HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18 1 1
Θεωρία Συνόλων 02-Mar-18 2
Προηγούμενη φορά Σύνολα, πολυσύνολα Ισότητα Διαγράμματα Venn x S Κενό σύνολο, μοναδικότητα Υποσύνολο/υπερσύνολο συνόλου 02-Mar-18 3 3
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΝΑΙ S ; ΝΑΙ Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΟΧΙ S ; ΟΧΙ πάντα! Π.χ., {, α, β} αλλά {α, β} 02-Mar-18 4 4
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Αυτό μας βοηθά να δώσουμε άλλη μια ερμηνεία του τελεστή «εάν τότε» Η πρόταση x (P(x) Q(x)) σημαίνει ότι «τα στοιχεία που έχουν την ιδιότητα P είναι υποσύνολο των στοιχείων που έχουν την ιδιότητα Q» Αν κανένα στοιχείο στο π.ο. της x δεν έχει την ιδιότητα P, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι αληθής Αν όλα τα στοιχεία έχουν την ιδιότητα Q, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι και πάλι αληθής Η μόνη περίπτωση να είναι ψευδής η πρόταση είναι να υπάρχει ένα στοιχείο με την ιδιότητα P που να μην έχει την ιδιότητα Q 02-Mar-18 5 5
Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Περισσότεροι συμβολισμοί: S T ( Το S είναι υπερσύνολο του T ) : ορ. T S. Σημειώστε ότι S=T S T S T. : ορ. (S T), δηλ. x(x S x T) S / T 02-Mar-18 6 6
Γνήσια υποσύνολα και υπερσύνολα S T ( Το S είναι γνήσιο υποσύνολο του T ) σημαίνει ότι S T S T Παράδειγμα:{1,2} {1,2,3} Ισχύει ότι {1,2,3} {1,2,3},... αλλά όχι ότι {1,2,3} {1,2,3} 02-Mar-18 7 7
Τα σύνολα είναι αντικείμενα επίσης! Τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να είναι από μόνα τους σύνολα. Π.χ. S={{1,2}, {1,3}} Προσοχή: {1,2} {{1,2}} 02-Mar-18 8 8
Πληθικός αριθμός S ( ο πληθικός αριθμός του S ) είναι το πλήθος των στοιχείων του S. π.χ., =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Εάν S N, τότε λέμε ότι το S είναι πεπερασμένο. Αλλιώς, λέμε ότι το S είναι άπειρο. 02-Mar-18 9 9
Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου Το δυναμοσύνολο P(S) ενός συνόλου S είναι το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του S. P(S) : {x x S}. Π.χ. P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Μερικές φορές το P(S) το συμβολίζουμε με 2 S. Σημειώστε ότι (σίγουρα για πεπερασμένα σύνολα S), P(S) = 2 S. Προκύπτει ότι S: P(S) > S, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα με διαφορετικά μεγέθη! 02-Mar-18 10 10
Πράξεις μεταξύ συνόλων Ένωση Τομή Διαφορά Συμμετρική διαφορά Συμπλήρωμα συνόλου 02-Mar-18 11 11
Ένωση συνόλων Για δύο σύνολα A, B, η ένωσή τους ( nion) A B είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A, ή ( ) ανήκουν στο B (ή, φυσικά, και στα δύο). Τυπικά, A,B: A B = {x x A x B}. Πχ. {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί υπερσύνολο και του A και του B : A, B: (A B A) (A B B) 02-Mar-18 12 12
Παράδειγμα ένωσης συνόλων {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} 02-Mar-18 13 13
Ένωση συνόλων Πως μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί το μικρότερο δυνατό υπερσύνολο και του A και του B; Έστω ότι υπάρχει σύνολο Μ, υπερσύνολο του Α και του Β που έχει λιγότερα στοιχεία από το A B Αυτό σημαίνει πως Α Μ και Β Μ και ταυτόχρονα υπάρχει x A B τέτοιο ώστε x Μ. Αφού x A B, τότε x A ή x B. Και αφού Α Μ και Β Μ, x M. Αντίφαση Άρα, δεν υπάρχει υπερσύνολο του Α και του Β με λιγότερα στοιχεία από το A B 02-Mar-18 14 14
Γενικευμένη ένωση συνόλων Δυαδικός τελεστής ένωσης: A B n-οστή ένωση: A A 2 A n : (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η ομαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συμβολισμός: A ή: A X A i 1 i 02-Mar-18 15 15
Τομή συνόλων Για σύνολα A, B, η τομή τους A B περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στο A και ( ) στο B. Τυπικά, A,B: A B={x x A x B}. Η τομή A B δύο συνόλων Α, Β είναι ένα υποσύνολο και του A και του B (το μέγιστο τέτοιο υποσύνολο): A, B: (A B A) (A B B) 02-Mar-18 16 16
Παράδειγμα τομής συνόλων {a,b,c} {2,3} = {2,4,6} {3,4,5} = {4} 02-Mar-18 17 17
Γενικευμένη τομή συνόλων Δυαδικός τελεστής τομής: A B n-οστή τομή: A 1 A 2 A n (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η ομαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συμβολισμός: A ή: A X A i 1 i 02-Mar-18 18 18
Ξένα σύνολα Δύο σύνολα A, B λέγονται ξένα αν και μόνο αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο. (A B= ) Π.χ. {a,b,c} {2,3} = 02-Mar-18 19 19
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A B δύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε μία γενική σχέση; (Εκφράστε το με βάση τα A, B και ό,τι άλλο χρειαστείτε.) 02-Mar-18 20 20
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A B δύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε μία γενική σχέση; A B = A B A B 02-Mar-18 21 21
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού: Παράδειγμα Παράδειγμα: Έστω ότι σε ένα σύνολο ανθρώπων, 50 άτομα έχουν μηχανάκι, 180 άτομα έχουν ποδήλατο και 30 άτομα έχουν και μηχανάκι και ποδήλατο. Πόσοι άνθρωποι έχουν δίτροχο μεταφορικό μέσο; 02-Mar-18 22 22
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού: Παράδειγμα Α Β Μηχανάκι (50) Μηχανάκι + Ποδήλατο (30) Ποδήλατο (180) 02-Mar-18 23 23
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Έστω Δ Α Β, όπου, Α = {s s έχει μηχανάκι} Β = {s s έχει ποδήλατο} Μερικοί μπορεί να έχουν και τα δύο! Δ = Α Β = Α Β Α Β (στο παράδειγμά μας, Δ = 50+180-30 = 200) 02-Mar-18 24 24
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Στην περίπτωση τριών συνόλων Α 1 Α 2 Α 3 = Α 1 + Α 2 + Α 3 - Α 1 Α 2 - Α 1 Α 3 - Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Θα δούμε αργότερα πως γενικεύεται για την ένωση n συνόλων. 02-Mar-18 25 25
Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού για ξένα σύνολα Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: A B = A B 02-Mar-18 26 26
Διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η διαφορά του A από το B, συμβολίζεται με A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία του A που δεν ανήκουν στο B. Τυπικά: A B : x x A x B 02-Mar-18 27 27
Διαφορά συνόλων - Venn Diagram Το σύνολο A B είναι ότι απομένει από το Α όταν από αυτό εξαιρέσουμε όλα τα στοιχεία του Β Σύνολο A B Σύνολο A Σύνολο B 02-Mar-18 28 28
Παραδείγματα διαφοράς συνόλων {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {1,4,6} Z N {x x ακέραιος αλλά όχι φυσικός} = {, 1, 0, 1, 2, } {1, 2 } = {, 3, 2, 1, 0} 02-Mar-18 29 29
Συμμετρική διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η συμμετρική διαφορά τους, συμβολίζεται με A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ένωσής τους, αν εξαιρεθούν τα στοιχεία της τομής τους. Τυπικά: A B : (A B) (A B) 02-Mar-18 30 30
Συμπληρώματα συνόλων Ο δειγματικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο, έστω U. Για κάθε σύνολο A U, το συμπλήρωμα του A,, ως προς το U, είναι το U A. A Π.χ., Εάν U=N, {3,5} {1,2,4,6,7,...} 02-Mar-18 31 31
Αμοιβαία ξένα σύνολα Έστω n σύνολα Α i, 1=1, 2,, n Τα σύνολα Α i ονομάζονται αμοιβαία ξένα αν και μόνο αν i j, (Αi Αj = ) 02-Mar-18 32 32
Διαμέριση ενός συνόλου Α Έστω n μη κενά σύνολα Α i, i=1, 2,, n. Τα σύνολα Α i αποτελούν μία διαμέριση του συνόλου Α αν και μόνο αν: n (1) A Ai i 1 (2) Ta Α i είναι αμοιβαία ξένα σύνολα Α 2 Α Α 4 Α 1 Α3 02-Mar-18 33 33
Ταυτότητες A = A = A U A U = U A = A A = A = A A A B = B A ( A) A A B = B A A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 02-Mar-18 34 34
Αντικ.: με, με, A = A = A U A U = U, A = A A = A = A A με F, U με T ( A) A A B = B A, A B = B A A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C 02-Mar-18 35 35
Νόμος DeMorgan για σύνολα Ακριβώς ανάλογος με (και αποδείξιμος από) τον νόμο DeMorgan για προτάσεις. A B A B A B A B 02-Mar-18 36 36
Παράδειγμα χρήσης αρχής εγκλεισμούαποκλεισμού, διαφοράς συνόλων και De Morgan Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15? 02-Mar-18 37 37
Παράδειγμα Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15; Έστω Σ= {οι ακέραιοι από το 1 έως το 1000} Έστω Α= {τα πολλαπλάσια του 10} Έστω Β= {τα πολλαπλάσια του 4} Έστω Γ= {τα πολλαπλάσια του 15} Τι θέλουμε να υπολογίσουμε; 02-Mar-18 38 38
Παράδειγμα Θέλουμε να υπολογίσουμε την ποσότητα: Όμως ( ) ( ) γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; 02-Mar-18 39 39
Παράδειγμα Επομένως, ( ) ( ) ( ) Α Β = πολλαπλάσια του 20 Α Γ = πολλαπλάσια του 30 Β Γ = πολλαπλάσια του 60 Α Β Γ = πολλαπλάσια του 60 02-Mar-18 40 40
Παράδειγμα Αρα, ( ) ( ) 1000-( 1000/10 + 1000/4 + 1000/15 ) + ( 1000/20 + 1000/30 + 1000/60 )- 1000/60 =1000-(100+250+66)+(50+33+16)-16=667. 02-Mar-18 41 41
Απόδειξη ισότητας συνόλων Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής E 1 = E 2 (όπου τα E 1, E 2 είναι εκφράσεις συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές: 1. Χρήση του πίνακα μελών 2. Διαγράμματα Venn 3. Απόδειξη ότι E 1 E 2 και E 2 E 1. 4. Χρήση ταυτοτήτων 02-Mar-18 42 42
Μέθοδος 1: Πίνακες μελών Κατ αναλογία με τους πίνακες αληθείας στον προτασιακό λογισμό Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις με σύνολα. Γραμμές για όλους τους συνδυασμούς συμμετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις εκφράσεις Χρήση 1 για τα μέλη, 0 για τα μη-μέλη. Απόδειξη ισότητας με σύγκριση στηλών. 02-Mar-18 43 43
Παράδειγμα Αποδείξτε ότι (A B) B = A B. A B A B (A B) B A B 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 02-Mar-18 44 44
Κι άλλο παράδειγμα Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 02-Mar-18 45 45
συνέχεια Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 02-Mar-18 46 46
Μέθοδος 2: Διαγράμματα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β 02-Mar-18 47 47
Μέθοδος 2: Διαγράμματα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β A B = (A B) B 02-Mar-18 48 48
Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγμα: Δείξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 1ο: Δείχνω ότι A (B C) (A B) (A C). Υποθέτω x (A (B C)), & δείχνω ότι x ((A B) (A C)). Γνωρίζουμε ότι x A, και είτε x B είτε x C. Περ. 1: x B. Τότε x A B, επομένως x (A B) (A C). Περ. 2: x C. Τότε x A C, επομένως x (A B) (A C). Άρα, x (A B) (A C). Άρα, A (B C) (A B) (A C). 02-Mar-18 49 49
Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγμα: Δείξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 2ο: Δείχνω ότι (A B) (A C) A (B C). Υποθέτω x ((A B) (A C)) & δείχνω ότι x (A (B C)). Γνωρίζουμε ότι x (A B), ή x (A C). Περ. 1: x (A B). Τότε x A και x (B C), επομένως x (A (B C)). Περ. 2: x (A C). Τότε x A και x (B C), επομένως x (A (B C)). Άρα, x (A (B C)). Άρα, (A B) (A C) A (B C). Άρα, A (B C)=(A B) (A C). 02-Mar-18 50 50
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Aπ ευθείας με ταυτότητες ισότητας συνόλων Είτε με «μετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουμε στον προτασιακό λογισμό; 02-Mar-18 51 51
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Είτε απ ευθείας με ταυτότητες συνόλων Είτε με «μετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Αρκεί να δείξουμε ότι η πρόταση A (B C) (A B) (A C) αποτελεί ταυτολογία 02-Mar-18 52 52
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Πράγματι: A (B C) (A B) (A C) (A (B C)) ((A B) (A C) ) (A (B C)) (A (B C)) T 02-Mar-18 53 53
Διατεταγμένες n-άδες Για n N, μία διατεταγμένη n-αδα ή μία ακολουθία μήκους n γράφεται ως (a 1, a 2,, a n ). Το πρώτο στοιχείο της είναι το a 1, κλπ. Mπορούμε να έχουμε αντίγραφα στοιχείων H σειρά των στοιχείων έχει σημασία! (1, 2) (2, 1) (2, 1, 1). 02-Mar-18 54 54
Οι διατεταγμένες n-άδες έχουν πολλές εφαρμογές. Για παράδειγμα, Μαθηματικές δομές συχνά περιγράφονται με μία συγκεκριμένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουμε πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο. π.χ., το (N,<) είναι μία συγκεκριμένη δομή που χρησιμοποιεί το < για να δημιουργήσει μία διάταξη στο N. 02-Mar-18 55 55
Οι σχέσεις εκφράζονται μέσω n-αδων. Π.χ.: < = { (0,1), (1,2), (0,2), ) } Το πρώτο και το δεύτερο όρισμα μιας σχέσης μπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα, π.χ. Προτιμάει_να_βλέπει = {(Κώστας, ειδήσεις), (Νίκος, ποδόσφαιρο), (Μαρία, ταινίες)} 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραμμάτων της TV 02-Mar-18 56 56
Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων Για σύνολα A, B, το Καρτεσιανό τους γινόμενο είναι το A B : {(a, b) a A b B }. π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Ο ορισμός επεκτείνεται για πολλά σύνολα: A 1 A 2 A n ={(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } René Descartes (1596-1650) 02-Mar-18 57 57
Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων Για σύνολα A, B A B = A B Σημειώστε ότι, A,B: A B=B A 02-Mar-18 58 58
Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων {Κώστας, Μαρία, Νίκος} {Νέα,Ταινίες}= { (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα), (Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες), (Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) } 02-Mar-18 59 59
02-Mar-18 60 60
Αναπαριστώντας σύνολα με Bit Strings Για ένα δειγματικό χώρο U με διάταξη x 1, x 2,, αναπαράσταση ενός πεπερασμένου συνόλου S U σαν το πεπερασμένο bit string B=b 1 b 2 b n όπου i: x i S (1 i n b i =1). Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B=01101010001. Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν με τις bitwise πράξεις OR, AND, NOT 02-Mar-18 61 61
Αναπαριστώντας σύνολα με Bit Strings Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9} 01101010001 10110000100 = 11111010101 δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11} 02-Mar-18 62 62
Αξιωματική θεωρία συνόλων Ένα βασικό αξίωμα: Δοσμένου ενός κατηγορήματος P, κατασκεύασε ένα σύνολο που να περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία x για τα οποία η xp(x) να είναι αληθής πρόταση. Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις p για τις οποίες να μπορούμε να δείξουμε ότι και η p και η p προκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσμα της θεωρίας μας!... Δηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώματα οδηγούμαστε σε αντίφαση! Μια τέτοια θεωρία είναι θεμελιωδώς μη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή μπορεί (τετριμμένα) να αποδειχθεί 02-Mar-18 63 63
Παράδειγμα: Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του ή όχι; Έστω ότι σε μία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους τους άντρες (και μόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται μόνος του ή όχι; Έστω ότι ξυρίζεται μόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται μόνος του. Έστω ότι δεν ξυρίζεται μόνος του. Άρα ξυρίζεται μόνος του.!!! 02-Mar-18 64 64
Η παράκαμψη του παράδοξου Για να αποφύγουμε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων πρέπει με κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί... Για περισσότερες πληροφορίες, διαβάστε για το παράδοξο του Russel: https://en.wikipedia.org/wiki/russell's_paradox Bertrand Russell 1872-1970 02-Mar-18 65 65
02-Mar-18 66 66