Теоријаелектричнихкола

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Теоријаелектричнихкола -4p -3p -p -p p p 3p 4p - Користите само материјале које вам достави и препоручи предметни наставник у текућој школској години. Дејан Тошић

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Општерешењехомогеногдела линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Општерешењехомогеногдела ) ( d d d d d d d d 0 t F i a t i a t i a t i a t i r r r r r L i h i p i N k s k t mk p k t i ) ( h e ) ( r m N k k s k јесопственаучестаноствишеструкости m k, p k (t)јеполином степена (m k ), Nјебројразличитихсопственихучестаности

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Кадарешењехомогеногделатежи нулисапротокомвремена? sk σ k σ jω k < 0 k lim t p ( m k p k ( mk k ) ) ( t) ( t)e c c t L c t k k,0 s k t k, lim t p ( mk k ) k, m k ( t)e σkt m 0 Ако су све сопствене учестаности линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима у отвореној левој комплексној полуравни, онда решење хомогеног дела тежи нули са протоком времена када време тежи бесконачности. ( k,, K, N : σ < 0) limih k t 0

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Отвореналевакомплексна полураван s 4 s Im(s) s σ jω s 3 0 Re(s) s 5 s

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Устаљенодзив временски непроменљивог линеарног електричног кола

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Устаљенодзив Упраксисуважневременскисталне (константне) или периодичне побуде После довољно дуго времена одзив може бити практично истог облика као и побуда и тај одзив зовемо устаљен Условзанастанакустаљеногодзиваједа решењехомогеногделатежинули, ишчезава, савременом i i p lim i h 0 t

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Устаљенсталан (константан) одзив Сматрамо да су све побуде константне Претпостављамо да су сви одзиви константни непроменљиви у времену Поставимо једначине кола и све изводе по времену заменимо нулом Практично, кондензаторе замењујемо отвореном везом а калемове кратком DC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примеродређивањаконстантног устаљеногодзива R R i i L L u g Побуда је стална у сваком тренутку времена. DC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Једначинеустаљеногодзива 0 di R i L dt 0 u di R i L dt g u g R i R i i i R R R R i i L L u g DC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Заменскашемазаустаљениодзив R R i i u g Побуда је стална у сваком тренутку времена. DC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Устаљенпростопериодичанодзив (УППО) Сматрамодасусвепобуде простопериодичне (синусоидалне) Претпостављамо да су сви одзиви простопериодични Сматрамо да су исте учестаности свих простопериодичних побуда и одзива Користимо комплексан рачун за решавање кола (одређивање одзива) -4p -3p -p -p p p 3p 4p - AC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Преобликовање (трансформација) једначинакола Због једноставнијег решавања диференцијалних једначина ел. кола тражимо поступак да их претворимо у систем алгебарских једначина Потребна је једнозначна линеарна трансформација (преобликовање) која извод претвара у множење константом -4p -3p -p -p p p 3p 4p - AC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. -4p -3p -p -p p p 3p 4p - Фазорскатрансформација u( t) cos( ωt θ) ω πf ( ω) e jθ ω π π ω 0 u( t)e jωt dt f T u( t) Re( e jωt Дефинисана је само за електрична кола која су линеарна и временски непроменљива ) u( t) PT( u( t)) PT ( )

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Фазор, трансформат, оригинал Функција времена u(t) је тренутна вредност (оригинал, напон/струја) Комплексна величина је фазор (трансформат, слика, комплексаннапон/струја, комплексан представник) PT(u(t)) је директна фазорска трансформација PT - ()јеинверзнафазорскатрансформација u(t) и су трансформациони пар

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Својствафазорскетрансформ. Једнозначност. Ако су два оригинала једнака, једнаке су и њихове трансформације, иобрнуто Линеарност. Трансформација збира се пресликава у збир трансформација Претварање извода. Извод у времену се пресликава у множење константом

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. u u PT( bu) Својства PT a u a b PT( u( t)) PT( u PT( u ( t)) ( t)) a, b const PT( du dt ) jω

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Одређивањеодзива Обележе се чворови, приступи, напони и струје приступа; усвоје се упоредни смерови и постави се систем једначина кола Трансформација се примени на леву и десну страну сваке једначине Одреди се фазор одзива (комплексан одзив) Одреди се одзив (тренутна вредност) из комплексног одзива -4p -3p -p -p p p 3p 4p - AC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. ПримеродређивањаУППО L p u g p R C p5 p3 p4-4p -3p -p -p p p 3p 4p - R u g g cos( ωt θg )

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Системједначинакола (СЈК) i i i i u u 0 i3 i4 3 i4 i5 0 0 u u3 u5 3 u4 0 0 u u g u L u R i di dt 3 i3 4 C u R du 4 dt 5 i5

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. ФазорскатрансформацијаСЈК I I I I 0 I 3 I 4 3 I 4 I 5 0 0 3 5 0 g jωli 3 R I 3 I 4 jωc 4 3 4 0 5 R I 5

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Одзив g 4 ) ( s CLR s R CR L R R R jω s g ) ( s CLR s R CR L R R s CR I Производ jω, којиимадимензијуучестаности, назива се комплексна учестаност ) e Re( j 4 4 t u ω ) e Re( j t I i ω

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. СнагаприступаУППО S I * P Re(S) Q Im(S) S I Комплексна снага (VA) Средња (активна) снага (W) Реактивна снага (var) Привидна снага (VA) Снага елемента или мреже са више приступа је једнака збиру снага приступа -4p -3p -p -p p p 3p 4p -

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Комплекснафункција електричногкола заустаљенодзивкојије простопериодичан -4p -3p -p -p p p 3p 4p - AC Analysis

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Комплекснафункцијаел. кола Посматрајмо линеарно временски непроменљиво електрично коло у коме делује само један извор (један независан генератор) Нека је одзив устаљен и простопериодичан Комплекснафункцијаелектричногкола (функцијамреже, функција система) је однос трансформата одзива и трансформата побуде изражен преко комплексне учестаности s Ако су побуда и одзив на истом приступу, комплексна функција се назива улазна комплексна функција (улазна имитанса) Ако су побуда и одзив на различитим приступима, комплексна функција се назива преносна комплексна функција (трансфер функција, функцијапреноса) У анализи комплексних функција ел. кола комплексна учестаност s се посматра у целој комплексној равни иако је она уведена као параметар фазорске трансформације -4p -3p -p -p p p 3p 4p - s jω

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примеркомплекснефункције g 4 4 ) ( s CLR s CR R L R R R H jω s g ) ( s CLR s CR R L R R s CR I Y Именитељ функција је исти и за струју калема и за напон кондензатора

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Нулеиполови Нуле комплексне функције електричног кола су корени (нуле) бројитеља КФ Полови комплексне функције електричног кола су корени (нуле) именитеља КФ Коефицијенти КФ су реални Комплексна функција електричног кола са концентрисаним елементима је рационална функција по комплексној учестаности s -4p -3p -p -p p p 3p 4p -

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примернулаиполова g ) ( s CLR s CR R L R R s CR I Y z 0 CR s s CR L L p p, 0 ) ( s s s CLR s R CR L R R ) )( ( p p z s s s s s s K Y

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Импеданса, адмитанса, трансмитанса, појачање, слабљење Улазна импеданса Улазна адмитанса Преносна импеданса (трансимпеданса) Преносна адмитанса (трансадмитанса) Трансмитансанапона (напонскопојачање, voltage gain, voltage amplification) Трансмитансаструје (струјнопојачање, current gain, current amplification) Функција слабљења (attenuation) У литератури се дефинише и уопштена комплексна функција електричног кола као количник два трансформата одзива

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Фреквенцијскиодзив Фреквенцијски одзив је комплексна функција ел. кола на имагинарној оси, у којој је s замењено са jω Амплитудски одзив је модул фреквенцијског одзива Фазни одзив је аргумент фреквенцијског одзива Групно кашњење је негативан извод фазног одзива по угаоној учестаности Фреквенцијске карактеристике су графици групног кашњења, амплитудског и фазног одзива у функцији угаоне учестаности или учестаности Фреквенцијске карактеристике се обично цртају у подесној логаритамској размери dφ( ω) H ( jω) M ( ω) abs( H (jω)) Φ( ω) arg( H (jω)) τ( ω) dω

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примерамплитудскекарактер. Размера обе осе је линеарна Комплексна функција овог електричног кола је количник трансформата напона кондензатора и трансформатапобуде. Тојетрансферфункција (функцијапреноса, transfer function). Амплитудска карактеристика је график модула трансфер функције на имагинарној оси.

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Децибел (db) Због подеснијег приказа амплитуде комплексне функције ел. кола уводи се логаритамска размера по ординати Децибел (db) је двадесет декадних логаритама од посматране величине A db 0log0 ( A) А је бездимензиона величина, чист број

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Амплитудскакарактер.уdB Размера ординате је децибелска

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Амплитудскакарактер.уdBса логаритамскомосомучестаности Размера апсцисе је логаритамска

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Пропусниопсег Пропусни опсег је скуп учестаности на којима је квадрат амплитудске карактеристике већи од половине вредности на упоредној учестаности Пропусниопсегсеизражаваипреко учестаности, f, ухерцима (Hz)ипреко угаоне (кружне) учестаности, ω, у радијанима по секунди (rad/s) Постоје и друге дефиниције пропусног опсега. Пажљиво прочитати документацију електричне компоненте, склопа, опреме,, да би утврдили како је дефинисан и мерен пропусни опсег.

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Одређивањепропусногопсега Амплитудски одзив се обележава и са M(ω), Magnitude response A( ω) H(jω) A ref A ( ωref A( ω) A ) ref Овако дефинисан пропусни опсег се зове пропусни опсег 3 db ωmin ω ω max Пропусни опсег може бити и унија дисјунктних интервала по учестаности. Пример су преносиви уређаји (smartphone, tablet, notebook) код којих треба раздвојити сигнале различитих услуга (GPS, WiFi).

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примерпропусногопсега ω ref 0 Ако је пропусни опсег само један интервал по оси учестаности, дефинише се доња гранична учестаност (lower frequency edge/cutoff), горњаграничнаучестаност (upper frequency edge/cutoff) и ширина пропусног опсега (frequency bandwidth).

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Електричнифилтри Електрични филтар је линеарна временски непроменљива електрична мрежа са два или више приступа, безизвора, чијефреквенцијске карактеристикезадовољавајупосебне, задате, услове по опсезима учестаности У пракси су ове мреже, по правилу, пасивне и реципрочне, а често са два приступа и симетричне Амплитудска карактеристика обично има малу вредност у једној групи опсега учестаности а блиску јединици у другој Неформално, електрични филтри су фреквенцијски селективне мреже и сигнале неких учестаности добро пропуштају, а сигнале других учестаности слабе M. D. Lutovac, D. V. Tošić, B. L. Evans, Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica, Prentice Hall, pper Saddle River, 00. ---, Reprint for P. R. China, Publishing House of Electronics Industry, PHEI, Beijing, China, 00. ---, Translated in Chinese, Publishing House of Electronics Industry, PHEI, Beijing, P. R. China, 004.

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. ADSL Asymmetric Digital Subscriber Line In-line ADSL Filter RJ- Телефонски канал за пренос говора 300 Hz 3400 Hz ADSL (Internet, Web, IPTV, ) 5 khz. MHz

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Учестаностирадиосистема Типични опсези Називи и ознаке АМрадиодифузија * 56,5 606,5 khz Средњиталаси 0,3 3 MHz краткоталасниопсег * 3 30 MHz Краткиталаси (HF) 3 30 MHz FM радиодифузија 87,5 08 MHz VHFталаси 30 300 MHz VHF I (TV канали 4, Европа) 47 68 MHz Ултракраткиталаси 0,3 3 GHz VHF III (TV 5, Европа) 74 30 MHz Lопсег GHz HF IV, V (TV 69, Европа) 470 86 MHz Sопсег 4 GHz мобилнамрежа (САД) 84 849 MHz Cопсег 4 8 GHz 869 894 MHz Xопсег 8 GHz GSM мобилнамрежа (Европа) 880 95 MHz Kuопсег 8 GHz 95 960 MHz Kопсег 8 6 GHz GPS 575,4 MHz Kaопсег 6 40 GHz 7,60 MHz опсег 40 60 GHz Микроталаснерерне,45 GHz Vопсег 50 75 GHz DBS (САД),7,5 GHz Eопсег 60 90 GHz ISM (САД) 90 98 GHz Wопсег 75 0 GHz,400,484 GHz Fопсег 90 40 GHz 5,75 5,850 GHz WB радио (САД) 3, 0,6 GHz * предстојиувођењедигиталнихсистема WiFi, WLAN, Bluetooth

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примерпројектовањафилтра

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Примерпројектовањафилтра 3

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Четворопол Посматраћемо четворопол, електричну мрежу са четири краја који чине два приступа, без извора (независних напонских и струјних генератора) Сматраћемодајеодзивустаљенидасусвинапонии струје простопериодичне функције времена једне учестаности Напоне и струје на приступима четворопола ћемо пресликати у фазоре (комплексне представнике) Четворопол ћемо описати комплексним једначинама у којима се појављују комплексни напони и струје приступа и комплексне функције електричног кола -4p -3p -p -p p p 3p 4p -

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Комплекснеједначине четворопола I z I z I z I z ) ( ) ( I D C I I B A h I h I h I h Погонскипараметри (ABCD параметри, а-параметри, chain parameters, transmission parameters) z-параметри Хибридни параметри i i u u ) ( ) ( I a a I I a a y y I y y I y-параметри I k k I k k I

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Каскаднавезачетворопола ABCD i u i u ABCD I D C B A D C B A I Матрица погонских параметара каскадне везе једнака је производу матрица погонских параметара четворопола.

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. ТеоремезаУППО Светеоремекојесудосадапоменутеваже када је одзив устаљен и простопериодичан Уместонапонаиструја (тренутнихвредности) користе се комплексни напони и струје (комплексни представници) Код теореме о прилагођењу по снази импеданса потрошача је једнака конјуговано комплексној улазној импеданси мреже -4p -3p -p -p p p 3p 4p -

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Питања () Шта је устаљен одзив? Који је услов да он настане? Шта је фазорска трансформација? Која су њена својства? Како се одређује устаљен одзив који је простопериодичан (УППО) фазорском трансформацијом? Које снаге се дефинишу за УППО? Шта је комплексна учестаност УППО? Шта је комплексна функција (КФ) електричног кола? ШтасунулеаштаполовиКФ? -4p -3p -p -p p p 3p 4p -

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Питања () Шта је трансфер функција? Шта је фреквенцијски одзив? Шта су амплитудска и фазна карактеристика? Шта су фреквенцијске карактеристике? Шта је децибел? У којим се све размерама црта амплитудска карактеристика? Шта је пропусни опсег? Описати поступак одређивања пропусног опсега. Шта су електрични филтри? Шта је каскадна веза четворопола? Колика је матрица погонских параметара каскадне везе? -4p -3p -p -p p p 3p 4p -

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Питања (3)

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Задаци ()

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Задаци (3)

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Kerwin-Huelsman-Newcomb, state-variable biquad, AF4 KHN active filter HighPass, HP LowPass, LP BandPass, BP

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Одређивање пропусног опсега помоћу софтвера за симулацију електричних кола (Quite niversal Circuit Simulator Qucs)

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Hendrik Wade Bode 905 98 Амерички инжењер и научник (и филозоф). Увео је упрошћене представефреквенцијскихкарактеристика (Бодеовидијаграми). РођенуMadison, Wisconsin, САД.

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 06. Karl August Rudolf Steinmetz 865 93 "Complex Quantities and Their se in Electrical Engineering", In Proc. of the, International Electrical Congress, American Institute of Electrical Engineers (AIEE), July 893, pp. 33 74. President of the American Institute of Electrical Engineers (касније IEEE), 90. Немачки математичар и инжењер. Увео је фазорски метод за одређивањеустаљеногодзивакојијепростопериодичан (893). РођенуBreslau, Немачка (Пруска). Написаокњигу Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena, McGraw-Hill, 897.