ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος

Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΙΙ Ροές µε ελεύθερη επιφάνεια Ασκήσεις ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

Άσκηση Να υπολογισθεί η παροχή εξ αιτίας οµοιόµορφης ροής νερού σε ορθογωνικό κανάλι που κατασκευάζεται από αφινίριστο σκυρόδεµα (unfinished concrete) και η κοίτη του οποίου έχει κλίση S0,00m/m, µε πλάτος,0m και βάθος ροής 0,50m. Να χαρακτηρισθεί η ροή. Επίλυση Για τον προσδιορισµό της µέσης ταχύτητας της ροής µετρηµένη σε (m/s) θα εφαρµόσουµε την εµπειρική εξίσωση του Manning (Τερζίδης, 996, Μαθήµατα Υδραυλικής, εξ. 6.4.) που δίνει την κλίση των τριβών, S f (-dh/dx), συναρτήσει του συντελεστή τραχύτητας των τοιχωµάτων του καναλιού, n, της µέσης ταχύτητας της ροής, U, και της υδραυλικής ακτίνας της ροής n U S f, (.) R 4 / h η οποία µε αλγεβρικές πράξεις διατυπώνεται και στη σχέση Chez-Manning U C R h S f (Chez) όπου C ( R ) / 6 h (Manning) (.) n Tην τιµή του συντελεστή τραχύτητας, n, θα την πάρουµε από τους κατάλληλους πίνακες (π.χ. βλέπε Κορωνάκης, 005, σελ. 54 ή από Πίνακα Π. Β-.c.4 Lined or Built-up Channels/ Nonmetal/Concrete/Unfinished του Παραρτήµατος III). Από του πίνακες αυτούς προκύπτει το παρακάτω εύρος τιµών του n 0,04<n<0,00 και µε µέση τιµή σχεδιασµού n0,07 ΠΡΟΣΟΧΗ! Σε µερικά συγγράµµατα, βιβλία, εγχειρίδια, τεχνικές οδηγίες κλπ µπορεί να µη αναφέρεται ο τύπος του Manning µε αυτήν ακριβώς τη µορφή ή µε τς ίδιες ακριβώς µεταβλητές, ή να αναφέρεται ο τύπος του Chez. Για παράδειγµα, µπορεί τη µεταβλητή που αναφέρεται στο συντελεστή αντίστασης (ή συντελεστή τριβής ή...) να µη συµβολίζεται µε n αλλά µε C ή k ή κάτι άλλο. Κάθε τύπος αποτελεί µια εµπειρική αριθµητική έκφραση που περιγράφει το ίδιο φυσικό φαινόµενο (τοπική απώλεια υδραυλικής ενέργειας λόγω τριβών) αλλά ενδεχοµένως µετρηµένο µε διαφκαι όχι µιορετικό τρόπο και διαφορετικές µεζούρες. Θα πρέπει να είσαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί και να µην µπλέκετε τις διάφορες µεταβλητές από διαφορετικές εκφράσεις ή διαφορετικά βιβλία πίνακες κλπ. Από τα γεωµετρικά στοιχεία της ροής στο κανάλι προκύπτει υδραυλική ακτίνα R A b,0m 0,50m R h 0,46m (.) P b+,0m+ 0,5m h w Τώρα, σύµφωνα µε τα δεδοµένα, η ροή είναι οµοιόµορφη, εποµένως η γραµµή της ολικής ενέργειας, είναι παράλληλη µε την ελεύθερη επιφάνεια του νερού και την κοίτη του καναλιού, εποµένως οι τρείς κλίσεις, τριβών, S f, ελεύθερης επιφάνειας νερού, S w, και πυθµένα καναλιού, S o, είναι ίσες, δηλαδή S f S w S o (.4) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

Οπότε µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση ταχύτητα (Προσοχή: ή σχέση Chez/Manning είναι µια αριθµητική σχέση δε χρησιµοποιούµε µονάδες, η τιµή του R h αναφέρεται σε m και το αποτέλεσµα για την ταχύτητα σε m/s, n και S o είναι αδιάστατα) / ( R h ) S0 0,46 0,00 U,94 [ m / s] (.5) n 0,07 U και την παροχή Q UA Ub,94m / s,0m 0,5m Q,089m / s (.6) Η µέση ταχύτητα και η παροχή για τις ακραίες τιµές του συντελεστή τραχύτητας υπολογίζονται αντίστοιχα: 0,04<n<0,00,58m/s>U>,4769m/s,75 m /s >Q>,66m /s Προκειµένου να χαρακτηρίσουµε τη ροή θα υπολογίσουµε τους αδιάστατους αριθµούς Renolds και Froude. ΠΡΟΣΟΧΗ! Το κυριότερο χαρακτηριστικό της δεδοµένης ροής είναι οτι είναι οµοιόµορφη (δηλαδή η µέση ταχύτητα της ροής, U, δε µεταβάλλεται κατά µήκος του αγωγού). Αυτό µας δόθηκε στην εκφώνηση ως δεδοµένο, άµεσα. Ενδέχεται να µη µας δίνεται άµεσα ως δεδοµένο αλλά να µπορούµε να το συµπεράνουµε από άλλα δεδοµένα. Για παράδειγµα, έστω οτι µας δινόταν οτι «η διατοµή του αγωγού παραµένει αµετάβλητη σε όλο το µήκος του (πρισµατικός αγωγός) όπως επίσης και το βάθος ροής (παραµένει αµετάβλητο σε όλο το µήκος του αγωγού)». Σε µια τέτοια περίπτωση από την εφαρµογή του νόµου συνέχειας (ισοζύγιο παροχής µάζας / όγκου νερού) προκύπτει οτι η ταχύτητα παραµένει αµετάβλητη και συµπεραίνουµε οτι η ροή είναι οµοιόµορφη. Από πίνακες µε τις φυσικές ιδιότητες του νερού βρίσκουµε τις τιµές της πυκνότητας και του δυναµικού ιξώδους (υποθέτουµε θερµοκρασία 0 o C), ρ998kg/m και µ,0 0 - Ns/m αντίστοιχα. Τότε O αριθµός Renolds, 4R ρu 4 0,46m 998kg / m,94m / s 6 Re h Re 4,0 0 0000 µ,0 0 Ns / m > (.7) και ο αριθµός Froude U,94m / s Fr Fr,78 > (.8) g 9,8m / s 0,5m Άρα η ροή είναι τυρβώδης (πλήρως ανεπτυγµένη - Re>0000) και υπερκρίσιµη (Fr>) Πρόσθετη εκτίµηση Αφού η ροή είναι υπερκρίσιµη κάπου κατάντη θα δηµιουργηθεί υδραυλικό άλµα (Υ/Α), µόλις, ή εάν και εφόσον, η τιµή του Froude µειωθεί σε µικρότερη από, είτε λόγω τριβών - ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

οπότε θα µειωθεί η ταχύτητα και θα αυξηθεί το βάθος ροής, είτε λόγω εµποδίου στη ροή υπερχειλιστής κλπ, είτε λόγω µείωσης της κλίσης του αγωγού. Προσοχή! Αυτό δεν µορούµε να προβλέψουµε εάν θα γίνει ή πότε θα γίνει γιατί δεν έχουµε τα αντίστοιχα δεδοµένα. Λύσαµε το πρόβληµα µόνο για την περιοχή της ροής ή το µήκος του αγωγού για τα οποία µας δίνεται οτι η ροή είναι οµοιόµορφή. Στην περίπτωση που θα δηµιουργείτο υδραυλικό άλµα (Υ/Α) σε κάποιο οριζόντιο τµήµα του αγωγού, για να προσδιορίσουµε τη νέα κατάσταση της ροής µετά το άλµα θα εφαρµόσουµε ισοζύγιο ροής γραµµικής ορµής σε όγκο ελέγχου που περιέχει το άλµα : ρu U A ρu U ρ U ρu U A p A p A ( b) ρu U ( b) ρg ( b) ρg ( b) ( U U ) Q U Q gb( ) Q ρ U Q ρ g b ρ g b Q gb 0 gb ( + )( ) ( + ) U Q U + gb U Q 0 ( gb) ± + 8U Q / ( gb) > 0 (.9) + + 8UQ / ( ) + + 8U / g (.0) και θέτοντας U Fr η παραπάνω σχέση γίνεται ( + + 8Fr) g (.) που είναι η γνωστή έκφραση [[Τερζίδης. Γ. 996 «Μαθήµατα Υδραυλικής - Γενική Υδραυλική», Παρ..4.5, έκφραση (.4.48)] και Τερζίδης, Γ. 996 «Μαθήµατα Υδραυλικής Ανοικτοί Αγωγοί», Παρ. 6.7., έκφραση (6.7.)] που συνδέει τα βάθη ροής ενός Υ/Α σε οριζόντιο αγωγό, οπότε αντικαθιστώντας τα δεδοµένα έχουµε: ( + + 8,78) 0,6m 0,5m (.) εφαρµογή της εξίσωσης του Bernoulli ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας δεν εξυπηρετεί γιατί εµφανίζεται ένας παραπάνω άγνωστος, οι απώλειες της υδραυλικής ενέργειας της ροής στο άλµα ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 4

Άσκηση Έστω ροή σε ένα οριζόντιο κανάλι ορθογωνικής διατοµής πλάτους bm. Η παροχή είναι Q9m /s και το ύψος της στάθµης της ροής είναι,5m. Από κάποιο σηµείο του καναλιού και µετά η κοίτη ανυψώνεται µε ένα οµαλό αναβαθµό (σκαλοπάτι) κατά 7cm. Χαρακτηρίσατε τη ροή (τυρβώδης, στρωτή, κρίσιµη, υπερκρίσιµη, υποκρίσιµη κλπ) πριν και µετά τον αναβαθµό. Υποθέστε ότι οι απώλειες λόγω τριβής είναι αµελητέες. Είναι αποδεκτή αυτή η υπόθεση? U U z z z z0 Επίλυση Ροή στο κανάλι πριν τον αναβαθµό (δείκτης ) Mέση ταχύτητα της ροής στη διατοµή (), U, Q 9m / s Q U A U U U,0m / s (.) b m,5m Υδραυλική ακτίνα, R H στο τµήµα () A b m,5m R h R h,5m (.) P b+ m+,5m R h w Aριθµός Renolds, στο τµήµα () Re 4R hu 4,5m,0m / s 7 Re Re,07 0 m / s (.) 6 ν, 0 m / s Επειδή Re>0 5, η ροή στο τµήµα () του καναλιού είναι τυρβώδης, πλήρως ανεπτυγµένη. Άρα είναι εύλογο να υποθέσουµε ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες. Ο αδιάστατος αριθµός Froude στη διατοµή () είναι U,0m / s FR FR 0,5 (.4) g 9,8m / s,5m FR < Άρα η ροή είναι υποκρίσιµη (βλέπε και σχετικό διάγραµµα Ε-). Υπολογίζουµε ακόµα µερικά µεγέθη (για το πρώτο τµήµα του καναλιού) τα οποία θα µας χρειασθούν στη συνέχεια της ανάλυσης. Ειδική παροχή, : Q 9,0m /s,0m /s (.5) b,0m ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 5

Ειδική ενέργεια, Ε : (,0m / s) ( 9,8m / s ) (,5m) E U + +,5m + E,709m (.6) g g Ροή στο κανάλι µετά τον αναβαθµό (δείκτης ) Θέτουµε τη στάθµη αναφοράς υψοµέτρων κάτω από τον πυθµένα του καναλιού πριν τον αναβαθµό. Μετά τον αναβαθµό το υψόµετρο z της κοίτης του καναλιού αυξάνει και γίνεται z z + 0,7m z z 0,7m Για να προσδιορίσουµε το νέο ύψος της στάθµης της ροής, θα εξετάσουµε τη µεταβολή της συνολικής υδραυλικής ενέργειας, Η, και της ειδικής ενέργειας, Ε. Η ειδική παροχή,, παραµένει ίδια αφού δεν αλλάζει το πλάτος του καναλιού:,0m /s (.7) Εφ όσον υποθέσαµε ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες, η συνολική υδραυλική ενέργεια α.µ.β.υ. διατηρείται και στα δύο τµήµατα του καναλιού. H U U H z+ + z + + z+ + z + + g g g g ( z z ) E E E ( z z ),704m 0,7m E,54 m E (.8) Mε βάση αυτήν την τιµή της ειδικής ενέργειας Ε,504m και τη σχέση Ε-, µπορούµε να υπολογίσουµε τη στάθµη της ροής : E + E 0 E + 0 (.9) g g g E + 0,m (.0) g η οποία επιλύεται αριθµητικά, π.χ. µε µέθοδο Newton-Raphson (βλέπε Παράρτηµα) µε f( ) E + & f ( ) E,,0m /s και E,54m, ως ακολούθως: g i,i f(,i) f'(,i)df/d,756 5,864,6090 0,68540,79677,75586 0,589594,45645 4,6644 0,09586 0,968 5,4498 0,0079 0,78456 6,59,88E-05 0,7797 7,569,E-09 0,7785 8,569 0 0,7785 και δίνει ως αποτέλεσµα,m Η υδραυλική ακτίνα, R H στο τµήµα () µετά τον αναβαθµό είναι ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 6

A b m,m R h 0,676m (.) P b+ m+,m R h w Mέση ταχύτητα της ροής στη διατοµή (), U, Q 9m / s Q U A U U,44m / s (.) b m,m O αριθµός Renolds, στο τµήµα () είναι Re 4R hu 4 0,676m,44m / s 6 Re 5,89 0 m / s (.) 6 ν, 0 m / s Άρα Re <Re. Επίσης, επειδή Re >0 5, η ροή στο τµήµα () του καναλιού είναι και αυτή τυρβώδης, πλήρως ανεπτυγµένη. Άρα και στο τµήµα (), η υπόθεση ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες ισχύει. Ο αδιάστατος αριθµός Froude για τη ροή µετά τον αναβαθµό είναι U,44m / s FR 0,70 (.4) g 9,8m / s,m FR < Άρα η ροή είναι υποκρίσιµη και µπορεί να διατηρηθεί (δε θα υπάρξει άλµα) και στο δεύτερο τµήµα του καναλιού. Γραφική επίλυση (εναλλακτικά) Και στα δύο τµήµατα του καναλιού (πριν και µετά τον αναβαθµό) αντιστοιχεί το ίδιο διάγραµµα ειδικής ενέργειας έναντι ύψους στάθµης (Ε-) επειδή το πλάτος του καναλιού παραµένει σταθερό (βλέπε διάγραµµα). Οι ροές στα δύο τµήµατα του καναλιού (πριν και µετά τον αναβαθµό) αντιστοιχούν σε διαφορετικά ζεύγη (Ε, ) & (Ε, ) της ίδιας καµπύλης (Ε-). Με βάση την τιµή του βάθους της ροής,5m προσδιορίζουµε την ειδική ενέργεια από την καµπύλη (E-) /(g) για (m /s) (το,5m αντιστοιχεί σε E,704m) την οποία στη συνέχεια υποβιβάζουµε κατά το ποσό που κέρδισε η ροή λόγω υψοµετρικής διαφοράς ( z07cm). Έτσι παίρνουµε την ειδική ενέργεια της ροής µετά τον αναβαθµό (Ε,54m), οπότε προσδιορίζουµε από την ίδια καµπύλη (Ε-) το βάθος ροής που αντιστοιχεί σε αυτή (,m).,5 z0,7m Eιδική ενέργεια α.µ.β.υ., Ε (m),0,5,0 0,5 E E (E-) /(g) m /s bm E 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Ύψος στάθµης ροής, (m) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 7

Συζήτηση Το πρόβληµα επιλύθηκε µε δύο τρόπους (αναλυτικά και γραφικά). Από τα αποτελέσµατα παρατηρούµε ότι: Για υποκρίσιµη (ποτάµια) ροή, < A <A και U >U όπως ακριβώς θα γινόταν σε ροή σε κλειστό αγωγό στον οποίο µειώνεται η διάµετρος. ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 8

Άσκηση Έστω ροή σε ένα οριζόντιο κανάλι ορθογωνικής διατοµής πλάτους b. Η παροχή είναι Q και το ύψος της στάθµης της ροής είναι. Από κάποιο σηµείο του καναλιού και µετά η κοίτη ανυψώνεται µε ένα οµαλό αναβαθµό (σκαλοπάτι) κατά zt. Να εξετάσετε τι θα γίνει µε το νέο βάθος της ροής µετά τον αναβαθµό. Υποθέστε ότι οι απώλειες λόγω τριβής είναι αµελητέες. U U z z z z0 Επίλυση Ροή στο κανάλι πριν τον αναβαθµό (δείκτης ) Υπολογίζουµε µερικά µεγέθη (για το πρώτο τµήµα του καναλιού) τα οποία θα µας χρειασθούν στη συνέχεια της ανάλυσης. Ειδική παροχή, : Q (.) b U Ειδική ενέργεια, Ε : E + + (.) g g Ροή στο κανάλι µετά τον αναβαθµό (δείκτης ) Θέτουµε τη στάθµη αναφοράς υψοµέτρων στην κοίτη του καναλιού πριν τον αναβαθµό. Έτσι z 0. Μετά τον αναβαθµό το υψόµετρο z της κοίτης του καναλιού αυξάνει και γίνεται z z + t z t (.) Για να προσδιορίσουµε το νέο ύψος της στάθµης της ροής, θα χρησιµοποιήσουµε το ισοζύγιο ροής ολικής ενέργειας ανά µονάδα βάρους υγρού (α.µ.β.υ.). Θα εξετάσουµε τη συνολική υδραυλική ενέργεια, Η, και την ειδική ενέργεια, Ε, στις δύο διατοµές εκατέρωθεν του αναβαθµού. Εφ όσον υποθέσαµε ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες, E 0, η συνολική υδραυλική ενέργεια α.µ.β.υ. διατηρείται και στα δύο τµήµατα του καναλιού. H E E E H t 0+ E E 0 z t+ E + U + g E z E + t U + g 0+ E z + E t+ E z + E (.4 ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 9

Η ειδική παροχή,, παραµένει ίδια αφού δεν αλλάζει το πλάτος του καναλιού: (.5) Γραφική επίλυση Και στα δύο τµήµατα του καναλιού (πριν και µετά τον αναβαθµό) αντιστοιχεί το ίδιο διάγραµµα ειδικής ενέργειας έναντι ύψους στάθµης (Ε-) επειδή το πλάτος του καναλιού παραµένει σταθερό (βλέπε διάγραµµα) και, εποµένως, η ειδική παροχή,, είναι σταθερή. Οι ροές στα δύο τµήµατα του καναλιού (πριν και µετά τον αναβαθµό) αντιστοιχούν σε διαφορετικά ζεύγη (Ε, ) & (Ε, ) της ίδιας καµπύλης (Ε-). ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις ανάλογα µε το εάν η τιµή του βάθους της ροής είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη από το κρίσιµο βάθος, εάν δηλαδή η ροή πριν τον αναβαθµό είναι ποτάµια (υποκρίσιµη ροή περίπτωση Α) ή χειµαρρώδης (υπερκρίσιµη ροή περίπτωση Β) αντίστοιχα. Προσδιορίζουµε την ειδική ενέργεια από την καµπύλη (E-) /(g) -το αντιστοιχεί σε E - την οποία στη συνέχεια υποβιβάζουµε κατά το ποσό που κέρδισε η ροή λόγω υψοµετρικής διαφοράς, z. Έτσι παίρνουµε την ειδική ενέργεια της ροής µετά τον αναβαθµό Ε E - z οπότε προσδιορίζουµε από την ίδια καµπύλη (Ε-) το βάθος ροής που αντιστοιχεί σε αυτή,. Περίπτωση Α (ποτάµια ροή) Περίπτωση Β (χειµαρρώδης ροή),5 z,5 z Eιδική ενέργεια α.µ.β.υ., Ε (m),0,5,0 0,5 E E (E-) /(g) bm E Eιδική ενέργεια α.µ.β.υ., Ε (m),0,5,0 0,5 E E (E-) /(g) bm E 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Ύψος στάθµης ροής, (m) 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Ύψος στάθµης ροής, (m) Συζήτηση Από τα αποτελέσµατα παρατηρούµε ότι: Υποκρίσιµη (ποτάµια) ροή, < A <A και U >U Υπερκρίσιµη (χειµαρώδης) ροή, > A >A και U <U ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 0

Άσκηση 4 Νερό ρέει µε µέση ταχύτητα,0m/s και µε βάθος ροής,0m σε ένα ορθογωνικό κανάλι µε λεία τοιχώµατα. Να υπολογιστεί η µέγιστη ανύψωση από την κοίτη του καναλιού ενός αναβαθµού ( σκαλοπατιού ) έτσι ώστε να διατηρηθούν οι ροϊκές συνθήκες (τυρβώδης, στρωτή, κρίσιµη, υπερκρίσιµη, υποκρίσιµη κλπ). Υπόθεση: οι απώλειες λόγω τριβής είναι αµελητέες στον αναβαθµό. Επίλυση Τα χαρακτηριστικά της ροής ανάντι του αναβαθµού (δείκτης )είναι Ειδική ενέργεια, Ε : (,0m / s) E U +,0m+ E,459m (4.) g 9,8m / s Η µέγιστη ανύψωση του αναβαθµού, z max, θα είναι ίση µε τη διαφορά µεταξύ της ανάντι ειδικής ενέργειας και της ελάχιστης ειδικής ενέργειας (προκειµένου να διατηρηθούν οι συνθήκες της ροής κατάντι του αναβαθµού) η οποία είναι αυτή που παρατηρείται σε συνθήκες κρίσιµης ροής (µε κρίσιµο βάθος ροής), ήτοι z E E (4.) max min Το κρίσιµο βάθος µιας ροής, c, δίνεται από την έκφραση: / ( Q / b) ( U) (,0m / s,0m) c,0m g (4.) g g g 9,8m / s c Γνωρίζουµε ότι σε συνθήκες κρίσιµης ροής ισχύει η σχέση µεταξύ κρίσιµου βάθους και ελάχιστης ειδικής ενέργειας: c E min (4.4) Εφαρµόζοντας την παραπάνω µε τα δεδοµένα έχουµε E c,0m E min,0m (4.5) min Εποµένως η µέγιστη ανύψωση του αναβαθµού προκύπτει z E E,459m,0m z 0,47m (4.6) max min max ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

Άσκηση 5 Έστω ροή σε ένα οριζόντιο κανάλι ορθογωνικής διατοµής. Η παροχή είναι Q9m /s. Σε µια περιοχή, το κανάλι διευρύνεται οµαλά και το πλάτος του αυξάνει από b m σε b 4m. Σε µια τυπική διατοµή πριν τη διεύρυνση, το ύψος της στάθµης του νερού είναι,0m. Χαρακτηρίσατε τη ροή (τυρβώδης, στρωτή, κρίσιµη, υπερκρίσιµη, υποκρίσιµη κλπ). Πως θα µετασχηµατιστεί η ροή κατάντη (δηλ. µετά) τη διεύρυνση? Τι θα παρατηρήσει κάποιος? Μπορεί η ροή στη διατοµή () να διατηρηθεί? Τι θα συµβεί? Υποθέστε ότι οι τριβές είναι αµελητέες. Είναι αποδεκτή αυτή η υπόθεση? Επίλυση Ανάντι της διεύρυνσης Mέση ταχύτητα της ροής στη διατοµή (), U, Q 9m / s U A U U U,5m / s (5.) b m,m Q Υδραυλική ακτίνα, R H στο τµήµα () A b m,m R h R h 0,667m (5.) P b + m+,m R h w Aριθµός Renolds, στο τµήµα () Re 4R hu 4 0,667m,5m / s 6 Re Re 5,96 0 m / s (5.) 6 ν, 0 m / s Επειδή Re>0 5, η ροή στο τµήµα () του καναλιού είναι τυρβώδης, πλήρως ανεπτυγµένη. Άρα είναι εύλογο να υποθέσουµε ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες. Ο αδιάστατος αριθµός Froude στη διατοµή () είναι U,5m / s FR FR 0,79 (5.4) g 9,8m / s,m FR < Άρα η ροή είναι υποκρίσιµη (βλέπε σχετικό διάγραµµα) και µπορεί να διατηρηθεί (δε θα υπάρξει άλµα) για το πρώτο τουλάχιστον τµήµα του καναλιού. Υπολογίζουµε ακόµα µερικά µεγέθη (για το πρώτο τµήµα του καναλιού) τα οποία θα µας χρειασθούν στη συνέχεια της ανάλυσης. Ειδική παροχή, : Q 9,0m / s,0m / s (5.5) b,0m Ειδική ενέργεια, Ε : (,0m / s) ( 9,8m / s ) (,m) E U + +,m+ E,586m (5.6) g g Κατάντη της διεύρυνσης ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

Στο δεύτερο τµήµα του καναλιού το πλάτος του, b, αυξάνει. Για να προσδιορίσουµε το νέο ύψος της στάθµης της ροής b, θα εξετάσουµε τη µεταβολή της συνολικής υδραυλικής ενέργειας, Η, και της ειδικής ενέργειας, Ε. Ειδική παροχή, : Q 9,0m / s,5m / s (5.7) b 4,0m Εφ όσον υποθέσαµε ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες, η συνολική υδραυλική ενέργεια α.µ.β.υ. διατηρείται και στα δύο τµήµατα του καναλιού. U U H H z+ + z + + z+ + z + + (5.8) g g g g όπου Q U A U b Q και U (5.9) b U b b b είναι οι ειδικές παροχές (παροχή ανά µονάδα πλάτους καναλιού) στις δύο τυπικές διατοµές του καναλιού. Όµως το κανάλι είναι οριζόντιο, άρα z z, και η προηγούµενη σχέση γίνεται U U + + + E g g g g ( ) E ( ) + (5.0) Αυτή η εξίσωση έχει ως µοναδικό άγνωστο το. Μετά από αλγεβρικές πράξεις θα µας δώσει + + E 0 E + 0 (5.) g g g g E + 0 (5.) g η οποία επιλύεται αριθµητικά (π.χ. µε µέθοδο Newton-Raphson (βλέπε Παράρτηµα) µε f( ) E + & f ( ) E,,5m /s και E,586m, ως g ακολούθως: i,i f(,i) f'(,i)df/d,8675 5,956,649 0,55854,005,4477 0,084,88756 4,8975 0,0096,57 5,89 8,90E-05,5448 6,8866 8,768E-09,5476 7,8866 0,5476 και δίνει ως αποτέλεσµα Έτσι, η ειδική ενέργεια, Ε :,89m ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

(,5m / s) ( 9,8m / s ) (,89m) E +,89m + E,586m (5.) g όπως ήταν αναµενόµενο(!). Η υδραυλική ακτίνα, R H στο τµήµα () είναι A b 4m,84m R h 0,88m (5.4) P b + 4m+,84m R h w Mέση ταχύτητα της ροής στη διατοµή (), U, Q 9m / s U A U U,66m / s (5.5) b 4m,84m Q O αριθµός Renolds, στο τµήµα () είναι Re 4R hu 4 0,88m,66m / s 6 Re 4,75 0 m / s (5.6) 6 ν, 0 m / s Που είναι Re <Re όπως ήταν αναµενόµενο. Επίσης, επειδή Re >0 5, η ροή στο τµήµα () του καναλιού είναι και αυτή τυρβώδης, πλήρως ανεπτυγµένη. Άρα και στο τµήµα (), η υπόθεση ότι οι απώλειες λόγω ιξωδών τριβών είναι αµελητέες ισχύει. Ο αδιάστατος αριθµός Froude στη διατοµή () είναι U,66m / s FR 0,44 (5.7) g 9,8m / s,84m FR < Άρα η ροή είναι υποκρίσιµη και στο δεύτερο τµήµα του καναλιού και δε θα υπάρξει άλµα. Γραφική επίλυση (εναλλακτικά) Στα δύο τµήµατα του καναλιού αντιστοιχούν διαφορετικές καµπύλες ειδικής ενέργειας έναντι ύψους στάθµης (Ε-). Αυτό συµβαίνει διότι, η παροχή, Q, είναι µεν ίδια για κάθε τµήµα, αλλά, εξ αιτίας των διαφορετικών πλατών b & b, για κάθε τµήµα του καναλιού αντιστοιχεί µια καµπύλη σε κάθε ειδική παροχή, Q/b, & Q/b (βλέπε αντίστοιχα τις καµπύλες µε διακεκοµένη γραµµή και συνεχόµενη γραµµή στο παρακάτω διάγραµµα). Η ολική υδραυλική ενέργεια α.µ.β.υ. διατηρείται (θεωρούµε µηδενικές απώλειες κατά τη διεύρυνση), δηλαδή Ηz++U /(g)z+eαµετάβλητο Επίσης διατηρείται αµετάβλητη η δυναµική ενέργεια α.µ.β.υ., z (λόγω αµετάβλητου ύψους κοίτης καναλιού), άρα θα διατηρείται αµετάβλητη και η ειδκή ενέργεια, Ε. Εποµένως θα πρέπει να επαληθεύεται η εξίσωση Ε ( )Ε ( ) για τις δύο στάθµες, &, που θα έχει η ροή στα τµήµατα του καναλιού πριν και µετά τη διεύρυνση. Έτσι, ξεκινώντας από την τιµή,m γράφουµε ευθεία // στον άξονα Ε, η οποία τέµνει το διάγραµµα (E-) /(g) για ( m /s) σε σηµείο που έχει Ε,5m. Στη συνέχεια βρίσκουµε το σηµείο στο διάγραµµα (E-) /(g) για (,5m /s) που επαληθεύει την Ε Ε,5m και, ξεκινώντας από εκείνο, γράφουµε µια ευθεία // στον άξονα Ε που τέµνει τον άξονα των στο,8m. Αυτό είναι το νέο βάθος της ροής µετά τη διεύρυνση. ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 4

,5 (E-) /(g) Eιδική ενέργεια α.µ.β.υ., Ε (m),0,5,0 0,5 EE,0 m /s bm,5m b4m /s E (E-) /(g) 0,0 0,0 0,5,0,5,0,5 Ύψος στάθµης ροής, (m) Συζήτηση Το πρόβληµα επιλύθηκε µε δύο τρόπους (αναλυτικά και γραφικά). Από τα αποτελέσµατα παρατηρούµε ότι: Υποκρίσιµη ροή, b <b < (p >p ), A <A και U >U όπως ακριβώς θα γινόταν σε ροή σε κλειστό αγωγό στον οποίο διευρύνεται η διάµετρος. Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να εκτιµήσουµε το βάθος της ροής σε ένα κανάλι µετά από στένωσή του δηλαδή εάν b <b (b το πλάτος του καναλιού κατάντι της στένωσης). Εάν, για παράδειγµα η ροή χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω µεγέθη Πριν τη στένωση (ανάντι) Μετά τη στένωση (κατάντι) b m b 4m U,66m/s,8m Τότε µε παρόµοιο τρόπο (ακολουθώντας µε αντίθετη φορά τη διαδικασία στο διάγραµµα) προσδιορίζουµε ότι: U,66m/s και,0m ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 5

Άσκηση 6 Σε έναν οριζόντιο ορθογωνικό αγωγό πλάτους b ρέει νερό µε σταθερή παροχή. Εάν το βάθος ροής αυξάνει κατά τη διεύθυνση της ροής χαρακτηρίσατε τη ροή ως προς το εάν είναι ποτάµια ή χειµαρώδης. Εάν το βάθος της ροής µειώνεται κατά τη διεύθυνση της ροής χαρακτηρίσατε τη ροή ως προς το εάν είναι ποτάµια ή χειµαρώδης. ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 6

Άσκηση 7 Σε έναν οριζόντιο ορθογωνικό αγωγό πλάτους bm ρέει νερό µε σταθερή παροχή. Σε µια διατοµή Α, το βάθος ροής είναι 5cm και η µέση ταχύτητα του νερού είναι U,m/s. Οι συνολικές απώλειες υδραυλικής ενέργειας ανά µονάδα µήκους αγωγού λόγω τριβών εκτιµώνται στα Η/L,5cm/m. Ερωτήµατα Πόση είναι (α) η παροχή, Q, και (β) η ειδική παροχή,, του νερού στον αγωγό? (γ) Σε τι µήκος L κατάντι της διατοµής Α εκτιµάτε οτι θα δηµιουργηθεί το υδραυλικό άλµα? Α L Α U Υπόδειξη H συνολική υδραυλική ενέργεια, Η, µεταβάλλεται κατά µήκος του αγωγού. Επίλυση (α) Η παροχή στον αγωγό στη διατοµή () είναι: U b,m /s 0,5m m Q 0,69m / s (7.) Q (β) και η ειδική παροχή είναι: U,m /s 0,5m 0,45m / s (7.) Τόσο η παροχή όσο και η ειδική παροχή παραµένουν σταθερές σε όλο το µήκος του αγωγού (γ) Όπως φαίνεται στο σχήµα, υπάρχει ένα υδραυλικό άλµα, εποµένως ανάντι του Υ/Α η ροή θα είναι χειµαρώδης και κατάντι του Υ/Α ποτάµια. Ελέγχουµε αυτήν την υπόθεση υπολογίζοντας τον αριθµό Froude στη διατοµή () ανάντι του Υ/Α U U,m /s,m /s Fr,896 > (7.) c g 9,8m / s 0,5m,m /s άρα, όντως η ροή είναι χειµαρώδης στη διατοµή (). Το Υ/Α θα δηµιουργηθεί όταν η ροή από χειµαρώδης γίνει ποτάµια δηλαδή όταν Fr. Η ειδική ενέργεια στη διατοµή () είναι ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 7

(,m /s) E U + 0,5m + 0,5m + 0,696 0,496m (7.4) g 9,8m /s Επειδή η ροή είναι χειµαρώδης σε οριζόντιο πυθµένα, το βάθος ροής θα αυξάνει κατάντι (βλέπε Άσκηση 6) και η ροή θα τείνει να γίνει ποτάµια επειδή ο Fr θα αυξάνει (θα µειώνεται λόγω τριβής η ταχύτητα και εποµένως θα αυξάνει το βάθος ροής για να διατηρηθεί η παροχή σταθερή). Όταν η ροή πάει να γίνει κρίσιµη θα ισχύει η σχέση της παροχής για κρίσιµη ροή ( 0,45m / s) 0,979m g cr cr (7.5) g 9,8m / s Εκεί, στη διατοµή (), η κρίσιµη ροή έχει ειδική ενέργεια: E E min cr 0,979m 0,4468m (7.6) Ένα ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας α.µ.β.υ. (Bernoulli) µεταξύ της διατοµής () και της σχεδόν κρίσιµης (cr) διατοµής () θα δώσει H H L H L z z + H cr H E E E L H cr L cr ( z + E ) + L ( z + E ) E+ L 0,4468m 0,496m,5cm / m,m L (7.7) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 8

Άσκηση 8 Στην κορυφή () του υπερχειλιστή ενός φράγµατος ταµιευτήρα νερού, µετριέται το βάθος ροής 65cm. Στο τέλος της υπερχείλισης () όπου ο πυθµένας του καναλιού γίνεται οριζόντιος, µετριέται το βάθος ροής 80cm. Η στάθµη της κορυφής του υπερχειλιστή είναι z 8,0m. Το κανάλι του υπερχειλιστή έχει ορθογωνική διατοµή πλάτους b4,5m. Ερωτήµατα (α) Πόση είναι η παροχή, Q, και πόση η ειδική παροχή,, του νερού (εκροή από το φράγµα) διαµέσου του υπερχειλιστή? (β) Σε τι ύψος, φ, υψηλότερα από την κορυφή του υπερχειλιστή είναι η στάθµη του νερού στον ταµιευτήρα (πόσο είναι το φορτίο)? (γ) Θα δηµιουργηθεί υδραυλικό άλµα στην περιοχή της ροής που επισηµαίνεται µε διακεκοµµένη γραµµή? ΝΑΙ ΟΧΙ και γιατί? (δ) Πόση είναι η ειδική ενέργεια α.µ.β.υ., Ε, στις διατοµές 0, και? (ε) Πόση είναι η συνολική υδραυλική ενέργεια α.µ.β.υ., Η, στις διατοµές 0, και? (στ) Σε τυχαία θέση (), όπου η στάθµη της κοίτης του υπερχειλιστή είναι z, πόση είναι η ειδική ενέργεια E (z)? (θεωρήστε ότι οι τριβές από την κορυφή του υπερχειλιστή µέχρι εκείνη τη θέση είναι αµελητέες). (ζ) Ποια είναι η ελάχιστη τιµή του βάθους ροής στη θέση,,max, ώστε να διατηρείται ένα υδραυλικό άλµα πριν από τη θέση? Σηµείωση - Αµελήστε τις τριβές σε µια στενή περιοχή εκατέρωθεν της κορυφής του υπερχειλιστή (αυτή που επισηµαίνεται µε την εστιγµένη καµπύλη ). Νοητή γραµµή φράγµατος Ταµιευτήρας νερού (τεχνητή λίµνη) φ υπερχειλιστής 0 z V z z0 V ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 9

Επίλυση (α) Η παροχή διαµέσου του υπερχειλιστή θα υπολογισθεί από µέτρηση του βάθους ροής σε µια διατοµή στην οποία επικρατούν συνθήκες κρίσιµης ροής. Αυτή η διατοµή είναι η () δηλαδή η κορυφή του υπερχειλιστή (βλέπε σχετική ανάλυση από Τερζίδης, Γ., «Υδραυλική. Ροή σε ανοικτούς αγωγούς», εδάφιο 6.4.7, σελ. 9-). Για τη διατοµή (), όπου η ροή είναι κρίσιµη, η ειδική παροχή είναι: g cr 9,8m / s ενώ η παροχή είναι: Q b,64m / s 4,5m ( 0,65m),64 m / s (8.) Q 7,86m / s (8.) Είναι δεδοµένο ότι η παροχή παραµένει σταθερή. Η ειδική παροχή παραµένει και αυτή σταθερή κατάντι της διατοµής () σε όλο το κανάλι υπερχείλισης -αφού το πλάτος του καναλιού υπερχείλισης παραµένει σταθερό (προσοχή, αυτό συµβαίνει από την κορυφή του υπερχειλιστή και µετά). ηλαδή,. Αλλά, προσοχή, θα πρέπει να πούµε οτι 0. H διαφοροποίηση τη ειδικής παροχής ανάντι της υπερχείλισης, οφείλεται στο ότι αναφερόµαστε σε υπερχειλιστή ταµιευτήρα φράγµατος νερού. Έτσι, στον υπερχειλιστή συσωρεύεται νερό από µια πολύ µεγάλη λεκάνη. Εποµένως το πλάτος και η διατοµή υπερχείλισης είναι πολύ µικρότερη από οποιαδήποτε διατοµή εντός της λεκάνης ανάντι του υπερχειλιστή. Η ταχύτητα στην κρίσιµη διατοµή είναι,64 m /s V,546 m / s (8.) 0,65m (β) Σε τι ύψος, φ, υψηλότερα από την κορυφή του υπερχειλιστή είναι η στάθµη του νερού στον ταµιευτήρα (πόσο είναι το φορτίο)? Επειδή στη διατοµή () η ροή είναι κρίσιµη, η ειδική ενέργεια, Ε, γίνεται ελάχιστη και ίση µε (Τερζίδης, εξ. 6.4.) E E min cr 0,65m 0,975m (8.4) Έτσι, η ολική ενέργεια α.µ.β.υ. στη διατοµή () γίνεται H z + E 8,0m+ 0,975m 8,975m (8.5) Επειδή η ροή από τη διατοµή (0) -πολύ ανάντι ως προς την κορυφή του υπερχειλιστή, µέχρι την κορυφή του υπερχειλιστή, διατοµή () -σύµφωνα µε τη σηµείωση- µπορεί να θεωρηθεί ότι γίνεται χωρίς απώλειες ενέργειας λόγω τριβών (γιατί?), µπορούµε να διατυπώσουµε το ισοζύγιο ολικής υδραυλικής ενέργειας α.µ.β.υ. (Bernoulli) ως εξής: H H 0 V 0 + H 0 H H 0 0 ( z 0 + E 0) + H 0 H 0+ 0 + g (8.6) Η µέση ταχύτητα V 0 δίνεται από την έκφραση V 0 0 / 0, όπου 0 η ειδική παροχή ανάντι της υπερχείλισης [διαφορετική όµως της ( 0 )]. Οπότε στο ισοζύγιο Bernoulli εµπλέκονται άγνωστα µεγέθη, τα 0 & V 0 ( 0 / 0 ) και η εξίσωση (8.6) δεν επιλύεται. ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 0

Μπορούµε όµως να «παρακάµψουµε» το πρόβληµα εκµεταλλευόµενοι το δεδοµένο ότι πρόκειται για τον υπερχειλιστή από έναν ταµιευτήρα φράγµατος νερού. Εποµένως το πλάτος και η διατοµή υπερχείλισης είναι πολύ µικρότερη από οποιαδήποτε διατοµή ανάντι του υπερχειλιστή. ηλαδή σε οποιαδήποτε διατοµή ανάντι του υπερχειλιστή η ροή έχει τόσο µικρή ταχύτητα που για πρακτικούς λόγους µπορούµε να πούµε ότι «δεν υφίσταται ροή». Έτσι, µπορούµε να θέσουµε V 0 0, οπότε η εξίσωση (8.6) επιλύεται άµεσα: 0 H z+ E z+ z+ E ϕ E ϕ ϕ E E c c 0,65m ϕ 0,975m (8.7) ϕ Εναλλακτικά, µπορούµε να υποθέσουµε ότι πολύ ανάντι της υπερχείλισης ένα επιφανειακό στρώµα νερού, πάχους φ, από το επίπεδο zz και πάνω «γλυστράει» χωρίς τριβές πάνω στην υπόλοιπη «ακίνητη» µάζα του νερού µε µέση ταχύτητα V φ. Τότε το ισοζύγιο Bernoulli αλλά αυτή τη φορά για τη ροή της στρώσης του φορτίου- µεταξύ των διατοµών (0) και () µπορεί να ξαναγραφεί και ως H ϕ + H V ϕ H ϕ ϕ ϕ E Hϕ 0 ϕ ( z + E ) + H ( z+ E) ϕ + zϕ z g (8.8) Kαι πάλι καταλήγουµε σε µια εξίσωση µε άγνωστα µεγέθη, τα φ και V φ ( φ0 / φ ), που δεν επιλύεται. Με παρόµοιο τρόπο «παρακάµπτουµε» το πρόβληµα εκµεταλλευόµενοι όπως και προηγούµενα- το δεδοµένο ότι πρόκειται για τον υπερχειλιστή από έναν ταµιευτήρα φράγµατος νερού. Εποµένως το πλάτος και η διατοµή υπερχείλισης είναι πολύ µικρότερη από οποιαδήποτε διατοµή ροής φορτίου. ηλαδή σε οποιαδήποτε διατοµή φορτίου πρακτικά δεν υφίσταται ροή. Έτσι, µπορούµε να θέσουµε ότι V φ 0, οπότε η τελευταία σχέση δίνει τιµή για το φορτίο [ίδια µε της (8.7) κάτι που ήταν αναµενόµενο]. ϕ E ϕ E E c c 0,65m ϕ 0,975m (8.9) ϕ (γ) Για να δηµιουργηθεί υδραυλικό άλµα στην περιοχή που επισηµαίνεται µε διακεκοµένη γραµµή, δηλαδή µετά τη διατοµή () µέχρι τη διατοµή (), θα πρέπει η ροή να µετατρέπεται από υπερκρίσιµη σε υποκρίσιµη. Στη διατοµή () η ροή είναι υπερκρίσιµη (γιατί? - διότι λόγω κατηφορικού πυθµένα και αµελητέων τριβών θα έχουµε αύξηση της ταχύτητας µιας ήδη κρίσιµης ροής). Έτσι, θα πρέπει να εξετάσουµε εάν στη διατοµή () η ροή είναι υποκρίσιµη ή υπερκρίσισµη. Αρκεί να υπολογίσουµε τον αριθµό Froude στη διατοµή (), Fr ή, αντίστοιχα, την ταχύτητα V.,64 m / s V,05 m / s (8.0) 0,80m V V,05 m / s Fr Fr 0,7< (8.) g 9,8 m / s 0,80m Εποµένως, αφού η ροή στη θέση () είναι υπερκρίσιµη ενώ στη θέση () είναι υποκρίσιµη, κάπου ενδιάµεσα των διατοµών () & () θα δηµιουργηθεί υδραυλικό άλµα. ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

(δ) Πόση είναι η ειδική ενέργεια α.µ.β.υ., Ε, στις διατοµές 0, και? Από τον ορισµό της ειδικής ενέργειας α.µ.β.υ. τρεις διατοµές: Στη διατοµή (0) V E + προκύπτουν οι τιµές της Ε στις g V0 0 V0 0+ E0 0 z + ϕ g E0 8m+ 0,975m E 0 8,975m (8.) Στη διατοµή () κρίσιµη διατοµή όπου ήδη υπολογίσαµε την ταχύτητα V [σχέση 8.)] E ( / ) (,546 m /s) V + + 0,65m+ g g 9,8m /s που προφανώς είναι ίδια µε την τιµή που προκύπτει από τη σχέση (8.7), και στη διατοµή () E 0,975m (8.) E,64 m / s V + + + 0,80m 0,80m g g 9,8m / s E,045m (8.4) (ε) Η συνολική υδραυλική ενέργεια α.µ.β.υ., Η, σε κάθε µια από τις διατοµές 0, και προκύπτει εύκολα από τον ορισµό H z+ E εάν στις αντίστοιχες ειδικές ενέργειες α.µ.β.υ. προσθέσουµε τις υψοµετρικές στάθµες, z: Στη διατοµή (0) διατοµή φορτίου H 0 ϕ zϕ + Eϕ z + E 8,0m+ 0,975m 8,975m (8.5) Στη διατοµή () έχουν γίνει ήδη οι υπολογισµοί H z + E 8,0m+ 0,975m 8,975m (8.6) και στη διατοµή () H z + E 0,0m+ E E,045m (8.7) Παρατηρούµε ότι Η 0 Η, που ήταν αναµενόµενο εξ αιτίας της δεδοµένης απουσίας τριβών µεταξύ των διατοµών (0) και (). Η δραστική µείωση της τιµής της ολικής υδραυλικής ενέργειας α.µ.β.υ. στη διατοµή () οφείλεται εν µέρει στις ενεργειακές απώλειες λόγω τριβών του νερού µε τα τοιχώµατα του καναλιού µεταξύ των διατοµών () & () (και ιδίως για τη διαδροµή κατά την οποία η ροή παραµένει υπερκρίσιµη) αλλά κυρίως- λόγω εσωτερικών τριβών στο υδραυλικό άλµα. (στ) Σε οποιαδήποτε διατοµή (), όπου η στάθµη της κοίτης του υπερχειλιστή είναι z, και θεωρώντας ότι οι τριβές από την κορυφή του υπερχειλιστή () µέχρι εκείνη τη θέση είναι αµελητέες ( Η 0), η ειδική ενέργεια E (z) εκτιµάται µέσω εξίσωσης Bernoulli ως εξής ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

H + 0 H H H H H H z + E E H z (8.8) (ζ) Όπως αναφέρθηκε στο (γ) η ροή στη διατοµή () είναι υποκρίσιµη. Έχει γίνει υποκρίσιµη ανάντι της () κάπου µεταξύ της () και της (). Για να διατηρηθεί το Υ/Α ακριβώς πριν από τη θέση () η ροή αρκεί να µετατρέπεται σε υποκρίσιµη σε µια διατοµή οριακά ανάντι της () άρα στην () ο αντίστοιχος αριθµός Froude θα πρέπει να είναι οριακά µικρότερος του. ηλαδή θα πρέπει Fr (,64 m / s) g g g 9,8 m / s,699 m 9,8 m 0,6499 m (8.9) 4 ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

Άσκηση 9 Έστω κανάλι ορθογωνικής διατοµής πλάτους b. Ο πυθµένας του καναλιού είναι οριζόντιος. Στο κανάλι αναπτύσσεται ροή σταθερής παροχής, Q. Σε κάποιο σηµείο του πυθµένα του καναλιού τοποθετείται ένας αναβαθµός/καταβαθµός ύψους, t0mm. Η ελεύθερη επιφάνεια του νερού επισηµαίνεται µε τη διακεκοµένη γραµµή. Η ροή είναι από αριστερά προς τα δεξιά. Αναγνωρίστε τα διάφορα είδη ροών ανάντι- υπεράνω- και κατάντι- του αναβαθµού/καταβαθµού. Σηµειώστε επάνω στην Εικόνα τα σηµεία ενδιαφέροντος. Q Αναβαθµός-καταβαθµός Οριζόντιος πυθµένας ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 4

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 5

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 6

Ι) Αριθµητική επίλυση αλγεβρικής εξίσωσης - Μέθοδος παραγώγου Newton-Raphson Έστω η αλγεβρική εξίσωση f(x)0 για την οποία θέλουµε να βρούµε µία ή περισσότερες ρίζες, x. Η διαδικασία της µεθόδου Newton-Raphson είναι η εξής: Ξεκινάµε µε µια αρχική υπόθεση της τιµής της ρίζας, x n, σχετικά κοντά στην πραγµατική ρίζα, υπολογίζουµε την τιµή της συνάρτησης f(x n ) και την τιµή της παραγώγου της συνάρτησης f (x n ) στο ίδιο σηµείο x n. Στη συνέχεια προσδιορίζουµε την επόµενη δοκιµαστική τιµή της ρίζας, x n+ ως x n+ x n f f ( x n) ( x ) n H διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι nn όταν σταθεροποιηθεί (για τη ζητούµενη ακρίβεια) η x σε κάποια ρίζα και η f(x) 0. f(x n ) ω n f(x n+ ) ω n+ tanω n f (x n ) tanω n+ f (x n+ ) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 7

ΙΙ) Επίλυση της εξίσωσης ου βαθµού (κυβικής) + a z + a z+ a 0 z 0 (από Handbook of Mathematical, Scientific and Engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms ISBN 0-8789-5-4, Research & Education Association, USA, 980) Θέτοντας A και B ( aa a 0) a a a 9, 6 7 τότε εάν υπάρχουν Α +Β >0 πραγµατική ρίζα & συζυγείς µιγαδικές ρίζες Α +Β 0 πραγµατικές ρίζες, τουλάχιστο ίσες Α +Β <0 πραγµατικές ρίζες Θέτουµε s + και B+ A B s + B A B Τότε οι ρίζες της κυβικής εξίσωσης δίνονται από τις εκφράσεις: z s+ s z z a a ( s + s ) + i ( s ) s a ( s + s ) i ( s ) s Επίσης, για τις ρίζες z, z, z της κυβικής εξίσωσης ισχύει z + z + z a z z z + z z + z z a z z a 0 ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 8

ΙΙΙ. Πίνακας Π. Τιµές του συντελεστή τραχύτητας, n για διάφορους αγωγούς (Chow, 959) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 9

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04 0

ΙV. Πίνακας Π. Γεωµετρικά στοιχεία διατοµών αγωγών (Chow, 959) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

ΙV. Πίνακας Π. Γεωµετρικά στοιχεία βέλτιστων διατοµών αγωγών (Chow, 959) ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθ/τής ΤΕΙ Αθήνας Αύγουστος 04