ΚΑΛΟΓΡΙΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΚΑΛΟΓΡΙΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σάμος 14 Φεβρουαρίου 009

ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΞΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΜΗΛΙΩΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 3

Περιεχόμενα Πρόλογος 1 Περιγραφή και λειτουργία της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας 1.1 Tα δικαιώματα των καταναλωτών στην ελεύθερη αγορά 1. Ρυθμιστική Αρχή Ενέργειας 1.3 Η ιδιαιτερότητα του ηλεκτρισμού 1.4 Μη πληρότητα στην αγορά Παράγωγα προϊόντα-συμβόλαια ηλεκτρικής ενέργειας.1 Παράγωγα προϊόντα. Spread Opions.3 Tα εμπόδια στην ανάπτυξη της αγοράς παραγώγων ηλεκτρικής ενέργειας 3 Spark spread opions 3.1 Γενικά-Oορισμός των Spark Spread Opions 3. Τα κυριότερα συμβόλαια 3.3 Xρήση των spark spread opions για να εκτιμήσουμε την παραγωγική ικανότητα μιας μονάδας παραγωγής ηλεκτρισμού 3.4 Χρήση των spark spread opions για αντιστάθμιση του κινδύνου 4 Aποτίμηση συμβολαίων spark spread opions 4.1 Μοντελοποίηση της τιμής της πρώτης ύλης που χρησιμοποιείται για την παραγωγή ηλεκτρισμού 4. Αποτίμηση με αναλυτικό τύπο 5 Μοντέλα που έχουν προταθεί 5.1 Deng-Johnson-Sogomonian 5. Margrabe Formula 5.3 Carmona-Durrleman 5.4 Bachelier 5.5 Benh-Salye 5.6 Maribu-Galli-Armsrong 5.7 Μοντέλα που βασίζονται στα δυναμικά ολόκληρης της προθεσμιακής καμπύλης Επίλογος Βιβλιογραφία 4

Πρόλογος Η ανακάλυψη του ηλεκτρισμού έκανε την ανθρωπότητα να κάνει τρομερά βήματα μπροστά, αφού προσέφερε στον άνθρωπο καλύτερες συνθήκες διαβίωσης αλλά και την δυνατότητα να εξελίξει ραγδαία την λιγοστή τεχνολογία του. Η ζήτηση του αυξάνεται θεαματικά αφού χρησιμοποιείται καθημερινά από κάθε άνθρωπο. Μέχρι πριν μερικά χρόνια όλες οι αγορές ηλεκτρικής ενέργειας ήταν βασισμένες σε κρατικά μονοπώλια ή σε επιχειρήσεις που ρυθμιζόταν και ελεγχόταν από το κράτος. Τα τελευταία χρόνια όλο και περισσότερες αγορές απελευθερώνονται και προς αυτή την πορεία βρίσκεται και η χώρα μας. Η αυξημένη ζήτηση, και όλα τα προβλήματα που δημιουργούνται σε αγορές που υπάρχει μονοπώλιο, έκανε αυτό το μονοπωλιακό σύστημα να αδυνατεί να καλύψει τις ανάγκες και γι αυτό η απελευθέρωση των ενεργειακών αγορών είναι πλέον αναγκαία. Με αυτόν τον τρόπο θα δοθεί μια ώθηση και θα γίνει αναβάθμιση στην αγορά του ηλεκτρισμού και στις υποδομές της, έτσι ώστε να μπορούν να ανταποκριθούν στην αυξανόμενη ζήτηση. Με την απελευθέρωση οι καταναλωτές θα έχουν την δυνατότητα να επιλέγουν και να αναζητούν τη συμφωνία που τους συμφέρει περισσότερο στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας. Σε ένα περιβάλλον με περισσότερες ελεύθερες ενεργειακές αγορές οι πολίτες έχουν μεγαλύτερη επιλογή και μπορούν να συμβάλλουν καθοριστικά στην προώθηση του ανταγωνισμού μεταξύ των προμηθευτών ηλεκτρικής ενέργειας και αερίου και επομένως και στη βελτίωση της ποιότητας των παρεχομένων υπηρεσιών. Oι επενδύσεις αυτές και η εισαγωγή ανταγωνισμού θα επιτρέψουν να αποφύγουμε τις μεγάλες αυξήσεις της χαμηλής τιμής της ηλεκτρικής ενέργειας. Για να διευκολυνθεί ο ελεύθερος και υγιής ανταγωνισμός στην ενεργειακή αγορά δημιουργήθηκε μια ανεξάρτητη διοικητική αρχή, η Ρυθμιστική Αρχή Ενέργειας (ΡΑΕ) η οποία συνδιάζεται με την πολιτική του εκσυγχρονισμού των ενεργειακών αγορών στην Ελλάδα. Σκοπός της ΡΑΕ επίσης, είναι να εξασφαλίσει με θεσμικό τρόπο συμβατό με τους μηχανισμούς της απελευθερωμένης αγοράς, τους μακροχρόνιους στρατηγικούς στόχους της ενεργειακής πολιτικής και την εξυπηρέτηση του δημοσίου συμφέροντος. Τέτοιοι στόχοι είναι η επαρκής, αξιόπιστη και ισότιμη τροφοδοσία όλων των καταναλωτών, η ασφάλεια τροφοδοσίας της χώρας, το περιβάλλον, η ανάπτυξη των ανανεώσιμων πηγών ενέργειας, οι νέες τεχνολογίες, η αποτελεσματική χρήση και προμήθεια ενέργειας και η εξασφάλιση επαρκούς υποδομής για την ενέργεια. Ο ηλεκτρισμός όμως, σαν αγαθό, έχει ορισμένες φυσικές ιδιότητες οι οποίες δεν εμφανίζονται στα διάφορα άλλα αγαθά και προϊόντα που συναλλάσσονται στις ήδη υπάρχουσες χρηματοοικονομικές αγορές. Από το γεγονός αυτό πηγάζουν πολλές δυσκολίες συναλλαγής της ηλεκτρικής ενέργειας και κίνδυνοι για τους εμπλεκόμενους στην αγορά. Πρόσθετες δυσκολίες δημιουργούνται και από την άρρηκτα συνδεδεμένα σχέση του ηλεκτρισμού και των πρώτων υλών που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή του. Αυτές στη μεγάλη πλειοψηφία τους είναι ορυκτά καύσιμα (γαιάνθρακες,πετρέλαιο,φυσικό αέριο) τα οποία και αυτά ως προϊόντα παρουσιάζουν δυσκολίες στον τρόπο συναλλαγής τους. 5

Για την αντιμετώπιση των κινδύνων που κρύβει η απελευθερωμένη αγορά ηλεκτρικής ενέργειας και την ελαχιστοποίηση τους, κρίνεται αναγκαία η χρησιμοποίηση χρηματοοικονομικών εργαλείων και μεθόδων. Τα πιο διαδεδομένα εργαλεία είναι τα διάφορα παράγωγα συμβόλαια με τις μεθόδους αποτίμησης τους να βασίζονται κυρίως στο μοντέλο Black-Scholes. Στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας έχουν δημιουργηθεί τα παράγωγα συμβόλαια ηλεκτρικής ενέργειας με κυριότερα είδη τα Forward Price και Fuures συμβόλαια ηλεκτρισμού. Λόγω όμως των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών του ηλεκτρισμού δεν μπορεί να γίνει άμεση εφαρμογή των ήδη υπάρχοντων μεθόδων αποτίμησης παραγώγων συμβολαίων για την περίπτωση των παραγώγων συμβολαίων ηλεκτρικής ενέργειας. Τα συμβόλαια αυτά διαπραγματεύονται είτε στο χρηματιστήριο, είτε στην over he couner αγορά (Ο.T.C). Τα χρηματιστήρια αυτά τα αποκαλούμε Elecriciy ή Power Exchanges και σε αυτά λαμβάνουν χώρα συναλλαγές ηλεκτρικής ενέργειας μέσω φυσικών και χρηματοοικονομικών συμβολαίων με παρόμοιο τρόπο με αυτό της συναλλαγής εμπορευμάτων ή μετοχών και άλλων χρεογράφων στις συνήθεις εμπορικές και χρηματοοικονομικές αγορές. Οι αγοραπωλησίες στην O.T.C αγορά γίνονται με απευθείας διαπραγμάτευση και συναλλαγή μεταξύ ενός πωλητή και ενός αγοραστή. Στο χρηματιστήριο γίνονται βάσει των κανονισμών που αυτό έχει. Έτσι οι τιμές σε ένα χρηματιστήριο παραγώγων είναι πιο τυποποιημένες από αυτές στην O.T.C αγορά. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει περισσότερη διαφάνεια στις τιμές. Τα τελευταία χρόνια έχουν προταθεί πολλές και διάφορες μεθοδολογίες για την αποτίμηση τέτοιων συμβολαίων. Αυτές έχουν κάποιες αρχικές υποθέσεις, είτε λίγες είτε πολλές και κάθε μια προσθέτει κάτι στην προηγούμενη αλλά συνήθως χάνει και κάτι. Η αποτίμηση γίνεται με μόνη προυπόθεση την απουσία arbirage και χωρίς να χρησιμοποιείται η κλασική buy-and-hold στρατηγική,η οποία δεν στέκεται ρεαλιστικά στην περίπτωση του ηλεκτρισμού. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία, αφού παρουσιάσουμε συνοπτικά την αγορά ηλεκτρικής ενέργειας, θα παρουσιάσουμε κάποια σημαντικά μοντέλα που προτάθηκαν τα τελευταία χρόνια. Πιο συγκεκριμένα στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας κάνουμε μια σύντομη περιγραφή της αγοράς της ηλεκτρική ενέργειας και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτή λειτουργεί. Αναφέρουμε το μεγαλύτερο πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε όσο αφορά θέματα αποτίμησησς που είναι η μηπληρότητα σε αυτή την αγορά. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικότερα παράγωγα συμβόλαια που χρησιμοποιούνται στην ενεργειακή αγορά και στο τρίτο κεφάλαιο αναλύουμε μια κατηγορία opions ευρέως διαδεδομένα και με πολύ ενδιαφέρον. Αυτά είναι τα Spark Spread Opions με τις διάφορες παραλλαγές που συναντάμε. Στο κεφάλαιο τέσσερα περιγράφουμε τις βασικότερες μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την αποτίμηση τέτοιων συμβολαίων και στο κεφάλαιο πέντε παρουσιάζουμε μερικά από τα μοντέλα που έχουν προταθεί για την εύρεση της τιμής ενός opion. Στο τελευταίο κεφάλαιο συνοψίζουμε και ολοκληρώνουμε. 6

1. Περιγραφή και λειτουργία της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα περιγράψουμε την αγορά της ηλεκτρικής ενέργειας, το πώς αυτή λειτουργεί. Θα αναφερθούμε στο ρόλο της Ρυθμιστικής Αρχής Ενέργειας στην αγορά αυτή και θα αναλύσουμε τις ιδιαιτερότητες που παρουσιάζει ο ηλεκτρισμός σε σχέση με τα άλλα φυσικά εμπορεύματα. [1.1,1.,1.3]. Στην ενότητα 1.4 κάνουμε μια αναφορά στις πλήρεις αγορές και στην μη πληρότητα της ενεργειακής αγοράς. 1.1 Τα δικαιώματα των καταναλωτών στην ελεύθερη αγορά Με την απελευθέρωση της αγοράς ηλεκτρικής ενέργειας οι καταναλωτές έχουν την δυνατότητα να επιλέγουν και να αναζητούν την συμφερότερη συμφωνία γι αυτούς στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας. Επειδή όμως οι ανοικτές αγορές χρειάζονται διασφαλίσεις, η ΕΕ προτείνει έναν χάρτη δικαιωμάτων, ο οποίος υπογράφεται εθελοντικά από τους βασικούς παράγοντες της αγοράς ενέργειας όπως προμηθευτές, ρυθμιστικές αρχές, υπηρεσίες δημόσιας διοίκησης και ενώσεις καταναλωτών. Ο χάρτης αυτός θα βοηθήσει τους καταναλωτές να κάνουν τις σωστές επιλογές αφού ενημερωθούν για τις αθέμιτες εμπορικές πρακτικές. Τα δικαιώματα των καταναλωτών αναφέρονται: α)στην ασφαλή και συνεχή παροχή β) στην αλλαγή προμηθευτή χωρίς επιβάρυνση γ)στη σαφή ενημέρωση για τις τιμές και τα τιμολόγια Η απελευθέρωση των ενεργειακών αγορών πρέπει να υποστηριχθεί από διαρθρωτικά μέτρα που μεγιστοποιούν τα αναμενόμενα οφέλη. Μεγάλη σημασία έχουν τα μέτρα διαχείρισης του επιχειρηματικού κινδύνου με σκοπό τη μείωση των κινδύνων για όλους τους εμπλεκόμενους στην αγορά. Όταν μάλιστα η διαχείριση του κινδύνου προσεγγίζεται με εκείνα τα διαρθρωτικά μέτρα που συνάδουν με έντονο ανταγωνισμό στην αγορά, τότε τα οφέλη για όλους και ιδιαίτερα τους καταναλωτές μεγιστοποιούνται. Τα οφέλη είναι πολλαπλά: απορρόφηση διακυμάνσεων τιμών, μείωση κινδύνου για παραγωγούς και μεγάλους καταναλωτές (όπου περιλαμβάνονται εταιρίες διανομής άρα έμμεσα και οι μικροί καταναλωτές), ανάπτυξη υπηρεσιών υποστήριξης και απασχόλησης κλπ. 7

1. Ρυθμιστική Αρχή Ενέργειας(Ρ.Α.Ε) Ο ρόλος της ΡΑΕ [βλ 17] ]δεν είναι ελεγκτικός ή δικαστικός. Βασικός σκοπός της είναι να εξυπηρετηθεί καλύτερα και οικονομικότερα ο καταναλωτής (ιδιώτης και επιχείρηση) αλλά και να επιζήσει βρίσκοντας νέες ευκαιρίες η μικρή και μεσαία επιχείρηση, η οποία είναι φορέας ανάπτυξης και απασχόλησης. Στις αρμοδιότητες της είναι και να: α)παρακολουθεί και εισηγείται για τις τιμές, τη λειτουργία της αγοράς και τις αδειοδοτήσεις β)πληροφορεί και βοηθάει τους επενδυτές και τους καταναλωτές. Η ενσωμάτωση στην αγορά αυτών των μεγάλων ζητημάτων της ενεργειακής πολιτικής είναι ίσως το δυσκολότερο έργο της ΡΑΕ. Απαιτείται η επίτευξη λεπτής ισορροπίας, χρησιμοποιώντας όλα τα εργαλεία που είναι συμβατά με τους μηχανισμούς της αγοράς, όπως οι χρεώσεις στη μεταφορά ενέργειας για λόγους δημοσίου συμφέροντος, το εμπόριο άδειών ρύπανσης, το εμπόριο προθεσμιακών παραγώγων και συμβολαίων, οι όροι στην αδειοδότηση, το εμπόριο «πράσινου» ηλεκτρισμού, κλπ. Η προώθηση της δημιουργίας Προθεσμιακής Αγοράς Ενέργειας είναι ένας από τους πρώτους στόχους της ΡΑΕ με σκοπό και την περιφερειακή αγορά αλλά και την εξομάλυνση των απότομων διακυμάνσεων των τιμών και τις οικονομίες που αυτή θα επιφέρει ώστε να εξυπηρετηθούν οικονομικότερα οι καταναλωτές αλλά και να μειωθεί ο κίνδυνος που αναλαμβάνουν οι προμηθευτές ενέργειας. Η αγορά περιλαμβάνει συγχρόνως δύο μέρη: α) την αγοραπωλησία φυσικών ποσοτήτων (άμεσα, προθεσμιακά ή εκτελούμενων μέσω μακροχρόνιων συμβολαίων) β) την αγοραπωλησία χρηματοοικονομικών παραγώγων (μελλοντικών δικαιωμάτων επί φυσικής αγοράς και τιμών, συμβολαίων, προθεσμιακών ανταλλαγών, κλπ.) Οι φορείς που εμπλέκονται στην οργάνωση της προθεσμιακής ενεργειακής αγοράς είναι οι εξής: 1. Εποπτεύων οργανισμός - ρυθμιστής Δημόσιος φορέας (που μπορεί να είναι η Ρυθμιστική Αρχή Ενέργειας). Φορέας διαχείρισης, εκκαθάρισης και λειτουργίας της αγοράς Ιδιωτικός ή ημι-δημόσιος φορέας με εμπειρία και ειδικότητα σε λειτουργία αγορών. 3. Φορείς που αναλαμβάνουν την εκτέλεση των φυσικών ανταλλαγών Ενεργειακές εταιρίες παραγωγής ή εμπορίας που διαθέτουν τεχνογνωσία, αποθηκευτικούς χώρους και πρόσβαση σε δίκτυα ενέργειας ή μεταφοράς. 8

4. Χονδρέμποροι φυσικής αγοράς και παραγώγων. Ιδιωτικές εταιρείες παροχής υπηρεσιών (με πολλαπλές ή περιορισμένες ειδικεύσεις) και θα παίζουν το ρόλο ενδιαμέσων μεταξύ παραγωγών και καταναλωτών τόσο στο φυσικό μέρος της αγοράς όσο και στον προθεσμιακό και τον τομέα των παραγώγων. 5. Καταναλωτές και παραγωγοί. Φορείς που έχουν άδεια είτε να προσφέρουν είτε να ζητούν φυσικές ποσότητες στην αγορά. Η άδεια έχει το νόημα της πιστοποίησης ότι είναι παραγωγοί ή καταναλωτές, και όχι απλώς έμποροι. 6. Ιδιωτικοί φορείς που προσφέρουν υπηρεσίες προς τους παίκτες της αγοράς Υπηρεσίες όπως εκπαίδευση, τεχνικές και οικονομικές συμβουλές, inerne sies, e- commerce, εκτέλεση εντολών, banking, κλπ. Η συγκρότηση της αγοράς θα γίνει σταδιακά. Προτεραιότητα θα έχει ο τομέας του πετρελαίου όπου υπάρχει μεγάλη εμπειρία και το καθεστώς απελευθέρωσης είναι ωριμότερο. Έπεται ο τομέας του ηλεκτρισμού και αργότερα του φυσικού αερίου. Για την επίτευξη οικονομιών κλίμακος οι υπηρεσίες υποστήριξης θα είναι ενιαίες. Επίσης μπορεί να ενσωματωθεί στο μέλλον η εμπορία νέων αγαθών και παραγώγων τους, όπως εμπόριο αδειών ρύπανσης, εμπόριο «πράσινου» ηλεκτρισμού κλπ. 1.3 Η ιδιαιτερότητα του ηλεκτρισμού Τα προιόντα της αγοράς της ηλεκτρικής ενέργειας (energy commodiies),όπως για παράδειγμα το πετρέλαιο και το φυσικό αέριο, συμπεριφέρονται οπως όλα τα φυσικά εμπορεύματα(commodiies) δηλαδή παρουσιάζουν μια τάση να επιστέφουν σε μια μέση τιμή και μια εποχικότητα. Υπάρχει ομως ενα και αυτό είναι ο ηλεκτρισμός το οποίο έχει κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Η τιμή του εξαρτάται απο πολούς παράγοντες και για αυτό είναι δύσκολη η μοντελοποίηση και η πρόβλεψη της, όπως: (1) Το οτι πρέπει να χρησιμοποιηθεί άμεσα. Η δύσκολη, πολυδάπανη και ουσιαστικά μη εφικτή αποθήκευσή του, δημιουργεί τις σημαντικότερες δυσκολίες στην αγορά και στην προσπάθεια σωστής και τεκμηριωμένης περιγραφής των διαδικασιών και των σχέσεων που ισχύουν σε αυτή. Έτσι δεν ικανοποιείται η υπόθεση της μη-ύπαρξης arbirage αφού δεν μπορούμε να αγοράσουμε το περιουσιακό στοιχείο και να το κρατήσουμε μέχρι τη λήξη του forward συμβολαίου. Ακόμα η αγορά είναι μη πλήρης αφού δεν μπορεί να γίνει οικονομική αντασφάλιση (dela hedging) () Παρουσιάζει μεγάλες διακυμάνσεις στη ζήτηση λόγω της εποχικότητας και της γεωγραφικής θέσης 9

(3) Παρουσιάζει μεγάλη μεταβλητότητα και ξαφνικές αυξομειώσεις στη ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας εξαιτίας των αλλαγών της θερμοκρασίας,ανάλογα με τη μέρα και με την ώρα. 1.4 Μη πληρότητα στην αγορά α. Ποιές αγορές λέγονται πλήρεις Όπως σε όλες τις οικονομικές συναλλαγές έτσι και σε αυτές με τα παράγωγα συμβόλαια υπάρχει ένας αγοραστής (buyer) και ένα πωλητής (seller). Η οικονομική θεωρία υποθέτει ότι αυτοί οι δυο λειτουργούν λογικά (raionally) και ότι και οι δύο θέλουν με αυτή τη συναλλαγή να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη τους και να φτιάξουν ένα καλύτερο χαρτοφυλάκιο. Γι αυτο και οι δυο κανονίζουν την δίκαιη τιμή που θέλει ο ένας να πουλήσει και ο άλλος να αγοράσει, η οποία δεν είναι απαραίτητα η ίδια. Αυτό το χάσμα μπορεί να οφείλεται στην ανισορροπία μεταξύ της προσφοράς και της ζήτησης ή και στο κόστος μεταβίβασης. Για να είναι η αγορά πλήρης θα πρέπει αυτές οι δύο τιμές να είναι ίδιες. Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στο [9]. Μια αγορά θεωρείται πλήρης όταν υπάρχουν τόσοι τίτλοι που εμπεριέχουν κίνδυνο στην αγορά, όσες είναι και οι πηγές του κινδύνου. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς τίτλων που εμπεριέχουν κίνδυνο,δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο, για να αντεπεξέλθουμε στα αποτελέσματα της τυχαιότητας δηλαδή να αντισταθμίσουμε τον κίνδυνο. Ο ορισμός λοιπόν της πληρότητας χρησιμοποιείται για να είμαστε σε θέση να κατασκευάσουμε ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο μπορεί να αναπαράγει τις απολαβές την χρονική στιγμή Τ (και συνεπώς την τιμή του την ίδια χρονική στιγμή) οποιουδήποτε συμβολαίου,δηλαδή οποιουδήποτε τίτλου που δεν περιέχεται στο χαρτοφυλάκιο. Ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο ονομάζεται αναπαράγων χαρτοφυλάκιο (replicaing porfolio) και στην απουσία arbirage θα έχει κάθε χρονική στιγμή, πριν την mauriy του, την ίδια αξία με το συγκυριακό συμβόλαιο. Η αναπαραγωγή λοιπόν μας δίνει ένα καλό τρόπο τιμολόγησης συγκυριακών συμβολαίων. Επίσης η αναπαραγωγή μας δίνει τρόπους εξασφάλισης ως προς τον κίνδυνο. β. Γιατί εμφανίζεται μη-πληρότητα στην ενεργειακή αγορά Έστω ότι είμαστε σε μια αγορά στην οποία έχουμε στη διάθεση μας ένα προϊόν όπως ο ηλεκτρισμός, το πετρέλαιο ή το φυσικό αέριο και όπως πάντα ένα τραπεζικό λογαριασμό ή ομόλογο. Η αγορά αυτή θα είναι μη πλήρης, αφού το προϊόν δεν γίνεται να συναλλαχθεί και ως εκ τούτου δεν γίνεται, χρησιμοποιώντας το μαζί με τον τραπεζικό λογαριασμό, να φτιάξουμε ένα χαρτοφυλάκιο που να αναπαράγει ένα παράγωγο συμβόλαιο το οποίο έχει ως υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο το προϊόν αυτό. 10

. Παράγωγα προϊόντα-συμβόλαια ηλεκτρικής ενέργειας.1 Παράγωγα προϊόντα Παράγωγο προϊόν θεωρείται μια διμερής σύμβαση, της οποίας η αξία εξαρτάται από την αξία ενός υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου ή ενός δείκτη. Το μέλος του συμβολαίου που συμφωνεί να αγοράσει το περιουσιακό στοιχείο στην ημερομηνία παράδοσης του συμβολαίου λέμε ότι έχει πάρει μια long θέση, ενώ το μέλος που συμφωνεί να πουλήσει λέμε ότι έχει πάρει μια shor θέση. Μια θέση περιγράφει τα δικαιώματα και τις υποχρεώσεις που συνδέονται με τις συναλλαγές που έχουν ήδη γίνει και μπορεί να είναι θέση αγοράς ή πώλησης. Μια θέση αγοράς (long posiion) είναι σε γενικές γραμμές μία αγορά η οποία δεν έχει ακόμη κλείσει (ισοσταθμιστεί από μια αντίστροφη συναλλαγή). Μία θέση πώλησης (shor posiion), σε αντίθεση, είναι μία πωλήση που δεν έχει ακόμη κλείσει. Μη κλεισμένες θέσεις ονομάζονται ανοικτές (open) θέσεις. Η τιμή του παράγωγου προϊόντος συνδέεται με την εξέλιξη της τιμής άλλων, πρωτογενών προϊόντων. Έτσι, τα παράγωγα προϊόντα αναφέρονται σε μετοχές, δείκτες μετοχών, ομολογίες, συνάλλαγμα ή εμπορεύματα. Τέτοια εμπορεύματα είναι και τα προϊόντα ηλεκτρικής ενέργειας όπως ο ηλεκτρισμός. Τα πιο γνωστά παράγωγα προϊόντα είναι τα προθεσμιακά συμβόλαια (fuures και forwards), οι ανταλλαγές (swaps) και τα δικαιώματα (opions). Fuure συμβόλαιο: είναι μία νομικά δεσμευτική συμφωνία μεταξύ δύο συμβαλλομένων, εκ των οποίων ο ένας υπόσχεται να αγοράσει και ο άλλος να πουλήσει, μία συγκεκριμένη ποσότητα ενός τυποποιημένου αγαθού, σε κάποια συγκεκριμένη μελλοντική ημερομηνία, σε μία καθορισμένη τιμή συναλλαγής. Συναλλάσσονται μέσω χρηματιστηρίου και αυτό έχει ως αποτέλεσμα τα fuures να έχουν τυποποιημένα χαρακτηριστικά τα οποία είναι γνωστά και ίδια για οποιονδήποτε θέλει να πάρει μια θέση σε κάποιο από τα fuures που διαπραγματεύονται στο χρηματιστήριο. 11

Forward συμβόλαιο: ένα προθεσμιακό συμβόλαιο (forward) αποτελεί μια συμφωνία που επιτεύχθηκε σε μια χρονική στιγμή για την παράδοση ενός προϊόντος σε μια συγκεκριμένη μελλοντική ημερομηνία, σε μια τιμή που καθορίστηκε κατά τον χρόνο της σύμβασης. Συναλλάσονται εκτός χρηματιστηρίου στη λεγόμενη μη οργανωμένη αγορά παραγώγων (OTC) συνήθως ανάμεσα σε δυο οικονομικά ινστιτούτα τα οποία καθορίζουν μεταξύ τους τις λεπτομέρειες του συμβολαίου. Μέσω της αγοράς αυτής οι επενδυτές απολαμβάνουν πλεονεκτήματα όπως, να καθορίζουν τους όρους των συμβολαίων, να κάνουν συμβόλαια στα μέτρα τους, ενώ διασφαλίζουν και μια εμπιστευτικότητα στις συναλλαγές τους. Τα μειονεκτήματα της αγοράς αυτής είναι ότι δεν έχει επαρκή διαφάνεια, δεν ελέγχεται, δεν υπακούει σε επαρκείς προληπτικούς κανόνες και κανονισμούς, δεν υπάρχει όργανο να εγκρίνει τα προϊόντα που διαπραγματεύονται, ούτε όργανο να περιορίζει τις τοποθετήσεις σε αυτή, ενώ δεν υπάρχει οργανισμός εκκαθάρισης να εγγυηθεί τις συναλλαγές και επομένως, δεν αντιμετωπίζεται ο πιστωτικός κίνδυνος. Swaps (ανταλλαγές): Η ανταλλαγή (swap) είναι η συμφωνία μεταξύ δύο μερών, που λέγονται αντισυμβαλλόμενοι, να ανταλλάξουν χρηματορροές σε μια περίοδο, στο μέλλον. Opion (δικαιώματα): Μία συμφωνία η οποία δίνει στον αγοραστή το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση να αγοράσει ή να πουλήσει το υποκείμενο αγαθό σε μία καθορισμένη τιμή, κατά τη διάρκεια μίας χρονικής περιόδου ή σε μία συγκεκριμένη μελλοντική ημερομηνία.. Spread Opions Στον τομέα της ηλεκτρικής ενέργειας τα κυριότερα παράγωγα προϊόντα είναι τα spread opions. Θα κάνουμε μια αναφορά στα είδη των spread opions. Βλέπε [7],[16] Οι βασικότερες κατηγορίες spread opions είναι οι εξής: Αυτά που στηρίζονται στη διαφορά ανάμεσα στις τιμές του ίδιου εμπορεύματος σε δυο διαφορετικές περιοχές (locaion spreads). Αυτοί που διαπραγματεύονται locaional spread, (locaional spread raders ) προσπαθούν να αντασφαλίσουν τον κίνδυνο που προκύπτει από την μεταφορά και την μεταβίβαση με fuures συμβόλαια στο ίδιο εμπόρευμα με φυσικές παραδόσεις σε δύο διαφορετικές περιοχές 1

Αυτά που στηρίζονται στη διαφορά ανάμεσα στις τιμές του ίδιου εμπορεύματος σε δυο διαφορετικές χρονικές στιγμές (calendar spreads). Αυτοί που διαπραγματεύονται calendar spreads (emporal spread raders) προσπαθούν να επωφεληθούν από τις διαφορές των τιμών του ίδιου εμπορεύματος σε δυο διαφορετικές μέρες στο μέλλον. Τα crack spread opions που χρησιμοποιούνται κυρίως στις αγορές πετρελαίου και λέγονται αλλιώς και paper refineries Τα spark spread opions ή γνωστά και σαν paper plans. Τα πιο διαδεδομένα στις ενεργειακές αγορές όμως είναι τα crack spread opions και τα τα spark spread opions. Στο κεφάλαιο 3 θα εξετάσουμε αναλυτικά την περίπτωση των Spark Spread Opions και θα αναφέρουμε μοντέλα αποτίμησης αυτών των συμβολαίων..3 Tα εμπόδια στην ανάπτυξη της αγοράς παραγώγων ηλεκτρικής ενέργειας Αν και η χρήση των παραγώγων προϊόντων στην αγορά ηλεκτρικής ενέργειας είναι θεωρητικά αναγκαία όπως είπαμε προηγουμένως, στην πράξη η αγορά αυτή δεν φαίνεται να αναπτύσσεται με γρήγορους ρυθμούς. Πολλές μεγάλες εταιρείες διαπραγμάτευσης τέτοιων συμβολαίων έχουν ήδη κλείσει και οι υπόλοιπες δεν εμφανίζουν καλή εικόνα. Ακόμα, οι δείκτες σε μεγάλα χρηματιστήρια παραγώγων ηλεκτρικής ενέργειας του εξωτερικού δεν εμφανίζουν ανοδική πορεία. Τα εμπόδια στην ανάπτυξη της αγοράς παραγώγων ηλεκτρικής ενέργειας είναι πολυάριθμα: Το υπάρχον σύστημα ανεφοδιασμού είναι αρκετά παλιό. Οι αγορές ηλεκτρικής ενέργειας υπόκεινται στους ομοσπονδιακούς και κρατικούς κανονισμούς 13

Σαν προϊόντα, η ηλεκτρική ενέργεια έχει πολλές μοναδικές πτυχές, συμπεριλαμβανομένης της στιγμιαίας παράδοσης, της μη αποθηκευτικής ικανότητας και της ακραίας αστάθειας τιμών. Υπάρχουν επίσης ουσιαστικά προβλήματα με την διαμόρφωση των τιμών των παράγωγων προϊόντων, το αποτελεσματικό arbirage, τους πιστωτικούς κίνδυνος (credi risk), τους κινδύνους από αθέτηση εκπλήρωσης υποχρέωσης (defaul risk). 3. Spark spread opions 3.1 Γενικά-Ορισμός των Spark Spread Opions Tα spark spread opions είναι συμβόλαια τα οποία δίνουν τη δυνατότητα αγοράς της διαφοράς της τιμής του ηλεκτρισμού και του καυσίμου για παράδειγμα του φυσικού αερίου ανάλογα με την αποδοτικότητα του εργοστασίου. Χρησιμοποιούνται για αντισταθμιστικούς σκοπούς και για να εκτιμήσουν την παραγωγική ικανότητα των μονάδων παραγωγής ηλεκτρισμού που χρησιμοποιούν π.χ φυσικό αέριο για πρώτη ύλη. Τέτοια συμβόλαια προστατεύουν τον παραγωγό ηλεκτρισμού σε περιπτώσεις που είναι πολύ υψηλές οι τιμές του καυσίμου. Ο ιδιοκτήτης ενός εργοστασίου παραγωγής ηλεκτρισμού μπορεί να αγοράσει spark spread opions για μελλοντική παράδοση προκειμένου να εξασφαλίσει ή να αντισταθμίσει τα κέρδη της εταιρείας. Τα spark spread opions είναι opion συμβόλαια γραμμένα στην διαφορά της τιμής του ηλεκτρισμού και του καυσίμου που χρησιμοποιείται για να παραχθεί ο ηλεκτρισμός και μπορεί να είναι είτε η τρέχουσα τιμή είτε η forward τιμή. Ένα spark spread opion δινει στον αγοραστή το δικαιωμα αλλα όχι την υποχρέωση να αγοράσει την διαφορά της τιμής ανάμεσα στον ηλεκτρισμό και στο καύσιμο ανάλογα με την αποδοτικότητα του εργοστασίου. Αυτό το spread καθορίζει την οικονομική αξία των μονάδων παραγωγής (generaion asses) που χρησιμοποιούνται για να μετατρέψουμε το καύσιμο (συνήθως φυσικό αέριο) σε ηλεκτρισμό. Τα συμβόλαια που διαπραγματεύονται πιο συχνά είναι τα ακόλουθα Tο 4 : 3 spark spread το οποίο περιέχει τέσσερα συμβόλαια ηλεκτρισμού και τρία συμβόλαια καυσίμου Tο 5 : 3 spark spread το οποίο περιέχει πέντε συμβόλαια ηλεκτρισμού και τρία συμβόλαια καυσίμου 14

3. Τα κυριότερα συμβόλαια Διακρίνονται σε: Spark spread call opion Ένα ευρωπαϊκό spark spread call opion γραμμένο σε ένα καύσιμο G με ένα καθορισμένο (ή srike ) hea rae Κ Η δίνει στον κάτοχο του opion το δικαίωμα και όχι την υποχρέωση να πληρώσει Κ Η φορές την τιμή της μονάδας του καυσίμου G την χρονική στιγμή Τ που είναι ο χρόνος ωρίμανσης του (mauriy) και να λάβει την τιμή μιας μονάδα ηλεκτρισμού. Ας θεωρήσουμε S E T και S G T να είναι οι τρέχουσες τιμές του ηλεκτρισμού και του καυσίμου την στιγμή Τ αντίστοιχα και να συμβολίσουμε την αξία του opion την στιγμή ως C 1 (S E T,S G T,). Τότε η απολαβή του opion στην στιγμή Τ είναι C 1 (S E T,S G T,)=max(S E T -K H S G T,0) Spark spread pu opion Eνα ευρωπαϊκό spark spread pu opion γραμμένο σε ένα καύσιμο G με ένα καθορισμένο (ή srike) hea rae Κ Η δίνει στον κάτοχο του opion το δικαίωμα και όχι την υποχρέωση να πληρώσει την τιμή μιας μονάδα ηλεκτρισμού και να λάβει Κ Η φορές την τιμή της μονάδας του καυσίμου G την χρονική στιγμή Τ που είναι η mauriy του. Ας θεωρήσουμε S E T και S G T να είναι οι τρέχουσες τιμές του ηλεκτρισμού και του καυσίμου την στιγμή Τ αντίστοιχα και να συμβολίσουμε την αξία του opion την στιγμή ως P 1 (S E T,S G T,).Τότε η απολαβή του opion στην στιγμή Τ είναι P 1 (S E T,S G T, )=max (K H S G T -S E T, 0) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα European calls πάνω σε ένα δείκτη του τύπου S() = F e () HF g (), όπου τα Fe() και Fg() υποδηλώνουν τις τιμές των fuures συμβολαίων στην ηλεκτρική ενέργεια και στο καύσιμο, αντίστοιχα, και το H είναι το hea rae, ή ο παράγοντας αποδοτικότητας ενός εργοστασίου (μιας μονάδας παραγωγής). Το hea rae ορίζεται σαν των αριθμό των Briish hermal unis (Bus) από το καύσιμο που χρησιμοποιείται (μετρημένο σε εκατομμύρια) για να παραχθεί μία μεγαβατώρα (MWh) ηλεκτρισμού. Συνεπώς, όσο χαμηλότερο είναι το hea rae τόσο πιο αποδοτικό είναι το εργοστάσιο. Και όσο πιο χαμηλό είναι το hea rae τόσο πιο 15

χαμηλή είναι και η τιμή του καυσίμου και όσο πιο υψηλή είναι η τιμή του ηλεκτρισμού τόσο πιο μεγάλο είναι το spark spread 3.3 Xρήση των spark spread opions για να εκτιμήσουμε την παραγωγική ικανότητα μιας μονάδας παραγωγής (αερίου) Μια από τις πιο ενδιαφέρουσες χρήσεις των spark spread opions είναι στην αποτίμηση ενός πραγματικού περιουσιακού στοιχείου και στην εκτίμηση της παραγωγικής ικανότητας ενός εργοστασίου. Το δικαίωμα να χειριζόμαστε εργοστάσιο παραγωγής με παράγοντα αποδοτικότητας (hea rae) H, το οποίο χρησιμοποιεί καύσιμο g για να παράγει ηλεκτρισμό, δίνεται απο την αξία ενός spark spread opion με srike" hea rae H γραμμένο στο καύσιμο g που χρησιμοποιείται. Αυτή η ισοδυναμία ανάμεσα στην αξία των καταλλήλως προσδιορισμένων spark spread opions και στο δικαίωμα να χειριζόμαστε ενα στοιχείο παραγωγής ηλεκτρισμού,π.χ ένα εργοστάσιο μπορεί εύκολα να χρησιμοποιηθεί για να αποτιμήσουμε ένα τέτοιο περιουσιακό στοιχείο. Θεωρούμε ότι: 1) Απότομες αλλαγές στην παραγωγή ή στη ζήτηση ηλεκτρισμού μπορεί να συμβούν χωρίς αυτό να επηρεάζει αισθητά την διαδικασία αποτίμησησης ) Τα λειτουργικά έξοδα του εργοστασίου και τα έξοδα συντήρησης παραμένουν σταθερά Το hea rae αναφέρεται συχνά και ως βαθμός αποτελεσματικότητας. Μια μονάδα παραγωγής π.χ αερίου μπορεί να θεωρηθεί και σαν μια σειρά από spark spread opions: Όταν το hea rae που επάγεται από τις τρέχουσες τιμές του ηλεκτρισμού και του καυσίμου είναι πιο μεγάλο από το λειτουργικό hea rae του εργοστασίου, τότε ο κάτοχος του εργοστασίου πρέπει να αγοράσει το καύσιμο που χρησιμοποιεί, να παράγει ενέργεια-ηλεκτρισμό και να την πουλήσει για να επωφεληθεί. αλλιώς, ο ιδιοκτήτης πρέπει να σταματήσει την λειτουργία του εργοστασίου, π.χ.,οταν το hea rae που επάγεται από τις τρέχουσες τιμές του ηλεκτρισμού και του καυσίμου είναι μικρότερο απο το λειτουργικό hea rae του εργοστασίου. 3.4 Χρήση των spark spread opions για αντιστάθμιση του κινδύνου Θα δώσουμε ένα παράδειγμα χρήσης spark spread opion στην αντιστάθμιση του κινδύνου από μια απότομη αλλαγή της τιμής του ηλεκτρισμού. Ένας επενδυτής 16

(power markeer) που χρησιμοποιεί φυσικό αέριο ως καύσιμο επιθυμεί να αγοράσει ενέργεια την στιγμή Τ από την αγορά και το hea rae να μην ξεπερνά το Κ Η. Την στιγμή Τ θα πληρώσει S G min(h,k H ) και θα πάρει μια μονάδα ηλεκτρισμού. Aς υποθέσουμε ότι πουλά την ενέργεια στην spo αγορά την στιγμή Τ, η απολαβή του θα είναι S E T -S G T min (H, K Η ) Έχοντας τώρα στην κατοχή του ενα ευρωπαϊκού τύπου Spark spread call opion με srike hae rae K H θα εξασφαλίσει την απολαβή max(s E T -K H S G T,0). O επενδυτής (power markeer) μπορεί λοιπόν να πετύχει το στόχο του αγοράζοντας το spark spread call. 4. Aποτίμηση συμβολαίων spark spread opions 4.1 Μοντελοποίηση των τιμών των εμπορευμάτων-προϊόντων που χρησιμοποιούνται Η αποτίμηση αυτών των spark spread opions απαιτεί μοντέλα στοχαστικών διαδικασιών για την τιμή του ηλεκτρισμού και για την τιμή του καυσίμου καθώς και τη συσχέτιση τους (αφού το καύσιμο χρησιμοποιείται για την παραγωγή ενέργειας). Το να μοντελοποιήσουμε τις τιμές του ηλεκτρισμού είναι ιδιαίτερα δύσκολο μιας και οι τιμές είναι αρκετά ρευστές στις διάφορες χρονικές στιγμές. [7] Σε αντίθεση με τα περισσότερα commodiies ο ηλεκτρισμός δεν μπορεί να αποθηκευτεί σε λογικό κόστος. Συνεπώς η τιμή του είναι συνάρτηση της στιγμιαίας προσφοράς και ζήτησης. Αυτο συνδυαζόμενο με το γεγονός οτι η αποθήκευση του ηλεκτρισμού είναι ακριβή οδηγεί σε μια απότομη καμπύλη προσφοράς, η οποία κάνει την τιμή του ηλεκτρισμού να είναι πιο ασταθής από τα περισσότερα άλλα εμπορεύματα (παρατηρείται ισχυρή αναστροφή στο μέσον στην τιμή του ηλεκτρισμού σε βραχυπρόθεσμους ορίζοντες). Αυτές οι απότομες αλλαγές στην τιμή μπορούν να μοντελοποιηθούν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους, όπως: jump processes,regime swiching, sochasic volailiy. 17

Στην πρώτη περίπτωση τα άλματα είναι πολύ μικρής διάρκειας και για παράδειγμα μπορεί να οφείλονται σε ξαφνικές διακοπές λειτουργίας των εργοστασίων παραγωγής ενέργειας. Στο δεύτερο μοντέλο, μόλις πραγματοποιηθεί μια αιφνιδιαστική μεταβολή στην τιμή, οι τιμές παραμένουν σε ταραγμένη κατάσταση μέχρι μια δεύτερη αιφνιδιαστική μεταβολή τις φέρει στα φυσιολογικά τους επίπεδα. Ενώ στην τρίτη περίπτωση οι τιμές περνούν από περιόδους με υψηλή μεταβλητότητα σε περιόδους με πιο χαμηλή μεταβλητότητα.. Αυτές οι απότομες εμφανίσεις υψηλής μεταβλητότητας μπορούν να προκληθούν από ασυνήθιστα καιρικά φαινόμενα (απροσδόκητα κρύο ή ζεστό καιρό ή υψηλή ή χαμηλή βροχόπτωση). Η επιλογή ανάμεσα στις 3 προσεγγίσεις δεν είναι ξεκάθαρη αλλα φαίνεται οτι η στοχαστική volailiy είναι καταλληλότερη στην περίπτωση της Ευρώπης διότι οι περίοδοι μεταβλητότητας συνεχίζουν για αρκετές μέρες και γιατί δεν υπάρχουν ξεκάθαρα καθεστώτα. Έχουν προταθεί πολλά μοντέλα για τις τιμές του ηλεκτρισμού. Για παράδειγμα οι Schwarz-Smih,Lucia-Schwarz,Pilipovic έχουν προτείνει μοντέλα παραγόντων με βραχυπρόθεσμους και μακροπρόθεσμους παράγοντες (shor and long erm facors) τα οποία μπορεί να ειναι ιδανικά όταν μελετάμε την αξία σε μακροχρόνιες περιόδους. Ενα μειονέκτημα αυτών των μοντέλων είναι οτι αποτυγχάνουν να παρουσιάσουν την υψηλή μεταβλητότητα που παρατηρείται στις αγορές του ηλεκτρισμού. Ενα άλλο είναι οτι η εκτίμηση των παραμέτρων είναι πολύπλοκη λόγω του πλήθους των παραμέτρων και των συσχετίσεων μεταξύ των πολλών διαφορετικών παραγόντων των μοντέλων. Οι ερευνητές στην προσπάθεια τους να ταιριάξουν τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται στην αγορά των φυσικών προιόντων με αυτά των υπολοίπων αγορών,έχουν χρησιμοποιήσει διάφορα τεχνάσματα για να καλύψουν τις ιδιαιτερότητες αυτής της αγοράς. Το μεγαλύτερο πρόβλημα που δημιουργείται, από αδυναμία εφαρμογής της θεωρίας της μη ύπαρξης ευκαιριών arbirage, ξεπεράστηκε με την είσοδο κάποιων παραγόντων όπως για παράδειγμα το κόστος αποθήκευσης, Οι στοχαστικές διαδικασίες που χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση των τιμών των commodiy χωρίζονται σε κατηγορίες : α) στις διαδικασίες που ακολουθούν γεωμετρική κίνηση Brown και β) στις διαδικασίες που παρουσιάζουν αναστροφή στο μέσο. Αυτό το μέσο επίπεδο ερμηνεύεται σαν το κόστος παραγωγής (cos of producion). Στην πράξη τα πρώτα μοντέλα υπερεκτιμούν τα spark spread opion. 4. Αποτίμηση με closed form formulae Ένας καλός τρόπος τιμολόγησης συγκυριακών συμβολαίων-παραγώγων είναι η αναπαραγωγή. Η κατασκευή δηλαδή ενος χαρτοφυλακίου που ονομάζεται 18

αναπαράγων χαρτοφυλάκιο και το οποίο μπορεί να αναπαράγει τις απολαβές οποιουδήποτε τίτλου την χρονική στιγμή που λήγει το συμβόλαιο. Κάθε άλλη χρονική στιγμή θα έχει την ίδια αξία με το συγκυριακό συμβόλαιο. Επειδή ο ηλεκτρισμός δεν μπορεί να αποθηκευτεί, η παραδοσιακή αρχή της κατασκευής ενός χαρτοφυλακίου που θα αναπαράγει την αξία του παραγώγου δεν μπορεί να εφαρμοστεί για να το αποτιμήσουμε. Θα καλύψουμε αυτήν την αδυναμία μέσω δυναμικής διαπραγμάτευσης προθεσμιακών συμβολαίων με την κατάλληλη ημερομηνία λήξης. Θα φτιάξουμε δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο που θα περιέχει συμβόλαια fuures και τον βέβαιο τίτλο. Στην λήξη θα πρέπει η τιμή του fuure συμβολαίου να συγκλίνει στην τρέχουσα τιμή εκείνη τη στιγμή. Για να γίνει αυτό υποθέτουμε οτι για κάθε μελλοντική χρονική στιγμή υπάρχει ενα συμβόλαιο fuure και οτι οι forward τιμές συγκλίνουν στις τρέχουσες τιμές των προιόντων όσο πλησιάζει η ημερομηνία παράδοσης. Και οι δυο υποθέσεις στην πράξη δεν στέκουν καλά. Έχουν προταθεί διάφορα μοντέλα στην προσπάθεια να βρεθεί η τιμή ενός spark spread opion. Η φύση του ηλεκτρισμού και γενικά όλων τον commodiies έχουν δυσκολέψει αρκετά τους ερευνητές αλλά η χρησιμοποίηση διαφόρων εργαλείων μας έχει φέρει σε αποτελέσματα που φαίνεται στην πράξη να μας βολεύουν. Τα πιο συχνά μοντέλα για τρέχουσες τιμές ενέργειας είναι τύπου Ornsein-Uhlenbeck και περιέχουν χαρακτηριστικά όπως αναστροφή στο μέσον και άλματα. Συνήθως τα spark spread opions είναι γραμμένα στην διαφορά των forward τιμών των δυο υποκείμενων εμπορευμάτων,δηλαδή του ηλεκτρισμού και του καυσίμου. Τα forward συμβόλαια γραμμένα στο καύσιμο και στον ηλεκτρισμό διαπραγματεύονται με παράδοση σε μια περίοδο και όχι σε συγκεκριμένη μελλοντική στιγμή. Σε αυτά που χρησιμοποιείται η γεωμετρική κίνηση Brown παρατηρείται υπερτίμηση των spark spread opions. 5. Μοντέλα που έχουν προταθεί Τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν προταθεί για τις αγορές των φυσικών εμπορευμάτων (commodiies) χωρίζονται σε δυο κατηγορίες: α) σε αυτά που στηρίζονται σε κάποιους βασικούς υποκείμενους παράγοντες (facor models) β) σε αυτά που στηρίζονται στη δυναμική ολόκληρης της καμπύλης των προθεσμιακών τιμών Aρχικά θα μελετήσουμε τα πρώτα στις παραγράφους [5.1-5.6] και μετά τα δεύτερα στην παράγραφο [5.7]. 19

Οι στοχαστικές διαδικασίες που περιγράφουν τις τιμές των υποκείμενων μεταβλητών μπορεί να ακολουθούν γεωμετρική κίνηση Brown ή να είναι γεωμετρικές Ornsein Uhlenbeck διαδικασίες. ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ PDEs (parial differenial equaions) Τα ουδέτερα ως προς τον κίνδυνο δυναμικά των υποκείμενων δεικτών ικανοποιούν ένα δυδιάστατο σύστημα από Ιo στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις του τύπου ds = S [ µ (, S( )) d + σ (, S( ))[ ρ(, S( )) dw ( ) + 1 ρ(, S( )) dw ( )]] 1 1 1 1 1 ds = S [ µ (, S( )) d + σ (, S( )) dw ( )] όπου συμβολίζουμε με S το ζευγάρι (S 1,S ) και W 1, W είναι ανέξαρτητες κινήσεις Brown. Aν συμβολίσουμε την συνάρτηση απολαβής του spread σαν f(x 1, x )=(x -x 1 -K) + και θέσουμε u(t,x 1,x )=f(x 1,x ) λύνοντας την PDE 1 1 ( + σ1 x1 xx + ρσ 1 1σ xx 1 xx + σ 1 x xx + µ 1x1 x + µ 1 x x ru ) = 0 παίρνουμε την λύση T r( s, S ( s)) ds u(, x1, x) = E e f( S( T)) S(0) = ( x1, x) Αυτοί οι τύποι είναι πολύ γενικοί όμως και δεν μας βοηθάνε στον απώτερο σκοπό μας που είναι η εύρεση λύσεων κλειστού τύπου (closed form soluions). Γι αυτό περιοριζόμαστε σε πιο ειδικές περιπτώσεις όπως να θεωρήσουμε τα μ,σ,ρ σταθερά, ανεξάρτητα δηλαδή και από το χρόνο αλλά και από τα S 1 και S. Θέτοντας W1() = ρw 1() + 1 p W () και W() = W () οι οποίες είναι συσχετισμένες κινήσεις Brown με συσχέτιση ρ, παίρνουμε ότι dsi () = µ id + σidwi() με i=1, S () i Oι λύσεις δίνονται από την γεωμετρική κίνηση Brown S i ()=S i (0)exp[(μ i -σ i /)+σ i W i ()] με i=1, Οι τιμές της S i είναι log-normal κατανεμημένες. Στα μοντέλα που βασίζονται στα δυναμικά των τιμών της spo αγοράς, η αναστροφή στο μέσον που παρατηρείται (mean reversion) μπορεί να περιγραφεί με geomeric Ornsein Uhlenbeck διαδικασίες, του τύπου: 0

ds () = S ()[ λ (log S () a ) d + σ dw ()] i i i i i i i όπου οι σταθερές λ i είναι θετικές και λέγονται mean reversion coefficiens. Μπορούν να εκτιμηθούν εύκολα από τα ιστορικά δεδομένα (hisorical daa). Οι παράμετροι σ i και α i ομοίως μπορούν να εκτιμηθούν από τα ιστορικά δεδομένα. Η πρώτη, που είναι η μεταβλητότητα (volailiy), μπορεί να εκτιμηθεί εμπειρικά από την διακύμανση (variance) των αυξήσεων των λογαρίθμων, ενώ η δεύτερη είναι μια απλή συνάρτηση της τιμής που θεωρείται σαν το μέσο σημείο επιστροφής (mean reversion level). Θέτοντας Χ()=logs() με εφαρμογή του τύπου του Io περνούμε dx()=-λ[χ()-μ]d+σdw() βλέπουμε δηλαδή ότι οι λογάριθμοι των δεικτών είναι Ornsein Uhlenbeck διαδικασίες. 5.1 Deng-Johnson-Sogomonian(1999) Στο [5] παρουσιάζεται μια μεθοδολογία για την αποτίμηση ενεργειακών παραγώγων κατασκευάζοντας χαρτοφυλάκια που περιέχουν fuure συμβόλαια και ένα βέβαιο τίτλο. Θα παρουσιάσουμε συνοπτικά αυτό το μοντέλο, παίρνοντας δυο περιπτώσεις. Στη πρώτη οι διαδικασίες να ακολουθούν γεωμετρική κίνηση Brown και στη δεύτερη να παρουσιάζουν αναστροφή στο μέσον. Θα θεωρήσουμε αρχικά τις διαδικασίες των fuure τιμών του ηλεκτρισμού και του καυσίμου οτι ακολουθούν γεωμετρική κίνηση Brown. Αυτές θα είναι της μορφής: df E /F E =μ Ε d+σ Ε db 1 df G /F G =μ G d+σ G db οπου Β 1 και Β είναι δυο Wiener διαδικασίες με συσχέτιση ρ και μ Ε, μ G, σ Ε, σ G είναι σταθερές. Aν η αξία του spark spread είναι της μορφής V (x,y, )=C 1 (F E,T,F G,T,T-) τότε κατασκευάζοντας ένα χαρτοφυλάκιο με τα fuure συμβόλαια του ηλεκτρισμού και του καυσίμου και με το βέβαιο τίτλο, θα πρέπει να ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση 1

1 V + x Vxxσ x + ρσ xσ yxyvxy + y Vyyσ y = 0 με τις συνοριακές συνθήκες V(x,y,0)=max(x-y,0), V(x,0,)=x, V(0,y,)=0 Η λύση κλειστού τύπου για την C 1 θα δίνεται από την : όπου τ=t- C 1 (F E,T,F G,T,τ)=e -rτ [F E,T Ν(d 1 )-Κ Η F G,T Ν(d )] και d 1 = 1 F K F + υ T T, T, ln( e /( H g )) ( ) / d = d υ Τ υ T υ = σ ρσ σ + σ e e g g Θα θεωρήσουμε τώρα τις διαδικασίες των fuure τιμών του ηλεκτρισμού και του καυσίμου ότι ακολουθούν διαδικασίες που παρουσιάζουν αναστροφή στην μέση τιμή (mean revering processes). Αυτές οι στοχαστικές διαδικασίες θα είναι οι df E =κ Ε (μ Ε -lnf E )F E d+σ E ()F E db 1 df G = κ G (μ G -lnf G )F G d+σ G ()F G db οπου σ E () και σ G () είναι συναρτήσεις του χρόνου και μ Ε και μ G είναι οι μακροπρόθεσμες μέσες τιμές κ Ε και κ G οι συντελεστές που περιγράφουν την αναστροφή στη μέση τιμή B 1 και B είναι δυο διαδικασίες Wiener με συσχέτιση ρ Ομοια με πρίν η αξία του spark spread opion θα είναι της μορφής V (x,y, )=C 1 (F E,T,F G,T,T-) και θα ισχύει η σχέση 1 V + x Vxxσx () + pσx () σ y () xyvxy + y Vyyσ y () = 0 με τις συνοριακές συνθήκες V(x,y,0)=max(x-y,0), V(x,0,)=x, V(0,y,)=0 και η λύση θα είναι η:

όπου τ=t- C 1 (F E,T,F G,T,τ)=e -rτ [F E,T Ν(d 1 )-Κ Η F G,T Ν(d )] και d 1 = T, T, ln( Fe /( KHFg )) + υ ( T ) / υ T d = d υ Τ 1 T [ σ e() ρσ e() σ g() + σ g()] υ = s s s s ds T Παρατηρούμε ότι οι παράμετροι που περιγράφουν την αναστροφή στο μέσον των fuure τιμών, δηλαδή οι παράγοντες κ και μ,δεν εμφανίζονται στους παραπάνω τύπους για την εύρεση της τιμής του spark spread opion. Αυτό οφείλεται στο ότι τα fuures συμβόλαια που είναι γραμμένα πάνω στην τιμή του ηλεκτρισμού και των καυσίμων που χρησιμοποιούνται για να τον παράγουν, είναι διαπραγματεύσιμοι τίτλοι και συνεπώς όλες οι επιδράσεις που δημιουργούταν απο την ύπαρξη αναστροφής στο μέσον εξαλείφονται με την κατασκευή ενός αναπαράγον χαρτοφυλακίου χρησιμοποιώντας fuures συμβόλαια. 5. Margrabe Formula Στην περίπτωση που οι διαδικασίες που ακολουθούν οι τιμές του ηλεκτρισμού και του καυσίμου είναι γεωμετρικές κινήσεις Brown δεν υπάρχει αναλυτικη μέθοδο αποτίμησης όπως η μέθοδο των Βlack-Scholes [βλέπε 9] για τα Spark Spread Opions,εκτός απο την περίπτωση οπου το srike Κ,δηλαδή η τιμή εξάσκησης είναι 0. Όταν έχουμε call-pu opion γραμμένο στην διαφορά της τιμής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του Margrabe για να αποτιμήσουμε το opion. [Αναλυτικότερο κείμενο υπάρχει στο 10] Στην περίπτωση αυτή Κ=0 και οι κατανομές των δύο δεικτών είναι log-normal. Θεωρούμε οτι η διαδικασία S 1 αντιστοιχεί στην διαδικασία που δίνει την τιμή του ηλεκτρισμού (S E ) και η διαδικασία S στο γινόμενο της αποδοτικότητας επι την τιμή του καυσίμου (HS G ). Σύμφωνα με την μέθοδο του Margrabe τα ουδέτερα ως προς τον κίνδυνο δυναμικά των δυο δεικτών δίνονται απο γεωμετρικές κινήσεις Brown και είναι συσχετισμένα. Αυτές μπορεί να είναι και οι στοχαστικές διαδικασίες που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο με τη μέθοδο Black Scholes δηλαδή : 3

dsi () = µ id + σidwi() με i=1, S () i Oι λύσεις δίνονται απο την γεωμετρική κίνηση Brown, [βλ. 9] και είναι της μορφής S i ()=S i (0)exp[(μ i -σ i /)+σ i W i ()] με i=1, Θεωρώντας όμως τον παράγοντα μ i= r (όπου r το ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο επιτόκιο του τραπεζικού λογαριασμού) και τις volailiies σ i σταθερές, η τιμή του spread opion θα δίνεται από ρ=x Φ(d 1 )-x 1 Φ(d 0 ) με d 1 = x ln( ) x1 σ Τ και d 0 x ln( ) x1 1 = σ Τ σ Τ όπου φ(x) και Φ(x) συμβολίζουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και την συνάρτηση κατανομής της κανονικής κατανομής Ν(0,1) αντίστοιχα και x 1 =S 1 (0), x =S (0), σ =σ 1 -ρσ 1 σ +σ Αυτός ο τύπος είναι ανεξάρτητος από το ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο επιτόκιο του τραπεζικού λογαριασμού ή γενικότερα του βέβαιου τίτλου. Αυτό συμβαίνει επειδή έχει γίνει η προσαρμογή του μέτρου, δηλαδή είμαστε σε ένα ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο πλαίσιο, όπου και οι δυο δείκτες μας αυξάνονται με τον ίδιο ρυθμό και οι ταχύτητες τους αλληλοεξουδετερώνονται στον υπολογισμό της διαφοράς του spread. Ο τύπος αυτός όμως, που είναι κλειστής μορφής, δεν μπορεί να υπολογίσει τις τιμές των opions με Κ 0. 5.3 Carmona-Durrleman Οι Carmona και Durrleman πρότεινουν στο [4] να προσεγγιστεί η διαφορά ανάμεσα στις δυο τυχαίες log-normal μεταβλητές που αντιστοιχούν στην τιμή του ηλεκτρισμού και του καυσίμου με μια κανονική τυχαία μεταβλητή, της οποίας οι τιμές μπορούν να βρεθούν εύκολα. Μοντελοποίησαν και τον ηλεκτρισμό και το καύσιμο σαν ένα γεωμετρικό μοντέλο, που συνδέονται μεταξύ τους μέσω μιας δυ-διάστατης κίνησης Brown. 4

Στην περίπτωση όπου Κ 0 θα προσπαθήσουμε να πάρουμε μια εκτίμηση για την τιμή του opion. Ισχυρίζονται ότι η καλύτερη εκτίμηση αυτής της τιμής είναι τα μέγιστο κάτω φράγμα για την τιμή αυτή. Θεωρούμε λοιπόν τις διαδικασίες ds1( ) = S1( )[( r q1) d + σ1dw1( )] ds ( ) = S ( )[( r q ) d + σ dw ( )] όπου r,q σταθερά και W κινήσεις Brown με συσχέτιση ρ S 1 (0)=x 1 και S (0)=x είναι οι αρχικές συνθήκες. Σύμφωνα με το [4] θα ακολουθήσει ένας τρόπος αποτίμησης σε socks,για την περίπτωση των fuures συμβολαίων μπορούμε πολύ εύκολα να χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία μόνο που να πάρουμε τα q 1 =q =r Eτσι η τιμή θα δίνεται από rt ( r q σ /) Τ+ σw ( T ) ( r q1 σ1 /) Τ+ σ1w1 ( T ) + 1 p= e E{( xe xe K) } Αυτή η αναμενόμενη τιμή είναι του τύπου Χ 1 / Χ / + β β δ δ Π ( αβγδκρ,,,,, ) = E{( ae γe κ) } όπου α,β,γ,δ,κ είναι σταθερές και Χ 1,Χ είναι joinly Gaussian N(0,1) τυχαίες μεταβλητές με συσχέτιση ρ. Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κανείς να δει το [3]. Έχουμε λοιπόν α = xe qt β = σ Τ qt 1 γ = xe 1 δ = σ 1 Τ rt κ = Κ e Η προσεγγιστική τιμή που βρίσκουμε από το supremum των κάτω φραγμάτων δίνεται από τον τύπο * * 1 p' = xe q T Φ ( d + σ cos( θ + φ) Τ) xe qt Φ ( d * + σ sin θ * Τ) Κe rt Φ ( d * ) 1 1 όπου το ρ=cosφ και τα θ * και d * είναι παράμετροι που προσδιορίζονται από την λύση εξισώσεων που είναι έξω από τα πλαίσια αυτής της εργασίας.[4] Ένα άλλο σημαντικό πλεονέκτημα που μας δίνει αυτή η μέθοδος είναι ο υπολογισμός των Greeks,των παραμέτρων που καθορίζουν την αντασφάλιση (hedging). To χαρτοφυλάκιο που δημιουργείται τη στιγμή από = e Φ ( d + σ cos θ Τ ) μονάδες του τίτλου S 1 και qt 1 * * 1 1 5

qt * * = e Φ ( d + σcos( θ + φ) Τ) μονάδες του τίτλου S αναπαράγει την τιμή του opion, δηλαδή η αξία του την στιγμή Τ είναι ένα κάτω φράγμα της απολαβής. Έχει προταθεί πρόσφατα [άρθρο 1] μια προσέγγιση (κλειστού τύπου) για τη τιμή ενός spread opion: Kirk s Formula x x ln( ) ln( ) rt K rt K K x1+ Ke σ rt x1+ Ke σ p = xφ ( + ) ( x1+ Ke ) Φ( ) K K σ σ όπου K χ χ σ = σ ρσ σ + σ ( ) 1 1 1 rt 1 rt χ1+κ e χ1+κe περισσότερα για αυτήν την προσέγγιση υπάρχουν στο [13] 5.4 Βachelier Model Η προσέγγιση αυτή ήταν η πρώτη για λύσεις κλειστού τύπου. Βασίζεται στην γεωμετρική κίνηση Brown. Η αρχή αυτού του μοντέλου είναι ότι η κατανομή της διαφοράς δυο τυχαίων μεταβλητών με log-normal κατανομή, μοιάζει με κανονική κατανομή. Ένα από τα χαρακτηριστικά αυτού του μοντέλου είναι ότι οι τιμές που παράγει είναι θετικές. Αυτό δεν είναι όμως χαρακτηριστικό των spread αφού σαν διαφορά θετικών ποσοτήτων μπορεί να είναι και αρνητικό. Στο [1] με την κατασκευεί ιστογραμμάτων παρατηρήθηκε ότι η κανονική κατανομή ταιριάζει καλύτερα στις τίμες αυτές και ότι οι τιμές βρίσκονται και από τις δυο μεριές του 0 κατανεμημένες. Αυτό είναι η βασική αρχή για να προταθεί η αριθμητική κίνηση Brown (arihmeic Brownian Moion) η οποία είναι κανονικά κατανεμημένη όπως είπαμε σε αντίθεση με την γεωμετρική κίνηση που είναι log-normal. Έτσι οι τιμές των opion μπορούν να υπολογισθούν με Gaussian inegrals και να οδηγηθούμε λύσεις κλειστού τύπου. Για περισσότερες λεπτομέρειες για αυτή τη μέθοδο μπορεί κανείς να δει το [11]. Yποθέτουμε ότι τα δυναμικά των γεωμετρικών κινήσεων δίνονται από τους τύπους ds1() = S1()[ µ d + σ1dw1()] ds () = S ()[ µ d + σ dw ()] Οι εξισώσεις αυτές είναι οι ίδιες με αυτές που δίνουν τα δυναμικά της γεωμετρικής κίνησης Brown που αναφέραμε πριν στην ενότητα 5., μόνο που θεωρούμε τα μ 1 =μ =μ. με αυτές τις αλλαγές βρίσκουμε ότι: 6

Η λύση της εξίσωσης είναι 1 S S o T W T i( ) = i( )exp[ µ Τ σi + σi i( )] και η προσέγγιση της διαφοράς S(T)=S (T)-S 1 (T) θα γίνει από μια κανονική κατανομή δηλαδή όπου S(T)~Ν (Ε{S (T)-S 1 (T)}, var{ S (T)-S 1 (T)}) Ε{S (T)-S 1 (T)}= ( x x1) e µτ και var{ S (T)-S 1 (T)}= s( Te ) rt συνεπώς η τιμή του opion την στιγμή Τ θα δίνεται από: rt + rt + p= e E{( S( T) K) } = E{( m( T) Ke + s( T) ξ ) } για μια τυχαία μεταβλητή ξ που ακολουθεί Ν(0,1) κατανομή. Άρα 1 rt u / p = ( m( T ) Ke s( T ) u) e du π rt m( T ) Ke ST ( ) Εάν λοιπόν η τιμή του Spread στην στιγμή ωρίμανσης έχει Gaussian κατανομή, η τιμή p του spread θα δίνεται από όπου rt rt rt m( T ) Ke m( T ) Ke p = ( m( T ) Ke ) Φ ( ) + s( T ) φ( ) st ( ) st ( ) ( ) mt ( ) ( x x1) e µ r T = και ( rt ) 1 1 s ( T) e µ σ ρσ σ σ = x1( e Τ 1) xx 1 ( e Τ 1) + x( e Τ 1) Συγκρίνοντας τις προσεγγίσεις των Kirk-Bachelier και αυτή με την τιμή ρ [βλ. 5.3 ενότητα] βλέπουμε ότι : α)η αριθμητική εφαρμογή του μοντέλου του Bachelier και της προσεγγιστικής τιμής ρ έδειξε ότι η τιμή ρ είναι πάντα μεγαλύτερη από την τιμή που δίνει το 7

μοντέλο του Bachelier και αυτό δικαιολογεί ως καλύτερη προσέγγιση της τιμής την τιμή ρ. Η απλοποιημένη μορφή του μοντέλου του Bachelier έχει το πλεονέκτημα ότι δεν χρειάζεται περαιτέρω προσδιορισμό σε αντίθεση με την τιμή ρ που πρέπει με τη βοήθεια της μεθόδου Newon-Raphson να υπολογίσουμε αριθμητικά τις (αρχικές) τιμές την στιγμή 0 της συνάρτησης. Αυτό δεν είναι όμως ιδιαίτερα δύσκολο ούτε και χρονοβόρο. β)το βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου που προσεγγίζει την τιμή ρ είναι ο εύκολος υπολογισμός των Greeks, μιας και αυτές οι τιμές είναι πολύ σπουδαίες όσο αφορά την δημιουργία χαρτοφυλακίου που θα αναπαράγει το opion μας. Ομως και η μέθοδος του Kirk μπορεί να υπολογίσει δυο dela hedges με τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης ρ Κ ως προς χ 1 και χ. Η εφαρμογή αυτών στην πράξη έδειξε ότι και τα δυο είναι εξίσου καλά με μερικές φορές η τιμή ρ να δίνει καλύτερες τιμές. Το βέβαιο είναι όμως ότι και τα δυο υπερισχύουν της μεθόδου του Bachelier. Υπάρχουν δύο λόγοι που το μοντέλο του Bachelier κάνει κακή εκτίμηση. Ο πρώτος είναι ότι βασίζεται σε μια υπόθεση για την κατανομή του η οποία ναι μεν ικανοποιεί τον τύπο αποτίμησης αλλά δεν μπορεί να παραγωγισθεί. Ο δεύτερος είναι ότι είναι μοντέλο ενός παράγοντα (one-facor model) και γι αυτό στην μοντελοποίηση της κατανομής της διαφοράς S -S 1 δεν μπορεί να συμπεριλάβει τα χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν τα μοντέλα δυο παραγόντων (log-normal). 5.5 Benh-Salye α. Μια σύντομη περιγραφή των μοντέλων που περιέχουν διαδικασίες που περιγράφουν άλματα και διαχύσεις. Πριν αναφερθούμε στο συγκεκριμένο μοντέλο θα αναφέρουμε κάποια πράγματα για τα μοντέλα που περιέχουν διαδικασίες που περιγράφουν άλματα και διαχύσεις. Αυτές οι διαδικασίες έχουν το πλεονέκτημα ότι περιγράφουν καλύτερα τα δυναμικά των τιμών των εμπορευμάτων που εμπλέκονται στην αγορά του ηλεκτρισμού. Το σημαντικότερο χαρακτηριστικό αυτών είναι οι απότομες αλλαγές λόγω των παραγόντων που ειπώθηκαν στη αρχή αυτής της εργασίας. Θα εισάγουμε τα άλματα στα, ουδέτερα ως προς τον κίνδυνο, δυναμικά των υποκείμενων περιουσιακών στοιχείων (underlying asses) S 1 και S υποθέτοντας ότι δίνονται από την στοχαστική εξίσωση: dsi () = r q λµ d + σ ι dw + e dn S () i () ( ) () ( J i i i i i 1) i() όπου Ν 1 και Ν είναι δυο ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με ένταση λ 1 και λ και είναι ανεξάρτητες απο τις W 1 και W. 8

Οι J 1 (k) και J (k),k 1 είναι δυο ανεξάρτητες ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την Gaussian κατανομή Nm ( i, s i ). Η λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι: Ni ( T) i( ) = iexp[( i σi / λµ i i) + σi i( ) + i( ) k = 1 S T x r q T W T J k Αν λοιπόν θέσουμε σύμφωνα με το [3] mi+ si / = για i=1, µ i e 1 και αν συμβολίσουμε με ρ jumps (x 1, x,σ 1,σ,ρ) την προσέγγιση της τιμής τότε θα έχουμε λ λ ( λτ)( λ Τ) p e p x x i j jumps ( 1+ ) Τ 1 ' = ) '( 1', ', σ1', σ', ρ') i= 0 j= 0 i! j! με λµ 1 1Τ+ i( m1+ s /) 1' = xe i 1 x x λµ Τ+ j( m+ s /) ' = xe σ ' = σ + is / T 1 1 1 σ ' = σ + js / T ρ ' = ρσ σ 1 σ + is / T σ + js / T 1 1 β. Η προσέγγιση των Benh-Salye 9

Οι Benh-Salye (βλ.3) προτείνουν την μοντελοποίηση της τιμής των spark spread opions με μια Ornsein-Uhlenbeck διαδικασία. Οι παράγοντες που σχετίζονται με την αβεβαιότητα των τιμών δίνονται απο μια Wiener κίνηση και απο διαδικασίες Poisson. Το βασικό πλεονέκτημα με αυτό το μοντέλο είναι οτι το spark spread των forwards συμβολαίων του ηλεκτρισμου και του αερίου, που είναι forwards με παράδοση σε περίοδο, μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά. Οι μικρές διακυμάνσεις στη διαφοράς των τιμών των μεταβλητών μοντελοποιούνται απο μια διάχυση ενώ τα μεγαλύτερα άλματα περιγράφονται με διαδικασίες Poisson. Tα δυναμικά των τιμών για τα spark spread opions με forwards συμβόλαια πάνω στην τιμή του ηλεκτρισμού και του καυσίμου, περιγράφονται αναλυτικά απο μετασχηματισμούς Fourier. Η ιδέα λοιπόν και εδώ είναι να αποτιμηθεί το opion απο ένα μοντέλο για την διαφορά του spread απευθείας και οχι ξεχωριστά να μοντελοποιήσουμε τις τιμές του ηλεκτρισμού και του αερίου. Αυτό θα μας δώσει τα δυναμικά των spark spread forward και με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Fourier εκφράσεις για τις τιμές των opions. Ο σκοπός λοιπόν είναι να μοντελοποιηθεί το spark spread κατευθείαν απο μια Ornsein-Uhlenbeck διαδικασία. Υποθέτουμε λοιπόν οτι τα δυναμικά της τιμής του Spread Opion, S() χωρίζονται σε ενα εποχικό τμήμα Λ() και σε ένα στοχαστικό τμήμα Σ() ως εξής S()=Λ()+Σ() και τα δυναμικά του Σ δίνονται απο μια non-gaussian Ornsein-Uhlenbeck διαδικασία της μορφής dσ()=-ασ()+σdβ()+dl() όπου Β είναι μια κίνηση Brown και L ειναι μια pure-jump Levy process. Οι διαδικασίες B και L είναι ανεξάρτητες. Η μεταβλητότητα σ είναι μια αρνητική σταθερά. Κάτω απο το ουδέτερο μέτρο ως προς τον κίνδυνο,με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Girsanov,τα δυναμικά της Σ δίνονται απο dσ()=(μ mpr -ασ())d+σdw()+dl() όπου μ mpr είναι η παράμετρος που θεωρείται σαν την τιμή που δίνουν οι επενδυτές για το μέγεθος του ρίσκου που αναλαμβάνει κάποιος που εμπλέκεται στην αγορά ή πώληση οποιουδήποτε ενεργειακού παραγώγου. Συχνά αυτή την τιμή την συναντάμε και με την έκφραση he marke price of risk. Kαι η λύση αυτής της εξίσωσης δίνεται απο: µ a mpr a a au a au Σ ( ) =Σ (0) e + (1 e ) + σe e dw ( u) + e e dl( u) a 0 0 Στη συνέχεια ακολουθεί ο τύπος για την εύρεση της forward τιμής, ο οποίος θα είναι της μορφής: τ 1 F = spread L( u) du λ(, τ1, τ) δ(, τ1, τ)( S( ) ( )) τ τ + + Λ 1 τ1 30