7. Geometra plokščųjų fgūrų rodkla 7.. Bedrosos žos 7. tekstas 7.. Pagrdės sąvokos Geometras vadam pjūvo (plokščosos fgūros) rodkla, kure prklauso uo pjūvo matmeų, formos e oretacjos r kekška įverta jo sugeėjmą prešts mecaam poveku. Ddesė dals pjūvo geometrų rodklų ra susejam su koordatų ašų sstema. Naudosme VGTU Medžagų atsparumo katedroje prmtas koordatų ašų žmėjmo taskles (žr.. poskrį). Tag agrėjamo elemeto skerspjūvo koordatės ašs gal ūt dvejopos (7. pav.). Tarkme, turme pjūvį r lasva pasrktą koordatų ašų sstemą (7. pav.). šskrkme kstama mažą plotelį d r pažmėkme jo koordates r. Tap pat pažmėkme jo polę koordatę ρ, lakdam, kad polus sutampa su koordatų ašų r suskrtmo tašku. Tada pagrda pjūvo geometra rodkla us še: plotas d, (7.) stata mometa S d, S d, (7.) aša ercjos mometa d, d (7.) šcetrs ercjos mometas d, (7.4) pols ercjos mometas p ρ d. (7.5) kvazdu, kad +, es ρ +. p d 7. pav. ρ 7.. Pjūvo ploto svoro cetras Svoro cetras (suko cetras) ra ektama su ketuoju kūu susjęs geometrs taškas, per kurį ea vsų kūo dalelų svorų atstojamosos vekmo lja. Tarkme, kad pjūvs (plokščoj fgūra) ra ketass kūas, kuro stors lgus veam, kuro medžagos taks lgus veam r kurs oretuotas tap, kad suko jėgos ra statmeos jo plokščajam pavršu (7. pav.). Prtakkme jam atstojamosos mometo (Varjoo) teoremą: jegu jėgų sstema tur atstojamąją, ta šos atstojamosos mometas et kuros ašes atžvlgu lgus jėgų mometų tos pačos ašes atžvlgu suma:, c d,, c d. (7.6) ρ, Ča: pjūvo plotas (ara taramojo kūo svoro atstojamoj), d elemetaruss plotels (ara taramojo kūo elemetarosos dalelės svoro jėga),, c,, c ploto cetro koordatės lasva pasrktų (pagalų) ašų r, 7. pav. d 56
atžvlgu,, elemetarojo plotelo koordatės. Bet d S, d S, tag, c, c S S,, (7.7) ča S, S pjūvo ploto stata mometa pagalų ašų atžvlgu. š 7.6 formulų matt, kad cetrų ašų atžvlgu pjūvo ploto stata mometa ra lgūs ulu (ka pagalės ašs sutapdamos su cetrėms ašms, koordatės, c r, c tampa lgos ulu; žr. 7. pav.). Š cetrų ašų savė audojama skačavmams tkrt. Be to, pasaudojus ša save galma tegt, kad et kur pjūvo ploto smetrjos ašs kartu ra r cetrė ašs (jos atžvlgu kekveam elemetarajam plotelu vsada galma rast tokį patį plotelį su prešgo žeklo koordate; 7.4 pav.). Šta kodėl, jegu pjūvo plotas tur dv smetrjos ašs, ta jo svoro cetras sutampa su šų ašų suskrtmo tašku (7.5 pav.). Jegu pjūvo plotas ra smetrškas taško atžvlgu, ta šs taškas tap pat ra r pjūvo ploto svoro cetras (7.6 pav.). a) ) c) c c c c d d 7.4 pav. 7.5 pav. 7.6 pav. 7. pvz. 7.4. ercjos mometa lgagrečų ašų atžvlgu Tarkme, duotojo pjūvo ploto ercjos mometa ašų r atžvlgu ra žom. Reka rast ercjos mometus lgagrečų ašų r atžvlgu (7.7 pav.). Elemetarojo plotelo koordates r šreškme per koordates r : + a, +. (7.8) Įraškme gautas koordačų šraškas į edrąsas ercjos mometų šraškas (7., 7.4): d a 7.7 pav. d d d d d ( + ) + + + + S, d ( + a) d d + a d + a d, + a + a S 57
d a d d a d ( + )( + ) + + + d + a d a S a S + + +. Jegu ašs r ra cetrės, ta S ; S. Tada gautos formulės supaprastėja: +, + a, + a. (7.9) šs ercjos mometas atžvlgu ašes, lgagrečos cetre aša, ra lgus cetro ercjos mometo r pjūvo ploto, padaugto š ašes atstumo uo pjūvo ploto svoro cetro kvadrato, suma. šcetrs ercjos mometas atžvlgu ašų, lgagrečų cetrėms ašms, ra lgus cetro šcetro ercjos mometo r pjūvo ploto, padaugto š ašų atstumų uo pjūvo ploto svoro cetro, suma. 7. pvz. 7.5. ercjos mometa pasuktų ašų atžvlgu Tarkme, duotojo pjūvo ploto ercjos mometa ašų r atžvlgu ra žom. Reka rast ercjos mometus pasuktų ašų α r α atžvlgu (7.8 pav.). Elemetarojo plotelo koordates α r α šrekškme per koordates r (pasaudokme žomoms š matematkos koordačų trasformacjos formulėms): α cosα + sα, α sα + cosα. (7.) Įraškme gautas koordačų šraškas į edrąsas ercjos mometų šraškas. Pradėkme uo ašo ercjos mometo ašes atžvlgu: α α α α α d ( sα + cosα) d s α d + cos α d sα cosα d cos α + s α s α. alogška šspredę lkusus du tegralus (prsmkme, kad cos α s α cosα ), gausme šas ercjos mometų, pasuktų koordatų ašų atžvlgu, formules: d 7.8 pav. α α cos α + s α sα, α s α + cos α + sα, sα + cosα. αα (7.) 58
Sudėkme prmąsas dv lgts. Įvertę, kad s α + cos α, gauame svarą prklausomę: α + α + cost. (7.) Ta reška, kad sukat koordates ašs ašų ercjos mometų suma eskeča. Š ašų ercjos mometų savė paprasta audojama skačavmams tkrt. 7. pvz. 7.6. Svarausosos ašs r svarausej ercjos mometa Formulės (7.) rodo, kad ercjos mometų rekšmės prklauso uo pjūvo ploto koordatų ašų padėtes. Skačuotojus paprasta doma tokos koordatės ašs, kurų atžvlgu aša ercjos mometa įgja ekstremes rekšmes. Toka ašų padėča ustatt audosme matematį metodą, audojamą fukcjos ekstremumu skačuot: jegu dferecjuojamos fukcjos švestė kurame ors taške ra lg ulu, ta šame taške duotoj fukcja tur ekstremumą. šdferecjuokme ašo ercjos mometo α šrašką kampo, kuruo sukamos koordatės ašs, atžvlgu: d α cosα sα + sα cosα cosα dα ( )sα cosα cosα ( ) s α + cosα. Kampą, pre kuro aša ercjos mometa įgja ekstremes rekšmes, pažmėkme α. Tada s α + cos α, (7.) tgα, (7.4) α arctg. (7.5) π Formulė (7.4) duoda dv kampo rekšmes: α r α + (7.9 pav.). Tag ra dv tarpusavje statmeos ašs, kurų atžvlgu aša ercjos mometa įgja ekstremes rekšmes. Žat, kad ašų ercjos mometų suma ra pastovus dds, galma tegt, kad ašs ercjos mometas veos š jų atžvlgu ra ddžausas, o ktos mažausas. Šos dv tarpusavje statmeos ašs vadamos svarausosoms ašms r paprasta žmmos smolas u r v. ša ercjos mometa jų atžvlgu vadam svarausasas ercjos mometas r žmm smolas u, v (žr. 7.9 pav.). Lgtes (7.) karoj pusė sutampa su šcetro ercjos mometo šraška (7.). Tag šcetrs ercjos mometas svarausųjų ašų atžvlgu ra lgus ulu. Įvertę šį faktą r u α α +π 7.9 pav. v 59
paaudoję įvestus smolus, gauame šas formules svarausesems ercjos mometams skačuot: u cos α + s α s α, v s α + cos α + s α, (7.6) uv. 7.4 pvz. Je žom svarausej ercjos mometa, ta ercjos mometa et kokų ktų pasuktų ašų atžvlgu apskačuojam pagal šas formules: u cos α + v s α, u s α + v cos α, u v s α. (7.7) ptarsme keletą šcetro ercjos mometo savų r kelas su joms glaudža susjusas švadas.. šcetrs ercjos mometas atžvlgu dvejų statmeų ašų, kurų et vea ra pjūvo smetrjos ašs, ra lgus ulu (jos atžvlgu kekveam elemetarajam plotelu vsada galma rast tokį patį plotelį su prešgo žeklo attkama koordate; 7. pav.). Tag et kur pjūvo smetrjos ašs ra e tk cetrė (žr. 7. poskrį), et r svarausoj. o. Pasukus koordatų ašų sstemą 9 kampu, šcetrs ercjos mometas pakeča žeklą, et jo skatė rekšmė leka toka pat (š savė gauama į (7.) trečąją lgtį įstačus kampą α + 9 ).. Valcuoto pleo kampuočo šcetram ercjos mometu skačuot paprasta audojama formulė, prtakta pre sortmeto letelų: ± ( * m ) tgα, ča * ddesss š ašų ercjos mometų ( ara ); žeklas ustatomas pagal ploto tasklę: jegu pjūvo ploto ra daugau tegamuose koordatų ašų kvadratuose, ta >, jegu egamuose, ta < (7. pav.). (u) d (v) 7. pav. > < 7. pav. d < > 7.7. ercjos spduls r atsparumo mometas ptarsme dar kels pjūvo geometrus rodklus, audojamus skačuojat įvaras kostrukcjas. Je ra gauam š pagrdų pjūvo geometrų rodklų (7.-7.5). šį ercjos mometą daža patogu šrekšt pjūvo ploto r tam tkros atkarpos kvadrato sadauga; pvz.: d. 6
tkarpa vadama pjūvo ercjos spdulu ašes atžvlgu:. (7.8) alogška:. Padalję pjūvo ašį ercjos mometą š tolausa uo attkamos ašes esačo taško koordatės, pamtos asolutu ddumu, gausme dar veą pjūvo geometrį rodklį atsparumo mometą (7. pav.). Koordatų ašų r atžvlgu atsparumo mometų šraškos turės tokį pavdalą: ma W W ma ma,. (7.9) 7. pav. ma 7.5 pvz. 7.8. Elemetarųjų fgūrų cetra ercjos mometa 7. tekstas Stačakamps (7. pav.). šskrkme elemetarųjį plotelį d d. Įraškme gautą šrašką į ašo ercjos mometo tegralę šrašką (7., prmas tegralas): d d ( ). (7.) 8 8 d. d d alogška gauame, kad 7. pav.. (7.) Stačakamps tur dv smetrjos ašs, tag. (7.) 7.6 pvz. 6
Trkamps. Prmausa skačuosme ašį ercjos mometą ašes atžvlgu (7.4 pav.). šskrkme elemetarųjį plotelį d s d. š trkampų BD r KL paašumo gauame, kad s. Tada d d. Įraškme gautą elemetarojo plotelo šrašką į ašo ercjos mometo tegralę šrašką (7., prmas tegralas): d d 4 d 9 4 8 6 4 4 9 7 4 8 9 7 4 87 6 4 6 4 4 4 7 4 + + 4 4 4 4 97. (7.) 6 alogška gauame, kad B K / / s L d D d s. d 7.4 pav. / /. (7.4) 6 Skačuodam šcetrį ercjos mometą, tap pat šskrkme elemetarųjį plotelį d (7.5 pav.). Jo svoro cetro c e koordates r susesme geometras ršas pasaudoję trkampų BK r e L paašumu:. Įraškme gautas elemetarojo plotelo r jo svoro cetro koordatės šraškas į tegralą (7.4): d d 4 d 9 4 8 6 4 8 4 9 7 4 8 9 7 4 8 6 4 6 4 4 4 7 4 + + 4 4 4 4 97. (7.5) 7 7.7 pvz. B e / / / K D L / d / / d ( -)d 7.5 pav. 6
Skrtuls (7.6 pav.). šskrkme elemetarųjį žedą, kuro plotas d πρ dρ. Įraškme gautą šrašką į tegralą (7.5): ara r 4 4 r ρ π r p ρ d π ρ dρ π 4 ρ dρ 4 d p π. (7.6) r r Prsmkme, kad p +, tag d 4 π d. 64 (7.7) 7.6 pav. Skrtuls tur e galo daug smetrjos ašų, tag. (7.8) 7.8 pvz., 7. letelė 7.9. Sudėtgo skerspjūvo geometrų rodklų skačavmo algortmas Tarkme, turme skerspjūvį, suskadtą į elemetarųjų fgūrų (,,...,), (7.7 pav.). Prmausa pasrekamos pagalės ašs, r jų atžvlgu ustatomos skerspjūvo svoro cetro koordatės: S, c S, c, c,, c. (7.9),, v Gautos koordatės tkramos: S c, S c. (7.) etra ercjos mometa skačuojam audojat (7.9) formules: α u,, ( ( (,, +, + + c c ), ), c c ). (7.) 7.7 pav. 6
Jegu skerspjūvs etur et veos smetrjos ašes, ta, audojat formulę (7.5), ustatomas svarausųjų ašų passukmo kampas α, r, audojat formules (7.6), svarausej ercjos mometa u, v. Skačavma patkram: + u + v cost. Pagalau skačuojamos laausa uo u r v ašų utolusų taškų koordatės (7.) r skerspjūvo atsparumo mometa (7.9). 7.9 pvz. Kotrola klausma 7.. Kap aprėžama plokščųjų fgūrų (pjūvų) geometrų rodklų sąvoka? 7.. Užraškte pjūvo statų mometų tegrales šraškas. Brėžs. 7.. Užraškte pjūvo ašų ercjos mometų tegrales šraškas. Brėžs. 7.4. Užraškte pjūvo šcetro ercjos mometo tegralę šrašką. Brėžs. 7.5. Užraškte pjūvo polo ercjos mometo tegralę šrašką. Brėžs. 7.6. Koks ra pjūvo polo r ašų ercjos mometų ršs, ka polus sutampa su stačakampės koordačų sstemos pradža? Brėžs. 7.7. Kokos ašs vadamos cetrėms? 7.8. Ką tega atstojamosos mometo (Varjoo) teorema? Kap j prtakoma pjūvo svoro cetro padėča ustatt? Brėžs. 7.9. Užraškte pjūvo svoro cetro koordačų skačavmo formules. 7.. Kam lgus pjūvo stats mometas smetrjos ašes atžvlgu? 7.. Kokos ašs vadamos svarausosoms? 7.. Paaškkte formules (rėžs). cos α + s α s α, α α s α + cos α + s α. 7.. Ką tega pjūvo ašų ercjos mometų varatškumo dėss? Formulė, rėžs. 7.4. Paaškkte formulę: tgα. 7.5. Paaškkte formules: u cos α + s α s α, v s α + cos α + s α. 7.6. Kam lgus pjūvo šcetrs ercjos mometas svarausųjų ašų atžvlgu? 7.7. Kap ustatomas pjūvo šcetro ercjos mometo žeklas? Brėžs. 7.8. Jegu pjūvo aša ercjos mometa smetrjos ašų atžvlgu ra veod, ta kokos ašs ra svarausosos? 7.9. Kap skačuojam pjūvo aša r šcetrs ercjos mometa ašų, lgagrečų cetrėms jo ašms, atžvlgu? Brėžs. 7.. Užraškte pjūvo ercjos spdulų formules. 7.. Užraškte pjūvo atsparumo mometų formules. 7.. Kuram tkslu audojamos šos formulės? 7.. Kap aprėžama elemetarosos fgūros sąvoka? 7.4. Kam lgūs stačakampo ploto ercjos mometa savųjų cetrų ašų atžvlgu? Brėžs, formulės. 7.5. Kam lgūs trkampo ercjos mometa savųjų cetrų ašų atžvlgu? Brėžs, formulės. 7.6. Kam lgūs skrtulo ercjos mometa savųjų cetrų ašų atžvlgu? Brėžs, formulės. 7.7. Paaškkte formules., c, c, c,., c 7.8. Paaškkte formulę: (, + c ). 64