες 16) (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 11 Θεωρούμε τα σημεία A a 1, 3, B a, 4, 4, 5 4,. α) Να βρείτε τα διανύσματα AB, B. β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. γ) Αν 1, να βρείτε αριθμό λ ώστε A AB (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) 38

ΘΕΜΑ 12 Θεωρούμε τα σημεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση: 5P 2PK 3PM α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Για τα παραπάνω σημεία σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει: 2A 3 2 όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. ΘΕΜΑ 13 Δίνονται τα διανύσματα, με 2 4 α) Να υπολογίσετε τη γωνία, ˆ. και 8. (Μονάδες 10) (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι 2 0. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 14 Δίνονται τα διανύσματα, με 1 α) Να υπολογίσετε τα 2 και. 2 7, και 1. (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος 2. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε την προβολή του 2 στο διάνυσμα. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 15 Δίνονται τα διανύσματα 1, 7 και 2, 4 (Μονάδες 10) α) Να βρεθεί η προβολή του πάνω στο. (Μονάδες 10) β) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο. (Μονάδες 15) 39

ΘΕΜΑ 16 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία A1, 1, 4, 3 και 2, 3. α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓκαι ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16) ΘΕΜΑ 4ο ΘΕΜΑ 17 α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες: u v u v και u v u v β) Δίνονται τα διανύσματα a,, για τα οποία ισχύουν: a 0 και i) Να αποδείξετε ότι: και ii) Να αποδείξετε ότι: 7 3 0 (Μονάδες10) a. 3 4 7 (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 18 Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύουν: a 2, 1, ˆ a, 60 και 2 a, όπου α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο a β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: 2 (Μονάδες 3) (Μονάδες 6) 40

ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος (Μονάδες 8) iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 2 και είναι κάθετα. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 19 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB, 1, A 3, 1 όπου 0 και 2, και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AM 2, α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AM είναι κάθετο στο 2 διάνυσμα, (Μονάδες 8) 41

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 42

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1-ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Αν δύο διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο, τότε οπωσδήποτε θα είναι ίσα. 2. Το μέτρο ενός διανύσματος δηλώνει το μήκος του. 3. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει αυτό με τον άξονα x x. 4. Ισχύει: a / / 0. 5. Αν a / /, τότε σε κάθε περίπτωση. ΘΕΜΑ 2 ο Θεωρούμε τα σημεία A1 2 a, 4a 2 και B 5a 1, a, a. α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10. (Μονάδες 30) (Μονάδες 15) β) Έστω a 2. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται τα διανύσματα, a, ˆ 60 και 2 a, όπου α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο a και για τα οποία ισχύουν: a 2 (Μονάδες 20), 1, β) Αν ισχύει, τότε: i) να αποδείξετε ότι: 2 (Μονάδες 7) (Μονάδες 10) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος (Μονάδες 10) iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3 2 και είναι κάθετα. (Μονάδες 8) 43

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Δύο διανύσματα που είναι αντίθετα είναι και αντίρροπα. 2. Αν δύο διανύσματα είναι ίσα, τότε έχουν ίσες τις ομώνυμες συντεταγμένες τους. 3. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα. 4. Αν δύο διανύσματα a και είναι αντίθετα, τότε 0 Β. Να αποδείξετε ότι: 1, με, ΘΕΜΑ 2 ο μη παράλληλα στον y y 1 Δίνονται τα διανύσματα 1, 3 και 2,. 2 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 2. (Μονάδες 20) (Μονάδες 15) β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και v x 2, x 1 (Μονάδες 15) είναι κάθετα. ΘΕΜΑ 3 ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB, 1, A 3, 1 (Μονάδες 20) όπου 0 και 2, και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AM 2, α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 15) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AM είναι κάθετο στο διάνυσμα 2, (Μονάδες 20) 44