Потенцијално струјање

Потенцијално струјање Значај модела потенцијалног струјања са граничним слојем Коришћењем модела потенцијалног струјања са граничним слојем добија се могућност аналитичког решавања унутрашњих и спољашних струјања (губици у цевима, силе отпора и узгона при опструјавању тела) Значај рачунског решавања стварних струјних проблема је што нема потребе за експерименталним одређивањем карактеристичних, често најважнијих елемената струјања као што су коефицијенти: локалних губитака, узгона и отпора Постављање модела потенцијалног струјања са граничним слојем уследило је због знатних одступања која су се јављала при аналитичком решавању струјања са високим Рејнолдсовим бројем, где се претпостављало да се могу занемарити силе трења (Rе је однос инерцијских и вискозних сила) Примери занемаривања вискозних и инерцијских сила су Бернулијева једначина за идеалан флуид и потпуно развијено струјање у цевима Прантл је 194 године први поставио хипотезу граничног слоја по којој су, за струјања са великим Рејнолдсовим бројевима, ефекти вискозности и вртложења ограничени на узан слој флуида уз граничну површину чврстог тела или површину дисконтинуитета (гранична површина млаза) Изван ове области струјање се понаша као идеално: невискозно и невртложно На слици 1 приказане су области граничног слоја и потенцијалног струјања за пример спољашњег и унутрашњег струјања Слика 1 Области потенцијалног струјања и граничног слоја за пример опструјавања аеропрофила и неразвијеног струјања на почетку цеви Теорија потенцијалног струјања најстарија је област аналитичке механике флуида и датира из половине XVIII века Све до Прантлове хипотезе математичка решења бројних случајева потенцијалног струјања нису имала (или су имала врло ограничену) инжењерску примену Суштина модела потенцијалног струјања са граничним слојем је у следећем: o Комплетна анализа проблема струјања састоји се у заједничком третману обе области Област ван граничног слоја анализира се под претпоставком да нема тангенцијалних напона, а при том се, најчешће, дебљина граничног слоја занемарује Нулти тангенцијални напони одговарају условима безвртложног струјања, односно могућношћу да се поље брзина добије из скаларне функције потенцијала, па се оваква струјања називају потенцијалним Најкориснији податак из резултата потенцијалног струјања је распоред притиска на спољашњој површини граничног слоја o Гранични слој се анализира претпостављајући да је притисак кроз њега, нормално на чврсту површину, константан и једнак притиску на граници потенцијалног струјања Са познатим распоредом притиска у граничном слоју могу да остану непознате силе: вискозности и инерције уз услов да се занемаре нормални вискозни напони кроз гранични слој Распоред притиска кроз гранични слој, који је добијен као резултат решавања потенцијалног струјања замењује једначину о промени количине кретања за гранични слој у правцу нормале, тако да се за решавање граничног слоја примењују једначина континуитета и једначина о промени количине кретања уздуж граничне површине Резултат прорачуна граничног слоја су: тангенцијални напон на чврстој површини τ, дебљина граничног слоја δ и информација о могућном одвајању граничног слоја од чврсте површине o На граници потенцијалног струјања и граничног слоја не постоје нормалне компоненте брзина док су брзине у правцу струјања исте Оне се одређују применом Бј за границу потенцијалног струјања из претходно одређеног распореда притиска 11

Повезаност решавања потенцијалног струјања и граничног слоја је приказана на слици Повратна спрега (корекције) прорачуна граничног слоја и потенцијалног струјања служи за добијање тачнијег распореда притиска што је посебно значајно при решавању проблема унутрашњих струјања као што је нпр улазна област цеви почетак корекције (према избору) дебљина граничног слоја прорачун потенцијалног струјања површински распоред притиска прорачун граничног слоја одвајање у граничном слоју? притисак струјна слика спољашњег и потенцијалног струјања распоред тангенцијалног напона на чврстој површини,τ важеће решење целокупног струјног проблема Сл Шематски приказ прорачуна при великим Rе модела потенцијалног струјања и граничног слоја Иако се у новије време мерењем распореда притиска на граници и кроз гранични слој у потпуности избегава решавање потенцијалног струјања, потреба за коришћењем модела потенцијалног струјања са граничним слојем остаје, јер представља компоненту теоријског развоја механике флуида која је најдубље продрла у реалне струјне проблеме Иницирање стварне слике струјања и могућност комбиновања и описивања нових реалних и имагинарних струјања захтева изучавање потенцијалног струјања - најзначајнијег представника кретања идеалног флуида (Само понекад потенцијално струјање примењује се на слабо компресибилне флуиде) Гранични слој се изучава нешто касније јер се његов практичан значај манифестује кроз отпоре тела која се крећу кроз флуид - најважнију дисциплину примењене механике флуида у техници Функција потенцијала брзине φ и струјна функција ψ Полазна претпоставка потенцијалног струјања да невискозан флуид условљава непостојање вртлога може да се докаже математичким путем или објасни на следећи начин Да би се у невтрложном струјању појавили вртлози потребан је момент, међутим, у одсуству тангенцијалних сила (невискозан флуид) једине силе које постоје су нормалне (притисак који делије кроз геометријско тежиште) и тежина (која делује кроз центар месе) Ниједна од ових сила у флуиду једнолике густине не може да изазове момент који ће обртати флуидни делић У одсуству вискозности вртложење не може да се појави ни уколико кроз миран флуид пролази чврсто тело, тако да важи већ раније исказан постулат да уколико је почетно струјање без вртлога оно ће и остати безвртложно На овом месту треба поновити да стационарно и невртложно струјање Ојлерову једначину редукује на основни облик Бернулијеве једначине која важи за цело струјно поље v dp + gz + const = ρ 113

Услов невртложности, = otv = [ v] захтева v = φ где је са φ означена скаларна функција потенцијала брзине Компоненте брзине су φ φ φ vx = ; vy = ; vz = z а њихово уврштавање у једначину континуитета доводи до Лапласове једначине φ φ φ z + + = φ = Већ споменута предност функције потенцијала φ над вектором брзине v да скаларна функција φ замењује три или две функције v x, v y и v z, при потпуној анализи струјања поља користи се под називом "теорија потенцијалног струјања" Ако је ограничена на некомпресибилно струјање, често се назива теоријом идеалног струјања (идеалан невискозан, некомпресибилан) Тродимензијски проблеми тешко се решавају чак и када се редукују својства струјног поља Дводимензијска струјања садрже најчешће све потребне карактеристике реалног струјања, лакша су за решавање, тако да представљају базу потенцијалних струјања Уобичајен термин под којим се проучавају оваква струјања је: "раванско струјање" или "раванско потенцијално струјање" Поред функције потенцијала брзине φ уводи се и струјна функција ψ која је од већег физичког значаја од φ, јер поред тога што се из ње могу одредити компоненте брзине струјног поља, њене константне вредности одређују слику струјања, а разлика константних ψ - величину протока између две струјнице Струјна функција ψ (x,y) дефинише се из следећих израза ψ ψ vx =, vy = и задовољава једначину континуитета идентитетом На слици 3 приказане су геометријске ознаке за струјнице и одређивање протока Проток се одређује једноставно из ψ ψ Q1 = d Q= ( vxdy-vyd x) = dy+ dx = dψ = ψ ψ1 1 1 1 1 Слика 3 Израчунавање запреминског протока између две струјнице За одређену струјницу ψ=const важи тј ψ ψ dψ = dx+ dy = 114

представља нагиб струјнице ψ dy v = = dx ψ ψ = const v y x Линије φ=const које се називају еквипотенцијалним линијама нормалне су на струјнице пошто се из φ φ dφ = dx+ dy = и φ dy v = = dx φ φ = const v види да је њихов нагиб реципрочно негативан према струјницама Ова законитост губи се само у тачкама сингуларитета (тачке у којима су v x = и v y =) На слици 4 приказане су струјнице и еквипотенцијалне линије за спољашње и унутрашње струјање За невртложно струјање важи vy vx ψ ψ ωz = = = ψ = односно струјна функција мора да задовољи Лапласову једначину као и функција φ ψ ψ + = Функције φ и ψ различите су, иако задовољавају исту једначину због различитих граничних услова x y Слика 4 Еквипотенцијалне линије и струјнице за пример спољашњег и унутрашњег струјања Струјна функција се подудара са обликом чврсте површине Тамо је ψ=const Често је корисно неку интересантну струјницу или више њих прогласити чврстом површином Тада остатак струјница представља потенцијално поље које се анализира Уобичајена су три начина за решавање потенцијалних струјних проблема Сва три су математичка, без потребе за експерименталним информацијама То су: o метод сингуларитета o метод комплексних променљивих, o директни апроксимативни методи Метод сингуларитета формира потенцијално струјање комбинацијом једноликог струјања и изолованих сингуларитета Сингуларитети (тачке у којима једначине струјања престају да важе) су: извор-понор, 115

вртлог и двопол Једнолико струјање није сингуларитет али може да се представи са два сингуларитета извором у + и понором у - истих интензитета издашности Метод комплексних променљивих коришћењем теорије комплексних променљивих неколико основних струјања геометријски трансформише у друга струјања Директних али апроксимативних метода има неколико - од графичке конструкције мреже еквипотенцијалних линија и струјница до, на рачунару решених, једначина са φ и ψ функцијама применом метода коначних разлика или коначних елемената Метод сингуларитета такође је са успехом припремљен за рачунар јер могућностима рачунара одговара избор, распоред и интензитет сингуларитета који највише личе жељеном облику струјница (аеропрофил, бродско корито) Раванска потенцијална струјања добијена применом функција комплексне променљиве Конструисање потенцијалних струјања сабирањем сингуларитета има два недостатка: o може да се представи ограничен број струјања, o не може да се представи струјање око оштрих ивица као што је нпр силазна ивица аеропрофила Примена метода комплексно-променљивих омогућава стварање нових потенцијалних струјања Важи искључиво за дводимензијска раванска струјања Комплексна променљива z састоји се из реалног и имагинарног дела z = x+ iy где је i =-1, а x и y су "компоненте" комплексне променљиве Тачка у равни, коју представља комплексна променљива, може да се представи у поларном обиму i z = x+ iy = (cosθ + isin θ) = e θ Функција комплексне промељиве има, такође реалан и имагинаран део f ( z) = f( x+ iy) = ξ + iη Најважнији тип комплексних функција су аналитичке функције које имају једнозначан извод у свакој тачки За аналитичке функције важе следеће две теореме: o Да би аналитичка функција f ( z) = f( x+ iy) = ξ + iη била аналитичка, неопходно је да Ово су Коши-Риманове једначине o ξ η = и ξ η = x Обе компоненте аналитичких функција задовољавају Лапласову једначину, тако да је ξ ξ + = и η η + = Пошто потенцијал брзине и струјна функција задовољавају Коши-Риманове једначине и Лапласову једначину v x φ ψ ; v φ = = ψ y = = φ φ ψ ψ + = ; + = оне комбинацијом дају комплексну функцију (комплексни потенцијал) W( z) = φ( x, y) + iψ ( x, y) Одавде следи закључак да се реалан и имагинаран део једне произвољне аналитичке функције W може увек сматрати потенцијалом брзине φ и струјном функцијом ψ раванског потенцијалног струјања 116

Из комплексног потенцијала непосредно се налази брзина струјања не одређујући претходно ни потенцијал φ ни струјну функцију ψ dφ dψ φ φ ψ ψ + i + y + i + i y dw dφ + idψ dx dx = = = = dz dx+ idy 1+ iy 1+ iy vx + vyy ivy + ivxy vx(1 + iy ) ivy(1 + iy ) = = = vx ivy = v 1+ iy 1+ iy која се назива комплексном брзином Апсолутне вредности комплексне брзине dw v = = vx + vy = v dz представља интензитет вектора брзине v За позитиван угао θ између вектора брзине v и x-осе v = vcos θ, v = vsinθ следи dw v v i (cos i sin ) ve θ = = θ θ = dz Зауставне тачке у струјању налазе се на местима где је Комплексни потенцијали основних струјања x y dw dz = Комплексни потенцијал униформне струје под углом α у односу на x-осу (слика 5) тј W = φ + iψ = v xcosα + v ysin α + i( v ycosα v xsin α) W v x iy i v ze v e iα i( θ α) = ( + )(cosα sin α) = =, φ = vcos( θ α); ψ = vsin( θ α) Слика 5 Униформна струја Комплексни потенцијал осамљеног извора (понора) (слика 6) ε ε W( z) = ln z = (ln + iθ ), z = x+ iy = e π π ε ε ε y φ = ln = ln x + y, ψ = actg π π π x iθ 117

dw v = ; v ; v dz = ε ε θ π = π = Због бесконачно велике брзине у координатном почетку ова тачка се издваја (сингуларитет) У случају понора ε<, у случају извора ε> Слика 6 Струјање у пољу извора Брзински потенцијал је једнозначна функција те је циркулација једнака нули без обзира на положај и облик затворене криве Комплексни потенцијал осамљеног вртлога (слика 7) Слика 7 Струјање у пољу вртлога iγ Γ W( z) = ln z = ( θ + iln ) π π Γ Γ φ = θ, ψ = ln π π Γ v = π За вртложење у правцу казаљке на сату (негативно) циркулација је мања од нуле, Γ< Када произвољна затворена крива не обухвата координатни почетак (сингуларитет), циркулација је нула Γ=, а када га обухвата Γ=const, јер је потенцијал вишезначна функција d W i Γ,, i Γ v = = v = vθ = dz π z π z 118

Комплексни потенцијал двопола Варирањем раздаљине извора и понора у јадноликој струји добијају се екстремна струјања Уколико се извор и понор удаљавају у бесконачност добија се струјање преко танке равне плоче, што одговара једноликом струјању Уколико се извор и понор споје, добија се струјање око двопола које одговара опструјавању малог кружног цилиндра Опструјавање кружног цилиндра коначне димензије је врло важно, а добија се повећањем издашности извора и понора уз задржавање а, односно одржавањем константног производа εа док а Овако се добија нов тип сингуларитета који се назива двопол (слика 8) Слика 8 Струјање у пољу двопола Извор и понор истих издашности ±ε налазе се на реалној оси на растојању ±а од координатног почетка Комплексни потенцијал збирног струјања износи ε ε ε z+ a W = ln( z+ a) ln( z a) = ln π π π z a Ако се уведе момент двопола M = lim aε = const и потражи гранична вредност када а, добија се a M z+ a M W = lim ln = a 4π a z a π z комплексни потенцијал двопола смештеног у координатном почетку Из комплексног потенцијала следе φ = M x = M cos θ, ψ = M y = M sinθ π x + y π π x + y π Ако је двопол оријентисан под неким углом α према x-оси, а налази се у тачки z, онда се W, φ и ψ дати са iα Me M cos( α θ) M sin( α θ) W = ; φ = ; ψ = π( z z1) π π Увођењем модула 1 и и аргумента θ 1 и θ који дефинишу ма коју тачку z(x,y) у равни z, полазећи од извора и понора (како је приказано на слици 9), може да се напише z a x a iy e θ тако да су: комплексни потенцијал iθ1 ε e 1 ε 1 ε W = ln = ln i i ( θ θ θ 1) π e π π i 1 i + = + + = 1 и z a= x a+ iy = e θ потенцијал брзине и струјна функција ε 1 ε ay φ = ln ; ψ = actg π π x + y a Нулта струјница ψ= је x-оса, док су остале струјнице (слика 9) x + y Cay = a 119

кружнице чији центри леже на имагинарној оси, а све пролазе кроз тачке у којима су смештени извор и понор (слика 1) Слика 9 Геометрија двопола Слика 1 Струјање у пољу двопола Комплексни потенцијал облика степене функције Аналитичка функција облика n n W = az = a (cos nθ + isin nθ ) са n n φ = a cos nθ и ψ = a sin nθ, представља струјање унутар и око две чврсте равни које међусобно заклапају различите углове Нулте струјнице (чврсте равни) добијају се из услова ψ=, тј sin nθ = односно nθ = kπ, k =,1,, па је θ= и θ=π/n На слици 11 приказани су карактеристични случајеви струјања Комплексна брзина је: dw n 1 n 1 i( n 1) θ v = = naz = na e dz а интензитет брзине v v na n 1 = =, тако да у зауставној тачки (v= или =) постоје следећи случајеви: за n > 1, v = за n = 1, v = a за n < 1, v = 1

Слика 11 Изглед струјница степене функције за различите вредности n Одавде следи закључак да у тачкама дисконтинуитета чврсте површине (различите тангенте), брзина идеалног флуида једнака је нули када је угао са флуидне стране мањи од π, а брзина је бесконачна када је угао већи од π Код реалног флуида за θ <π наступиће одвајање флуида од чврсте површине због успоравања струјања уз појаву струјећег вртлога у углу, а за θ >π ако је промена тангенте нагла на месту дисконтинуитета долази до одвајања струје Струјање око кружног цилиндра Комбинација једноликог струјања са двополом представља струјање идеалног флуида око кружног цилиндра Опструјавање кружног цилиндра је значајно за анализу отпора тела потопљених у реалном флуиду Струјање без циркулације Комплексни потенцијал, струјна функција и функција потенцијала брзине дати су са следећим изразима Нулта струјница је M W = vz+ ; π z M 1 M φ = x v + v = + cosθ ; π x + y π M 1 M ψ = y v v = sinθ π x + y π M = + = = π v y ; x y R ; R Струјнице су симетричне у односу на x и y-осу (видети слику 1) Могу се конструисати графички, слагањем два компонентна струјања (Ренкинова метода) 11

Слика 1 Ациклично струјање око кружног цилиндра Сменом M = π vr струјна функција може се изразити зависно од полупречника кружног цилиндра R R ψ = v sinθ и W = v z z одакле је За контуру цилиндра је а зауставне тачке су R ψ R θ θ 1 ψ v = = v 1 cos ; v = = v 1+ sinθ θ v = и v = v= v sinθ ; vmax θ = ± v за θ = ± π v θ = за θ = ± π Распоред притиска по површини цилиндра добија се из Бј за тачку довољно удаљену од цилиндра где се не осећа утицај опструјавања и за тачку на цилиндру 1 1 p= p + ρ ( v v ) = ρv ( 1 4sin θ) или изражено коефицијентом притиска c p c p p p = = 1 ρv 1 4sin θ Слика 13 Распоред притиска при опструјавању кружног цилиндра без циркулације идеалним флуидом 1

Дуж долазеће нулте струјнице θ=π брзина и коефицијент притиска су R R R v = v= v 1, c p = Промена c p приказана је на слици 13 Распоред притисака симетричан је у односу на y-осу, тако да се не јавља отпорна сила при кретању цилиндра кроз идеалан флуид Овај Даламберов парадокс последица је занемаривања вискозних сила Кретање кружно-цилиндричног тела кроз реалан флуид изазива отпорну силу јер распоред притиска око цилиндра није више симетричан Ациклично струјање је због јер је потенцијал φ једнозначна функција Γ= v,dl = φ φ = ( ) A A Струјање са циркулацијом Цилиндар који се обрће и истовремено налази у једноликој струји генерише узгонску силу, без обзира да ли је у питању идеалан или реалан (вискозан) флуид Симулација овакве врсте струјања постиже се постављањем усамљеног линијског вртлога у осу цилиндра Уколико је једнолико струјање усмерено у правцу позитивне x-осе, за добијање позитивне узгонске силе (позитивна y-оса) мора се увести негативна циркулација ( Γ ) Комплексни потенцијал, струјна функција и потенцијал брзине дати су са: Из комплексне брзине R iγ W = v z+ + ln z z π R Γ 1 cos φ = v + θ θ π R θ Γ ψ = v 1 sin + ln π d W 1 R i Γ v = = v + dz z π z координате зауставних тачака одређују се решавањем једначине πvz + iγz πvr = тј дискриминанте = Γ + 16π v R за коју важе три случаја (видети слику 14): а) > ; Γ< 4π vr - брзина је једнака нули у тачкама: iγ Γ z = и z 1 R 4πv 16π v iγ Γ = + R 4πv 16π v Ове тачке су симетричне према y-оси, а негативан знак ординате показује да леже на кружници испод x-осе, како је показано на слици 14 б) = ; Γ= 4π vr - зауставне тачке се поклапају iγ z1 = z = 4π v в) < ; Γ> 4π vr - зауставне тачке леже на ординатној оси, али су различито удаљене од координатног почетка Тачка која пада унутар кружнице без значаја је за опструјавање 13

Брзина на површини цилиндра је Слика 14Струјнице при опструјавању кружног цилиндра са циркулацијом Γ v= vθ = v sinθ, v = ; π R а Бернулијева једначина за тачку неузнемирене струје и тачку на површини цилиндра даје распоред притиска по површини цилиндра: 1 1 Γ p= p + v ρ ρ vsinθ π R Елементарна сила притиска на цилиндар (слика 15), где је b дужина цилиндра је: df = pbrdθ а хоризонтална и вертикална компонента df = pbrcosθdθ ; df = pbrsinθdθ односно: Fx π x = pbrcosθdθ =, y π F = pbrsinθdθ = ρv Γb y 14

Слика 15 Елементарна сила притиска на цилиндар и њене компоненте Сила F x = јер је распоред притиска симетричан у односу на y-осу Из Fy = ρvγ за негативну циркулацију и једнолико струјање смера позитивне x-осе добија се узгонска сила (вертикално навише усмерена сила нормална на правац брзине) којом флуид, чак и идеалан, дејствује на кружни цилиндар Постојање ове силе указује да је притисак мањи на горњој половини кружнице (цилиндра јединичне висине) него на доњој Код реалног флуида циркулација се изазива обртањем цилиндра Обимна брзина цилиндра U = Rω у вези је са циркулацијом тако да је Γ U = π R F = F = π vuρrb (уобичајена ознака за силу узгона је F L ) а коефицијент узгона је y L F L U cl = = π 1 ρv ( Rb) v Овако добијена узгонска сила са кружним цилиндром који се обрће има ограничену примену (нпр коришћењем Флетнерових ротора на палуби брода могућа је уштеда горива до 3 %) Уобичајено је да се узгонска сила реализује са аеропрофилима 15