Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasi

Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasi Manuel Hohmann Teoreetilise Füüsika Labor Füüsika Instituut Tartu Ülikool 1. september 2015 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 1 / 40

Ülevaade 1 Üldrelatiivsusteooria 2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias 3 Laiendatud teooriad Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad 4 Kokkuvõte Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 2 / 40

(Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

(Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Riemanni meetrika g µν : g µν x µ y ν = x y cos α. Vektorid x µ, y ν. Pikkused x, y. Nurk α. x µ α y ν Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

(Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Riemanni meetrika g µν : g µν x µ y ν = x y cos α. Vektorid x µ, y ν. Pikkused x, y. Nurk α. Levi-Civita seostus Γ µ νρ = 1 2 gµσ ( ν g ρσ + ρ g νσ σ g νρ ). Kovariantne tuletis µ. Rööpülekanne: 0 = µ x ν. x µ x µ α γ y ν Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

(Pseudo-)Riemanni geomeetria Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M. Riemanni meetrika g µν : g µν x µ y ν = x y cos α. Vektorid x µ, y ν. Pikkused x, y. Nurk α. Levi-Civita seostus Γ µ νρ = 1 2 gµσ ( ν g ρσ + ρ g νσ σ g νρ ). Kovariantne tuletis µ. Rööpülekanne: 0 = µ x ν. Riemanni kõverustensor: x µ R µ νρσ = ρ Γ µ νσ σ Γ µ νρ + Γ µ ωργ ω νσ Γ µ ωσγ ω νρ. Ricci tensor: R µν = R ρ µρν. Ricci skalaar: R = g µν R µν. x µ α γ y ν Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist: S G = 1 det gr. 2 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist: S G = 1 det gr. 2 Mateeria mõjufunktsionaal: S M = det glm. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Einsteini üldrelatiivsusteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika g µν. Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist: S G = 1 det gr. 2 Mateeria mõjufunktsionaal: S M = det glm. Väljavõrrandid: Einsteini võrrandid G µν = T µν. Einsteini tensor G µν = R µν 1 2 Rg µν geomeetria. Energia-impulsi tensor T µν mateeria. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Ainepunkti trajektoorid Ainepunkti trajektoor γ : λ γ(λ) M. Omaaeg: aeg τ, mida liikuv kell näitab: λ2 dγ τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = g µ µν dλ λ 1 dγ ν dλ dλ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 6 / 40

Ainepunkti trajektoorid Ainepunkti trajektoor γ : λ γ(λ) M. Omaaeg: aeg τ, mida liikuv kell näitab: λ2 dγ τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = g µ µν dλ Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] τ. λ 1 dγ ν dλ dλ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 6 / 40

Ainepunkti trajektoorid Ainepunkti trajektoor γ : λ γ(λ) M. Omaaeg: aeg τ, mida liikuv kell näitab: λ2 dγ τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = g µ µν dλ Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] τ. Liikumisvõrrandid: λ 1 γ µ + Γ µ νρ γ ν γ ρ = 0. Trajektoori puutujavektor on rööpülekantud: Trajektoor on geodeetiline joon. γ µ µ γ ν = 0. dγ ν dλ dλ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 6 / 40

Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Gravitatsiooniläätsed: Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale. Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Gravitatsiooniläätsed: Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale. Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Struktuuritekke: Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved. Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Vaatlused universumi struktuuridest Galaktikateparved: Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas. Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Galaktikate pöördumine: Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad. Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. Gravitatsiooniläätsed: Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale. Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. Struktuuritekke: Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved. Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. Aine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Kosmoloogiline sümmeetria Invariantsus pöördumiste ja nihkete all. Invariantne meetrika: Roberson-Walkeri meetrika g µν dx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Mastaabikordaja a(t). Ruumiline meetrika γ ij konstantse kõverusega k { 1, 0, 1}. Ruumiline Riemanni tensor R(γ) ijkl = 2kγ i[k γ l]j. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 9 / 40

Kosmoloogiline sümmeetria Invariantsus pöördumiste ja nihkete all. Invariantne meetrika: Roberson-Walkeri meetrika g µν dx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Mastaabikordaja a(t). Ruumiline meetrika γ ij konstantse kõverusega k { 1, 0, 1}. Ruumiline Riemanni tensor R(γ) ijkl = 2kγ i[k γ l]j. Mateeria: ideaalne vedelik T µν = (ρ + p)u µ u ν + pg µν. Normeeritud 4-kiirus u µ : g µν u µ u ν = 1. Tihedus ρ. Rõhk p. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 9 / 40

Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2. Kiirendus: ä a = 1 (ρ + 3p). 6 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2 Kiirendus: ä a = 1 (ρ + 3p). 6 Mateeria tüübid ja nende omadused: Tolm: ρ > 0, p = 0. Kiirgus: ρ > 0, p = ρ 3.. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Kosmoloogiline dünaamika Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika. Friedmanni võrrandid: (ȧ2 ρ = 3 a 2 + k ) a 2, ( p = 2ä a + ȧ2 a 2 + k ) a 2 Kiirendus: ä a = 1 (ρ + 3p). 6 Mateeria tüübid ja nende omadused: Tolm: ρ > 0, p = 0. Kiirgus: ρ > 0, p = ρ 3. Universum ei saa staatiline olla - paisumine aeglustub, ä < 0.. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Universumi paisumine Universum paisub. [Hubble 29] Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 11 / 40

Universumi paisumine Universum paisub. [Hubble 29] Paisumise kiirendus on positiivne! Universumi paisumine ei aeglustu, vaid kiireneb! Me ei tea põhjust - aga ikkagi nimetame seda tumeenergiaks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 11 / 40

Skalaar-tensori teooria põhimõisted Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika g µν ja skalaarväli φ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 14 / 40

Skalaar-tensori teooria põhimõisted Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika g µν ja skalaarväli φ. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G [g µν, φ]. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 14 / 40

Skalaar-tensori teooria põhimõisted Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika g µν ja skalaarväli φ. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G [g µν, φ]. Väljavõrrandite struktuur: Meetrika võrrand: G µν = T µν. Skalaarvälja võrrand: E = T µ µ. Liikmed G µν ja E sõltuvad meetrikast ja skalaarväljast. Skalaarvälja allikas on energia-impulsi tensori jälg. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 14 / 40

Jordan-Brans-Dicke ja seotud teooriad Mõjufunktsionaali struktuur: S = 1 2κ 2 d 4 x det g {A(φ)R B(φ)g µν µ φ ν φ 2l } 2 V(φ) ] + S m [e 2α(φ) g µν, χ. Vabad funktsioonid A, B, V, α skalaarväljast. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 15 / 40

Jordan-Brans-Dicke ja seotud teooriad Mõjufunktsionaali struktuur: S = 1 2κ 2 d 4 x det g {A(φ)R B(φ)g µν µ φ ν φ 2l } 2 V(φ) ] + S m [e 2α(φ) g µν, χ. Vabad funktsioonid A, B, V, α skalaarväljast. Mõjufunktsionaal on invariantne teisenduste all: [Järv, Kuusk, Saal, Vilson 14] g µν = e 2 γ( φ)ḡ µν, φ = f ( φ). Kokkusobivus vaatlustega sõltub ainult invariantidest I i. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 15 / 40

Horndeski gravitatsiooniteooria Mõjufunktsionaali struktuur: S G = 5 i=2 d 4 x det gl i [g µν, φ] Liikmed mõjufunktsionaalis (X = µ φ µ φ/2): L 2 = K (φ, X), L 3 = G 3 (φ, X) φ, L 4 = G 4 (φ, X)R + G 4X (φ, X) [ ( φ) 2 ( µ ν φ) 2], L 5 = G 5 (φ, X)G µν µ ν φ 1 [ 6 G 5X (φ, X) ( φ) 3 3( φ)( µ ν φ) 2 + 2( µ ν φ) 3]. Vabad funktsioonid K, G 3, G 4, G 5. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 16 / 40

Horndeski gravitatsiooniteooria Mõjufunktsionaali struktuur: S G = 5 i=2 d 4 x det gl i [g µν, φ] Liikmed mõjufunktsionaalis (X = µ φ µ φ/2): L 2 = K (φ, X), L 3 = G 3 (φ, X) φ, L 4 = G 4 (φ, X)R + G 4X (φ, X) [ ( φ) 2 ( µ ν φ) 2], L 5 = G 5 (φ, X)G µν µ ν φ 1 [ 6 G 5X (φ, X) ( φ) 3 3( φ)( µ ν φ) 2 + 2( µ ν φ) 3]. Vabad funktsioonid K, G 3, G 4, G 5. Väljavõrrandid: kõige üldisemad teist järku diferentsiaalvõrrandid. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 16 / 40

Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis Parameetrid: skalaarvälja mass m, sideparameeter ω 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 17 / 40

Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis Parameetrid: skalaarvälja mass m, sideparameeter ω 0. Eksperimentaalselt välistatud parameetri ala: Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 17 / 40

Laiendatud skalaar-tensori teooriad Kõrgemat järku väljavõrrandid: Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Leiti terveid teooriaid. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 18 / 40

Laiendatud skalaar-tensori teooriad Kõrgemat järku väljavõrrandid: Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Leiti terveid teooriaid. Mitme skalaarväljaga teooriad: Jordan-Brans-Dicke üldistus: S = 1 2κ 2 d 4 x { det g A( φ)r B IJ ( φ)g µν µ φ I ν φ J 2 } l 2 V( φ) ] + S m [e 2α( φ) g µν, χ Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria.. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 18 / 40

Laiendatud skalaar-tensori teooriad Kõrgemat järku väljavõrrandid: Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Leiti terveid teooriaid. Mitme skalaarväljaga teooriad: Jordan-Brans-Dicke üldistus: S = 1 2κ 2 d 4 x { det g A( φ)r B IJ ( φ)g µν µ φ I ν φ J 2 } l 2 V( φ) ] + S m [e 2α( φ) g µν, χ Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria. Suur teooriatemaastik, mida tuleb uurida. Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis? Kosmoloogiline dünaamika?. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 18 / 40

Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ. Meetrika g µν valitseb mateeria liikumist. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ 1. Meetrika g 1 µν valitseb mateeria liikumist. Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks: Tumedad standardmudeli koopiad Ψ 2,..., Ψ N. Igal koopial on oma meetrika g 2 µν,..., g N µν, mis liikumist valitseb. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ 1. Meetrika g 1 µν valitseb mateeria liikumist. Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks: Tumedad standardmudeli koopiad Ψ 2,..., Ψ N. Igal koopial on oma meetrika g 2 µν,..., g N µν, mis liikumist valitseb. Mõjufunktsionaali struktuur: S = S G [g 1 µν,..., g N µν] + N S M [Ψ I, gµν] I. I=1 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Multi-meetriliise teooria põhimõisted Üldrelatiivsusteoorias: Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ 1. Meetrika g 1 µν valitseb mateeria liikumist. Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks: Tumedad standardmudeli koopiad Ψ 2,..., Ψ N. Igal koopial on oma meetrika g 2 µν,..., g N µν, mis liikumist valitseb. Mõjufunktsionaali struktuur: S = S G [g 1 µν,..., g N µν] + N S M [Ψ I, gµν] I. Ainus vastasmõju erinevate koopiate vahel on gravitatsioon. Gravitatsioonijõud erinevate koopiate vahel on eemaletõmmatav. I=1 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Modifitseeritud Friedmanni võrrandid: ρ = 3 (ȧ2 2 N a 2 + k ) a 2, p = 1 2 N ( 2ä a + ȧ2 a 2 + k a 2 ). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Modifitseeritud Friedmanni võrrandid: ρ = 3 (ȧ2 2 N a 2 + k ) a 2, Kiirendus: p = 1 2 N ( 2ä a + ȧ2 a 2 + k a 2 ä a = N 2 (ρ + 3p). 6 Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. ). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Multi-meetriliine kosmoloogia Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip: g 1 µνdx µ dx ν =... = g N µνdx µ dx ν = dt 2 + a 2 (t)γ ij dx i dx j. Modifitseeritud Friedmanni võrrandid: ρ = 3 (ȧ2 2 N a 2 + k ) a 2, Kiirendus: p = 1 2 N ( 2ä a + ȧ2 a 2 + k a 2 ä a = N 2 (ρ + 3p). 6 Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. ). Seni vastamata küsimus: Kas lahendus on stabiilne? Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Struktuuritekke - kõik mateeriatüübid Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 22 / 40

Struktuuritekke - kõik mateeriatüübid Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 23 / 40

Struktuuritekke - ainult nähtav mateeria Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 24 / 40

Struktuuritekke - ainult nähtav mateeria Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 25 / 40

Gravitatsioonilained Lainete polarisatsioonid on eukleidilise rühma E(2) esitused. E(2) klass sõltub teooria parameetridest P, R, M. =0 P + 2R 0 0 N 2 N 3 III 5 II 6 2 tensorit +1 skalaar +2 vektorit +1 skalaar P =0 0 M =0 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 26 / 40

Vääne ja väändega seostus Levi-Civita seostus Γ µ νρ: Ilma väändeta: Γ µ ρν Γ µ νρ = 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 28 / 40

Vääne ja väändega seostus Levi-Civita seostus Γ µ νρ: Ilma väändeta: Γ µ ρν Γ µ νρ = 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γ µ νρ: Väändetensor: Γ µ ρν Γ µ νρ = T µ νρ 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 28 / 40

Vääne ja väändega seostus Levi-Civita seostus Γ µ νρ: Ilma väändeta: Γ µ ρν Γ µ νρ = 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γ µ νρ: Väändetensor: Γ µ ρν Γ µ νρ = T µ νρ 0. Meetrikaga kokkusobiv: µ g νρ = 0. Väändega seostuse puhul kovariantsed tuletised ei kommuteeru: T (X, Y ) = X Y Y X [X, Y ]. Samas ei kommuteeru rööpülekanded. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 28 / 40

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Mõjufunktsionaal: S G = 1 det e 2 ( 1 4 T ρ µνt µν ρ + 1 ) 2 T ρ µνt νµ ρ T ρ µρt νµ ν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Mõjufunktsionaal: S G = 1 det e 2 Väljavõrrandite struktuur: ( 1 4 T ρ µνt µν ρ + 1 ) 2 T ρ µνt νµ ρ T ρ µρt νµ ν. σ (det es m ρσ ) det ej m ρ = det eθ m ρ. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad e µ m. Meetrika: g µν = η mn e m µ e n ν. Weizenböcki seostus: Γ µ νρ = e µ m ρ e m ν. Seostus on väändega: T µ νρ 0. Seostus on kõveruseta: R µ νρσ = 0. Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: teleparalleelsus. Mõjufunktsionaal: S G = 1 det e 2 Väljavõrrandite struktuur: ( 1 4 T ρ µνt µν ρ + 1 ) 2 T ρ µνt νµ ρ T ρ µρt νµ ν. σ (det es m ρσ ) det ej m ρ = det eθ m ρ. Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Modifitseeritud teleparalleelsed teooriad Võimalikud muutused: Kõrgemat järku liikmed: T 4, T 2 T,... Lisaväljad: skalaarväli φ,... Väände ja kõverusega teooriad: Einstein-Cartan,... Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 30 / 40

Modifitseeritud teleparalleelsed teooriad Võimalikud muutused: Kõrgemat järku liikmed: T 4, T 2 T,... Lisaväljad: skalaarväli φ,... Väände ja kõverusega teooriad: Einstein-Cartan,... Võimalikud teemad, mida tuleb uurida: Invariantsus lokaalsete Lorentzi teisenduste all. Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis. Kosmoloogiline dünaamika. Ekvivalentsus teiste teooriatega: f (R), STG, Gauss-Bonnet,... Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 30 / 40

Finsleri aegruumi geomeetria Üldistatud trajektoori γ pikkuse funktsionaal: τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = λ2 λ 1 F(γ(λ), γ(λ))dλ. Finsleri funktsioon F : TM R +. Invariantsus parameetri teisenduste all vajab homogeensust: F(x, cy) = cf (x, y) c > 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 32 / 40

Finsleri aegruumi geomeetria Üldistatud trajektoori γ pikkuse funktsionaal: τ(λ 2 ) τ(λ 1 ) = λ2 Finsleri funktsioon F : TM R +. λ 1 F(γ(λ), γ(λ))dλ. Invariantsus parameetri teisenduste all vajab homogeensust: Finsleri meetrika: F(x, cy) = cf (x, y) c > 0. gµν(x, F y) = 1 2 y µ y ν F 2 (x, y). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 32 / 40

Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Σ Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Väljavõrrandid: [g F µν µ ν (R ρρσy σ ) 6 Rµ µνy ν Σ F 2 + 2g F µν ( µ S ν + S µ S ν + µ (y ρ δ ρ S ν N ρ νs ρ ) ) ] Σ = κt Σ Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Väljavõrrandid: [g F µν µ ν (R ρρσy σ ) 6 Rµ µνy ν Σ F 2 + 2g F µν ( µ S ν + S µ S ν + µ (y ρ δ ρ S ν N ρ νs ρ ) ) ] Σ = κt Σ Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Finsleri gravitatsiooniteooria Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F. Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: S G = 1 Vol κ GR µ µνy ν. Väljavõrrandid: [g F µν µ ν (R ρρσy σ ) 6 Rµ µνy ν Σ F 2 + 2g F µν ( µ S ν + S µ S ν + µ (y ρ δ ρ S ν N ρ νs ρ ) ) ] Σ = κt Σ Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias. Aga mateeria pool on lihtsam. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Ainepunkti trajektoorid Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal. Liikumisvõrrandid: γ µ + N µ ν γ ν = 0. N µ ν on Cartani mittelineaarne seostus. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 34 / 40

Ainepunkti trajektoorid Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal. Liikumisvõrrandid: γ µ + N µ ν γ ν = 0. N µ ν on Cartani mittelineaarne seostus. Trajektoor tõuseb kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM: Γ µ = γ µ, Γ µ = γ µ. Samas tõusevad liikumisvõrrandid: Γ µ = Γ µ, Γ µ = N µ ν Γ ν. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 34 / 40

Ainepunkti trajektoorid Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal. Liikumisvõrrandid: γ µ + N µ ν γ ν = 0. N µ ν on Cartani mittelineaarne seostus. Trajektoor tõuseb kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM: Γ µ = γ µ, Γ µ = γ µ. Samas tõusevad liikumisvõrrandid: Γ µ = Γ µ, Γ µ = N µ ν Γ ν. Geodeetilised jooned on vektorvälja integraaljooned: y a a y b N a b a = S. Vektorvälja S nimetatakse geodeetiliseks pihuseks. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 34 / 40

Vaatajate ruum Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y T x M: F 2 (x, y) = g F µν(x, y)y µ y ν = 1. Ühikvektorite hulk Ω x T x M igas aegruumi punktis x M. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 35 / 40

Vaatajate ruum Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y T x M: F 2 (x, y) = gµν(x, F y)y µ y ν = 1. Ühikvektorite hulk Ω x T x M igas aegruumi punktis x M. Ω x sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka S x Ω x. Kausaalsus: S x on füüsikaliste 4-kiiruste ruum. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 35 / 40

Vaatajate ruum Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y T x M: F 2 (x, y) = gµν(x, F y)y µ y ν = 1. Ühikvektorite hulk Ω x T x M igas aegruumi punktis x M. Ω x sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka S x Ω x. Kausaalsus: S x on füüsikaliste 4-kiiruste ruum. Vaatajate ruum: O = S x. x M O TM on 7-mõõtmeline alammuutkond. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 35 / 40

Vedelikudünaamika Füüsikaline trajektoor: Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis. Γ on vektorvälja r = S O integraaljoon. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 36 / 40

Vedelikudünaamika Füüsikaline trajektoor: Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis. Γ on vektorvälja r = S O integraaljoon. Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest: Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel. Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 36 / 40

Vedelikudünaamika Füüsikaline trajektoor: Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis. Γ on vektorvälja r = S O integraaljoon. Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest: Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel. Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge. Kontiinumi piir: Ainepunktide tihedus: φ : O R +. Liikumisvõrrand ilma kokkupõrgeteta: L r φ = 0. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 36 / 40

Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Jenka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Jenka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Jenka Polka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Kokkupõrgetega v.: L r φ 0. Jenka Polka Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Vedelikutüübid Geodeetiline tolm: φ(x, y) δ(y u(x)). Kokkupõrgeteta v.: L r φ = 0. Kokkupõrgetega v.: L r φ 0. Jenka Polka Humpa Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Seos Cartani geomeetriaga Cartani geomeetria põhimõisted: Lie rühm G ja kinnine alamrühm K G. Raamikihtkond π : P O on K -peakihtkond. Cartani seostus A Ω 1 (P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 38 / 40

Seos Cartani geomeetriaga Cartani geomeetria põhimõisted: Lie rühm G ja kinnine alamrühm K G. Raamikihtkond π : P O on K -peakihtkond. Cartani seostus A Ω 1 (P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g. Finslerist Cartanini: Rühmad G = ISO o (3, 1), K = SO(3). O on vaatajate ruum. P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid. A defineeritakse Finsleri seostuse abil. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 38 / 40

Seos Cartani geomeetriaga Cartani geomeetria põhimõisted: Lie rühm G ja kinnine alamrühm K G. Raamikihtkond π : P O on K -peakihtkond. Cartani seostus A Ω 1 (P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g. Finslerist Cartanini: Rühmad G = ISO o (3, 1), K = SO(3). O on vaatajate ruum. P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid. A defineeritakse Finsleri seostuse abil. Rakendused: Gravitatsiooniteooria: MacDowell-Mansouri teooria laiendus. Väljateooria: kalibratsiooni teooriad. Cartani geomeetria kirjeldab aegruumi sümmeetriat. Seos silmuskvantgravitatsiooniga? Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 38 / 40

Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40

Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Vaatlused tekitavad küsimusi: Tumeaine? Tumeenergia? Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40

Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Vaatlused tekitavad küsimusi: Tumeaine? Tumeenergia? Geomeetria pakub võimalikke lahendusi: Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine teooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40

Kokkuvõte Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana. Vaatlused tekitavad küsimusi: Tumeaine? Tumeenergia? Geomeetria pakub võimalikke lahendusi: Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine teooria Teleparalleelne ja väändega teooriad Finsleri ja Cartani geomeetriad Lugege edasi: http://kodu.ut.ee/~manuel/ Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40