Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid"

Ζωή Φλέσσας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A} G -1 (x i )={ x k < x k, x i > A} Näide: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 a 2 a 5 x 2 a 1 a 3 x 3 a 4 x 4 a 6 x 5

2 Mitteorienteeritud graafis: G(x i )= G -1 (x i ) G 2 (x i )=G(G(x i )) jne. Tee (orienteeritud ahel) - kaarte jada Seotud kaared - omavad ühist tippu Lihttee - iga kaar mitte rohkem kui 1 kord Elementaartee - iga tipp mitte rohkem kui 1 kord Ahel - tee "analoog" orienteerimata graafil Kaare kaal ja kaalutud kaartega graafid Tipu kaal ja kaalutud tippudega graafid Tee kaal ja pikkus Kontuur - suletud elementaartee Hamiltoni kontuur - läbib 1 kord kõik tipud Hamiltoni tsükkel - orienteerimata graafil Tipu astmed: Väljundaste d o (x i ) = G(x i ) Sisendaste d t (x i ) = G -1 (x i ) Σ d o (x i ) = Σ d t (x i )

3 Alamgraafid: Jääkgraaf: G(X,A p ), A p A (osa kaari puudu) Taandatud graaf: G(X s,a p ), X s X, A p A (osa tippe ja nendega seotud (intsidentsed) kaared puudu) Alamgraaf: jääkgraafi + taandatud graafi omadused Graafi tüübid: Täielik graaf Sümmetriline ja asümmeetriline graaf Kahealuseline graaf : mitteorienteeritud graaf on kahealuseline, kui ta ei sisalda paaritu pikkusega tsükleid Tasandiline graaf: kaared ei ristu. Kolme maja ja kolme kaevu näide. Sidusus: Tugevasti seotud graaf Ühepoolselt seotud graaf Mittesidus graaf Graafi tugevasti sidus komponent

4 Graafi maatriksesitus Naabrusmaatriks - sellelt saab välja lugeda iga tipu sisend- ja väljundastme, hulgad G(x i ) ja G -1 (x i ) jne. Teed pikkusega 2: A 2 a ik = Σ a ij a jk Näide (vt. eespool) Intsidentsusmaatriks - read (tipud) ja veerud (kaared); sisu 1, -1, 0 Näide (vt. eespool) R(x i )= G 0 (x i ) G 1 (x i ) G 2 (x i ). G n (x i ) Q(x i )= G 0 (x i ) G -1 (x i ) G -2 (x i ). G -n (x i ) Graafi baas B: minimaalne tippude hulk, kust on saavutatav iga tipp Leida graafi G jaoks minimaalne tippude alamhulk, kust suvaline tipp on saavutatav 1 kaarega (minimaalse katte ülesanne)

5 Graafiteooria üldmõisteid (2) Sõltumatu tippude hulk: S X ja S G(S) =, s.t. suvalised kaks tippu pole intsidentsed. Näide: {x 1,, x n } -erinevad projektid {y 1,, y m } - ressursid R(x i ) - resursid, mida vajab projekt x i G: tipud on projektid; (x i, x j )=1, kui R(x i ) R(x i ) Maksimaalne sõltumatute tippude hulk - paralleelselt käivitatavad projektid. Domineeriv tippude hulk: S X ja S G(S) = X Minimaalne domineeriv alamhulk: "Tsentrite" paigutamine: saatjad, sõjaväebaasid, teeninduskompleksid jne. Näide: s.o. katteülesamnne, kus leitakse naabrusmaatriksi kate. Tüüpülesanded: tõlgid ja keeled (mitu tõlki on vaja?)

6 Graafi värvimise probleemid: Orienteerimata silmusteta graaf. Graafi kromaatiline arv: mitu värvi on vaja, et värvida lähistipud eri värvi. Näide: poliitiline kaart Tasandilise graafi jaoks: nelja värvi hüpotees viie värvi teoreem Värvimise idee r-kromaatilise graafi jaoks: 1. värv - max. sõltumatute tippude hulk S[G] 2. värv - max. sõltumatute tippude hulk S [ X \ S[G]] jne. Si - sõltumatud tippude hulgad Xi - tipud X1.... Xn S1.... Sm Leida min. arv hulki nii, et kõik tipud oleksid kaetud.

7 Näide: Leida pöördgraaf. Max. täielikud alamgraafid: sõltumatud hulgad värv - x1 2. värv - x2, x3, x5 3. värv - x4 Ligikaudne algoritm: 1. Järjestada tipud mitteaksvavate astmete järgi; 2. Max. astmega tipp - 1.värv 3. Tipud, mis pole temaga intsidentsed - samuti 4. Allesjäänutest max. astmega - 2.värv 5. Tipud, mis pole sellega intsidentsed - samuti 6. jne.

8 Rakendusülesandeid: Paigutada n objekti konteineritesse. Teatud objekte ei tohi kokku panna. Iga konteiner - värv. n objekti ülevaatus. Teatud objekte ei saa koos vaadata. Minimeerida ülevaatuse aeg. Tasapinnal on lõplik hulk sirgeid, mis jaotavad pinna piirkondadeks. Leida kromaatiline arv. Klemmid: hulk 1 ja hulk 2. Omavahelised ühendused - mitmel tasapinnal? Lühimate teede leidmine Leida lühim tee kahe tipu vahel. Arvestada kaarte kaalusid (võivad olla ka negatiivsed). Kui G k sisaldab siht-tippu, siis tee pikkusega k eksisteerib. Lainealgoritm. Euleri tsükkel Läbib 1 kord iga kaart. Orienteerimata graaf: pole paaritu astmega tippe. Or.graaf: iga tipu sisend- ja väljundastmed võrdsed.

9 Königsbergi sildade ülesanne:

Σχετικά έγγραφα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad