6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

1 6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τρόποι ελέγχου αν δύο ποσά είναι ανάλογα α) Εξετάζουµε αν µεταβάλλονται µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) η τιµή του ενός µε έναν αριθµό, να πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) και η τιµή του άλλου µε τον ίδιο αριθµό β) Εξετάζουµε αν τα ποσά συνδέονται µε µία σχέση αναλογίας, δηλαδή µε σχέση της µορφής y = α γ) Εξετάζουµε αν το πηλίκο όλων των αντιστοίχων τιµών είναι το ίδιο 2. Επίλυση προβλήµατος αναλογιών Αφού συµβολίσουµε µε µία µεταβλητή τον άγνωστο του προβλήµατος, φτιάχνουµε τον πίνακα της αναλογίας και στη συνέχεια εξισώνουµε τους ίσους λόγους. ΣΧΟΛΙΟ Για τα ανάλογα ποσά : Αν τα ποσά α και β είναι ανάλογα των γ και δ, α τότε ισχύει γ = β (1) δ Θυµίζουµε ότι η (1) είναι ισοδύναµη µε τις σχέσεις α β = γ δ και αδ = βγ και ότι α γ =β δ = α + β γ + δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Από 7,5 kg αλεύρι βγαίνουν 10 kg ψωµί. Να βρείτε πόσα κιλά ψωµί βγαίνουν από 18 kg αλεύρι. Έστω ότι από 18 kg βγαίνουν kg ψωµί. Τότε έχουµε τον παρακάτω πίνακα Κιλά αλεύρι 7,5 18 Κιλά ψωµί 10 Επειδή τα ποσά αλεύρι ψωµί είναι ανάλογα, έχουµε την αναλογία 7,5 = 18 οπότε 7,5 = 180 άρα = 180 : 7,5 = 24 10 ηλαδή από 18kg αλεύρι θα παραχθούν 24 kg ψωµί

2 2. Ένα φυτό έχει ύψος 80 cm και ρίχνει σκιά 50cm. Αν η σκιά ενός δένδρου είναι 8m, πόσο είναι το ύψος του ; Έστω cm το ύψος του δέντρου. ύψος 80 σκιά 50 800 Επειδή 8m = 800cm έχουµε τον διπλανό πίνακα 80 Τα ποσά ύψος σκιά είναι ανάλογα, οπότε 50 = 800 50 = 64000 = 1280 Εποµένως το δέντρο έχει ύψος 1280 cm = 12,80 m 3. Τα 40 κιλά ελιές βγάζουν 5 κιλά λάδι. Πόσα κιλά ελιές βγάζουν 120 κιλά λάδι; Έστω ότι 120 kg λάδι βγαίνουν από kg ελιές. Τότε έχουµε τον παρακάτω πίνακα Κιλά ελιές 40 Κιλά λάδι 5 120 40 Επειδή τα ποσά ελιές λάδι είναι ανάλογα, έχουµε την αναλογία = 5 120 οπότε 5 = 4800 = 4800 : 5 = 960 ηλαδή 120 kg λάδι βγαίνουν από 960 kg ελιές 4. Ένα ακίνητο πουλήθηκε µε έκπτωση 10%. Ποιά είναι η αρχική τιµή αν το ακίνητο πουλήθηκε 27000 ; Είναι φανερό ότι, αν η αξία του ακινήτου είναι 100, µετά την έκπτωση αυτό πωλείται 90. Αν η ζητούµενη αρχική τιµή είναι τότε έχουµε τον πίνακα Αρχική τιµή 100 Τιµή πώλησης 90 27000 Επειδή τα ποσά αρχική τιµή τιµή πώλησης είναι ανάλογα, έχουµε 100 = οπότε 90 = 2700000 άρα = 2700000 : 90 = 30000 90 27000 ηλαδή η αρχική τιµή ήταν 30000

3 5. Έµπορος αγόρασε 20 ζεύγη παπούτσια µε 40 το ένα, και κάποια από αυτά τα πούλησε µε κέρδος 50%. Τα τελευταία 5 ζευγάρια στις εκπτώσεις τα πούλησε µε έκπτωση 30% στην αρχική τιµή πώλησης. Ποιό είναι το ποσοστό του τελικού κέρδους ; Κόστος παπουτσιών = 20 40 = 800 Τα 15 ζευγάρια πουλήθηκαν µε κέρδος 50% 50 Κέρδος από το κάθε ένα από τα παραπάνω ζευγάρια = 40 = 20 100 Τιµή πώλησης του κάθε ενός από αυτά τα ζευγάρια = 40 + 20 = 60 Είσπραξη από την πώληση = 60 15 = 900 30 Έκπτωση για το καθένα από τα 5 τελευταία ζευγάρια = 60 = 18 100 Τιµή πώλησης κάθε ενός από τα 5 τελευταία ζευγάρια = 60 18 = 42 Είσπραξη από τα 5 ζευγάρια = 42 5= 210 Συνολική είσπραξή = 900 + 210 = 1110 Συνολικό κέρδος = 1110 800 = 310 Αν % είναι το τελικό ποσοστό κέρδους, θα έχουµε τον πίνακα Έξοδα αγοράς 800 100 Κέρδος 310 Τα ποσά έξοδα αγοράς κέρδος είναι ανάλογα, οπότε ηλαδή το τελικό ποσοστό κέρδους ήταν 38,75% 800 100 = οπότε 310 800 = 31000 = 31000:800 = 38,75 6. Βιοµηχανία λαµπτήρων έκανε έλεγχο της ποιότητας και έβγαλε 2% λαµπτήρες ελαττωµατικούς. Σε παραγγελία 5000 λαµπτήρων πόσους επιπλέον λαµπτήρες πρέπει να στείλει για να αποφύγει τυχόν παράπονα; Ή τι έκπτωση πρέπει να κάνει στην τιµή ; Οι ελαττωµατικοί λαµπτήρες στούς 5000 χιλιάδες λαµπτήρες είναι 2 5000 = 100 λαµπτήρες 100 Εποµένως για να µήν υπάρχουν παράπονα η εταιρία πρέπει να στείλει επιπλέον 100 καλούς λαµπτήρες, ή να µήν χρεώσει το 2% των λαµπτήρων, εποµένως να κάνει έκπτωση 2%.

4 7. Τα 250 gr χρυσού κοστίζουν 7560. Να βρείτε πόσο κοστίζει το κιλό ο χρυσός. Έστω η αξία του 1kg= 1000gr χρυσού Από τον πίνακα Βάρος χρυσού 250 1000 Αξία 7560 και επειδή τα ποσά βάρος αξία είναι ανάλογα έχουµε ηλαδή το κιλό ο χρυσός κοστίζει 30240 250 1000 = οπότε 7560 250 = 7560000 = 7560000:250 = 30240 8. ύο φίλοι έβγαλαν κέρδος από µία επιχείρηση ίσο µε τα 7 2 του κεφαλαίου που είχαν επενδύσει. Αν το κέρδος του πρώτου ήταν 3000 και του δεύτερου 4000, να βρείτε πόσο ήταν το κεφάλαιο που επένδυσε ο καθένας. Το συνολικό κέρδος ήταν 3000 + 4000 = 7000 και αντιπροσωπεύει τα 7 2 του κεφαλαίου που επένδυσαν. Εποµένως, αν ήταν το κεφάλαιο που επένδυσαν, θα έχουµε 7 2 = 7000 οπότε = 7000 : 7 2 = = 7000 2 7 = = 24500 ηλαδή το συνολικό κεφάλαιο της επένδυσης ήταν 24500. Μετά από αυτά, αν είναι το κεφάλαιο που επένδυσε ο πρώτος φίλος, τότε για τον πρώτο φίλο έχουµε τον πίνακα επένδυση 24500 κέρδος 7000 3000 Και επειδή τα ποσά κεφάλαιο επένδυσης κέρδος είναι ανάλογα, 24500 έχουµε = 7000 3000 οπότε 7000 = 73500000 = 73500000 : 7000 = 10500 ηλαδή ο πρώτος φίλος επένδυσε 10500 και εποµένως ο δεύτερος 24500 10500 = 14000

5 9. ύο αθλητικοί όµιλοι κάνουν τις εξής προσφορές. Ο πρώτος όµιλος 500 εγγραφή και 100 το χρόνο και ο δεύτερος 200 το χρόνο α) Να βρείτε τις σχέσεις που εκφράζουν τη δαπάνη στον κάθε όµιλο για έτη. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των σχέσεων αυτών δίνοντας στο τις τιµές 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 γ) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε µε ποιές προϋποθέσεις συµφέρει ο ένας ή ο άλλος όµιλος. α) Ο 1 ος όµιλος για έτη έχει συνδροµή y = 500 + 100 και ο 2 ος y = 200 β) Με την βοήθεια των παρακάτω πινάκων τιµών Σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση των σχέσεων Η οποία φαίνεται παρακάτω γ) 0 1 2 3 4 5 6 y = 500 + 100 500 600 700 800 900 1000 1100 y = 200 0 200 400 600 800 1000 1200 απάνη Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι µέχρι και τον 4 ο χρόνο συµφέρει ο 2 ος όµιλος ( η µαύρη γραµµή είναι χαµηλότερα από την κόκκινη), τον 5 ο χρόνο η δαπάνη είναι ίδια και από τον 6 ο χρόνο και πάνω συµφέρει ο 1 ος όµιλος 1100 1000 1 ος όµιλος 500 2 ος όµιλος 200 100 O 1 2 3 4 5 6 Έτη

6 10. Βιβλίο πωλήθηκε µε ΦΠΑ 8% στο ποσό των 270. Να βρείτε πόση ήταν η αξία πριν τον ΦΠΑ και πόσο ήταν ο ΦΠΑ. Αν το βιβλίο είχε αξία 100, σύµφωνα µε την υπόθεση θα επωλείτο µαζί µε τον ΦΠΑ 108. Τώρα που πουλήθηκε 270, αν υποθέσουµε ότι η αρχική του αξία χωρις τον ΦΠΑ ήταν, έχουµε τον πίνακα Αρχική τιµή 100 Τιµή µε ΦΠΑ 108 270 100 Τα ποσά αρχική τιµή ΦΠΑ είναι ανάλογα, εποµένως = 108 270 οπότε 108 = 27000 = 27000:108 = 250 ηλαδή η αρχική αξία του βιβλίου ήταν 250 και εποµένως ο ΦΠΑ ήταν 20 11. ύο παιδιά ηλικίας 8 και 12 ετών µοιράστηκαν 4000 ανάλογα µε την ηλικία τους. Να βρείτε το ποσόπου πήρε το κάθε παιδί. Έστω το µερίδιο του πρώτου παιδιού και y του δεύτερου. Με βάση την υπόθεση έχουµε + y = 4000 και Όµως 8 = y 12 = + y 20 = 4000 = 200 20 8 = y 12 Σχόλιο Οπότε 8 = 200 άρα = 1600 και y = 200 άρα y = 2400 12 Συνεπώς το πρώτο παιδί πήρε 1600 και το δεύτερο 2400

7 12. Το οξυγόνο και το άζωτο στον ατµοσφαιρικό αέρα βρίσκονται σε αναλογία 6 : 19. Να βρείτε πόση ποσότητα από το κάθε αέριο βρίσκονται σε 15 kg ατµοσφαιρικού αέρα. Έχτω kg το οξυγόνο και y kg το άζωτο στα 12 kg του ατµοσφαιρικού αέρα. Με βάση την υπόθεση έχουµε + y = 12 και y = 6 Σχόλιο 19 Όµως, από τη σχέση y = 6 προκύπτει ότι 19 6 = y 19 άρα 6 = y 19 = + y 25 12 = = 0,48 25 Οπότε 6 = 0,48 συνεπώς = 2,88 και y = 0,48 συνεπώς y = 9,12 19 ηλαδή στα 12 kg ατµοσφαιρικού αέρα υπάρχουν 2,88 kg οξυγώνο και 9,12 kg άζωτο 13. Ένα αυτοκίνητο κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα κάλυψε τα 5 4 µιας διαδροµής σε 3 ώρες. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα καλύψει την υπόλοιπη διαδροµή. Αν το υπόλοιπο 5 1 το καλύψει σε ώρες, τότε από τον δίπλα πίνακα, επειδή τα ποσά τµήµα απόστασης χρόνος είναι ανάλογα, έχουµε 4 5 3 = 1 5 άρα 4 3 = 5 5 Τµήµα 4 1 απόστασης 5 5 χρόνος 3 3 4 5 3 οπότε = : = = 5 5 5 3 4 4 ηλαδή την υπόλοιπη απόσταση θα την καλύψει σε 4 3 ώρες = 45 λεπτά

8 14. Τρείς συνέταιροι ίδρυσαν επιχείρηση και έβαλαν κεφάλαιο 6000 ο πρώτος, 9000 ο δεύτερος και 5000 ο τρίτος. Αν η επιχείρηση είχε κέρδη 60000, να βρείτε τι ποσό θα πάρει ο καθένας. Έστω τα κέρδη του πρώτου y του δεύτερου και ω του τρίτου. Είναι φανερό ότι + y + ω = 60000 και ότι για να είναι δίκαιη η µοιρασιά, τα κέρδη πρέπει να είναι ανάλογα του κεφαλαίου που επένδυσε ο καθένας. ηλαδή 6000 = y 9000 = ω Σχόλιο 5000 Όµως 6000 = y 9000 = ω 5000 = + y + ω 60000 = = 3 6000+ 9000+ 5000 20000 Οπότε = 3 άρα = 18000 6000 y = 3 άρα y = 27000 και 9000 ω = 3 άρα ω = 15000 5000 Συνεπώς ο πρώτος θα πάρει κέρδος 18000, ο δεύτερος 27000 και ο τρίτος 15000 15. Ένα καλοριφέρ ανάβει 2 ώρες το πρωί, 1 ώρα το µεσηµέρι και 3 το βράδυ και καταναλώνει σε 16 ηµέρες 1000 λίτρα πετρέλαιο. Αν η λειτουργία αυξηθεί κατά 1 ώρα το πρωί και κατά 1 ώρα το βράδυ, πόσο πετρέλαιο θα καταναλωθεί σε 30 ηµέρες; Τα ποσά χρόνος λειτουργίας κατανάλωση πετρελαίου είναι ανάλογα. Από την υπόθεση, τα 1000 λίτρα πετρέλαιο καταναλώνονται όταν το καλοριφέρ λειτουργεί 6 ώρες την ηµέρα για 16 ηµέρες δηλαδή σε 6 16 = 96 ώρες. Αν η λειτουργία αυξηθεί κατά 2 ώρες την ηµέρα, τότε σε 30 ηµέρες το καλοριφέρ θα λειτουργήσει (6 + 2) 30= 240 ώρες. Οπότε αν είναι η ποσότητα του πετρελαίου που θα καταναλωθεί έχουµε τον παρακάτω πίνακα Ώρες λειτουργίας 96 240 Κατανάλωση πετρελαίου 1000 96 240 Άρα = οπότε 96 = 240000 άρα = 2500 1000 ηλαδή το καλοριφέρ θα καταναλώσει 2500 λίτρα πετρέλαιο

9 16. Ένα προϊόν πωλείται µε έκπτωση 20%. Να βρείτε πόσο θα πουληθεί αν πριν την έκπτωση αξίζει 230. Αν το προϊόν άξιζε 100 θα επωλείτο µετά την έκπτωση 80. Τώρα που αξίζει 230, έστω ότι θα πουληθεί. Εποµένως έχουµε τον πίνακα Τιµή πριν την έκπτωση 100 230 Τιµή µετα την έκπτωση 80 Τα ποσά τιµή πριν την έκπτωση και τιµή µετά την έκπτωση είναι ανάλογα. 100 230 Εποµένως = άρα 100 = 18400 οπότε = 184 80 ηλαδή το προϊόν θα πουληθεί 184. 17. Η τιµή ενός προϊόντος αυξήθηκε από 1,20 σε 1,80. Να υπολογίσετε την % αύξηση της τιµής του προϊόντος. Στην τιµή του 1,20 είχαµε αύξηση 1,80 1,20 = 0,60 Έστω ότι στην τιµή των 100 έχουµε αύξηση. Τότε έχουµε τον πίνακα Αρχική τιµή 1,20 100 Αύξηση 0,60 Και επειδή τα ποσά αρχική τιµή αύξηση είναι ανάλογα ηλαδή η αύξηση ήταν 50% 1,20 = 100 0,60 1,20 = 60 = 50 άρα 18. Μία µηχανή συσκευασίας προϊόντος λειτουργώντας 8 ώρες την ηµέρα συσκευάζει 2000 πακέτα βάρους 0,5 κιλά το καθένα. Αν αυξηθεί ο χρόνος λειτουργίας σε 20 ώρες την ηµέρα, να βρείτε πόσα κιλά του προϊόντος θα συσκευάσει σε 30 ηµέρες. Έστω ότι λειτουργώντας 20 ώρες θα συσκευάσει πακέτα. Τότε έχουµε τον πίνακα Ώρες λειτουργίας 8 20 Πακέτα 2000 Και επειδή τα ποσά χρόνος λειτουργίας πακέτα είναι ανάλογα, 8 έχουµε = 20 άρα 8 = 40000 οπότε = 5000 2000 ηλαδή την ηµέρα θα συσκευάζει 5000 πακέτα βάρους 5000 0,5 = 2500 κιλών. Συνεπώς σε 30 ηµέρες θα συσκευάσει 30 2500 = 75000 κιλά = 75 τόνους προϊόντος