Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība"

Κλειώ Γεννάδιος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a = 6; a = 5 = y z Vektoa modulis i vienāds a kvadātsakni no tā koodinātu kvadātu summas: a = 5 + ( 6) + ( 5) = = 8 = 9 Viziena kosinusus atodam pēc fomulām: a 5 a y 6 az 5 cos α = = ; cos β = = = ; cosγ = = a 9 a 9 a 9 Vaam secināt, ka vektos a a odinātu asi veido platu leņķi ( cos β < 0), bet a abscisu un aplikātu asīm šauus leņķus ( cos α > 0, cosγ > 0 ) cīmedzot, ja kāda vektoa koodināta i vienāda a 0 (tad aī atbilstošais viziena kosinuss i vienāds a 0), vektos a attiecīgo asi veido taisnu leņķi piemēs Noteikt vektoa moduli, viziena kosinusus un otu Uzzīmēt vektou koodinātu sistēmā, ja (, -, ) un ( 5,, ) Vektoa koodinātes nosaka no vektoa galapunkta koodinātēm atņemot sākumpunkta koodinātes: (, 4, ) = Vektoa modulis i vienāds a kvadātsakni no tā koodinātu kvadātu summas: = ( ) = 9 Vektoa ots i vienības vektos, kua viziens sakīt a dotā vektoa vizienu Tā koodinātes iegūst, dotā vektoa koodinātes izdalot a vektoa moduli: 0 =, 9 4, nodabība lpp ugstākā matemātika I Volodko

2 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi Vektoa attēlojums koodinātu sistēmā: z y piemēs Plaknē doti divi vektoi a = (,) un = (, ) b, a un a + b b Konstuēt vektous a, b, b y a b + a a - 0 b 4 Vektou b = (, );, a un a + b koodinātas i b a = (, ) = ( 4, ); a + b = ( 4, + ) = (, 4) 4 nodabība lpp ugstākā matemātika I Volodko

3 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 piemēs ateiālam punktam pielikti spēki f = i + j + k, f = i + j k un f = i + k tast ezultējošo spēku un tā moduli Rezultējošais spēks F i vienāds a pielikto spēku summu F = f + f + f, tātad Tā modulis ( +, + + 0, + ) = (,4,4) F = F = = = 6 = 6 5 piemēs Vektoa = (,, 6) sākumpunktu a galapunkts i punkts (, 5, 6) tast vektoa a pzīmēsim vektoa a sākumpunktu a (, y, z) Tad vektoa a koodinātas i punktu un attiecīgo koodinātu stapība, ti no kuienes =, 5 y =, 6 z = 6, =, y =, z = 0 No šīm sakaībām edzams, ka vektoa sākumpunkta koodinātas va noteikt, no galapunkta koodinātām atņemot atbilstošās vektoa koodinātas 6 piemēs Doti punkti (, -, ), (,, 0 ), ( 4, -, 5 ), D( 5,, - ) a) pēķināt tijstūa mediānu no visotnes ; b) Noteikt punktu E tā, lai četstūis E būtu paalelogams a) Noteiksim vektou koodinātas =( -,, - ), =( -,, -5 ) Tijstūa mediānas vektou izteiksim a malu vektou summu ( + ) = (, 4, 8) m = ediānas gaums i vienāds a šī vektoa moduli 89 m = = 4 nodabība lpp ugstākā matemātika I Volodko

4 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi b) Paalelogama petējās malas i paalēlas un vienāda gauma, tātad petējo malu vektoi i vienādi E = = (,, 5 ) Vektoa galapunktu nosaka, pie vektoa sākumpunkta koodinātām pieskaitot vektoa koodinātes E = (, -4, 7 ) 7 piemēs tast vektoa a + b + c pojekciju uz ass l, ja vektoi a, b un c a asi l π π attiecīgi veido leņķus 0,, un a = b = 5, c = 4 Kā zināms, bet poj l ( a b + c) = poj a + poj b + poj c +, poj a l = a cos, l l ( a l) Tātad π pojl a = 5 cos0 = 5; pojl b = 5 cos =,5; un saskaitot iegūsim poj l a + b + c = 5 +,5 + = 9, ( ) 5 l π poj l c = 4 cos = 8 piemēs Tijstūī doti tīs punkti: visotnes (,, ), (5,, 6) un malas viduspunkts (, 4, 5) tast vektoa otu e ( ) = + e, tāpēc, ka i tijstūa mediāna ; no šīs sakaības = +, = Tā kā punkti,, i doti, vaam noteikt ( 4, 0, 5), = (,, 4) =, tātad ( 0, 6, ) = = 4 nodabība 4 lpp ugstākā matemātika I Volodko

5 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi Šī vektoa gaums = = 45 = 5 un ots e = = 0,, piemēs Tijstūa visotnes i (,, 5), (5,, 8) un (, 6, -) tast homogēna tijstūa smaguma centa koodinātes Tijstūa smaguma cents atodas mediānu kustpunktā No elementāās ģeometijas i zināms, ka mediānu kustpunkts katu mediānu dala attiecībā :, atskaitot no tijstūa visotnes K un ediāna = + = ((, 0, ) + ( 0,, 6) ) = (,, )= (,, ) K =, ku K i mediānu kustpunkts, tātad K = (,, ) Lai noteiktu K galapunktu, pie sākumpunkta koodinātām jāpieskaita atbilstošās vektoa koodinātas, iegūsim K(, 4, 4) tas i meklētais smaguma cents 0 piemēs Pābaudīt, vai četstūis a visotnēm punktos (0,, 4); (, 0, ); (, -, 0); D(-4, 4, 4) i paalelogams Noteiksim vektou,, D un D D koodinātas: 4 nodabība 5 lpp ugstākā matemātika I Volodko

6 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi = (,, ) ; = (,, ) ; = ( 6, 6, 4) D ; D = ( 4,, 0) Vektoi un D i kolineāi, jo to atbilstošās koodinātas i popocionālas: = =, bet un D nav kolineāi, jo, tātad D nav paalelogams, bet tapece piemēs Vektos a 0 a O asi veido leņķi α = 5, a Oy asi taisnu leņķi un a Oz asi šauu leņķi tast vektoa a otu Izmantosim sakaību stap viziena kosinusiem cos α + cos β + cos γ = Tā kā 0 cosα = cos5 = ; cos β = cos90 = 0, tad cos γ = = un cos γ = ± Ņemot vēā, ka γ i šaus leņķis, iegūst cos γ = un γ = 45 0 Ota a koodinātas i viziena kosinusi cos α, cosβ, cosγ, tātad a 0 = ; 0, v v piemēs Vektoi a = i + j + k un b = i + j 5k veido paalelogamu pēķināt paalelogama diagonāļu gaumus v Paalelogama diagonāles sakīt a vektoiem c = a + b un d = a b Noteiksim šo vektou koodinātas: =,4, 4 d = 0,,6 c ( ) un ( ) pēķināsim šo vektou moduļus: c = c = = 6 un d = d = = 40 = 0 v piemēs Noteikt, a kādām α un β vētībām vektos a + b a Oz asi veido taisnu leņķi, ja a = ( α,, α + β ); b = ( β, β, β ), vektoa b modulis i vienāds a un vektos a a O asi veido šauu leņķi 4 nodabība 6 lpp ugstākā matemātika I Volodko

7 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi v a + b = ( α + β, + β, α β ) Vektos a + b a Oz asi veido taisnu leņķi, tātad cos γ = 0, ku γ i leņķis, ko šis vektos veido a Oz asi Tā kā cosγ = α β a + b, iegūst α β = 0 ; α = β Vektoa b modulis + + ( ) = = b = β β β β β Tā kā pēc dotā b =, tad β =, tātad β = ± Ņemot vēā, ka a > 0 (vektos a O asi veido šauu leņķi), iegūst α > 0 un attiecīgi α = β = 4 piemēs Dots paalelogams O, ku O = a un O = b Izteikt vektous O,, un a a un b, ja i diagonāļu kustpunkts b O a No skolas kusa i zināms, ka paalelogama diagonāles kustpunktā dalās uz pusēm Tātad O = O et vektos O = a + b un = a b (pēc vektou summas un stapības definīcijas) Tad O = O = O = = = ( a b ), = = ( b a), v = O = ( a + b ) ( a + b ), 4 nodabība 7 lpp ugstākā matemātika I Volodko

8 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 5 piemēs Dots vektos a = 4 i j + k tast vektou b, ja a = b, b y = a, y b = 0 pzīmēsim vektoa b koodinātes a, y un z Tad pēc dotā: = 0, y = - Lai noteiktu z, izmantosim nosacījumu a = b pēķināsim abu vektou gaumus: a = 4 + ( ) + = 9, b = 0 + ( ) + z = z + 4 Tātad z + 4 = 9 un z = ± 5 Tādējādi z = j + 5k, z = j 5k 6 piemēs Dots tetaeds D, ku D = a; D = b, D = c tast vektou D, ku i tijstūa smaguma cents D Tijstūa smaguma cents atodas mediānu kustpunktā, ja tijstūis i homogēns K 4 nodabība 8 lpp ugstākā matemātika I Volodko

9 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi K, = bet K = ( + ) Izteiksim Tātad Tā kā iegūst un :, tātad ( ) = + v = D D = b a, = D D = c a = D = a + ( b a + c a) = ( b + c a) D = D+, ( b + c a) = ( a + b + c) 7 piemēs Uz Oz ass atast punktu, kas i vienādā attālumā no punktiem (, 4, ) un (-,, 5) Punktam, kas atodas Oz ass, pimās divas koodinātes i vienādas a 0: (0, 0, z) Lai atastu z, izmantosim vektoa moduļa fomulu: ( 0 ) + ( 0 4) + ( z ), = (0 ( )) + ( 0 ) + ( 5) = z Tā kā =, iegūsim ( ) ( z z ) = Kāpināsim abas vienādības puses kvadātā un vienkāšosim: 0 + z z + = + z 0z + 5 z = 8 0z, 8z = 7, z = Tātad meklētā punkta koodinātas (0; 0;,5) nodabība 9 lpp ugstākā matemātika I Volodko

10 Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 8 piemēs Tijstūa mala a punktiem un N i sadalīta tijās vienādās daļās: = N = N Noteikt, ja = a un = b N Pēc vektou saskaitīšanas kātulas: = +, = un = b a, = tātad, = ( b a), = a + ( b a) = ( a + b ) 4 nodabība 0 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Σχετικά έγγραφα

Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.

Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem. 1. Vektori Skalāri un vektoriāli lielumi Lai raksturotu kādu objektu vai procesu, tā īpašības parasti apraksta, izmantojot dažādus skaitliskus raksturlielumus. Piemēram, laiks, kas nepieciešams, lai izlasītu