ΘΕΜΑ 1 ο (6.00 μον.) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : -9-0, :00-:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ : ΟΝΟΜΑ : ΑΡ. ΜΗΤΡ : ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση είναι με κλειστά βιβλία. Δέσμευση: όλες οι ασκήσεις να επιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στο τέλος των θεμάτων. ΘΕΜΑ ο (.00 μον.) Δίνεται το εξ οπλισμένου σκυροδέματος μονόροφο τρισδιάστατο πλαίσιο του σχήματος. Ολες οι διαστάσεις είναι σε m. Οι κόμβοι (βάσεις των υποστυλωμάτων Κ ) είναι πλήρως πακτωμένοι. Στον κόμβο επισυνάπτεται το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ. Ο προσανατολισμός των τοπικών συστημάτων xzόλων των υποστυλωμάτων, σε σχέση με το απόλυτο σύστημα ΧΥΖ, είναι όπως στο σχήμα. Οι συνδέσεις των κόμβων 9 είναι μονολιθικού τύπου και δεσμεύονται με οριζόντιο διάφραγμα το οποίο προσομοιώνει τη διαφραγματική λειτουργία λόγω της ύπαρξης τριών πλακών. Ολα τα υποστυλώματα είναι τετραγωνικής διατομής πλευράς 0 cm. Επί πλέον του ιδίου βάρους των στοιχείων (υποστυλωμάτων, δοκών και πλακών), το πλαίσιο φορτίζεται κατά τη διεύθυνση του άξονα Χ με δυνάμεις ίσες με ΚΝ εφαρμοζόμενες στους κόμβους 9, και και οι οποίες αφορούν συνολική σεισμική δύναμη ΚΝ δρώσα κατά τη θετική φορά του εν λόγω άξονα. Η επίλυση του πλαισίου έδωσε τις ακόλουθες μετακινήσεις και στροφές των κόμβων του, αναφορικά με το απόλυτο σύστημα ΧΥΖ, για το συνδυασμό φόρτισης Ιδιο Βάρος + Σεισμός κατά Χ (δηλ. G + EX): α/α κόμβου ux (m) uy (m) uz (m) θx (rad) θυ (rad) θζ (rad) 9?? ? 0?? ??? ? ?? ??? ??? ??? ? Αριθμητικά δεδομένα επίλυσης & παραδοχές: Ε = 0 GPa. Για όλα τα γραμμικά στοιχεία αγνοούνται οι διατμητικές και στρεπτικές παραμορφώσεις, ενώ μειώνονται όλες οι δυσκαμψίες Ε Ι στο 0% των αντίστοιχων ε- λαστικών.

2 Ζητούνται: (α).00 μον.: Λαμβάνοντας υπ όψη την προαναφερθείσα διαφραγματική λειτουργία και θεωρώντας ως κύριο κόμβο αναφοράς m του διαφράγματος τον κόμβο, να υπολογισθούν οι μετακινήσεις και στροφές των κόμβων του παραπάνω πίνακα οι οποίες σημειώνονται με (?). (β).00 μον.: Να υπολογισθούν στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων xz κάθε υποστυλώματος οι τιμές των δυνάμεων αντίδρασης R (δηλ. των παράλληλων στη διεύθυνση Χ του σεισμού στις βάσεις των υποστυλωμάτων Κ ). Για το σκοπό αυτό να γίνει χρήση του μητρώου δυσκαμψίας Κ για στοιχείο τύπου δοκού στο επίπεδο. (γ).00 μον.: Ποια αριθμητική σχέση συνδέει τις υπολογισθείσες αντιδράσεις στο (β) με τα εξωτερικά επικόμβια φορτία του πλαισίου; (δ).00 μον.: Για το (β) ερώτημα προτείνεται η χρήση του μητρώου δυσκαμψίας Κ για στοιχείο τύπου δοκού στο επίπεδο. Ωστόσο, το δοθέν πλαίσιο είναι χωρικό. Αναφέρατε συνοπτικά τη βασική αρχή η οποία επιτρέπει τη χρήση του εν λόγω μητρώου για το υπολογισμό των αντιδράσεων των βάσεων των υποστυλωμάτων. ΘΕΜΑ ο (.00 μον.) (α).00 μον.: Nα συνταχθεί το μητρώο δυσκαμψίας (δυστένειας) Κ του επιπέδου δικτυώματος του σχήματος στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ. (β).00 μον.: Εφαρμόζοντας τις συνθήκες στήριξης, να διατυπωθούν τα υ- πομητρώα Κff, fs, sf και ss. m x ( i) uθ z u θ u z ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Διαφραγματική λειτουργία πλακών u θ z u z ( i) u θ u u (m) i u ( m ) i u x u θ x u θ z u x u θ x m ( m ) u x ( m) u 0 x u x ( m) ( m) U = T U u 0 x = u 0 0 ( m) u u θz θ z T() i U U( m) Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού στο επίπεδο Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y + x j + m +θ i s = sinθ c = cosθ +Χ

3 EI EI EI EI EI EI c + s cs s c s cs s + EI EI EI EI EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c = EI EI EI EI EI EI c + s cs s c s cs s + EI EI EI EI EI EI cs s + c c cs s c c + EI EI EI EI EI EI s c s c Καλή σας Επιτυχία!

4 ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Οι άγνωστες οριζόντιες μεταθέσεις και στροφές περί κατακόρυφο άξονα μπορούν να υπολογισθούν από τη δοθείσα σχέση (βλ. σχετ. θεωρία στην. των σημειώσεων). ( m) ( m) ( m) u u u u 0 x = x x ux θ z ( m) ( m) ( m) ( m) U = T U u 0 x = u u = u + x u θ z 0 0 ( m) u u ( m) θz θ z u = u θz θ z T() i U U( m) Η σχέση εφαρμόζεται στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ για (m) = (κόμβος ) και (i) = (κόμβοι 9, 0,,,,, ). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα με κόκκινο. α/α κόμβου (i) Χ (i) (m) Υ (i) (m) uχ (i) (m) uυ (i) (m) uζ (i) (m) θχ (i) (rad) θυ (i) (rad) θζ (i) (rad) (β) ερώτημα Το μητρώο δυσκαμψίας σε τοπικό επίπεδο x προκύπτει από το δοθέν για γωνία θ = 0, άρα s = 0 και c =. Ετσι προκύπει: EI EI EI EI 0 0 EI EI EI EI 0 0 = EI EI EI EI 0 0 EI EI EI EI 0 0 Η αντιστοίχιση διευθύνσεων και φορών των αξόνων των τοπικών συστημάτων xz των υποστυλωμάτων k (με k = Κ Κ) με αυτούς του απόλυτου συστήματος ΧΥΖ έχει ως x z ZXY. Ετσι, με δεδομένες τις μηδενικές μετακινήσεις των κόμβων των βάσεων των υποστυλωμάτων (στηρίξεις πλήρως πακτωμένες) και αυτές της κορυφής τους, λαμβανόμενες από τον πίνακα του (α) ερωτήματος, το μητρώο U k κάθε υποστυλώματος k θα έχει την ακόλουθη μορφή. U T T k uk, uk, uk, u u θ kx, k, kz, ukz, uk, X θky, Βάση Κορυφή = = = = T uz ux θ Y, όπου για k είναι αντίστοιχα i 9 = = = Γνωρίζοντας πλήρως τις μετακινήσεις των άκρων του συνόλου των υποστυλωμάτων, κάθε ένα μπορεί πλέον να επιλύεται ξεχωριστά. Ετσι, οι ζητούμενες αντιδράσεις των βάσεων των υποστυλωμάτων R p p, προ- T k, k, kx

5 κύπτουν με πολλαπλασιασμό της ης γραμμής του πίνακα με το διάνυσμα k, Z u X θ Y U k. Ετσι προκύπτει: 0 θ i 0 0 EI R = EI EI EI EI = u u ( X θy ) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την τιμή της δυσκαμψίας ΕΙ με το ήμισι της τιμής της, λόγω της αναφερόμενης μείωσης, προκύπτει τελικά: EI R =, ( u k X + θy ) Αριθμητικά δεδομένα: Ε = 0 0 kpa, I = 0.0 / =. 0 - m, = m. Με τις τιμές αυτές η προκύπτουσα σχέση παίρνει την ακόλουθη τελική μορφή. ( X θy ) R u + k = i = =0, όπου για, είναι αντίστοιχα 9 k Η σχέση αυτή εφαρμόζεται για κάθε υποστύλωμα k ξεχωριστά λαμβάνοντας τις αντίστοιχες τιμές των Y u και θ από τον πίνακα του ερωτήματος (α). Ετσι προκύπτουν οι παρακάτω τιμές των ζητούμενων αντιδράσεων R. α/α υποστυλ. k α/α κόμβου (i) uχ (i) (m) θυ (i) (rad) R (N) k = R = (γ) ερώτημα Στο (β) ερώτημα υπολογίσθηκαν οι αντιδράσεις των στηρίξεων των υποστυλωμάτων κατά την οριζόντια διεύθυνση Χ. Επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των αντιδράσεων αυτών,, θα πρέπει να είναι ίσο και αντίθετο με το αντίστοιχο αλγεβρικό άθροισμα όλων των εξωτερικών φορτίων της κατασκευής,, για την εν λόγω διεύθυνση Χ, προκειμένου πληρείται η κατά Χ ισορροπία της κατασκευής. Πράγματι είναι k = k = k = k = k = R X PX R = - ΚΝ (βλ. πίνακα ερωτήματος (β)) και P X = = ΚΝ (βλ. σχ. εκφώνησης). (δ) ερώτημα Καθ όσον οι διατομές των υποστυλωμάτων του πλαισίου είναι ορθογωνικές με κεντροβαρικούς-τοπικούς άξονες των διατομών τους τούς οριζόντιους άξονες και z, οι άξονες αυτοί θα είναι ταυτόχρονα και κύριοι. Αρα τα τοπικά κατακόρυφα επίπεδα x και xz είναι ταυτόχρονα και κύρια επίπεδα. Γνωρίζουμε ότι το μητ-

6 ρώο δυσκαμψίας τρισδιάστατου στοιχείου εκφρασμένου σε κύριους άξονες δεν συσχετίζει τις εντός των κύριων επιπέδων x και xz εντάσεις. Αρα προκειμένου και μόνο για τις εσωτερικές δράσεις Ν-Q-M σε τοπικό κατακόρυφο επίπεδο x μπορεί να χρησιμοποιηθεί το δοθέν μητρώο Κ για στοιχείο τύπου δοκού στο επίπεδο. Ως γνωστόν, το μητρώο αυτό προκύπτει κατόπιν διαγραφής των γραμμών και στηλών του μητρώου του τρισδιάστατου στοιχείου τύπου δοκού (δεν δίδεται) οι οποίες αναφέρονται στις εντάσεις του οριζόντιου κύριου επιπέδου xz.

7 ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, από το δοθέν μητρώο δυσκαμψίας Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες (στροφικοί βαθμοί ελευθερίας) και τίθεται ΕΙ = 0. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου Κ για δικτύωμα σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, όπου οι εναπομείναντες ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (,,, ) έχουν επαναριθμηθεί ως (,,, ). m = cs s cs s c cs c cs cs s cs s c cs c cs () Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται αριθμήσεις κόμβων, μελών και βαθμών ελευθερίας στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. Περαιτέρω, για κάθε μέλος σημειώνονται οι γωνίες θ του τοπικού του άξονα x με τον απόλυτο Χ άξονα. Ετσι, προκύπτουν ο ακόλουθος πίνακας με τις τιμές γωνιών, ημιτόνων και συνημιτόνων s και c, αντίστοιχα. α/α i θi si ci si ci si ci π/ = 0 ο / / = 0. / / / π/ = 0 ο / / = 0. / / / π/ = 90 ο Mε εφαρμογή των παραπάνω τιμών των s, c και s c στη σχέση () προκύπτουν τα παρακάτω μητρώα Κ των τριών μελών στο απόλυτο σύστημα ΧΥ. = = Η υπέρθεση των παραπάνω μητρώων Κi δίνει το ζητούμενο μητρώο Κ =

8 = ( ) ( ) ( ) = (β) ερώτημα Ο μοναδικός ελεύθερος κόμβος του πλαισίου είναι ο κεντρικός, στον οποίο συμβάλουν οι τρείς ράδοι. Ο κόμβος αυτός έχει δύο βαθμούς ελευθερίας, τους και. Ετσι, για το προς επίλυση γενικό σύστημα της μορφής P U P F f ff fs f f = + F Ps sf ss Us Ps κατόπιν εφαρμογής των συνοριακών συνθηκών στήριξης, τα υπομητρώα Κff, Κfs, Κss και Κsf παρουσιάζονται εντός των εγχρώμων πλαισίων στο προκύπτον μητρώο Κ του (α) ερωτήματος ως: Κff πράσινο, Κfs μπλέ, Κss κόκκινο, Κsf καφέ. Μολονότι δεν είναι απαραίτητο, το προκύπτον μητρώο Κ του (α) ερωτήματος ξαναγράφεται αναδιατασσόμενο ff fs πλέον στην κλασσική μορφή. sf ss Επομένως προκύπτουν: 0 0 = ( ) ff sf 0 = 0 ( ) = ( ) fs ss 0 0 = 0 ( ) = ( )