1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( 2x 1 ) µ 2 = 5( 10x µ

Σχετικά έγγραφα
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι < α

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

B= πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) B = πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Β και Γ iii)

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

Transcript:

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( x 1 ) µ = 5( 10x µ ) Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx = β. ( x 1 ) µ 5( 10x µ ) ( µ 50) x = µ 5µ () 1 = µ x µ = 50x 5µ µ x 50x = µ 5µ Λύνουµε την εξίσωση: µ 50 0 µ 5 = 0 = ( ) ( µ 5 )( µ + 5) = 0 µ 5= 0 ή µ + 5= 0 µ = 5 ή µ = 5. α. Αν µ 5, 5 τότε η (1) έχει µοναδική λύση την: µµ ( 5) ( )( ) ( ) µ 5µ µ x = = = µ 50 µ 5 µ + 5 µ + 5 β. Αν µ = 5 τότε η (1) γίνεται 0x = 0, που έχει άπειρες λύσεις (είναι ταυτότητα). Αν µ = 5 τότε η (1) γίνεται 0x = 50, που είναι είναι αδύνατη. x + λ λx 1 λx. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: = 1 6 Πολλαπλασιάζουµε µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών, το 6. x + λ λx 1 λx 6 6 = 6 6 ( x + λ) ( λx 1) = 6 ( λx ) 6 x+ λ λx+ = 6 λx+ x λx + λx = 6 + λ ( λ+ λ) x= λ+ 7 ( λ+ ) x= λ+ 7 () 1 Είναι λ+ = 0 λ=.

4. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις α. Αν λ τότε η (1) έχει µοναδική λύση την : λ+ 7 x = λ + β. Αν λ = τότε η (1) γίνεται: 0x =, άρα είναι αδύνατη.. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: λ( λ )( x 1) = λ x 4 ( )( ) λ λ x 1 λ x 4 = ( λ λ) x+ x= λ λ+ λ 4 ( λ λ+ ) x = λ 4 () 1 Λύνουµε την εξίσωση: λ λ+ = 0 ( ) ± 1 λ = λ α. Αν λ 1, τότε η (1) έχει µοναδική λύση την: β. Αν λ= 1 τότε η (1) γίνεται: Αν λ= τότε η (1) γίνεται: λ 4 ( λ )( λ+ ) λ+ x = = = λ λ+ ( λ 1)( λ ) λ 1 ± 1 = λ= ή λ= 1 0x = 1 4 0x = και είναι αδύνατη. 0x = 4 0x = 0 και είναι ταυτότητα. 4. Να βρείτε διψήφιο αριθµό αν είναι γνωστό ότι το ψηφίο των δεκάδων είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των µονάδων και αν εναλλάξουµε την θέση των ψηφίων του θα προκύψει αριθµός κατά 6 µικρότερος. Έστω xy ο διψήφιος αριθµός, τότε : ( x10 + y) ( y10 + x) = 6 (1) και x = y (). Λόγω της () έχουµε: x10 + y = 0y + y = 1y και y10 + x = 10y + y = 1y και απο την (1) παίρνουµε : 1y 1y = 6 18y = 6 y =. Άρα x = 6, οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 6. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x 1 = 5 ii. x 1 1 x 5 1 =

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ο 5. iii. x 1 x= 4 iv. x 1 = µ 9 i. x 1 = 5 x 1 = 5 ή x 1= 5 x 1 = ή x 1 = 7 x 1 = ή x 1 = 7 αδύνατη ή x 1 = 7. x 1 = 7 x 1= 7 ή x 1= 7 x = 8 ή x = 6 x = 4 ή x = ii. Θέτουµε ω= x 1 = 1 x (αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια απόλυτη τιµή), και η εξίσωση γίνεται: ω ω 5 ω ω 5 1= 6 6= 6 (ω ) 6= (ω 9) ω 4 6= ω 15 ω= 5 ω= 5.Άρα x 1 = 5 x 1= 5 ή x 1= 5 x = 6 ή x = 4. iii. x 1 x= 4 Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: Άρα για x 1 η εξίσωση γράφεται: x 1,αν x 1 x 1 = x + 1,αν x 1 6 ( x+ 1) x = 4 5x = 6 x =, (απορρίπτεται). 5 και για x 1 η εξίσωση γράφεται: (x 1) x = 4 x = x = ( δεκτή). iv. Το πρόσηµο του τριωνύµου: φ(µ) = µ 9 = (µ + )(µ ) φαίνεται στον επόµενο πίνακα: µ + φ(µ) + +

6. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Έτσι : 1. Για µ (,) το µ 9< 0,άρα η (ε) είναι αδύνατη.. Για µ =, το µ 9= 0 και η (ε) γίνεται: x 1 = 0 x = 1.. Για µ ( ω, ) (, + ω) είναι µ 9> 0, άρα η (ε) γίνεται: = = ή = + ή x= µ x 1 µ 9 x 1 µ 9 x 1 µ 9 x µ 8 + 10 < ii. < x 1 < 8 6. Λύστε τις ανισώσεις: i. x 1 1 x iii. x 1 < iv. i. Θέτουµε ω= x και η ανίσωση γίνεται: x + x+ 1 < x+ 5 ω 1 ω ω 1 ω < 1 6 < 6 6= (ω 1) < 6 (ω ) 1 1 ω < 6 ω+ 4 5ω< 1 ω< x < 5 5 1 1 1 1 6 < x < < x < + < x <. 5 5 5 5 5 ii. Είναι x 1 < 8 < x 1 < 8 x 1 > x 1 < 8 8< x 1< 8 7< x < 9 7 < x < και x 1 > x 1 < ή x 1 > x < 1 ή x > 1 x < ή x > 1 7 1 Τελικά παίρνουµε : < x < ή 1< x<.

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ο 7. iii. x 1 < x < x 1 < 5< x 1 < 1 5 > x 1 > 1. Άρα x 1 < 5 5 < x 1 < 5 4 < x < 6 iv. Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριωνύµου: = 1 4 1 1= 1 4= < 0, άρα x + x+ 1 = x + x+ 1. Άρα η ανίσωση γίνεται: φ(x) = x + x + 1. Είναι x + x+ 1> 0 για κάθε x R, δηλαδή x + x+ 1< x+ 5 x 4< 0 x < 4 x < < x<.. ΤΑΥΤΟΤΗTΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ µε Απόλυτα 7. Αν α < β< γ βρείτε χωρίς απόλυτα την παράσταση: Α = α β γ α + α β γ Ισχύουν: α< β α β< 0, άρα α β = α+ β γ > α γ α > 0, άρα γ α = γ α α< β και α < γ άρα α< β+ γ α β γ< 0 άρα α β γ = α+ β+ γ Τελικά είναι : Α = α+ β+ γ α+ α β γ Α = α. 8. Βρείτε τα x,y εφόσον ισχύει x y + x + y 4 = 0. x y + x + y 4 = 0 x y = 0 και x+ y 4= 0 x y = και x+ y = 4, οπότε λύνουµε το σύστηµα: x y = 4x y = 6 5x = 10 x = x+ y = 4 x+ y = 4 y = x y = 1 9. είξτε την ισοδυναµία α+ 5β = 5α+ β α = β

8. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις α+ 5β = 5α+ β α+ 5β= 5α+ β ή α+ 5β= 5α β β= α ή 7α= 7β α= β ή α= β 10. είξτε την ισοδυναµία α+ 5β < 5α+ β β < α α+ 5β < 5α+ β α+ 5β < 5α+ β (α+ 5β) < (5α+ β) 4α + 5β + 0αβ < 5α + 4β + 0αβ 19β < 19α β < α β < α β < α 11. είξτε ότι: α 1 β+ 5 α 1 β+ Για α 1 ισχύει: α 1 1 α 1 α 1 α 1 Για β ισχύει: β β+ β+ 1 1 β β+ β+ Άρα α 1 β+ 5 α 1 β+ 1. Αν x < 1 και y < δείξτε ότι x + y < 8 x < 1 1< x < 1 άρα < x < άρα 8 < x + y < 8 y < < y< άρα 6 < y < 6 Οπότε και x + y < 8 ΡΙΖΕΣ 1. α. Λύστε την εξίσωση: β. Λύστε την ανίσωση: 4x 4x+ 1 8= 0 < x x+ 1 < 10

α. 4x 4x+ 1 8= 0 (x 1) = 8 x 1 = 8 x 1 = 4 x 1= 4 ή x 1= 4 x = 5 ή x = 5 x = ή x = β. < x x+ 1< 10 < (x 1) < 10 < x 1 < 10 x 1 < 10 x ( 9,11) x ( 9, 1) (,11) x 1 > x (, 1) (, + ) διότι: * x 1 < 10 10 < x 1 < 10 9< x < 11 x ( 9,11) και x 1 > x 1< ή x 1> x < 1 ή x > x (, 1) (, + ) 14. ίνεται f(x) = x 4x+ 4 x+ µε x R : i. Γράψτε την f µε πολλαπλό τύπο. ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της f. i) Για x R ισχύει f(x) = (x ) x+ = x x+. Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: Άρα: x,αν x 0 x x = x +,αν x < 0 x < x + x x+ f(x) x+ x+ = x + 5 x x x+ = 1

0. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις x + 5,αν x ηλαδή: f (x) = 1,αν x < ii. Η γραφική παράσταση της f αποτελείται: Από την ηµιευθεία µε εξίσωση: y= x+ 5 αν x που έχει αρχή το Α(,1) και περνάει από το σηµείο y Β(1,). Από την ηµιευθεία µε εξίσωση y= 1 αν x που έχει αρχή το Α(,1) και είναι παράλληλη στον x x. Στις ιδιότητες των ριζών: 15. Βρείτε το γινόµενο: Γ= αβ α β 4 αβ x y B A 0 1 x Ισχύουν: αβ = 1 αβ= α β 6 6 αβ 1 8 4 αβ = α β 4 1 9 6 6 8 4 9 6 6 8 4 9 17 19 5 7 Άρα: 1 1 1 1 1 1 Γ= αβ αβ αβ Γ= αβαβαβ Γ= α β Γ= αβ αβ 16. είξτε ότι: + + + + = 1 Ισχύει: + + + + = ( )( )( ) + + + + = ( )( ) ( 4 )( ) + + = + = ( )( ) + = = 4 = 1= 1 17. είξτε ότι: ( 8 50)( 98 00) = 18

Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ο 1. Ισχύουν: 8 = 4 = 4 = 50 = 5 = 5 = 5 98 = 49 = 49 = 7 00 = 100 = 100 = 10 Άρα: ( 8 50)( 98 00) ( 5 )( 7 10 ) ( ) = = = 9 = 9 = 18 18. είξτε ότι: + = 4 Τροπή Άρρητου Παρονοµαστή σε ρητό: + + Ισχύουν ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) + + 9+ + 6 1+ 6 = = = = + + 9 6 9+ 6 1 6 = = = = + + 9 6 Άρα: + + = + + = 4 + 4 1 19. είξτε ότι: + = 5 6 + 6 5 Ισχύουν: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5+ 5+ 5+ = = = = 5+ 5 5 5+ 5 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 4 6 4 6 4 6 = = = = 6 6 + 6 + 6 6 4

. Βήµα ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 1 6+ 5 6+ 5 = = = 6+ 5 6 5 ( 6 5)( 6+ 5) 6 5 Άρα: 4 1 + = 5+ + 6 = 6 + 5 = 5 6 + 6 5 ιώνυµη εξίσωση: 0.Λύστε τις εξισώσεις: i. iii. 4 x - 16 = 0 6 4x + 8 = 0 ii. iv. x + 81 = 0 6 x = 64x i. 4 x - 16 = 0 4 x 16 = = 4 x 81 4 x 81 =± x =± ii. x + 81 = 0 x = 81 x = 7 = x = x 7 iii. 6 4x + 8 = 0 6 4x = 8 6 x = αδύνατη 6 iv. x = 64x 6 x 64x = 0 5 x( x ) = 0 5 x = 0 ή x = 0 5 x = 0 ή x = 5 x = 0 ή x = x = 0 ή x = 1.Λύστε τις εξισώσεις: i. (x - ) + 16 = 0 x -1 - x ii. -1= 6 iii. x -9x +8=0 4 4

i. (x - ) + 16 = 0 ii. (x ) 16 (x ) 8 = x 8 x = x = 0 x = 0 = = 4 4 x - 1 - x -1= 4 4 x 1 x 6 6= 6 ( 4 ) 4 x 1 6= ( x) 4 4 4x 6= 9 x 4 7x = 17 4 17 x = 7 17 x =± 4 7 6 iii. x -9x +8=0 Θέτουµε W = x και η εξίσωση γίνεται : W 9W+ 8= 0 ( 9) ± 49 W = 9± 7 W = W = 1 ή W = 8 x = 1 ή x = 8 x = 1 ή x = Μεθοδολογία στις ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Εξισώσεις µε Απόλυτα f(x) = θ f(x) = θ αν θ> 0 f(x) = θ f(x) = 0 αν θ= 0 αδύνατη αν θ < 0 f(x) = g(x) f(x) = g(x) ή f(x) = g(x) f(x) = g(x) Με τον ορισµό απαλλασόµαστε από το απόλυτο και λύνουµε την εξίσωση. Ανισώσεις µε Απόλυτα f(x) < θ θ< f(x) < θ θ > 0 f(x) > θ f(x) < θ ή f(x) > θ f(x) g(x) f(x) g(x) υψώνουµε στο τετράγωνο και καταλήγουµε σε 1ου και ου βαθµού εξίσωση. Με τον ορισµό απαλλασόµαστε από το απόλυτο και λύνουµε την ανίσωση. Όταν στην εξίσωση υπάρχουν περισσότερα από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλλασόµαστε από τα απόλυτα. Όταν στην ανίσωση υπάρχουν περισσότερα από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλλασσόµαστε από τα απόλυτα.

1. Αν x = 1 1 1 4 1 +, αποδείξτε ότι: x + = x + = x + 4 x x x x. Να λυθεί η εξίσωση: (x + 1) + (x ) + (1 x) = 0

Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 5.. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) ( ) ( ) ( ) ( ) x + 1 x + = x + 1 x β) γ) 0,x + 0,5( x + 1) = 1,( x + ) x + x + 1 5x + 1 + = 6 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)( λ 1) x = λ -1 β)( λ ) x = λ + γ) λ x = 4x + λ 5. Ένας χυµός φρούτων έχει περιεκτικότητα σε πορτοκάλι 60%. Προσθέτου- µε στο χυµό 50ml καθαρό χυµό πορτοκάλι και η περιεκτικότητα του χυ- µού γίνεται 70%. Να βρεθεί πόσα ml αρχικού χυµού είχαµε.

6. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 6. Ο ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς έζησε περίπου το 50 µ.χ. και είναι ο τελευταίος από τους µεγάλους Έλληνες αρχαίους µαθηµατικούς. Τίποτα δεν είναι γνωστό γι αυτόν, εκτός από τα βιβλία µε τα άριστα τεκµηριωµένα επιτεύγµατά του. Η µόνη λεπτοµέρεια απ την ζωή του είναι ο γρίφος που λέγεται ότι ήταν σκαλισµένος στον τάφο του. Ο Θεός του παραχώρησε το ένα έκτο της ζωής του για να είναι νέος. Μετά και από το ένα δωδέκατο αυτής είχαν φυτρώσει στα µάγουλα του γένια. Κατόπιν µε το ένα έβδοµο της επιπλέον, τον φώτισαν τα κεριά του γάµου, και πέντε χρόνια µετά το γάµο του (ο Θεός) του έδωσε ένα γιο. Αλίµονο! Το παιδί γεννήθηκε κακότυχο, και όταν απέκτησε το µισό της ηλικίας του πατέρα του, η άπονη Μοίρα το πήρε µακριά του. Η επιστήµη των µαθηµατικών ανακούφισε τον πόνο του, µετά όµως από τέσσερα χρόνια πέθανε Πόσα χρόνια έζησε ο ιόφαντος; x 1 x + 5x 7. α. Να λυθεί η ανίσωση: + 4 4 β. Να λυθεί η ανίσωση: λ( x + 1) 1 x για τις διάφορες τιµές του πραγ- µατικού αριθµού λ.

Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 7. 8. Να βρείτε τρείς θετικούς ακέραιους, αν το άθροισµά τους είναι µεγαλύτερο του 14 και µικρότερο του 4, όταν ο δεύτερος είναι διπλάσιος απ τον πρώτο και ο τρίτος µικρότερος απ τον δεύτερο κατα 1. 9. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτα. x + x+1 A= x 10. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. x 1 = x 4x+ β. x+ x 1 = x

8. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας γ. x 5 = 5 x δ. x x = x = x ε. x + = x + 1 στ. x + 1 = x + 6 ζ x + 1 + x + 4 = 0 11. α. Αν α, β < < να αποδείξετε ότι: i) α + β < 1 ii) α + β + 1 < 8

Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 9. 1.Να λύσετε τις ανισώσεις: α. x+ x< 5 β. x 1 < x + 5 γ. x < x + x 5 δ. < x x+ 1 < 10 1. Αν x = και y = να βρεθεί η τιµή της παράστασης: A = x xy + y 5 5 + 14. Να αποδείξετε τις ισότητες: α α α α. 9 = α α β. α β 1 = 6 αβ α β

40. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας γ. 4 + = δ. ( )( ) 8 + 7 + 6 = 1 1 + 15. Να λυθεί η εξίσωση: x ( 1 x) = ( 1 x) 1

Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 41. 16. ίνεται η εξίσωση x x + λ + = 0. Αν η εξίσωση έχει ρίζα το 5 να βρεθεί η άλλη ρίζα. 17. Έστω η εξίσωση x (λ + 1)x + λ = 0 και x 1, x είναι οι ρίζες της. Αν οι αριθµοί, x 1, x είναι πλευρές τριγώνου, να δείξετε ότι το λ (1,) x - λ + 1 x λ =. Αν τα x 1, x είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε: x - 7x x - 7x x + x 18. Έστω η εξίσωση ( ) 0 1 1 1 =

4. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 19. ίνεται η εξίσωση x - 5x + 1 = 0 α) είξτε (χωρίς να τις βρείτε), ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι πραγµατικές, διάφορες του µηδενός. β) Αν x 1, x οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τα: x x x και x 1) 1 1 ) x1- και x - 0. ίνεται η εξίσωση x - ( λ - ) x λ -1 +. Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει: α) δύο ρίζες αρνητικές β) δύο ριζες θετικές και άνισες

Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 4. γ) δύο ρίζες ετερόσηµες δ) δύο ρίζες αντίστροφες ε) δύο ρίζες αντίθετες 1. Να λυθεί η εξίσωση: + 1 x + x = x x x + 1

44. Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας. Να απλοποιηθεί η παράσταση: Κ = ( α β και α,β> 0) α β α β + β α. Αν α > β> 0 δείξτε ότι α+ β α + β αβ α β α+ β = α+ β

Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 45. 4. Αν α, β, γ θετικοί αριθµοί δείξτε ότι: α β γ α+ β+ γ + + = βγ αγ αβ αβγ

46. Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γνώση µας ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá ÂÞìá ÂÞìá 1 ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò ΘΕΜΑ 1 ο Α. Nα λυθούν οι ανισώσεις: i) x i) x + 1 iii) x + < 1 iv) x 1 0 Β. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 1 < x < ii) -1 x iii) 1 < x + 1 < x + 1 iv) 1 x + ΘΕΜΑ ο x 1 1 x Α. Να λυθεί η εξίσωση: + = x + Β. Να γίνουν οι πράξεις: α) 8 7 18 + 9 7 1 50 γ) 45α β + 15α β 0α β α,β > 0 Γ. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5 ο 47. i) 4 16 ii) 5 4 iii) 4 iv) 5 5 5 ΘΕΜΑ ο α) Ένας µαθηµατικός που πρόκειται να αγοράσει ένα περιφραγµένο οικόπεδο στο Βαρνάβα Αττικής σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 4070 m θέλησε να µάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όµως του οικοπέδου δεν ήξερε τις διαστάσεις. Θυµόταν, όµως, ότι χρησιµοποίησε 58m συρµατόπλεγµα για να το περιφράξει. Μ αυτές τις πληροφορίες ο µαθηµατικός βρήκε τις διαστάσεις. Ποιες ήταν αυτές; β) Μετά θέλησε να µάθει από την πολεοδοµία του Καπανδριτίου ποιο είναι το µέγιστο εµβαδόν του σπιτιού που δικαιούται µε βάση το νόµο, να κτίσει. Ο πολεοδόµος για να τον δυσκολέψει (υποτίθεται) του έδωσε την απάντησή ότι η περίµετρος του σπιτιού (σχήµατος ορθογωνίου) µπορεί να είναι µέχρι 40m. Ο µαθηµατικός φυσικά βρήκε το µέγιστο εµβαδό. Ποιό ήταν αυτό;