Κεφάλαιο 10: Δυναμική Ανάλυση Κτιριακών Κατασκευών

Κεφάλαιο 10: Δυναμική Ανάλυση Κτιριακών Κατασκευών 10.1 Ανάλυση Κτιρίων Πλαισιακού Τύπου Στην παρούσα ενότητα υπολογίζονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά ενός εξαώροφου, αμιγώς πλαισιακού τύπου κτιρίου με τη ΜΠΣ. Η κάτοψη ενός τυπικού ορόφου του κτιρίου δίδεται στο Σχήμα 10.1, οι δε κατασκευαστικές λεπτομέρειες έχουν ως εξής: Στύλοι διαστάσεων 55x55 cm, δοκοί διαστάσεων 75x25 cm και πάχος πλάκας δαπέδου 14 cm. Το ύψος μεταξύ δυο διαδοχικών ορόφων είναι σταθερό σε 3.4 m και το εμβαδόν της κάτοψης 2 είναι E 18.5524.5 455.4 m. Τέλος, τύπος σκυροδέματος που χρησιμοποιήθηκε είναι C 20 / 25. Ακολουθείται η εξής ιεραρχία προσομοιωμάτων για το κτίριο: 1. το τρισδιάστατο μοντέλο, 2. τα επίπεδα πλαίσια στις δύο κύριες διευθύνσεις και 3. το γραμμικό μοντέλο (πρόβολος). Σημειώνουμε πως οι δύο τελευταίες κατηγορίες θεωρούνται ως απλοποιημένα μοντέλα σε σχέση με την πρώτη κατηγορία. Σχήμα 10.1 Κάτοψη τυπικού ορόφου εξαώροφου κτιρίου. 10.1.1 Διακριτοποίηση με Γραμμικά και Επιφανειακά Στοιχεία (Μοντέλο Α) Για το Μοντέλο Α, η προσομοίωση της πλάκας γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία κελύφους διαστάσεων 1.50x1.50m, μηδενικής καμπυλότητας ώστε να παρουσιάζουν μόνο κάμψη και διάτμηση στο επίπεδο της πλάκας. Ομοίως, για το τοιχείο χρησιμοποιούνται στοιχεία κελύφους διαστάσεων 1.50x1.13 m. Τέλος, για τις δοκούς και τους στύλους γίνεται χρήση γραμμικών στοιχείων. Πρέπει να σημειωθεί εδώ πως τα στοιχεία κελύφους μπορεί να παρουσιάζουν κάποιες μικρές διάφορες ως προς τη διατύπωσή τους, που εξαρτώνται από τις 180

συγκεκριμένες παραδοχές που έχουν γίνει για την μόρφωσή τους (Νιτσιώτας, 1980). Πιο συγκεκριμένα, το στοιχείο που χρησιμοποιήθηκε εδώ είναι το τετράκομβο στοιχείο κελύφους με έξι ΒΕ ανά κόμβο του προγράμματος SAP 2000, που απλοποιείται σε στοιχείο πλάκας και σε στοιχείο δίσκου. Τέλος, τα γραμμικά στοιχεία του SAP 2000 που παρουσιάζουν κάμψη, διάτμηση, εφελκυσμό και στρέψη είναι ακριβή ως προς τη στατική τους συμπεριφορά, αλλά όχι και ως προς τη δυναμική τους συμπεριφορά. Χρησιμοποιείται η μέθοδος των δυνάμεων ώστε να υπολογισθεί το μητρώο ευκαμψίας και ακολούθως με αντιστροφή υπολογίζεται το μητρώο δυσκαμψίας (Wilson, 2002). Το τελικό αποτέλεσμα είναι πως το πεδίο των μετακινήσεων που χρησιμοποιείται στη διατύπωση των συντελεστών δυσκαμψίας είναι ένα πολυώνυμο τετάρτου βαθμού, δηλαδή η ακριβής λύση της ελαστοστατικής. Οσον αφορά τα αδρανειακά χαρακτηριστικά του πλαισίου, αυτά αρχικά εισάγονται ως κατανεμημένες μάζες των επιμέρους πεπερασμένων στοιχείων, μέσω της χρήσης της πυκνότητας μάζας του υλικού. Ακολούθως, το πρόγραμμα SAP 2000 διαμορφώνει τα μητρώα μάζας όλων των πεπερασμένων στοιχείων, κάνοντας την παραδοχή των σημειακών (ή συγκεντρωμένων) μαζών (lumped mass matrix), καθώς δεν υπάρχει η δυνατότητα δημιουργίας συμβατών μητρώων μάζας (consistent mass matrix). Ο Πίνακας 10.1 παρουσιάζει τα βασικά δυναμικά χαρακτηριστικά του εξαώροφου κτιρίου, όπως αυτά υπολογίστηκαν από την ανάλυση του προβλήματος ιδιοτιμών (eigenvalue problem) με το πρόγραμμα SAP 2000. 10.1.2 Διακριτοποίηση με Γραμμικά Στοιχεία (Μοντέλο Β) Στην περίπτωση του Μοντέλου Β, η διαφραγματική λειτουργία των πλακών αποδίδεται με έμμεσο τρόπο, δηλαδή ως μία πρόσθετη εξίσωση για τους ΒΕ του κάθε ορόφου. Στο πρόγραμμα SAP 2000 η δεσμική αυτή εξίσωση (constraint equation) εισάγεται στο σύστημα των μητρωικών εξισώσεων με χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange. Οσον αφορά τα αδρανειακά χαρακτηριστικά της κατασκευής, αυτά εισάγονται ως συγκεντρωμένες μάζες στα κέντρα βάρους των ορόφων του πλαισίου. Οι δοκοί, εκτός από το βάρος τους, δέχονται και τα φορτία των 2 τοιχοποιιών, οι οποίες θεωρούνται δρομικές με 2.10 kn / m. Το καθαρό ύψος που καλύπτει η τοιχοποιία είναι h3.4 0.75 2.65 m, πλην των τοιχοποιιών του τελευταίου ορόφου που έχουν ύψος h3.4 2 0.75 0.95 m. Το συνολικό βάρος του δώματος είναι B 4279.16kN, ενώ το βάρος του κάθε ενός από τους υπόλοιπους ορόφους είναι Bo 5262.49 kn. Η μάζα του δώματος είναι m 4279.163 / 9.81 436.20 tn (στο διεθνές σύστημα μονάδων S.I.), η δε ροπή αδράνειας της μάζας (μαζική 2 2 2 ροπή αδράνειας) είναι J 436.20 (18.55 24.55)12 34416.36 tn m. Για τους υπόλοιπους ορόφους, έχουμε mm οοοο = 5262.49 9.81 = 536.44 tn και 2 2 2 J 536.44 (18.55 24.55 ) 12 42325.34 tn m. Συνοψίζοντας, τα μητρώα μάζας του δώματος και του κάθε ενός ορόφου έχουν την εξής μορφή: 436.20 0 0 536.44 0 0 M 0 436.20 0, M 0 536.44 0 (10.1) 0 0 34416.36 0 0 42325.34 Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα SAP 2000 για την ανάλυση του προβλήματος ιδιοτιμών, τα αποτελέσματα που ελήφθησαν για τις βασικές δυναμικές ιδιότητες του εξαώροφου κτιρίου παρουσιάζονται στον Πίνακα 10.2. 181

Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Κυκλική Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0,861 1,161 7,293 2 0,845 1,183 7,434 3 0,732 1,367 8,588 4 0,279 3,584 22,521 5 0,274 3,644 22,899 6 0,238 4,209 26,446 7 0,160 6,252 39,284 8 0,158 6,329 39,765 9 0,137 7,294 45,832 10 0,111 9,043 56,818 11 0,110 9,122 57,312 12 0,109 9,171 57,621 13 0,103 9,699 60,939 14 0,099 10,089 63,389 15 0,095 10,524 66,124 16 0,094 10,592 66,553 17 0,093 10,725 67,384 18 0,087 11,525 72,415 Πίνακας 10.1 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων για το Μοντέλο Α. 10.1.3 Διερεύνηση της Απόκρισης του Πλαισίου (Μοντέλο Β) Στην Ενότητα αυτή θα σχηματίσουμε το μητρώο δυσκαμψίας του κτιρίου με χρήση του τρισδιάστατου Μοντέλου Β, που αποτελεί και το πιο πολύπλοκο σημείο της ανάλυσης. Η ποιότητα της προσομοίωσης που επιτυγχάνεται με τη ΜΠΣ είναι συνάρτηση των λεπτομερειών της διακριτοποίησης του κτιρίου, που σημαίνει πρακτικά πως αύξηση του αριθμού των ΒΕ του συστήματος οδηγεί σε υψηλότερο βαθμό ακρίβειας των αποτελεσμάτων. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής: 1. Επιλύεται ο τρισδιάστατος φορέας για 3xN καταστάσεις φόρτισης, όπου N είναι ο αριθμός των ορόφων. Ως σημεία ενεργοποίησης των ΒΕ θεωρούνται τα κέντρα μάζας των ορόφων, που συνήθως κείτονται πάνω σε έναν κατακόρυφο άξονα. Η κάθε φόρτιση αντιστοιχεί σε φορτίο έντασης α ως προς τον αντίστοιχο ΒΕ. Ακολούθως, συλλέγονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης για τους 3xN ΒΕ. Τα αποτελέσματα για κάθε ΒΕ υπό τη μορφή μετατοπίσεων, ομαλοποιημένων με το συντελεστή α, συνθέτουν την αντίστοιχη γραμμή στο μητρώο ευκαμψίας του πλαισίου. 182

Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Κυκλική Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0,856 1,168 7,342 2 0,837 1,195 7,508 3 0,685 1,461 9,178 4 0,275 3,631 22,816 5 0,270 3,702 23,263 6 0,221 4,521 28,408 7 0,156 6,403 40,234 8 0,154 6,494 40,801 9 0,126 7,910 49,700 10 0,106 9,402 59,073 11 0,105 9,488 59,615 12 0,086 11,565 72,663 13 0,081 12,332 77,485 14 0,081 12,387 77,830 15 0,069 14,560 91,485 16 0,069 14,577 91,590 17 0,066 15,112 94,949 18 0,056 17,800 111,841 Πίνακας 10.2 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων για το Μοντέλο Β. 2. Η αντιστροφή του παραπάνω μητρώου ευκαμψίας και η διαίρεση του με τον συντελεστή α δίδει { το μητρώο δυσκαμψίας ως προς του δυναμικούς ΒΕ, δηλαδή αυτούς που αναφέρονται στο διάνυσμα της D o} Εξίσωσης (10.1). Πρέπει να σημειωθεί πως η διάταξη του μητρώου δυσκαμψίας εξαρτάται από { την αρχική διάταξη του μητρώου ευκαμψίας, δηλαδή εάν αυτό διατυπώνεται ως προς το διάνυσμα ή ως { D o} a D o} προς το διάνυσμα. Βέβαια, η εναλλαγή μεταξύ των δύο μορφών γίνεται εύκολα με τη χρήση των αποτελεσμάτων της Ενότητας 9.3.1 και σύμφωνα με τη σχέση K T a A K A, όπου το μητρώο [ K ] αναφέρεται στο διάνυσμα { D o }, το δε μητρώο [ Ka ] στο { D o a }, και [ A] είναι το μητρώο ανακατάταξης. Τέλος, το μητρώο δυσκαμψίας παίρνει τη μορφή K xx K xy K x Ka K yx K yy K y K x K y K (10.2) Για το συγκεκριμένο παράδειγμα, υπολογίσθηκαν αριθμητικά τα εξής υπομητρώα με το πρόγραμμα SAP 2000: 183

K xx 2235634-1255010 269560-38302 5357 271 1977140-1218348 264134-37352 5405 1971656-1217080 261204-29486 1969114-1201356 217934 1862133-889028 694318 2226490-1254942 278024-40766 5838 428 1960603-1216019 272085-39725 6037 1954589-1214573 268716-30860 K yy 1951707-1197180 222631 1836515-873068 674110 K 262916764-147731165 32022690-4625436 674761-50051 232250875-143312430 31355405-4485470 578027 231579798-143155987 31012848-3623246 231257585-141208110 25697392 218363999-104248354 81615267 και K K K K K K y y xy yx x x 0 (10.3) Ο υπολογισμός των συντεταγμένων των ελαστικών κέντρων (σε περίπτωση που αυτά υπάρχουν και είναι μοναδικά), γίνεται με εφαρμογή της Εξίσωσης (9.65) και έτσι καταλήγουμε στα παρακάτω μητρώα: Από τη μορφή των παραπάνω δύο μητρώων, είναι προφανές πως ελαστικά κέντρα υπάρχουν για το κτίριο αυτό, και μάλιστα συμπίπτουν με τα κέντρα μάζας. Κατ επέκταση, υφίσταται και ένας ελαστικός άξονας για το συ- { D o} a γκεκριμένο κτίριο. Ακολούθως, γίνεται σύνθεση του μητρώου μάζας ως προς το διάνυσμα με [ ] t Y 0, X 0 (10.4) M E a M το διαγώνιο μητρώο των μαζών των ορόφων και με [ ] E Mt 0 0 0 Mt 0 0 0 J o το διαγώνιο μητρώων των στροφικών μαζών. Η Εξίσωση (10.5) μας οδηγεί πλέον στο συμπέρασμα πως για το συγκεκριμένο κτίριο, μπορούμε να προχωρήσουμε στην περαιτέρω αποσύζευξη του προσομοιώματός του σε τρία ανεξάρτητα χωρικά μοντέλα ως προς τους άξονες X, Y και Z. Πέρα όμως από τον εμπειρικό αυτό κανόνα, η παραπάνω συμπεριφορά του κτιρίου τεκμηριώνεται και από τη μελέτη των ιδιοτιμών που προκύπτουν από τα εξής ιδιοπροβλημάτα: J o (10.5) 184

K M Ιδιοτιμές του χωρικού συστήματος 1. 0 a a a 2. K 0 xx x Mt yy y t 0 3. K M Ασύζευκτες ιδιοτιμές του x-υποσυστήματος Ασύζευκτες ιδιοτιμές του y-υποσυστήματος 4. K J o 0 Ασύζευκτες ιδιοτιμές του στροφικού -υποσυστήματος Η επίλυση των παραπάνω τεσσάρων προβλημάτων ιδιοτιμής δίδει τις ιδιοπεριόδους ως T 2, 0 για το χωρικό σύστημα και για τα άλλα τρία υποσυστήματα. Από την Εξίσωση (10.5), και σε συνδυασμό με τη θεωρία της γραμμικής άλγεβρας, το σύνολο των ιδιοτιμών του χωρικού συστήματος είναι η ένωση των συνόλων των ιδιοτιμών των τριών ασυζεύκτων υποσυστημάτων. 10.1.4 Απλοποιημένο Μοντέλο με Παραδοχή της Λειτουργίας σε Επίπεδο Μία επιπλέον απλοποίηση του προβλήματος είναι η θεώρηση του φέροντος οργανισμού ως αποτελούμενο από κατακόρυφα στοιχεία που λειτουργούν σε επίπεδο. Με τον τρόπο αυτό, απλοποιείται περαιτέρω η ανάλυση, αλλά ταυτόχρονα δεν λαμβάνονται υπ όψη οι μηχανισμοί παραλαβής δυνάμεων κατά την εγκάρσια διεύθυνση και μέσω της στρέψης. Στο πλαίσια της παρούσης ενότητας, η ανάλυση που βασίζεται στη θεώρηση αυτή οδηγεί σε πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα για το εξαώροφο κτίριο, που ελάχιστα απέχουν από τις προηγούμενες τιμές. Για λόγους συντομίας όμως, δεν θα παρουσιάσουμε εδώ την πορεία των σχετικών υπολογισμών και τα επιμέρους βήματα της ανάλυσης, αφού θα ακολουθήσει μία πλήρης περιγραφή για τις περιπτώσεις μεικτών πολυωρόφων κτιρίων που θα δοθούν στις αμέσως επόμενες ενότητες. 10.2 Ανάλυση Πολυώροφων Πλαισίων με Τοιχώματα Στην παρούσα ενότητα υπολογίζονται με τη ΜΠΣ τα δυναμικά χαρακτηριστικά ενός εξαώροφου, πλαισιακού-τύπου κτιρίου με τοιχώματα πάχους 25 cm. Η κάτοψη ενός τυπικού ορόφου του κτιρίου δίδεται στο Σχήμα 10.8, οι δε κατασκευαστικές λεπτομέρειες είναι όμοιες με αυτές του κτιρίου της προηγούμενης ενότητας. Εχουμε την ίδια ιεραρχία προσομοιωμάτων για το κτίριο όπως και πριν, δηλαδή: 1. το τρισδιάστατο μοντέλο, 2. τα επίπεδα πλαίσια στις δύο κύριες διευθύνσεις και 3. το γραμμικό μοντέλο (πρόβολος). Σχήμα 10.2 Κάτοψη τυπικού ορόφου ενός εξαώροφου κτιρίου με τοιχεία. 185

10.2.1 Διακριτοποίηση με Γραμμικά και Επιφανειακά Στοιχεία (Μοντέλο Α) Για το Μοντέλο Α, η διαδικασία προσομοίωσης της πλάκας, των δοκών και των στύλων δεν αλλάζει από την αντίστοιχη διαδικασία της προηγούμενης ενότητας. Για το τοιχείο χρησιμοποιούνται πεπερασμένα στοιχεία κελύφους διαστάσεων 1.50x1.13 m. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκε το τετράκομβο στοιχείο κελύφους του προγράμματος SAP 2000 με έξι ΒΕ ανά κόμβο, ώστε το τοιχείο να συνεργάζεται με τις δοκούς στο επίπεδο του, καθώς και με τα υπόλοιπα στοιχεία στην εγκάρσια διεύθυνση. Στις περιπτώσεις αυτές, και προκειμένου να ληφθεί υπ όψη ο μηδενισμός της γωνίας στροφής στη σύνδεση δοκών με το τοιχείο, προστίθεται στο άκρο του τοιχείου ένα άκαμπτο γραμμικό στοιχείο μήκους 1.5 m. Οσον αφορά στα αδρανειακά χαρακτηριστικά του πλαισίου, αυτά αρχικά εισάγονται ως κατανεμημένες μάζες των επιμέρους πεπερασμένων στοιχείων, μέσω του προσδιορισμού της πυκνότητας μάζας του υλικού. Ο Πίνακας 10.3 παρουσιάζει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του κτιρίου, όπως αυτά υπολογίστηκαν από την ανάλυση του προβλήματος ιδιοτιμών (eigenvalue problem) με το πρόγραμμα SAP 2000. 10.2.2 Διακριτοποίηση με Γραμμικά Στοιχεία (Μοντέλο Β) Στην περίπτωση του Μοντέλου Β, τα τοιχώματα προσομοιώνονται ως ισοδύναμα υποστυλώματα με τη χρήση γραμμικών στοιχείων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.3. Επιπλέον, στις στάθμες των ορόφων, και για το τμήμα που ορίζεται από τον ισοδύναμο κεντροβαρικό στύλο μέχρι το πέρας του μήκους του τοιχώματος, χρησιμοποιούνται στερεοί βραχίονες ώστε να αποτραπεί η στροφή της διατομής. Οι πλάκες παρουσίαζουν διαφραγματική λειτουργία που αποδίδεται με έμμεσο τρόπο, ως μία πρόσθετη εξίσωση για τους ΒΕ του κάθε ορόφου. Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0,470 2,129 13,377 2 0,466 2,146 13,481 3 0,313 3,199 20,098 4 0,125 7,971 50,086 5 0,123 8,102 50,907 6 0,108 9,300 58,435 7 0,100 10,028 63,009 8 0,095 10,510 66,034 9 0,089 11,195 70,338 10 0,088 11,372 71,450 11 0,083 12,075 75,869 12 0,080 12,433 78,116 13 0,080 12,519 78,662 14 0,079 12,659 79,539 15 0,079 12,695 79,768 16 0,078 12,743 80,069 17 0,077 12,919 81,174 18 0,077 12,956 81,402 Πίνακας 10.3 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων για το Μοντέλο Α. 186

Σχήμα 10.3 Διακριτοποίηση του εξαώροφου πλαισίου με χρήση γραμμικών στοιχείων. Οσον αφορά τα αδρανειακά χαρακτηριστικά της κατασκευής, εισάγονται συγκεντρωμένες μάζες στα κέντρα βάρους των ορόφων που κείτονται πάνω σε έναν κατακόρυφο άξονα (θεωρώντας ως αμελητέα τη διαφοροποίηση που υπάρχει σε κάθε όροφο εξαιτίας της παρουσίας των διακριτών συγκεντρωμένων μαζών των κατακόρυφων στοιχείων). Οι δοκοί, εκτός από το βάρος τους, δέχονται και τα φορτία των τοιχοποιιών, οι οποίες 2 θεωρούνται δρομικές με 2.10 kn / m. Το καθαρό ύψος που καλύπτει η τοιχοποιία είναι h3.4 0.75 2.65 m, πλην των τοιχοποιιών του τελευταίου ορόφου που έχουν ύψος h3.4 2 0.75 0.95 m. Το συνολικό βάρος του δώματος είναι B 4350.83kN, ενώ το βάρος του κάθε ενός από τους υπόλοιπους ορόφους είναι Bo 5449.06 kn. Συνεπώς, η συνολική μάζα του δώματος είναι m 4350.83 9.81 443.51tn, η δε ροπή 2 2 2 αδράνειας της μάζας (στροφική αδράνεια) είναι J 443.51 (18.55 24.55 ) 12 34993.1tn m. Για τους υπόλοιπους ορόφους, έχουμε πως οι μάζες είναι m 5449.06 9.81 555.46 tn και οι στροφικές ροπές αδράνειας είναι 2 2 2 J 555.46 (18.55 24.55 ) 12 43826.17 tn m. Συνοψίζοντας, τα μητρώα μάζας του δώματος και των ορόφων έχουν την εξής μορφή: 443.51 0 0 555.46 0 0 M 0 443.51 0, M 0 555.46 0 (10.6) 0 0 34993.1 0 0 43826.17 Ακολουθεί η χρήση του προγράμματος SAP 2000 για την ανάλυση του προβλήματος ιδιοτιμών, που δίδει τα παρακάτω αποτελέσματα στον Πίνακα 10.4. 187

10.2.3 Λεπτομερής Διερεύνηση της Απόκρισης του Κτιρίου (Μοντέλο Β) Στην παρούσα υπο-ενότητα θα σχηματίσουμε το μητρώο δυσκαμψίας του κτιρίου με χρήση του τρισδιάστατου Μοντέλου Β. Η ποιότητα της προσομοίωσης που επιτυγχάνεται με τη ΜΠΣ είναι συνάρτηση της πυκνότητας της διακριτοποίησης του κτιρίου, με την έννοια ότι αύξηση του αριθμού των ΒΕ του συστήματος οδηγεί σε υψηλότερο βαθμό ακρίβειας. Σημειώνουμε τέλος πως αύξηση των ΒΕ της διακριτοποίησης για καλύτερη ακρίβεια δεν αλλάζει το τελικό μέγεθος των μητρώων που επιζητούμε εδώ, διότι όλα αυτά αναφέρονται σε δυναμικό σύστημα με 3 ΒΕ ανά όροφο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.4. Επίσης, η διαδικασία που ακολουθείται εδώ έχει ήδη διατυπωθεί στην προηγούμενη υπο-ενότητα. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα συνεπώς, υπολογίσθηκαν τα εξής υπομητρώα με το πρόγραμμα SAP 2000: Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Κυκλική Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0.4695 2.1299 13.3825 2 0.4657 2.1473 13.4916 3 0.2992 3.3426 21.0024 4 0.1182 8.4574 53.1396 5 0.1179 8.4830 53.3004 6 0.0727 13.7460 86.3686 7 0.0564 17.7183 111.3272 8 0.0564 17.7413 111.4717 9 0.0374 26.7039 167.7856 10 0.0374 26.7275 167.9337 11 0.0343 29.1358 183.0657 12 0.0294 33.9745 213.4681 13 0.0294 33.9917 213.5760 14 0.0259 38.6415 242.7918 15 0.0259 38.6478 242.8313 16 0.0227 43.9704 276.2740 17 0.0179 55.8630 350.9979 18 0.0158 63.4152 398.4494 Πίνακας 10.4 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων για το Μοντέλο Β. 188

Σχήμα 10.4 Δυναμικοί ΒΕ του πολυώροφου κτιρίου. 1.6512-0.8906 0.1161 0.0251 0.0078 0.0042-0.8906 1.5507-0.9119 0.1083 0.0213 0.0139 0.1161-0.9119 1.5429-0.9157 0.1010 0.0444 K xx 0.0251 0.1083-0.9157 1.5355-0.9379 0.1769 0.0078 0.0213 0.1010-0.9379 1.4492-0.6433 0.0042 0.0139 0.0444 0.1769-0.6433 0.4026 7 10 7 K yy 10 1.6504-0.8906 0.1169 0.0248 0.0078 0.0043-0.8906 1.5492-0.9116 0.1090 0.0210 0.0140 0.1169-0.9116 1.5413-0.9154 0.1017 0.0442 0.0248 0.1090-0.9154 1.5338-0.9373 0.1773 0.0078 0.0210 0.1017-0.9373 1.4472-0.6423 0.0043 0.0140 0.0442 0.1773-0.6423 0.4013 7 K 10 350.985-188.957 23.848 5.906 1.718 0.931-188.957 330.564-194.000 22.137 5.055 3.067 23.848-194.000 328.856-194.857 20.513 10.165 5.906 22.137-194.857 327.175-199.896 37.822 1.718 5.055 20.513-199.896 308.655-136.477 0.931 3.067 10.165 37.822-136.477 84.240 189

7 K y 10 0.0581-0.0345 0.0104-0.0020 0.0003 0.0003-0.0345 0.0484-0.0326 0.0100-0.0019 0.0006 0.0104-0.0326 0.0480-0.0325 0.0097-0.0011-0.0020 0.0100-0.0325 0.0478-0.0315 0.0079 0.0003-0.0019 0.0097-0.0315 0.0417-0.0182 0.0003 0.0006-0.0011 0.0078-0.0182 0.0104 και K y K y, K xy K K K yx x x 0 (10.7) Εφαρμόζοντας τώρα τη σχέση της Εξίσωσης (9.65) για τον υπολογισμό των συντεταγμένων των ελαστικών κέντρων (εάν αυτά υπάρχουν), καταλήγουμε στα παρακάτω μητρώα: Από την μορφή του μητρώου [ X ] E γίνεται κατανοητό πως ελαστικά κέντρα δεν υπάρχουν, και κατ επέκταση δεν υπάρχει και ελαστικός άξονας για το συγκεκριμένο κτίριο. { D o} a Ακολούθως, γίνεται σύνθεση του μητρώου μάζας ως προς το διάνυσμα : Έχουμε ως [ M ] t το διαγώνιο μητρώο των μαζών των ορόφων (στην κύρια διαγώνιο) και ως [ J o ] το διαγώνιο μητρών των στροφικών μαζών. Η ύπαρξη των μη-μηδενικών μητρώων K y K y 0 οδηγεί στο συμπέρασμα πως δεν είναι δυνατή η χωρική αποσύζευξη του συστήματος. Επειδή τα κατακόρυφα στοιχεία (πλαίσια, τοιχεία) είναι τοποθετημένα κατά μήκος των δυο κάθετων διευθύνσεων x και y και η λειτουργία τους κατά κύριο λόγο περιορίζεται στο επίπεδο, θα μπορούσε κανείς να συμπεράνει τη δυνατότητα ψευδό-χωρικής αποσύζευξης και μόνο. Πέρα όμως του εμπειρικού αυτού κανόνα, η λειτουργία του κτιρίου τεκμηριώνεται και από τη σύγκριση στον Πίνακα 10.7 των ιδιοτιμών που προκύπτουν από τα εξής ιδιοπροβλημάτα: 1. K a a Ma 0 2. K xx x Mt 0 3. K yy y Mt 0 0 4. Y 0, X E (10.8) E M 0.0366-0.0086 0.0022 0.0002 0.0001-0.0004 0.0044 0.0215-0.0041 0.0032 0.0001-0.0015 0.0109-0.0084 0.0264-0.0020 0.0016-0.0028 0.0089-0.0014-0.0031 0.0296-0.0065-0.0019 0.0094-0.0031 0.0038 0.0014 0.0193-0.0053 0.0100-0.0025 0.0020 0.0088-0.0117 0.0186 a Mt 0 0 0 Mt 0 0 0 J Ιδιοτιμές του χωρικού συστήματος (10.9) Ασύζευκτες ιδιοτιμές του x-υποσυστήματος Ασύζευκτες ιδιοτιμές του y-υποσυστήματος K J o Ασύζευκτες ιδιοτιμές του στροφικού ψ-υποσυστήματος o 190

Ιδιομορφή T α Τ x Τ y Τ ψ 1 0.4703-0.4703-2 0.4699 0.4699 - - 3 0.2998 - - 0.2998 4 0.1183-0.1183-5 0.1179 0.1179 - - 6 0.0728 - - 0.0728 7 0.0564-0.0564-8 0.0564 0.0564 - - 9 0.0375-0.0375-10 0.0374 0.0374 - - 11 0.0343 - - 0.0343 12 0.0294-0.0294-13 0.0294 0.0294 - - 14 0.0259-0.0259-15 0.0259 0.0259 - - 16 0.0227 - - 0.0227 17 0.0179 - - 0.0179 18 0.0158 - - 0.0158 Πίνακας 10.7 Σύγκριση ασύζευκτων και συζευγμένων ιδιοπεριόδων. Από την επίλυση των παραπάνω τεσσάρων προβλημάτων ιδιοτιμών υπολογίζουμε τις ιδιοπεριόδους ως T 2, 0 για το χωρικό σύστημα και για κάθε ένα από τρία υποσυστήματα. Τα αποτελέσματα του Πίνακα 10.7 επιβεβαιώνουν την εμπειρική προσέγγιση. Συγκεκριμένα, ακριβής σύμπτωση των τιμών δεν σημαίνει ταυτότητα, αλλά απλώς πολύ μικρή διαφορά μεταξύ των τιμών που δεν επηρεάζει τα πρώτα τέσσερα σημαντικά δεκαδικά ψηφία. Η μικρή απόκλιση που παρατηρείται μεταξύ των τιμών των ιδιοπεριόδων των Πινάκων 10.6 και 10.7 είναι αναμενόμενη, και οφείλεται αποκλειστικά στην αριθμητική ακρίβεια που συνδέεται με τον τρόπο εξαγωγής του μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος, με αντίστροφη του μητρώου ευκαμψίας και χρήση του συντελεστή α. 10.2.4 Απλοποιημένο Μοντέλο με την Παραδοχή της Λειτουργίας στο Επίπεδο Στην παρούσα υπο-ενότητα προσδιορίζονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά του κτιρίου, θεωρώντας πως ο φέρων οργανισμός αποτελείται από κατακόρυφα στοιχεία που λειτουργούν στο επίπεδο. Με τον τρόπο αυτό, απλοποιείται περαιτέρω η ανάλυση, αλλά ταυτόχρονα δεν λαμβάνονται υπ όψη οι μηχανισμοί παραλαβής δυνάμεων κατά την εγκάρσια διεύθυνση και μέσω της στρέψης. Εδώ θα υπολογίσουμε τα μητρώα δυσκαμψίας των πλαισίων που δίδονται στα Σχήματα 10.11 και 10.12. Πιο συγκεκριμένα, κατά την y-διεύθυνση έχουμε ένα μικτό πλαίσιο (ΠΥ1) και ένα αμιγές πλαίσιο (ΠΥ2). Αντίστοιχα για την x-διεύθυνση, έχουμε να υπολογίσουμε τα μητρώα δυσκαμψίας δυο ακόμα πλαισίων, του μικτού (ΠΧ1) και του αμιγούς (ΠΧ2). 191

Σχήμα 10.5 Πλαίσια (μικτό και αμιγές) κατά τη διεύθυνση y. Σχήμα 10.6 Πλαίσια (μικτό και αμιγές) κατά τη διεύθυνση x. Οπως είδαμε και προηγουμένως στον Πίνακα 10.2, τα μητρώα δυσκαμψίας πλαισίων μπορούν να διατυπωθούν είτε με τις μεθόδους της κλασσικής στατικής (μέθοδος δυνάμεων, μέθοδος μετακινήσεων), είτε με τη ΜΠΣ, χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ευκαμψίας και δυσκαμψίας. Σε γενικές γραμμές, η ακρίβεια των αποτελεσμάτων εξαρτάται από τον αριθμό των ΒΕ που θα χρησιμοποιηθούν για τη διατύπωση των μητρώων δυσκαμψίας. Ως παράδειγμα, αναφέρουμε πως τα τοιχεία μπορούν να θεωρηθούν ως συνεχή τρισδιάστατα σώματα, ως συνεχή επιφανειακά σώματα, ως επιφανειακά σώματα με πεπερασμένο αριθμό ΒΕ ή ακόμα και ως ισοδύναμοι στύλοι. Η παραπάνω ιεράρχηση γίνεται με βάση τον φθίνοντα αριθμό ΒΕ, αλλά σε κάθε περίπτωση το τελικό αποτέλεσμα είναι ένα μητρώο με έξι ΒΕ. Εδώ επιλέγουμε το μοντέλο του ισοδύναμου στύλου με άκαμπτα δοκάρια στις παρειές του τοιχείου, που είναι η απλούστερη αποδεκτή παραδοχή. Τα μητρώα δυσκαμψίας των τεσσάρων επιπέδων πλαισίων υπολογίσθηκαν με το πρόγραμμα SAP 2000 και παρουσιάζονται παρακάτω: K X 1 8190001.9 4402766.9 533069.4 140099.0 42413.28 26099.7 7745883.2 4521368.3 491021.9 117674.6 79407.9 7704164.2 4543996.5 450391.2 248810.5 7662605.6 4661952.8 869880.8 7251726.2 3211531.7 1979811.5 192

K X 2 563083.9-317832.5 68809.7-9752.7 1369.5 15.1 501377.7-309716.4 67635.1-9511.6 1242.4 500582.1-309498.1 66929.8-7658.4 499927.8-305358.9 55656.6 472006.0-225193.1 175779.2 (10.10) 6 6 5 5 4 4 8.077 10 4.3410 5.2110 1.41210 4.22410 2.62910 6 6 5 5 4 7.64410 4.4610 4.79110 1.187 10 7.94610 6 6 5 5 7.60310 4.48210 4.38610 2.497 10 K Y 1 6 6 5 Το επόμενο βήμα αφορά τον μετασχηματισμό των παραπάνω μητρώων από το ΤΣΣ στο ΚΣΣ. Οπως φαίνεται και στα Σχήματα 10.11 και 10.12, τα παραπάνω μητρώα αναφέρονται στις οριζόντιες μετακινήσεις των ορόφων T ενός πλαισίου, οι οποίες αποτελούν και το διάνυσμα των τοπικών ΒΕ, δηλαδή { D} = { u1, u2,..., u N }, όπου N = 6 είναι ο συνολικός αριθμός των ορόφων. Το μητρώο μετασχηματισμού από το τοπικό σύστημα συντεταγμένων στο ΚΚΣ είναι να μητρώο Nx3N της μορφής T Cos( ) Sin( ) X Sin( ) Y Cos( ), όπου τα τρία υπομητρώα είναι NxN και διαγώνια, οι δε συντεταγμένες ενός σημείου του κατακόρυφου στοιχείου στον n-ιοστό όροφο είναι ( XY, ). Οπως δείξαμε και στο Κεφάλαιο 9 για επίπεδα πλαίσια, το μητρώο [ T ] δίνει την απόσταση dj από το σημείο O j του άξονα του πλαισίου στην στάθμη του ορόφου j. Συνεπώς, το μητρώο μετασχηματισμού παίρνει τη μορφή T Cos( ) Sin( ) d. Τώρα, το μητρώο δυσκαμψίας στο ΚΣΣ, που έχει μεγέθος 3Nx3N, δίδεται από τη σχέση T K T K T. Μετά τον μετασχηματισμό των μητρώων των εννέα πλαισίων που απαρτίζουν το πολυώροφο κτίριο, καταλήγουμε στο πλήρες μητρώο δυσκαμψίας που προκύπτει από το άθροισμα των επιμέρους μητρώων ως εξής: K y K y K xy K yx K x K x 0 (10.11) και 7.56110 4.610 8.59410 6 6 7.15610 3.167 10 6 1.94410 5 5 4 3 3 4.45310-2.51010 5.56110-8.15410 1.16810 85.61 5 5 4 3 3 3.92110-2.43210 5.44210-7.94510 1.207 10 3.90910-2.42910 5.37410-6.17210 3.90310-2.39410 4.45310 5 5 3.67310-1.74610 5 1.34810 5 5 4 3 K Y 2 5 5 4 K xx 7 6 6 5 4 4 1.75110-9.44110 1.20410 2.607 10 8.757 10 5.22310 7 6 6 5 5 1.64910-9.66210 1.117 10 2.16310 1.61310 7 6 6 5 1.64110-9.707 10 1.03510 4.82310 7 6 6 1.63310-9.93510 1.85110 7 6 1.54510-5.42910 6 4.31110 193

K xx K yy K yy 1.64910-9.66210 1.117 10 2.16310 1.61310 7 6 6 5 1.64110-9.707 10 1.03510 4.82310 7 6 6 1.63310-9.93510 1.85110 7 6 1.54510-5.42910 6 4.31110 7 6 6 5 4 4 1.74910-9.43310 1.20910 2.57910 8.79910 5.28410 7 6 6 5 4 4 1.74910-9.433 7 6 6 5 5 1.646 10 1.209-9.64910 10 2.579 1.121 10 10 8.799 2.13610 10 5.284 1.62510 10 7 6 6 5 5 7 6 6 5 1.64610-9.649 1.638 10 1.121-9.69310 10 2.136 1.038 10 10 1.625 4.80910 10 7 6 6 5 1.63810-9.693 7 6 6 1.629 10 1.038-9.91910 10 4.809 1.852 10 10 7 6 6 1.629 10-9.919 7 6 1.541 10 1.852-6.85710 10 7 6 1.54110-6.857 4.293 10 6 4.29310 K 9 9 8 7 7 6 3.99610-2.17010 3.12010 5.89510 1.72010 9.320 10 9 9 8 7 7 3.71910-2.22210 2.94710 5.04210 3.07910 9 9 8 8 3.70210-2.22910 2.78110 1.02110 9 9 8 3.68510-2.22810 4.52810 9 9 3.43110-1.50110 8 9.03410 Στο επόμενο βήμα εφαρμόζεται η Εξίσωση (9.65) για τον υπολογισμό των συντεταγμένων των ελαστικών Στο επόμενο βήμα εφαρμόζεται κέντρων και καταλήγουμε σε μηδενικά μητρώα [ Y ] η,[ ] E X Εξίσωση (9.65) για τον υπολογισμό των E. Κατά συνέπεια, ο κάθε όροφος έχει ένα μοναδικό ελαστικό συντεταγμένων κέντρο, και μάλιστα των ελαστικών είναι το κέντρων ίδιο για όλους και καταλήγουμε τους ορόφους σε και μηδενικά συμπίπτει μητρώα με τα Yκέντρα E, Xβάρους E. των. Μία πιο Κατά προσεκτική συνέπεια, εξέταση ο κάθε του όροφος παραπάνω έχει ένα αποτελέσματος μοναδικό ελαστικό δείχνει κέντρο, πως αυτό και μάλιστα οφείλεται είναι στο το ότι ίδιο τα μητρώα K y σύζευξης των μεταφορικών και στροφικών ΒΕ Ky και για όλους τους ορόφους και συμπίπτει με τα κέντρα βάρους, είναι των. μηδενικά. Μία πιο προσεκτική Κατ επέκταση, εξέταση παραπάνω αποτελέσματα του παραπάνω υποδηλώνουν αποτελέσματος πως υπάρχει δείχνει πως ελαστικός αυτό οφείλεται άξονας, αλλά στο ότι γνωρίζουμε τα μητρώα εκ σύζευξης των προτέρων των πως το συμπεράσμα αυτό είναι λανθασμένο και βρίσκεται σε αντίθεση με τους υπολογισμούς της προηγούμενης υπο-ενότητας. μεταφορικών Η τελική και εξήγηση στροφικών βέβαια ΒΕ είναι K y πως και η ύπαρξη Ky ελαστικού, είναι μηδενικά. άξονα οφείλεται Κατ επέκταση, στην παραδοχή τα της δράσης του κτιρίου ως μία σειρά από επίπεδα πλαίσια. παραπάνω αποτελέσματα Το πλήρες μητρώο μάζας [ M ] υποδηλώνουν πως υπάρχει ελαστικός άξονας, αλλά γνωρίζουμε εκ των προτέρων πως το συμπεράσμα του κτιρίου αυτό είναι είναι το λανθασμένο ίδιο με αυτό και της βρίσκεται υπο-ενότητας σε αντίθεση 10.2.2. με Τώρα τους μπορεί να γίνει η επίλυση υπολογισμούς του προβλήματος της προηγούμενης ιδιοτιμών, υπο-ενότητας. τα αποτελέσματα Η τελική της εξήγηση οποίας παρουσιάζονται βέβαια είναι πως στον η ύπαρξη Πίνακα 10.5 για τις εξής περιπτώσεις: 1. ελαστικού K άξονα οφείλεται 0 στην παραδοχή της δράσης του κτιρίου ως μία σειρά από επίπεδα xx x Mt πλαίσια. Ασύζευκτες ιδιοτιμές του x-υποσυστήματος Kyy y Mt 0 2. Ασύζευκτες ιδιοτιμές 235 του y-υποσυστήματος K J 0 3. o Ασύζευκτες ιδιοτιμές του ψ-υποσυστήματος 194

Ιδιομορφή T α Τ x Τ y Τ ψ 1 0.4703-0.4617-2 0.4699 0.4496 - - 3 0.2998 - - 0.3030 4 0.1183-0.1141-5 0.1179 0.1137 - - 6 0.0728 - - 0.0710 7 0.0564-0.0545-8 0.0564 0.0544 - - 9 0.0375-0.0363-10 0.0374 0.0362 - - 11 0.0343 - - 0.0330 12 0.0294-0.0286-13 0.0294 0.0285 - - 14 0.0259-0.0251-15 0.0259 0.0251 - - 16 0.0227 - - 0.0210 17 0.0179 - - 0.0170 18 0.0158 - - 0.0150 Πίνακας 10.5 Σύγκριση ιδιοπεριόδων για επίπεδα και γραμμικά μοντέλα. Σχήμα 10.7 Γραμμικά μοντέλα προβόλου με μεταφορικούς και στρεπτικούς ΒΕ. 195

Κλείνοντας, συμπεραίνουμε πως τα συστήματα που προσομοιώνονται από τα τρία ζεύγη υπομητρώων Kxx, M t, Kyy, Mt, K, Jo μπορούν να θεωρηθούν ως τρία ανεξάρτητα γραμμικά μοντέλα (πρόβολοι), με δύο μεταφορικούς και έναν στροφικό ΒΕ ανά κόμβο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.7. Η λογική που οδηγεί στα προσομοιώματα αυτού του τύπου στηρίζεται στην αρχική παραδοχή πως Ky Ky Kxy K yx Kx Kx 0, η οποία φυσικά δεν είναι ακριβής για το χωρικό μοντέλο. Είναι όμως αποδεκτή στα πλαίσια των πιο απλοποιημένων αναλύσεων, η ορθότητα των οποίων είναι συνάρτηση του βαθμού συμμετρίας της κάτοψης του συγκεκριμένου κτιρίου. 10.3 Ανάλυση Πολυώροφων Πλαισίων με Πυρήνα Στην προηγούμενη υπο-ενότητα μελετήθηκε ένα πολυώροφο κτίριο με μεμονωμένα κατακόρυφα τοιχεία που παρουσίαζαν επίπεδη λειτουργία. Εδώ θα μελετηθεί το εξαώροφο κτίριο του Σχήματος 10.14 με πυρήνα, που απαρτίζεται από σύμπλεγμα κατακόρυφων στοιχείων με χωρική λειτουργία, και προσδίδει καλή αντισεισμική συμπεριφορά στα συνήθη οικοδομικά έργα. Σχήμα 10.8 Κάτοψη τυπικού ορόφου εξαώροφου κτιρίου με πυρήνα. Τα κτίριο αυτό θα αναλυθεί μέ χρήση απλοποιημένων μοντέλων, και ταυτόχρονα θα εξετασθεί ο βαθμός ακρίβειας των προσεγγίσεων αυτών. Οσον αφορά τις ιδιότητες του παραπάνω κτιρίου, έχουμε στύλους με διαστάσεις 55x55 cm, δοκούς με διαστάσεις 75x25 cm, τοιχεία που συνθέτουν τον πυρήνα με πάχος 25 cm, και πλάκες δαπέδου πάχους 18 cm. Επίσης, υπάρχει δρομικού-τύπου τοιχοπλήρωση πάχους 14 cm. Τέλος, το ύψος μεταξύ δύο ορόφων είναι σταθερό στα 3.4 m, και ο τύπος σκυροδέματος είναι C 20 25. 196

10.3.1 Διακριτοποίηση με Γραμμικά και Επιφανειακά Στοιχεία (Μοντέλο Α) Με εξαίρεση τον πυρήνα, η προηγούμενη διακριτοποίηση για το εξαώροφο πλαίσιο (Μοντέλο Α) της Ενότητας 10.2.1 παραμένει η ίδια. Τα στοιχεία κελύφους που χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση της πλάκας με το πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων SAP 2000 είναι διαστάσεων 1.50x1.50 m. Για τον πυρήνα χρησιμοποιούνται ξανά στοιχεία κελύφους διαστάσεων 1.50x1.33 m, τα οποία όμως ενεργοποιούν και τους έξι ΒΕ ανά κόμβο. Οπως και στην περίπτωση του τοιχείου, χρησιμοποιούνται άκαμπτα στοιχεία δοκού στις γωνίες του πυρήνα για να ληφθεί υπ όψη ο μηδενισμός της γωνίας στροφής στη σύνδεση του με τις δοκούς. Οσον αφορά τα αδρανειακά χαρακτηριστικά του κτιρίου, η μάζα προσδιορίζεται μέσω της πυκνότητας του υλικού. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης ιδιοτιμών για τα δυναμικά χαρακτηριστικά του κτιρίου παρουσιάζονται στον Πίνακα 10.6, ενώ στο Σχήμα 10.9 φαίνεται η χωρική απεικόνιση ενός τυπικού ορόφου. Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Κυκλική Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0.399 2.500 15.710 2 0.337 2.968 18.648 3 0.303 3.305 20.769 4 0.137 7.290 45.807 5 0.102 9.817 61.679 6 0.096 10.404 65.369 7 0.095 10.575 66.447 8 0.092 10.891 68.427 9 0.089 11.292 70.947 10 0.086 11.663 73.282 11 0.083 12.071 75.849 12 0.083 12.103 76.045 13 0.080 12.534 78.760 14 0.080 12.555 78.888 15 0.078 12.874 80.890 16 0.077 13.044 81.959 17 0.077 13.048 81.984 18 0.076 13.190 82.876 Πίνακας 10.6 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων (Μοντέλο Α). 197

Σχήμα 10.9 Τρισδιάστατη απεικόνιση ενός τυπικού ορόφου του Μοντέλου Α. 10.3.2 Διακριτοποίηση με Γραμμικά Στοιχεία (Μοντέλο Β) Τα επίπεδα τοιχεία που συνθέτουν τον πυρήνα προσομοιώθηκαν στο Μοντέλο Α με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία κελύφους, που προσφέρουν καλύτερη ακρίβεια αποτελεσμάτων. Στην παρούσα περίπτωση, θα απλοποιηθεί η προσομοίωση των τοιχείων με χρήση γραμμικών στοιχείων. Η προσέγγιση αυτή προσφέρει πολύ μικρότερο υπολογιστικό όγκο σε σχέση με το Μοντέλο Α, με την προϋπόθεση βέβαια πως αποτελέσματα θα είναι αξιόπιστα. Συνεπώς, τα κατακόρυφα τοιχεία προσομοιώνονται με ισοδύναμους στύλους, που τοποθετούνται στον κεντροβαρικό άξονα του τοιχώματος. Τα μεγέθη διατομής και το ύψος του ισοδύναμου υποστυλώματος εξισώνονται με τα αντίστοιχα μεγέθη του τοιχείου. Στις στάθμες κάθε ορόφου, από τον ισοδύναμο στύλο ως τις παρειές του εκάστοτε τοιχώματος, τοποθετούνται στερεοί βραχίονες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.10. Οι βραχίονες συνδέουν ολόσωμα το τοιχείο με τον υπόλοιπο φέροντα οργανισμό του κτιρίου, ενώ παράλληλα αντιπροσωπεύουν τη διατομή που ορίζεται από το πάχος του τοιχείου και το ύψος του ορόφου. Σκοπός τους είναι να εξασφαλίσουν τη λειτουργία του τοιχείου μέσα στο επίπεδό του, που στην πράξη επιτυγχάνεται μέσω και των διαφραγμάτων των τριών υπόλοιπων ανεξάρτητων τοιχείων (λειτουργία πυρήνα). Για τον σκοπό αυτό, εισάγονται και εμπειρικού-τύπου αυξητικοί πολλαπλασιαστές των ελαστικών χαρακτηριστικών των τοιχείων, ώστε να προκύψει μία ισοδύναμη διατομή που θα δώσει τις απαιτούμενες καμπτικές, διατμητικές και αξονικές παραμορφώσεις. Σχήμα 10.10 Προσομοίωση τοιχώματος με γραμμικά στοιχεία. 198

Η επιλογή των κατάλληλων αυξητικών συντελεστών είναι σημαντική προκειμένου να επιτύχουμε την καλύτερη δυνατή προσομοίωση. Παρατηρούμε πρώτα πως τα τοιχεία παρουσιάζουν λόγο ύψους προς μήκος 3,22/6 = 0,536, δηλαδή πρόκειται για χαμηλά, ισχυρού διατμητικού χαρακτήρα τοιχεία. Αυτό σημαίνει πως οι βραχίονες σύζευξης δεν είναι απόλυτα άκαμπτοι σε σχέση με τους ισοδύναμους στύλους που προσομοιώνουν το τοιχείο. Αντιθέτως, η μεταξύ των δύο γραμμικών στοιχείων αναλογία καθιστά τον ισοδύναμο στύλο περισσότερο άκαμπτο σε σύγκριση με τον βραχίονα. Η ροπή αδράνειας ως προς τον ισχυρό άξονα του ισοδύναμου 4 στύλου είναι I = 0, 25x 12 = 4,50 m, η δε ροπή αδράνειας ως προς τον ισχυρό άξονα των βραχιόνων είναι 4 I (0,253,40) 12 0,8188m. Παρατηρούμε πως η καμπτική δυσκαμψία των ισοδύναμων στύλων και του βραχίονα είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, οπότε κρίνεται σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν παρόμοιοι πολλαπλασιαστές για να μην υπάρξει υπερτίμηση της πραγματικής καμπτικής δυσκαμψίας του βραχίονα. Επίσης, η ροπή αδράνειας ως προς τον ισχυρό άξονα των γραμμικών στοιχείων τύπου Rigid του προγράμματος SAP 4 2000 είναι I (0, 250,75) 12 0,0088m. Τέλος, ως πολλαπλασιαστής των καμπτικών δυσκαμψιών των στοιχείων Rigid επιλέγεται η τιμή 100, που κρίνεται ικανοποιητική γιατί διατηρεί δυσκαμψίες ίδιας τάξης μεγέθους σε σχέση με τα πραγματικά τοιχώματα. Οι μάζες των ορόφων θεωρούνται συγκεντρωμένες στο γεωμετρικό κέντρο βάρους της κάτοψης. Μετά από τις σχετικές πράξεις, η μάζα δώματος υπολογίζεται ως m 443.51tn, η δε στροφική ροπή αδρανείας ως 2 J 34993.1tn m. Αντίστοιχα έχουμε για τους υπόλοιπους ορόφους mo 555.46 tn και 2 Jo 43826.17 tn m. Η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών με το SAP 2000 για το εξαώροφο κτίριο με πυρήνα συνοψίζεται στον Πίνακα 10.7. Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Κυκλική Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0.468 2.136 13.422 2 0.354 2.822 17.731 3 0.327 3.057 19.206 4 0.149 6.698 42.082 5 0.099 10.075 63.303 6 0.092 10.777 67.712 7 0.086 11.652 73.210 8 0.061 16.502 103.686 9 0.051 19.697 123.758 10 0.048 20.770 130.500 11 0.047 21.025 132.107 12 0.042 23.81 149.603 13 0.035 28.420 178.571 14 0.033 30.281 190.262 15 0.028 35.542 223.317 16 0.026 37.850 237.819 17 0.025 40.120 252.082 18 0.023 42.719 268.414 Πίνακας 10.7 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων (Μοντέλο Β). 199

10.3.3 Διακριτοποίηση με Γραμμικά Στοιχεία και Ολόσωμο Πυρήνα (Μοντέλο Γ) Μετά την ανάλυση με το απλοποιημένο γραμμικό μοντέλο, εδώ θα προχωρήσουμε σε μία νέα προσομοίωση με γραμμικά στοιχεία (Μοντέλο Γ). Η διαφορά από την προηγούμενη περίπτωση είναι στον τρόπο προσομοίωσης του πυρήνα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.11. Πιο συγκεκριμένα, η προσομοίωση του πυρήνα, σε αντίθεση με το Μοντέλο Β όπου έγινε σύνθεση τεσσάρων ξεχωριστών τοιχείων, θα γίνει τώρα με χρήση ολόσωμου πυρήνα. Αυτή η προσομοίωση απαιτεί έναν ισοδύναμο στύλο κλειστής διατομής των ιδίων διαστάσεων με τον πραγματικό πυρήνα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.12. Περιμετρικά του πυρήνα και στη στάθμη κάθε ορόφου, χρησιμοποιούνται πάλι στερεοί βραχίονες (δηλαδή άκαμπτα στοιχεία δοκού), με σκοπό να προσδώσουν την απαιτούμενη δυσκαμψία των τοιχείων του πυρήνα καθ ύψος της διατομής. Η σύνδεση του ισοδύναμου στύλου κλειστής διατομής με το υπόλοιπο πλαισιακό μοντέλο δεν γίνεται μέσω της παρεμβολής κάποιου γραμμικού στοιχείου, αλλά με τη βοήθεια της διαφραγματικής λειτουργίας των πλακών. Θεωρούμε συνεπώς πως ο κόμβος του ισοδύναμου στύλου στη στάθμη κάθε ορόφου ανήκει στο διάφραγμα του ορόφου. Τα αποτελέσματα της νέας ανάλυσης του προβλήματος ιδιοτιμών με το πρόγραμμα SAP 2000 δίδονται στον Πίνακα 10.8. Σχήμα 10.11 Τρισδιάστατο μοντέλο του εξαώροφου κτιρίου με πυρήνα (Μοντέλο Γ). Σχήμα 10.12 Προσομοίωση του πυρήνα με γραμμικό στοιχείο κλειστής διατομής. 200

Ιδιομορφή Ιδιοπερίοδος Κυκλική Συχνότητα Ιδιοσυχνότητα ( Hz ) ( rad sec) 1 0.387 2.581 16.218 2 0.340 2.942 18.488 3 0.293 3.410 21.423 4 0.121 8.244 51.798 5 0.086 11.580 72.762 6 0.080 12.487 78.457 7 0.073 13.736 86.307 8 0.054 18.510 116.301 9 0.044 22.601 142.003 10 0.043 23.094 145.104 11 0.040 24.740 155.445 12 0.039 25.465 160.000 13 0.031 32.711 205.530 14 0.029 34.928 219.461 15 0.025 40.099 251.948 16 0.023 42.758 268.659 17 0.022 44.691 280.804 18 0.021 47.629 299.261 Πίνακας 10.8 Υπολογισμός δυναμικών παραμέτρων (Μοντέλο Γ). Παρατηρούμε πως υπάρχουν αρκετά σημαντικές διαφορές μεταξύ των τριών τρόπων προσομοίωσης για ένα πλαισιακού-τύπου πολυώροφο κτίριο με πυρήνα, που οφείλεται στο γεγονός πως ο πυρήνας είναι ένα τρισδιάστατο δομικό στοιχείο με πλήρη συνέργεια των τεσσάρων τοιχείων που τον απαρτίζουν. Συνεπώς, δύσκολα αναλύεται με χρήση επιφανειακών στοιχείων. 10.3.4 Λεπτομερής Διερεύνηση της Απόκρισης του Κτιρίου (Μοντέλο Β) Εδώ θα μελετηθούν τα δυναμικά χαρακτηριστικά του κτιρίου που έδωσαν οι αναλύσεις των υπο-ενοτήτων 10.1.2 και 10.2.3, ώστε να προκύψουν συμπεράσματα σχετικά με τη δυνατότητα περαιτέρω απλοποίησης της διαδικασίας προσομοίωσης, δηλαδή της χωρικής και της ψευδό-χωρικής, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας το Μοντέλο Β και τη βοήθεια προγράμματος SAP 2000, υπολογίζουμε το μητρώο δυσκαμψίας του κτιρίου ως { D o} a προς το διάνυσμα μετακινήσεων, το οποίο αποτελείται από τα εξής επιμέρους υπομητρώα: K y K y, K xy K K K yx x x 0 (10.12) και 201

7 10 K xx 1.7932-0.9577 0.1033 0.0171 0.0049 0.0127 1.7017-0.9720 0.0972 0.0132 0.0202 1.6958-0.9751 0.0913 0.0410 1.6905-0.9884 0.1528 1.6299-0.7519 0.5196 1.7922-0.9577 0.1042 0.0168 0.0050 0.0127 1.6999-0.9717 0.0981 0.0129 0.0202 1.6939-0.9748 0.0921 0.0408 7 K yy 10 1.6886-0.9878 0.1533 1.6272-0.7505 0.5178 68.6127-36.9545 5.0074-0.0271 0.1548 0.1224 63.9314-36.9028 4.8448-0.0619 0.2984 63.7701-36.9297 4.7351 0.3588 7 K 10 63.6678-36.9795 5.2615 61.3928-29.2496 23.1530-4.7085 2.4967-0.2295-0.0625-0.0132-0.0381-4.5113 2.5504-0.2128-0.0507-0.0589-4.4951 2.5600-0.1958-0.1316 7 K y 10-4.4799 2.6043-0.3932-4.3299 1.9889-1.3505 Εφαρμόζοντας την Εξίσωση (9.65) για τον υπολογισμό των συντεταγμένων των ελαστικών κέντρων (εάν αυτά υπάρχουν και είναι μοναδικά), καταλήγουμε στην παρακάτω λύση: Y 0, X ki (10.13) E Από την μορφή του μητρώου [ X ] E E γίνεται κατανοητό πως ελαστικά κέντρα δεν υπάρχουν, και κατ επέκταση δεν υπάρχει και ελαστικός άξονας για το συγκεκριμένο χωρικό μοντέλο του { κτιρίου. D o} a Ακολούθως, γίνεται σύνθεση του μητρώου μάζας ως προς το διάνυσμα : M a Mt 0 0 0 Mt 0 0 0 J o (10.14) 202

M t 555.46 555.46 555.46 555.46 555.46 443.51 J o 43826.025 43826.025 43826.025 43826.025 43826.025 434993.124 που απαρτίζεται από διαγώνια μητρώα συμβατικών καθώς και στροφικών μαζών. Η ύπαρξη των μητρώων οδηγεί στο συμπέρασμα πως η χωρική αποσύζευξη του δομικού συστήματος δεν K K y y είναι εφικτή. Σχετικά με αυτό το θέμα, ενδιαφέρον έχουν τα αποτελέσματα των παρακάτω τεσσάρων ιδιοπροβλημάτων, και πιο συγκεκριμένα η σύγκριση των ιδιοπεριόδων που δίδει το κάθε παρακάτω ιδιοπρόβλημα: KaaMa 0 1. Ιδιοτιμές του χωρικού συστήματος Kxx x Mt 0 2. Ασύζευκτες ιδιοτιμές του x-υποσυστήματος Kyy y Mt 0 3. Ασύζευκτες ιδιοτιμές του y-υποσυστήματος K J 0 4. o Ασύζευκτες ιδιοτιμές του στροφικού ψ-υποσυστήματος Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον Πίνακα 10.9 και παρατηρούμε πρώτα πως υπάρχει απόλυτη σύμπτωση των ιδιοπεριόδων Τx,, κάτι που είναι αναμενόμενο αποτέλεσμα λόγω της Εξίσωσης (10.12). Για τις ιδιοπεριόδους που υπολογίζονται από τα αλλά δυο υποσυστήματα (τα οποία στην πράξη είναι συζευγμένα), και σε αντίθεση με τα αποτελέσματα του Πίνακα 10.7, παρατηρούμε διαφορές της τάξεως του 15%. Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα πως η αποσύζευξη του χωρικού φορέα σε τρία ανεξάρτητα υποσυστήματα δεν αποτελεί καλή προσέγγιση του προβλήματος. 0 203

Ιδιομορφή T α Τ x Τ y Τ ψ 1 0.468 - - 0.402 2 0.354 0.354 - - 3 0.327-0.356-4 0.149 - - 0.128 5 0.099 0.099 - - 6 0.093-0.099-7 0.086 - - 0.073 8 0.061 - - 0.051 9 0.051 0.051 - - 10 0.048-0.051-11 0.048 - - 0.041 12 0.042 - - 0.036 13 0.035 0.035 - - 14 0.033-0.035-15 0.028 0.028 - - 16 0.026-0.028-17 0.025 0.025 - - 18 0.023-0.025 - Πίνακας 10.9 Σύγκριση ασύζευκτων και συζευγμένων ιδιοπεριόδων (Μοντέλο Β). 10.3.5 Λεπτομερής Διερεύνηση της Απόκρισης του Κτιρίου (Μοντέλο Γ) Η ίδια ακριβώς ανάλυση με αυτή της παραπάνω υπο-ενότητας γίνεται και εδώ, με την διάφορα πως αντί για το Μοντέλο Β, χρησιμοποιείται το χωρικό Μοντέλο Γ. Παρουσιάζουμε μόνο τα τελικά αποτελέσματα στον Πίνακα 10.10, και παρατηρούμε πως ισχύουν ακριβώς τα ίδια συμπεράσματα όπως και πριν. 10.3.6 Απλοποιημένο Μοντέλο με την Παραδοχή της Λειτουργίας στο Επίπεδο Οπως και στην υπο-ενότητα 10.2.4, έτσι και εδώ θα ερευνήσουμε τα δυναμικά χαρακτηριστικά του εξαώροφου κτιρίου σαν να αποτελείται από καθαρά επίπεδους φορείς. Μία τέτοια προσέγγιση απέχει από την πραγματική λειτουργία του δομικού φορέα, αλλά χρησιμοποιείται ευρέως από πολλούς μηχανικούς της πράξης, καθώς ακόμα και στα προγράμματα Η/Υ για διαστασιολόγηση των κατασκευών. Ο κύριος λόγος για τον οποίο μειονεκτεί αυτή η ανάλυση σε επίπεδους φορείς, είναι πως δεν λαμβάνει υπ όψη την πολύ σημαντική ικανότητα παραλαβής δυνάμεων του πυρήνα (όπως και κάθε άλλης κλειστής λεπτότοιχης διατομής) μέσω της στρέψης. Θα θεωρήσουμε συνεπώς εδώ πως ο πυρήνας αποσυντίθεται στα επιμέρους τοιχεία, που τον αποτελούν και αυτά με την σειρά τους λειτουργούν ως επίπεδοι φορείς, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.13. 204

Ιδιομορφή T α Τ x Τ y Τ ψ 1 0.387-0.341-2 0.340 0.340 - - 3 0.293 - - 0.312 4 0.121 - - 0.103 5 0.086 0.086 - - 6 0.080-0.087-7 0.073 - - 0.061 8 0.054 - - 0.045 9 0.044-0.043-10 0.043 0.043 - - 11 0.040 - - 0.037 12 0.039 - - 0.033 13 0.031 0.031 - - 14 0.029-0.031-15 0.025 0.025 - - 16 0.023-0.025-17 0.022 0.022 - - 18 0.021-0.022 - Πίνακας 10.10 Σύγκριση ασύζευκτων και συζευγμένων ιδιοπεριόδων (Μοντέλο Γ). Σχήμα 10.13 Αποσύνθεση του πυρήνα στα επιμέρους τέσσερα τοιχεία. Μετά και από την παραπάνω θεώρηση, το εξαώροφο κτίριο με τον πυρήνα, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 10.11, αποτελείται από δυο μικτά πλαίσια (ΠΧ1) και δυο αμιγή πλαίσια (ΠΧ2) κατά τη διεύθυνση x. Παρομοίως, έχουμε τα αντίστοιχα δυο μικτά πλαίσια (ΠΥ1) και τα τρία αμιγή (ΠY2) πλαίσια για τη διεύθυνση y. Τα επιμέρους βήματα της διαδικασίας ανάλυσης του φορέα είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά της υπο-ενότητας 205

10.2.4, και μάλιστα τα μητρώα των παραπάνω πλαισίων έχουν ήδη υπολογισθεί εκεί, οπως φαίνεται στα Σχήματα 10.5 και 10.6. Τέλος, στον Πίνακα 10.11 δίδονται τα αποτελέσματα της παρούσης ανάλυσης, καθώς και τα αντίστοιχα από την ανάλυση της υπο-ενότητας 10.3.4, για άμεση σύγκριση. Αριθμός Ιδιομορφής Ιδιοπερίοδος με Ανάλυση της 10.2.4 Ιδιοπερίοδος με Ανάλυση της 10.3.4 1 0.468 0.601 2 0.354 0.462 3 0.327 0.437 4 0.149 0.177 5 0.099 0.115 6 0.093 0.108 7 0.086 0.092 8 0.061 0.061 9 0.051 0.054 10 0.048 0.051 11 0.048 0.047 12 0.042 0.041 13 0.035 0.036 14 0.033 0.033 15 0.028 0.028 16 0.026 0.026 17 0.025 0.024 18 0.023 0.022 Πίνακας 10.11 Σύγκριση ιδιοπεριόδων με την παραδοχή επίπεδης πλαισιακής λειτουργίας Παρατηρούμε εδώ πως έχουμε μία μεγάλη αύξηση στις τιμές των ιδιοπεριόδων του φορέα, γεγονός που δηλώνει πολύ πιο εύκαμπτη κατασκευή, όπως είναι αναμενόμενο. 206