Geomeetrilised vektorid

Transcript

1 Vektorid

2 Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse suuruse väärtuste hulgaks võib olla ka kompleksarvude hulk. Suurust, mille kirjeldamiseks on peale arvulise väärtuse vaja teada tema sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks. Geomeetrilise vektori all mõistame kindla pikkusega, kindlas sihis paiknevat ja kindlas suunas suunatud suurust. Samaväärne definitsioon: Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku.

3 Vektori algus- ja lõpp-punkt A B Vektoril on alguspunkt (joonisel punkt A) ja lõpp-punkt (B). Algus- ja lõpp-punktiga määratud vektorit tähistatakse: AB või kreeka väiketähega

4 Kollineaarsed vektorid Vektori = AB pikkust e. moodulit tähistatakse = AB = AB Vektori pikkuse all mõeldakse tema algus- ja lõpp-punkti vahelist kaugust. Vektoreid, mis asuvad paralleelsetel sirgetel (või ühel ja samal sirgel), nimetatakse kollineaarseteks. Asjaolu, et vektorid ja β on kollineaarsed, tähistatakse: β. β γ δ ε β γ δ ε

5 Vektorite võrdsus Kollineaarsed vektorid võivad olla samasuunalised (tähistatakse β) või vastandsuunalised (tähistatakse β ). β γ β γ Vektorid AB ja BA on samasihilised (kollineaarsed) ja sama pikkusega, kuid nende suunad on vastupidised. Kirjutatakse: AB = BA Kui kolm vektorit on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, siis nimetatakse neid komplanaarseteks. Kaht geomeetrilist vektorit ja β loetakse võrdseteks ja kirjutatakse = β, kui need vektorid on kollineaarsed, samasuunalised ( β ) ja ühepikkused = β.

6 Vektorite liitmine Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse nullvektoriks. Nullvektorit tähistatakse kreeka tähega θ (teeta). Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC. Vektorite liitmiseks tuleb nad ruumis nii ringi paigutada (iseendaga paralleelselt), et nad moodustaksid murdjoone; seejuures tuleb iga järgnev vektor rakendada eelneva vektori lõpp-punktist. Vektorite summaks on vektor, mis sulgeb murdjoone. β γ + β + γ γ β

7 Vektori korrutamine skalaariga Arvu (skalaari) c ja vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab järgnevaid tingimusi: 1) vektor c on paralleelne (kollineaarne) vektoriga : c ; 2) kui c 0, siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse ja arvu c absoluutväärtuse korrutamisel: c = c. 0,5 0,5

8 Lineaarsed tehted Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Lineaaralgebra on matemaatika haru, mis uurib objekte, millega saab sooritada lineaarseid tehteid.

9 Geomeetriliste vektorite vektorruum Teoreem 1 Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1) + β = β + iga, β V korral (liitmise kommutatiivsus); 2) ( + β ) + γ = + ( β + γ ) iga, β, γ V korral (liitmise assotsiatiivsus); 3) leidub selline vektor θ V, et + θ = θ + = iga V korral (nullvektori olemasolu); 4) iga vektori V jaoks leidub selline vektor β V, et + β = β + = θ (vastandvektori olemasolu); 5) ( a + b) = a + b iga a, b R ja V korral; 6) a ( + β ) = a + aβ iga a R ja, β V korral; 7) ( ab ) = a( b) iga a, b R ja V korral; 8) 1 = iga V korral. Omadused 1 8 annavad meile õiguse nimetada hulka V vektorruumiks.

10 Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a 1 ; a 2 ;... ; a n ), võetuna kindlas järjekorras. Tähistame: = ( a ; a2 ;...; a 1 n ) Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka tähistatakse R n nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks. ja teda Lineaarsed tehted aritmeetilises ruumis Aritmeetiliste vektorite = a ; a ;...; a ) ja β = b ; b ;...; b ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit ( 1 2 n + β = ( a 1 + b1 ; a2 + b2;...; a n + bn ) Skalaari c ja aritmeetilise vektori = ( a ; a2;...; a nimetatakse aritmeetilist vektorit c = ca ; ca ;...; ca ). ( 1 2 n 1 n ( 1 2 n ) korrutiseks

11 Aritmeetiliste vektorite vektorruum Teoreem 2 Lineaarsed tehted n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis rahuldavad teoreemis 1 toodud kaheksat omadust. Seega moodustavad n-mõõtmelised aritmeetilised vektorid vektorruumi. Nullvektor n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis : Vektori vastandvektor: = a ; a ;...; a ) ( 1 2 n θ = (0;0;...;0)

12 Vektorite skalaarkorrutis Aritmeetiliste vektorite = ( a1; a2;...; an) ja β = ( b1 ; b2;...; bn ) skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu β = n i= 1 a b = a b + a b a i i n b n Teoreem 3 Skalaarkorrutis n-mõõtmelises ruumis V = R n rahuldab omadusi 1) 0 iga V korral; = 0 parajasti siis, kui = θ; 2) β = β iga, β V korral (kommutatiivsus); 3) ( β + γ ) = ( β ) + ( γ ) iga, β, γ V korral (distributiivsus); 4) ( + β ) γ = ( γ ) + ( β γ ) iga, β, γ V korral (distributiivsus); 5) a ( β ) = ( a) β = ( aβ ) iga, β V ja a R korral.