АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИJА. Владица Андреjић ( ) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2015.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИJА Владица Андреjић (01-03-2015) УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД 2015.

Глава 1 Вектори у геометриjи 1.1 Увођење вектора Поjам вектора у еуклидскоj геометриjи можемо дефинисати на различите начине. Уобичаjено, у питању jе класа уређених парова тачака еуклидског простора E (обично посматрамо просторе димензиjе 1, 2, или 3, односно праву, раван или простор), при чему описуjемо кад два уређена пара тачака припадаjу истоj класи. Можемо рећи да jе уређен пар тачака (A, B) у релациjи са уређеним паром тачака (C, D) ако постоjи транслациjа простора коjа тачку A пресликава у тачку C, а тачку B пресликава у тачку D. Заправо основна идеjа jе да су (A, B) и (C, D) у релациjи ако jе ABDC паралелограм. Како jе уобичаjено да код паралелограма подразумевамо да су његова темена различите тачке, као и да се праве одређене његовим страницама не преклапаjу, то уводимо дефинициjу конкретне релациjе коjа ће обjединити и те дегенерисане случаjеве. Дефинициjа 1.1. Уређен пар тачака (A, B) E 2 jе у релациjи са (C, D) E 2 уколико дужи AD и BC имаjу заjедничко средиште. Како jе познато да jе четвороугао паралелограм ако и само ако му се диjагонале полове, то Дефинициjа 1.1 реализуjе нашу идеjу, при чему лепо покрива и дегенерисане случаjеве. Према томе ако jе (A, B) (C, D) то разликуjемо два случаjа, у првом jе четвороугао ABDC паралелограм, док у другом све четири тачке леже на истоj правоj, при чему дужи AD и BC имаjу заjедничко средиште. B D D B A C A C У сваком случаjу суштина вектора jе да (A, B) и (C, D) припадаjу истоj класи ако имаjу jеднаке дужине (дуж AB подударна jе дужи CD), као и jеднак смер (за A B и C D, полуправа [A, B) jе паралелна полуправоj [C, D), детаље ћемо видети касниjе), што се лако закључуjе из претходне дефинициjе. Теорема 1.1. Уведена релациjа jе релациjа еквиваленциjе. Доказ. Рефлексивност и симетричност релациjе jе очигледна из Дефинициjе 1.1, док jе транзитивност последица транзитивности подударности дужи и транзитивности паралелности полуправих у еуклидском простору. Релациjа еквиваленциjе раставља скуп на коjем jе дефинисана на дисjунктне подскупове коjе називамо класама еквиваленциjе. Свака класа еквиваленциjе састоjи се од елемената скупа коjи су сви међусобно у релациjи. Применом релациjе еквиваленциjе на скуп E E уводимо векторе. 1

Дефинициjа 1.2. Вектор jе класа еквиваленциjе добиjена сечењем скупа свих уређених парова тачака E E по релациjи еквиваленциjе из Дефинициjе 1.1. Вектор (односно класа еквиваленциjе) коме припада уређен пар тачака (A, B) jедноставно обележавамо са AB = [(A, B)] = {(X, Y ) E E (X, Y ) (A, B)} и кажемо да jе (A, B) jедан вектор представник од AB. Вектор чиjи jе вектор представник пар (A, A) зовемо нула вектор и обележавамо га са 0 = AA = BB. Норма (дужина, интензитет) вектора v jе ненегативан реални броj v коjи jе jеднак дужини дужи XY, при чему jе (X, Y ) неки представник вектора v, односно v = XY. Како вектори представници у оквиру исте класе еквиваленциjе имаjу jеднаке дужине то jе норма вектора добро дефинисана. Нула вектор очигледно има норму jеднаку нули ( 0 = 0) и то jе jедини вектор са том особином. Сви остали вектори су ненула вектори и они поред норме имаjу и смер коjи их карактерише (традиционалисти говоре о правцу и смеру, али смер се не може упоређивати у случаjу различитог правца). Ако jе X Y, са [X, Y ) означићемо полуправу са почетком у X, а коjа садржи Y. Кажемо да су вектори AB и CD истог смера уколико су полуправе [A, B) и [C, D) паралелне. Паралелност полуправих заправо jе почетна паралелност коjа се уводи у апсолутноj геометриjи, док за љубитеље еуклидске геометриjе можемо рећи да су две полуправе [A, B) и [C, D) паралелне уколико су праве AB и CD паралелне, при чему су B и D са исте стране праве AC ако jе C / AB, односно униjа тих полуправих jе такође полуправа ако jе C AB. Нешто блажи услов jе да се захтева само паралелност правих AB и CD и тада кажемо да су вектори AB и CD истог правца, односно колинеарни. Ако су вектори AB и CD истог правца, али не и истог смера, кажемо да су они супротног смера. На основу претходно успостављених веза ниjе тешко закључити да важи следеће важно тврђење. Теорема 1.2. Ненула вектор jеднозначно jе одређен нормом и смером. 1.2 Векторски простор Скуп свих вектора на еуклидском простору E означићемо са V = (E E)/ = { XY (X, Y ) E E}. На скупу V можемо увести операциjу сабирања и операциjу множења скаларом, али наjпре уведимо пар помоћних тврђења. Теорема 1.3. За сваку тачку A E и сваки вектор v V постоjи jединствена тачка B E таква да jе v = AB. Доказ. Ако jе v = CD за неке C, D E, тада jе тачка B jединствена тачка коjа jе (централно) симетрична тачки C у односу на средиште дужи AD. Теорема 1.4. AB = CD ако и само ако jе AC = BD. Доказ. Очигледна последица симетриjе у Дефинициjи 1.1. По Теореми 1.3 сваки вектор можемо изразити преко вектора представника коjи почиње произвољном тачком, те следећа дефинициjа даjе збир и за свака два произвољна вектора. Дефинициjа 1.3. Збир вектора AB и BC jе вектор AC = AB + BC. Оваква дефинициjа jе добра jер ако jе AB = A B и BC = B C то по Теореми 1.4 имамо AA = BB и BB = CC, одакле jе AA = CC, што опет по Теореми 1.4 даjе AC = A C, и коначно AB + BC = A B + B C. 2

Дефинициjа 1.4. Умножак вектора v V скаларом α R jе вектор α v V одређен следећим особинама. Норма вектора α v износи α v = α v. За v 0, вектори v и α v су истог смера у случаjу α > 0, односно супротног смера у случаjу α < 0. Претходна дефинициjа наjпре одређуjе норму за α v, те уколико jе она нула (за α = 0 или v = 0 ), jеднозначно имамо α v = 0. Иначе (α 0 и v 0 ) jе α v ненула вектор коме описуjемо смер, те jе jеднозначно одређен на основу Теореме 1.2. У сваком случаjу вектор α v, односно краће α v, jеднозначно jе одређен што нам даjе операциjу множења вектора скаларом. У специjалном случаjу множења са α = 1, уводимо ознаку v = ( 1) v, и кажемо да jе вектор v супротан вектору v. На пример, вектор XY jе супротан вектору Y X. Теорема 1.3 дефинише збир два вектора, а сада можемо дефинисати и разлику, увођењем кратке ознаке: u v = u +( v ). По Дефинициjи 1.4, вектори u и v = α u су колинеарни (за u 0 и α 0), али важи и обрат. За колинеарне векторе u и v постоjи α R тако да jе v = α u. Наиме, како су дати ненула вектори истог правца, у случаjу да су истог смера можемо поставити α = v, односно α = v u у случаjу u различитог смера, при чему ће се Теорема 1.3 побринути за остало. Овако дефинисане операциjе сабирања вектора и множења вектора скаларом су основне операциjе на скупу V, а испоставља се да скуп V са тим операциjама има структуру векторског простора. Теорема 1.5. V jе векторски простор, односно за векторе u, v, w V и скаларе α, β R важи: u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ; (1.1) u + v = v + u ; (1.2) u + 0 = u ; (1.3) u + ( u ) = 0 ; (1.4) (α + β) u = α u + β u ; (1.5) α( u + v ) = α u + α v ; (1.6) α(β u ) = (αβ) u ; (1.7) 1 u = u. (1.8) Доказ. Нека jе u = AB (сваки вектор има своj вектор представник). По Теореми 1.3 (за тачку B и вектор v ) постоjи C тако да jе v = BC, а затим и D тако да jе w = CD. Асоциjативност (1.1) добиjамо директним рачуном: u + ( v + w ) = AB + ( BC + CD) = AB + BD = AD = AC + CD = ( AB + BC) + CD = ( u + v ) + w. За комутативност (1.2) по Теореми 1.3 уводимо тачку E тако да jе AE = BC, те по Теореми 1.4 имамо AB = EC. Сада jе u + v = AB + BC = AC = AE + EC = BC + AB = v + u. Неутрални елемент (1.3) u + 0 = AB + BB = AB + BA = AA = 0 се лако виде. A u v B E v D w C M A α u AB = u и инверзни елемент (1.4) u + ( u ) = u α u + α v За дистрибутивност у односу на сабирање вектора (1.6) уводимо тачку M тако да jе MB = α u (по Теореми 1.3 тако да jе BM = α u ) и тачку N тако да jе BN = α v (поново Теорема 1.3). Ако u и v нису колинеарни по обрнутоj Талесовоj теореми (види слику) имамо паралелност правих AC и MN, као и одговараjући однос дужина дужи за MN = α AC, односно α( u + v ) = MN = 3 u + v B v C α v N

MB + BN = α u + α v. Ако су u и v колинеарни, тада jе v = λ u за неко λ R, те се доказ своди на (1.5) и (1.7). Дистрибутивност у односу на сабирање скалара (1.5) одмах важи у случаjевима u = 0, α+β = 0, α = 0 и β = 0. У супротном доказ се изводи из дефинициjе сабирања дискусиjом по знаковима скалара α, β и α + β. Компатибилност (1.7) очигледно важи за u = 0, α = 0 и β = 0. У супротном вектори α(β u ) и (αβ) u имаjу исту норму (због α(β u ) = α β u = α β u = αβ u = (αβ) u ) и исти смер (jер sgn(αβ) = sgn(α) sgn(β)), те су по Теореми 1.2 они jеднаки. Jединични елемент (1.8) jе броj 1 R у складу са Дефинициjом 1.4 и Теоремом 1.2. 1.3 Линеарна независност вектора Подсетимо се неких ствари из линеарне алгебре. За скуп ненула вектора { v 1, v 2,..., v n } V кажемо да jе линаерно независан уколико α 1v1 + α 2v2 +... + α nvn = 0 за α 1, α 2,..., α n R повлачи α 1 = α 2 =... = α n = 0. У супротном кажемо да jе он линеарно зависан и тада се неки од вектора може изразити као линеарна комбинациjа осталих. Максималан броj линеарно независних вектора векторског простора jе димензиjа векторског простора, а за те векторе се каже да чине базу векторског простора. Теорема 1.6. Димензиjа векторског простора V у зависности од еуклидског простора E износи 1 за праву, 2 за раван и 3 за простор. Доказ. Нека jе наjпре E права, и нека су u и v произвољни ненула вектори. Како су вектори са праве очигледно колинеарни, то постоjи λ R, тако да jе v = λ u, и самим тим су линеарно зависни, односно dim V = 1. Нека jе сада E раван. Како у равни постоjе три неколинеарне тачке L, M и N, то су вектори LM и LN неколинеарни, а како jе димензиjа праве jеднака jедан то су они линеарно независни. Нека су сада u, v и w произвољни ненула вектори из равни. Можемо поставити тачке A, B, P, Q E тако да jе u = AB, v = AP и w = BQ. Ако су праве AP и BQ паралелне то су вектори v и w колинеарни и самим тим линеарно зависни. У супротном праве AP и BQ се секу и постоjи пресечна тачка C. Сада су вектори AP и AC колинеарни као и вектори BQ и BC, те постоjе α, β R тако да jе AC = α AP и BC = β BQ. Сада jе 0 = AB + BC + CA = u + β w α v, те су вектори u, v и w линеарно зависни, што доказуjе да jе dim V = 2. На краjу посматраjмо случаj кад jе E простор. Како у равни постоjе четири некопланарне тачке K, L, M и N, то су вектори KL, KM и KN некопланарни, а како jе димензиjа равни jеднака два то су они линеарно независни. Нека су сада u, v, w и x произвољни ненула вектори из простора. Поставимо раван π у коjоj се налазе вектори u и v, и раван τ у коjоj се налазе вектори w и x. Ако су равни π и τ паралелне то су вектори копланарни и самим тим линеарно зависни. У супротном равни π и τ се секу по правоj и уколико су u и v линеарно независни, као и w и x, то се ненула вектор са пресечне праве изражава као линеарна комбинациjа вектора u и v, али и као линеарна комбинациjа вектора w и x. Самим тим вектори u, v, w и x су линеарно зависни, што доказуjе да jе dim V = 3. 1.4 Скаларни производ Угао између два ненула вектора OA и OB jе мањи од углова између полуправих [OA) и [OB), односно ( OA, OB) = AOB [0, π]. Теорема 1.3 нам даље омогућава да се поjам угла прошири за произвољна два вектора. Дефинициjа 1.5. Скаларни производ вектора u и v jе броj u v = u v cos ( u, v ) R. Уколико jе u v = 0 кажемо да су вектори u и v ортогонални и пишемо u v, што се дешава у случаjевима кад jе u = 0 или v = 0 или ( u, v ) = π. Погледаjмо основне особине скаларног 2 производа. 4

Теорема 1.7. За векторе u, v, w V и скалар α R важи u v = v u ; (1.9) u ( v + w ) = u v + u w ; (1.10) (α u ) v = α( u v ); (1.11) u u 0; (1.12) u u = 0 u = 0. (1.13) Доказ. Директно из Дефинициjе 1.5 следи комутативност (1.9), као и позитивна дефинитност (1.12) и (1.13). Компатибилност (1.11) се лако рачуна: (α u ) v = α u v cos (α u, v ) = α u v sgn(α) cos ( u, v ) = α ( u v ). Преостаjе нам jош дистрибутивност (1.10). Поставимо векторе v = AB, w = BC и u = AD и уведимо равни π E D C B A u v C w B τ π и τ такве да важи B π AD и C τ AD, док B и C дефинишемо као нормалне проjекциjе тачака B и C на праву AD, односно {B } = π AD и {C } = τ AD. У правоуглом троуглу AB B можемо изразити косинус угла са AB = AB cos ( AB, AB). Вектори ( u AB) u и u 2 AB имаjу jеднаке норме ( u v ) u = u v u = u 2 v cos ( u, v ) = u 2 AB, али и jеднаке смерове због sgn( u v ) = sgn(cos ( u, v )), те важи ( u AB) u = u 2 AB. Сасвим слично правоугли троугао AC C даjе ( u AC) u = u 2 AC, док jе за изражавање вектора ( u BC) u боље посматрати ( u B E) u, где jе E тачка дата са B E = BC, одакле лако следи E τ. ( u B E) u = u 2 B C. AB + u 2 Правоугли троугао B C E даjе Ако обjединимо наведене резултате из u 2 B C = u 2 AC добиjамо ( u v ) u + ( u w ) u = ( u ( v + w )) u и коначно уз употребу (1.5) важи u v + u w = u ( v + w ). 1.5 Векторски производ Пре него ли дефинишемо векторски производ у тродимензионом векторском простору V морамо да уведемо поjам ориjентациjе. Избором привилеговане базе одређуjе се ориjентациjа и она jе по дефинициjи позитивна. Ориjентациjа се мења на непарноj пермутациjи базе. Практично, ориjентациjа базе ( x, y, z ) jе позитивна уколико испуњава правило десне руке, односно ако посматраjући са врха вектора z, краћи пут од вектора x ка вектору y иде у математички позитивном смеру (супротан смеру казаљке на сату). Дефинициjа 1.6. Векторски производ вектора u и v jе вектор u v са следећим особинама. Норма вектора u v износи u v = u v sin ( u, v ). Ако jе u v 0, вектор u v jе ортогоналан на векторе u и v, али такав да jе база ( u, v, u v ) позитивно ориjентисана. У паралелограму коjи разапињу вектори u и v, висина коjоj одговара основица одређена вектором u износи h = v sin ( u, v ) и самим тим његова површина jе P( u, v ) = u h = u v. Дакле, норма вектора u v заправо jе jеднака површини паралелограма коjи разапињу вектори u и v. Како се паралелограм диjагоналом дели на два подударна троугла имамо мотив да практично срачунамо површину троугла са P( ABC) = 1 2 AB AC. 5

Теорема 1.8. За векторе u, v, w V и скалар α R важи u v = ( v u ); (1.14) (α u ) v = α( u v ); (1.15) ( u + v ) w = u w + v w. (1.16) Доказ. Антикомутативност (1.14) стандардно добиjамо по Теореми 1.2, jер норма и правац вектора су очигледно jеднаки, док jе смер постављен како треба. За (1.15) смер jе очигледно jеднак (или су нула вектори), те остаjе само норма: (α u ) v = α u v sin (α u, v ) = α u v sin ( u, v ) = α u v = α( u v ). Формулу (1.16) доказаћемо нешто касниjе jер нам jе тако jедноставниjе. Дефинициjа 1.7. Мешовити производ вектора u, v и w jе броj [ u, v, w ] = ( u v ) w. Геометриjска интерпретациjа мешовитог производа може се видети посматрањем паралелепипеда коjи разапињу вектори u, v и w. Како jе H = w cos ( u v, w ) висина паралелепипеда коjа одговара страни коjу образуjу вектори u и v, то имамо [ u, v, w ] = ( u v ) w = u v w cos ( u v, w ) = P( u, v ) H, што jе даље jеднако запремини тог паралелепипеда и отуда следећа теорема. Теорема 1.9. Запремина паралелепипеда коjи разапињу вектори u, V( u, v, w ) = [ u, v, w ]. v и w jеднака jе Практичан проблем може бити рачунање запремине тетраедра. Како се паралелепипед дели на две подударне призме, а призма има три пута већ у запремину од пирамиде, то у паралелепипед можемо сместити шест тетраедара и зато jе запремина тетраедра ABCD jеднака V(ABCD) = 1 6 [ AB, AC, AD]. Мешовити производ се такође лепо понаша у односу на наше операциjе. Теорема 1.10. За векторе u, v, w, x V и скалар α R важи [ u, v, w ] = [ v, u, w ]; (1.17) [ u, v, w ] = [ v, w, u ]; (1.18) [α u, v, w ] = α[ u, v, w ]; (1.19) [ u + v, w, x ] = [ u, w, x ] + [ v, w, x ]. (1.20) Доказ. Особине (1.17) и (1.19) директне су последице формула (1.14) и (1.15) скаларно помножене са w. Циклично померање (1.18) jе последица Теореме 1.9 по коjоj су лева и десна страна jеднаке по апсолутноj вредности, док jе знак jеднак због jеднаке ориjентациjе на циклично помереноj бази. Остаjе дистрибутивност (1.20) коjа jе очигледна последица (1.16) чиjи смо доказ прескочили, али важи и обрнуто, те ће нам таj прескочени доказ бити лаган. Како jе ( w x ) ( u + v ) = [ w, x, u + v ] по (1.10) jеднако ( w x ) u +( w x ) v = [ w, x, u ]+[ w, x, v ] формула (1.20) биће последица претходно доказаног (1.18). Докажимо сада (1.16). Доказ. Из доказане особине (1.20) имамо да за свако x важи [ u + v, w, x ] [ u, w, x ] [ v, w, x ] = 0, што по Дефинициjи 1.7 и Теореми 1.7 значи ((( u + v ) w ) ( u w ) ( v w )) x = 0, што за конкретно x = (( u + v ) w ) ( u w ) ( v w ) даjе x x = x 2 = 0, одакле (( u + v ) w ) ( u w ) ( v w ) = 0 што коначно доказуjе (1.16). 6

1.6 Двоструки векторски производ Двоструки векторски производ заправо jе векторско множење примењено два пута заредом, односно облик ( u v ) w. Ми желимо да добиjемо експлицитну формулу за рачунање овог израза. У случаjу да су вектори u и v колинеарни то jе u v = 0 и самим тим ( u v ) w = 0, те ћемо претпоставити да су u и v линеарно независни. Тада jе u v 0, те вектори ( u, v, u v ) чине jедну базу векторског простора V. Посматраjмо сада израз ( u v ) u коjи ћемо расписати у наведеноj бази. ( u v ) u = α u + β v + γ( u v ) Скаларним множењем овог израза са вектором ( u v ) коjи jе нормалан на ( u v ) u, на u и на v, одмах добиjамо γ u v 2 = 0, односно γ = 0, те имамо ( u v ) u = α u + β v. (1.21) Ако леву и десну страну израза (1.21) векторски помножимо са u добиjамо (( u v ) u ) u ) = α( u u ) + β( v u ), односно (( u v ) u ) u = β( u v ). Пажљивим посматрањем вектора на левоj страни претходног израза коjи jе jеднак двоструком векторском производу међусобно ортогоналних вектора (( u v ) u, те ( u v ) u u ) можемо закључити да jе истог смера као и вектор ( u v ), што нам говори да jе β > 0. Са друге стране упоређуjући норме леве и десне стране имамо u v u 2 = (( u v ) u ) u = β( u v ) = β u v, одакле jе β = u 2 и самим тим, како jе β > 0 имамо β = u 2. Ако леву и десну страну израза (1.21) скаларно помножимо са u добиjамо 0 = α( u u )+β( v u ), одакле jе α u 2 = u 2 ( u v ) и коначно α = ( u v ), што нам даjе ( u v ) u = ( u v ) u + ( u u ) v. (1.22) Симетриjа по u и v у изразу (1.22) даjе нам ( v u ) v = ( v u ) v + ( v v ) u, одакле добиjамо ( u v ) v = ( v v ) u + ( u v ) v. (1.23) Преостаjе нам да у рачун укључимо вектор w коjи такође можемо расписати у нашоj бази са w = µ u +ν v +ξ( u v ). Даљи рачун добиjамо применом особина векторског производа из Теореме 1.8 користећи срачунате изразе (1.22) и (1.23), као и чињеницу да jе ( u v ) ( u v ) = 0. ( u v ) w = µ(( u v ) u ) + ν(( u v ) v ) + ξ(( u v ) ( u v )) = µ( u v ) u + µ( u u ) v ν( v v ) u + ν( u v ) v = (µ( u v ) + ν( v v )) u + (µ( u u ) + ν( u v )) v Међутим, скаларним множењем jедначине w = µ u + ν v + ξ( u v ) са u и v добиjамо w u = µ( u u ) + ν( v u ), односно w v = µ( u v ) + ν( v v ) и имамо двоструки векторски производ ( u v ) w = ( w v ) u + ( w u ) v у виду експлицитне формуле. Остаjе да се провери да ли ова формула ради и за случаj кад су вектори u и v линеарно зависни. У ту сврху можемо поставити v = κ u, после чега очигледно важи 0 = ( w (κ u )) u + ( w u )κ u, те имамо наредну теорему. Теорема 1.11. За векторе u, v, w V важи ( u v ) w = ( u w ) v ( v w ) u. (1.24) 7

Глава 2 Координате 2.1 Кординате вектора и тачака Ако jе ( v 1,..., v n ) база векторског простора V тада за свако x V постоjе jеднозначно одређени скалари x 1,..., x n R такви да jе x = x 1 v1 +... + x n vn и они се зову координате вектора x у датоj бази. Координате вектора x обично записуjемо као уређену n-торку (x 1,..., x n ), што успоставља биjекциjу између простора V и R n. Два вектора су jеднака ако и само ако имаjу jеднаке координате у односу на исту базу. Из особина Теореме 1.5 лако видимо да jе координата суме вектора jеднака суми одговараjућих координата, као и да jе координата умношка вектора скаларом jеднака производу скалара и одговараjуће координате. Положаj тачке може се описати тако што одаберемо тачку O E (коjу зовемо координатни почетак) и свакоj тачки M E придружимо (jеднозначно одређен) вектор OM V (коjи зовемо вектор положаjа тачке M). Координатни систем састоjи се од тачке O и вектора неке базе ( e 1,..., e n ) простора V. Координате тачке M су координате вектора положаjа OM у односу на задату базу. Ако су вектори базе jединични кажемо да jе координатни систем Декартов, а ако су међусобно управни кажемо да jе он правоугли. 2.2 Векторска алгебра у координатама Испитаjмо особине скаларног производа два вектора у функциjи њихових координата. Читаву причу посматраћемо у еуклидском простору где jе по Теореми 1.6 димензиjа одговараjућег векторског простора V jеднака три, с тим да лако можемо извршити рестрикциjу на праву или раван, спуштаjући димензиjу. Из линеарне алгебре познат jе Грам-Шмитов поступак ортогонализациjе коjи од произвољне базе векторског простора коjи jе снабдевен скаларним производом креира ортонормирану базу. Нека jе ( e 1, e 2, e 3 ) ортонормирана база векторског простора V. Тада jе e i e j = δ ij, где jе δ ij Кронекеров симбол и износи 1 за i = j, односно 0 за i j. Нека су x = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3 и y = y 1 e1 + y 2 e2 + y 3 e3 произвољни вектори из V. На основу Теореме 1.7 имамо 3 x y = ( x i ei ) i=1 3 j=1 y 3 j ej = x i y j ( e i e j ) = i,j=1 3 i,j=1 3 x i y j δ ij = x i y i. Дакле x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3, док саму координату x i вектора x у ортонормираноj бази ( e 1, e 2, e 3 ) добиjамо скаларним множењем са одговараjућим базним вектором, x e i = x i. Испитаjмо особине векторског и мешовитог производа у функциjи координата вектора. Нека jе ( e 1, e 2, e 3 ) позитивно ориjентисана ортонормирана база векторског простора V. Посматраjмо вектор e 1 e 2. Он има норму e 1 e 2 = e 1 e 2 = 1, али и правац ортогоналан и на e 1 и на e 2, што jе правац вектора e 3. Како jе e 3 = 1, а база ( e 1, e 2, e 3 ) позитивно ориjентисана, то jе jасно 8 i=1

да важи e 1 e 2 = e 3. Сасвим слично доказуjемо цикличне jедначине e 2 e 3 = e 1 и e 3 e 1 = e 2. Ако променимо редослед множења, то по (1.14) имамо e 2 e 1 = e 3, e 3 e 2 = e 1 и e 1 e 3 = e 2, док множење линеарно зависних даjе нулу e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0. Нека jе сада x = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3, y = y 1 e1 + y 2 e2 + y 3 e3 и z = z 1 e1 + z 2 e2 + z 3 e3. Користећи особине из Теореме 1.8 лако jе срачунати што одговара формалноj детерминанти x y = (x2 y 3 x 3 y 2 ) e 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 ) e 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) e 3, x y = e1 e2 e3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 коjа се лако памти. Мешовити производ [ x, y, z ] се рачуна по дефинициjи [ x, y, z ] = ( x y ) z и по претходно установљеном jе [ x, y, z ] = (x 2 y 3 x 3 y 2 )z 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 )z 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 )z 3, што се такође може лако запамтити као x 1 x 2 x 3 [ x, y, z ] = y 1 y 2 y 3. z 1 z 2 z 3 2.3 Трансформациjе координата Видели смо да координате вектора x у односу на неку базу e = ( e 1, e 2,..., e n ) простора V чини уређена n-торка (x 1, x 2,..., x n ) за коjу важи x = x 1 e1 +...+x n en. Сада се намеће питање везе између координата уколико променимо базу. Нека jе e = ( e 1, e 2,..., e n) нека нова база простора V. Нови базни вектори су вектори простора V и самим тим се могу изразити у староj бази e. e 1 = γ 11 e1 + γ 21 e2 +... + γ n1 en e 2 = γ 12 e1 + γ 22 e2 +... + γ n2 en... e n = γ 1n e1 + γ 2n e2 +... + γ nn en Не умањуjући општост можемо да претпоставимо да радимо у тродимензионом простору, односно у случаjу n = 3. Коефициjенти γ ij могу се уписати у матрицу Γ = γ 11 γ 12 γ 13 γ 21 γ 22 γ 23 γ 31 γ 32 γ 33 коjа се зове матрица преласка са базе e на базу e, а пређашња веза се може матрично записати са e = e Γ. Ако произвољан вектор x изразимо на два различита начина можемо видети везу између старих и нових координата. x = i x i ei = j x j e j = j x j ( i γ ij ei ) = i j γ ij x j ei, одакле за свако i имамо x i = j γ ij x j, што су управо тражене везе између наших координата. Уколико старе координате обележимо са X = (x 1, x 2, x 3 ) T, а нове са X = (x 1, x 2, x 3) T систем добиjених jедначина имаће матрични облик X = Γ X, односно x 1 x 2 x 3 = γ 11 γ 12 γ 13 γ 21 γ 22 γ 23 γ 31 γ 32 γ 33 9 x 1 x 2 x 3

Уколико су базе e и e ортонормиране можемо рачунати скаларни производ e i e j на два начина e i e j = ( k = e i ( k γ ki ek ) e j = k γ kj e k ) = k γ ki ( e k e j ) = γ ki δ kj = γ ji k γ kj( e i e k) = γ kjδ ik = γ ij, k где су γ ij елементи матрице преласка са базе e на e, односно матрице Γ 1. Одавде закључуjемо да важи γ ji = γ ij, односно Γ 1 = Γ T. Матрица преласка Γ са ортонормиране базе на ортонормирану базу мора да буде ортогонална и важи 1 = det E = det(γ Γ 1 ) = det(γ Γ T ) = det(γ) det(γ T ) = (det(γ)) 2, тако да jе за њу det Γ = ±1. Код координата тачака имали смо координатни систем (O, e), где jе O координатни почетак, а e база. Координате тачке X биле су заправо координате вектора OX. Да би дошли до координата те исте тачке у новом координатном систему (O, e ) морамо да транслирамо координатни почетак, односно да искористимо везу OX = OO + O X. Ако векторе распишемо као производ базе и колоне координата имамо ex = ep + e X, где колона P представља координате тачке O у бази e. Како jе e = eγ то jе ex = ep + eγx, односно X = P + ΓX. Координате тачке X у старом систему jеднаке су збиру координата тачке O у староj бази и координатама тачке X у новоj бази умножених са матрицом преласка Γ. 10

Глава 3 Права и раван 3.1 Права и раван у простору Као што jе познато, права jе обjекат коjи jе jеднозначно одређен са две различите тачке. Наjпре ћемо посматрати ситуациjу у тродимензионом простору. Нека jе права p одређена тачкама A(a 1, a 2, a 3 ) и B(b 1, b 2, b 3 ). Тачка X припада правоj p (тачке A, B и X су колинеарне) ако су вектори AX и AB сразмерни, односно уколико постоjи скалар κ R такав да jе AX = κ AB. Ако изjедначимо координате вектора из претходне jедначине ( OX OA = κ( OB OA)) добиjамо x 1 a 1 = κ(b 1 a 1 ), x 2 a 2 = κ(b 2 a 2 ), x 3 a 3 = κ(b 3 a 3 ). Вектор AB одређуjе правац праве, те jе jасно да jе права jеднозначно одређена тачком (рецимо A p) и правцем. Ако правац, односно вектор AB(b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) заменимо са (v 1, v 2, v 3 ), добиjамо jедначине x 1 = a 1 + κv 1, x 2 = a 2 + κv 2, (3.1) x 3 = a 3 + κv 3, коjе зовемо параметарске jедначине праве. Правац праве p краће ћемо обележити са u p = (v 1, v 2, v 3 ) и он jе jеднозначно одређен до на множење скаларом. Када параметар κ прође скуп реалних броjева претходне jедначине описуjу све тачке X(x 1, x 2, x 3 ) са праве p. Из параметарских jедначина (3.1) елиминациjом (изражавањем) параметра κ добиjамо jедначине x 1 a 1 = x 2 a 2 = x 3 a 3, (3.2) v 1 v 2 v 3 коjе зовемо канонске jедначине праве. Напоменимо да су канонске jедначине (3.2) заправо скраћени запис параметарских jедначина (3.1), те се дозвољава да неки од броjева v i буде нула (али не сви). Раван jе одређена са три неколинеарне тачке A, B и C, али jе исто тако можемо одредити тачком A и са два линеарно независна вектора u = AB и v = AC. Тачка X припада равни ако се њен вектор положаjа у односу на тачку A може видети као линеарна комбинациjа вектора u и v, односно ако постоjе скалари κ и λ тако да jе AX = κ u + λ v. Расписивањем ове jедначине у координатама добиjамо параметарске jедначине равни. Међутим, раван се лакше може записати уколико линеарну комбинациjу вектора u и v заменимо вектором нормале, односно са n = u v. Вектор нормале равни α краће ћемо обележити са n α и он jе jеднозначно одређен до на множење скаларом. Сада jе κ u +λ v n и имамо векторску jедначину равни AX n = 0. (3.3) 11

Векторску jедначину можемо записати као ( OX OA) n = 0 и погледати координате. Ако су координате тачака A(a 1, a 2, a 3 ) и X(x 1, x 2, x 3 ), а вектора n (n 1, n 2, n 3 ) добиjамо jедначину равни n 1 (x 1 a 1 ) + n 2 (x 2 a 2 ) + n 3 (x 3 a 3 ) = 0. (3.4) Ако израчунамо слободни члан n 4 = n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 наша jедначина равни се може записати са n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0. (3.5) 3.2 Права у равни Посматраjмо сада ситуациjу у дводимензионом векторском простору, односно у равни, и покушаjмо да напишемо jедначину праве. По узору на причу из простора, можемо написати параметарске jедначине праве рестриковане за jедну димензиjу: x 1 = a 1 + κv 1, x 2 = a 2 + κv 2. Множењем прве jедначине са v 2, друге са v 1 и њиховим одузимањем добиjамо x 1 v 2 x 2 v 1 = a 1 v 2 a 2 v 1. Уколико уведемо нове ознаке n 1 = v 2, n 2 = v 1 и n 3 = (a 1 v 2 a 2 v 1 ), добиjамо општу jедначину праве у равни коjа гласи: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0. (3.6) До jедначине jе могло да се дође и на други начин. На пример, права у равни jе одређена тачком A(a 1, a 2 ) и вектором нормале n(n 1, n 2 ), те по узору на jедначину равни (3.3) у простору можемо написати векторску jедначину AX n = 0. Упоређивањем тако добиjених jедначина можемо закључити да ако jе (v 1, v 2 ) вектор правца праве онда jе вектор нормале n(n 1, n 2 ) сразмеран вектору (v 2, v 1 ). Општа jедначина праве (3.6) jе битна jер се свака права у равни може изразити на такав начин. Са друге стране у случаjу да jе n 2 0 (односно v 1 0) читаву jедначину (3.6) можемо поделити са n 2 и добити x 2 = n1 n 2 x 1 n3 n 2, што после замене k = n1 n 2 x 2 = kx 1 + n. и n = n3 n 2 постаjе Ова jедначина зове се експлицитна jедначина праве, али не треба испустити из вида да праве са константним x 1 немаjу такав облик. Броj k зове се коефициjент праве и jеднак jе тангенсу угла коjи права гради са позитивним делом x 1 осе. 3.3 Растоjање тачке од равни и праве Вратимо се сада на тродимензиони простор у коме имамо раван τ задату jедначином (3.5) n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0. Ако нека тачка има координате P (p 1, p 2, p 3 ) можемо се упитати колико износи растоjање тачке P од равни τ. Поставимо праву n кроз тачку P тако да jе нормална на раван τ. Нека jе B подножjе те нормале, односно таква да jе {B} = n τ. Растоjање између две тачке jеднако jе норми вектора коjи jе њима одређен, те jе d(p, τ) = inf C τ d(p, C) = inf C τ P C. Међутим, P C = P B + BC при чему jе P B BC, те скаларни производ (или Питагорина теорема) даjе P C 2 = P B 2 + BC 2 P B 2, што значи да се inf C τ P C достиже (инфимум jе минимум) у тачки B и имамо d(p, τ) = P B = BP. Нека jе n (n 1, n 2, n 3 ) вектор правца праве n ( n = u n ), односно вектор нормале равни τ ( n = n τ ). Како се тачке B и P налазе на правоj n то су вектори BP и n колинеарни, те jе косинус угла између њих плус или минус jедан и зато важи BP n = BP n. Са друге стране тачка B припада равни τ, те из jедначине (3.3) важи AB n = 0, где jе A(a 1, a 2, a 3 ) нека тачка равни τ. То нам даjе BP n = AP n AB n = AP n. Даље jе AP n = OP n OA n = p 1 n 1 +p 2 n 2 +p 3 n 3 a 1 n 1 a 2 n 2 a 3 n 3, односно AP n = p 1 n 1 +p 2 n 2 +p 3 n 3 +n 4. Ако обjединимо резултате добиjамо BP n = p 1 n 1 +p 2 n 2 +p 3 n 3 +n 4 и напокон како jе n 2 = n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 то важи следећа теорема. 12

Теорема 3.1. Растоjање тачке P (p 1, p 2, p 3 ) од равни τ n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 = 0 износи d(p, τ) = p 1n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 + n 4 n 2 1 + n 2 2 +. n2 3 Нека jе сада права q одређена тачком Q и правцем v = u q. Ако поставимо паралелограм коjи разапињу вектори QP и v тада се растоjање тачке P од праве q може видети као његова висина и површину тог паралелограма можемо изразити на два начина: P( QP, v ) = v d(p, q) и P( QP, v ) = QP v. Изjедначавањем површина добиjамо наредну теорему. Теорема 3.2. Растоjање тачке P од праве q коjа има правац v и садржи тачку Q износи d(p, q) = QP v. v Наравно, ако имамо конкретне координате P (p 1, p 2, p 3 ), Q(q 1, q 2, q 3 ) и v (v 1, v 2, v 3 ), претходну теорему, односно растоjање d(p, q), можемо експлицитно записати са 2 p 2 q 2 p 3 q 3 + p 2 1 q 1 p 3 q 3 v 2 v 3 v 1 v 3 v 2 1 + v2 2 + v2 3 + p 2 1 q 1 p 2 q 2 v 1 v 2 Растоjање тачке до праве у равни може се видети као специjални случаj растоjања тачке до равни. Конкретно, ако посматрамо растоjање тачке P (p 1, p 2 ) од праве l n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 у равни, можемо га поистоветити са растоjањем тачке (p 1, p 2, 0) од равни n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 у простору, jер се оба растоjања реализуjу дуж исте нормале. Сада применом Теореме 3.1 добиjамо тврђење. Теорема 3.3. Растоjање тачке P (p 1, p 2 ) од праве l n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 у равни износи d(p, l) = p 1n 1 + p 2 n 2 + n 3. n 2 1 + n 2 2. 3.4 Мимоилазне праве Мимоилазне праве су праве у простору коjе не припадаjу jедноj равни, односно нити се секу нити су паралелне. Познато jе да за две мимоилазне праве постоjи тачно jедна права коjа их сече и нормална jе на њих. Та права назива се заjедничка нормала мимоилазних правих. Конструкциjа заjедничке нормале за мимоилазне праве p и q може се извршити на следећ и начин. Како заjедничка нормала мора бити нормална и на правац праве p и на правац q то мора бити нормална на раван π коjа садржи p, а паралелна jе са q и на раван τ коjа садржи q, а паралелна jе са p. Све потенциjалне нормале налазиће се у равни коjа садржи p и нормална jе на раван π, као и у равни коjа садржи q и нормална jе на раван τ, те самим тим заjедничка нормала биће пресек тих двеjу равни. Растоjање између мимоилазних правих реализоваће се баш дуж заjедничке нормале. Наиме, ако jе MN заjедничка нормала за праве p M и q N, то за X p и Y q можемо расписати XY = XM + NY + MN, те због XM, NY MN добити XY 2 = XM + NY 2 + MN 2 MN 2 и коначно d(p, q) = inf X p,y q XY = MN. Поставља се питање како ћемо експлицитно израчунати то растоjање, ако jе на пример права p одређена тачком P и правцем u p, а права q одређена тачком Q и правцем u q, при чему имамо на располагању координате тих датих елемената. Ако посматрамо паралелепипед одређен векторима P Q, u p и u q ниjе тешко закључити да заjедничка нормала MN заправо представља висину тог паралелепипеда у односу на базу коjу разапињу u p и u q, те запремину паралелепипеда можемо рачунати на два начина: V( P Q, u p, u q ) = u p u q d(p, q) и V( P Q, u p, u q ) = [ P Q, u p, u q ] и коначно d(p, q) = [ P Q, u p, u q ] u p. u q 13

3.5 Углови између правих и равни Угао jе jедан од основних поjмова у геометриjи. На почетку смо видели угао између полуправих, сада ћемо покушати да jедначинама интерпретирамо угао између две праве, угао између праве и равни, као и угао између две равни. Угао између две праве p и q jе мањи од углова коjе одређуjу њихове полуправе, те jе тако (p, q) [0, π ]. Скаларни производ вектора праваца правих се може разликовати до на знак, jер 2 су углови (p, q) и ( u p, u q ) jеднаки или суплементни, те jе тако u p u q = u p u q cos (p, q). Угао између праве p и равни α jе угао између праве p и њене ортогоналне проjекциjе на раван α. Таj угао, или њему суплементан, видимо у правоуглом троуглу коjи чине хипотенуза u p и наспрамна катета n α и отуда u p n α = u p n α sin (p, α). Угао између две равни α и β биће jеднак углу између њихових нормала, те jе зато n α n β = n α n β cos (α, β). 14

Глава 4 Криве 4.1 Круг У овоj глави ограничићемо се на раван, односно дводимензиони простор. Наjjедноставниjи обjекат после праве jе круг. Круг jе скуп свих тачака равни подjеднако удаљених од неке тачке. Ознаку k(s, r) користићемо за круг чиjе су тачке на растоjању r од тачке S, при чему кажемо да jе S центар круга k, а r његов полупречник. Jасно jе да се jедначина круга може записати са SX = r, те ако jе произвољна тачка круга X(x 1, x 2 ), а тачка S(s 1, s 2 ), добиjамо (x 1 s 1 ) 2 + (x 2 s 2 ) 2 = r 2. На пример, jединични центрирани (центар му jе у координатном почетку) круг k(o, 1) имаће jедначину + x 2 2 = 1. Круг се може написати и у параметарском облику, а наjjедноставниjа параметризациjа овог круга k(o, 1) jе: x 1 = cos θ, x 2 = sin θ, где θ [0, 2π). 4.2 Поларни координатни систем Правоугли Декартов координатни систем коjи смо до сада користили jе наjjедноставниjи, али и наjпогодниjи за изражавање линеарних елемената (права, раван). Међутим, за неке квадратне елементе (на пример круг) погодниjе jе користити другачиjи координатни систем. Поларни координатни систем jе координатни систем у равни (E 2 ) коjи карактерише тачка O E 2 коjу зовемо пол и полуправа [Ox 1 ) са почетком у O коjу зовемо оса. Тачка X E 2 различита од O jеднозначно jе одређена растоjањем r > 0 од пола (r = d(o, X)) и ориjентисаним углом θ коjи полуправа [OX) заклапа са осом [Ox 1 ). Поларне координате чини уређен пар (r, θ), при чему угао θ одговара било ком од углова θ + 2nπ, где jе n цео броj. Тачку O описуjе само r = 0, док угао θ не постоjи. Jако битна jе веза са правоуглим Декартовим координатним системом. Ако га поставимо тако да се пол O поклопи са координатним почетком, а поларну осу поклопимо са x 1 осом имаћемо следећу везу x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ. Обратне везе jе такође лако исписати. Увек jе r = + x2 2, док у зависности од тога да ли jе x 1 0 или x 2 0 можемо писати tg θ = x 2 x 1, ctg θ = x 1 x 2. На пример за x 1 0 можемо исписати експлицитну формулу θ = arctg x 2 x 1 + π 2 (1 sgn(x 1)). 15

Jединични центрирани круг k(o, 1), коjи jе у правоуглом Декартовом систему имао jедначину + x 2 2 = 1, у поларном координатном систему се записуjе веома jедноставно jедначином r = 1. 4.3 Трансформациjе равни Геометриjске трансформациjе равни су пресликавања равни E 2 на саму себе. Оне геометриjске трансформациjе коjе не помераjу тачку O могу се jедноставно изразити у поларном координатном систему са полом O. Погледаjмо шта су слике неке тачке (r, θ) при неким трансформациjама. Слика при ротациjи око тачке O за угао α jе тачка (r, θ + α). Централна симетриjа са центром O даjе (r, θ +π). Осна симетриjа у односу на x 1 даjе (r, θ). Осна симетриjа у односу на праву кроз O коjа jе под углом α у односу на x 1 даjе (r, 2α θ). Хомотетиjа са центром O и коефициjентом k > 0 даjе (kr, θ). Дакле, поларне координате нам могу олакшати пут ка jедначинама неких трансформациjа у правоуглим Декартовим координатама. На пример, поменута ротациjа око тачке O за угао α преставља пресликавање (r, θ) (r, θ + α) у поларним координатама. Ако jе то пресликавање у правоуглим Декартовим координатама записано са (x 1, x 2 ) (x 1, x 2), лако добиjамо jедначине x 1 = r cos θ = r cos(θ + α) = r(cos θ cos α sin θ sin α) = x 1 cos α x 2 sin α x 2 = r sin θ = r sin(θ + α) = r(cos θ sin α + sin θ cos α) = x 1 sin α + x 2 cos α, и коначно добиjамо jедначине ротациjе 4.4 Конусни пресеци x 1 = x 1 cos α x 2 sin α, x 2 = x 1 sin α + x 2 cos α. (4.1) Прави кружни конус добиjа се ротациjом jедне праве l око друге праве s коjе се секу под оштрим углом у тачки V. Дакле у питању jе униjа правих кроз V коjе са s заклапаjу баш онолики (оштар) угао колики l заклапа са s. Права s назива се оса, тачка V jе врх, док се права l као и њене слике у ротациjи зову изводнице правог кружног конуса. Конусни пресек jе пресек правог кружног конуса и неке равни. Случаj када раван садржи врх V jе дегенерисан и у питању може бити само тачка V, jедна изводница или две изводнице. Нама ће бити наjинтересантниjи случаj када раван не пролази кроз врх, али да ниjе нормална на осу (jер ако jесте у пресеку добиjамо круг) и такве пресеке зовемо конике. Конике имаjу jедну веома лепу особину коjу ћемо извести. Нека jе K прави кружни конус са осом s, врхом V и изводницом l, а τ произвољна раван коjа не садржи V и ниjе нормална на s. Ниjе тешко показати да постоjи сфера σ коjа jе уписана у K и коjа додируjе раван τ. Штавише у општем случаjу (елипса, хипербола) постоjе две такве сфере, међутим када jе раван τ паралелна некоj изводници (случаj параболе) постоjи само jедна таква сфера. Сфера σ додируjе конус K по неком кругу и нека jе ω раван у коjоj се таj круг налази. Раван ω jе очигледно нормална на s, за разлику од равни τ, те се оне секу по правоj d = ω τ. Нека jе сада Γ = K τ коника, а тачка G Γ произвољна тачка са ње. Подножjе нормале из G на d назовимо A, а подножjе нормале из G на ω са B. Продор праве V G кроз ω означимо са M. Како jе угао између равни ω и равни τ jеднак GAB, из правоуглог троугла ABG можемо изразити растоjање тачке G од праве d са d(g, d) = GB GA = sin (ω, τ). Са друге стране имамо правоугли троугао MBG, а како jе GB нормално на ω то jе и паралелно са s, те jе угао BGM = (s, V M) jеднак углу између s и било коjе изводнице, односно (s, l). Тангентни одсечци на сферу су међусобно подударни, те имамо подударне дужи GF и GM, где jе F додирна тачка сфере σ и равни τ ({F } = τ σ), те можемо записати d(g, F ) = GB GM = cos (s, l). 16

Ако обjединимо претходне две jедначине добиjамо одговараjући однос d(g, F ) d(g, d) = GM = GA sin (ω, τ) cos (s, l) = e. Када смо фиксирали конус и раван фиксирали смо и углове (ω, τ) и (s, l), те jе самим тим e броj коjи не зависи од избора тачке G са конике Γ, чиме смо доказали наредну теорему. Теорема 4.1. За сваку конику Γ у равни постоjи тачка F и права d таква да jе однос растоjања произвољне тачке са конике од тачке F, односно од праве d, константан. Тачка F зове се жижа (или фокус), права d зове се водиља (или директриса), а броj e зове се ексцентрицитет конике. Ексцентрицитет конике jе по дефинициjи строго позитиван, а испоставља се да вредност 1 разлучуjе три типа коника на следећи начин. Коника jе за 0 < e < 1 елипса, за e = 1 парабола, за e > 1 хипербола. 4.5 Jедначине коника Пошто смо искористили трећу димензиjу да би доказали Теорему 4.1, сада можемо да се вратимо у раван и искористимо доказану особину да изведемо jедначине коника у равни. Испоставља се да jе до jедначина лакше доћи у поларном координатном систему. Поставимо координатни систем тако да jе жижа F пол, док jе поларна оса полуправа са почетком F коjа jе нормална на директрису d и сече jе. Са L означимо jедну од пресечних тачака конике Γ и праве кроз F паралелне директриси и нека jе l = d(f, L). Нека jе A подножjе нормале из G, а B подножjе нормале из L на праву d. Нека jе G Γ произвољна тачка конике коjа jе са исте стране праве d као и тачка F. Испитаjмо поларне координате (r, θ) тачке G. Како jе то добиjамо поларну jедначину конике r = d(f, G) = e d(g, A) = e(d(l, B) r cos θ) = l er cos θ, r = l er cos θ, (4.2) што се може записати и са l r = 1 + e cos θ. Погледаjмо сада како jедначина конике изгледа у одговараjућем Декартовом координатном систему, коjи има почетак у полу, а поларна оса се преклапа са осом x 1. Квадрирањем jедначине (4.2) уз везе x 1 = r cos θ и x 2 = r sin θ, коjе смо раниjе видели, добиjамо Сада jе + x 2 2 = (l ex 1 ) 2. (1 e 2 ) + 2elx 1 + x 2 2 = l 2 (4.3) и вршимо дискусиjу у зависности од тога да ли jе 1 e 2 = 0. Дакле, прво ћемо посматрати случаj кад jе e 1. Тада jе x 2 el 1 + 2x 1 1 e + x2 2 2 1 e = l 2 2 1 e, 2 и отуда (x 1 + el 2 1 e ) + x2 2 2 1 e = l 2 2 1 e + e 2 l 2 2 (1 e 2 ) = l 2 2 (1 e 2 ). 2 Можемо приметити да прилично згодниjи координатни систем добиjамо транслациjом за вектор ( el, 0) jер тада x 1 e 2 1 + el постаjе ново x 1 e 2 1, док x 2 остаjе исто. У том новом координатном систему претходна jедначина гласи + x2 2 1 e = l 2 2 (1 e 2 ), 2 17

односно Ако уведемо ознаке добиjамо канонску jедначину a = + x2 2 l 2 l 2 (1 e 2 ) 2 (1 e 2 ) = 1. l 1 e 2, b = l 1 e2 a 2 + sgn(1 e2 ) x2 2 b 2 = 1. У случаjу да jе у питању елипса (e < 1) то jе x2 1 x2 a 2 2 + x2 a 2 2 b 2 = 1, док jе у случаjу хиперболе (e > 1) то = 1. b 2 За случаj параболе, морамо се вратити у дискусиjу и поставити e = 1. Jедначина (4.3) тада гласи 2elx 1 + x 2 2 = l 2, што се може записати као x 2 2 = 2l ( l 2 x 1). Додатна изометриjска трансформациjа коjа преставља осну симетриjу равни у односу на праву x 1 = l 4 мења l 2 x 1 са новим x 1 док x 2 остаjе исто и у том новом координатном систему jедначина има облик x 2 2 = 2lx 1. 4.6 Тангенте коника Да би добили jедначину тангенте на криву послужићемо се резултатима из математичке анализе. Познато jе да коефициjент правца тангенте на криву коjа jе дата функциjом x 2 = f(x 1 ) у тачки (p 1, p 2 ) криве (p 2 = f(p 1 )) jеднак првом изводу функциjе криве у p 1, односно f (p 1 ). Канонска jедначина елипсе и хиперболе може се записати и са α + βx 2 2 = 1, где jе веза са стандарним записима α = 1 и β = ±1. Диференцирањем jедначине по x a 2 b 2 1 добиjамо 2αx 1 + 2βx 2 x 2 = 0. Како из добиjене jедначине x 2 постаjе коефициjент правца тангенте, док се x 1 и x 2 мењаjу координатама p 1 и p 2, то тражена jедначина тангенте гласи 2αp 1 (x 1 p 1 )+2βp 2 (x 2 p 2 ) = 0. Како jе αp 2 1 + βp 2 2 = 1 jер тачка (p 1, p 2 ) припада кривоj, то крива α + βx 2 2 = 1 у тачки (p 1, p 2 ) има тангенту αp 1 x 1 + βp 2 x 2 = 1. Сличну ствар можемо урадити и са параболом, односно можемо диференцирати jедначину параболе x 2 2 = 2lx 1. Тада добиjамо 2x 2 x 2 = 2l, где jе x 2 коефициjент правца тангенте. Тангенту зато можемо записати са p 2 (x 2 p 2 ) = l(x 1 p 1 ) и како jе p 2 2 = 2lp 1, jер тачка (p 1, p 2 ) припада кривоj, добиjамо тангенту p 2 x 2 = l(x 1 + p 1 ). Права и коника могу имати ниjедну, jедну или две заjедничке тачке. Тангента обавезно има тачно jедну заjедничку тачку, али треба бити обазрив jер обрат не важи. Наиме права паралелна оси параболе са параболом има тачну jедну заjедничку тачку, али она ниjе тангента. У сваком случаjу ниjе лоше имати на уму да се тангента често аналитички може добити из услова додира, односно решавањем система jедначина коjе представљаjу праву и криву. Ако jе у питању крива другог реда, пресеци се налазе решавањем квадратне jедначине, али ако нам треба jеднозначан пресек, то онда значи да jе дискриминанта те квадратне jедначине jеднака нули и тако даље... Асимптоте су праве коjе додируjу криву у бесконачности, односно оне се у бесконачности понашаjу као крива. Ако пођемо од канонске jедначине хиперболе x2 1 ћемо видети кроз jедначину 0 = x2 1 a 2 x2 2 b 2 = (x 1 a x 2 b ) (x 1 a + x 2 b ). 18 x2 a 2 2 b 2 = 1, њене асимптоте

Самим тим асимптоте на хиперболу су праве x1 a експлицитном облику са x2 b x 2 = ± b a x 1. = 0 и x1 a + x2 b = 0, што можемо записати у 4.7 Фокусне особине коника Елипса и хипербола имаjу две жиже и две директрисе. Код елипсе жиже се налазе између директиса, док jе код хиперболе обрнуто. Нека jе M произвољна тачка са елипсе или хиперболе. По Теореми 4.1 за сваку од жижа важи да jе однос растоjања тачке од жиже и од директрисе jеднак ексцентрицитету. Нека jе M произвољна тачка са хиперболе или елипсе Γ и нека су F 1 и F 2 жиже коjима редом одговараjу директрисе d 1 и d 2. Нека су тачке D 1 d 1 и D 2 d 2 подножjа нормала из M на d 1 и d 2. Из особине коника имамо d(m, F i ) = e d(m, d i ) = e d(m, D i ) за i = 1, 2. У случаjу елипсе сабирамо ова растоjања и добиjамо d(m, F 1 ) + d(m, F 2 ) = e(d(m, D 1 ) + d(m, D 2 )) = e d(d 1, D 2 ) = e d(d 1, d 2 ), док у случаjу хиперболе њих одузимамо d(m, F 1 ) d(m, F 2 ) = e d(m, D 1 ) d(m, D 2 ) = e d(d 1, D 2 ) = e d(d 1, d 2 ). Овако смо добили следећу теорему. Теорема 4.2. Збир растоjања сваке тачке елипсе до њених жижа jе константа. вредност разлике растоjања сваке тачке хиперболе од њених жижа jе константа. Апсолутна Ова теорема може нам послужити да добиjемо везу између ексцентрицитета e и мале и велике полуосе, односно броjева a и b. Посматраjмо канонску jедначину елипсе (са a > b) и обележимо са c растоjање жиже од центра елипсе, односно координатног почетка. Ако посматрамо темена елипсе, односно тачке (a, 0) и (0, b) коjе jоj припадаjу, по претходном можемо расписати e d(d 1, d 2 ) = (a c) + (a + c) = 2a, као и e d(d 1, d 2 ) = 2 b 2 + c 2, одакле добиjемо c 2 = a 2 b 2. Како смо приликом извођења jедначине елипсе извршили транслациjу за вектор ( el, 0), чиме се жижа померила из коодинатног почетка, то 1 e 2 можемо писати c = el 1 e 2 l = e = ea. Сада jе e = c 1 e 2 a, односно e = 1 b2 a 2. Случаj хиперболе можемо слично решити, те нека jе c растоjање жиже од центра хиперболе, односно координатног почетка. Можемо посматрати тачке (a, 0) и рецимо (a 2, b) коjе задовољаваjу канонску jедначину хиперболе. Овога пута добиjамо e d(d 1, d 2 ) = (c a) (c + a) = 2a и доста компликованиjе e d(d 1, d 2 ) = (a 2 c) 2 + b 2 (a 2 + c) 2 + b 2. Изjедначавањем претходних jедначина и квадрирањем добиjамо 4a 2 = (a 2 c) 2 + b 2 + (a 2 + c) 2 + b 2 2 (a 2 c) 2 + b 2 (a 2 + c) 2 + b 2, из чега даље имамо односно 4a 2 = 4a 2 + 2c 2 + 2b 2 2 (2a 2 + c 2 + b 2 ) 2 (2ac 2) 2, c 2 + b 2 = (2a 2 + c 2 + b 2 ) 2 8a 2 c 2. 19

Квадрирањем добиjамо c 4 + 2c 2 b 2 + b 4 = 4a 4 + c 4 + b 4 + 4a 2 c 2 + 4a 2 b 2 + 2c 2 b 2 8a 2 c 2, односно 4a 4 4a 2 c 2 + 4a 2 b 2 = 0, што дељењем са 4a 2 постаjе c 2 = a 2 + b 2. Као и у претходном случаjу имаћемо c = ea и коначно e = 1 + b2 a. 2 4.8 Криве другог реда Крива другог реда jе скуп тачака равни коjе задовољаваjу jедначину f(x 1, x 2 ) = 0, где jе f реални полином другог степена по x 1 и x 2, односно f(x 1, x 2 ) = a 11 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33, (4.4) при чему jе, наравно, a 2 11 + a 2 12 + a 2 22 > 0. Желимо да класификуjемо криве другог реда, односно да опишемо све могуће скупове тачака коjи задовољаваjу jедначину f(x 1, x 2 ) = 0. (4.5) Постоjање члана a 12 0 геометриjски казуjе да jе крива постављена косо у постоjећем координатном систему. Због тога ћемо потражити нови координатни систем у коме ће она бити исправљена, односно неће имати члан a 12. У ту сврху ротираћ емо координатни систем око координатног почетка за неки угао θ (односно ротирати тачке око координатног почетка за θ) и у складу са jедначинама ротациjе (4.1) имаћемо везу x 1 = x 1 cos θ x 2 sin θ, x 2 = x 1 sin θ + x 2 cos θ. (4.6) Ако заменимо ове везе у jедначину криве (4.5), заjедно са (4.4) добиjамо нову jедначину a 11x 12 + 2a 12 x 1x 2 + a 22x 22 + 2a 13 x 1 + 2a 23x 2 + a 33 = 0, (4.7) где jе 2a 12 = 2a 11 cos θ sin θ + 2a 12 (cos 2 θ sin 2 θ) + 2a 22 cos θ sin θ, односно a 12 = a 12 (cos 2 θ sin 2 θ) + (a 22 a 11 ) cos θ sin θ. Како овде препознаjемо тригонометриjске jеднакости cos 2 θ sin 2 θ = cos(2θ) и 2 cos θ sin θ = sin(2θ), то имамо a 12 = a 12 cos(2θ) + (a 22 a 11 ) 1 sin(2θ). желимо да пронађемо такво θ 2 да се коефициjент a 12 анулира, међутим из претходне jедначине очигледно jе да се то дешава када jе ctg(2θ) = a 11 a 22. 2a 12 Наравно овде немамо проблем дељења нулом, jер када jе a 12 = 0 крива jе већ исправљена и нема потребе да примењуjемо поступак ротациjе. Дакле, ако координатне осе заротирамо за угао θ = 1 a11 a22 arcctg 2 2a 12 jедначина (4.5) прелази у jедначину (4.7) код коjе jе a 12 = 0. Тако смо се отарасили jедног коефициjента и даље можемо посматрати jедначину облика a 11 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33 = 0. (4.8) Приметимо да су променљиве x 1 и x 2 раздвоjене и стога за i = 1, 2 уколико jе a ii 0, можемо посматрати израз a ii x 2 i + 2a i3x i. Тада се стандардно извлачи a ii испред заграде, у коjоj се креира потпун квадрат на следећи начин a ii x 2 i + 2a i3 x i = a ii (x 2 a i3 i + 2x i + ( a 2 i3 ) ) a2 i3 = a ii (x i + a 2 i3 ) a2 i3, a ii a ii a ii a ii a ii те након транслациjе x i координате путем x i = x i + ai3 a ii, суштински уклањамо коефициjент уз x i, односно нови a i3 се анулира. Наравно, ако jе a ii = 0, тада се jедан коефициjент већ неутралисао. Jако jе битно да су трансформациjе коjе примењуjемо изометриjске трансформациjе, односно да оне чуваjу дужину дужи, илити скаларни производ. Због тога jе jако битно извлачење a ii испред заграде у претходном кораку. 20