sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

Transcript

1 KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α sin α cos α tan α - ) täiendusnurga valemid sin(9 - α) = cos α cos(9 - α) = sin α tan(9 - α) = tan ) negatiivse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin(- α) = -sin α cos(- α) = cos α tan(- α) = -tan α 5) summa ja vahe trigonomeetrilised funktsioonid sin(α β) = sin α cos ± cos α sin cos(α β) = cos α cos sin α sin tan tan tan(α β) = tan tan 6) kahekordse nurga trigonomeetrilised funktsioonid sin α = sin cos cos α = cos² - sin² tan tan α = tan 7) poolnurga trigonomeetrilised funktsioonid cos sin = cos cos = cos tan = = cos sin cos = cos sin

2 8) seosed täisnurkses kolmnurgas B c a C b A a) sin = c a sin = c b b) cos = c b cos = c a c) tan = b a tan = a b 9) sin(α + n 6 ) = sin cos(α + n 6 ) = cos tan(α + n 6 ) = tan ) sin cos tan ja cot ) Siinusteoreem a b c sin sin sin ) Koosinusteoreem a = b² + c² - bc cos b = a² + b² - ab cos c = a² + b² -abcos b C a A c B

3 ) Trigonomeetrilised funktsioonid Funktsioon y = sin Määramispiirkond X=R Muutumispiirkond Y= ; Paaritu funktsioon sin(- α) = -sin α Periood = 6 y,5,,5, ,5 y=sin -, -,5 Funktsioon y = cos Määramispiirkond X=R Muutumispiirkond Y= ; Paarisfunktsioon cos(- α) = cos α Periood = 6 y,5 y=cos, ,5 - -,5 Funktsioon y = tan Määramispiirkond X=R/{(n+)/}, nz Muutumispiirkond Y=R Paaritu funktsioon tan(- α) = -tan α Periood = 8 5, y,,,,, , , -, -, -5,

4 ) Trigonomeetrilised põhivõrrandid ja nende lahendivalemid () sin = m = (-) n arcsin m + nπ, kus nz () cos = m = arccos m n, kus nz () tan = m = arctan m n, kus nz NB! sin ja cos korral tuleks kontrollida lahendeid n = ja n =, tan n = korral a) Võrrandi teisendamine algebraliseks võrrandiks Näide Lahendame võrrandi tan²- tan + = Teeme asenduse tan = u Saame võrrandi u² - u + = Viete i teoreemi põhjal saame lahendid u = ja u = Leiame nüüd tundmatu väärtused lahendades võrrandid tan = ja tan = tan = = arctan n = n, nz Kontrolliks leiame võrrandi erilahendi, kui n = : v = tan² - tan + = - + = v = p Lahend: = n, nz b) Homogeensete trigonomeetriliste võrrandite lahendamine Homogeensed võrrandid esituvad kujul a sin bcos (või asin bsin cos ccos jne) Selliste võrrandite lahendamiseks jagame võrrandi mõlemad pooled koosinuse kõrgema astmega läbi Näide Lahendame võrrandi sin + cos = sin + cos = :cos tan + = tan = - : tan = -,5 = arctan(,5) n, nz Kontroll Leiame erilahendi, kui n = : arctan(,5) arctan(,5) 6 57 v = sin ( 6 57 ) + cos ( 6 57 ),96,89 Lahend: = arctan(,5) n, nz c) Teguriteks lahutamise meetod Näide Lahendame võrrandi sin sin sin sin sin sin Korrutise nulliga võrdumise tingimusest saame: n ) sin = = arcsin n : = arcsin n n =, nz n ) sin sin : sin

5 = (-) n arcsin + nπ : n 9 n, nz Kontroll n =, nz Leiame erilahendid: n = = v sin sin v = p n = = v sin sin v = p n n, nz Leiame erilahendid 9 n = v sin sin v p n = v sin sin v p Lahendid on = n n ja n, nz 9 NÄITEÜLESANDED sin tan ) Tõesta samasus = tan cos sin Lahendus Teisendame esmalt vasaku poole murru lugeja: sin sin cos sin sin (cos ) sin cos cos cos Murru nimetajast saame: cos sin sin cos sin (cos ) sin Jagades lugeja ja nimetaja omavahel saame tan cos cos cos ) Lahenda võrrand sin = cos - sin Lahendus Lihtsustame esmalt võrrandi paremat poolt kasutades ruutude vahe valemit ning lõpuks kahekordse nurga koosinuse valemit cos - sin = cos sin cos sin = cos sin = = cos cos Saame nüüd võrrandi sin cos = cos sin cos cos = cos(sin ) = 5

6 Kasutades korrutise nulliga võrdumise tingimust saame kaks võrrandit () cos = () sin = Lahendame esimese võrrandi cos = = n, n Z Teisest võrrandist sin = sin = : sin =,5 n = n, n Z 6 Kontroll = n, n Z n = = v= sin =, p= cos sin = cos sin - n = = 5 5 = v= sin = sin = v= sin = sin n = n, n Z 6 n = = v= sin = sin = 6 6 p cos sin = v = p 5 = ; p= 5 5 cos sin v = p = ; p= cos sin v = p,866 ;,875,5 =,866 v = p 5 5 n = = v= sin,866; p cos sin,5,875, 866 v = p Vastus Võrrandi lahenditeks on = n ja n = n, n Z 6 ) Riigieksam999 (5p) Leidke sin, kui sin rahuldab võrrandit cos = 7sin² ja Lahendus Teisendame võrrandi vasakut poolt kasutades kahekordse nurga koosinuse valemit cos = cos² - sin² = - sin² - sin² = -sin² Saime võrrandi -sin² = 7sin² - 9sin² = 9sin² = :9 sin² = sin Kuna, siis sin < sin = ja kuna 9 on III veerandi nurk,siis ka cos on negatiivne ning 6

7 cos = - sin Leiame nüüd sin = sin cos = 9 Vastus sin 9 ) Riigieksam (p) Lahendage võrrand cos + sin =, kui ; Leidke parameetri a kõik väärtused, mille korral võrranditel cos + sin = ja cos a leiduvad ühised lahendid, kui ; Leidke funktsiooni y = cos periood ja skitseerige selle funktsiooni graafik, kui ; Skitseerige samale joonisele funktsiooni y = cos graafik Lahendus a) Lahendame võrrandi cos + sin = cos + sin = ( )² cos² + cos sin + sin² = Kuna sin² + cos² =, siis cos sin = sin = n = n, n Z = n, n Z ; Leiame lahendid lõigul Kui n = = cos + sin = ; n = = cos + sin = n = = cos + sin = - võõrlahend n = = cos + sin = - võõrlahend n = = cos + sin = n = - = - cos (- )+ sin(- )= - võõrlahend n = - = - cos(- ) + sin(- )= - võõrlahend n = - = - cos (- ) + sin( - ) = n = - =- cos (- ) + sin( - )= Võrrandi cos + sin = lahendid, kui ; on ;,5 ;;,5 ; b) Leiame parameetri a kõik väärtused, mille korral võrranditel cos + sin = ja cos a leiduvad ühised lahendid, kui ; Selleks asendame võrrandis cos a -i väärtused eelmises punktis saadud tulemustega 7

8 a a a a a 5 cos cos cos cos cos cos c) Leiame funktsiooni y = cos perioodi Kui funktsiooni periood on T, siis funktsiooni y = sin k (y = cos k või y = tan k) perioodi leiame k T, kus Saame :,5 = = 7º k R Skitseerime funktsioonide y = cos ja y = cos graafikud Kasutame selleks ka eelmises punktis leitud väärtusi y cos,5, , y cos - -,5 5) (Riigieksam 5p) Vaatleme funktsioone f() = cos ja g() = cos a) Avaldage cos suurus cos kaudu b) Lõigul ; () lahendage võrrand f() = g() () joonestage ühes ja samas teljestikus funktsioonide f() ja g() graafikud Leidke joonise abil väärtused, mille korral f() > g() Lahendus a) Avaldame cos suurus cos kaudu Kasutame kahekordse nurga koosinuse valemit ning seost sin² + cos² = cos = cos² - sin² = cos² ( - sin²) = cos² 8

9 b) Lahendame võrrandi f() = g() ehk cos = cos Kasutame selleks eelmises punktis saadud tulemust cos² = cos cos² - cos = Lahendame saadud ruutvõrrandi cos suhtes D = (-) = 9 cos cos või cos Lahendame võrrandid cos = ja cos = -,5 cos = = n n, n Z cos = -,5 = n, n Z Leiame erilahendid lõigul ; () = n n, n Z n = = v= cos = ja p= cos= n = = v= cos = ja p= cos =- võõrlahend n = = v= cos = ja p= cos = () = n, n Z n = = v= cos = -,5 ja p= cos = -,5 5 5 n = = v= cos = -,5 ja p= cos =,5 võõrlahend n = = v= cos = -,5 ja p= cos =,5 võõrlahend 8 n = = v= cos = -,5 ja p= cos = -,5 Seega saime võrrandi cos = cos lahenditeks lõigul ; ; ; ; Joonestame samas teljestikus funktsioonide f() = cos ja g() = cos graafikud Funktsiooni f() = cos perioodiks on 6º : = 8º ja g() = cos perioodiks 6º y = cos,5 y = cos, ,5 - -,5 9

10 Leiame joonise abil väärtused, mille korral f() > g()selleks on vahemik o ; o ehk ; sin 6) Riigieksam (p) On antud funktsioon f()=, ; sin a) Selgitage, kas funktsioon f() on määratud ka lõigul [;] b) Leidke vahemikus (;) () funktsiooni f() nullkohad; () vahemikud, kus funktsioon f() on positiivne ja kus see on negatiivne; () funktsiooni f() kasvamis- ja kahanemisvahemikud; () funktsiooni f() maksimumpunkt; c) Skitseerige funktsiooni f() graafik vahemikus (;) Lahendus a) Leiame funktsiooni väärtused lõigu otspunktides sin f()= ei ole määratud, kuna sin = ja murru nimetaja ei tohi olla null sin sin f()= ei ole määratud, kuna sin = ja murru nimetaja ei tohi olla null sin Seega on funktsioon määratud ainult vahemikus ; b) Leiame funktsiooni nullkohad sin sin sin : sin,5 sin sin Lahendivalemist saame n 8, n Z Leiame erilahendid vahemikust ; sin Kui n = = º kontroll: sin,5 sin5 Kui n = = 5º kontroll: sin5,5 n 5 Seega funktsiooni f() nullkohad vahemikus ; on ; 6 6

11 sin Positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb lahendada võrratus > ja sin sin negatiivuspiirkonna leidmiseks < Kasutades leitud nullkohti skitseerime sin märgikõvera f()< º f()> 5º f()< Leiame jooniselt vahemikud, kus funktsioon f() on positiivne ja kus ta on negatiivne 5 5 X ; ja X ; ; Kasvamis- ja kahanemisvahemike leidmiseks leiame funktsiooni tuletise cos sin cos sin cos f sin sin Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse f () > Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse f () < cos Kuna f avaldises murru nimetaja on alati positiivne, siis määrab sin võrratuse lahendid avaldis cos f ()> º 9º f ()< 8º Leiame jooniselt, et vahemikus ; kasvamis- ja kahanemisvahemikud vastavalt X ; ning X ; Kuna kohal = 9º läheb kasvamine üle kahanemiseks, siis on tegemist sin 9 maksimumkohaga ning leiame punkti ordinaadi y = sin 9 Funktsiooni f() maksimumpunkt P ma ; c) Skitseerime funktsiooni graafiku vahemikus ; Kasutame eelnevalt leitud nullkohti ja maksimumpunkti koordinaate ning leiame lisaks veel mõned funktsiooni väärtused f(5º) -,9; f(6º),8; f(º),8; f(65º) -,9

12 ,5,5 - -, ,5 - -,5 - f() ÜLESANDED ) Lahenda võrrand sin + cos = V: n, n, n Z ) On antud funktsioon f() = sin - sincos + cos a) Lihtsusta f() + sin - cos b) Lahenda võrrand f() = c) Lahenda võrratus f() cos V: ; n, arctan n, n Z ; R ) KRE 97 Lahenda võrrand cos - cos = cos( - ) n V: = n, = n, nz 6 ) KRE97 Lihtsusta avaldis: sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) tan( ) ja arvuta, kui V: + tan; sin( ) cos( ) 5) Lihtsusta avaldis: V : tan sin tan( ) cos( ) cos ( ) 6) RE998 On antud jooned y = sin ja y = cos Milliste väärtuste korral lõigust ; on nende joonte puutujad paralleelsed? (Leia sirgetega = ja = ning antud joontega piiratud kujundi pindala- integraali ülesanne!) V: = - ja S=

13 7) RE999 (5p) Leia sin, kui cos rahuldab võrrandit 5cos² + 5cos - = ja V: 5 8) RE RE999 (5p) Rombi ühe tipu juures olev nurk rahuldab tingimust sin cos Leia rombi pindala, kui pikem diagonaal on V: 96 9) RE Kolmnurga ühe tipu juures olev nurk rahuldab tingimust sin cos Leia kolmnurga pindala, kui kolmnurga küljed on erineva pikkusega ja nurga vastaskülg on 6 ning lähiskülg 6 V: 8 cos ) RE On antud funktsioon f ( ), ; cos Selgita, kas funktsioon f() on määratud lõigul Leia vahemikus ; a) funktsiooni f() nullkohad; ; b) vahemikud, kus funktsioon f() on positiivne ja kus see on negatiivne; c) funktsiooni f() kasvamis- ja kahanemisvahemikud; d) funktsiooni f() maksimumpunkt Skitseeri funktsiooni f() graafik vahemikus otspunktides; a), ; b) X ;, X c) X ;, X ; ; d) Pma ; ; V: Ei ole määratud ; ; ; ) Riigieksam (p) Lahenda võrrand cos - sin =, kui ; Leia parameetri b kõik väärtused, mille korral võrranditel cos - sin = ja sin b leiduvad ühised lahendid, kui ; Leia funktsiooni y = sin periood ja skitseeri selle funktsiooni graafik, kui ; Skitseerige samale joonisele funktsiooni y = sin graafik V: ) ; ;; ; ;); ;) ) (Riigieksam 5p) Vaatleme funktsioone f() = cos ja g() = sin a) Avalda cos suurus sin kaudu b) Lõigul ; () lahenda võrrand f() = g() () joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f() ja g() graafikud Leia joonise abil väärtused, mille korral f() < g()

14 5 5 V: cos sin ; ; ; ; ; ) Riigieksam (5p) Antud on funktsioon f() = sin lõigul ; a) Lahenda võrrand f() = b) Joonesta funktsiooni y = sin graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele c) Kolmnurgas ABC olgu C = 9º, A = ja AB = Tõesta, et kolmnurga ABC pindala võrdub väärtusega f() d) Leia nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus on V: 5 ;75 ;95 ;55 ;5 ) Riigieksam (p) Amsterdam - Berliin - Praha moodustavad kolmnurga (vt joonist), mille kaks nurka on 5 ja Kui kaugel on Amsterdam Berliinist ja Praha Amsterdamist? Vastused anna täpsusega km Berliin B Amsterdam A 8 km Praha V: 6 km ja 77 km 5) Riigieksam (p) Kolm teed magistraaltee, maantee ja külavahetee moodustavad kolmnurga ABC, milles A = B = 5 ja AB = km (vt joonist) Kui pikk on teelõik AC? Kell pööras liikluseeskirjade rikkuja punktis A magistraalteelt maanteele ja jätkas sõitu kiirusega km/h ristmiku C suunas Samal ajal (kell ) alustas punktist B sõitu mööda külavaheteed ristmiku C suunas politseiinspektor, kes jõudis kohale 5 sekundiga Kas politseiinspektor jõudis ristmikule C enne liikluseeskirjade rikkujat? Põhjenduseks esitage arvutused 5 P A magistraaltee km B 5 külavahetee maantee V: AC on ligikaudu,6 km; kiiruseületaja s 6) Riigieksam (p) Antud on funktsioon f() = cos lõigul ; a) Lahenda võrrand f() = b) Joonesta funktsiooni y = sin graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele C

15 c) Kolmnurgas ABC olgu C = 9, B = ja AB = Tõesta, et kolmnurga f ABC kaatetite summa võrdub cos sin d) Leia nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus oleks 5 7 V: ; ; ; ; ) Riigieksam (5p) Antud on funktsioon f() = cos sin a) Lihtsusta funktsiooni avaldist b) Arvutage f() täpne väärtus, kui sin = 5 c) Määra, kas f() on paaris- või paaritu funktsioon d) Lahenda võrrand f() = lõigul ; e) Joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide y = cos ja y = -cos graafikud lõigul ; V: cos ; ; paarisfunktsioon ; 5 ;5 ;5 ;5 5 8) RE 5(5p) Joonesta samas teljestikus funktsioonide y = sin ja y = cos graafikud Määra lõigul ; graafikute lõikepunkti koordinaadid Põhjenda 5 vastust V: L ; 9) RE 6(5p) Leia suuruse a väärtused, mille korral võrrandil cos = 5a leidub lahend, mis kuulub lõiku ; V:, a,6 ) RE 7(p) Antud on funktsioon y =sin lõigul ; ) Leia funktsiooni nullkohad ja muutumispiirkond ) Joonista funktsiooni graafik ) Kasutades saadud graafikut, leia a) funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond; b) argumendi väärtused, mille korral y <- 7 V: ;; ; ; X ; ; X ;, X ; ; ; 6 6 ) RE 8(p) Kolmnurkse väljaku ühe külje pikkus on m, selle külje lähisnurgad on ja 7 ning kolmanda nurga tipus asetseb kolmnurga tasapinnaga ristuv lipumast Lipumasti tipp paistab nürinurga tipust maapinna suhtes 7 nurga all Arvutage väljaku pindala ja lipumasti kõrgus V: m ;, m ) RE 8(5p) ) Lihtsusta avaldis cos + sin tan + cos ) Joonesta funktsioonide f() = cos ja g() = cos graafikud lõigul ; ühes ja samas teljestikus ning leidke graafikute lõikepunktide abstsissid ;, mille korral g() < ) Leia osa ) joonise abil argumendi väärtused lõigul f() V: cos ; ; ; ; ; ;, ; 5) RE 9(p) Sirge tee ääres asuvad talud A, B ja D Iga talu juurest viib otsetee 5

16 postkontorisse C (vt joonist) Kulude kokkuhoiu eesmärgil otsustas vallavalitsus sulgeda liiklemiseks teed AC ja BC ning jätkata vaid teede AB ja CD hooldamist Plaanil mõõtkavaga : on tee AB pikkus 9 mm Teades, et teede AD ja BD pikkus on võrdne ning CAB = 5 ja ABC = 5, leidke, mitme kilomeetri võrra pikeneb teede sulgemise tõttu talude A ja B elanike teekond postkontorisse C? Lõppvastus andke täpsusega, km V: A:,9 km võrra ja B:,9 km võrra 6) RE 9(5p) On antud funktsioonid 5 f ( ) sin sin 6 6 ja g() = sin ) Näita, et f () = cos ) Leia võrrandi g() = cos lahendid, mis asuvad lõigul [;π ] ) Joonesta ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f () ja y = g() graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f () > g() lõigul [;π ] 7 7 V: ; ; ; ; ; ; ) RE (p) Rööpküliku KLMN diagonaal LN on 6,7 cm ja külg LM on 5, cm Nurk KNL on º Märgi andmed joonisele Arvuta rööpküliku KLMN ümbermõõt ja pindala Nurga KNL poolitaja lõikab rööpküliku külge KL punktis T Arvuta lõikude KT ja TL pikkused NB! Kõik lõppvastused ümarda kümnendikeni V: P 9,7cm; S 5,cm ; KT,cm; TL 5,cm 8) RE (p) Joonisel on funktsioonide f() = cos ja g() = sin graafikud lõigul [; ] ) Kirjuta joonisele funktsioonide nimetused ) Lahenda võrrand cos = sin lõigul [; ] ) Joonesta samale joonisele funktsiooni h() = cos graafik lõigul [; ] ) Leia jooniselt kõigi kolme funktsiooni ühine negatiivsuspiirkond lõigul [; ] 6

17 9) RE (5p) Kolm kaatrit kohtusid merel punktis O Pärast kohtumist suundus esimene kaater põhja, teine ida ja kolmas lõuna suunas ) Kaks tundi pärast kohtumist olid kaatrid jõudnud vastavalt punktidesse A,B ja C, mis on täisnurkse kolmnurga ABC tippudeks I ja II kaatri vaheline kaugus oli 6 km ning II kaatri kiirus oli 6 km/h võrra suurem I kaatri kiirusest Leia I ja III kaatri vaheline kaugus tundi pärast kohtumist ) I ja III kaater peatusid pärast -tunnist sõitu, II kaater jätkas liikumist samadel tingimustel veel ühe tunni ja jõudis punkti D Leidke nurga ADC suurus / V: km; 8 9 ) RE (p) a) Arvuta avaldise sin sin täpne väärtus, kui cos b) Leia funktsiooni f ( ) sin suurim ja vähim väärtus lõigul ; c) Leia parameetri a väärtused nii, et võrrandil sin a 9a sin oleks lõigul ; täpselt neli erinevat lahendit V: ; ymin,; yma ; a, a 8, a, a 9 9 ) KT Seinale on riputatud suur Hiina lehvik Lehvik on kujult ringi sektori kujuline, kesknurgaga o ja raadiusega cm Leidke selle lehviku pindala Vastus ümardage ühelisteni V: 9 cm ) KT Omanik tahab tellida purjelaevale kolmnurkse purje Leidke purje ümbermõõt ja pindala Kas ristkülikukujulisest kangast mõõtmetega m m on võimalik valmistada selline puri (NB! Ilma õmblusteta)? Põhjendage oma vastust (näiteks tehke joonis) V: m, 6 m, on võimalik 6 o o cm 7

18 ) RE (5p) Maatükist ABCD, kus AB= 5 m, BC= 5m, AD= m, ABC = 9º, BAD = º ja BCD = 9º, õnnestus müüa vaid kolmnurkne osa ABD a) Tehke ülesande tekstile vastav joonis ja märkide andmed joonisele b) Arvutage müüdud maatüki ümbermõõt c) Mitu protsenti kogu maatükist jäi müümata? Lõppvastus ümardage kümnendikeni V: P=5 m; 55,6% 8