9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak dira gauza askotarako: ioiak egiteko (80 km-tara hasten den ionosferaren zergatia dira), D bitamina sortzeko, beltzarantzeko eta esterilizatzeko. Arriskugarriak dira, erredurak eta azal-minbizia sor baititzakete. Argi ikusgaia Eguzkiak, objektu beroek eta tresna elektronikoek (laserrek, LED direlakoek,... ) sortzen dituzte eta begiek, filmek eta tresna elektronikoek detektatzen. Uhin-luzerarik laburrena moreari dagokio ( 400 nm) eta luzeena gorriari ( 710 nm). Kontzentratua dagoenean erredurak eta itsutasuna sor ditzake. Begiak bidaltzen dion informazioarekin kolore-sentsazioa sortzen du nerbio-sistemak. A.7 taulan bildu dira koloreen tarteak batez besteko pertsonaren iritziz. 9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. Izpi infragorriak Eguzkiak, objektu beroek eta tresna elektronikoek (laser batzuek adibidez) sortzen dituzte eta film bereziak edo detektagailu elektronikoak erabil daitezke detektatzeko. Iluntasunean ikusteko eta telebistaren edo garajeetako ateen urrutiko aginteetan erabiltzen dira. Kontzentratuak daudenean erredurak sor ditzakete. Mikrouhinak Zirkuitu elektronikoak erabiltzen dira sortzeko eta (antenen bidez) detektatzeko. Telefonian, sateliteen bidezko telebistan eta komunikazioetan, lokalizazio-sistemetan, radarretan eta labeetan erabiltzen dira. Kontzentratuak daudenean erredurak sor ditzakete. Irrati-uhinak Zirkuitu elektronikoek sortzen eta (antenen bidez) detektatzen dituzte. Irratian, telebista, telefonian eta ontzi-nabigazioan erabiltzen dira. Badirudi ez direla arriskugarriak normalean lortzen diren kontzentrazioetan. Maiztasuna 300 Hz-ekoa edo txikiagoa izaten da elektrizitatea garraiatzeko kableetan, tren eta tranbiek erabiltzen duten korronte alternoan, eta Lurraren eremu elektriko eta magnetikoan.
360 9 Uhinak 9.13 Doppler efektua Kontsidera dezagun ingurune batekiko v i abiaduraz higitzen den uhin-iturri bat eta v d abiaduraz higitzen den detektagailua. Kalkuluak errazteko, bi abiadurak posizio erlatiboaren norabidean daudela suposatuko dugu, baina positiboak zein negatiboak izan daitezkeela, uhinaren v hedapen- -abiadura bezala. Askotan, baina ez beti, soinu-uhinak interesatzen zaizkigu: iturria bozgorailu bat izan daiteke, detektagailua entzulearen belarria eta ingurunea airea. 9.29 IRUDIA Doppler efektua. t = 0 aldiunean (argi dago ez dagoela inolako murrizterik denboraren jatorria une horretan aukeratzean) ν i maiztasuneko maximo bat irteten da iturritik eta t = τ i unean hurrengoa, τ i = 1/ν i periodo bat igaro ondoren iturriak v i τ i distantzia egin duenean. Uhina v abiaduraz hedatuko da ingurunean eta t = t 0 aldiune batean detektagailura helduko da lehen maximoa, vt 0 distantzia egin ondoren. Detektagailuan neurtzen den maiztasuna ν d bada, τ d = 1/ν d periodoa pasatu ondoren bigarren maximoa iritsiko da, d = vt 0 v i τ i + v d τ d distantzia t 0 τ i + τ d denbora-tartean egin ondoren: d = vt 0 v i τ i + v d τ d = v (t 0 + τ d τ i ). (9.197) Hemendik, τ d = (v v i )/(v v d ) τ i edo ν d = v v d v v i ν i (9.198) lortzen da. Emaitza hau ingurunearen erreferentzia-sisteman (airearen sisteman, soinuaren kasuan) erabili behar da (beste sisteman planteatzen bada, 1.2.1 ataleko Galileo-ren transformazioaz balia gaitezke ingurunea geldi dagoen sistemara joateko) eta han agertzen diren hiru abiadurak positiboak zein negatiboak izan daitezke. Gainera, ( ν d = 1 v d v i v v i ) ν i (9.199) moduan ere idazten denez, v i < v bada (kasu supersonikoa behean aztertuko da), 9.30 irudian erakusten da iturria eta detektagailua urruntzen badira, maiztasun txikiagoa neurtzen dela azken honetan, eta hurbiltzen badira handiagoa. Honek azaltzen du nola aldatzen den anbulantzia baten sirenaren tonua gure paretik igarotzean. Iturria ingurunean geldi badago (v i = 0), ( ν d = 1 v ) d ν i (9.200) v
9.13 Doppler efektua 361 9.30 IRUDIA Doppler efektua kasu desberdinetan. dugu, eta geldi dagoena detektagailua bada, ν d = ν i 1 v i /v. (9.201) Azken kasua erraz ulertzen da 9.29 irudiko eskuinaldean: iturria higitzen denez uhin-fronte esferikoek zentro desberdinak dituzte. Bestalde, iturri eta detektagailuaren abiadurak uhinarena baino askoz txikiagoak badira, hurrengo hurbilketa erraztua erabil daiteke: ( ν d = 1 v d v i v ) ν i. (9.202) Hurbilketa honetan, v eta v d v i paraleloak ez badira, hauxe erabili behar da: [ ν d = 1 (v ] d v i ) v ν v 2 i. (9.203) Adibidez, medikuntza baliatzen da Doppler efektuaz: odol-zeluletan islatzen diren ultrasoinuekin odolaren abiadura neurtzen da eta, horrela, arterietako estuguneak detektatzen dira. 9.13.1 Talka-uhinak Goian v i < v hipotesia egin dugu, baina zer gertatzen da iturria uhina baino arinago higitzen bada? Argi dago iturriaren aurrean ez dela uhinik egongo: izan ere, uhin osoa dago erpintzat iturria duen kono batean, 9.31 irudian erakusten den bezala. Uhin-fronte konikoa talka-uhina edo, batzuetan, Mach-en uhina deitzen da eta hegazkin supersoniko bat hurbil pasatzen denean entzuten den danbatekoaren zergatia da 8. Konoaren irekidura erraz kalkulatzen da 9.31 irudiko ezkerreko diagramaren bidez. t denbora-tartean lehen uhinak egindako bidea r = v t erradioa da. Tarte berean iturriak egindakoa d = v i t da. Ondorioz, bi distantzia hauen artean t ezabatzen badugu r/d = v/v i = sin α lortzen dugu: α = arcsin v v i. (9.204) bat. 8 Ikus http://www.gmi.edu/~drussell/demos/doppler/mach1.html orrian argazki bat eta film
362 9 Uhinak 9.31 IRUDIA Talka-uhina. Antzeko gauza bat gertatzen da uraren gainazalean traineru batek, esaterako, sortzen duen perturbazioarekin. Baina kasu horretan, ingurunea sakabanatzailea dela gogoratu behar da eta gauzak ez dira hain errazak. Adibidez, itsasontzi bat ur sakonetan abiadura konstantez higitzean sortzen duen uhara beti dago, abiadura guztietarako, 19.5 angeluerdiko ziri baten barruan: Kelvin-en eredua deritzo fenomeno honen azalpenari. 9.32 IRUDIA Talka-uhinak uretan. Argiarekin ere gerta daitezke talka-uhinak. Ez hutsean, noski: han ezer ez da higitzen argia baino arinago; baina, 9.12.3 atalean ikusi dugun bezala, ingurune batean argiaren abiadura v = c/n da, ingurunearen errefrakzio-indizea n bada, eta n > 1 denean v < v i < c izan daiteke eta sortzen den talka-uhina Cherenkov-en erradiazioa deitzen da eta konoaren (9.204) zabalera hauxe da: α = arcsin c nv i. (9.205) Fenomeno hau erabiltzen da, adibidez, neutrinoak detektatzeko eraiki zen lurpeko Super-Kamiokande ur-tanga erraldoian. Neutrinoen elkarrekintzaren ondorioz sorturiko energia handiko partikula kargatuak uraren 50.000 tonetan argia baino arinago badoaz, igortzen duten argi urdinxka ur puruan zehar hedatzen da, fotoi bakar bat detektatzeko gai diren 10.000 fotobiderkatzaileetako batera iritsi arte. 9.13.2 Doppler efektu elektromagnetikoa Doppler efektua uhin elektromagnetikoekin ere gertatzen da, baina azterketa desberdina da bi arrazoirengatik. Soinua, adibidez, ingurune baten perturbazioen hedapena da eta, beraz, soinuaren abiadura modu natural batean definitzen da airearen sisteman; beste guztietan Galileo-ren
9.13 Doppler efektua 363 transformazioaren bidez kalkulatzen da. Uhin elektromagnetikoetan ez dago ingurune material baten perturbaziorik (ez dago eterrik) eta ez dago uhin hauen erreferentzia-sistema naturalik: sistema guztietan c hedapen-abiadura berdina da. Gainera, kasu honetan erlatibitate berezia erabili behar dugu ezinbestez. Efektu erlatibistaren azterketa 3.13.2 probleman egin genuen, erradiazio elektromagnetikoa fotoiez osaturikoa dela erabiliz. Hemen, aipaturiko erradiazioaren uhin-naturaz baliatuko gara efektua beste ikuspuntu batetik aztertzeko, soinuaren kasuan erabilitako metodoaren antzeko baten bidez. 9.33 IRUDIA Doppler efektuaren Minkowski-ren diagrama. Hasteko, iturriaren sistema propioa kontsideratuko dugu. Bertan behatzailea v abiadura konstantez OX ardatzean zehar higitzen da: t unean x = x 0 +vt puntuan dago, beraz. Uhin harmoniko baten maximo bat t = 0 aldiunean igortzen da eta, c abiaduraz hedatzen denez, x = ct puntuan egongo da. Behatzailearenganaino x 0 + vt = ct betetzen denean helduko da, hau da, t 1 = x 0 c v, x 1 = ct 1 = c c v x 0 = 1 1 β x 0, ( β v ) c (9.206) gertaeran. Hurrengo maximoa t = T aldiunean (periodo bat igaro denean, alegia) abiatzen da: x = c(t T) dugu eta behatzaileak detektatuko du x 0 + vt = c(t T) betetzen denean, hau da, honako gertaera honetan: t 2 = x 0 + ct c v Bi maximoen detekzioen arteko denbora- eta espazio-tarteak t 2 t 1 = x 2 = c (t 2 T) = x 0 + vt 1 β. (9.207) T 1 β, x 2 x 1 = T 1 β v (9.208) dira iturriaren sisteman eta, Lorentz-en (3.41) transformazioaren ondorioz, behatzaileak neurturiko periodoa [ T = t 2 t 1 = γ (t 2 t 1 ) v ] c (x 1 1 β 2 2 x 1 ) = 2 1 + β 1 β 2 1 β T = 1 β T (9.209) da. Ondorioz, iturriaren sisteman uhinaren maiztasuna ν = 1/T da, eta uhinaren norabidean v abiaduraz higitzen den detektagailuaren sisteman neurtutako ν = 1/T maiztasuna 1 β c v ν = 1 + β ν = c + v ν (9.210)
364 9 Uhinak da, eta iturriaren eta behatzailearen abiadura erlatiboaren eta uhinaren hedapen-abiaduraren arteko angelua θ denean, ν = 1 β cosθ ν, (9.211) 1 β 2 (ikus, 9.37 problema). Abiadura erlatiboa txikia denean, β 1, (9.210) emaitzatik (9.202) berreskuratzen da, ν = (1 β) ν, (9.212) baina 1938an Ives eta Stilwell-ek egiaztatu zuten lehenengoz laborategian abiadura erlatibistekin (9.210) erabili behar dela. Iturria eta behatzailea urruntzen direnean, β > 0 dugu (9.210) emaitzan, eta beraz, ν < ν da: gorriranzko lerrakuntza deritzo fenomeno honi, zeren argi ikusgaiaren kasuan iturrian urdina den argia maiztasun txikiagoko argi gorri moduan ikus baitezake behatzaileak. Oro har, hauxe da galaxietako argian ikusten den fenomenoa. Teleskopiotik bildutako argia espektrometro batean aztertzean, lerro karakteristiko ezagunak (hidrogenoarenak edo kaltzioarenak, adibidez) ez dira agertzen laborategian lanpara baten espektroan dauden lekuan, gorriranzko lerraturik baizik. Horrekin galaxiak guregandik norabide guztietan urruntzen direla dakigu: unibertsoaren zabalkuntza deritzo honi. Aurreko behaketez baliaturik, 1929an Edwin Hubble-k galaxien d distantziaren eta v abiaduraren arteko erlazioa v = Hd (9.213) dela argitaratu zuenean kosmologia modernoaren iraultza hasi zen: unibertsoa ez da estatikoa. Hubble-ren (9.213) legean agertzen den H konstantea Hubble-ren konstantea deitzen da. 9.34 IRUDIA Goiko xurgapen-espektroa gorrirantz (urdinerantz) dago lerraturik bigarren (hirugarren) espektroan. Jakina, behatzailea eta iturria hurbiltzen direnean β < 0 eta urdineranzko lerrakuntza dugu: ν > ν. Adibidez, hegazkin eta automobilen abiadura radarraren bidez kalkulatzeko erabiltzen da Doppler efektua (gogoratu 3.13.2 problema). 9.14 Islapena eta errefrakzioa Uhin bat bi ingurune desberdinen arteko gainazalera heltzen denean, bi inguruneetan hedatzen diren bi uhinetan zatitzen da: hasierako uhinaren ingurunean hedatzen dena uhin islatua da eta beste ingurunean higitzen dena uhin errefraktatua. Kontsidera dezagun 9.36 irudiko kasua. Goiko ingurunean k e uhin-bektoreko uhin laua, uhin erasotzailea deitzen dena, inguruneen arteko gainazalera iristean bitan zatitzen da: hasierako ingurunean higitzen den k i uhin-bektoreko uhin islatua eta beheko ingurunean hedatzen den k r uhin-bektoreko uhin errefraktatua.
9.14 Islapena eta errefrakzioa 365 9.35 IRUDIA Islapena eta errefrakzioa. 9.14.1 Islapen eta errefrakzioaren legeak Fase-konstanteko gainazalen (hau da, uhin-gainazalen) perpendikularrak diren izpiak hedapen-norabidea ematen duten uhin-bektoreen paraleloak dira, eta inguruneen arteko gainazalaren perpendikularrarekin batera osatzen dituzten θ e, θ i eta θ r angeluak eraso-, islapen- eta errefrakzio-angelua deitzen dira, hurrenez hurren (ikus 9.36 irudia). Uhinen adierazpenak 9.36 IRUDIA Uhin-fronteen eta izpien islapena eta errefrakzioa. u e = u e0 e i(ke r ωet), (9.214) u i = u i0 e i(k i r ω i t), (9.215) u r = u r0 e i(kr r ωrt) (9.216) izango dira. u magnitudea (presioa, desplazamendua, eta abar) jarraitua izango da gainazalean, hau da, balio bera eduki behar du gainazalaren bi aldeetan 9. Goiko ingurunean bi uhin ditugula kontuan hartuz, gainazaleko puntu guztietan u e + u i = u r (9.217) bete behar da une guztietan; baina, esponentzial desberdinak linealki independenteak direnez (ikus [38]), hori gertatzeko faseak berdinak izango dira gainazaleko puntu guztietan aldiune orotan: k e r ω e t = k i r ω i t = k r r ω r t. (9.218) 9 Egia esan, Maxwell-en ekuazioen ondorioz, uhin elektromagnetikoen kasuan eremuen konbinazio batzuk bakarrik dira jarraituak; adibidez, eremu elektrikoaren proiekzioa gainazalean. Baina honek ez du aldatzen hemengo kalkuluaren ondorioa.
366 9 Uhinak Hau posible izateko une guztietan, maiztasunak berdinak izango dira, ω e = ω i = ω r ω, (9.219) eta, ondorioz, k e r = k i r = k r r. (9.220) 9.37 IRUDIA Islapen eta errefrakzioaren geometria. Aukera dezagun triedro cartesiar bat, inguruneen arteko gainazala OXY planoa izateko moduan: OZ norabide normalean dago. OY ardatzaren orientazioa uhin erasotzailea OY Z planoan egoteko aukeratzen badugu, hauexek izango dira gainazaleko P puntuaren posizio-bektorearen eta uhin-bektoreen osagaiak: Honela idazten dira, bada, (9.220) baldintzak: Eta hauek x eta y guztietarako bete behar direnez, r = xi + y j, (9.221) k e = k ey j + k ez k, (9.222) k i = k ix i + k iy j + k iz k, (9.223) k r = k rx i + k ry j + k rz k. (9.224) k ey y = k ix x + k iy y = k rx x + k ry y. (9.225) k ix = k rx = 0, (9.226) k ey = k iy = k ry. (9.227) (9.226) emaitzaren arabera, uhin islatua eta errefraktatua ere OY Z eraso-planoan daude: izpi erasotzailea, islatua eta errefraktatua gainazalaren normala den plano berean daude. Bestalde, (9.219) eta 9.37 irudia erabiliz, goiko (beheko) ingurunean uhinaren abiadura v 1 (v 2 ) bada, k ey = ω v 1 sin θ e, (9.228) k iy = ω v 1 sin θ i, (9.229) k ry = ω v 2 sin θ r (9.230)
9.14 Islapena eta errefrakzioa 367 dugu eta, (9.227)-ren ondorioz, ω v 1 sin θ e = ω v 1 sin θ i = θ e = θ i, (9.231) ω v 1 sin θ e = ω v 2 sin θ r = sin θ e sin θ r = v 1 v 2. (9.232) 9.38 IRUDIA Ispilu-islapena eta islapen lausoa. (9.231)-ren arabera, eraso- eta islapen-angeluak berdinak dira. Adibidez, P argi-iturrian sortu ondoren gainazal leunean islatzen diren argi-izpien sorta mehe bat erakusten da 9.38 irudian. Islatu ondoren, gainazalaz beste aldean dagoen P puntutik baletoz bezala hedatzen dira, eta begian ez dira gainazala kendu ondoren P puntuan jarriko genukeen argi-iturri batetikoen desberdinak. P puntua P -ren irudia dela esaten da eta fenomenoa ispilu-islapena deitzen da. Gainazala zimurtsua bada, berriz, begian badirudi izpiak iturri desberdinetatik datozela eta ez da irudirik sortzen: islapen lausoa da hau eta horrelakoa gertatzen da, adibidez, paper-orri batean. Bestalde, 1 ingurunearekiko 2-ren errefrakzio-indizea n 21 = v 1 v 2 (9.233) moduan definitzen badugu, (9.232) emaitza Snell-en legea da: eraso- eta errefrakzio-angeluen sinuen zatidura bi inguruneen menpekoa den konstante baten berdina da: sin θ e sin θ r = n 21. (9.234) Gainera, aipaturiko konstantearen esangura fisikoa agerian geratu da: bi inguruneetan uhinak dituen abiaduren zatidura. Uhin elektromagnetikoen kasuan, erreferentzia naturala dugu errefrakzio-indize absolutuak definitzeko: hutsa. Horrela, 9.12.3 atalean esan den moduan, ingurune batean argia v abiaduraz
368 9 Uhinak 9.39 IRUDIA Argiaren errefrakzioa. hedatzen bada, ingurunearen errefrakzio-indize absolutua, hau da, hutsarekiko errefrakzio-indizea, hauxe da: n = c v. (9.235) Bi inguruneren errefrakzio-indize absolutuak n 1 eta n 2 badira, errefrakzio-indize erlatiboa haien zatidura da: n 21 = n 2 n 1 (9.236) eta Snell-en legea modu simetrikoagoan agertzen da: n 1 sin θ e = n 2 sin θ r. (9.237) Fase-abiadura eta errefrakzio-indizea maiztasunaren menpekoak izaten dira eta, ondorioz, prisma batean, adibidez, argi ikusgaiaren kolore desberdinak modu desberdinetan desbideratzen dira eta espektroa ikusten da. Fenomeno bera da ostadarren jatorria (ikus [18]). 9.40 IRUDIA Prisma batek sortutako espektro ikusgaia eta ostadar bikoitza. Talde-abiadura honela idazten da errefrakzio-indizea eta maiztasuna erabiliz: v t = dω dk = v + kdv dk = v + kv dv t dω = c n ωn c v c dn t n 2 dω, (9.238) c v t = n + ω dn. (9.239) dω Argi dago dn/dω > 0 denean, hau da, sakabanatzea normala bada, v t talde-abiadura v = c/n fase-abiadura baino txikiagoa dela. Zenbait esperimentutan argiaren talde-abiadura txikiak lortu dira: metro batzuk segundo batean. Bestalde, sakabanatzea anomaloa, hau da, dn/dω < 0
9.14 Islapena eta errefrakzioa 369 denean, talde-abiadura fase-abiadura baino handiagoa izan daiteke. Areago, c baino handiagoa edo negatiboa izan daiteke eta, izan ere, horrelako talde-abiadurak lortu dira esperimentuetan. Oraindik eztabaidak badaude ere, badirudi (Sommerfeld, Brillouin eta besteren lanei esker) ezin erabili daitekeela v t > c talde-abiadura bat informazioa edo energia c baino abiadura handiagoz eramateko. 9.41 IRUDIA Islatzea. Errefrakzio-indizea era jarraituan aldatzen bada, izpien norabidea ere modu jarraituan alda daiteke. Horixe da islatzearen jatorria. Zoruan aire bero arinaren errefrakzio-indizea pixka bat txikiagoa da eta izpiak kurbatuak dira. Ondorioz, objektu urrutien bi irudiak ikustean, bitartean dagoen uretan islatua dela bigarrena pentsa daiteke. Arrazoi beragatik, egun beroetan bidea bustita dagoela ematen du batzuetan. 9.42 IRUDIA Eskuinean barne-islapen osoa gertatzen da. 9.14.2 Barne-islapen osoa Bigarren ingurunearen errefrakzio-indizea txikiagoa denean (adibidez, argia uretatik airera joatean), errefrakzio-angelua eraso-angelua baino handiagoa da eta azken hau angelu kritikoa deitzen den η arcsin n 21 (9.240) balioaren berdina denean, errefrakzio-angelua π/2 da, hau da, izpi errefraktatua, inguruneen arteko gainazalaren tangentea da. Hortaz, θ e η denean barne-islapen osoa dugu eta izpia ez da sartzen bigarren ingurunean (egia esan, eremu elektrikoaren osagai tangentearen jarraitutasunaren ondorioz, gainazalaren tangentea <den uhin bat dago, baina era esponentzialean ahultzen da bigarren inguruneko sakonera handitzean; gainazal-uhina deitzen da). Fenomeno honi esker garraiatzen da argia telekomunikazioetan hain garrantzitsuak diren zuntz optikoetan: zuntzaren
370 9 Uhinak kurbadura oso handia ez bada eta argi-izpia zuntz mehearen ardatzaren paraleloa bada, zuntzaren horma ia norabide tangentean, hau da, angelu kritikoa baino handiago den angeluarekin joko du horma eta islapen osoa gertatuko da energiarik galdu gabe. 9.43 IRUDIA Islapen osoa eta zuntz optikoa. 9.14.3 Islapen- eta transmisio-koefizienteak Faseen (9.218) jarraitutasuna kontuan hartuz, (9.217) baldintza anplitudeen jarraitutasunera laburtzen da: u e0 + u i0 = u r0. (9.241) Argi dago uhin erasotzailearen anplitudea ezagutzea ez dela nahikoa ekuazio honen bidez beste bi uhinenak kalkulatzeko: beste mugalde-baldintza bat behar dugu: presioaren, tentsioaren edo eremuaren osagai egokiaren jarraitutasuna. 9.44 IRUDIA Zeharkako uhinak bi soka desberdin lotutan. Adibide moduan, kontsidera dezagun 9.44 irudiko sistema. Bi soka desberdin puntu batean lotu dira. Erreferentzia-sistema lotura-puntua x = 0 abszisan egoteko moduan aukeratzen da. Nondik nora doazen kontuan hartuz, honela adierazten dira uhin erasotzailea, islatua eta errefraktatua: u e = u e0 e i(k 1x ωt), (9.242) u i = u i0 e i( k 1x ωt), (9.243) u r = u r0 e i(k 2x ωt). (9.244) Ingurune berean hedatzen direnez, uhin erasotzaileak eta islatua uhin-zenbaki bera dute (eta kontrako uhin-bektoreak: k i = k 1 i = k e ), baina errefraktatuarena desberdina da. Argi dago x = 0 lotura-puntuan desplazamendua u e0 e iωt + u i0 e iωt = u r0 e iωt (9.245)
9.14 Islapena eta errefrakzioa 371 dela: (9.241) baldintza berreskuratzen dugu hemen. Oszilazio txikien kasuan, (9.92) (9.93) tentsioaren osagai bertikala hauxe da ezkerreko sokan: T y = T sin α T tanα = T u ( x = T ue x + u ) i x Era berean, eskuineko sokan zera dugu: = k 1 T [ u e0 e i(k 1x ωt) u i0 e i(k 1x+ωt) ]. (9.246) T y = T u r x = k 2Tu r0 e i(k 2x ωt). (9.247) Baina bi tentsioak berdinak dira x = 0 puntuan; beraz, e iωt esponentziala sinplifikatuz, dugu eta, (9.241) gogoratuz, Soka batean fase-abiadura v i = ω/k i, denez, emaitza moduan ere idazten da, edo, (9.102) gogoratuz, u i0 = k 1 (u e0 u i0 ) = k 2 u r0 (9.248) u i0 = k 1 k 2 k 1 + k 2 u e0, u r0 = 2k 1 k 1 + k 2 u e0. (9.249) u i0 = v 2 v 1 v 1 + v 2 u e0, u r0 = 2v 2 v 1 + v 2 u e0 (9.250) µ1 µ 2 µ1 + µ 2 u e0, u r0 = 2 µ 1 µ1 + µ 2 u e0. (9.251) Orain, (anplitudearen) islapen-koefizientea uhin islatuaren eta erasotzailearen anplitudeen zatidura bada, R u i0, (9.252) u e0 eta (anplitudearen) transmisio-koefizientea uhin errefraktatuaren eta erasotzailearen anplitudeen zatidura, T u r0, (9.253) u e0 hauxe dugu: µ1 µ 2 R = µ1 + 2 µ 1, T = µ 2 µ1 +. (9.254) µ 2 T beti positiboa denez, uhin errefraktatua eta erasotzailea beti daude fasean x = 0 lotura- -puntuan; baina R positiboa zein negatiboa izan daiteke eta uhin islatua eta erasotzailea fasean (biak soka astunean hedatzen direnean) edo kontrafasean (soka arinean badaude) egon daitezke. 9.45 irudian erakusten dira bi kasua hauek, uhin harmonikoen gainezarmena den pultsu bat erabiliz. Eskuineko sokaren masa oso handia bada, hau da, µ 2 limitean, ez dago uhin errefraktaturik (u r0 = 0, T = 0) eta uhin osoa islatzen da kontrafasean (u i0 = u e0, R = 1). Gauza bera lortzen da hasieratik x = 0 puntua finkoa dela suposatzen badugu, noski. Ohar zaitez (9.245) baldintza modu honetan idazten dela: 1 + R = T. (9.255) (Energiaren islapen- eta transmisio-koefizienteak 9.42 probleman aztertuko dira.)
372 9 Uhinak 9.45 IRUDIA Pultsuak ezkerreko (eskuineko) soka astunagoa denean. Uhin elektromagnetikoen islapen- eta transmisio-koefizienteak Uhin elektromagnetikoen kasuan islapena eta errefrakzioa aztertzeko, 365. orriko oinean aipatu ditugun eremuen osagaien jarraitutasun-baldintzak erabili behar dira. Hemen emaitzak aurkeztera mugatuko gara. Eremu elektrikoa (eta magnetikoa) uhin-bektorearen perpendikularra den planoan dago eta han, oro har, bi polarizazioren gainezarmena da, hau da, bi osagai ditu, 9.46 irudian 10 erakusten den bezala: E bi inguruneen arteko gainazalaren paraleloa eta eraso-planoaren perpendikularra da eta E aurrekoaren perpendikularra. Eman dezagun, 357. orrian aipatu den bezala, dielektrikoetan askotan betetzen den µ 1 µ 2 µ 0 baldintza dugula. Kasu horretan hauexek dira islapen- eta transmisio-koefizienteak aipaturiko norabideetan (ikus, adibidez, [14]): R E i E e = n 1 cosθ r n 2 cosθ e n 1 cosθ r + n 2 cosθ e, (9.256) R E i = n 1 cosθ e n 2 cos θ r, (9.257) E e n 1 cosθ e + n 2 cosθ r T E r 2n 1 cosθ e =, (9.258) E e n 1 cosθ r + n 2 cos θ e T E r E e = 2n 1 cosθ e n 1 cosθ e + n 2 cosθ r. (9.259) 9.46 IRUDIA Eremu elektrikoaren osagaiak. 10 Liburu askotan, E i eremuaren noranzko positiboa alderantziz aukeratzen da eta, ondorioz, R koefizientearen zeinua kontrakoa da.
9.14 Islapena eta errefrakzioa 373 9.16 ARIKETA Erabili Snell-en legea, (9.256) (9.259) emaitzak, ondoan agertzen diren Fresnel- -en ekuazioen baliokideak direla frogatzeko: R = tan(θ r θ e ) tan(θ r + θ e ), (9.260) R = sin(θ r θ e ) sin(θ r + θ e ), (9.261) 2 sinθ r cosθ e T = sin(θ e + θ r )cos(θ e θ r ), (9.262) T = 2 sinθ r cosθ e sin(θ r + θ e ). (9.263) Azter dezagun zer (eta noiz) gertatzen den R = 0 izatea. Kasu horretan, uhin erasotzailearen polarizazioa edonolakoa izanda ere, uhin islatua linealki polarizatuta dago, inguruneen arteko gainazalaren paraleloa eta eraso-plano perpendikularra den norabidean hain zuzen, E i = 0 baita. (9.256) emaitzaren arabera, n 1 cosθ r = n 2 cosθ e bete behar da hori gertatzeko; baina, hori Snell- -en (9.237) legearekin biderkatuz, sin θ e cosθ e = sin θ r cos θ r lortzen dugu, hau da, sin 2θ e = sin 2θ r. Hots, Snell-en legeak, (9.256)-rekin batera, θ e = θ r soluzioa debekatzen duenez, uhin islatuaren polarizazio osoa 2θ r = π 2θ e, hau da, θ e + θ r = π 2 (9.264) denean, lortzen da: izpi islatua eta errefraktatua elkarzutak direnean, izpi islatua linealki polarizatua dago eta eremu elektrikoa inguruneen arteko gainazalaren paraleloa eta eraso-planoaren perpendikularra da. Gainera, (9.264) baldintzaren ondorioz sin θ r = cosθ e dugu eta Snell-en (9.234) erabiliz, polarizazio osoa eraso-angelua hurrengo ekuazioak definituriko polarizazio-angeluaren berdina denean gertatzen da: θ e = arctann 21. (9.265) Brewster-en legea deritzo emaitza honi. Fenomeno honen ondorioz, gainazal horizontal batean (erreka baten azalean, zoruko izotzean edo errepideetako asfaltoan) islatutako argia partzialki polarizatuta dago eta eraginkorragoak izan daitezke eguzkitako betaurrekoak material polarizatzaileez egiten badira. 9.48 probleman frogatuko dugu R ez dela nulua eta, beraz, uhin islatua ez dagoela polarizatua eraso-planoan, uhin erasotzailea horrela ez bazegoen. Argi dago, gainera, bi transmisio-koefizienteak ez direla nuluak eta, oro har, uhin errefraktatua ez dago polarizaturik. Transmisio-koefizienteak positiboak direnez, uhin errefraktatua eta erasotzailea fasean daude; baina, islapen-koefizienteak positiboak zein negatiboak izan daitezke eta uhin islatua fasean zein kontrafasean egon daiteke. Erasoa normala bada, θ e = θ i = θ r = 0, R = R = n 1 n 2 n 1 + n 2, (9.266) T = T = 2n 1 n 1 + n 2 (9.267) dugu. Uhin islatuan π balioko desfase bat egongo da n 1 < n 2 denean, hau da, 9.14.3 ataleko kasuan bezala, uhin errefraktatua erasotzailea baino astiroago higitzen denean.
374 9 Uhinak 9.47 IRUDIA Argi islatuaren polarizazioa angelu desberdinetan. Eraso (ia) tangentean, θ e π/2, ez dago uhin errefraktaturik eta (9.47 irudiko aukerak kontuan harturik) uhin islatuan eremu elektrikoa alderantziz doa, hau da, π balioko desfasearekin: R R 1, T T 0. (9.268) Bestalde, eraso-angelua kritikoaren berdina edo handiagoa denean, bakarrik dugu uhin islatua (eta gainazal-uhina) eta (9.256) (9.259) ez dira aplikatzen (ikus, adibidez, [12]). 9.15 Interferentzia Maiztasun bereko bi uhin harmoniko puntu batean gainezartzen direnean, maiztasun berdina duen beste uhin harmoniko bat sortzen da. Eman dezagun P puntuan bi uhinen adierazpenak u 1 = A 1 e i(ϕ 1 ωt) [= A 1 cos (ϕ 1 ωt)], (9.269) u 2 = A 2 e i(ϕ 2 ωt) [= A 2 cos (ϕ 2 ωt)] (9.270) direla. Adibidez, fasean dauden I 1 eta I 2 iturri puntualetatik datozen uhin-luzera berdineko bi uhin esferikoren kasuan, u i = u i0 r i e i(kr i ωt ϕ 0 ), (9.271) hauexek ditugu A i anplitudeak eta ϕ i faseak: A i = u i0 r i, ϕ i = kr i ϕ 0. (9.272) Uhin osoa puntu horretan harmonikoa da eta anplitudea eta fasea erraz kalkulatzen dira fasoreak edota berdintza trigonometrikoak erabiliz: u = u 1 + u 2 = Ae i(ϕ ωt) [= A cos (ϕ ωt)], (9.273) A = A 2 1 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos (ϕ 2 ϕ 1 ), (9.274) sin ϕ = A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2, (9.275) A cosϕ = A 1 cos ϕ 1 + A 2 cosϕ 2. (9.276) A