ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ (ΜΜ6) Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Τάντος, Εαρινό εξάμηνο 7- ΕΡΓΑΣΙΑ #: Θερμική ακτινοβοία Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσείδα του μαθήματος: -- Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: -- Σημαντικές παρατηρήσεις: Δεκτές θα γίνουν μόνο οι εργασίες που είναι γραμμένες σε κειμενογράφο (π.χ. Microoft Office Word, LibreΟffice writer, κτ.) στον Η/Υ. Στις απαντήσεις να αναγράφονται επτομερώς και επεξηγηματικά όες οι υποθέσεις και αποποιήσεις που υιοθετούνται. Διαφορετικά τα αριθμητικά αποτεέσματα δεν θα ηφθούν υπόψη!!! Άσκηση (%) Σχήμα : Φασματική-ημισφαιρική απορροφητικότητα συναρτήσει του μήκους κύματος για διάφορα υικά. Θεωρείστε μια επιφάνεια από ανοδιωμένο αουμίνιο στους 6 C με φασματική-ημισφαιρική απορροφητικότητα όπως φαίνεται στο σχήμα. Θεωρώντας ότι η επιφάνεια είναι διαχυτική υποογίστε την μέση ικανότητα εκπομπής ε. Επίσης πραγματοποιώντας την αντίστοιχη μεέτη θεωρώντας την θερμοκρασία της επιφάνεια στους C συγκρίνετε τα αποτεέσματα με τα αντίστοιχα στους 6 C. Equatio Chapter (Next) Sectio Απάντηση Αρχικά οι υποογισμοί θα γίνουν για θερμοκρασία επιφάνειας 6 C ( Κ). Η μέση ικανότητα εκπομπής ε υποογίζεται ως εξής W. Sieber, Z. Tech. hy., vol., -,.
ε= b, b, T Ε b,, T d ε Ε, T d ε Ε, T d, (.) όπου Τ (για την άσκηση C ή 6 C) η θερμοκρασία της επιφάνειας και δεδομένου ότι η επιφάνεια είναι διαχυτική ( ) η σχέση (.) γίνεται ε α ε= αεb, T, T d. (.) Όπως φαίνεται από το σχήμα η φασματική-ημισφαιρική απορροφητικότητα μιας επιφάνειας από ανοδιωμένο αουμίνιο παρουσιάζει απότομες ααγές για.μm<<μm καθιστώντας την θεώρηση ότι το α είναι σταθερό σε δεδομένες περιοχές αρκετά ανακριβή. Άρα στην περίπτωση αυτή το οοκήρωμα στην σχέση (.) θα πρέπει να υθεί αριθμητικά με τιμές Σημειώνεται ότι για >μm υποθέτουμε ότι α α που διαβάζονται από το σχήμα... Σημειώνεται ότι η φασματική ισχύς εκπομπής μέανου σώματος είναι κειστή έκφραση και δίνεται ως b,, E T = C. (.) C exp T Οι σταθερές C και C δίνονται στις διαφάνειες του μαθήματος. Άρα η μέση ικανότητα εκπομπής ε υποογίζεται ως εξής ε μm αεb, μm T T, T d α Εb, Ο δεύτερος όρος στη δεξιά πευρά της εξίσωσης (.) υποογίζεται ως, T d. (.) α b, Ε, T d α. T f f f - - - (.) και δεδομένου ότι T = μm K =7μm K f - =.67 (το νούμερο αμβάνεται με γραμμική παρεμβοή απο τον πίνακα της συνάρτησης ακτινοβοίας μέανος σώματος διαφάνειες μαθήματος) από την σχέση (.) προκύπτει ότι
α b, Ε, T d..67.6 T (.6) Ο πρώτος όρος στη δεξιά πευρά της εξίσωσης (.) υποογίζεται αριθμητικά με χρήση του κανόνα του μέσου σημείου για = διαστήματα (θα μπορούσαμε να δουέψουμε με περισσότερα διαστήματα για μεγαύτερη ακρίβεια) ως εξής, T d α, b, Ε α Ε, T b, T T, (.7) όπου α, η μέση τιμή της φασματικής-ημισφαιρικής απορροφητικότητας στο διάστημα (διαβάζεται από το γράφημα), η τιμή του μήκους κύματος στο κέντρο του διαστήματος και το πάτος του διαστήματος. Σημειώνεται ότι b, C, E T = C T exp (.) Οι τιμές όων των προαναφερθέντων ποσοτήτων καθώς και ο υποογισμός του αριθμητή δίνονται στον πίνακα. Συνεπώς προκύπτει ότι, b, α Ε, T T..67.7. (.) Τεικά απο την εξίσωση (.) και τις εξισώσεις (.6) και (.) προκύπτει η μέση ικανότητα εκπομπής ε της επιφάνειας ως εξής ε= α α Ε, T d Ε, T d b, b,.7 T T. (.) Κάνοντας αντίστοιχους υποογισμούς για θερμοκρασία επιφάνειας C (7 Κ) προκύπτει ότι ε =.67. Σημειώνεται ότι στους υποογισμούς θεωρήσαμε ότι η μεταβοή της φασματικής-ημισφαιρικής απορροφητικότητας με το μήκος κύματος δεν εξαρτάται απο την θερμοκρασία. Τονίζεται ότι ο πρώτος όρος στη δεξιά πευρά της εξίσωσης (.) μπορεί να υποογιστεί με πιο ακριβείς τεχνικές αριθμητικής οοκήρωσης όπως ο κανόνας του Simpo του /. στους 6 C
Πίνακας : Υποογισμός του αριθμητή της εξίσωσης (.7) για θερμοκρασία επιφάνειας 6 C. 6 7 Άκρα διαστημάτων [mi,max]..... 6 6 7 7.. [μm] [μm] α, [-] Ε b,, T [W/m ] α Ε, T, b, [W/m ].7... 6...6..67...7 6.6.7.7... 6.....6.6.6.7.7. 6.6..7 6.....6. 6... 7. 7... 7....6.7 7..7... 6. Άθροισμα στοιχείων τεευταίας στήης, b, α Ε, T. W / m Οι τιμές διαβάζονται απο το σχήμα ως η μέση τιμή της φασματικής-ημισφαιρικής απορροφητικότητας για μήκος κύματος
Άσκηση (%) Μια επίπεδη πού επτή αδιαφανής πάκα βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τον Ήιο με μέση απόσταση km και με τις ηιακές ακτίνες να προσπίπτουν πάντα κάθετα στην πάκα. Η φασματική-ημισφαιρική ικανότητα εκπομπής των επιφανειών της πάκας παρουσιάζεται στο σχήμα. Υποογίστε α) την μέση ικανότητα απορρόφησης της πάκας, β) την μέση ικανότητα εκπομπής της πάκας, γ) την μέση ικανότητα ανάκασης της πάκας δ) την θερμοκρασία της πάκας Τp και ε) το ρυθμό της ηιακής ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας που δέχεται η πάκα. Σχήμα : Φασματική-ημισφαιρική εκπομπή της πάκας συναρτήσει του μήκους. Equatio Sectio (Next) Απάντηση Η μέση απορροφητικότητα της πάκας υποογίζεται ως Gd Ε, T d αgd εεb,, T d εεb,, T d α T b,, (.) όπου T η θερμοκρασία του ήιου η οποία αμβάνεται από τις διαφάνειες του μαθήματος ίση με T 76. Σημειώνεται ότι στη σχέση (.) ισχύει ότι ε α διότι η επιφάνεια είναι διαχυτική. Επίσης πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η ακτινοβόηση δεν είναι ίση με την εκπομπή μέανος σώματος στη θερμοκρασία του G Ε,T. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι θεωρείται ότι η ακτινοβόηση ήιου b, είναι ανάογη με την εκπομπή μέανος σώματος στη θερμοκρασία του ήιου G kε,t (δες τις διαφάνειες, ενότητα.6) και δεδομένου ότι εμφανίζεται b, στον αριθμητή και στον παρονομαστή η σταθερά αναογίας k απαείφεται. Συνεπώς προκύπτει
b, Ε, T d Ε, T d α. +.6, (.) T b, T -T f-t και δεδομένου ότι μm 76K =76μm K f f - 76 =.7 από την σχέση (.) προκύπτει ότι α=.. Ο ρυθμός της ηιακής ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας που δέχεται η πάκα (ηιακή σταθερά), δεδομένου ότι η ενέργεια που απομακρύνεται από την επιφάνεια του ήιου (θεωρώντας τον ήιο σαν σφαίρα με ακτίνα R) ισούται με την ενέργεια που διέρχεται από μια σφαιρική επιφάνεια η ακτίνα της οποίας είναι η μέση απόσταση πάκας-ήιου L, υποογίζεται ως εξής σt R σt πr = qπl q.7 W m L. (.) Εφαρμόζοντας το ισοζύγιο ενέργειας στην πάκα προκύπτει ότι η ενέργεια που απορροφάται από τον ήιο ισούται με την ενέργεια που εκπέμπεται από τις δυο πευρές της πάκας προκύπτει η θερμοκρασία της πάκας αq T ε T αq ε. (.) Τονίζεται ότι στη σχέση (.) για τον υποογισμό της θερμοκρασίας της πάκας η μόνη άγνωστη ποσότητα είναι η μέση ικανότητα εκπομπής ε η οποία υποογίζεται ως ε= b, b, b, ε Ε, T d ε Ε, T d, (.) T Ε, T d όπου η θερμοκρασία της πάκας. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι η φασματική-ημισφαιρική εκπομπή της πάκας διατηρείται σταθερή σε δυο περιοχές για <μm και για >μm. Συνεπώς η εξίσωση (.) αποποιείται ως εξής Tp.6 f ε. f- T - T (.6) Όμως η συνάρτηση ακτινοβοίας f - υποογίζεται στη θερμοκρασία της πάκας η οποία δεν είναι ακόμα γνωστή. Απο τις σχέσεις (.) και (.6) προκύπτει ότι 6
T αq f. f- T.6 - T (.7) Η εξίσωση (.7) μπορεί να υθεί επαναηπτικά ως εξής: υποθέτουμε αρχικά μια θερμοκρασία πάκας και στη συνέχεια υποογίζεται η συνάρτηση ακτινοβοίας T f - T μέανου σώματος θερμοκρασία της πάκας στην προηγούμενη τιμή της T T. Έπειτα υποογίζεται η καινούργια τιμή της άπο την σχέση (.7). Αν η νέα τιμή της T είναι κοντά η διαδικασία σταματά διαφορετικά με την νέα τιμή T που εκτιμήσαμε συνεχίζουμε με νέα επανάηψη και εκτίμηση της T. Επανααμβάνοντας την διαδικασία καταήγουμε στον πίνακα όπου παρατηρούμε ότι η θερμοκρασία της πάκας υποογίζεται ως T K. Η μέση ικανότητα εκπομπής ε υποογίζεται απο την εξίσωση (.6) ίση με ε=.7 T =.666 ). Η μέση ικανότητα ανάκασης της πάκας δεδομένου ότι f - ( είναι αδιαφανής υποογίζεται ως α α.6. (.) Πίνακας : Υποογισμός της θερμοκρασία της πάκας T. Αριθμός επανάηψης Παιά τιμή T [Κ] f - T Νέα τιμή [Κ] Αρχική εκτίμηση=. 6 6.7 7 7.7 7 7.7.6 6.676 7. Τεική τιμή=.666 Τεική τιμή= T Equatio Sectio (Next) 7
Άσκηση (%) Η φασματική-ημισφαιρική ικανότητα εκπομπής μιας διαχυτικής επιφάνειας είναι. για < μm,. για μm < < μm και. για > μm. Αν η θερμοκρασία της επιφάνειας είναι Κ να υποογίστε α) την ισχύ εκπομπής σε KW/m καθώς και το μήκος κύματος (μm) στο οποίο η ισχύς εκπομπής μεγιστοποιείται. Απάντηση Αρχικά υποογίζεται η μέση ικανότητα εκπομπής ε η οποία υποογίζεται ως ε= b, b, ε Ε, T d ε Ε, T d Ε, T d b, T, (.) όπου η θερμοκρασία της επιφάνειας. Η φασματική-ημισφαιρική εκπομπή της πάκας διατηρείται σταθερή σε τρείς περιοχές για <μm, μm < < μm και για >μm. Συνεπώς η εξίσωση (.) αποποιείται ως εξής Tp.... ε. f f f - - - ε. f- f- f- f- (.) Τεικά αντικαθιστώντας τις τιμές για την συνάρτηση ακτινοβοίας μέανου σώματος ποροκύπτει ότι ε=.. Άρα η ισχύ εκπομπής σε KW/m προκύπτει ως εξής Ε T = εε T ε T 6 κw m. (.) b Το μήκος κύματος στο οποίο εμφανίζεται το μέγιστο για μια συγκεκριμένη θερμοκρασία δεδομένου ότι το σώμα συμπεριφέρεται σαν μέαν σώμα δίνεται από το νόμο μετατόπισης του Wie ως εξής 7. max.7 μm. (.) Επίσης η φασματική ισχύς εκπομπής για μήκος κύματος max υποογίζεται ως εξής.7 Ε max, T = εεb, max, T. κw m μm. (.)... e
Όμως η φασματική-ημισφαιρική ικανότητα εκπομπής της επιφάνειας μεταβάεται με το μήκος κύματος και δεδομένου ότι ε=. για < μm η φασματική ισχύς εκπομπής που υποογίζεται στην εξίσωση (.) δίνει τη μέγιστη τιμή για την περιοχή < μm. Παρόο αυτά με την ααγή του ε που συμβαίνει για = μm μπορεί η τιμή της φασματικής ισχύς εκπομπής για μήκος κύματος = μm να είναι μεγα,ύτερη απο αυτή για max=.μm. Άρα η φασματική ισχύς εκπομπής για μήκος κύματος = μm υποογίζεται ως εξής.7 Ε, T = εεb,, T. 7 κw m μm. (.6). e Παρατηρούμε ότι 7. Ε, κw m μm > κw m μm = Ε,, (.7) άρα το μήκος κύματος (μm) στο οποίο η ισχύς εκπομπής μεγιστοποιείται είναι μm. Η ποιοτική μεταβοή της φασματικής ισχύς εκπομπής της επιφάνειας με το μήκος κύματος δίνεται στο σχήμα. Σχήμα : Μεταβοή φασματικής ισχύς εκπομπής της επιφάνειας με το μήκος κύματος (μπε: φασματική ισχύς εκπομπής μέανου σώματος, μαύρο: φασματική ισχύς εκπομπής πραγματικής επιφάνειας).