ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)x είναι f( x, ) για κάθε x Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x Α ; 0 Μονάδες Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση f( x), x 0 x ισχύει ότι f ( x) x (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g ισχύει ότι f( x) g( x) f ( x) g( x) + f( x) g( x ) ( ) (μονάδες ) γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, ισχύει ότι Ρ ( Α) > Ρ( Β) (μονάδες ) Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω { ω ω ω ω},,, και τα ενδεχόμενα {, } και Β { ω, ω } Α ω ω Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων { ω } και { } x + x+ P( ω ) lim x x + x ω του Ω ισχύει ότι: H P( ω ) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της f( x ) ως προς x, όταν x, όπου x f (x) lnx, x > 0 Β. Να αποδείξετε ότι P( ω ) και ω P( ) Μονάδες 0 Β. Να αποδείξετε ότι P(A ), όπου A το συμπληρωματικό του A. Β. Αν P(A ), τότε να βρείτε τις πιθανότητες P( ω ), ω και P(Α -Β ), όπου Β το συμπληρωματικό του Β. Μονάδες 7 P( ), P(A [ B) (B A) ] Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής X, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι 50 η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι x 85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ 75 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c 0 Μονάδες Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά Kλάσεις [, ) [, ) [, ) [, ) Σύνολο Κεντρικές Τιμές x i Σχετική Συχνότητα f i Μονάδες 8 Γ. Δίνεται ότι f 0,, f 0,, f 0, και f 0, Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, είναι 00 Μονάδες 7 Γ. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ < ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) xlnx + κ, x > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την,f(), η οποία εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ) σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < Δ. Να αποδείξετε ότι κ Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. Έστω x, x,..., x 50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y α) Να αποδείξετε ότι x 0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι : Κάθε μία από τις τετμημένες x, x,..., x 0 αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ με λ > 0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με (μονάδες ) Δ. Αν < α < β < γ < μέση τιμή των τιμών Δ. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Μονάδες 6 α β γ 7 με α β γ,τότε να βρείτε το εύρος R και τη f(α),f(β), f(γ),f(), f, όπου f(x) xlnx + Ω t n, n,,,...,0 : 0 < t < t <... < t0 < < t <... < t0 με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα Α{ t Ω: η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( t,f(t) ), να σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία }, { } Β t Ω : f(t) > f (t) +, όπου f(t) tlnt + Μονάδες 7 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β (μονάδες ) Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και ΜΟΝΟ για πίνακες, διαγράμματα κλπ... Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.0 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο (Σελ. 8). Α. Σχολικό βιβλίο (Σελ. ). Α. Σχολικό βιβλίο (Σελ. 87). Α. α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος, ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Ω { ω, ω, ω, ω } { ω ω } Β { Α ω, ω } x + x+ lim x ( ω ) Ρ x + x / / x + x+ lim x ( x + x )( x + x+ + ) ( + / ) x/ x/ lim x / x/ x/ x x ( + /)( + + + ) lim x x x x. ( + + + ) ( )( + ) x f ( x) ln x x > 0
' x/ f ( x) ln x+ ( ln x+ ) x/ ' Ρ ( ω) f ( ) άρα Ρ ( ω), Ρ ( ω). Β. Ρ Α ( ) Ρ( Α) Ρ( Α ) { ω, ω } 0 Α και αφού { ω } Ρ Α ' ( ω ) Ρ( Α ) Ρ Α ' ( ) (). και Ρ( Α ) ( ) Ρ( Α) Ρ( Α) Ρ( Α) Ρ( Α) ισχύει διότι { ω } Α. Από ( ) και ( ) ( ) Ρ Α
B P( Α ) P Α P Α ( ) ( ) P Α P ω + P ω ( ) ( ) ( ) + P ω P ω 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P P Ω ω + ω + ω + ω + P( ω ) + + 0 P( ω ) 5 P( ω ) άρα P( Β ) P ( ω ) + P( ω ) 7 + + P ( Α Β) ( Β Α) P Α Β + P Β Α ( ) ( ) P( Α) P( Α Β ) + P( Β) P( Α Β) 7 + P Α Β Α Β { ω } ( ) P( Α Β ) P( ω ) άρα P ( Α Β) ( Β Α ) 0 0 0 6 Α ω, ω Β ω, ω { } { } Α Β B Α Διότι ( Α Β) ( Β Α ) αφού A Β & Β Αξένα μεταξύ τους. Ω
{ } ( Α Β ) ( Α ) P( Α Β ) Α Β ω P P P ( ω ) 5 9 5. ΘΕΜΑ Γ k x 85 f f δ 75 x 7 Γ. Αν c το πλάτος τότε οι κλάσεις είναι οι [ + ) [ + + ) [ 50 + c,50 + c) & [ 50 + c,50 + c ). Όμως c 0 Γ. [ ) 50 + c + 50 + c x 85 85, xi fi 50 60 55 0, 60 70 65 0, 70 80 75 0, 80 90 85 0, Σύνολο f + f + f + f f + f + f Ό f f μως x 7 Σ xifi 7 55f+ 65f + 75f+ 85f 7 55f + 65f + 5f 7 ( ) f f 50,50 c, 50 c,50 c, ()
δ75 Η διάμεσος είναι και χωρίζει το δείγμα σε δυο ίσα μέρη άρα 50% μικρότερες της διαμέσου και 50% μεγαλύτερες απ αυτή. 50 Επομένως f+ f f+ f 00 5 f f 0, f 0, 0, f+ f 0, ( ) ( ) 55f + 65f 5 Σύστημα Γ. f 0, f 0, Αν x η μέση τιμή τότε: xv + xv + xv x v v vi fi vi fiv v x f v+ x f v+ x f v x v f v v/ Σxf i i i 0 00 00. v / f 0,6 6 Γ. ( )....... x s x s x s x x+ s x+ s x+ s 68% 95% 99,7%
Είναι 00% 95%,5% 5% x s Άρα, το πολύ και τουλάχιστον Επειδή,5% τουλάχιστον 7 είναι x+ s 7 ( ),5% x+ s 00% 68% Επίσης 6% Άρα 6% το πολύ x s και 6% τουλάχιστον x+ s Επειδή 6% το πολύ είναι x s 68 Λύνουμε ( ) ( & ) ( ) Άρα 68 ( ) Σ : x 70 s s cv x 70 5 < 0 άρα ομοιογενές. ΘΕΜΑ Δ f x x x+ κ x > 0 κ, κ >. Δ. ( ) ln, Το σημείο επαφής είναι το Μ (, f ( ) ) ή Μ ( κ ),. Έστω ε : y λx+β η εφαπτομένη της Cf στο Μ. () λ f f ( x) ln x+ άρα f () και ε : y x+ β. Μ ε κ + β β κ δηλ. ε : y x + κ. Η ( ε ) τέμνει τους άξονες για 0 > ( κ > ) κ < ( κ > ) x y κ 0 y 0 x 0. κ κ 0
( κ ) Ε ( κ ) κ ( κ ) Ε< < κ κ + < κ κ <0 ρίζες οι και α > 0 άρα κ κ <0 για < κ <. Όμως κ και κ > άρα κ. Δ. y α) Είναι yi xi + xi yi Από εφαρμογή του σχολικού είναι x y x 0 β) Έστω zi οι νέες παρατηρήσεις με i,,...,50. Τότε z x + με i,,...,0 i i i z x i με i,,...,5 z x λ με i 6,7,...,50 i i z+ z+... + z50 z 50 x + x +... + x0 + 0 + x + x +... + x5 + x6 +... + x50 5λ 50 Σ xi + 60 5λ Σxi 60 5λ + 50 50 50 λ x +... λ. 0 Δ. x 0 + f + f f > 0 < α < β < γ <. α f α α α + α + f f α β γ α β γ ( ) ln ln β ( β) βln β + ln β + γ ( γ) γ lnγ + lnγ + 7
f ( ) + f ( x) ln x+ f ( x) 0 x f ( x) > 0 x> f 0 f γνησίως αύξουσα, + < α < β < γ < 0 < f < f ( α) < f ( β) < f ( γ) < f ( ) f < f < f α < f β < f γ < f Άρα R f ( ) f ln + 0 + f ( α) + f ( β) + f ( γ) + f ( ) + f x 5 α β γ lnα + ln β + lnγ + + 8 + 0 5 α β γ ln 7 ( α β γ ) + + 8 ln + + 8 5 5 7+ + 8 5+. 5 5 Δ. ( ) ( ) ( ) ( ) Ω t,n,,...,0 : 0 < t< t <... < t0 < < t <... < t 0 { t :( t,f( t) ) ί ί } t :f( t) f ( t) Α Ω οξεαγωνα { } Β Ω > + α. f t > 0 Οξεία γωνία άρα ( ) f ( x) lnx+. ln t + > 0 t >. A t,t,...,t N Α 0, N Ω 0 { } ( ) ( ) 0
0 P( A) 0 β. Πρέπει f( t) > f ( t) + tlnt+ > lnt+ + ( t ) lnt> 0 Είναι ti < i,,...,9 και 0 Άρα πρέπει ln t < 0 t < Δηλαδή B { t,t,...,t 9} και Α Β { t,t,...,t } 9 t με 9 P Α Β. 0 N( Α Β ) 9 και ( ) Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη