ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα στις μετρήσεις είναι ένα από τα βασικότερα προβλήματα ενός πειράματος. Μια μέτρηση χαρακτηρίζεται από επαναληψιμότητα, αξιοπιστία και ακρίβεια. Όταν πραγματοποιούμε πολλές μετρήσεις ενός μεγέθους ενός αντικείμενου (πχ το μήκος μιας ράβδου), θα παρατηρήσουμε ότι παρότι παίρνουμε όλες τις δυνατές προφυλάξεις δεν βρίσκουμε πάντα την ίδια τιμή, οπότε καταλαβαίνουμε ότι η αναζήτηση της αληθινής τιμή ενός μεγέθους δεν έχει νόημα, γιατί δεν είναι δυνατό να προσδιορίσει πειραματικά. Προσπαθούμε λοιπόν να βρούμε μια τιμή με τη μεγαλύτερη πιθανότητα να πλησιάζει την αληθινή τιμή καθώς και το σφάλμα στις μετρήσεις μας, που θα μας βοηθήσει στην εκτίμηση της ακρίβειας στις μετρήσεις μας Είδη σφαλμάτων Συστηματικά σφάλματα: πρόκειται για σφάλματα που τείνουν να μετατοπίσουν όλες τις μετρήσεις με συστηματικό τρόπο έτσι ώστε η μέση τιμή να είναι μετατοπισμένη προς μία διεύθυνση πχ εάν μια ζυγαριά να έχει μια μετατόπιση του μηδενός, η μέτρηση κάθε βάρους θα έχει σταθερό συστηματικό σφάλμα. Τα συστηματικά σφάλματα μπορεί να οφείλονται στην κακή βαθμονόμηση των οργάνων, στη λανθασμένη χρήση των οργάνων ή στην παράβλεψη ορισμένων φαινομένων ή σε εξωτερικά αίτια που μπορεί να αλλάξουν τα αποτελέσματα του πειράματος (υγρασία, πίεση, θερμοκρασία κ.λπ.), καθώς κα σε σφάλματα Θεωρητικής Φύσης (Μη ακριβές Θεωρητικό Μοντέλο, Προσέγγιση ) Τα συστηματικά σφάλματα επενεργούν πάντοτε κατά την ίδια κατεύθυνση μετατοπίζοντας «συστηματικά» την καταγραφόμενη τιμή του υπό μέτρηση μεγέθους είτε μόνιμα σε μεγαλύτερη, είτε μόνιμα σε μικρότερη ένδειξη. Σε ένα σωστό πείραμα τα μεγάλα συστηματικά σφάλματα περιορίζονται με σύγκριση των τιμών με διαφορετικές μεθόδους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα διάπραξης συστηματικού σφάλματος είναι το εξής: Υποθέστε ότι επιχειρούμε τη μέτρηση μάζας με μία «ελαττωματική» ζυγαριά, που δε μετρά «πραγματικά» κιλά, αλλά είναι έτσι κατασκευασμένη ώστε να καταγράφει το 98% κάθε «πραγματικού» κιλού. Μπορούμε να εκτιμήσουμε ποσοτικά την τάξη μεγέθους ενός συστηματικού σφάλματος, παρά μόνο αν συγκρίνουμε το μετρητικό όργανο που χρησιμοποιούμε με κάποιο άλλο που θεωρείται πρότυπο. Αυτός είναι ο μόνος τρόπος να ποσοτικοποίηση τα συστηματικά σφάλματα. Τα τυχαία σφάλματα πρόκειται για σφάλματα που δείχνουν τις διακυμάνσεις που έχουν οι μετρήσεις ενός επαναλαμβανόμενου πειράματος που γίνεται κάτω από τις ίδιες φαινομενικά συνθήκες και τα οποία οδηγούν στην κατανομή των αποτελεσμάτων γύρω από μία μέση τιμή. Τα τυχαία σφάλματα σχετίζονται με την ακρίβεια μιας μέτρησης 1
Μπορεί να οφείλονται στην έλλειψη ευαίσθητης απόκρισης του οργάνου ή στον παρατηρητή (σφάλματα ανάγνωσης), στον εξωτερικό «θόρυβο», ή σε στατιστικές διαδικασίες (όπως είναι η ρίψη ενός ζαριού). Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα και εμφανίζονται ακόμα και όταν έχουν απαλειφτεί τα συστηματικά. Επιπλέον μπορούν να ληφθούν και να εκτιμηθούν υπόψη μόνο στατιστικά. Σύμφωνα με τη στατιστική θεωρία εάν ένα φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο τότε η οριακή κατανομή που θα προκύψει (μετά από άπειρες προσπάθειες) θα είναι μια κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss. Η κατανομή Gauss είναι ίσως η πιο κοινή κατανομή στη θεωρία των πιθανοτήτων και περιγράφεται μαθηματικά από τις παρακάτω καμπύλες (Σχήμα 1) Υπάρχουν φαινόμενα που ακολουθούν την κανονική κατανομή όπως οι ταχύτητες μορίων σε ιδανικά αέρια, φαινόμενα που προσεγγίζονται από την κανονική κατανομή, όπως διάφορες καταστάσεις, όπως εξηγείται από το κεντρικό οριακό θεώρημα, δηλαδή, όταν το άθροισμα ενός ικανοποιητικά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών και φαινόμενα των οποίων κατανομές που μοντελοποιούνται ως κανονικές, όπως ορισμένα φυσιολογικά μεγέθη, όπως η πίεση του αίματος των ενηλίκων ή τα υπολογιστικά λάθη σε φυσικά πειράματα, τα όποια μοντελοποιούνται συχνά μέσω της κανονικής κατανομής. Χαρακτηριστικά μεγέθη στον υπολογισμό των τυχαίων σφαλμάτων Όταν μετράμε μία φυσική ποσότητα x, την οποία μετράμε πολλές φορές, έστω Ν, υπολογίσουμε αρχικά τη «μέση τιμή» της σειράς των Ν μετρήσεων, ως εξής: xk x1 x2... xk... xn k 1 x (1) N N όπου x i οι μετρούμενες τιμές της φυσικής ποσότητας x (τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας), Ν το πλήθος των μετρήσεων και x ο τρόπος συμβολισμού της μέσης τιμής της ποσότητας x. N 2
Το σφάλμα που προκύπτει από τις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις μιας φυσικής ποσότητας x, μπορεί να εκφραστεί με το λεγόμενο τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής, το οποίο συνδέεται με την τυπική απόκλιση της κανονικής κατανομής και υπολογίζεται από την σχέση: (2) To σχετικό σφάλμα της μέσης τιμής ως ποσοστό επί τοις εκατό δηλαδή (3), που συνήθως αναφέρεται ως Οι δύο εκφράσεις των σφαλμάτων (σχέσεις 2, 3 & 4) είναι πολύ συγγενείς και αλληλένδετες μεταξύ τους. Από τη στιγμή που γνωρίζουμε το ένα απ αυτά, μπορούμε να υπολογίσουμε και το άλλο (αρκεί να ξέρουμε τη μέση τιμή) και σε τελική ανάλυση νομιμοποιούμαστε να ισχυριστούμε ότι το σχετικό σφάλμα δεν είναι τίποτε άλλο παρ εκτός η αναφορά του απόλυτου σφάλματος υπό τη μορφή ποσοστού. Επειδή ακριβώς το σχετικό σφάλμα (σχέση 3 η 4) εκφράζεται ως ποσοστό, δηλαδή λόγος δύο ομοειδών μεγεθών, γι αυτό είναι και αδιάστατο (είναι όπως λέμε ένας καθαρός αριθμός ή δεν έχει μονάδες μέτρησης). Παράδειγμα Σε ένα πείραμα καταμέτρησης μιας μάζας (gr) που προσπίπτουν σε μια ζυγαριά, έγιναν εννέα μετρήσεις και τα αποτελέσματα καταγράφονται στον παρακάτω πίνακα. Έτσι Πινάκας 1 (4) A/A x i (x i - x ) 2 1 80 400 2 95 25 3 100 0 4 110 100 5 90 100 6 115 225 7 85 225 8 120 400 9 105 25 Σ 900 1500 3
9 1 900 i 9 i 1 9 x x 100 gr και Άρα τελικά το μέγεθος της μάζας που μετρήθηκε είναι x =(100 4,56 ) gr με σχετικό σφάλμα % = (4,56/100)% =4,56% Σημαντικά ψηφία Όλα τα όργανα έχουν όριο στις μετρητικές τους δυνατότητες. Έχουν πάντα μια ελάχιστη ποσότητα μέχρι την οποία μπορούν να μετρήσουν. Σημαντικά ψηφία μιας μέτρησης θεωρούνται όλα τα ψηφία που μπορούμε να διαβάσουμε με απόλυτη βεβαιότητα συν ένα και μόνο ένα, το τελευταίο, που είναι από εκτίμηση και επομένως είναι αβέβαιο. Η αξιοπιστία μιας μέτρησης συνδέεται με τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων που περιέχει. Μια μέτρηση ενός μεγέθους είναι περισσότερο αξιόπιστη από μια άλλη εάν είναι πιο λεπτομερής, δηλαδή αν περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήθηκε το πάχος ενός γυαλιού με ένα όργανο και βρέθηκε να είναι 3.2 mm. Το ίδιο γυαλί μετρήθηκε με ένα άλλο όργανο, το οποίο έδωσε αποτέλεσμα 3.185 mm. Στο παράδειγμά μας η μέτρηση με το δεύτερο όργανο έχει 4 σημαντικά ψηφία και είναι περισσότερο αξιόπιστη από τη μέτρηση με το πρώτο όργανο που έχει 2 σημαντικά ψηφία. Στο σχήμα 2 φαίνονται δύο χάρακες υποδιαιρεμένοι με διαφορετικό τρόπο. Το αποτέλεσμα με τον κάτω χάρακα είναι 2.5 δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2 και 3. Το 2 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Δεν έχει νόημα επομένως να πούμε ότι η μέτρηση είναι 2,56 αφού ακόμα και το 5 είναι αβέβαιο. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.0 και 3.0. Η μέτρηση αυτή έχει 2 σημαντικά ψηφία. Σχήμα 2 Το αποτέλεσμα με τον πάνω χάρακα είναι περισσότερο λεπτομερές γιατί έχει περισσότερες υποδιαιρέσεις. Δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2.5 και 2.6, το 4
αποτέλεσμα εκτιμάται ότι είναι 2.55. Το 2.5 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.50 και 2.60, κάτι που δεν μπορούμε να κάνουμε με τον κάτω χάρακα. Στην περίπτωση αυτή η μέτρηση έχει 3 σημαντικά ψηφία. Κανόνες καθορισμού σημαντικών ψηφίων Δεκαδικοί αριθμοί : Όταν στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης υπάρχει υποδιαστολή, ως σημαντικά ψηφία (συντομογραφία σψ) μετράνε όλα τα ψηφία από το πρώτο μη μηδενικό και δεξιά πχ 3.2 (2 σψ), 3.20 (3 σψ), 0.3 (1 σψ), 0.03 (1 σψ), 0.030 (2 σψ). Ακέραιοι: Όταν δεν υπάρχει υποδιαστολή ως σημαντικά μετράνε όλα τα ψηφία από το πρώτο αριστερά ψηφίο μέχρι το τελευταίο μη μηδενικό. π.χ 16 (2 σψ), 16000 (2 σψ), 16060 (4 σψ) Οι δυνάμεις του 10 δεν αξιολογούνται ως σημαντικά ψηφία. 4,1*10-4 (2 σψ), 0.0041 (2 σψ). Επειδή πολλές φορές ένα μέγεθος υπολογίζεται έμμεσα (για παράδειγμα η ταχύτητα ενός κινητού) χρησιμοποιώντας μετρήσεις άλλων μεγεθών (την απόσταση X που διάνυσε το κινητό και το χρόνο t) που λήφθηκαν με διαφορετική αξιοπιστία, πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι το αποτέλεσμα που προκύπτει από πρόσθεση αφαίρεση πολλαπλασιασμό ή διαίρεση αριθμών, περιορίζεται πάντα από τον αριθμό με τη μικρότερη αξιοπιστία. Όταν προσθέτουμε η αφαιρούμε δυο αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΔΕΚΑΔΙΚΑ έχει ο αριθμός με τα λιγότερα δεκαδικά. Παράδειγμα: 89.341+1.1=90.441 ~ 90.4 Το 90.4 καθορίζεται από το γεγονός ότι το μικρότερο αριθμό δεκαδικών ψηφίων από τους δύο όρους έχει το 1.1. Όταν πολλαπλασιάζουμε η διαιρούμε δυο αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ψηφία έχει ο αριθμός με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Παράδειγμα: (3.80) x (3.5037) = 13.31406 ~ 13.3. To 13.31 καθορίζεται από το γεγονός ότι το μικρότερο αριθμό σημαντικών ψηφίων από τους δύο όρους έχει το 3.80 Πολλές φορές πρέπει να κάνουμε στρογγυλοποίηση του αποτελέσματός μας. Ο κανόνας που ακολουθούμε είναι: 5
Εάν το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από ψηφίο που είναι μικρότερο από 5, μένει ως έχει. Εάν το ψηφίο που ακολουθεί είναι μεγαλύτερο από 5 τότε το ψηφίο που θα κρατήσουμε αυξάνεται κατά μια μονάδα. Για την περίπτωση που το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από το ψηφίο 5, στο εργαστήριο Φυσικής συμφωνούμε τα εξής: εάν το ψηφίο είναι άρτιο μένει ως έχει (π.χ το 7.45 γίνεται 7.4) ενώ αν είναι περιττό αυξάνεται κατά μια μονάδα (π.χ το 7.75 γίνεται 7.8). Στο τελικό αποτέλεσμα δηλαδή στη μέση τιμή και το σφάλμα της, χρησιμοποιούμε στρογγυλοποιημένες τιμές απορρίπτουμε δηλαδή τα ψηφία που δεν είναι σημαντικά ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες στρογγυλοποίησης.. Στην τελική απεικόνιση x οποία μετράμε 10 φορές της μέτρησης μιας φυσικής ποσότητας x, την Αρχίζουμε την στρογγυλοποίηση από το σφάλμα Κατά τη στρογγυλοποίηση του σφάλματος κρατάμε ένα σημαντικό ψηφίο. Στρογγυλοποιούμε τη μέση τιμή κρατώντας τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι και του σφάλματος. Έτσι στο παράδειγμα που είχαμε στον πίνακα 1, έχουμε x =(100 4,56) gr ~ (100 5) gr Άλλα παραδείγματα 10 μετρήσεων: Πίνακας 2 Μέση τιμή Σφάλμα Τελική απεικόνιση 454,89 g 0,5 g (454,9 ± 0,5)g 37548 sec 29 sec (37550 ± 30)sec (37,55 ± 0,03) 10 3 sec 9,785 m/s 2 0,092 m/s 2 (9,78 ± 0,09)m/ s 2 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Η χρήση γραφικών παραστάσεων για την απεικόνιση μετρήσεων ενός πειράματος είναι χρήσιμη, γιατί μας βοηθά να βγάλουμε εύκολα συμπεράσματα σχετικά με την εξέλιξη των μετρήσεών μας και γενικά του φαινομένου που εξετάζουμε. Επιπλέον οι γραφικές παραστάσεις μας βοηθούν στην κατανόηση των πληροφοριών που έχουμε συλλέξει, διότι μας επιτρέπουν να κάνουμε εύκολα συγκρίσεις και μας δείχνουν γρήγορα και καθαρά πόσο καλά οι μετρήσεις μας συμφωνούν με κάποια πρόβλεψη. Το σημαντικότερο αποτέλεσμα από μια γραφική παράσταση είναι το ότι μπορεί ανιχνεύει την ύπαρξη -και στη συνέχεια να διερευνά τη φύση- ενός συσχετισμού 6
ανάμεσα σε μετρούμενες ποσότητες. Και αυτό δε συμβαίνει μόνο στη Φυσική, αλλά και σε άλλα πεδία (π.χ. οικονομία, πολιτική). Για να χαράξουμε μια γραφική παράσταση που αφορά την αναπαράσταση ενός μετρουμένου μεγέθους y ως συνάρτηση ενός μεγέθους x, y=f (x), που είναι καταχωρημένα στον κατάλληλο πίνακα δεδομένων, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Κάνουμε χρήση μιας σελίδας από ένα χιλιοστομετρικό χαρτί (χαρτί millimetré) 2. Στο πάνω μέρος του χιλιοστομετρικου χαρτιού γράφουμε τον τίτλο της γραφικής παράστασης. 2. Επιλέγουμε το μέγεθος που θα παρασταθεί στον κατακόρυφο και οριζόντιο άξονα αντίστοιχα. Για παράδειγμα εάν θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά την απόσταση ως συνάρτηση του χρόνου, δλδ Απόσταση x = f(t), στον κατακόρυφο άξονα θα αντιστοιχηθούν οι τιμές της Απόστασης και στον οριζόντιο οι τιμές του χρόνου (Σχήμα 3). 3. Ονομάζουμε τους άξονες και γράφουμε τις μονάδες μέτρησης κάθε μεγέθους (Για παράδειγμα: Απόσταση x (m), Χρόνος t (sec)) 4. Επιλέγουμε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή για τον κάθε άξονα ώστε ο κάθε άξονας, να καλύπτει το σύνολο των δεδομένων. 5. Επιλέγουμε το «βήμα», δηλαδή την αντιστοιχία του μεγέθους μας ανά cm του άξονα. (Για παράδειγμα: 2 m/cm για τον κατακόρυφο άξονα και 5 sec/cm στον οριζόντιο.) Αυτό γίνεται με βάση το εύρος των τιμών κάθε μεγέθους που βρίσκεται στον πίνακα δεδομένων. Γράφουμε τις υποδιαιρέσεις μας χωρίς να αναγράφουμε πάνω στους άξονες τις μετρήσεις μας. Βαθμονομούμε τους άξονες όπου χρησιμοποιούμε ισοκατανεμημένη βαθμονόμηση. Θυμηθείτε: ΔΕΝ αναγράφουμε πειραματικές τιμές στους άξονες. 6. Τοποθετούμε τα σημεία στο γράφημα χρησιμοποιώντας το σύμβολο. 7. Χαράζουμε την καμπύλη μας συμμετρικά μέσα από τα πειραματικά σημεία. Για τη σχεδίαση αρχικά χρησιμοποιούμε ένα καλοξυμένο μολύβι για να χαράξουμε βοηθητικές γραμμές, να εντοπίσουμε τη θέση των "πειραματικών" σημείων και να κάνουμε τυχόν διορθώσεις στο σχέδιο. Τη γραφική παράσταση την κόβουμε με ψαλίδι και την κολλάμε μόνιμα με σελλοτέιπ (όχι μόνο στις γωνίες, αλλά γύρω-γύρω) ή με κάποια κόλλα καλής ποιότητας στο κατάλληλο μέρος της εργασίας. Οι θέσεις των πειραματικών σημείων πρέπει να φαίνονται ξεκάθαρα στο διάγραμμα. Ποτέ δεν τα παριστάνουμε με μικρές κουκκίδες, που μπορεί να χαθούν κάτω από τις γραμμές και τις καμπύλες. Για τον σκοπό αυτό τα σημεία αυτά περικλείονται σε ένα μικρό κύκλο η με σχημα Χ. Αν στο ίδιο διάγραμμα υπάρχουν περισσότερες καμπύλες, χρησιμοποιούμε και άλλα σύμβολα περίκλεισης των πειραματικών δεδομένων (π.χ. μικρά τετράγωνα, τρίγωνα, ρόμβοι) έτσι, ώστε να ξεχωρίζουν μεταξύ τους οι διαφορετικές ομάδες πειραματικών δεδομένων. 7
x(m) ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 Παράδειγμα Πίνακας 3 x(m) t(sec) 1,5 2,5 2,2 3 3,4 5,5 4,5 7 6,2 9,8 x=f(t) y = 1,5991x - 0,1326 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 t(sec) Κλίση ευθείας Όταν η ανεξάρτητη Χ και εξηρτημένη Υ μεταβλητή σε μια γραφική παράσταση συνδέονται με γραμμική σχέση, Υ= α Χ +β, χαράζουμε την καλύτερη ευθεία που περνά μέσα από τα πειραματικά σημεία, με στόχο να υπολογίσουμε τις «καλύτερες τιμές» για τις παραμέτρους α και β. (Όπου α η κλίση της ευθείας και β το σημείο τομής της με τον κατακόρυφο άξονα). Στα πλαίσια του παρόντος εργαστηρίου, χαράζουμε την καλύτερη ευθεία «με το μάτι», με τρόπο ώστε τα πειραματικά σημεία να απέχουν κατά μέσο όρο το ίδιο εκατέρωθεν της ευθείας. Η ευθεία δείχνει την μέση συμπεριφορά των μετρήσεων και δεν είναι απαραίτητο να διέρχεται οπωσδήποτε πάνω από όλα τα πειραματικά σημεία. Η χάραξη της ευθείας που προσαρμόζεται με τον καλύτερο δυνατό τρόπο στα πειραματικά δεδομένα μπορεί να γίνει με υπολογιστικό τρόπο με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων ή τη μέθοδο Gauss. Ο ρυθμός μεταβολής των μεγεθών που συνδέονται γραμμικά είναι σταθερός και υπολογίζεται από την κλίση της ευθείας. Στο προηγούμενο παράδειγμα η σχέση που συνδέει την απόσταση με το χρόνο είναι x=u*t,δηλαδή έχει τη μορφή Y = α Χ+β. Η κλίση της ευθείας δίδεται από τον λόγο ΑΒ/ΒΓ =Δx/Δt =1,60 m/s, με βάση τη βαθμονόμηση που έχουν οι άξονες (Σχήμα 4). Δεδομένου ότι στους άξονες έχουμε αντιστοιχίσει φυσικά μεγέθη, η κλίση εκφράζει την αντίσταση, μία ποσότητα η οποία 8
έχει μονάδες. Οι μονάδες της κλίσης προκύπτουν από το λόγο των μονάδων του κατακόρυφου προς τον οριζόντιο άξονα (m/sec) που αντιστοιχούν στο παράδειγμά μας στη ταχύτητα. Ο σταθερός όρος β αναφέρεται σε αρχική απόσταση x 0 =- 0,13 m. Υποσημείωση!!! Πιθανώς θα θυμάστε από τα λυκειακά μαθηματικά σας ότι στην γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής y=αx+β, η κλίση α (συντελεστής διεύθυνσης) της ευθείας ισούται με τον τριγωνομετρικό αριθμό «εφαπτομένη» της γωνίας που σχηματίζει η εν λόγω ευθεία με τη διεύθυνση του οριζόντιου άξονα. Χαρακτηριστικά, στοιχηματίζουμε μάλιστα ότι θα σας έχει εντυπωθεί μία ισότητα του τύπου: κλίση α = εφω. Αυτό είναι απολύτως λάθος να το ισχυριστούμε για ένα διάγραμμα μεταξύ φυσικών μεγεθών! Οι λόγοι είναι δύο: a. Η κλίση σε μια γραφική παράσταση μεταξύ δυο φυσικών μεγεθών έχει πάντα τις διαστάσεις κάποιου φυσικού μεγέθους. Για παράδειγμα, η κλίση της ευθείας του σχήματος 4 έχει διαστάσεις ταχύτητας. Ο τριγωνομετρικός αριθμός «εφαπτομένη» όμως -έτσι όπως έχει οριστεί ως ο λόγος της απέναντι κάθετης προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο - είναι αδιάστατος («καθαρός» αριθμός). b. Επιπλέον, τα μεγέθη «κλίση» κι «εφαπτομένη της γωνίας» δε συμπίπτουν ούτε καν αριθμητικά, στη γενική περίπτωση! Γιατί; Μα πολύ απλά επειδή το σύστημα αναφοράς μας σε μια γραφική παράσταση μεταξύ φυσικών μεγεθών δεν είναι «ορθοκανονικό». Αυτό σημαίνει ότι οι μονάδες μέτρησης στον κατακόρυφο και στον οριζόντιο άξονα κατά κανόνα δεν είναι ίδιες μεταξύ τους. Ο χωρισμός κλίμακας στους δύο άξονες υπαγορεύεται από τις μετρήσεις μας κι αυτές με τη σειρά τους, στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, μπορεί να διαφέρουν αρκετές τάξεις μεγέθους μεταξύ τους. Αν κάποιος θέλει να υπολογίσει την εφαπτομένη της εν λόγω γωνίας, δεν έχει παρά να πάρει ένα χάρακα, να μετρήσει το μήκος των ευθυγράμμων τμημάτων Δx και Δt (βλέπε Σχημα 4) σε εκατοστά και όχι σε μονάδες των αξόνων και να βρει το λόγο τους. Όμως αυτό δεν έχει καμία απολύτως σχέση με το πείραμά μας! Μέθοδος ελάχιστων Τετραγώνων Υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όμως, που για την χάραξη της καμπύλης δεν χρειάζεται να προσπαθήσουμε να το κάνουμε με το μάτι επιδιώκοντας να περάσουμε κοντά στα σημεία και μέσα από τα σφάλματα, αλλά μπορούμε να χαράξουμε την καλύτερη δυνατή καμπύλη χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους*. Εάν είναι γνωστό ότι η μετρούμενη ποσότητα y (εξαρτημένη μεταβλητή) είναι γραμμική συνάρτηση του x (ανεξάρτητη μεταβλητή), είναι δηλαδή Υ= α x + β οι πιο πιθανές τιμές του α (κλίση) και του β (τομή με τον άξονα Υ) μπορούν να εκτιμηθούν από μια ομάδα n ζευγών πειραματικών δεδομένων (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n ), στα οποία οι τιμές y είναι επηρεασμένες με ένα τυχαίο σφάλμα κανονικής κατανομής (π.χ. θόρυβος, πειραματική αβεβαιότητα). Ο υπολογισμός αυτός είναι γνωστός ως "ευθεία ελαχίστων τετραγώνων". Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μπορούμε εύκολα να προσαρμόσουμε μια ευθεία (ή γενικότερα ένα πολυώνυμο m βαθμού) στα πειραματικά δεδομένα (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n ), έτσι, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το "άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων" (sum of squared residuals) S: 9
S = Σ[Υ(x i ) - y i ]² Λαμβάνοντας τις μερικές παραγώγους του S ως προς τα α, β και εξισώνοντας αυτές με το μηδέν, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους, τους α και β: Σ(y i ) = α Σ(x i ) + Ν β Σ(x i y i ) = α Σ(x i ²) + β Σ(x i ) όπου Ν είναι το πληθος των μετρήσεων. Με την επίλυση του συστήματος προκύπτουν οι γνωστές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στη γραμμική προσαρμογή ελάχιστων τετραγώνων: α = { Ν Σ(x i y i ) - Σ(x i ) Σ(y i ) } / { N Σ(x i ²) - Σ(x i ) Σ(x i ) } β = { Σ(y i ) Σ(x i ²) - Σ(x i ) Σ(y i x) } / { N Σ(x i ²) - Σ(x i ) Σ(x i ) } με N πληθος μετρήσεων, δα και δβ σφάλματα δα =σ y [Σ(x i ²) /{ N Σ(x i ²) - Σ(x i ) Σ(x i ) }] δα =σ y [N /{ N Σ(x i ²) - Σ(x i ) Σ(x i ) }] σ y = [Σ(y i -α-βx i )^2]/(Ν-2) Βιβλιογραφία 1. «Σφάλματα Μετρήσεων» από το βιβλίο, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Πειραιά, (Μακεδονικές Εκδόσεις). 2. «Θεωρία Σφαλμάτων» από το βιβλίο Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ι Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Αθήνας, (Μακεδονικές Εκδόσεις). 3. «Γραφικές Παραστάσεις» από το βιβλίο, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής ΙΙ Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ, (Mακεδονικές Εκδόσεις). 4. «Οδηγίες Εργαστηριακών Ασκήσεων» από το βιβλίο, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ι Ομάδα Φυσικών ΤΕΙ Αθήνας, (Mακεδονικές Εκδόσεις). 5. Young H., University Physics, Addison-Wesley (Εκδόσεις Παπαζήση 1990). 6. (Ι. Σιανούδης) http://www.semfe.gr/files/users/1154/uevria_sfalmatos-tei_auhnas.pdf 7. (Μ. Πηλακούτα) http://ikaros.teipir.gr/phyche/subjects/varsamis/ergastiria/askisi_1.pdf 8. (Μ. Πηλακούτα) http://ikaros.teipir.gr/phyche/subjects/varsamis/ergastiria/askisi_2.pdf 9. http://www.physics.upatras.gr/uploadedfiles/course_173_6304.pdf 10. (Χριστοπούλου) http://www.physics.upatras.gr/uploadedfiles/course_225_3443.pdf 11. http://www.mathworks.com/help/stats/multivariate-normal-distribution.html 12. http://faculty.colostate-pueblo.edu/linda.wilkes/111/1b.html 13. http://statistics.scientist.gr/22.pdf 12. http://www.chem.uoa.gr/courses/instrumental/labenani/ask00-eisagwgika.pdf 13. http://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ety204/met.pdf 14. (Ε. Χατζηκρανιώτης, 2003) http://zeus.physics.auth.gr/genlab/myeet/index.html 10