ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία της παραγράφου Παραδείγματα Εφαρμογές Ερωτήσεις κατανόησης Προτεινόμενες ασκήσεις Προβλήματα Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου

ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αλγεβρικές παραστάσεις.. Β. Πράξειις με μονώνυμα ΤΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΥ Οι πράξεις ανάμεσα σε μονώνυμα είναι πράξεις ανάμεσα σε αριθμούς. Πράγματι, οι μεταβλητές των μονώνυμων αντιπροσωπεύουν αριθμούς. Άρα, στις πράξεις μεταξύ μονώνυμων ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν στους αριθμούς. Πρόσθεση μονώνυμων Το άθροισμα δύο ή περισσότερων όμοιων μονώνυμων είναι ίσο με ένα μονώνυμο που: Είναι όμοιο με τα αρχικά μονώνυμα. Έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών των μονώνυμων. x y 4x y 7x y αβγ 5αβγ 6αβγ αβγ

Αφαίρεση μονώνυμων Η διαφορά δύο όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που: Είναι όμοιο με τα αρχικά μονώνυμα. Έχει συντελεστή τη διαφορά των συντελεστών των μονώνυμων. 6κ λκ λ 4κ λ 5xy xy 5 xy 5 5 5 Αν δύο μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε το άθροισμα και η διαφορά τους δεν είναι μονώνυμο. xy + xα Τα μονώνυμα δεν είναι όμοια άρα δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε. Πολλαπλασιασμός μονώνυμων Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων. Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της). x yz 4xy 5 5 4 x y z 6 x y z α βγ 7 α 4 βγ 5 6 α β γ 6α βγ 6 8 4 5 7 6 Διαίρεση μονώνυμων Η διαίρεση δύο μονώνυμων ορίζεται, όπως η διαίρεση αριθμών, δηλαδή: πολλαπλασιασμός του πρώτου μονώνυμου με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. α β 7 : αβ 4 α β 7 αβ 4 7 α β 74 α β α β 4 αβ Η διαίρεση δύο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο. 5 5 5 5 4x z : 5αβx 4x z 5αβx 4x z 4 x z 5αβx 5 x αβ 4xz 5 αβ 5

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Παράδειγμα ο Να γίνουν οι πράξεις: α) 7αx αx 4αx β) xy x y 4 γ) αβ : αβ 4 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα: Για να λύσω το παράδειγμα θα εφαρμόσω αυτά που έχω μάθει στη θεωρία για την πρόσθεση και την αφαίρεση όμοιων μονώνυμων (α ερώτημα), τον πολλαπλασιασμό μονώνυμων (β ερώτημα) και τη διαίρεση μονώνυμων (γ ερώτημα). Λύση 7αx αx 4αx α) Τα τρία μονώνυμα έχουν κύριο μέρος ίσο με αx άρα είναι όμοια. Επομένως μπορώ να τα προσθέσω ή να τα αφαιρέσω. 7 4αx Κάνω ομώνυμα τα κλάσματα μέσα στην παρένθεση με παρονομαστή το. 4 8 αx Βάζω όλα τα κλάσματα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το. 4 8 αx Κάνω τις πράξεις στον αριθμητή του κλάσματος. 7 αx 4

β) xy x y 4 Ο συντελεστής του γινόμενου είναι ίσος με το γινόμενο των συντελεστών. Το κύριο μέρος είναι το γινόμενο όλων των μεταβλητών με εκθέτη το άθροισμα των αντίστοιχων εκθετών. x y 4 Κάνουμε τις πράξεις. xy 4 4 Απλοποιούμε το κλάσμα. xy 4 4 6 γ) αβ : αβ 4 Η διαίρεση δύο μονώνυμων ορίζεται ως ο πολλαπλασιασμός του πρώτου μονώνυμου με το αντίστροφο του δεύτερου. 4 αβ αβ Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα που είναι σύνθετο σε απλό. Είναι αβ αβ αβ α β 4 αβ Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. των κλασμάτων. αβ 4αβ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α ν : α μ α ν μ. 6 α β 4 Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες των δυνάμεων και απλοποιούμε το κλάσμα. αβ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α ν. ν α α β 5

Παράδειγμα ο Από το σημείο Α αφήνουμε ένα σώμα να πέσει στο έδαφος. Αν ο χρόνος t σε sec που μεσολαβεί μέχρι να φτάσει στο έδαφος είναι διπλάσιος του χρόνου που θα έκανε, αν το αφήναμε να πέσει από το σημείο Β, να βρεθεί το μονώνυμο που εκφράζει την απόσταση ΑΒ. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα:? Τι κίνηση εκτελεί το σώμα κατά την κίνησή του από το σημείο Α προς το έδαφος; Το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση, δηλαδή ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 m/sec. Οι τύποι που ισχύουν στην ελεύθερη πτώση είναι: u gt και? Πώς μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΒ ως μονώνυμο; Χρησιμοποιώντας τον τύπο Λύση h gt h gt. μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΕ συναρτήσει του χρόνου t. Αν εκφράσουμε και την απόσταση ΒΕ με έναν αντίστοιχο τρόπο τότε μπορούμε να εκφράσουμε την απόσταση ΑΒ ως τη διαφορά ΑΕ ΒΕ. Αν κάνουμε τις πράξεις τότε θα φτάσουμε σε ένα μονώνυμο. ΑΕ gt Αντικαθιστούμε όπου g το 0. ΑΕ 0t Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. ΑΕ 5t Σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης, ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο έδαφος ξεκινώντας από το σημείο Β είναι διπλάσιος του αντίστοιχου χρόνου αν ξεκινήσει από το σημείο Α. Επομένως ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο έδαφος, ξεκινώντας από το σημείο Β είναι t. Άρα η απόσταση ΒΕ είναι: 6

ΒΕ t g Αντικαθιστούμε όπου g το 0. t ΒΕ 0 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν α α β β ν ν. ΒΕ t 5 Είναι 4. ΒΕ 5 t 4 Για να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ αρκεί να αφαιρέσουμε από την απόσταση ΑΕ την απόσταση ΒΕ. ΑΒ ΑΕ ΒΕ Αντικαθιστούμε όπου ΑΕ το 5t και όπου ΒΕ το 5 t. 4 ΑΒ ΑΒ ΑΒ ΑΒ 5t 5 t 4 5 5 t 4 5 4 5 t 4 4 0 5 t 4 Τα δύο μονώνυμα στο δεύτερο μέλος είναι όμοια, άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. Βάζουμε τα ομώνυμα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το 4. Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος. ΑΒ 5 t 4 Απάντηση Είναι ΑΒ 5 t. 4 7

Παράδειγμα ο Μια τσιμεντένια κυλινδρική κολώνα, που έχει ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ, ενισχύεται περιμετρικά με τσιμέντο και αποκτά ακτίνα βάσης διπλάσια της αρχικής. Ο μηχανικός ισχυρίζεται ότι το τσιμέντο που προστέθηκε έχει όγκο τριπλάσιο του αρχικού όγκου της κολώνας. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του; Πώς θα σκεφτώ για να λύσω το παράδειγμα:? Ποιον τύπο πρέπει να χρησιμοποιήσω για να υπολογίσω τον όγκο του κυλίνδρου; Ο όγκος κυλίνδρου με ακτίνα βάσης ίση με ρ και ύψος υ είναι ίσος με πρ υ.? Πώς θα ελέγξω αν είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός; Για να ελέγξω αν είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός: Θα υπολογίσω πόσος ήταν ο αρχικός όγκος. Θα υπολογίσω πόσος ήταν ο τελικός όγκος. Θα αφαιρέσω από τον τελικό όγκο τον αρχικό όγκο για να βρω τον όγκο που προστέθηκε. Θα ελέγξω αν ο όγκος που προστέθηκε είναι τριπλάσιος από τον αρχικό όγκο. Λύση Ο αρχικός όγκος V της τσιμεντένιας κυλινδρικής κολώνας ήταν V πρ υ. Μετά την ενίσχυση της κολώνας, η κολώνα αποκτά διπλάσια ακτίνα βάσης, δηλαδή ακτίνα ίση με ρ. Ο όγκος V της ενισχυμένης κυλινδρικής κολώνας είναι V π(ρ) υ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (αβ) ν α ν β ν. V π 4ρ υ Μετακινούμε τον συντελεστή αριστερά. Άρα ο όγκος V της ενισχυμένης κυλινδρικής κολώνας είναι: V 4πρ υ 8

Το τσιμέντο που προστέθηκε είναι ίσο με τη διαφορά V V του τελικού από τον αρχικό όγκο. V V Αντικαθιστούμε όπου V το 4πρ υ και όπου V το πρ υ. 4πρ υ πρ υ Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. (4 )πρ υ Κάνουμε την αφαίρεση μέσα στην παρένθεση. πρ υ Επομένως είναι V V πρ υ. Άρα ο όγκος που προστέθηκε (πρ υ) είναι τριπλάσιος από τον αρχικό όγκο (πρ υ). 9

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ η ερώτηση κατανόησης Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο. β) Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. γ) Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο. δ) Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην ερώτηση:? Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο; Ναι, το άθροισμα δύο ή περισσότερων όμοιων μονώνυμων είναι πάντα ένα μονώνυμο (όμοιο με τα αρχικά). Βάζουμε Σ? Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο; Όχι πάντα. Όπως μάθαμε στη θεωρία, η διαφορά δύο όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο (όμοιο με τα αρχικά). Αν όμως τα μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε η διαφορά τους δεν μπορεί να γραφεί ως μονώνυμο. Βάζουμε Λ? Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο; Ναι, το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι πάντα μονώνυμο. Βάζουμε Σ? Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο; Όχι. Το πηλίκο δύο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο. Βάζουμε Λ 0

Απάντηση α) Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι μονώνυμο. Σ β) Η διαφορά δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Λ γ) Το γινόμενο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Σ δ) Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι μονώνυμο. Λ η ερώτηση κατανόησης Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) 5x x... β) 5x x... γ) x y x... δ) 4x y yx... ε) xy y... στ) 6x y : xy... ζ) 5x ω... x y 4x 0x ω η) θ) x y... 4x y... y 4 6 4 Πώς θα σκεφτώ για να απαντήσω στην ερώτηση: Για να απαντήσω στην ερώτηση πρέπει να κάνω τις πράξεις ανάμεσα στα μονώνυμα, όπου αυτό είναι δυνατό. Απάντηση α) 5x x Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 5 x Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. x β) 5x x Για να βρούμε το γινόμενο δύο μονώνυμων πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές τους και τις αντίστοιχες μεταβλητές τους. 5x Κάνουμε την πρόσθεση στον εκθέτη του x. 5 0x γ) x y x Τα μονώνυμα x και x είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

x y Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. 5x y δ) 4x y yx Είναι x y yx. Επομένως τα δύο μονώνυμα είναι όμοια και μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. 4 x y Κάνουμε την αφαίρεση μέσα στην παρένθεση. x y ε) xy y Για να βρούμε το γινόμενο δύο μονώνυμων πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές τους και τις αντίστοιχες μεταβλητές τους. xy Κάνουμε την πρόσθεση στον εκθέτη του y. xy στ) 6x y : xy Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με το αντίστροφο του δεύτερου. 6x y Πολλαπλασιάζουμε. xy 6x y xy Απλοποιούμε το κλάσμα. x μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. x x x ζ) 5x ω... 0x ω 4 6 4 Πρέπει να συμπληρώσουμε μέσα στην παρένθεση το μονώνυμο που λείπει.

Ξέρουμε ότι το γινόμενο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των δύο μονώνυμων. Αν είναι α ο συντελεστής το μονώνυμου που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση είναι: 5 α 0. Επομένως είναι α 0 : 5, δηλαδή ο συντελεστής του μονώνυμου που πρέπει να συμπληρώσουμε είναι. Ακόμη ξέρουμε ότι το γινόμενο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο: που έχει κύριο μέρος το γινόμενο των μεταβλητών των μονώνυμων με εκθέτες το άθροισμα των εκθετών των αντίστοιχων μεταβλητών στα δύο μονώνυμα. Άρα είναι: Αν είναι β ο εκθέτης του x τότε: x 4 x β x 6, δηλαδή x 4 + β x 6. Επομένως είναι 4 + β 6 β 6 4, δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το x. Αν είναι γ ο εκθέτης του ω τότε: ω ω γ ω 4, δηλαδή ω + γ ω 4. Επομένως είναι + γ 4 γ 4, δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το ω. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο μονώνυμο είναι το x ω. η) x y... 4x y Πρέπει να συμπληρώσουμε στον παρονομαστή το μονώνυμο που λείπει. Το πηλίκο των συντελεστών των μονώνυμων στο πρώτο μέλος πρέπει να είναι ίσο με τον αριθμό στο δεύτερο μέλος. Αν είναι α ο συντελεστής του μονώνυμου τότε: 44α α α. α 4 δηλαδή ο συντελεστής του μονώνυμου που πρέπει να συμπληρώσουμε είναι.

Ακόμη, το πηλίκο των μεταβλητών στον πρώτο μέλος πρέπει να είναι ίσο με το πηλίκο των μεταβλητών στο δεύτερο μέλος. Άρα είναι: Αν είναι β ο εκθέτης του x τότε: Αν είναι δ ο εκθέτης του y τότε: x x β x, δηλαδή x β x. y δ y y, δηλαδή yδ y y. Επομένως είναι β β β δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το x. Επομένως είναι y δ y δ δηλαδή το μονώνυμο έχει στο κύριο μέρος του το y. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο μονώνυμο είναι το xy. θ) x y... 4x y Παρατηρούμε ότι τα δύο μονώνυμα που μας δίνονται έχουν το ίδιο κύριο μέρος (x y), άρα είναι όμοια. Αν είναι Α το ζητούμενο μονώνυμο τότε είναι: x y A 4x y Λύνουμε ως προς Α. x y + 4x y A A ( + 4)x y Τα μονώνυμα x y και 4x y είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. Α 7x y Άρα το ζητούμενο μονώνυμο είναι το 7x y. 4

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άσκηση η Να κάνετε τις πράξεις: α) 7x y 4x y β) 4αx 6αx αx γ) 6x 9 x 4 4 δ) 05αβ, 05αβ, 05αβ, ε) xy ω xy, ω στ) 5 x 4 x x Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση: Για να λύσω την άσκηση, θα κάνω τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ανάμεσα στα μονώνυμα. Παρατηρώ ότι τα μονώνυμα σε κάθε πολυώνυμο είναι όμοια μεταξύ τους, άρα οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις μπορούν να γίνουν εύκολα. Λύση α) 7x y 4x y Προσθέτουμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας τους συντελεστές τους. 7 4x y Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. x y β) 4αx 6αx αx Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 46 αx αx Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. γ) 9 6x x Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 5

9 6 x Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. 6 9 x Βάζουμε τα ομώνυμα κλάσματα σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το. 9 x Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος. x δ) 05αβ, 05αβ, 05αβ, Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 05, 05, 05, αβ Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 0,4αβ 4 4 ε) xy ω xy, ω 5 Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, αφαιρώντας τους συντελεστές τους., xy ω 5 4 Μετατρέπουμε το, σε δεκαδικό κλάσμα. xy ω 5 0 4 Μετατρέπουμε τους αριθμούς μέσα στην παρένθεση σε ομώνυμα κλάσματα. Είναι Ε.Κ.Π.(5, 0) 0. xy ω 5 0 4 Βάζουμε τα ομώνυμα κλάσματα σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το 0. 4 xy ω 0 4 Κάνουμε την αφαίρεση στον αριθμητή του κλάσματος. 8 4 xy ω xy ω 0 5 4 4 στ) x 4 x x Προσθέτουμε και αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους συντελεστές τους. 6

4 x Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα μέσα στην παρένθεση. 4 x Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 0 x 0 Άσκηση η Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α) x 5x β) 6x x 4 γ) xy x y δ) x y xy 4 ω ε) 5 xy x ω yω 5 6 ζ) αβ 4αβ στ) 4 x α xα 4 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση: Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή: το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων. Κύριο μέρος: το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της). Λύση α) x 5x Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 5x Κάνουμε τις πράξεις. 7

5x β) 6x x 4 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 6 x 4 Κάνουμε τις πράξεις. 8 x 5 4 9 x 5 Απλοποιούμε το κλάσμα. γ) xy x y Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. x y Κάνουμε τις πράξεις. 4 6x y δ) x y xy 4 ω Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 4 x y ω Κάνουμε τις πράξεις. 5 6x y ω ε) αβ 4αβ Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 4α β Κάνουμε τις πράξεις. 4 αβ 6 στ) 4 x α xα 4 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 4 x α 4 Κάνουμε τις πράξεις. 8

4 4 5 x α 4 x α 4 5 5 ζ) xy x ω yω 5 6 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 5 x y ω 5 6 Κάνουμε τις πράξεις. Επειδή έχουμε αρνητικούς παράγοντες, το γινόμενο είναι αρνητικό ( ). 5 5 6 4 4 xyω Απλοποιούμε το κλάσμα. 4 4 xyω Άσκηση η Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) α : α β) : 8x y xy γ) 5 6 αβ : αβ 5 δ) 084xω, 5 : 0xω, ε) 4 x αω: x α 4 7 7 στ) 05αβ, : αβ 0 Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση: Για να υπολογίσω κάθε ένα από τα παραπάνω πηλίκα των μονώνυμων θα πολλαπλασιάσω το κάθε πρώτο μονώνυμο (διαιρετέο) με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου (διαιρέτη). Λύση α) α : α Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. α Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. α α α μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 9

4α 4α 8x y xy β) : Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 8x y xy 8x y xy μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 4x y Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 4xy 4x y Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α ν. ν α γ) 6 αβ 5 : αβ 5 Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 5 αβ 6 αβ 5 Μετατρέπουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό. 5 αβ 5 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. των κλασμάτων. 6αβ 5 5α β 6αβ μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 5 α β 8 5 5 αβ 8 δ) 084xω, 5 : 0xω, Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 084xω, 5 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 0xω, 084xω, 0, xω 5 μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 084, Ακόμη, είναι 7 0,. 5 7x ω Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 0

7xω ε) 4 x αω: x α 4 Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 4 x αω 4 x α Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα από σύνθετο σε απλό. 4 x α 4 x αω Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 4 4x αω x α μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 4 4x α ω Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 4xα ω στ) 05αβ 7 7, : αβ 0 Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 05αβ, 7 7 αβ 0 Μετατρέπουμε το δεύτερο κλάσμα από σύνθετο σε απλό. 05αβ, 7 0 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. Είναι 0,5 0 5. 7α β 5α β 7α β 7 μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 5 α β 7 7 Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 5 αβ 5 7 Άσκηση 4 η Να κάνετε τις πράξεις:

α) xy 6xy 4 4 β) x y : 8x y γ) xy ω xy Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων; Όπως έχουμε μάθει η σειρά εκτέλεσης των πράξεων είναι: Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.? Με ποιον τρόπο θα λύσω την άσκηση; Πρώτα θα υπολογίσω τη δύναμη. Στη συνέχεια θα εκτελέσω τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση των μονώνυμων. Λύση α) xy 6xy Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β. x y 6xy Είναι α μ ν. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων 9 μ ν α. xy 6xy 9 4 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 6 x y 9 4 Κάνουμε τις πράξεις και απλοποιούμε το κλάσμα. xy 5 5 4 β) x y : 8x y Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β.

4 x y : 8x y 8x 6 y 9 : 8x y 4 Είναι α μ ν 8. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων μ ν α. Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 8x y 6 9 8x y 4 Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 8x y 8x y 6 9 4 Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μ ν μ ν δυνάμεων α : α α. x y 6 94 Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες των δυνάμεων. 5 xy 4 γ) xy ω xy Υπολογίζουμε τις δυνάμεις εφαρμόζοντας την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β. Είναι x y 4 ω x y 4. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α μ ν μ ν α. 4x y 8 ω 6 xy 6 Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 6 8 6 4x y ω 8 6 4x y ω Άσκηση 5 η Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Ποιες από τις εκφράσεις που βρήκατε είναι μονώνυμα;

Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου, του ορθογώνιου και του ημικύκλιου; Το εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά x είναι ίσο με x. Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές x και y είναι ίσο με x y. Το εμβαδόν κύκλου με ακτίνα x είναι ίσο με πx. Άρα το εμβαδόν ημικύκλιου (μισού κύκλου) με ακτίνα x είναι ίσο με πx. Λύση α) Το σχήμα αποτελείται από τετράγωνα. Το κάθε τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το κάθε τετράγωνο έχει εμβαδόν x. Τα τετράγωνα έχουν εμβαδόν ίσο με x. β) Το σχήμα αποτελείται από ορθογώνια. Το κάθε ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το κάθε ορθογώνιο έχει εμβαδόν xy. Τα δύο ορθογώνια έχουν εμβαδόν ίσο με xy. γ) Το σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο. Το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο με x. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι xy. Το εμβαδόν του σχήματος είναι x + xy. δ) Το σχήμα αποτελείται από ένα τετράγωνο και ένα ημικύκλιο. Το τετράγωνο έχει πλευρά ίση με x. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο με (x) 4x. 4

Το ημικύκλιο έχει διάμετρο ίση με x, άρα η ακτίνα του είναι ίση με x. Το εμβαδόν του είναι ίσο με Το εμβαδόν του σχήματος είναι πx. 4x πx 4 πx ε) Το σχήμα αποτελείται από ένα ορθογώνιο και ένα ημικύκλιο. Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι xy. Το ημικύκλιο έχει διάμετρο ίση με x, άρα η ακτίνα του είναι ίση με x. Το εμβαδόν του είναι ίσο με Το εμβαδόν του σχήματος είναι πx. xy πx. Απάντηση α) Το εμβαδόν είναι ίσο με x. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο. β) Το εμβαδόν είναι ίσο με xy. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο. γ) Το εμβαδόν είναι ίσο με x + xy. Η παράσταση δεν είναι μονώνυμο. δ) Το εμβαδόν είναι ίσο με 4 π x ε) Το εμβαδόν είναι ίσο με xy πx. Η παράσταση αυτή είναι μονώνυμο.. Η παράσταση δεν είναι μονώνυμο. Επομένως, οι παραστάσεις που είναι μονώνυμα είναι οι α, β, δ. Άσκηση 6 η Να συγκρίνετε το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου με το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων. Η 5

Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου; Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιούμε τον τύπο Ε (βάση ύψος)? Τι πρέπει να κάνουμε για να λύσουμε την άσκηση; Για να λύσουμε την άσκηση πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ και το συνολικό εμβαδόν των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ. Λύση Τρίγωνο ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο) Το τρίγωνο ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο) έχει βάση ίση με x και ύψος ίσο με y. Επομένως το εμβαδόν του ΓΔΕ είναι (ΓΔΕ) xy. Τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΕ (κίτρινα τρίγωνα) Το εμβαδόν των δύο τριγώνων μπορεί να προκύψει αν αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ (πράσινο τρίγωνο). Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει διαστάσεις x και y. Άρα το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓΔ) xy. Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ είναι (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) (ΑΒΓΔ) (ΓΔΕ) Αντικαθιστούμε όπου (ΑΒΓΔ) το xy και όπου (ΓΔΕ) το xy. (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy xy Αφαιρούμε τα όμοια μονώνυμα. (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy Αλλά 6

(ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy Ώστε: (ΑΔΕ) + (ΒΓΕ) xy Απάντηση Το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων. 7

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ Άσκηση η Να βρεθούν οι τιμές των κ και λ ώστε να ισχύουν οι ισότητες 4α β α β αβ κ λ κ α) 5x y : x y 5x y β) : κ λ κ λ Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Τι σημαίνει κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες; Κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες σημαίνει ότι το πηλίκο της διαίρεσης του πρώτου μέλους είναι ίσο με το μονώνυμο του δεύτερου μέλους.? Πώς θα λύσουμε την άσκηση; Για να λύσουμε την άσκηση πρέπει Να κάνουμε τη διαίρεση των δύο μονώνυμων στα πρώτα μέλη. Να βρούμε για ποιες τιμές των κ και λ τα μονώνυμα που προέκυψαν στα πρώτα μέλη είναι ίσα με τα αντίστοιχα μονώνυμα στα δεύτερα μέλη.? Πώς διαιρούμε δύο μονώνυμα; Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου. 8

Λύση κ λ κ 5x y x y 5x y α) : κ λ 5x y 5x y κ x y Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο πρώτο μέλος. κ 5x y κ x y λ 5x y Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μ ν μ ν δυνάμεων α : α α. κκ λ 5x y 5x y Για να είναι τα δύο μονώνυμα ίσα πρέπει οι εκθέτες των αντίστοιχων μεταβλητών να είναι ίσοι μεταξύ τους. κ κ λ Λύνουμε τις εξισώσεις για να βρούμε τις τιμές των κ και λ. κ 4 κ λ λ 4α β α β αβ β) : κ λ κ λ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. κ λ 4α β αβ κ λ α β Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στο πρώτο μέλος. κ λ 4α β κ λ αβ Απλοποιούμε το κλάσμα. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των μ ν μ ν α β δυνάμεων α : α α. κ κ λ λ α β αβ Για να είναι τα δύο μονώνυμα ίσα πρέπει οι εκθέτες των αντίστοιχων μεταβλητών να είναι ίσοι μεταξύ τους. κ κ λλ Λύνουμε τις εξισώσεις για να βρούμε τις τιμές των κ και λ. Απάντηση κ 4 κ 4 λ 4 λ α) Είναι κ και λ. β) Είναι κ 4 και λ. 9

Άσκηση η Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες x και 4x αντιστοίχως. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Με ποιον τύπο υπολογίζουμε το εμβαδόν ενός κύκλου; Ο τύπος για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα ρ είναι Ε πρ.? Πώς θα υπολογίσουμε τη ζητούμενη ακτίνα; Για να υπολογίσουμε τη ζητούμενη ακτίνα πρέπει: Να βρούμε το συνολικό εμβαδόν των δύο κύκλων. Να βρούμε την ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το παραπάνω εμβαδόν. Λύση Το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα x είναι Ε π(x) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν Ε π x Είναι 9. Ε 9πx Το εμβαδόν του κύκλου με ακτίνα 4x είναι αβ α β. Ε π(4x) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν Ε π 4 x Είναι 4 6. Ε 6πx αβ α β. Το άθροισμα των δύο παραπάνω κύκλων είναι ίσο με 9πx + 6πx (9 + 6)πx 5πx. E + E 5πx Αν συμβολίσουμε με ρ τη ζητούμενη ακτίνα τότε θα πρέπει να ισχύει πρ 5πx. 0

Αρκεί να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση για να βρούμε τη ζητούμενη ακτίνα ρ. πρ 5πx Απλοποιούμε το π από τα δύο μέλη. ρ 5x Ισχύει x α x α για κάθε θετικό αριθμό α. ρ 5x Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των ριζών αβ α β για μη αρνητικούς αριθμούς α και β. ρ 5 x Είναι 5 5 γιατί 5 5. Είναι αριθμός (το x είναι ακτίνα κύκλου άρα x > 0). x x x γιατί το x είναι θετικός ρ 5x Απάντηση Η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων είναι 5x. Άσκηση η Να κάνετε τις πράξεις: α) α 7α β) δ) 7x 5x 4x ε) 4μ 5μ γ) 9R R R 7R 4β 8β β στ) y y y Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Τι μου ζητάει η άσκηση να κάνω; Η άσκηση μου ζητάει να κάνω τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις ανάμεσα στα μονώνυμα. Σε κάθε πολυώνυμο όμως, υπάρχουν όμοια μεταξύ τους μονώνυμα. Άρα, οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις μπορούν να γίνουν εύκολα.? Αν κάποιο μονώνυμο δεν έχει συντελεστή τότε ποιος συντελεστής εννοείται ότι υπάρχει; Αν κάποιο μονώνυμο δεν έχει συντελεστή τότε εννοείται ότι ο συντελεστής του είναι η

μονάδα (). Λύση α) α 7α Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 7 α 40α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. β) 4μ 5μ Τα δύο μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 4 5μ μ μ Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. γ) 4β 8β β Τα δύο από τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 4 β 8β 6β 8β Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. δ) 7x 5x 4x Τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 75 4 x Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 6x ε) 9R R R 7R Τα τέσσερα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. 9 7R Κάνουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. 4R στ) y y y Τα τρία μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε.

y Γράφουμε το ως για να είναι ομώνυμο κλάσμα με τα άλλα δύο y Βάζουμε τα τρία κλάσματα σε ένα κλάσμα με κοινό παρονομαστή το. y Κάνουμε τις πράξεις στον αριθμητή του κλάσματος. 0y 0 Άσκηση 4 η Να κάνετε τις πράξεις: α) xy7 ω β) δ) 0xyω : 5x 4 xy xy γ) xx x αxy 9yx ε) β : αβ στ) 75xyα : 5αy ζ) : 6αβ x αβ η) 4x y : xy θ) αβγ αβ 4α γ Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ή περισσότερα μονώνυμα; Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει: Συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των μονώνυμων και Κύριο μέρος το γινόμενο όλων των κύριων μερών των μονώνυμων (δηλαδή γινόμενο όλων των μεταβλητών από όλα τα κύρια μέρη με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της).? Πώς διαιρούμε δύο μονώνυμα; Για να διαιρέσουμε τα δύο μονώνυμα πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου.

Λύση α) xy7 ω Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 7 xyω Κάνουμε τις πράξεις. 4xyω β) 4 xy xy Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. x y 4 Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες. xy 6 4 γ) xx x αxy 9yx Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονώνυμων και τις αντίστοιχες μεταβλητές. 9x αy Κάνουμε τις πράξεις στους εκθέτες. 9 x αy δ) 0xyω : 5x Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 0xyω 5x Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 0xyω 5x Απλοποιούμε το κλάσμα. yω x 4

ε) β : αβ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. β αβ Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. β αβ β α Απλοποιούμε το κλάσμα. στ) 75xyα : 5αy 75xyα Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 5αy Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 75xyα 5αy Απλοποιούμε το κλάσμα. 5xα ζ) 6αβ x : αβ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. 6αβ x α β 6αβ x α β Απλοποιούμε το κλάσμα. α β x η) : 4x y xy Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο μονώνυμο με το αντίστροφο του δεύτερου μονώνυμου. 4x y Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. xy 4x y xy Απλοποιούμε το κλάσμα. 4x y 5

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν θ) αβγ αβ 4α γ α. ν α αβγ αβ 4α γ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων ν ν ν αβ α β. α β 4 α γ αβγ Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων μ ν α. αβγ αβ 4 α γ Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς στους εκθέτες των δυνάμεων. 6 6 αβ 4 αγ αβγ Είναι 4 4 64. 64α βαγ 6 6 αβγ Διαγράφουμε τους ίδιους όρους. 64 α βαγ α βγ 6 6 μ ν μ ν Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. 64α β γ 6 6 Κάνουμε τις αφαιρέσεις στους εκθέτες. 6 5 64α βγ 6

Άσκηση 5 η Να βρείτε ένα μονώνυμο που να εκφράζει την περίμετρο του διπλανού σχήματος. Η πλευρά του κάθε μικρού τετραγώνου είναι ίση με α. Πώς θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση:? Πώς βρίσκουμε την περίμετρο ενός σχήματος; Για να βρούμε την περίμετρο ενός σχήματος προσθέτουμε τα μήκη όλων των πλευρών του. Λύση Το σχήμα αποτελείται από 5 οριζόντιες πλευρές 5 κάθετες πλευρές Η μεγάλη οριζόντια πλευρά έχει μήκος 8α. Η κάθε μία από τις 4 μικρές οριζόντιες πλευρές έχει μήκος α. Άρα οι 4 μικρές οριζόντιες πλευρές έχουν μήκος α + α + α + α Τα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. ( + + + )α 8α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. Η μεγάλη κάθετη πλευρά έχει μήκος 4α. Η κάθε μία από τις 4 μικρές κάθετες πλευρές έχει μήκος α. Άρα οι 4 μικρές κάθετες πλευρές έχουν μήκος α + α + α + α 4α. Για να βρούμε την περίμετρο πρέπει να προσθέσουμε όλα τα παραπάνω μήκη. Είναι: 8α + 8α + 4α + 4α Τα μονώνυμα είναι όμοια άρα μπορούμε να τα προσθέσουμε. (8 + 8 + 4 + 4)α 4α Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση. Απάντηση Η περίμετρος του διπλανού σχήματος είναι 4α. 7