6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten eta erabiltzen. Pitagorasen teorema orokortua aplikatzen. Figura baten azalerak eta bolumenak kalkulatzen haren antzeko beste bat hartuta. Distantziak plano eta mapatan kalkulatzen. Neurrien problemak ebazten, Talesen teorema eta antzekotasuna erabiliz. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna....orria 9 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak.triangelu angeluzuzenak.teoremak.orria 96 Katetoaren teorema Altueraren teorema Pitagorasen teorema orokortua 3.Antzekotasunaren arrazoia. orria 99 Antzekotasunaren arrazoia tan Antzekotasunaren arrazoia azaleratan Antzekotasunaren arrazoia bolumenetan 4.Aplikazioak...orria 10 Eskalak Heldu ezinezko distantziak neurtzea Ariketak Gehiago jakiteko Laburpena Autoebaluazioa Tutoreari bidaltzeko jarduerak ERANSKINA MATEMATIKA B 89
90 MATEMATIKA B
Hasi baino lehen Iker ezazu jolas eginez Nola egin alde bateko karanbola? Billarrean ibili bazara, jakingo duzu, banda batera karanbola egiteko, jaurtitako bolak karanbola egin aurretik mahaiaren markoan behin eman behar duela. Nahikoa da antzekotasuna aplikatzea hori lortzeko. Baina, nola? Norantz bideratu behar dugu bola horia aldean errebotea egin ondoren bola gorrirantz joan dadin? Gogora ezazu: Aurrera jarraitu aurretik, komeni zaizu egiaztatzea zertobait gogoratzen dituzula triangeluen zuzeneko proportzionaltasuna eta oinarrizko zenbait propietate. MATEMATIKA B 91
1. Antzeko figurak Antzeko figurak zoom (homoteziak) eta mugimenduen bidez (birak, traslazioak eta simetriak) bat etor daitezkeenak dira. Poligono bat bere albo eta angeluek zehazten dute, beraz, bi poligono antzekoak izan daitezen, nahikoa da albo homologoak proportzionalak (zoomarekin albo guztiak zenbaki beraz biderkatzen dira) eta bere angeluak berdinak (homoteziek, birek, traslazioek eta simetriek ez dituzte irudien angeluak aldatzen)izatea. Angelu berdinak Alde proportzionalak Talesen teorema Bi poligono antzekoak izan daitezen bi baldintza bete behar dira: 1. Angelu berdinak. Alde proportzionalak Baina triangeluetan nahikoa da baldintza bat betetzea. Talesen Teoremak, hau azaltzen du: triangeluetan angelu berdinak alde proportzionalak r s t a b a a b b a a a r, s y t paraleloak paralelas => = = b b b Teoremaren arabera, bi zuzen paraleloen bidez ebakitzen badira, paraleloek zuzenetan definitzen dituzten segmentuek proportzio bera gordetzen dute. Talesen Teoremaren elkarrekikotasuna ere betetzen da, Segmentu proportzionalak paraleloak. Antzeko triangeluak. Irizpideak Bi triangelu antzekoak dira ondoko irizpide hauetako bat betetzen bada, antzekotasunaren irizpideak deitzen direnak ˆB a c Ĉ Ĉ b a b ˆB'  c  1. Angelu berdinak (birekin nahikoa da)  =  y Bˆ = B' ˆ. Angelu berdin bat eta osatzen Duten aldeak proportzionalak  =  y b c = Mide ángulos b' con c' el transportador 3. Alde proportionalak a b c = = a' b' c ' 9 MATEMATIKA B
Ebatzitako ARIKETAK Antzekotasuna 1. Hondartzatik itsasontzira dagoen distantzia kalkulatzeko, irudiko neurriak hartu dira. Kalkula ezazu itsasontzira dagoen distantzia. 140 = 70 7 70 140 = 7 = 1400 m. Aplika ezazu Talesen Teorema, y, z segmentuen neurriak kalkulatzeko. kalkulatuko dugu: z 4 = =4 z y aurkituko dugu: 4 +y + = 14 =4 izanik, y=6 ateratzen da, eta berriz ere Talesen Teorema aplikatuta: z 4 3 = z = y 3. Begira iezaiezu ondorengo irudian Talesen Teorematik ondorioztatzen diren proportzioei: Egiazkoak Ez dute zergatik egiazkoak izan behar y c = a y a = c a y b = c d a + b c + = a c b a = d c b y = d d a + b c + d = a d b a = d b c = d a b = d y 4. Irudiko triangeluak antzekoak dira. Aurki ezazu aldearen neurria 10 10 = = 5 4 8 4 8 MATEMATIKA B 93
Ebatzitako ARIKETAK (jarraipena) 5. Erantzun ezazu modu arrazoituan: a) Antzekoak al dira? Bai, aldeen arteko proportzioa /3 baita eta angeluak berdinak baitira. Ez, izan ere, angeluak berdinak dira, baina aldeak ez; alderantziz, proportzionalak dira. Ez, angeluak ez dira berdinak. b) 30ºko angelu bat eta 40ºko beste bat dituen triangelu bat, 30ºko angelu bat eta 110ºko beste bat dituen triangeluaren antzekoa al da nahitaez? Bai, izan ere, triangelu baten angeluek 180º osatzen dituztenez, bi triangeluen angeluak berdinak direla ondorioztatzen da eta, beraz, 1. irizpideari jarraiki, antzekoak direla. c) 3, 6 eta 7 cm-ko aldeak dituen triangelu bat 9, 36 eta 49 cm-ko aldeak dituen beste baten antzekoa al da? Ez, aldeak ez baitira proportzionalak. d) 3, 4, 5 eta 6 cm-ko aldeak dituen lauki bat 6, 8, 10 eta 1 cm-ko aldeak dituen beste baten antzekoa al da nahitaez? Ez, aldeak proportzionalak izan ez arren, hiru alde baino gehiagoko poligonoetan hori ez baita nahikoa antzekotasuna egon dadin; angeluek, gainera, berdinak izan behar dute. e) Bi triangeluk 0ºko angelu bat baldin badute eta horietako baten aldeek 6 eta 15 cm neurtzen badute eta bestearenek 4 eta 10 cm., bi triangeluak antzekoak al dira? Bai, bigarren irizpidearen arabera, angelu berdina osatzen duten aldeen arteko proportzioa bi kasuetan /5 baita. f) Alde berdinak dituzten bi poligono erregular antzekoak al dira? Bai, angeluak berdinak dira, (alde kopurua - )180º/alde kopurua, eta aldeak proportzionalak. g) Triangelu baten aldeek 3, 6 eta 7 cm neurtzen dute, eta beste baten aldeek, 1 berriz, 18, eta 7 7. Antzekoak al dira? Bai, aldeak proportzionalak baitira: eta triangeluetan nahikoa baita baldintza hori betetzea (3. irizpidea) 18 = 3 ; 1 = 6 94 MATEMATIKA B
Ebatzitako ARIKETAK (jarraipena) 6. DIN-A orri bat erditik moztean, antzeko bat lortzen da. Horretatik ondoriozta ezazu orri horien zabaleraren eta altueraren arteko proportzioa. altuera zabalera/ altuera altuera alto zabalera ancho zabalera ancho ancho zabalera = = = ancho zabalera altuera alto altuera alto altuera alto zabalera 7. Partenoian eta Giocondan agertzen den urrezko angeluzuzenaren ezaugarri bat da alde tikienaren laukia moztean, antzeko beste angeluzuzen bat lortzen dela. Kalkula ezazu luzeren arteko proportzioa. 1 1-1 1 1 5 = 1 = 0 = + Urrezko arrazoia: Φ 1, 6 1 1 8. Aurki ezazu zuhaitzaren altuera,16 = 1,4 0,84 =,16 1,4 0,84 = 3,6 Itzala Itzala 9. Angeluzuzen bat tolestean, irudian ageri den bezala, antzeko hiru triangelu lortzen dira, zergatik dira antzekoak? Angeluak berdinak direlako dira antzekoak, hiruak triangelu angeluzuzenak baitira, bi triangeluk beste angelu berdin bat dute, erpinarekiko kontrakoak baitira. Eta H berdina da, tolesten den ertzarekin 90º gehitzerakoan, beste triangeluetan markatutako angeluaren osagarria ematen baitu. MATEMATIKA B 95
. Triangelu angeluzuzenak. Teoremak Katetoaren teorema Triangelu angeluzuzen batean, katetoaren karratua katetoak hipotenusan duen proiekzioaren emaitzaren berdina da. Triangelu osoaren eta katetoak eta hipotenusan duen proiekzioak definitzen dutenaren arteko antzekotasunetik ikus daiteke hori. Katetoaren teoremaren puzzlea T_ hiru piezak moztuta karratua edo angeluzuzena osa daiteke. Behin hori eginda, bi azalerak berdinak direla eta, beraz, teorema ere zuzena dela egiaztatu behar da. katetoa katetoa Azalera c-ren proiekzioa h-n Azalera c-ren proiekzioa h-n KATETOAREN TEOREMA Talesen Teoremaren arabera beraz, Triangelua alderantziz jartzen da eta biratu egiten da Talesen Teoremaren posizioan jartzeko. A triangelu baten alde handiena bada c h = c p c = p h Teorema triangelu zorrotzetara eta kamutsetara orokor daiteke, dagozkien triangeluak alderatuta. Altueraren teorema Triangelu angeluzuzen batean hipotenusaren gainean kokatzen den altueraren karratua hipotenusaren gaineko katetoen proiekzioen biderkadura da. Triangeluaren altuera ondokoa da KATETOAREN TEOREMA Talesen Teoremaren arabera beraz, Gogora ezazu: Triangelua biratzen da Talesen posizioan jartzeko. Hortaz, aipatu teoremaren arabera: a p = eta, beraz, a =p q q a Hiru triangelu antzeko. 1 eta alderatuta => Katetoaren Teorema 1 eta 3 alderatuta => Altueraren Teorema 96 MATEMATIKA B
Pitagorasen teorema orokortua Pitagorasen teorema. Ĉ = 90º c = a + b a c b C=90º c =a +b Katetoaren Teoremaren arabera Eta batuz Teorema triangelu kamutsetara eta zorrotzetara orokortzen da: C>90º bada, beraz, c > a +b c = a +b + a p a Azalpena A h b p a H C c a B Altuera irudikatuta, bi triangelu angeluzuzen osatzen dira, AHB eta AHC, Pitagorasen Teorema aplikatzeko. Triangelu angeluzuzen handienean: c = (a+p a ) +h Triangelu angeluzuzen handienean: b = p a +h Bi berdintasunak kenduta: c b = a +p a a Eta ebatzita: c = a +b + a p a C<90º bada, beraz, c < a +b c = a +b a p a A b h p a C H a c B Azalpena Altuera irudikatuta, bi triangelu angeluzuzen osatzen dira, AHB eta AHC, Pitagorasen Teorema aplikatzeko. Triangelu angeluzuzen handienean: c = (a - p a ) +h Triangelu angeluzuzen tikienean: b = p a +h Bi berdintasunak kenduta: c b = a p a a Eta ebatzita: c = a +b a p a MATEMATIKA B 97
Ebatzitako ARIKETAK 10. Kalkula ezazu dm-ko 8 ertz eta gainerakoak 3 dm-koak dituen ortoedro baten diagonala. Ortoedroaren diagonalak, oinarriaren diagonalak eta altuerak triangelu angeluzuzen bat osatzen dute. Oinarriaren diagonala Pitagorasen Teoremaren arabera kalkulatzen da: + eta, Teorema aipatu triangeluari berriro aplikatuta, diagonala ondokoa dela ondorioztatzen da: + + 3 = 17 4, 1 11. Erabaki ezazu 3, 6 eta 8 cm-ko aldeak dituen triangelua angeluzuzena, kamutsa edo zorrotza den. Erabaki triangeluaren angelurik luzeena kamutsa, zuzena edo zorrotza den. Pitagorasen teorema orokortua aplikatzen da eta 8 =64 eta 3 +6 =9+36=45 alderatzen dira. 64 45 baino handiagoa denez, triangelua kamutsa dela ondorioztatzen da. 1. Irudiko triangeluan kalkula itzazu hipotenusa, katetoen proiekzioak eta altuera. Pitagorasen Teorema aplikatuta: Hipotenusa= 10 + 160 = 00 Katetoaren Teorema aplikatuta: p c (a)=10 /00=7 y p c (b)=00 7=18 Altueraren Teoremarekin: alt= 7 18 = 96 13. Egiazta ezazu, M, N (M>N) bi balio oso baldin badira (M -N, MN, M +N ) terna pitagorikoa dela. Adibidez, M=3, N= hartuko ditugu eta ordezkatu egingo dugu: M -N =5, MN=1, M +N =13 Orain, pitagorikoa dela egiaztatuko dugu 5 +1 =169=13 Egiazta ditzakezun beste terna pitagoriko batzuk: 3, 4, 5 ; 7, 4, 5 ; 8, 15, 17 ; etc 14. Kalkula ezazu irudiko zirkunferentzierdiaren erradioa. Altueraren Teorema aplikatuta, 6 =4 p p=9 Hortaz, diametroa = 9+4=13 eta erradioa = 6,5 15. Kalkula ezazu katetoaren neurria irudian. Katetoaren Teoremaren bidez, = diametroa 4=9 4=36 Hortaz, =6 9 98 MATEMATIKA B
3. Antzekotasunaren arrazoia Luzerak Antzekotasuna Bi figura, A eta B, antzekoak baldin badira, A irudiaren gaineko B irudiaren antzekotasunaren arrazoia ondokoa da: B irudiaren segmentu bat zati A irudiaren irudiko bere homologoa. B irud. A irud. arrazoia. arrazoia Luzera Luzera; arrazoia. arrazoia Luzera ; arrazoia Antzekotasunaren arrazoiak definitzen du A irudia B bihurtzen duen homotezia. Azalerak Bi irudi, A eta B, antzekoak baldin badira, B-ren azalera zati A-ren azaleraren zatidura A gaineko B irudiaren antzekotasunaren arrazoiaren karratua da. A irud. B irud. Azalera = Azalera. (arrazoia Azalera Azalera Azalera; arrazoia Azalera kubo. arrazoia azalera Bolumenak azalera azalera; arrazoia azalera Bi figura, A eta B, antzekoak baldin badira, B-ren bolumenaren zati A-ren bolumenaren zatidura B figurak A-rekiko duen antzekotasunaren arrazoiaren kuboa da. A irud. B irud. Bolumena = Bolumena. (arrazoia Bolumena Bolumena Bolumena; Bolumena arrazoia 3. arrazoia 3 bolumena bolumena; bolumena bolumena arrazoia 3 MATEMATIKA B 99
Ebatzitako ARIKETAK 16. Zein da 5 m-ko duen segmentu bat 3 m-ko ko segmentu bihurtzen duen antzekotasunaren arrazoia? Antzekotasunaren arrazoia homologen arteko zatidura da. Arrazoia = 3/5=0,6 Luzera. (arrazoia Luzera; arrazoia 17. Kalkula ezazu 4 m-ko segmentuarekiko homologoa den segmentuaren, arrazoi beraren antzekotasuna aplikatzean 3 m-ko segmentua 7, m-koa bihurtzen dela jakinda. Arrazoia =7,/3=,4 =4 arrazoia =4,4=9,6 m Luzera. (arrazoia Luzera; arrazoia 18. Antzekotasunean 5 m-ko segmentua 10 m- ko segmentu bihurtzen da. Aldatutako irudian 8 m-ko duen segmentua dago. Zein da jatorri duen segmentuaren? Arrazoia =10/5= arrazoia =8 => =8; = 4 Luzera. (arrazoia Luzera; arrazoia 19. Zure koadernoan marraz ezazu 3 eta 4 cmko katetoak dituen triangelu angeluzuzen bat eta aplika iezaiozu 1/4 arrazoiko antzekotasuna antzeko beste bat lortzeko. Kalkula ezazu hipotenusaren triangelu bakoitzean. Pitagorasen Teoremaren arabera: hipotenusa = 3 + 4 = 5 = 5 1/4 arrazoiko antzekotasuna aplikatuz gero, hipotenusa=5 1/4=1,5 100 MATEMATIKA B
Ebatzitako ARIKETAK 0. Zein da irudi bat laurden bateko azalerako beste bat bihurtzen duen antzekotasunaren arrazoia? 1 1 razón = razón = = 4 4 1 1. Zein da m -ko azalerako irudi bati arrazoiaren antzekotasuna aplikatzean lortzen den figuraren azalera? Azalera = m arrazoia =,4 = 11,5 m. 0,6 arrazoiko antzekotasunean 7, m -ko azalera lortzen da. Zein da hasierako irudiaren azalera? 7, m Área = = 0 m 0,6 3. Zure koadernoan marraz itzazu 3 eta 4 cmko katetoak dituen triangelu angeluzuzen bat eta antzeko beste bat, baina azalera laurdenera murriztuta. Azalera laurden bat bada, aplikatuko dugun antzekotasunaren arrazoia ondorengoa izango da: 1 1 = 4 4. Etearen bolumena 1.00 m 3 -koa da eta maketa batean ete horrek 150 dm 3 - hartzen ditu. Zein da maketaren eskala? 3 3 150 dm Bolumenen zatidura arrazoiaren kuboa da, r = 3 100 m Izendatzailea dm 3 -ra igaro eta sinplifikatuz gero, honakoa geratzen da: 1 r = 3 = 8000 1 0 MATEMATIKA B 101
4. Aplikazioak Antzekotasuna Eskalak Mapek eta etebizitzetako planoek eskala honela adierazi ohi dute: 1:500000 errepide-maparen batean edo 1:50 etebizitza baten planoan. Eskalak luzeretan, azaleretan eta bolumenetan aplikatzen jakiteko, ondoko formulak gogoratu besterik ez da. Eskala=1:I I = Distantzia erreala / Planoko distantzia I = Azalera erreala/planoko azalera I 3 = Bolumen erreala/maketako bolumena 1) 1. irudiko planoko eskala kalkulatu Benetako Dis tancia real 6844 cm = = 139 Dis Planoko tancia plano 3, cm Eskala = 1:139 ) Eskala 1:10 da, zein da eteko egongelaren benetako azalera? 6 4 10 =345600 cm =34,56 m 3) Dorreetako baten benetako bolumena 139.650 m 3 - koa da eskala 1:700 baldin bada. Zein da maketaren bolumena? 139650 Maketaren bolumena: =407,14 cm 3 3 700 Heldu ezinezko distantziak Talesek piramidearen altuera kalkulatzeko bere itzala neurtu zuen bezala, antzekotasuna eskuragarri ez dauden distantziak kalkulatzeko aplika dezakegu. Aurretik ere ikusi genuen nola kalkulatu itsasontzi bateraino edo eskuragarri ez dagoen puntu bateraino dagoen distantzia. Z Luzera a b a l e r a EGONGELA Irudia 3 Irudia 1 Irudia 4) A eta B puntuen arteko distantzia kalkulatu nahi da. Horretarako, irudiko neurriak hartu dira: QM=1 m, XM=0,69 m y QB=5,67 m Talesen Teorema aplikatuta: Hortaz, =5,67 0,69=3,91 m 10 MATEMATIKA B = QB XM QM 5) Zein da arrantza egiteko hariaren? Pitagorasen Teoremarekin kainaberaren kalkulatzen dugu, eusteko punturaino: a = 3 + 4 = 5 4,3 Antzekotasuna aplikatuta: = 3 Ondokoa lortuko dugu: =8,5 m 7 5 Irudia 4 Irudia 5
Praktikatzeko Antzekotasuna 1. Aurki ezazu kasu bakoitzean 5. Kalkulatu putzuaren sakontasuna. 19 4 6 6 15 13 7 3 0 17 5 6. Nondik moztu behar da orria ezkerreko partea orri osoaren antzekoa izan dadin?.. Bi lauki antzekoen hiru alde homologoen neurriak honakoak dira: 4 cm cm 7 cm 0 cm 10 cm y cm aurkitu eta y 3. Mendiaren oinarria ikusten da, tartelak adierazten duen bezala 5,6 km-ko. 9 cm-ko erregelatoa mugitzen da, mendiaren oinarria estaltzen duen arte. Momentu horretan erregelatoaren distantzia behatzailearen begiraino 1 m- koa da Kalkula ezazu mendiaren oinarriaren zabalera. 9 cm 1 m 5.6 km m a oinarria 5.6 km 7. Marraztu zure koadernoan bat, 69º-ko angelu batekin eta osatzen duen albo bat 9 cm. Antzekoak al dira baldintza hauek betetzen dituzten triangeluak? 8. Marraztu zure koadernoan bat, 56º-ko angelu batekin eta osatzen duten alboen zatidura 3. Antzekoak al dira baldintza hauek betetzen dituzten triangeluak? 9. Kalkula ezazu -ren balioa triangelu bakoitzean: a) 5 b) 1 8 10 4. Kalkulatu metrotan errekaren zabalera, marrazkiko datuetan oinarrituta. 7 4 37 c) d) 3 1 e) 3 f) 7 16 10 10 MATEMATIKA B 103
10. Kalkula ezazu piramidearen oinarriaren aldea. 11. Kalkula ezazu, kasuan kasu, piramidearen altuera. 15. Aplika ezazu Pitagorasen teorema orokortua irudiko triangeluaren c aldea ren neurria kalkulatzeko. 16. Irudian jatorrizko marrazkiaren kopia bat ikusten da Zein da kopiaren eskala? Jatorrizko marrazkia 1. En Zezen-plaza batean diametroa metro guti batzuk neurtuz kalkula daiteke. Diametroaren norabidean (aurreko ikusleekiko begi-lerroak definitzen du) 9m neurtzen dira eta 90º biratuz norabide horretan aurreratzen da kaleraino, ibilbide honetake neurria 8,3 m izanik. Kalkulatu zezen-plazako inguruaren diametroa. 13. Kalkulatu irudiko zirkunferentziaren diametroa. diametroa 14. Aurki ezazu (-1,-1) eta (-4,3) koordenatuetako puntuen arteko distantzia. Eskala 1: 17. Maparen gainean bi herriren artean errepidez dagoen distantzia kurbimetroarekin neurtzerakoan, 9,5 cm lortzen dugu. Maparen eskala 1:470000 da. Zenbat km izango ditu bi herriak lotzen dituen errepideak? 18. 1:10000 eskalako mapa bat begiratzerakoan, errepide batean B herria falta dela ikus dezakegu. B mapan ikus dezakegun A herritik 73,3 km-ra dagoela baldin badakigu, mapako errepidean A-tik zenbat cm-ra jarriko dugu B irudikatzen duen puntua? 19. Irudiko dorrearen bolumena 95 m 3 -koa da 1:500 eskalako maketa batean. Kalkula ezazu dorrearen bolumen erreala. 0. Dorre baten oinarriaren azalera 75 m -koa da. Kalkula ezazu horren azalera 1:350 eskalako maketa batean. 1. Dorre baten azalera 15 m -koa da eta maketa batean 55 cm -ko azalera du. Aurki ezazu maketaren eskala.. Dorre baten oinarriaren azalera 5 cm -koa da 1:350 eskalako maketa batean. Kalkula ezazu oinarriaren azalera erreala. 3. Dorre baten bolumena 3.300 m 3 -koa da eta maketa batean 41 cm 3 -ko bolumena hartzen du. Aurki ezazu maketaren eskala. 4. Dorre baten bolumena 7 cm 3 -koa da 1:450 eskalako maketa batean. Kalkula ezazu dorrearen bolumen erreala. 104 MATEMATIKA B
Gehiago jakiteko Nola ziurtatu alde bateko karanbola? Bolak errebote egiterakoan duen angelu berarekin jotzen duenez aldea, triangeluak antzekoak izatea lortu beharko da eta hori iritzira lor daiteke edo, bestela, zehaztasunez, antzekotasunari lotutako proportzionaltasunaren ekuazioa ebatzita. Hiru aldeko billarra Billarraren moduko angeluzuzenak eraikitzen ditugu, gero bola gorriarekiko puntu simetrikoak, bi punturen arteko biderik motzena lerro zuzena da, billarrean jarrita nahi dugun ibilbidea ematen digula. Bola horiak 3 aldiz jotzen du aldeetan bola gorriarekin talka egin aurretik Geometria greziarra Tradizioaren arabera, Thalesek (gure garaia baino 600 urte lehenago) geometria egipziarra sartu zuen Grezian. Tales nagusiki arazo praktikoez arduratuta zegoen aitzindaria izan zen (monumentuen altuera kalkulatu zuen bastoi bat eta itzalen proportzionaltasuna erabilita). Geometria greziarra arrakasta izugarria izan zen giza zientzian eta, hala aparteko buru-argitasunaren adierazgarri izan zen. Nagusiki, bi eskala izan zituen: Pitagorasena eta Euclidesena. Ikus gehiago hemen: http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/tetes/h_geom.htm Talesen Teoremarekin "geometrikoki" egin daitezke oinarrizko eragiketak. Irudian kalkulagailu geometrikoa ikus dezakegu batuketak egiteko. Horren oinarria da segmentu baten erdiko puntuaren abzisa ertzeetako abzisen batuketa-erdia dela. MATEMATIKA B 105
Gogora ezazu garrantzitsuena Antzeko figurak Batetik bestera homotezia edo mugimenduen bidez igaro daitekeenean. Antzeko poligonoak Angelu berdinak eta albo proportzionalak dituztenean. Antzeko triangeluak Triangeluen kasuan nahikoa da hiru irizpideetako bat betetzea: Ĉ a b ˆB c  a Ĉ b ˆB' c  1. Angelu berdinak (birekin nahikoa da)  =  y Bˆ= B' ˆ. Angelu berdin bat eta osatzen duten aldeak proportzionalak Mide ángulos con el transportador  =  y b c = b' c' 3. Alde proportzionalak a b c = = a' b' c ' B-ko A-ko B-ko azalera A-ko azalera B-ko bolumena A-ko bolumena arrazoia arrazoia arrazoia 3 r s t a b a a b b Talesen teorema Bi sekanteetan zuzen paraleloak mugatzen dituzten segmentuak proportzionalak dira. a a a = = b b b Teoremak triangelu angeluzuzenetan KATETOAREN Teorema Pitagorasen teorema orokortua ALTUERAREN Teorema PITAGORASEN Teorema C>90º c = a + b + a p a (b) C<90º c = a + b a p a (b) 106 MATEMATIKA B
Autoabaluazioa 1. Aplika ezazu antzekotasuna -ren balioa kalkulatzeko. 10 1,5 6. Lauki baten barneko angeluen bildura 360º, dela jakinik, kalkula ezazu a-ren balioa. A 8º 75º 146º 3. Irudiko poligonoak antzekoak al dira? 4. Aurreko eteko leihoa nirea bezalakoa denez, jakin dezaket haren altuera, eta makilto baten begi-lerroarekin kaleko zabalera kalkula daiteke. Kalkula ezazu. 5. Triangelu baten alboek 6 cm, 8 cm eta 11 cm neurtzen badute, zer motako triangelua da? 6. Kalkula ezazu triangelu angeluzuzen baten perimetroa, katetoek hipotenusan duten proiekzioek 16 eta 9 cm neurtzen badute. 16 cm 9 cm 19 40 7. Aurkitu triangelu angeluzuzen baten hipotenusa, katetoa 40 cm-koa eta hipotenusaren gaineko altuera 19 cm-koa izanik. 64 36 8. Kalkula ezazu, cm-tan, triangelu angeluzuzen baten azalera, katetoek hipotenusan duten proiekzioek 64 cm -tan eta 36 cm neurtzen dutela jakinik. 9. Kono zuzen baten sortzaileak 6,8 cm neurtzen ditu eta oinarriaren erradioak 3, cm. Aurkitu honen antzeko konoaren altuera, balina 1: eskalan. 10. Kalkula ezazu, m -tan, etebizitza baten azalera, kontuan izanik planoa 1:300 eskalan dagoela eta pisuak planoan 17 cm betetzen dituela. MATEMATIKA B 107
Praktikatzeko ariketen ebazpenak 1. a) 3,83 b) 30,76 c) 5,8 d) 1,5. = y=35 3. 164 m 4. 64,75 5. 5,94 m 6. 4,6 cm Prob. 7 7. Ez dute zertan antzekoak izan 8. Antzekoak dira 9. a) 13 b) 6 c) 6 10. 1,1 d) 63 7,9 e) 1 f) 4,54 11.,59 1,70 Prob.8 1. 97,98 m 13. 36 14. 5 15. c =a +b +b p b (a)=40; c= 40 6,3 16. 1:,5 17. 44,65 km 18. 34,90 cm 19. 3,4 cm 3 0.,44 cm 1. 150,75 cm. 306,5 cm 3. 1:00 4. 460,37 m 3 AUTOEBALUAZIOAREN ebazpenak 1. 7,5. 57º 3. Ez dira antzekoak 4. 91/19 m = 4,78 m 5. Kamutsa 11 >6 +8 6. 60 cm 7. 400 cm 8. 4800 cm 9. 3 cm 10. 153 m Ez ahaztu jarduerak tutoreari bidaltzea 108 MATEMATIKA B