EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako deribatu partzialak. Goi-mailako deribatu partzialak.. 15.. Diferentziala. Diferentziagarritasunaren, deribagarritasunaren eta jarraitutasunaren arteko erlazioak 19.3. Funtzio konposatuen deribagarritasuna eta diferentziagarritasuna......4! 9 3.1. Funtzio baten muturrak. Mutur lokalen existentziarako baldintza beharrezkoak. Mutur lokalen existentziarako baldintza nahikoak... 3 3.. Mutur baldintzatuak. Lagrange-ren metodoa. 33 3.3. Programazio lineala. 35! 39 4. 44 4.1. Integral mugatua. Definizioa. Propietateak. 45 4.. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema. Barrow-en erregela. 48 4.3. Integral mugagabea. Propietateak. Integralen kalkulua 5 4.4. Integral inpropioak. Definizioa. Sailkapena. 55 4.5. Integral parametrikoak. Definizioa. Integral parametrikoen bidez definitutako funtzioen deribagarritasuna.. 58 "... 6 # $ 67 5.1. Funtzio inplizitua. Definizioa. Funtzio inplizituaren teorema. Funtzio inplizituen deribazioa.. 68 5.. Funtzio homogeneoa. Definizioa. Propietateak. Euler-en teorema. 7 #. 74

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 1. gaia: TOPOLOGIA. ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIO ERREALEN LIMITEA ETA JARRAITUTASUNA 1.1. Topologia 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa 1.3. Limitea 1.4. Jarraitutasuna 1

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 1.1. Topologia Distantzia: Izan bitez x, y R n. Haien arteko distantzia euklidearra honela adierazten da: d( x, y ) = x - y = ( x 1 y1 ) + ( x y ) +... + ( x n y n ) Propietateak 1. x, y R n d( x, y ). x, y R n d( x, y ) = d( y, x ) 3. x, y R n d( x, y ) = x = y Bola irekia: x R n zentroko eta r > erradioko bola irekia honela adierazten da: B( x, r) = y R n / d( x, y ) < r Barruko puntuak. Kanpoko puntuak. Muga-puntuak A R n multzoa izanik, A-ren puntuak honela sailkatuko ditugu: Barruko puntuak: x A-ren barruko puntua dela esango dugu, hau egiaztatzen bada: r > / B( x, r) A A-ren barruko puntu guztien multzoari A-ren barnealdea esaten zaio eta honela adieraziko dugu: IntA Hau da: x int A r > / B( x, r) A

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna Kanpoko puntuak: x A-ren kanpoko puntua dela esango dugu hau egiaztatzen bada: r > / B( x, r) A C A-ren kanpoko puntu guztien multzoari A-ren kanpoaldea esaten zaio eta honela adieraziko dugu: ExtA. Hau da: x Ext A r > / B( x, r) A C Muga-puntuak: x A-ren muga-puntua dela esango dugu, hau egiaztatzen bada: r >, B( x,r B( x,r ) A φ ) c A φ A-ren muga-puntu guztien multzoari A-ren muga esaten zaio eta honela adieraziko dugu: FrA Hau da: x Fr A r >, B( x,r B( x,r ) A φ ) c A φ Multzo irekia. Multzo itxia. Multzo bornatua. Multzo trinkoa Puntuen arabera, multzoak honela sailkatuko ditugu: Multzo irekia: A multzo irekia izango da, haren puntu guztiak barruko puntuak badira. A multzo irekia A = int A Multzo itxia: A multzo itxia izango da, muga-puntu guztiak multzoan badaude. A multzo itxia fra A 3

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna Multzo bornatua: A multzo bornatua izango da, existitzen bada r >, non A B(, r) baita. A multzo bornatua r > / A B(, r) Multzo trinkoa: A trinkoa izango da, itxia eta bornatua bada. 4

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa Aldagai anitzeko funtzio erreala honela adierazten da: f: D R n R x f( x ) da. Funtzioaren eremua: funtzioa definituta dagoen puntu guztien multzoa D izendatuko dugu: D = { x R n / f( x )} Izan bedi f: D R n R funtzioa, D haren eremua izanik, orduan f-ren grafikoa R n+1 multzoaren honako azpimultzo honi deituko diogu: G f = { ( x, f( x )) / x D} Hots, f: D R R aldagai bateko funtzioaren grafikoa R planoan izango da; aldagai biko funtzioa badugu, f: D R R, haren grafikoa R 3 -n laua izango da. Aldagai biko funtzioen grafikoa irudikatzea ez da erraza izaten. Horregatik, praktikan maila-kurbak definitzen dira. Izan bedi f:dr R funtzioa. Orduan balioa hartzen duten eremuko puntu guztien multzoari maila-kurba esaten zaio, eta honela adierazten da: K = {(x, y) D / f(x, y) = } 5

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 1.3. Limitea Definizioa: Izan bedi f:d R R funtzioa. x puntuan f-ren limitea L dela esango dugu, eta lim f( x ) = L x x adieraziko dugu honako hau betetzen bada: > > / x B( x, ) D\{ x } f ( x ) L < edo > > / x x < f ( x ) L < Limitearen definizioak, lim f( x ) = L x x geometrikoki, honako hau esan nahi du: x zentroko eta erradioko inguruneko edozein x punturentzat, f( x )-ren balioa L- eta L+ artean dagoela. Oharra: - Funtzioak x puntuan ez du definiturik egon behar, baina bai x puntuaren inguruneren batean. - Limitearen definizioan, x puntua x puntuari nola hurbiltzen zaion ez da esaten; hau da, limitearen existentziak ez dauka loturarik x puntua x puntuari hurbiltzeko bidearekin. Edozein zuzen edo kurbaren hurbildu daiteke. bidez Aldagai bateko kasuan limitearen existentzia aztertzeko limiteak ezkerretik eta eskuinetik aztertzen genituen. Bi aldagai errealeko funtzioetan kalkulatu beharko genituzke funtzioaren limiteak, x = (x, y ) puntutik pasatzen diren ibilbide guztiei jarraituz. 6

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna Norabide-limiteak f-ren limitea x puntuan y=(x) norabidean honela adierazten da: lim x x y φ( x ) f( x ) x puntuan funtzioaren limitea existitzeko, beharrezkoa da puntu horretan edozein norabide-limite existitzea eta denak berdinak izatea, edozein norabide edo kurbatakoak izanik. Adibidez, demagun f:d R R funtzioa dugula. Norabide-limitea, y y = m(x x ) zuzena hartuz, honako hau izango dugu: lim ( x,y ) ( x,y ) y y = m( x x ) f( x,y ) Limite iteratuak Limite hauetan, lehendabizi aldagai batekiko hartzen da limitea, eta beste aldagaia konstantetzat hartzen. Gero, lortutako limitearen limitea kalkulatzen da bigarren aldagaiarekiko. Limite horiei limite iteratu deitzen zaie: lim lim f( x,y x x y ) y lim lim f( x,y y y x ) x Limite horren existentziak ez dakar, berez, lim f( x,y ) ( x,y ) ( x,y ) limitea existituko denik. Bakarrik ziurta dezakegu lim f( x,y ) ( x,y ) ( x,y ) ez dela existitzen, limite iteratuak existitu eta desberdinak direnean. Kontuan izan funtzioaren limitea puntu batean existitzen bada, hura bakarra dela. 7

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna Propietateak Demagun Lim f( x ) x x eta Lim g( x ) x x ditugula: 1. Bi funtzioren arteko baturaren (kenduraren) limitea funtzio bakoitzaren limiteen batura (kendura) da. Lim [ f( x ) ± g( x )] = Lim f( x ) x x x x ± Lim g( x ) x x. Konstante baten eta funtzio baten arteko biderkaduraren limitea konstantearen eta funtzioaren limitearen biderkadura da. k R, Lim kf( x ) x x = k Lim f( x ) x x 3. Funtzioen arteko biderkaduraren limitea funtzio bakoitzaren limiteen biderkadura da. Lim [ f( x ) g( x )] = Lim f( x ) Lim g( x ) x x x x x x 4. Funtzioen arteko zatiduraren limitea funtzio bakoitzaren limiteen zatidura da, izendatzailea zero ez denean. Lim x x [ f( x ) / g( x )] = Lim f( x ) / Lim g( x ) x x x x g( x ), Lim g( x ) x x 8

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 1.4. Jarraitutasuna f:d R R funtzioa jarraitua da x D puntuan, baldin eta soilik baldin funtzioaren balioa puntu horretan eta puntu horretako limitea berdinak badira. Hots, f( x ) = lim f( x ) x x Beraz, funtzio bat puntu batean jarraitua izateko honako baldintza hauek bete behar dira: - Funtzioa puntu horretan definitua egotea. - Puntu horretan funtzioaren limitea existitzea. - Funtzioaren balioa puntu horretan eta puntu horretako limitea berdinak izatea. Aurreko baldintzetariko bat betetzen ez denean, funtzioa puntu horretan ezjarraitua edo etena dela esaten da. Bestalde, funtzioa D multzoan jarraitua dela esaten da multzo horretako puntu guztietan jarraitua denean. Funtzio jarraituen propietateak Izan bitez f eta g funtzioak jarraituak x puntuan: 1. f eta g funtzio jarraituen arteko batura eta kendura x puntuan funtzio jarraitua izango da. (f ± g) jarraitua x puntuan. f funtzio jarraituaren eta λ zenbaki errealaren arteko biderkadura funtzioa jarraitua izango da. (λ f) jarraitua x puntuan λ R 3. f eta g funtzio jarraituen arteko biderkadura x puntuan funtzio jarraitua izango da. (f g) jarraitua x puntuan 9

1. gaia: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 4. f eta g funtzio jarraituen arteko zatidura x puntuan jarraitua izango da, izendatzailea zero denean izan ezik. (f/g) jarraitua x puntuan ( g( x ) ) 1

1. gaiko ariketak: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna ARIKETAK TOPOLOGIA. ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIO ERREALEN LIMITEA ETA JARRAITUTASUNA 11

1. gaiko ariketak: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 4x 8y ( x,y ) (,4 ) x y 1. Izan bedi honako funtzio hau: f( x,y ) = ( x,y ) = (,4 ) a) Aurkitu f-ren eremua. Eman barruko puntuen multzoa. Eremua trinkoa al da? Irekia al da? b) Aurkitu: lim f( x,y ) ( x,y ) (,4 ) lim ( x,y ) (1, ) f( x,y ) c) Aurkitu maila-kurbaren adierazpen analitikoa. Zein maila-kurbatan dago (,)? Eta (1,-1)? x + y (x,y) (,) x 5y. Izan bedi honako funtzio hau: f(x,y) = k (x,y) = (,) a) Aurkitu haren eremua. Adierazi eremuaren barnealdea eta muga. b) Aztertu funtzioaren jarraitutasuna. c) Zein maila-kurbatan dago (,)? Eta (5,1)? x 3. Izan bedi honako funtzio hau: f( x,y ) = xy + y ( x,y ) (, ) ( x,y ) = (, ) a) Aurkitu f-ren eremua. Eremua itxia al da? Irekia al da? Bornatua al da? b) Kalkulatu: lim f( x,y ) ( x,y ) (, ) c) Aztertu f-ren jarraitutasuna. lim ( x,y ) (1,1) f( x,y ) 1

1. gaiko ariketak: Topologia. Aldagai anitzeko funtzio errealen limitea eta jarraitutasuna 4. Izan bedi honako funtzio hau: a) Aurkitu f-ren eremua: D. f ( x,y ) xy x + y = 4 b) Aurkitu D-ren barruko puntuak eta muga. c) Aztertu f-ren jarraitutasuna. ( x,y ) (1, 1) ( x,y ) = (1, 1) d) Aurkitu maila-kurbaren adierazpen analitikoa eta grafikoa. Zein mailakurbatan dago (1,-1)? 5. Izan bedi honako funtzio hau: f ( x,y ) x + y x y = 7 a) Aurkitu eremua. Adierazi haren barnealdea eta muga. b) Aztertu funtzioaren jarraitutasuna. c) Zein maila-kurbatan dago (,)? Eta (,1)? ( x,y ) (, ) ( x,y ) = (, ) 6. Izan bedi honako funtzio hau: f ( x,y ) x y 3x + y = ( x,y ) (1, 3 ) ( x,y ) = (1, 3 ) a) Aurkitu f-ren eremua. Adierazi eremuko kanpoko puntuen multzoa eta muga-puntuak. b) Aztertu funtzioaren jarraitutasuna. Zein maila-kurbatan dago (, )? Eta (1,-3)? 13

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala. gaia: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOEN KALKULU DIFERENTZIALA.1. Lehen mailako deribatu partzialak. Goi-mailako deribatu partzialak.. Diferentziala. Diferentziagarritasunaren, deribagarritasunaren eta jarraitutasunaren arteko erlazioak.3. Funtzio konposatuen deribagarritasuna eta diferentziagarritasuna 14

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala.1. Lehen mailako deribatu partzialak. Goi-mailako deribatu partzialak.1.1. Lehen mailako deribatu partzialak Definizioa Izan bedi honako funtzio hau: f: D R R (x,y) f(x, y) x aldagaiarekiko f funtzioaren lehen mailako deribatu partziala esaten zaio honako limite honi (existitzen bada): f( x + h,y ) lim h h eta honako ikurren bidez adieraz daiteke: f x, f, Dx f(x, y) x Era berean, honako limite honi, existitzen bada, y aldagaiarekiko f funtzioaren lehen mailako deribatu partziala esaten zaio: f( x,y lim h h + h) f eta ikur hauen bidez adieraz daiteke: f y,, Dy f(x, y). y f Oro har, bai bai x f x eta y aldagaien funtzioak dira. y (x, y ) puntuan lehen mailako deribatu partzialak kalkulatzeko honela egingo dugu: f x (x, y )= f (x, y )= x f( x lim h + h,y ) f( x h,y ) f y (x, y )= f (x, y )= y f( x lim h,y + h) f( x h,y ) 15

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala Aldagai bakarreko deribatuen zeinuak adierazten du funtzioa gorakorra edo beherakorra den puntuaren ingurune batean. Aldiz, deribatu partzialen zeinuek adierazten dute nola ibiltzen den f funtzioa bi norabideetan, ardatzekiko norabide paraleloetan. Hots, x deribatuak funtzioaren aldakuntza neurtzen du OX ardatzaren norabidean, eta f deribatuak OY ardatzaren norabidean. y Deribatu partzialaren kontzeptua hiru aldagaiko edo gehiagoko funtzioetara zabaldu daiteke. Horretarako, aldagai guztiak bat izan ezik, finkatu behar dira aldagai horrekiko deribatu partzialak lortzeko. Izan bedi honako funtzio hau: f: D R n R (x 1,x,, x i,, x n, ) f(x 1,x,, x i,, x n, ) Honako limiteari, existitzen bada, esaten zaio x i aldagaiarekiko f funtzioaren lehen mailako deribatu partziala: f x i (x, y) = f( x lim h 1,x,...,x i + h,...,xn ) f( x1,x h,...,x i,...,x n ) 16

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala Deribazioaren propietateak 1. Funtzio deribagarrien arteko batura eta kendura funtzio deribagarria izango da.. Funtzio deribagarriaren eta λ zenbaki errealaren arteko biderkadura funtzio deribagarria izango da. 3. Bi funtzio deribagarriren arteko biderkadura funtzio deribagarria izango da. 4. Funtzio deribagarrien arteko zatidura deribagarria izango da, izendatzailea zero denean izan ezik..1.. Goi-mailako deribatu partzialak Deribatu partzialak, bi aldagaiko funtzioak direnez, berriro deriba daitezke, bai x-rekiko bai y-rekiko. Horrenbestez, bigarren mailako deribatu partzialak lortzen ditugu: f xx, f, hau da, f-ren bigarren deribatu partziala x-rekiko bi aldiz x x ( f x-rekiko bi aldiz elkarren segidan deribatu da) f yy, f, hau da, f-ren bigarren deribatu partziala y-rekiko bi aldiz y y ( f y-rekiko bi aldiz elkarren segidan deribatu da) f xy, f, hau da, f-ren bigarren deribatu partziala x-rekiko eta y-rekiko. x y ( f x-rekiko deribatu ondoren, emaitza y-rekiko deribatu da) f yx, f, hau da, f-ren bigarren deribatu partziala y-rekiko eta x-rekiko. y x ( f y-rekiko deribatu ondoren, emaitza x-rekiko deribatu da) 17

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala Beraz, funtzio bat deribatzean beste funtzio bat lortzen da. Eta, horrela jarraituz gero, funtzioak deribatzen ahal diren neurrian, f-ren hirugarren, laugarren,..., mailako deribatu partzialak (hots goi-mailako deribatu partzialak) lortzen dira. Schwarz-en teorema Baldin f(x, y) funtzioa eta beraren f x, f y, f xy deribatu partzialak (x, y ) puntuaren ingurune batean definiturik badaude, eta f xy aurreko puntuan jarraitua bada, orduan f yx existitzen da eta honako hau betetzen da: f xy (x, y )= f yx (x, y ) Teorema hori edozein mailatako deribatu partzialetara zabaldu daiteke. Definizioa Izan bedi f: D R n R funtzioa, D R n multzo irekia izanik. f funtzioa D multzoan C r motakoa dela esaten da, existitzen badira r mailaraino f-ren deribatu partzialak eta horiek jarraituak badira D multzoan. Honela adierazten da: f C r (D). 18

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala.. Diferentziala. Diferentziagarritasuna, deribagarritasuna eta jarraitutasunaren arteko erlazioak..1. Diferentziala f(x) aldagai bakarreko funtzioaren diferentziala x puntuan, honela definitzen da: df(x ) = f(x )h (h: x-ren aldakuntza). Diferentziala izango da, f funtzioari ondoen hurbiltzen zaion aplikazio lineala. Diferentziala erabil daiteke h balioak txikiak direnean x puntuaren ingurunean, funtzioaren aldakuntzak hurbiltzeko: df(x ) f(x +h) f(x ) f diferentziagarria izango da x -n honako hau betetzen bada: f( x lim h + h) f( x h ) df( x ) = Bi aldagaiko f(x, y) funtziorako antzeko kontzeptu bat definitzen da. f diferentziagarria izango da (x, y ) puntuan honako hau betetzen bada: lim ( h,k ) (, ) f( x + h,y + k ) f( x h,y ) df( x,y )(h,k ) = h: x-ren aldakuntza k: y-ren aldakuntza df( x,y )(h,k ) funtzioaren diferentziala (x, y ) puntuan df( x,y )(h,k ) = f x (x, y )h + f y (x, y )k Funtzio baten diferentziala puntu batean, existitzen bada, puntu horretan ukitzailea den planoa izango da. 19

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala Funtzioa diferentziagarria bada puntu batean, eta h eta k txikiak badira, diferentzialak funtzioak jasaten duen aldakuntza adierazten du: hau da, puntu batetik hurbil dauden beste puntuen funtzioaren balio hurbilduak kalkula daitezke. Hurbilketa lineala izango da, plano ukitzailearen altueraren aldakuntza neurtzen baita, eta hori ekuazio lineal baten bidez adierazten da. f(x +h, y +k) f(x, y ) df( x,y )(h,k ) = f x (x, y )h + f y (x, y )k Era berean, funtzioaren diferentziala aldagai gehiagoko funtzioetara zabaldu daiteke. Funtzio bat diferentziagarria da multzo batean, multzoko puntu guztietan diferentziagarria bada. Propietateak 1. Funtzio diferentziagarrien arteko batura eta kendura funtzio diferentziagarria izango da.. Funtzio diferentziagarriaren eta λ zenbaki errealaren arteko biderkadura funtzio diferentziagarria izango da. 3. Bi funtzio diferentziagarriren arteko biderkadura funtzio diferentziagarria izango da. 4. Funtzio diferentziagarrien arteko zatidura diferentziagarria izango da, izendatzailea zero denean izan ezik.

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala... Diferentziagarritasuna, deribagarritasuna eta jarraitutasunaren arteko erlazioak Teorema Izan bedi f: D R n R funtzioa. Funtzio bat diferentziagarria bada puntu batean orduan funtzioa jarraitua izango da puntu horretan. Aldagai bakarreko funtzioa puntu batean deribagarria bada, nahi eta nahi ez, puntu horretan jarraitua da. Baina puntu batean jarraitua izan daiteke, eta ez deribagarria. Bi aldagaiko funtzioek, berriz, ez dute hori betetzen. Puntu batean, deribatu partzialen existentzia ez da nahikoa puntu horretan jarraitutasuna ziurtatzeko. Bi aldagaiko funtzioentzat, funtzioa diferentziagarria bada, orduan jarraitua da eta haren deribatu partzialak existitzen dira. Alderantzizkoa ez da egia. Deribatu partzialen existentziak ez dakar berez funtzioaren diferentziagarritasuna. Jarraian, bi aldagaiko funtzio baten diferentziagarritasunerako baldintza nahikoa baina ez beharrezkoa zein den adieraziko dugu. Teorema f(x, y) funtzioa f x eta f y (x, y ) puntuko ingurune batean jarraituak badira, orduan f diferentziagarria da (x, y ) puntuan. 1

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala.3. Funtzio konposatuen deribagarritasuna eta diferentziagarritasuna Teorema Izan bitez f: D R m R n eta g: E R n R p funtzioak. f diferentziagarria bada x D puntuan eta g diferentziagarria bada f( x ) E puntuan, orduan funtzio konposatua gf: R m R p diferentziagarria izango da x puntuan, diferentziala honako hau izanik: d(gf) ( x ) = dg(f( x ))(df( x )) Adierazpen horri katearen erregela deritzo. Aldagai bakarreko funtzioetan z = f(y) eta y = g(x) badira, funtzio konposatua deribatzeko honako hau egiten dugu: f' (y) = f' (g(x)) g' (x) Aldagai anitzeko funtzioekin honako kasu hauek ager daitezke: 1. kasua Aldagai bakarreko funtzio baten deribatua, non aldagaia bi aldagai independenteren funtzioa baita: z = f(t) eta t = g(x, y) ; orduan, z = f(g(x, y)). f deribagarria bada eta g funtzioaren lehen mailako deribatu partzialak x- rekiko eta y-rekiko existitzen badira, orduan z-ren deribatu partzialak x-rekiko eta y-rekiko existitzen dira eta honako hauek dira: z x dz t = dt x eta z y dz t = dt y

. gaia: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala. kasua Aldagai anitzeko funtzio baten deribatua, non aldagai bakoitza aldagai independente bakarreko funtzioa baita: z = f(x, y) eta x = g(t) eta y = h(t); orduan, z = f[g(t), h(t)]. f diferentziagarria bada eta g eta h t-rekiko deribagarriak badira, orduan z t-rekiko deribagarria da eta honako hau betetzen da: dz dt z = x dx dt z + y dy dt 3. kasua Aldagai anitzeko funtzio baten deribatua, non aldagai bakoitza beste aldagaiaren funtzioa baita: z = f(x, y) eta x = g(s,t) eta y = h(s, t) ; orduan, z = f[g(s, t), h(s, t)]. f diferentziagarria bada eta g eta h funtzioen lehen mailako deribatu partzialak existitzen badira, orduan z-ren deribatu partzialak s eta t aldagaiekiko existitzen dira eta honako hauek dira: z s z x z y = + x s y s z eta t z x = x t z y + y t 3

. gaiko ariketak: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala ARIKETAK ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOEN KALKULU DIFERENTZIALA 4

. gaiko ariketak: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala x y 4 ( x,y ) (, ) x + y 4 1. Izan bedi f( x,y ) = funtzioa: ( x,y ) = (, ) a) Aurkitu f-ren eremua. Eman eremuko muga puntuen multzoa. Eremua irekia al da? Itxia al da? b) Aztertu f-ren jarraitutasuna. c) Aztertu f-ren deribagarritasuna. 8xy 4x + y. Izan bedi f( x,y ) = β ( x,y ) (, ) ( x,y ) = (, ) a) Aurkitu f-ren eremua. Aurkitu haren muga. Eremua irekia al da? Trinkoa al da? b) Aztertu f-ren jarraitutasuna eta deribagarritasuna β-ren balio erreal guztietarako. c) Eman maila-kurbaren adierazpen analitikoa eta grafikoa. x 4y + 4x x y 3. Izan bedi f( x,y ) = k ( x,y ) ( 1, ( x,y ) = ( 1, a) f deribagarria (, 1) puntuan? Eta (, )-n? b) f bere eremuan 1 motakoa al da? ) ) ( k R) 5

. gaiko ariketak: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala 4. Izan bedi x + y x y f( x,y ) = 1 ( x,y ) (, ) ( x,y ) = (, ) a) Aurkitu f-ren eremua eta haren barruko puntuen multzoa. Eremua irekia al da? Itxia al da? b) f diferentziagarria da (,)-n? Eta (1,)-n? c) f(1 1,1 9), f(1,) baino handiagoa edo txikiagoa al da? Arrazoitu, diferentziala erabiliz. d) Aurkitu maila-kurbaren adierazpen analitikoa eta grafikoa. 5. Izan bedi f ( x,y ) x + y + 1 x + y = x + y x + y = a) f deribagarria da (1,1)-n? Eta (, )-n? b) f diferentziagarria da (1,1)-n? Eta (, )-n? c) Aurkitu f( 1, )-ren balio hurbilena diferentziala erabiliz. x ( x,y ) (, ) x + y 6. Izan bedi f( x,y ) = 1 ( x,y ) = (, ) a) Aztertu f-ren deribagarritasuna. b) Aztertu f-ren diferentziagarritasuna. c) Aurkitu f( 3, 1)-ren balio hurbilena diferentziala erabiliz. 6

. gaiko ariketak: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala 7. Izan bedi f(x, y) = xg (x + y) + e y h(x / y). Aurkitu, existitzen badira, f 1 (1,) eta f (1,), non g(3) = ; h(1/) = -; g (3) = 4; h (1/) = 1; g C 1 (R); h C 1 (R) baitira. 8. Izan bedi z = 3f[sin (x+y), e x+y ] funtzioa, non f C 1 (R ) baita. f 1 (, 1) = 3; f (,1) = - badira, kalkulatu: z x (1, -1) eta z y (1, -1). 9. Izan bedi f(x,y)= yg(4x + y ) + e x h(x; y ) funtzioa, non g C (R) eta h C (R ) baitira. a) Aurkitu, ahal bada, df. b) h 1 diferentziagarria al da (1,)-n? 1. Izan bedi z = x f(x,y 3 ) + yg(x y 3 ) funtzioa, non f C 1 (R ) eta g C 1 (R) baitira. Aurkitu, ahal bada, dz. 11. Izan bedi z = x f(x, xy )-yg(x + y) funtzioa, non f C 1 (R ) eta g C 1 (R) baitira. a) Aurkitu, ahal bada, z-ren lehen mailako deribatu partzialak. b) z diferentziagarria da? Hala bada, aurkitu dz. 1. Izan bedi F(x, y) = y f(y; 3x ) + e x g(x + y) funtzioa, non f C 1 (R ) eta g C 1 (R) baitira. f(1, 3) =, f 1 (1, 3) = 1, f (1, 3) = 7, g(3) = 3, g (3) = 5 direla jakinik, aurkitu, ahal bada, df(1, 1) eta df(1, ). 7

. gaiko ariketak: Aldagai anitzeko funtzioen kalkulu diferentziala 13. Izan bedi z = x f(3x + y)+ yg(xy; y ) funtzioa. f C 1 (R) eta g C 1 (R ) direla jakinik, aurkitu, ahal bada, dz. 14. Izan bedi z(x,y) = x x y f(x + xy) + g(xy, y 3 ), non f C 1 (R) eta g C 1 (R ) y baitira. a) Aurkitu, existitzen bada, dz. b) z bere eremuan 1 motakoa al da? 15. Izan bedi z = x f(3x+y) + g(xy, y ) funtzioa. f C 1 (R), g C 1 (R ), f(4)=3, f (4)=1, g(,1) = -1, g 1 (,1) =, g (,1) = - direla jakinik, aurkitu, ahal bada, z( 99, 1 )-ren balio hurbilena. 16. Izan bedi z = g(x 3, x+3y) + h(x-y 3 ) funtzioa. g C 1 (R ), h C 1 (R), h() = 1, h () = 5, g(1, 5) = 3, g 1 (1, 5) = 4, g (1, 5) = - direla jakinik, z(x,y) diferentziagarria al da (1,1) puntuan? Hala bada, kalkula ezazu dz(1, 1). 17. Izan bedi h(x, y) = 3yf(x y, x)+ x 1 g(x + y) funtzioa non f C 1 (R ), g C 1 (R), f(, )=, f 1 (, ) = 1, f (, ) =, f (, 1)= 1, f 1 (, 1) =, f (, 1) =, g(1) = g() = 1 eta g (1)= g () = betetzen baitira, aurkitu, ahal bada, h-ren diferentziala (, 1) puntuan. 8

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3. gaia: BI ALDAGAIKO FUNTZIOAK OPTIMIZATZEA 3.1. Funtzio baten muturrak. Mutur lokalen existentziarako baldintza beharrezkoak. Mutur lokalen existentziarako baldintza nahikoak 3.. Mutur baldintzatuak. Lagrange-ren metodoa 3.3. Programazio lineala 9

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3.1. Funtzio baten muturrak. Mutur lokalen existentziarako baldintza beharrezkoak. Mutur lokalen existentziarako baldintza nahikoak 3.1.1. Funtzio baten muturrak Definizioak Izan bedi f:d R R funtzioa, non D funtzioaren definizio-eremua eta (x,y ) D baitira. f funtzioak (x,y ) puntuan maximo lokala lortzen du: ε > / f(x,y ) f(x,y) (x,y) B[(x,y ), ε] D f funtzioak (x,y ) puntuan minimo lokala lortzen du: ε > / f(x,y ) f(x,y) (x,y) B[(x,y ), ε] D f funtzioak (x,y ) puntuan maximo lokal hertsia lortzen du: ε > / f(x,y ) > f(x,y) (x,y) B[(x,y ), ε] D f funtzioak (x,y ) puntuan minimo lokal hertsia lortzen du: ε > / f(x,y ) < f(x,y) (x,y) B[(x,y ), ε] D f funtzioak (x,y ) puntuan maximo globala lortzen du: f(x,y ) f(x,y) (x,y) D f funtzioak (x,y ) puntuan minimo globala lortzen du: f(x,y ) f(x,y) (x,y) D f funtzioak (x,y ) puntuan maximo global hertsia lortzen du: f(x,y ) > f(x,y) (x,y) D f funtzioak (x,y ) puntuan minimo global hertsia lortzen du: f(x,y ) < f(x,y) (x,y) D Weierstrass-en teorema Funtzio bat jarraitua bada multzo trinko batean, orduan funtzioak multzo horretan maximo eta minimo globalak lortzen ditu. 3

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3.1.. Mutur lokalen existentziarako baldintza beharrezkoak Izan bedi f:d R R funtzioa deribagarria (x,y ) puntuan non D funtzioaren definizio-eremua eta (x,y ) int(d) baitira. f funtzioak maximo edo minimo lokala lortzeko (x,y ) puntuan, baldintza beharrezkoa da lehen mailako deribatu partzialak (x,y ) puntuan zero izatea da. Hots, f-k maximo edo minimo lokala (x,y ) lortzeko, ezinbestekoa da honako hau: f x (x,y )= eta f y (x,y )=. Baina gerta daiteke f x (x,y )= eta f y (x,y )= izatea eta ez egotea ez maximorik ez minimorik (x,y ) puntuan, honako adibide honetan ikusten den bezala: Adibidea Izan bedi honako funtzio hau: f(x,y)= xy f-ren lehen mailako deribatu partzialak (,) puntuan zero dira. Baina funtzioak (,) puntuan ez du lortzen ez maximorik ez minimorik. Izan ere, funtzio hori zero da koordenatu-jatorrian, baina puntu horren inguruan funtzioak balio positiboak eta balio negatiboak hartzen ditu. Beraz, (,) puntuan funtzioak ez du lortzen ez maximo lokalik ez minimo lokalik. Funtzioa deribagarria denean, muturren kokapena zehazteko baldintza nahikoa ere aztertu behar dugu. Ezar ditzagun bi aldagaiko funtzioetan mutur lokalak existitzeko baldintza nahikoak. 31

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3.1.3. Mutur lokalen existentziarako baldintza nahikoak honi: Izan bedi f:d R R funtzioa, non f C [B((x,y ), )] baita. f funtzioaren hessiarra (x,y ) puntuan esaten zaio honako determinante Hf ( x,y ) = f f xx yx ( x ( x,y,y ) ) f f xy yy ( x ( x,y,y ) ) f funtzioak lehen mailako eta bigarren mailako deribatu partzial jarraituak baditu (x,y ) puntuaren ingurune batean, non f x (x,y )= eta f y (x,y )= baitira, honako hau beteko da: H f ( x,y ) > eta fxx ( x,y ) > badira, orduan f-k (x,y ) puntuan minimo lokal hertsia lortuko du. H f ( x,y ) > eta fxx ( x,y ) < badira, orduan f-k (x,y ) puntuan maximo lokal hertsia lortuko du. ( x,y ) < bada, orduan f-k (x,y ) puntuan ez du muturrik lortuko. H f ( x,y ) = bada, ezin da ezer ziurtatu. H f 3

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3.. Mutur baldintzatuak. Lagrange-ren metodoa Funtzio baten maximo eta minimoen aurkikuntzari buruzko problemetan, sarritan funtzioaren aldagaiak ez dira independenteak: aitzitik erlazionatuta egoten dira baldintza batzuen bidez. f(x, y) funtzioaren maximo edo minimo bati mutur baldintzatua esaten zaio, x eta y aldagaiak g(x,y) = ekuazio baten bidez erlazionatuta daudenean. Demagun f:d R R funtzioa dugula non f C [B((x,y ), )] eta g C [B((x,y ), )] baitira. f funtzioak g(x,y) = ekuazioarekiko mutur baldintzatua lortzeko ezinbestekoa da honako hau izatea: λ R / f 1 (x,y )+ λ g 1 (x,y ) = f (x,y )+ λ g (x,y ) = Lagrange-ren biderkatzailearen metodoa L(x, y, λ) = f(x,y)+ λ g(x,y) kontuan hartzen badugu (λ edozein konstante dela), maximo eta minimoen existentziarako L 1 (x, y, λ) = eta L (x, y, λ) = izatea beharrezkoa da. Eta g(x,y) = betetzen bada, hasierako baldintzarekin batera, honako sistema hau lortzen da: L L 1 ( x,y, λ ) = f ( x,y, λ ) = f 1 ( x,y ) + λ g ( x,y ) + λ g g( x,y ) = 1 ( x,y ) = ( x,y ) = L funtzioari Lagrange-ren funtzio deitzen zaio, eta λ konstanteari Lagrangeren biderkatzaile. Beraz, aurreko hiru ekuazioko sistema ebatziz, baldintza beharrezkoa betetzen duten puntuak lortzen dira. Eta puntu horietan baldintza nahikoak aztertzen dira. 33

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea Mutur baldintzatuetarako baldintza nahikoa honako determinante honen zeinua aztertuz lortzen da: H (x, y, λ) = L L 11 1 g ( x,y, λ ) ( x,y, λ ) 1 ( x,y ) L L 1 g ( x,y, λ ) ( x,y, λ ) ( x,y ) g g 1 ( x,y ) ( x,y ) Determinante horri hessiar zabaldu deritzo. f C [B((x,y ), )] eta g C [B((x,y ), )] funtzioak direla eta λ R dela jakinik non f 1 (x,y )+ λ g 1 (x,y ) = eta f (x,y )+ λ g (x,y ) = baitira, orduan: H (x,y,λ) > bada, f-k (x,y ) puntuan g(x,y) = ekuazioarekiko maximo lokal baldintzatua lortuko du. H (x,y,λ) < bada, f-k (x,y ) puntuan g(x,y) = ekuazioarekiko minimo lokal baldintzatua lortuko du. H (x,y,λ) = bada, ezin da ezer ziurtatu. 34

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3.3. Programazio lineala Programazio lineala oso metodo erabilia da enpresen optimizazio-etaplanifikazio-problemak ebazteko. Programazio lineal deritzon teknika matematikoa erabiltzen da murrizketen mendeko abiatze-aldagai batzuek baldintzatutako soluzio optimoa lortzeko. Programazio linealeko problemen planteamendu orokorra Oro har, programazio linealeko problema baten planteamendua honako hau izango da: Aurkitu f(x 1, x,, x n ) = c 1 x1 + c x +... + cn xn funtzioaren soluzio optimoa (maximoa edo minimoa), honako murrizketa hauek baldintzaturik dagoela: a 11 x 1 + a 1 x + +a 1n x 1 b 1 a 1 x 1 + a x + +a n x 1 b a m1 x 1 + a m x + +a mn x n b m non a i = 1,..., m j = 1,..., n ij b i = 1,..., m c j = 1,..., n i eta x j j = 1,..., n baitira. j 35

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea Problemaren planteamenduan funtsezko zenbait kontzeptu erabiltzen dira: Helburu-funtzioa: f(x 1, x,, x n ) = Maximizatu edo minimizatu behar da. Lineal motakoa. c 1 x1 + c x +... + cn xn Murrizketak: a m1 x 1 + a m x + +a mn x n b m Inekuazioak, lineal motakoak. Aldagaiak: x j Aldagai ez-negatiboak. j = 1,..., n Murrizketa guztiak (hots, ekuazio eta inekuazio guztiak eta koordenatuen ez-negatibotasuna) betetzen dituzten puntuei soluzio egingarriak esaten zaie. Soluzioa murrizketa-inekuazioek zehaztutako azaleran kokatu behar da, azalera horri eskualde egingarri deritzo. Helburu-funtzioari balio optimoa emango dioten soluzio egingarriei, soluzio optimo esaten zaie. Programazio linealeko problemaren ebazpena Programazio linealeko problema bat ebazterakoan, ez da beti soluziorik egongo. Honako kasu hauek ager daitezke: Soluzio egingarrien multzoa hutsik egotea, eta, beraz, soluzio optimorik ez izatea. 36

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea Soluzio egingarrien multzoa hutsik ez egotea, baina multzo horretan helburu-funtzioa goi-bornaturik edo behe-bornaturik ez egotea. Gerta daiteke maximizazio- edo minimizazio-problema den soluzio optimorik ez izatea. Soluzio optimoa egotea. Kasu honetan bakarra edo anizkoitza izan daiteke. Honako teorema hauek emango dute programazio linealeko problema baten soluzioa aurkitzeko erabidea: Programazio linealeko oinarrizko teoremak 1. Programazio linealeko problema baten soluzio egingarrien multzoa ganbila da. S ganbila da: x, y S xy S x y, x eta y muturreko segmentua honako multzo hau izanik: x y = λ x + (1-λ) y / λ[,1]. Programazio linealeko problema baten soluzio optimoen multzoa ganbila da. 3. Programazio linealeko problema baten soluzio optimorik badago, horietako bat, gutxienez, problemaren soluzio egingarrien multzoaren erpina izango da. 37

3. gaia: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea Analisi grafikoaren bidezko ebazpena Aurreko teoremak, programazio linealeko edozein problemetarako baliagarri dira. Baina problema sinpleetarako, bi aldagaiko eta murrizketa kopuru txikikoetarako alegia, soluzio optimoa lortzeko analisi grafikoa da erabilgarriena. Beraz, programazio linealeko problema bat irudien bidez ebazteko honako hau egin behar da: Sistemaren inekuazioak grafikoki irudikaturik, murrizketa-multzoa edo soluzio egingarrien multzoa lortuko da. Helburu-funtzioa f(x,y) = ax + by bada, funtzio horrekiko zuzen paraleloak egingo dira, ax + by = k motakoak izango direnak; hots, funtzioaren maila-zuzenak. Zuzen horiek murrizketa-multzoko erpin bakoitzetik pasatu behar dute. Helburu-funtzioa zein erpinetan egiten den, maximoa edo minimoa ikusi beharko da. 38

3. gaiko ariketak: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea ARIKETAK BI ALDAGAIKO FUNTZIOAK OPTIMIZATZEA 39

3. gaiko ariketak: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 3x 1. Izan bedi honako funtzio hau: f(x, y) = x + y a) Aurkitu f(1 1, 1 3)-ren balio hurbila diferentziala erabiliz. b) Lortzen al du f-k (1,1) puntuan mutur lokalik? 3x 5y ( x,y ) (11, ) x y. Izan bedi honako funtzio hau: f( x,y ) = 4 ( x,y ) = (11, ) f -k (,1) puntuan mutur lokalik lortzen al du? Eta (,) puntuan? 3. Izan bedi honako funtzio hau: f( x,y ) a) f deribagarria da (,) puntuan? x = + y + 4 ( x,y ) ( x,y ) (, ) = (, ) b) Lortzen al du f-k muturrik (,) puntuan? Eta (8, 8) puntuan? 4. Izan bedi f: A R R funtzioa, non f C (R ), (x,y ) int A, f 1 (x,y ) = f (x,y ) =, f 11 (x,y ) = f (x,y ) = 1 eta f 1 (x,y ) = p betetzen baitira. Aztertu p-ren balio errealetarako f-ren mutur lokalen existentzia (x,y ) puntuan. 5. Izan bedi f: A R R funtzioa, non A irekia, (x,y ) A, f C (A) f 1 (x,y ) = a, f (x,y ) = b, f 11 (x,y ) = (b + 1), f 1 (x,y ) = b eta f (x,y ) = a + betetzen baitira. Eztabaidatu a-ren eta b-ren balio errealetarako f-ren mutur lokalen existentzia (x,y ) puntuan. 4

3. gaiko ariketak: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 6. Izan bedi honako funtzioa hau: f(x,y) = ax + by 4x + y + c. f-k (, -1) puntuan minimoa lortzen badu, eta 1 bada, kalkulatu, a, b eta c. 7. Izan bedi honako funtzioa hau: f(x,y) = x 3 + y 3 3x 1y + k. Aurkitu f-ren muturrak k-ren balio guztietarako. 8. Aurkitu f(x, y) = x + y funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: B = {(x,y) R x + y 4; x + y ; x ; y } 9. Izan bitez (1, ) eta (3, 6) programazio lineal bateko soluzio optimoak. (, 3) soluzio optimoa al da? Eta (, 4) puntua? 1. Izan bitez (1, ) eta (3, ) programazio lineal bateko soluzio optimoak. a) (, 3) soluzio optimoa al da? Eta (, 1) puntua? b) Aurkitu helburu-funtzioaren adierazpena, horren balio optimoa 3 dela jakinik. 11. Izan bedi honako programa lineal hau: Min. x + y x + y 1 x + 3y 3 x, y a) Aurkitu eskualde egingarriko adierazpen grafikoa. b) (1, 1) eskualde egingarriko puntua al da? Eta (, 1) puntua? c) Kalkula itzazu soluzio egingarriak. d) Kalkula ezazu funtzioaren soluzio optimoa. 41

3. gaiko ariketak: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 1. Izan bitez f(x, y) = x + y funtzioa eta honako murrizketa-multzo hau: x + y 4; y + x 4; x + y ; x, y a) Adierazi grafikoki eskualde egingarria. (3,3) puntua multzo horretan dago? b) Aurkitu f-ren muturrak. 13. Izan bitez f(x, y) = ax + bxy - ax - by - x funtzioa eta honako multzo hau: A = {(x, y) R x = y}. Aurkitu: a) a-ren eta b-ren balioak, A-rekiko (1,1) puntuan mutur lokalen existentziarako baldintza beharrezkoa bete dadin. b) a-ren eta b-ren balioak, f-k A-rekiko (1,1) puntuan maximo lokal hertsia lor dezan. c) a-ren eta b-ren balioak, f-k A-rekiko (1,1) puntuan minimo lokal hertsia lor dezan. 14. Izan bitez f:r R funtzioa, non f C (R ) baita, eta honako multzo hau: A = {(x, y) R / x + y 4}. Eman dezagun f-k A-rekiko (,) eta (,) puntuetan minimo lokalak lortzen dituela. Erantzun honako galdera hauei: a) Zer esan dezakegu f 1 (,) eta f (, ) deribatuen balioez? b) f 11 (,) = p, f 1 (,) =, f (,) = r direla jakinik, p-ren eta r-ren zer balio errealek ziurtatuko dute (,) puntuan minimo lokala existituko dela? 15. Aurkitu f(x,y) = x + y funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: B = {(x,y) R / x + y 9}. 4

3. gaiko ariketak: Bi aldagaiko funtzioak optimizatzea 16. Aurkitu f(x, y) = x - y funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: A = {(x, y) R / y + x + 5 } 17. Aurkitu f(x,y) = x + y funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: A = {(x,y) R / y -x}. 18. Izan bedi honako funtzio hau: f(x,y) = x Aurkitu f-ren muturrak honako multzo hauekiko: a) A = {(x,y) R x + y 4} b) B honako inekuazio hauen bidez definitua dagoela jakinik: y 3 ; x + y 4 ; x - y ; x, y 19. Aurkitu f(x,y) = x + y funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: A = {(x,y) R x + y 4}.. Aurkitu f(x,y) = x + y + 3 funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: B= {(x, y) R / x + y 5}. 1. Izan bitez f(x, y) = (x - 1) + y funtzioa eta honako multzo hau: A = {(x, y) R x + y 9}. Aurkitu f-ren muturrak honako multzo hauekiko: a) A-ren barrualdearekiko. b) A-ren mugarekiko. c) A-rekiko.. Aurkitu f(x,y) = xy funtzioaren muturrak honako multzo honekiko: A= {(x, y) R / x + y 8}. 43

4. gaia: Integrazioa 4. gaia: INTEGRAZIOA 4.1. Integral mugatua. Definizioa. Propietateak 4.. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema. Barrow-en erregela 4.3. Integral mugagabea. Propietateak. Integralen kalkulua 4.4. Integral inpropioak. Definizioa. Sailkapena 4.5. Integral parametrikoak. Definizioa. Integral parametrikoen bidez definitutako funtzioen deribagarritasuna 44

4. gaia: Integrazioa 4.1. Integral mugatua. Definizioa. Propietateak 4.1.1. Integral mugatua. Definizioa Gai honetan Riemann-en integrala zer den azalduko dugu. Lehendabizi ikuspuntu geometrikoa komentatuko dugu. Integral mugatua kurbek eta zuzenek mugatutako arloen balioa zehazteko erabiltzen den kontzeptua da. a eta b puntuen arteko funtzioaren integral mugatuak honako hau neurtzen du: funtzioak, OX ardatzak, eta x = a eta x = b ekuazioen zuzenek mugatzen duten azalera. Izan bedi f: D R R funtzioa bornatua [a, b] tartean. [a, b] R tartearen partiketa esaten zaio honako multzo honi: P [ a,b] = { t,t,...,t / a = t < t <,..., < t b} 1 n 1 n = [a, b] R tartearen partiketa guztien multzoa honela adierazten da: [a, b] R tarteko P partiketarekiko f-ren goi-batura esaten zaio honako balio honi: S (f,p ) = n i = 1 sup f( x )(t [ t,t ] x i 1 i i t i 1 ) [a, b] R tarteko P partiketarekiko f-ren behe-batura esaten zaio honako balio honi: I (f,p ) = n i = 1 inf f( x )(t [ t,t ] x i 1 i i t i 1 ) f: D R R funtzioa [a, b] D tartean Riemann-en zentzuan integragarria da, honako hau betetzen bada: I(f, P) = S(f, P) 45

4. gaia: Integrazioa f integragarria bada, esaten da I(f, P) = S(f, P) betetzen duen zenbakia dela, f- b ren integral mugatua [a, b] tartean, eta honela adierazten da: a f ( x )dx Funtzio integragarriak Funtzioa [a, b] tartean jarraitua bada, orduan funtzioa [a, b] tartean integragarria da. Edozein f: [a, b] R funtzio monotono integragarria da. Funtzioa bornatua bada eta [a, b] tartean funtzioaren eten-puntuen kopurua finitua bada, orduan funtzioa [a, b] tartean integragarria da. 4.1.. Propietateak 1. [a, b] tartean funtzio bornatuen eta integragarrien batuketa integragarria da. b f + g a b = a b f + g a. f funtzioa bornatua eta integragarria bada [a, b] tartean, kf (konstantea bider funtzioa) [a, b] tartean integragarria izango da. b a b kf = k f a K R 3. Integral baten tarteak permutatzean, integrala zeinuz aldatzen da. b a a f = - f b 46

4. gaia: Integrazioa 4. Puntu bakarreko [a, a] tartean hedatutako edozein integral zero da. a f = a 5. f funtzioa bornatua eta integragarria bada [a, b] tartean, orduan [a, c] eta b a [c, d] tarteetan, c [a, b] izanik, integragarria izango da eta honako hau betetzen da: c f = a b f + f c 6. f funtzioaren [a, b] tarteko eten-puntuen kopurua finitua bada, funtzioa [a, b] tartean integragarria da eta integrala honela adierazten da: b a c f = a d f + c b f + f d funtzioa c eta d puntuetan etena izanik 47

4. gaia: Integrazioa 4.. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema. Barrow-en erregela 4..1. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema Kalkulu integralaren oinarrizko teoremaren bidez, kalkuluan agertzen diren bi kontzeptu garrantzitsu elkartzen dira: deribazioa eta integrazioa. Lehenengo azal ditzagun zenbait teorema eta kontzeptu: Batez besteko balio integralaren teorema f: R R funtzioa [a, b] tartean jarraitua bada, orduan existitzen da x [a, b] punturen bat honako hau betetzen duena: f(x ) = 1 b a b a f Funtzio integrala f: D R R integragarria eta bornatua bada [a, b] D tartean, funtzio integrala esaten zaio honako funtzio jarraitu honi: f (x) : [a, b] R x x F (x)= f (t ) dt a Funtzioa integrazioaren behe-tartearen menpe badago, honela defini daiteke: F (x) : [a, b] R b x F (x)= f (t ) dt x Gaitz-ulerturik ez sortzeko, aldagai askearen notazioa aldatu da: x-ren ordez t erabili da. 48

4. gaia: Integrazioa Deribatu eta integral mugatuaren arteko harremana kalkulu integralaren oinarrizko teoremaren bidez ikus daiteke. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema f: D R R funtzioa [a, b] D tartean jarraitua bada, orduan funtzio integrala x F (x)= f deribagarria da (a, b) tartean eta honako hau betetzen da: a F'(x) = f(x) F'(x) = f(x) egiaztatzen duen F funtzioari f-ren jatorrizko deritzo. Teorema horrek ziurtatzen du edozein funtzio jarraituk beti jatorrizko funtzio bat onartzen duela. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema kontuan izanik, [a, b] tartean funtzio baten integral mugatua kalkulatzeko, Barrow-en erregela dugu: Barrow-en erregela f: D R R funtzioa [a, b] D tartean jarraitua bada eta F haren jatorrizko bat bada (a, b) tartean, orduan betetzen da honako hau: b a f ( x ) dx = F(b) F(a) 49

4. gaia: Integrazioa 4.3. Integral mugagabea. Definizioa. Propietateak. Integralen kalkulua 4.3.1. Definizioa Integral mugagabearen ideia aurrepauso bat izan zen matematika modernoak hasitako abstrakzio-bidean. Horri esker, integrala ez zen soilik erabiltzen kurbek eta zuzenek osatutako azalerak zehazteko eta berezko funtzioaren izaera hartu zuen. Horrela, ekuazioetan eta ereduen deskribapenetan agertzen zen analisi matematikoaren teorien esparru zabalaren barruan. Demagun f: D R R funtzioa dugula. F(x) funtzioa haren jatorrizkoa dela esaten da, honako hau egiaztatzen bada: F'(x) = f(x) Funtzio baten jatorrizkoa lortzeko egin behar den eragiketari integrazio deritzo, eta deribazioaren alderantzizko eragiketa da. F(x) funtzioa f(x) funtzioaren jatorrizko funtzioa bada, G(x) = F(x) + K (K edozein balio konstante dela) erako beste edozein funtzio ere f-ren jatorrizko funtzio bat izango da. Hots, f-k infinitu jatorrizko izango ditu. Definizioa f(x) funtzio baten jatorrizko funtzio guztien multzoari integral mugagabea esaten zaio, eta, oro har, honela adierazten da: f ( x ) dx = F(x) + k Horrenbestez, f(x) = x funtzioak, adibidez, konstante batean bat ez datozen infinitu jatorrizko funtzio izango ditu: F 1 (x) = x, F (x) = x + 1, F 3 (x) = x +, 5

4. gaia: Integrazioa 4.3.. Propietateak Deribazioaren propietateak kontuan izanik, integrazioaren propietate batzuk zehaztu daitezke. Integral konposatuak errazagoak diren beste integral batzuetan banatzeko balioko dute honako linealtasun-propietate hauek: Bi funtzioen arteko baturaren (kenduraren) integralak eta funtzio bakoitzaren integralen baturak (kendurak) emaitza bera izango dute. [ f( x ) ± g( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx Funtzio bat eta zenbaki errealaren arteko biderkaduraren integrala eta konstantea funtzioaren integralaz biderkatuz lortutako biderkadura bera da. kf ( x ) dx = kf ( x ) dx (kr) Funtzioaren jatorrizkoa ezagutzen bada, funtzio jarraituen muga gabeko integralen kalkulua eginda dago. Zailena jatorrizko funtzioa lortzea izaten da. Beraz, hauxe da orain ikusiko duguna. Metodo asko daude; ez dago erregela finko bat. 51

4. gaia: Integrazioa 4.3.3. Integralen kalkulua Berehalako integralen taula Honako taula honetan, zenbait funtzioren integrazio-arauak laburbilduta daude. Oro har, berehalako integral esaten zaie taula horretatik eta integrazioaren propietateetatik zuzenean ondorioztatzen direnei. dx = x + K λ dx = λx + K x n dx = x n + 1 n + 1 n ' + K (n -1) f( x ) f ( x ) dx = n+ f( x ) n + 1 1 + K 1 dx x 1 dx x f = x + K ' ( x ) dx = f ( x ) + K f( x ) f = Ln x + K ' ( x ) dx f( x ) = Ln f(x) + K e x dx = e x f ( x ) ' + K e f ( x ) dx = e f(x) + K a x dx = a x ln a + K (a>) f ( x ) ' a f ( x ) dx = a f ( x ) ' cos x dx = sin x + K cos f( x ) f ( x ) dx = sin f(x) + K ' sin x dx = - cos x + K sin f( x ) f ( x ) dx ln a + K = - cos f(x) + K 1 dx cos x = tg x + K ' f ( x ) cos f( x ) dx = tg f(x) + K ' 1 f ( x ) dx = ark tg x + K 1 + x 1 + (f( x )) dx = ark tg f(x) + K 1 1 x dx = ark sin x + K ' f ( x ) 1 (f( x )) dx = ark sin f(x) + K 1 1 x dx = ark cos x + K f ' ( x ) 1 (f( x )) dx = ark cos f(x) + K 5

4. gaia: Integrazioa Berehalako integral bihurtzea Eskuarki, badirudi integrazio baten integrakizuna berehalako integralen taulan ez dagoen funtzio bat dela. Hala ere, batzuetan integrakizun horretan eragiketa aritmetiko erraz batzuk baino ez dira egin behar, berehalako integral bat lortzeko (berreturak kendu, formula trigonometrikoak aplikatu, zatikiak arrazionalizatu eta abar). Funtzioen integrazioa ez da beti erraza. Hori dela eta, zenbait prozedura orokor sortu dira. Metodo horien guztien artean erabilgarrienak honako hauek ditugu: zatikako integrazio metodoa eta aldagai-aldaketaren metodoa. Zatikako integrazio-metodoa Zatikako integrazio-metodoaren bidez funtzioen arteko biderketa baten integrala lortzen da. Izan bitez u(x) eta v(x) funtzio diferentziagarriak. Honako hau betetzen da: d(uv) = udv + vdu Funtzio horiek integraturik eta integral mugagabearen propietateak kontuan izanik lortzen da honako hau: uv = u dv + v du Honela ere adieraz daiteke: u dv = u v v du zeina zatikako integrazioaren formula baita. Zatikako integrazio-metodoa lagungarria da, batez ere integratzea baino errazagoa denean. Oro har, erabil daiteke honako integral hauek ebazteko: v du integratzea u dv x n sin x dx n x x e dx e x sin x dx x n ln x dx 53

4. gaia: Integrazioa Aldagai-aldaketaren edo ordezkapen-metodoa Integral korapilatsuagoak kalkulatzeko metodorik hedatuenetako bat da. Honako adierazpen hau erabiltzen da:, f( x )dx = f(u(t )) u (t ) dt Metodo hau aplikatzeko honako pauso hauek egin behar dira: x-ren adierazpenaren ordez integratzeko errazagoa den beste aldagai batez (t-z) baliatu. t bereziki, eta dx adierazi dt-ren menpe. x eta dx adierazpenen ordez t eta dt erabili integrakizunean. Integral berria askatu. Aldagai-aldaketa desegin. Adibidez, sin 4 x cos x dx kalkulatzeko honako aldaketa hau eginez: t = sinx dt = cos x dx t honako integral hau lortzen da: 5 t 4 dt = + K 5 Aldagai-aldaketa deseginda, integralaren azkeneko emaitza izango da honako sin hau: 5 x sin 4 x cos x dx = + K 5 54

4. gaia: Integrazioa 4.4. Integral inpropioak. Definizioa. Sailkapena Atal honetan, integralen kontzeptua infinitua agertzen den kasuetara zabaltzen da. 4.4.1. Definizioa b a f ( x )dx integral inpropioa dela esaten da, (a, b) integrazio-tartea bornatua ez denean, edo f(x) bornatua ez denean [a, b] integrazio-tarteko zenbait puntutan. Definizioaren arabera, egin daiteke honako sailkapen hau: 4.4.. Sailkapena 1. Lehen motako integral inpropioak Funtzioa bornatua denean, baina integrazio-tartea bornatua ez denean. a b f ( x )dx, a f ( x )dx, f ( x )dx motakoak izan daitezke. f ( x )dx = b lim f(x)dx limitea existitzen bada, lehen motako b a integral inpropio konbergentea dela esaten da. Limitea ez bada existitzen, esaten da lehen motako integral inpropio dibergentea edo integrala ez dela existitzen. b b f ( x )dx = lim f(x)dx limitea existitzen bada, lehen motako a a integral inpropio konbergentea dela esaten da. Limitea ez bada existitzen, esaten da lehen motako integral inpropio dibergentea edo integrala ez dela existitzen. 55

4. gaia: Integrazioa f ( x )dx f b = f ( x )dx b ( x )dx = f ( x )dx + b + b f ( x )dx, ( b R ) f ( x )dx = b lim f(x)dx + lim f(x)dx a a c c b Integral konbergentea izango da bi limiteak existitzen badira, eta dibergentea izango da horietako bat gutxienez infinitua bada. Beste kasuetan, esaten da integrala dibergentea dela edo ez dela existitzen.. Bigarren motako integral inpropioak Funtzioa bornatua ez denean, (a, b) tarte bornatuan. Eman dezagun f(x) funtzioa (a, b) tarteko zenbait puntutan etena dela. Honako kasu hauek ager daitezke: Funtzioa ez-bornatua da integrazioaren behe-tartean: b + a b f ( x )dx = lim f(x)dx limitea existitzen bada eta finitua bada, bigarren t a t > a t motako integral inpropio konbergentea dela esaten da. Limitea infinitua bada, bigarren motako integral inpropio dibergentea dela esaten da. Funtzioa ez-bornatua da integrazioaren goi-tartean: b a f ( x )dx = b lim f(x)dx limitea existitzen bada eta finitua bada, bigarren t b t< b t motako integral inpropio konbergentea dela esaten da. Limitea infinitua bada, bigarren motako integral inpropio dibergentea dela esaten da. 56

4. gaia: Integrazioa Funtzioa c(a, b) puntuan etena bada, honako integral inpropio hau b a definitzen da: - c f ( x )dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx limiteak existitzen badira eta finituak t c+ t c t< c a t > c c b badira, integral inpropio konbergentea dela esaten da. Limiteren bat infinitua bada, dibergentea dela esaten da. 3. Lehen eta bigarren motako integral inpropio nahasiak (hirugarren motakoak) Integrazio-tarte ez-bornatua eta funtzioa etena integrazio-tarteko zenbait puntu finitutan. f ( x )dx c d = f ( x )dx + c f ( x )dx + d f ( x ) Agertzen diren integralak lehen ikusitakoak dira. Integrala konbergentea da, baldin eta integral inpropio bakoitza konbergentea bada. Integralen bat dibergentea bada, orduan hirugarren motako integrala dibergentea dela esaten da. 57

4. gaia: Integrazioa 4.5. Integral parametrikoak. Definizioa. Integral parametrikoen bidez definitutako funtzioen deribagarritasuna 4.5.1.Definizioa Integral parametriko deitzen zaie honako integral hauei: I ( λ) = b a ( λ ) ( λ ) f( x, λ )dx λ parametroak, konstante jarraitzen du integrazioan. Gerta daiteke a eta b parametroaren menpe egotea. Honako integral hau ebazten badugu: 1 ( x λ ) dx = ( x λ ) 3 3 1 3 (1 λ ) ( λ ) = 3 3 Integral horiek, parametroaren menpe dauden funtziotzat harturik, sarritan funtzio horien deribatua lortzea interesatzen zaigu. 1 Adibidez, I(λ) = ( x λ ) dx funtzioa izanik, I (λ) lortu nahi dugu: Lehenengo, f( x, λ ) deribatu λ-rekiko: = ( x λ ) funtzioaren jatorrizkoa kalkula daiteke, eta gero I(λ) = ( x λ ) 3 3 1 (1 λ ) = 3 3 ( λ ) 3 3 I (λ) = λ 1 Baina, atal honen helburua da integrala kalkulatu gabe I (λ) kalkulatzea. 58