Η τροφορμή ώματος πο τρέφεται περί άξονα πο διέρχεται από. ενική πρόταη: Η τροφορμή ενός τερεού ώματος πο τρέφεται με γωνιακή ταχύτητα, περί άξονα κάθετο το επίπεδό το πο διέρχεται από το κέντρο μάζας το, έχει τιμή = I ω και είναι ίδια και ως προς οποιοδήποτε άλλον άξονα παράλληλο με τον άξονα περιτροφής. 1η περίπτωη. Ένα ύτημα αποτελείται από μια αβαρή ράβδο μήκος η οποία τα άκρα της και φέρει δύο ημειακές φαίρες (1) και () ίδιας μάζας m. Το ύτημα ατό τρέφεται m m με γωνιακή ταχύτητα γύρω από ταθερό άξονα r1δ rδ πο διέρχεται από το μέον της ράβδο ( πο αποτελεί και το κέντρο μάζας το τήματος). Να πολογιθεί η τροφορμή το τήματος ως προς, α) τον άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας το τήματος, β) τον άξονα πο είναι παράλληλος με τον και διέρχεται από το άκρον της αβαρούς ράβδο, γ) τον άξονα πο είναι παράλληλος με τον και διέρχεται από ένα τχαίο ημείο Δ. Παρατήρηη: Η τροφική κίνηη ε όλες τις περιπτώεις γίνεται γύρω από τον ίδιο άξονα πο διέρχεται από το, αλλά ο πολογιμός της τροφορμής γίνεται για διάφορος άξονες παράλληλος με τον άξονα περιτροφής. α) Κάθε ημειακή μάζα έχει γραμμική ταχύτητα = ω και τροφορμή ως προς τον = m. Η τροφορμή το τήματος των δύο ημειακών φαιρών είναι = m + m = mω (1). Η ροπή αδράνειας το τήματος ως προς τον άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι Ι = m + m = m (). πό (1) και () παίρνομε: = m ω = Ι ω 1 β) = 1 + = m + m.0 = mω () = I ω rδ -r1δ= γ) = 1 + = -mr1δ + mrδ = mω = I ω Βαίλης Τούνης www.btsouns.gr () mal@btsouns.gr
Άρα την περίπτωη ατή η τροφορμή είναι ίδια για άξονα παράλληλο με τον άξονα περιτροφής πο διέρχεται από το, = = = Iω η περίπτωη: Μια ομογενής κλινδρική λεπτή ράβδος μάζας Μ και μήκος τρέφεται με γωνιακή ταχύτητα γύρω από ταθερό άξονα πο διέρχεται από το μέον της ράβδο (πο αποτελεί και το κέντρο μάζας της). Να πολογιθεί η τροφορμή το τήματος ως προς, α) τον άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας της, β) τον άξονα πο είναι παράλληλος με τον και διέρχεται από το άκρον της αβαρούς ράβδο, m r r m γ) τον άξονα πο είναι παράλληλος με τον και διέρχεται από ένα τχαίο ημείο Δ. Η ράβδος μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από n δάδες ημειακών μαζών m μμετρικές ως προς το της ράβδο και πο απέχον από ατό απόταη r. Κάθε ημειακή μάζα έχει γραμμική ταχύτητα = ωr και τροφορμή ως προς τον = mr. Η τροφορμή το τήματος των ημειακών ατών μαζών είναι = m r ω. =ωr = m r +m r = mωr Η τροφορμή το τήματος των ημειακών ατών μαζών είναι ίδια και κάθε άλλον παράλληλο άξονα π.χ για το είναι ( l l =ωr = 1 + = m r + )- m ( - r ) = mr = mωr = m r ω...όμοια βρίκομε = mr Η τροφορμή όλης της ράβδο είναι προφανώς το άθροιμα όλων των n δάδων των ημειακών μαζών m... = = = Σ( )= Σ mr ω Η ποότητα όμως Σ mr ω = = = ωσ m r (1). είναι το άθροιμα όλων των τοιχειωδών μαζών της ράβδο επί το τετράγωνο της απόταης κάθε τοιχειώδος μάζας από τον άξονα και αποτελεί την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα ατόν πο I =Σ m r. Έτι η (1) γράφεται διέρχεται από το, = = = Ιω 1 1 = = = M ω Βαίλης Τούνης www.btsouns.gr mal@btsouns.gr
Άρα η τροφορμή μιας ράβδο πο τρέφεται περί άξονα πο διέρχεται από το είναι = Iω και είναι ίδια και για κάθε άλλον άξονα παράλληλο με τον άξονα περιτροφής πο διέρχεται από το, = = = I ω. 3η περίπτωη: Ένας ομογενής δίκος μάζας Μ και ακτίνας τρέφεται με γωνιακή ταχύτητα γύρω από ταθερό άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας το. Να πολογιθεί η τροφορμή το τήματος ως προς, α) τον άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας το τήματος, r,1δ β) τον άξονα πο είναι παράλληλος με τον και διέρχεται από το τχαίο ημείο Δ. m r,δ r r m 3 Ο δίκος μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από n δάδες ημειακών μαζών m μμετρικές ως προς το κέντρο μάζας το () και πο απέχον από ατό απόταη r. Κάθε ημειακή μάζα έχει γραμμική ταχύτητα = ωr και τροφορμή ως προς τον = mr. Η τροφορμή το τήματος των ημειακών ατών μαζών είναι = m r ω. =ωr = m r +m r = mωr Η τροφορμή το τήματος των ημειακών ατών μαζών είναι ίδια και κάθε άλλον παράλληλο άξονα π.χ για το είναι = 1 + = -m r,1 m r,δ ) = m (r,δ r,1 = m r =ωr = mωr = m r ω... Η τροφορμή όλο το δίκο είναι προφανώς το άθροιμα όλων των n δάδων των ημειακών μαζών m... = = Σ( )= Σ mr ω Η ποότητα όμως Σ mr = = ωσ m r (1). είναι το άθροιμα όλων των τοιχειωδών μαζών το δίκο επί το τετράγωνο της απόταης κάθε τοιχειώδος μάζας από τον άξονα και αποτελεί την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα ατόν πο διέρχεται από το, I =Σ mr. Έτι η (1) γράφεται = = Ιω 1 = = M ω 1 Βαίλης Τούνης www.btsouns.gr mal@btsouns.gr
Άρα η τροφορμή ενός δίκο πο τρέφεται περί άξονα πο διέρχεται από το είναι = Iω και είναι ίδια και για κάθε άλλον άξονα παράλληλο με τον άξονα περιτροφής πο διέρχεται από το, = = I ω. Παρατήρηη ( άλλη μια φορά): Η τροφική κίνηη ε όλες τις περιπτώεις γίνεται γύρω από τον ίδιο άξονα πο διέρχεται από το, αλλά ο πολογιμός της τροφορμής γίνεται για διάφορος άξονες παράλληλος με τον άξονα περιτροφής. 1η εφαρμογή: Μια ομογενής λεπτή ράβδος μάζας Μ και μήκος εκτελεί ύνθετη + κίνηη πάνω ε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μεταφέρεται με ταχύτητα και τρέφεται με γωνιακή ταχύτητα γύρω από ταθερό άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας της, έχοντας τη φορά το χήματος. Να πολογιθεί η τροφορμή της ράβδο ως προς, α) τον άξονα περιτροφής πο διέρχεται από το κέντρο μάζας της, β) τον άξονα πο είναι παράλληλος με τον και διέρχεται από το άκρον της ράβδο, 1 α) = τροφικής + μεταφορικής = Iω+M r = Iω = M ω =0 1 = + = + M r β) τροφικής μεταφορικής 1 = M ω+ M 1 I ω ίδιο = I + M 4 η εφαρμογή: Μια ομογενής φαίρα μάζας Μ και ακτίνας κλίεται χωρίς ολίθηη πάνω ε οριζόντιο δάπεδο. Να πολογιθεί η τροφορμή της ράβδο ως προς, α) τον οριζόντιο άξονα περιτροφής της yy πο διέρχεται από το κέντρο μάζας της, β) τον οριζόντιο άξονα πο είναι παράλληλος με τον yy και διέρχεται από το ημείο επαφής της φαίρας με το δάπεδο. Βαίλης Τούνης www.btsouns.gr mal@btsouns.gr
= + = I ω+ M r = Iω α) τροφικής μεταφορικής =0 = Mr ω = + = + M β) τροφικής μεταφορικής I ί ω κύλιη χωρίς ολίθηη =ω = M ω+ Mω 7 = M 7 = M 7 = = M ω M ω+ M ή 3η εφαρμογή: Μια ομογενής φαίρα μάζας Μ και ακτίνας r κλίεται χωρίς ολίθηη το εωτερικό μιας ακλόνητης τεφάνης ακτίνας. Να πολογιθεί η τροφορμή της φαίρας α)ως προς το άξονα ατοπεριτροφής της πο διέρχεται από το κέντρο μάζας της β) ως άξονα παράλληλο με τον άξονα ατοπεριτοφής πο διέρχεται από το κέντρο Ο της τεφάνης. ω - r ω r ωr Η φαίρα εκτελεί κύλιη χωρίς ολίθηη με γωνιακή ταχύτητα ατοπεριτροφής γύρω από τον άξονά της και ταχύτητα μεταφοράς το κέντρο. φού η φαίρα κλίεται χωρίς ολίθηη η ταχύτητα το ημείο επαφής της με την ακίνητη τεφάνη θα είναι μηδέν από όπο προκύπτει = ω r (1), έχει δε φορά ατοπεριτροφής ατή πο φαίνεται το χήμα. πό τη μεταφορική κίνηη το κέντρο μάζας της φαίρας πο είναι κκλική κίνηη ακτίνας - r έχομε = ω( - r) (), όπο ω η γωνιακή ταχύτητα της κκλικής κίνηης. ν θέλομε την χέη των και ατή προκύπτει από τις (1) και ().. = ω r = ω( - r)... α) = τροφικής + μεταφορικής = Iω + M r = Iω =0 = Mr ω = - = I - M ( - r) ω β) Ο τροφικής μεταφορικής ί κύλιη χωρίς ολίθηη = Mr ω - M ( - r) =ωr = M - M ( - r). Προοχή : Οι δύο ατές τροφορμές λόγω ατοπεριτροφής και κκλικής Βαίλης Τούνης www.btsouns.gr mal@btsouns.gr
κίνηης το κέντρο μάζας έχον αντίθετες φορές...και προφανώς αφαιρούνται!! 4η εφαρμογή: πό μια ακλόνητη τροχαλία μάζας Μ και ακτίνας είναι τλιγμένο μη εκτατό νήμα το άλλο άκρο το είναι τλιγμένος δίκος μάζας m και ακτίνας r. φήνομε ελεύθερο το ύτημα με την τροχαλία να τρέφεται και τον δίκο να κατέρχεται με τροφική και μεταφορική κίνηη. Να γραφεί η χέη πο δίνει την τροφορμή το τήματος ως τον άξονα περιτροφής της τροχαλίας. ω Ο Ο δίκος ατοπεριτρέφεται και κάποια τιγμή έχει ω γωνιακή ταχύτητα ατοπεριτροφής και ταχύτητα μεταφοράς. Η τροχαλία εκτελεί τροφική κίνηη και r την ίδια τιγμή έχει γωνιακή ταχύτητα. Στροφορμή το δίκο ως τον άξονα ατοπεριτροφής 1 το, I δ, = I,δω I δ, = mr ω. Στροφορμή τήματος ως προς τον άξονα περιτροφής της τροχαλίας πο είναι παράλληλος με τον άξονα ατοπεριτροφής το δίκο. ολ,ο = - δ,(ατοπεριτροφής),ο + δ,μεταφοράς,ο + τροχαλίας,ο ίδιο = -I ω +m ( - r)+ I ω ολ,ο δ, τροχ,ο 1 1 ολ,ο = - mr ω +m ( - r)+ M ω... 6 Βαίλης Τούνης www.btsouns.gr mal@btsouns.gr