Αφιερώνεται στην κόρη μου Καλυψώ-Σοφία

Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Αφιερώνεται στην κόρη μου Καλυψώ-Σοφία «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθε σίας (Ν. 11/199 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου». Εκδόσεις Πατάκη Βιβλία για την εκπαίδευση Αθανάσιος Σδράλης, Μαθηματικά Γ Γυμνασίου με απαιτητικές ασκήσεις Υπεύθυνος έκδοσης: Νίκος Κύρος ιορθώσεις: Μάγδα Τικοπούλου Σελιδοποίηση: Αλέξιος Μάστορης Φιλμ-Μοντάζ: Μαρία Ποινιού-Ρένεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕ Ε (Εκδόσεις Πατάκη) και Αθανάσιος Σδράλης, Αθήνα, 018 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Φεβρουάριος 018 ΚΕΤ Α98 ΚΕΠ 1/18 ISBN 978-960-16-71-1 ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛ ΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 10 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 10.6.50.000, 10.5.05.600, 801.100.665, ΦΑΞ: 10.6.50.069 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 10.8.1.078 ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΗΜΑ: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ - ΠΕΡΙΟΧΗ Β ΚΤΕΟ), 570 09 ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, ΤΗΛ.: 10.70.6.5, 10.70.67.15, ΦΑΞ: 10.70.6.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

Περιεχόμενα Γράμμα προς τους μαθητές καθηγητές γονείς.............................. 5 Άλγεβρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις)........... 7 1. Ακέραιο μονώνυμο..................................................... 9 1. Πολυώνυμα........................................................... 5 1. Αξιοσημείωτες ταυτότητες.............................................. 6 1.5 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων.............................. 8 1.6 Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) Μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚ ) ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων..................................... 108 1.7 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.......................................... 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.1 Η εξίσωση αx+β=0.................................................... 11. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού............................................ 19. Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού............................... 19. Κλασματικές εξισώσεις................................................ 15.5 Ανισότητες Ανισώσεις με έναν άγνωστο................................ 171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης....................................... 189. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων....................................... 19 Γεωμετρία Τριγωνομετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.1 Ισότητα τριγώνων.................................................... 09 1. Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων......................................... 7 1. Θεώρημα του Θαλή................................................... 5 1. Ομοιότητα........................................................... 50 1.5 Λόγος εμβαδών όμοιων σχημάτων...................................... 67

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί............................................... 75. Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών...................... 8. Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας..................... 86. Νόμος των ημιτόνων Νόμος των συνημιτόνων........................... 9 Τεστ.................................................................... 0 ιαγωνίσματα............................................................ 1 Λύσεις των ασκήσεων και απαντήσεις των ερωτήσεων του βιβλίου............... 5 Λύσεις στις ασκήσεις και απαντήσεις στα τεστ και διαγωνίσματα................. 98 Λύσεις των ασκήσεων και απαντήσεις των ερωτήσεων του σχολικού βιβλίου....... 1

Γράμμα προς τους μαθητές καθηγητές γονείς Αγαπητές φίλες, αγαπητοί φίλοι, Όταν ξεκίνησα να γράφω το βιβλίο αυτό, στη σκέψη μου είχα συνέχεια τις δυσκολίες που παρατηρούσα είκοσι και πλέον χρόνια να αντιμετωπίζουν οι δικοί μου μαθητές, κατά τη διάρκεια της προετοιμασίας τους για τις εισαγωγικές εξετάσεις στα Ανώτατα και Ανώτερα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα. Με γνώμονα λοιπόν τις ανάγκες των μαθητών και με βοηθό την πολυετή πείρα μου, θέλησα να παρουσιάσω ένα βιβλίο σαν αυτά που θα ήθελα να έχω για να μελετώ ως μαθητής αλλά και ως καθηγητής. Ένα βιβλίο που να λειτουργεί συμπληρωματικά στα σχολικά βιβλία της τρέχουσας, της προηγούμενης αλλά και της επόμενης τάξης. Σκοπός μου είναι να προκαλέσω καθέναν που θα ήθελε να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά να αναζητήσει και να ανακαλύψει τη γοητεία και την ομορφιά που κρύβει μέσα της η διαδικασία αναζήτησης λύσεων, η συνδυαστική και κριτική σκέψη, αλλά και να νιώσει το μοναδικό αυτό συναίσθημα της ικανοποίησης κάθε φορά που φτάνει στη λύση του προβλήματος. Φιλοδοξώ τέλος να ωθήσω τους μαθητές να αγωνίζονται για το ιδανικό της αριστείας και να την έχουν ως οδηγό στα επόμενα βήματά τους. Το μυστικό της επιτυχίας στα Μαθηματικά είναι η μελέτη και η προσπάθεια κατανόησης του τρόπου επίλυσης των ασκήσεων ή προβλημάτων και όχι απλώς η απομνημόνευση των λύσεών τους. Στο βιβλίο αυτό περιέχονται: α) Στοιχεία θεωρίας, μεθοδολογία, αλλά και διάφοροι τρόποι σκέψης και λύσης με υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις, χαρακτηριστικά παραδείγματα και εφαρμογές. β) Ασκήσεις-προβλήματα προς λύση και ερωτήσεις, που ελπίζω να ικανοποιήσουν τις απαιτήσεις των μελετητών κάθε επιπέδου, αλλά και ασκήσεις τύπου εξετάσεων για πανεπιστήμια του εξωτερικού, γιατί σίγουρα αρκετοί από εσάς θα κληθούν σύντομα να αντιμετωπίσουν τέτοια θέματα και θεωρώ ότι πρέπει από τώρα να εξοικειωθούν με αυτά. 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ γ) Ενδεικτικές προτάσεις για γραπτές δοκιμασίες διαφόρων τύπων. δ) Λύσεις ή υποδείξεις λύσεων των ασκήσεων και των ερωτήσεων του βιβλίου αυτού, καθώς και του σχολικού. Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές, στους συναδέλφους και γιατί όχι, και στους γονείς. Ο συγγραφέας Αθανάσιος Σδράλης Ευχαριστώ την κόρη μου Καλυψώ-Σοφία για την κατανόηση αλλά και τη συμπαράστασή της καθ όλη τη διάρκεια της συγγραφής. Σημ. Θέλω να επισημάνω, όπως άλλωστε θα παρατηρήσετε, ότι γίνεται χρήση του συμβόλου κυρίως στις εξισώσεις, στα συστήματα κ.α. προκειμένου να δηλώσουμε ότι οι σχέσεις είναι ισοδύναμες, αντί του «ή» ή άλλων εκφράσεων ή ακόμη και αντί της έλλειψης συνδετικού κρίκου μεταξύ προτάσεων. 6

Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς 1.1 (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Έχουμε μάθει ότι: Φυσικοί αριθμοί είναι οι 0,1,,,... Ακέραιοι αριθμοί είναι οι...,,, 1,0, + 1, +, +,... Παρατηρούμε ότι οι ακέραιοι αριθμοί περιέχουν τους φυσικούς αριθμούς και τους αντίθετους των φυσικών αριθμών. Τους ακέραιους αριθμούς τούς διακρίνουμε σε άρτιους και σε περιττούς. Άρτιοι ακέραιοι είναι τα πολλαπλάσια του. Ένας άρτιος ακέραιος αριθμός x συμβολίζεται με x = κ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Π.χ. 8=, 56= ( 8 ). Άρτιοι ακέραιοι είναι οι αριθμοί 0, ±, ±, ± 6,... Περιττοί ακέραιοι είναι οι αριθμοί που δεν είναι πολλαπλάσια του. Ένας περιττός ακέραιος αριθμός x συμβολίζεται με x = κ + 1 ή x = κ 1, όπου κ ακέραιος. Π.χ. 1 = 10 + 1 ή 1 = 11 1, = ( 17) + 1 ή = ( 16) 1. Περιττοί ακέραιοι είναι οι αριθμοί ± 1, ±, ±,... Ρητοί αριθμοί Ένας αριθμός λέγεται ρητός, αν είναι ή μπορεί να γραφτεί ως πηλίκο δύο ακέραιων α αριθμών. Δηλαδή ένας ρητός αριθμός x γράφεται στη μορφή, β όπου αβ, είναι ακέραιοι με β 0. Για παράδειγμα οι αριθμοί 5, =, 0 είναι ρητοί αριθμοί. 7 1 Οι ακέραιοι αριθμοί (άρα και οι φυσικοί) περιέχονται στους ρητούς αριθμούς. Κάθε δεκαδικός ή περιοδικός αριθμός είναι ρητός αριθμός, αφού μπορεί να γραφτεί 7 7 5 1 ως πηλίκο δύο ακέραιων αριθμών. Π.χ.,5 =, 0,7 =, 0,5 =, 1,5 =. 9 99 99 Ο αριθμός 0,7 μετατρέπεται σε ρητό ως εξής: Θέτουμε x = 0, 7, δηλαδή x = 0,7777... () 1. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 10, οπότε έχουμε 10x = 7,777... ( ). Αφαιρούμε από τη σχέση ( ) την () x x= δηλαδή 9x = 7 ή 7 x =. Συνεπώς 9 1 και έχουμε 10 7,777... 0,777... 7 = 0,7. 9 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ο αριθμός 0,5 μετατρέπεται σε ρητό ως εξής: Θέτουμε x = 0, 5, δηλαδή x = 0,555... () 1. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 100, οπότε έχουμε 100x = 5,555... ( ). Αφαιρούμε από τη σχέση ( ) την () 1 και έχουμε: 100x x= 5, 555... 0, 555... ή 99x = 5 ή Ο αριθμός 1,5 μετατρέπεται σε ρητό ως εξής: 5 x =. Άρα 99 5 0,5 =. 99 Ο αριθμός 1, 5 γράφεται 1, 5= 1+ 0, 5. Στη συνέχεια μετατρέπουμε τον 5 0,5 σε ρητό. Είδαμε παραπάνω ότι 0,5 =, 99 5 1 οπότε 1, 5 = 1 + 0, 5 = 1 + =. 99 99 Άρρητοι αριθμοί Ένας αριθμός λέγεται άρρητος όταν δεν είναι ρητός, δηλαδή όταν δεν μπορεί να γραφτεί ως πηλίκο δύο ακέραιων αριθμών. Π.χ., 7, +, π. Οι δεκαδικοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά είναι άρρητοι αριθμοί. Πραγματικοί αριθμοί Όλοι οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί αποτελούν τους πραγματικούς αριθμούς. Τους πραγματικούς αριθμούς τούς απεικονίζουμε στα σημεία μιας ευθείας. Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα και μόνο ένα σημείο, αλλά και κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν και μόνο έναν πραγματικό αριθμό. Η ευθεία ονομάζεται ευθεία των πραγματικών αριθμών ή άξονας των πραγματικών αριθμών. Οι πράξεις στους πραγματικούς αριθμούς Υπενθυμίζουμε ότι: Ένας πραγματικός αριθμός είναι θετικός όταν έχει πρόσημο ( + ). Ένας πραγματικός αριθμός είναι μη αρνητικός όταν είναι θετικός ή μηδέν. Ένας πραγματικός αριθμός είναι αρνητικός όταν έχει πρόσημο ( ). Ομόσημοι αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετερόσημοι αριθμοί λέγονται δύο αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είναι ίση με την απόσταση του σημείου που παριστάνει πάνω στον άξονα τον αριθμό α από την αρχή του άξονα. Π.χ. 7 = 7, 5 = 5, 0 = 0. Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός ή μηδέν. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές. Δηλαδή α = α. 8

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε Πρόσθεση τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά τους βάζουμε πρόσημο το πρόσημό τους. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε πρόσημο το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Ιδιότητες Αντιμεταθετική α + β = β + α Προσεταιριστική α + ( β + γ) = ( α + β) + γ Ουδέτερο στοιχείο α + 0= 0 + α = α, α + α = α + α = ( ) ( ) 0 Για να υπολογίσουμε ένα άθροισμα με περισσότερους από δύο προσθετέους, υπάρχουν διάφοροι τρόποι. 1ος τρόπος: Προσθέτουμε τους δύο πρώτους αριθμούς, στο άθροισμά τους προσθέτουμε τον τρίτο, στο νέο αυτό άθροισμα προσθέτουμε τον τέταρτο κτλ., μέχρι να προσθέσουμε και τον τελευταίο προσθετέο. Π.χ. ( 5) ( ) ( 1) ( 6) ( 1) ( 9 ) ( 7) ( 1) ( 6) ( 1) ( 9) = ( + 5 ) + ( 6) + ( 1) + ( + 9 ) = ( 1) + ( 1) + ( + 9 ) = ( 1) + ( + 9) =. Α = + + + + + + + = + + + + + + = ος τρόπος: Εξετάζουμε αν υπάρχουν αντίθετοι αριθμοί, τους οποίους διαγράφουμε, αφού δίνουν άθροισμα μηδέν, π.χ. το ( + 1) με το ( 1 ). Στη συνέχεια χωρίζουμε τους θετικούς αριθμούς από τους αρνητικούς και τους προσθέτουμε ξεχωριστά. Π.χ. Α = ( 5) + ( ) + ( + 1) + ( 6) + ( 1) + ( + 9) = ( 5) + ( ) + ( 6) + ( + 9) = = ( 1) + ( + 9) =. Παρατηρήσεις 1. Δύο αριθμοί είναι αντίθετοι όταν το άθροισμά τους είναι ίσο με μηδέν. Ο καθένας από τους αριθμούς αυτούς είναι ο αντίθετος του άλλου. Ο αντίθετος του α είναι ο α και ο αντίθετος του α είναι ο ( α) = α. Προσοχή! Ο α δηλώνει τον αντίθετο του α και όχι κατʼ ανάγκη αρνητικό αριθμό.. Μπορούμε να διαγράφουμε τους αντίθετους προσθετέους, αν υπάρχουν, αφού το άθροισμά τους είναι μηδέν.. Οι προσθετέοι λέγονται και όροι του αθροίσματος. 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η πράξη της αφαίρεσης γίνεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης ως εξής: α β = α + ( β) Δηλαδή, για να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών, προσθέτουμε στον μειωτέο ( α ) τον αντίθετο του αφαιρετέου ( β ). Π.χ. 1 17 = 1 + ( 17) = 5. Π.χ. ( +7 )( +8 ) = +56, ( 6)( 9 ) = +5. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο ( + ). Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο ( ). 7 + 8 = 56, + 6 9 = 5. Π.χ. ( )( ) ( )( ) Το πρόσημο του γινομένου δύο αριθμών προκύπτει από τον πίνακα: Π.χ. Το γινόμενο ( ) ( 5)( 7) Το πρόσημο ενός γινομένου με πολλούς μη μηδενικούς παράγοντες επηρεάζεται μόνο από τους αρνητικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα, αν το πλήθος των αρνητικών αριθμών είναι άρτιο, τότε το γινόμενο θα έχει θετικό πρόσημο, ενώ, αν το πλήθος των αρνητικών αριθμών είναι περιττό, τότε το γινόμενο θα έχει αρνητικό πρόσημο. 1 + + έχει αρνητικό πρόσημο, αφού περιέχει τρεις αρνητικούς παράγοντες (αριθμούς), ενώ το γινόμενο 1 ( + ) ( 8)( 7) + ( 1) 9 έχει θετικό πρόσημο, αφού περιέχει τέσσερις 7 αρνητικούς παράγοντες. (Ο 9 είναι θετικός αριθμός.) Ιδιότητες Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Κανόνας των προσήμων ( + )( + ) = +, ( + )( ) = ( )( + ) =, ( )( ) =+ Αντιμεταθετική αβ = βα Προσεταιριστική α( βγ) = ( αβ ) γ Ουδέτερο στοιχείο 1 1 α 1= 1 α = α, α = α =1 α α α β γ αβ αγ Επιμεριστική ( + ) = + 10

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Παρατηρήσεις 1. Αν κάποιος παράγοντας ενός γινομένου είναι το μηδέν, τότε το γινόμενο ισούται με μηδέν. Δηλαδή ισχύει ότι α 0= 0.. Αν αβ = 0, τότε α = 0 ή β = 0.. Αν αβ 0, τότε α 0 και β 0.. Θα λέμε ότι δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι αν το γινόμενό τους είναι ίσο με τη μονάδα. Ο καθένας από τους δύο αυτούς αριθμούς είναι ο αντίστροφος του άλλου. 5. Ο αριθμός 0 δεν έχει αντίστροφο. Κάθε μη μηδενικός αριθμός α έχει έναν μοναδικό αντίστροφο, ο οποίος συμβολίζεται με 1. α α Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών α: β ή, πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο α με τον αντίστροφο του διαιρέ- β ιαίρεση α 1 τη β, δηλαδή = α. β β α Για το πρόσημο του πηλίκου ισχύουν οι ίδιοι κανόνες προσήμων όπως και β α 1 στον πολλαπλασιασμό, αφού = α. β β Το αρνητικό πρόσημο έχει την ίδια σημασία, είτε βρίσκεται στον αριθμητή ενός κλάσματος είτε στον παρονομαστή του είτε μπροστά από το κλάσμα. α α α Δηλαδή = =. β β β Προτεραιότητα πράξεων Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση έχουν προτεραιότητα στις πράξεις σε σχέση με την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, ή κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις ή βγάζουμε τις παρενθέσεις, αν αυτές αποτελούν όρους της παράστασης. Εφαρμογές 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) Α = ( 5 ) 1 8 + ( + 11) ( 9 + ) ( 6 + 1) 1 7 β) Β = ( 9) 1 ( 1 ) 5 1 6 9 5 γ) Γ = : : + ( + ) 11

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 δ) Δ = ( 5)( 1) 5 ( ) 1 5 1 6 1 Ζ = + : : 7 7 στ) ( ) 1 1 ε) Ε = + + 11 ζ) Η = + 5: Α = 5 1 8 + + 11 9 + 6 + 1 = = ( ) 1 8+ 8 ( 11+ ) ( + 8) = α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 11+ 8= 1 8 8= 1+ 8 8= 9 8= 15. 1 6 Β = 9 1 1 = 7 1 = 6 1 = 6. 7 7 β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 1 5 5 Γ = : : + + = + + 1= 6 9 5 6 9 γ) ( ) 5 0 15 80 108 107 = + + 1= + + = =. 7 108 108 108 108 108 8 5 Δ = 5 1 5 = 5 5 = 1 δ) ( )( ) ( ) ( ) ε) 5 5 5 5 = 5+ 5= = 0. 1 1 1 8 9 9 17 Ε = + + = + + = + = 6 1 1 1 1 1 7 17 1 17 1 51 65 9 = + = + = + = = 1. 1 1 6 1 6 6 6 6 1 5 1 6 1 5 1 7 5 1 Ζ = + : : = + + : 1 = + = 7 7 6 7 6 6 6 στ) ( ) ( ) = 1 =. ζ) 11 11 8 15 18 Η = + 5: = + 5 = = = 10 5 = =. 1

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1 1 1 1 1 6 99 996. Αν Α = 1 + + + +... + + και Β = 1 + + + +... + +, 1998 1999 6 8 996 998 Α + Β να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ =. (Ε.Μ.Ε. ΘΑΛΗΣ Β Γυμνασίου, 1999) Παρατηρούμε ότι 1 + = 1 + 1 = 1, 1 1 + = + = 1, 6 1 6 1 1 99 1 1997 + = + = 1,..., + = + = 1, οπότε έχουμε 8 1998 996 1998 1998 1 1 1 6 1 99 1 996 Α + Β = ( 1+ 1 ) + + + + + + +... + + + + = 6 8 1998 996 1999 998 = + 1+ 1+ 1 +... + 1 = + 1998 = 000. 1998 όροι Οπότε Κ = 000 =1000. Οι παραστάσεις ΑΒ, αποτελούνται από 1999 όρους, έτσι στο άθροισμα Α + Β η παράσταση ( 1+ 1+ 1 +... + 1) είναι άθροισμα 1998 μονάδων, δεδομένου ότι οι μονάδες των ΑΒ, «έδωσαν» το.. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 17 1 1 7 Α = + 1 : + 5 + 1 7 1 7 6 (Ε.Μ.Ε. ΘΑΛΗΣ Β Γυμνασίου, 011) 1 17 1 1 7 Α = + 1 : + 5 + 1 = 7 1 7 6 1 1 1 1 1 = + + + 1 = 7 1 1 17 7 6 1 1 1 1 1 6 = + + + = 1 1 1 17 7 6 6 17 1 1 9 8 6 1 1 1 1 = + + = + = 0 1 17 7 6 6 6 6 7 7 6 6. 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 1 1 1 1 Π = 1+ 1+ 1 +... 1+ 17 1 1 1 5 1 18 Είναι 1 + =, 1 + =, 1 + =,..., 1+ =. 17 17 1 1 1 1 5 18 Οπότε Π = 1+ 1+ 1 +... 1 + =.... 17 17 Στο γινόμενο αυτό παρατηρούμε ότι ο αριθμητής κάθε κλάσματος (με εξαίρεση το τελευταίο) ισούται με τον παρονομαστή του επόμενού του κλάσματος, συνεπώς 5 18 18 απλοποιούνται μεταξύ τους και έχουμε Π =... = = 9. 17 Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ο αριθμός είναι ακέραιος. 6 β) Ο αριθμός είναι ακέραιος. 75 γ) Ο αριθμός είναι ακέραιος. δ) Ο αριθμός 7 είναι άρρητος. ε) Ο αριθμός 6 δεν είναι ρητός. 9. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Κάθε ρητός αριθμός είναι πραγματικός αριθμός. β) Οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι ρητοί αριθμοί. γ) Υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί που δεν είναι φυσικοί αριθμοί. δ) Κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός αριθμός. ε) Κάθε δεκαδικός αριθμός είναι ρητός αριθμός. στ) Το πηλίκο δύο άρτιων αριθμών είναι πάντα άρτιος αριθμός. ζ) Το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος αριθμός. η) Το γινόμενο δύο άρτιων αριθμών είναι πάντα άρτιος αριθμός. 1

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ θ) Το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι περιττός αριθμός. ι) Το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι πάντα περιττός αριθμός. ια) Το πηλίκο δύο άρτιων αριθμών είναι πάντα ακέραιος αριθμός. ιβ) Το πηλίκο δύο περιττών αριθμών είναι πάντα ακέραιος αριθμός. ιγ) Το πηλίκο δύο άρτιων αριθμών είναι πάντα ρητός αριθμός.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Οι αντίθετοι αριθμοί είναι ετερόσημοι. β) Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν άθροισμα μηδέν. γ) Δύο αριθμοί με άθροισμα θετικό είναι πάντοτε θετικοί. δ) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε δεν είναι ποτέ ίσοι. ε) Υπάρχουν αντίθετοι αριθμοί που οι αντίστροφοί τους έχουν ίσες απόλυτες τιμές. στ) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι. ζ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. η) Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν γινόμενο μηδέν. θ) Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε έχουν ίσες απόλυτες τιμές. ι) Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε έχουν ίσες απόλυτες τιμές. ια) Ο αντίθετος του α, δηλαδή ο α, είναι αρνητικός αριθμός. ιβ) Η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η α είναι το μηδέν. ιγ) Αν x + y = 0, τότε x= y = 0. ιδ) Αν x+ y = 0, τότε x= y. ιε) Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ετερόσημοι.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Αν x και y είναι θετικοί αριθμοί με x+ y = 7, τότε η παράσταση 7 y x είναι ίση με: Α. 1 Β. 0 Γ. 1 Δ. y Ε. x 1 β) Αν ισχύουν xy > 0, 1 + 1 = 5 και 1 6, x y xy = τότε η τιμή της παράστασης x+ y 5 είναι: Α. 1 5 Β. 1 6 Γ. 1 5 Δ. 5 Ε. 6 15

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ασκήσεις Προβλήματα προς λύση 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 1 1 Α = + + + + 9 α) ( 1 1 1 ): ( 6 ) β) ( ) 5 ( 1) Β = + { } γ) ( ) ( ) Γ = 5 + 1 1 + 11 5 δ) Δ = 1 + 10. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) 1 5 Α = + + + + 5 10 15 0 5 7 1 5 7 β) Β = + 1 + 5 10 5 10 5 5 1 1 γ) Γ = + 1 6 1 δ) 17 5 11 Δ = 1 + 1 + 15 5 5 15 ε) 1 1 1 1 Ε = + + 1 6 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) 1 5 1 5 Α = 1 + 1+ 6 6 β) 1 5 1 Β = 1 1 6 + + + 1 γ) 5 5 1 Γ = 1 1 6 + + + + 1 δ) 1 1 7 1 Δ = + 1 + + 5 10 5 16

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: ( ) ( ) 1 9 1 5 α) Α = + : 6 5 β) 7 8+ Β = 8 1 1 5 1 1 γ) Γ = : + δ) Δ = + : 8 6 ε) 9 1 1 Ε = : : : 1 5 5 5 9 στ) 1 1 Κ = 1 + 1 : 1 + 5 5 5. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 1 1 1 α) Χ = 1 : :( 0,0) + 5 10 5 8 1 1 1 Υ = + : 6 : + 5 5 β) ( ) 1 1 1 7 Ζ = + : : + 5 18 γ) ( ) 6. α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 8 5 5 Κ = + 5 :, 6 5 1 Λ = 1+ β) Αν Κ = και Λ =, να συγκρίνετε τα κλάσματα Κ και Λ και να βρείτε ένα κλάσμα ανάμεσά τους. 5 7. Αν Α =, 8 ( ) 1 Β = 9 18 και 9 9 18 Γ = ( 10) + 0 :, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ Α+. 5 10 5 5 Β 17

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 8. Αν ( x) y = 8, να υπολογίσετε την τιμή του xy. 9. Αν, 1 x και 1 ; y xy είναι δύο αντίστροφοι αριθμοί ( x y ) 0, 0, τι σχέση έχουν οι αριθμοί x 10. α) Αν x+ y = 0, με xy 0, να υπολογίσετε την τιμή του. y y β) Αν x y = 0, με xy 0, να υπολογίσετε την τιμή του. x 11. Αν α + β =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Μ = 16 α + β 5 + β 1 + α + 5 α β 11. ( ) ( ) ( ) Β. 18 υνάμεις πραγματικών αριθμών Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό ν ν είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α και συμβολίζεται με α. ν Δηλαδή α = α ν = α α α... α. Επιπλέον ορίζουμε ότι 1 α = α για ν = 1 ν π α ρ ά γ οντ ε ς 0 α = 1 για κάθε αριθμό α 0 ν 1 α =, με α 0 ν α Παρατηρήσεις 1. Ισχύει ότι, αν α = β, τότε ν ν α = β. Δεν ισχύει όμως το αντίστροφο, αφού για παράδειγμα είναι ( ) =, αλλά.. Προσέχουμε στις περιπτώσεις όπου η βάση της δύναμης είναι ο αριθμός α, α 0, και εκθέτης ένας ακέραιος αριθμός ν. Συγκεκριμένα έχουμε: 5 = 5 5 = 5 5= 5 = 5. α) ( α) = α, π.χ. ( ) ( )( ) κ κ β) ( ) ( ) ( ) κ κ. α = α = α = α Δηλαδή όταν ο εκθέτης είναι άρτιος, οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες δυνάμεις, π.χ. ( ) 6 6 =.

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Έτσι, για τους αντίθετους αριθμούς α, α, α + β, α β και α β, β α έχουμε ( α) α, ( α β) = ( β α) γ) ( ) ( ) ( ) ( ). = ( α β) ( α β) κ+ 1 κ κ κ+ 1. α = α α = α α = α = + και Δηλαδή όταν ο εκθέτης είναι περιττός, οι αντίθετοι αριθμοί έχουν αντίθετες δυνάμεις, π.χ. ( ) 5 5 =.. Προσέχουμε ότι στην παράσταση ν α το πρόσημο ( ) και αν είναι ο εκθέτης, διότι δεν «υψώνεται» στη ν. Π.χ. = = 9, ενώ ( ) = ( )( ) = 9. παραμένει, όποιος Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο, με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται. Ιδιότητες Παραδείγματα μ ν μ ν α α = α + + 5 5 = 5 = 5 5 μ α α : α = α ή = α ν α μ ν μ ν μ ν 1 :1 = 1 = 1 9 7 9 7 ( ) ν ν ν αβ = α β ( ) x = x = 9x ν α α = β β ν ν = =, = = = 8 9 1 1 5 5 5 6 6 μ ( ) ν μν α = α ( ), ( ) ν α β = β α ν 6 6 = = ν ν 5 7 = 7 5 Παραδείγματα 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 017 = 1, = 8, =, =, + = + 8 = 11, + = 5 = 15, = 16 = 8, = 1 = 1, 9 6 6 10, ( ), 8. = = = = = 16 19

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 1 1 1 1 = =, = =, = =,. ( ) ( ) 5 0 0 1 1 1 ( ) ( ) = =, = = =, 7 7 16 16 15 15 ( ) ( ) = =, = =. 1 1 1 1 = = 5 5 6, = = =,. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 1 18 1 ( ): = : =, ( ) 5 9 9 5 ( ) 5 5 5 = = ( ) =. 5 8 6 6 6 6 7 + : + = + + = =, Εφαρμογές 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη, και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας: α) Αν ο α είναι ακέραιος μη μηδενικός αριθμός και ο ν είναι φυσικός αριθμός, ν τότε ο ( α ) είναι άρτιος. κ β) Αν α > 1, τότε για κάθε ακέραιο αριθμό κ 0 ισχύει α > 1. α) Η πρόταση είναι λάθος, διότι για ν = 0 έχουμε ( α ) 0 = 1, που δεν είναι άρτιος. Αν είχαμε ως δεδομένο ότι ο ν είναι φυσικός αριθμός διάφορος του μηδενός, τότε θα είχαμε ( α) ν = ν α ν, που είναι πολλαπλάσιο του και άρα άρτιος. β) Η πρόταση είναι λάθος, διότι για κ < 0, δηλαδή κ = ν, με ν φυσικό αριθμό διάφορο του μηδενός, έχουμε α 1 1 = = < 1. 9. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: κ ν 1 1 = α = = < 1, ν α α 0 1 α) Α = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0 7 1 1 β) Β = ( ) : : + ( 1 ) ( 1+ ) ν ν αφού α > 1. Π.χ. ( ) 15 15 0

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 7 6 5 1 : 1 1 γ) ( ) ( ) δ) Γ = + + + ( ) ( ) 1 1 : 1 Δ = + 0 ( 1) ( 1) 0 1 1 1 1 1 1 10 11 Α = + + + + = 1 + + = =. 8 16 16 16 16 α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β) ( ) : : ( 1 ) ( 1 ) 1 0 7 1 1 Β = + + = 15 15 ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 = 1 + = 8 1+ + 1= 8. 9 16 8 8 7 6 5 1 : 1 1 γ) ( ) ( ) δ) Γ = + + + = ( ) ( ) 6 6 5 1 5 1 1 5 1 5 16+ 5 1 = ( ) :( ) + + 1 1 = 1+ = + = + = =. 8 5 ( ) 1 1 : 1 0 1 Δ = ( 1) ( + 1) = : = + 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( = + = + = ( + ) = 10.. Να βρείτε την τιμή της παράστασης είναι αντίστροφοι. ( xy) ( yx) 10 ( xy) 1 Α =, αν οι αριθμοί xy, Επειδή οι xy, είναι αντίστροφοι, έχουμε ότι xy = 1, οπότε θα προσπαθήσουμε στην παράσταση Α να σχηματίσουμε, όπου είναι δυνατόν, το γινόμενο xy. 1

Είναι ( xx y ) ( y y x ) ( ) 1 { x( xy) y ( yx) } 10 ( ) 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α = =. Έχουμε όμως ότι 10 10 xxy x x y xy = 1, οπότε ( y ) 1 8 10 8 8 8 x y x x y 10 ( xy) 1. x Α = = = = = ( x) 1 5 7 1. Αν α = 10 :10, β = 10 :10 και γ = 10 1000, να βρείτε την τιμή της παράστασης 6 αβγ Α =. αβ + βγ + γα (Ε.Μ.Ε. ΘΑΛΗΣ Γ Γυμνασίου, 011) ( ) ( ) 1 1 5 7 5 7 Είναι α = 10 :10 = 10 = 10, β = 10 :10 = 10 = 10 και γ = 1 10 1000 1 = 10 10 = 10, οπότε αβ + βγ + γα = + + = 10 10 10 10 10 10 10. Άρα ( ) 6 αβγ = 10 10 10 = 10 και 6 610 1 1 1 Α = = 10 = 00 = = =. 10 00 10 0000 5. Να αναλύσετε τους αριθμούς 108, 16 και σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Είναι 108 5 81 1 7 7 6 9 9 1 1 1 άρα 108 =, ( )( ) Κ =108 16 16 = και =, οπότε: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Κ = 108 16 = = ( ) 1 = = = = 6 9 6 6 1 1 1 6.

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1β 6. Αν α =, να βρείτε τι μεταβολή υφίσταται η τιμή του α, όταν και ο β και γ ο γ τριπλασιάζονται. α) Ο α πολλαπλασιάζεται επί 7. β) Ο α πολλαπλασιάζεται επί 1. γ) Ο α πολλαπλασιάζεται επί 9. δ) Ο α τριπλασιάζεται. ε) Ο α δε μεταβάλλεται. Όταν οι β, γ τριπλασιάζονται, ο α γίνεται ( ) 1 β 1 β 1β α = = = = γ γ γ δηλαδή ο α πολλαπλασιάζεται επί 7. Σωστή απάντηση η (α). 7 α, 7. α) Να δείξετε ότι ( x y) ( x+ y)= x y β) Aν xy = 1 και,. xy = να υπολογίσετε το x+ y. α) ( x y) ( x+ y)= x + xy yx y = x y. x β) Είναι xy = 1 1 x y x y 0 ( x y)( x y) 0 x y y = = = + = = ή x = y. Είναι xy = < 0, άρα οι xy, είναι ετερόσημοι, οπότε x= y, συνεπώς x+ y = 0. 8. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός με ν 0, ν ν+1 ν+ ( ) ( ) ( ). Α = 1 + 1 7 1 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Επειδή έχουμε αρνητικούς αριθμούς υψωμένους σε δυνάμεις του φυσικού αριθμού ν, διακρίνουμε για τον ν δύο περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Ο ν είναι άρτιος, δηλαδή ν = κ, όπου κ θετικός ακέραιος. Τότε ν ( 1) = 1 και ( ) ( ) ν + ν + 1 1 = 1(αφού ο ν 1 = 1 (αφού ο ν είναι άρτιος, ο ν + 1 θα είναι περιττός) και ν ν+ 1 ν+ ( ) ( ) ( ) ( ) είναι άρτιος, ο ν + θα είναι άρτιος). Έχουμε λοιπόν ότι Α = 1 + 1 7 1 = 1+ 1 7 1= 1 7= 9.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ η περίπτωση: Ο ν είναι περιττός, δηλαδή ν = κ + 1, όπου κ θετικός ακέραιος. ν ν+ 1 1 = 1, 1 = 1 (αφού ο ν είναι περιττός, ο ν + 1 θα είναι άρτιος) και Τότε ( ) ( ) ( ) ν + 1 = 1 (αφού ο ν είναι περιττός, ο ν + θα είναι περιττός). ν ν+ 1 ν+ Έχουμε λοιπόν ότι ( ) ( ) ( ) ( ) Α = 1 + 1 7 1 = 1+ 1 7 1 = 1+ + 7= 9. Τελικά Α = 9, αν ο ν είναι άρτιος, και Α = 9, αν ο ν είναι περιττός. 0 1 15 10 7 9. Να συγκρίνετε τους αριθμούς ( 8 :16 6 7 : 81 ) 6 5 5 5 ( ) α = + + και β = : + 1. (Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Γ Γυμνασίου, 1989) ( 0 8 1 :16 15 6 7 10 : 81 7 ) 1 ( ) :( ) 6 ( ) :( ) 6 1 15 10 7 6 α = + + = + + = = ( 1+ + 6 ) 6 = 6 6 5 5 7 και β = ( + ) = ( + ) = ( + ) 6 6 6 6 7 5 7 5 Ισχύει ότι α = 6 < 6 = ( ) = ( ) < ( + 1 ) = β. 5 5 5 5 : 1 : 1 1. 10. Αν 8 7 6 x, = να βρείτε τον x. Παρατηρούμε ότι ( ) 8 7 6, = = = οπότε x =, άρα x =. 11. Αν x x x x 7, + + + = να υπολογίσετε τον x. x x x x 7 x 7 x 7 x+ 7 Είναι + + + = = = = x + = 7 x = 5. Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη, και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας: m n α) Αν x x = 1 και x ± 1, τότε m+ n= 1.

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ β) Αν ο ν είναι περιττός φυσικός αριθμός και για τον πραγματικό αριθμό α ν ισχύει α < 0, τότε ο α είναι αρνητικός. γ) Για κάθε ακέραιο αριθμό α < 1 και για κάθε ν άρτιο φυσικό αριθμό ισχύει ν α > 0. ν δ) Αν α > 0, υπάρχει ακέραιος αριθμός ν τέτοιος ώστε α < 0. ν ν ε) Οι αριθμοί α και α, με α 0, είναι αντίθετοι. ν ν στ) Αν α > 0, τότε α = α, για κάθε ακέραιο αριθμό ν.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. x x α) = β) = 8x 9 1 8x x x 1xy xy γ) = xy δ) = x 7xy 6x y 6 15x xyz ε) = 5x στ) = xyz x xyz. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Αν ω =, ποια από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίση με 8 ; 5 Α. 5ω Β. ω Γ. 8ω Δ. 8ω Ε. 9ω 1αβ β) Αν Χ =, να βρείτε τι μεταβολή υφίσταται η τιμή του Χ, όταν o α γ διπλασιάζεται, ο β τριπλασιάζεται και ο γ τετραπλασιάζεται. Α. Ο Χ πολλαπλασιάζεται επί 1,5. Β. Ο Χ πολλαπλασιάζεται επί,5. Γ. Ο Χ πολλαπλασιάζεται επί 9. Δ. Ο Χ τριπλασιάζεται. Ε. Ο Χ πολλαπλασιάζεται επί 6. n m γ) Αν οι nm, είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει 8 =, να υπολογίσετε την n τιμή του. m Α. 1 Β. 1 Γ. 1 Δ. Ε. x 15 n δ) Αν = x και m ( x ) = x 0, τότε το mn ισούται με: x Α. 1 Β. Γ. 8 Δ. Ε. 0 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 6 ε) Αν m είναι θετικός ακέραιος αριθμός, να βρείτε ποιο από τα παρακάτω δεν είναι ίσο με ( ) m : Α. m Β. m m m Γ. ( ) στ) Η παράσταση ( x x 1 ) Δ. m m ( ) είναι ίση με: A. 9 x B. Ε. 16 m 9 x Γ. 6 x Δ. x. ζ) Αν κ είναι θετικός ακέραιος αριθμός, να βρείτε ποιο από τα παρακάτω δεν : κ είναι ίσο με ( ) Α. ( κ ) 6 Β. 6 κ κ κ Γ. ( ) 1 0 η) Αν = x +, τότε το x είναι ίσο με: Α. Β. Δ. ( 8 κ ) κ κ Ε. ( ) Γ. α b c θ) Αν = k, k = m και m = 16, τότε η τιμή του α bc είναι: Α. Β. Γ. 5 Δ. 6 Ε. 8 Δ. 0 Ε. 1. β ι) Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, με α β α = ποια είναι 6 η τιμή της διαφοράς α β; Α. Β. Γ. Δ. 8 Ε. 1 κ κ κ ια) Η παράσταση Α = + +, για κάθε ακέραια τιμή του κ, είναι ίση με: Α. κ + Β. 1 κ + Γ. κ + Δ., και ισχύει ( ) 1, κ Ε. 9 κ Ασκήσεις Προβλήματα προς λύση 1. Nα χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων για να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) Α = β) Β= 1 1 Γ= γ) 5 1 6 1 ( ) ( ) δ) Δ = ( ) ε) Ε= ( 9 ) ( ) στ) Ζ= + 7 1 ( ) ( ). Nα χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων για να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 7 6 5 5 ( ) 16 ( ) α) Α = β) Β = γ) Γ = 5 5 9 8 ( ) ( ) 6 1 1 6 δ ) Δ = ( ) : ( ) ( ) 1 0 1 1 Ε =. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α = ( ) + ( + ) + β) Β = ( 8) + ( ):+ ( 5 ) 5 7 10 :10 ε) ( ) ( ) ( )

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 1 1 0 1 Α = 1+ : 5 5 + 5 + + 10 5 5 0 1 1 β) ( ) 1 1 Β = : + 1 5 : 5 5 5 10 α) ( ) ( ) 7 6 : 1 1 5 1 Γ = + + + 5 γ) ( ) ( ) δ) ( ) 1 1 Δ = : 7 1 Ε = 8 5 + 7 : 6 ε) ( ) ( ) ( ) 5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α) για x = και y = β) για 7 xy Α = : 5 ( x) ( y ) x = και y = 5 6. Δίνονται οι παραστάσεις Χ = 5 + 6 και A. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Χ + Ζ Χ Ζ iv. i. Χ + Ζ ii. Χ Ζ iii. ( )( ) B. Να συγκρίνετε τις τιμές των ( Χ + Ζ)( Χ Ζ ) και Ζ = 6 + 7 5. Χ Ζ Χ Ζ. Τι παρατηρείτε; 7. Μεταξύ ποιων δύο ψηφίων του αριθμού 98765 πρέπει να βάλουμε την υποδιαστολή, ώστε ο αριθμός που θα προκύψει να είναι ίσος με 9,8765 10 ; 8. Αν Α = 8 1 9 1 1 ( ) ( ) εξίσωση 6Α = 8 Β. 1 x και 5 x + Β = 1 1 1, να λύσετε την x+ y 9. Αν = 7, x y x y να υπολογίσετε την τιμή του ( ) 1 1. 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 6 5 10. Αν ( 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 8 1) 1000 α = + + + και 00 1000 β = 10 65, να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β. (Υπόδειξη: Για τον υπολογισμό του α μπορείτε κάθε γινόμενο της μορφής 98 κ να το γράψετε κ κ κ κ 1 98 88 8 8 + κ 7 7 7 8 7 = + = + 8, π.χ. 98 = 88 + 8 = 8+ 8. Για τον υπολογισμό του β να παρατηρήσετε ότι ο 10 είναι δύναμη με βάση το και ο 65 με βάση το 5.) (59ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός Ευκλείδης Γ Γυμνασίου, 1998) ( ) x ( ) 7x 11. Αν α είναι η λύση της εξίσωσης + = 15 ( ) 0 x 1 + x = + και β είναι η λύση της εξίσωσης 5 10 ( x + 5) x x + =, να υπολογίσετε και να συγκρίνετε τις τιμές των παραστάσεων: 5 1 5 1 5 β Α = + + 1 8 + α ( 8) 1 1 1 ( α ) 1 1 ( ) 1 1 Β = α : + β + 5 : 5 5 10 10 x β = +, να υπο- 9 5 + x 5 1. Αν α = 6 β, με α = 0 005 1 ( 1 ) λογίσετε το x. και ( ) + ( 1) (Ε.Μ.Ε. ΘΑΛΗΣ Γ Γυμνασίου, 00) 0 7 1 1 1 = : : + 1 1+ 15 15 και 1. Αν κ ( ) ( ) ( ) 7 6 ( ) 5 1 ( ) ( ) ( ) λ = : + + 1 + 1, να υπολογίσετε τον λόγο κ. λ 8

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί είναι αντίστροφοι. 1 Α = 1 + και 7 Β = 6 ν 15. Aν 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5, όπου ο ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να υπολογίσετε την τιμή του ν. 16. Αν ν ν+ 1 9 7, ν = να υπολογίσετε τον, όπου ν ακέραιος αριθμός. Γ. Τετραγωνικές ρίζες Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α ονομάζεται ο θετικός αριθμός x, το τετράγωνο του οποίου είναι ο αριθμός α. Συμβολίζουμε με α. Επίσης ορίζουμε 0 = 0. Έτσι, καταλήγουμε στον παρακάτω ορισμό: Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α ονομάζεται ο μη αρνητικός αριθμός x που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Δηλαδή αν α = x, τότε α = x, και αντίστροφα, δηλαδή αν α = x, τότε x = α, με την προϋπόθεση ότι x 0. Από τον ορισμό προκύπτουν τα εξής: ( ) α α = α = α Η απόλυτη τιμή χρειάζεται προκειμένου να εξασφαλίσουμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντοτε ένας μη αρνητικός αριθμός. Πράγματι, ας παρατηρήσουμε τα παρακάτω παραδείγματα: 5 = 5 = 5= 5, 7 = 9 = 7= 7, 0 = 0 = 0= 0, ( ) = 9 = =, ( ) 5 = 5 = 5= 5. Πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί όταν η ποσότητα κάτω από τη ρίζα είναι υψωμένη στο τετράγωνο. Συγκεκριμένα, πριν διώξουμε τη ρίζα, πρέπει να ελέγξουμε αν η ποσότητα αυτή είναι αρνητική ή θετική. 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Παραδείγματα 1.. 7 7 7 8 5 = 5 = 5 = (είναι 5 7 >0). 5 = 5 = 5 (είναι 5 < 0). Ιδιότητες ριζών Αν α 0 και β 0, τότε αποδεικνύεται ότι αβ = α β. Π.χ. = = 6, 1 = = =, 1 = 1 = 6 = 6, 5 15 = 5 15 = 75 = 5 = = 5 = 5. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο και για περισσότερα ριζικά. Π.χ. 6 = 6 = 6 6 = ( 6) = 6, 6 7 5 = 6 7 5 = 10. α α Αν α 0 και β > 0, τότε αποδεικνύεται ότι =. β β Π.χ. = =, 9 9 Αν α > 1, τότε α α α Π.χ. Για α = 9 έχουμε ενώ για α = 0,09 έχουμε 5 5 5 = =, 16 16 8 8, 7 = 7 = = 5 5 7 = 7 = > > > 1, ενώ, αν 0< α < 1, τότε 0< α < α < α < 1. 1< α = 9 = < α = 9 < α = 81, 0 < α = 0,09 = 0,0081 < α = 0,09 < α = 0,09 = 0, < 1. Δεν ξεχνάμε ότι: α) Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. β) Αν Π.χ. Οι αριθμοί ( ) x Π.χ. Αν Αν 9, 5, δεν ορίζονται. = α, με α 0, τότε x α x = 16, τότε x = 7, τότε 7 = ή x = α. x = ή x =. x = ή x = 7. γ) Γενικά ισχύει ότι α + β α + β, με α >0 και β >0. Πράγματι είναι 16 + 9 16 + 9, αφού 16 + 9 = 5 = 5, ενώ 16 + 9 = + = 7. 5. 0

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων και των τετραγωνικών ριζών μπορούμε να υπολογίσουμε τις τετραγωνικές ρίζες πολλών αριθμών. Παραδείγματα 1. 900 = 9 100 = 9 100 = 10 = 0.... 160000 = 16 10000 = 16 10000 = 100 = 100 = 00. 81 81 9 0,81 = 0,9. 100 = 100 = 10 = 6 6 6 6 0, 006 = = = = = 0, 06. 10000 10000 100 100 Ρητοποίηση παρονομαστή Όταν έχουμε αλγεβρικό κλάσμα με άρρητο παρονομαστή, το μετατρέπουμε σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή, κάνοντας χρήση της ιδιότητας α > 0, όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα: α = α, με 8 8 6 8 6 6 = = =, 6 6 6 6 5 5 5 5 = = =. 6 Εφαρμογές 1. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: α) 7 β) ( 0) γ) στ) ( 9)( 6) ζ) 10 η) 6 1 6 9 θ) δ) 1 7 ε) 16 81 1 5 ι) 1 6 ια) 7 7 α) δ) =. 7 7 β) ( ) 0 = 0 = 0. γ) 6 6 6 = =. 1 1 1 1 7 = 1 7 = 1 7 = 91. ε) 16 81 = 16 81 = 9 = 6. στ) ( 9)( 6) = 9 6 = 9 6 = 6 = 18. ζ) Αναλύουμε τον αριθμό 10 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και προκύπτει 10 5 ( ) 5 10 = =, οπότε ( ) 5 6 6 8 10 = = =. η) = =. 9 9 7 1 1 1 1 1 1 θ) = =. ι) = = ια) 7 7 = ( 7) = 7. 5 5 15 6 6 6 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = + + 5 β) Β = ( 7) + + 8 ( ) α) ( 5) 16 ( ) α) ( ) ( ) Α = + 5 16 + = + 5 + = 6. β) ( ) ( ) 5 5 5 Β = 7 + + 8 = 7 + + 8 = 1. 9 9 9. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 9 α) 6+ 9 β) 1 + 7 + γ) 9 8 δ) 9 + 18 ε) + 9 9 + 7+ 81 α) 6+ 9 = 6+ = 9 =. β) 1 + 7 + = 1 + 7 + = 1 + 9 = 1 + = 16 =. γ) 9 8 = 9 8 = 9 16 = 9 = 6 = 6. δ) 9+ 18 = 9+ 18 = 9+ 16 = 9+ = 5 = 5. ε) + 9 9 + 7 + 81 = + 9 + 7 + 9 = + 6 + 16 = = + 6 + = 5 = 5.. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α = 1 β) Β = 18 5 7 50 (Υπόδειξη: Αναλύουμε τις υπόρριζες ποσότητες σε γινόμενο δύο παραγόντων, όπου είναι δυνατόν, από τους οποίους ο ένας έχει ρίζα ακέραιο αριθμό, ενώ ο άλλος είναι συνήθως κοινός παράγοντας όλων των υπόρριζων ποσοτήτων.) α) Α = 1 = = = = 6 = 5. β) Β = 18 5 7 50 = 9 5 6 5 = 9 5 6 5 = 5 6 5 = 6 0 10 =.

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) 1 Α = 10 + 5 10 + 6 + + + Είναι ( ) 1 1 0 1 11 Α = 10 + 5 10 + 6 + + + = 1 1 0 1 11 1 1 1 11 1 1 = + 50 + 1+ + + = + 5 + = 10 00 = 00 + 5 + = 56 = 16 = 16 =. 1 6. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 1 1 :( ) 1 0 α) Α = 1 + 1 α) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 β) Β = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 : 1 0 1 Α = ( ) ( 1) ( + 1) = ( ) : 1 1 = ( ) 1 ( ) ( 1+ 1) = ( ) = 1 1 = = = =. 1 0 1 1 Β = 5 = 5 β) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 = 5 1 = 5 16= = 5 1 16 = 5 + 1 16 = 1. ( ) 1 7. Αν x = 10, να υπολογίσετε το x 6.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Είναι x = 10, παίρνουμε τις τετραγωνικές ρίζες και στα δύο μέλη και έχουμε: x = 10 ή x = 10. 6 Παρατηρούμε ότι ( ) ( ) 8. Να λυθoύν οι εξισώσεις: α) ( ) x = x = 10 = 10 10. 6 8 6 11 x = 7 β) ( x+ ) ( x 8) = ( x ) α) ( ) x ( ) x ( ) x ( ) 6 8 6 11 = 7 6 7 9 7 16 7 = 7 6 7 9 7 16 7 = 7 1 7 6 7 7 x= 7 1 7x= 7 x=. x+ x 8 = x x+ x+ 16 = β) ( ) ( ) ( ) = x x x x= 16 x= x =11. 9. Αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την πλευρά β, να υπολογίσε- τε την τιμή της παράστασης Λ = α β γ + γ β α + β γ + α. Με εφαρμογή του πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε β γ = α, β α = γ και γ + α = β, οπότε Λ = α β γ + γ β α + β γ + α = = α α + γ γ + β β = α + γ + β = β + β = β = β. Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν 0, β) Αν α τότε ( α ) = α. x = α, τότε x = α.

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ γ) Ισχύει ότι δ) Οι αριθμοί, 1 6 =. ε) Ισχύει ότι ( ) = ( ) είναι αντίστροφοι.. στ) Ισχύει ότι α α, = για κάθε πραγματικό αριθμό α. ζ) Ισχύει ότι η) Αν x <0, τότε 7 7 5 = 5. x = x. θ) Ισχύει ότι 6 + 5 = 6 + 5.. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Το άθροισμα 75 + 1 είναι ίσο με: Α. 87 Β. 7 Γ. 5+ Δ. 9 Ε. β) Η διαφορά 15 5 ισούται με: Α. 5 Β. 5 Γ. Δ. 5 Ε. 10 γ) Το γινόμενο 9x x, με x 0, είναι ίσο με: Α. 6 x Β. 6 x Γ. 6x Δ. 6x Ε. 6x δ) Αν = 0,16, τότε ο x ισούται με: x Α. 50 Β. 5 Γ. 0,5 Δ. 0,05 Ε. 0,005 x x ε) Η +, με x 0, είναι ίση με: 6 5 Α. 11 x Β. 9 x x Γ. Δ. x 0 0 11 11 στ) Η x + y είναι ίση με: Α. x+ y Β. x y Ε. κανένα από τα παραπάνω ζ) Το πηλίκο 8 1 + Γ. ( x y)( x y) ισούται με: Ε. x 61 0 + Δ. Α. 16 Β. 9 Γ. 8 Δ. 1 Ε. x + y 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ x+ y y η) Αν = 9, = και y = 6, τότε το z είναι ίσο με: z x Α. 5 6 Β. 5 Γ. 9 Δ. 1 Ε. 6 θ) Αν x = 6 και y = 1, με y >0, τότε το κλάσμα xy είναι ίσο με: Α. Β. Γ. Δ. ι) Aν ο ν είναι θετικός ακέραιος, για πόσες τιμές του ν ισχύει 100 < ν < 199; Α. Β. Γ. 5 Δ. 6 Ε. 7 Ε. 6 Ασκήσεις Προβλήματα προς λύση 1. Να υπολογίσετε τις ρίζες: 6, ( ) 6, 9, 16 1, 5 5, 6 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) γ) 5 Α = : 9 + 18 β) Β = 88 5 5 1 + 7 + 6 5 5 ( ) 1 + ( ) 6( 7) 5 Γ = + 5 δ) Δ = + 0 81 + 01 6 16 6+ 6. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: α) 6 β) 50 γ) 16 1 6 δ) 75 ε) 1 9. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 6 α) Α = 7 8 β) Β = 5 7 8 γ) Γ = 18 5 7 50 δ) Δ = 1 + 8 16 ε) 175 6 8 5 6 Ζ = 7+ 9 + 0 5 5 8+ 6 Ε = + στ) ( ) 5. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α = 5 10 8 + 7 7 β) Β = 1 + 8 1 7 6 γ) Γ = + 8 δ) Δ = 16 5 5 + 6 9 9 7

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 6. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α) Α = 1 + 7 8+ 1+ 17 8 β) γ) 0 Β = 19 + 11 7 9 + Γ = + 9 9 + 1 7 0 + 5 1 1 5 δ) Δ = + ( 017) 1 ε) Ε = + ( ) : ( ) 7. Να λυθoύν οι εξισώσεις: α) ( ) 18 8 + 7 x = 50 + 100 8 8 x+ + x = 8 β) ( ) ( ) 0 5+ 5 5 x = 5+ 6 γ) ( ) ( ) δ) ( x+ 1) + ( 5 x) = ( x ) 0 8. Αν 8 Α = 81 +, να υπολογίσετε την παράσταση: ( ) ( ) Α Α+ 1 0 0 Β = 1 + 1 5 + 10 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5( x 6) + ( x+ 6) = 6( x+ 6) β) 00x 50 = 18x+ γ) ( x ) + 5( ) = ( 5 ) 10. Α. Να δείξετε ότι οι αριθμοί και είναι αντίθετοι. ο ο ημ0 συν 5 x =. Β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) 7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 11. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x x < x + 5 β) 1 ( ) x x+ x 75 > 1. Αν αβγ,, είναι οι πλευρές ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ, με υπολογίσετε την τιμή της παράστασης + β β α γ + β + γ. Κ = γ γ α β + o Â= 90, να 8

1. Ακέραιο μονώνυμο Α. Αλγεβρικές παραστάσεις Μονώνυμα Αλγεβρικές παραστάσεις Ονομάζουμε αλγεβρική παράσταση κάθε έκφραση που περιέχει αριθμούς και γράμματα (που μπορούν να πάρουν συγκεκριμένη τιμή ή διάφορες τιμές), τα οποία συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων. x + 7xy 6 x+ Π.χ. x + 5, x + xy + 7, x + y + xy 6, +. 5y x+ y x Αν σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τα γράμματα (μεταβλητές) με αριθμούς και εκτελέσουμε όλες τις πράξεις που σημειώνονται σε αυτή, θα προκύψει ένας αριθμός ο οποίος λέγεται αριθμητική τιμή της παράστασης για τις συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών. Π.χ. α) Αν στην αλγεβρική παράσταση x 5x+ 7 θέσουμε όπου x =, τότε η αριθμητική τιμή της για x = θα είναι 5 + 7= 9. β) Η αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης 5xy + y x y για x = 1 και y = 5 είναι 5 1 5 + 5 1 5 = 5 + 10 15 = 0. Οι αλγεβρικές παραστάσεις διακρίνονται αρχικά σε δύο κατηγορίες: Α. Ρητή αλγεβρική παράσταση: Ονομάζεται κάθε αλγεβρική παράσταση στην οποία καμία από τις μεταβλητές δεν εμπεριέχεται σε υπόρριζη ποσότητα. Β. Άρρητη αλγεβρική παράσταση: Ονομάζεται κάθε αλγεβρική παράσταση στην οποία μία τουλάχιστον από τις μεταβλητές εμπεριέχεται σε υπόρριζη ποσότητα. Οι ρητές αλγεβρικές παραστάσεις διακρίνονται σε δύο είδη: i. Ακέραια αλγεβρική παράσταση: Ονομάζεται κάθε ρητή αλγεβρική παράσταση στην οποία δεν υπάρχει η πράξη της διαίρεσης διά μιας ή περισσότερων μεταβλητών. ii. Κλασματική αλγεβρική παράσταση: Ονομάζεται κάθε ρητή αλγεβρική παράσταση στην οποία υπάρχει η πράξη της διαίρεσης διά μιας τουλάχιστον των μεταβλητών της. Εφαρμογές 1. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι ρητές και ποιες είναι άρρητες: α) x y β) xy γ) x + y δ) + x ε) α β στ) x + xy 7 5x+ y ζ) x 5 η) x + y 9

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α) Ρητή. β) Άρρητη, αφού η μεταβλητή x βρίσκεται κάτω από τη ρίζα. γ) Άρρητη, διότι η μεταβλητή x βρίσκεται κάτω από τη ρίζα. δ) Ρητή, διότι δεν έχουμε μεταβλητή κάτω από ρίζα αλλά αριθμό. ε) Ρητή, διότι στ) Ρητή. ζ) Ρητή. η) Ρητή, διότι x+ x+ =. y y α β = α β.. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ρητές αλγεβρικές παραστάσεις είναι ακέραιες και ποιες είναι κλασματικές: α) π x β) x 5 γ) 1 x δ) x y + 7 ε) x x στ) x x+ 7 α) Ακέραια. β) Ακέραια. γ) Ακέραια. δ) Κλασματική, διότι περιέχει διαίρεση με τη x μεταβλητή y. ε) Ακέραια, διότι η μεταβλητή x απλοποιείται και έχουμε x. x = στ) Κλασματική, αφού δε γίνεται απλοποίηση, ώστε να μην υπάρχει μεταβλητή στον παρονομαστή. Μονώνυμα Κάθε αλγεβρική παράσταση που περιέχει γράμματα (μεταβλητές) με εκθέτες φυσικούς αριθμούς στα οποία έχει σημειωθεί μόνο πολλαπλασιασμός λέγεται ακέραιο μονώνυμο ως προς τα γράμματα αυτά. 1 Π.χ. Οι αλγεβρικές παραστάσεις x,,,,,, x x xy x y αβγ x y z είναι ακέραια μονώνυμα ως προς τα γράμματα που περιέχουν, ενώ δεν αποτελούν ακέραια μονώνυμα ως προς τις μεταβλητές x, y οι αλγεβρικές παραστάσεις 8x 5 x,, x + xy. y x + 1 0 Προσοχή! Η παράσταση xy α είναι ακέραιο μονώνυμο αν ο α 0 είναι σταθερά. Αν ο α είναι μεταβλητή, τότε η παράσταση αυτή δεν είναι ακέραιο μονώνυμο. Σε κάθε μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του. Οι μεταβλητές με τους εκθέτες τους αποτελούν το εγγράμματο μέρος του μονωνύμου. Το μέρος αυτό λέγεται κύριο μέρος ή κύριο ποσό του μονωνύμου.

1. ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΟΝΩΝΥΜΟ Π.χ. α) Συντελεστής του μονωνύμου x yzείναι ο και κύριο μέρος το xyz. β) Συντελεστής του μονωνύμου xy είναι ο 1 και κύριο μέρος το xy. γ) Συντελεστής του μονωνύμου x είναι ο 1 και κύριο μέρος το x, διότι x = ( 1 ) x. x x 1 δ) Το μονώνυμο γράφεται = x, οπότε ο συντελεστής του είναι το 1 και το κύριο μέρος του το x. Προσοχή! Αν λ = σταθερά, τότε: 5 α) συντελεστής του μονωνύμου xy, ( λ 0), είναι ο 5 και κύριο μέρος λ λ το xy. β) συντελεστής του μονωνύμου ( λ 1) xy ω είναι ο λ 1 και κύριο μέρος το xyω. Βαθμός του μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης που έχει η μεταβλητή αυτή στο μονώνυμο. Βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. 5 Π.χ. Το μονώνυμο x yzwείναι δευτέρου βαθμού ως προς x, πέμπτου βαθμού ως προς y, τέταρτου βαθμού ως προς z και πρώτου βαθμού ως προς w, ενώ ως προς όλες τις μεταβλητές είναι + 5+ + 1= 1ου βαθμού. Ένα ακέραιο μονώνυμο λέγεται μηδενικό όταν ο συντελεστής του είναι ίσος με μηδέν. Το μηδενικό μονώνυμο μπορεί να έχει οσεσδήποτε μεταβλητές και με κάθε βαθμό. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βαθμό. Όμοια μονώνυμα λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα. Τα όμοια μονώνυμα που έχουν αντίθετους συντελεστές λέγονται αντίθετα. Π.χ. Τα x, 5x είναι όμοια μονώνυμα γιατί έχουν ίδιο κύριο μέρος, το Επίσης τα 7 xy, xy είναι όμοια, με κοινό κύριο μέρος το xy. Τα μονώνυμα + xy και xy είναι αντίθετα. Παρατηρήσεις 0 1. Επειδή είναι x = 1, για x 0, μπορούμε να λέμε ότι κάθε σταθερά γράφεται με μορφή μονωνύμου μηδενικού βαθμού ως προς μία ή και περισσότερες μεταβλητές. Π.χ. 0 0 0 0 = x, 5= 5 x y z. x. 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Κάθε μονώνυμο είναι μηδενικού βαθμού ως προς κάθε μεταβλητή που δεν την περιέχει. 9 Π.χ. Το 7x zw είναι μηδενικού βαθμού ως προς τη μεταβλητή y, γιατί γράφεται 7 xzwy. 9 0. Δύο ή περισσότερα μονώνυμα μπορούμε να τα χαρακτηρίσουμε όμοια ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές, χωρίς να είναι όμοια ως προς όλες τις μεταβλητές τους. Π.χ. Τα μονώνυμα 1 xyz, 5 αxz, 6βxz είναι όμοια ως προς τις μεταβλητές τους x και z. Εφαρμογές 1. Να βρεθεί ο συντελεστής του x στα μονώνυμα: α) α x β) 7x y γ) yz. Όταν ζητείται ο συντελεστής ενός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή του, θα θεωρούμε ως κύριο μέρος μόνο τη συγκεκριμένη μεταβλητή και όλα τα υπόλοιπα θα αποτελούν τον συντελεστή. Έτσι: α) Για το α x ο συντελεστής του x είναι το α. β) Για το 7xy= 7yx ο συντελεστής του x είναι το 7 y. 0 γ) Για το yz= yzx ο συντελεστής του x είναι το yz.. Να βρεθεί ο βαθμός ως προς x, ως προς y και ως προς x και y των παρακάτω μονωνύμων: α) 5x y β) xy γ) 6x y δ) 1x ε) 8y Επειδή βαθμός του μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης που έχει η μεταβλητή αυτή στο μονώνυμο, και βαθμός ως προς δύο μεταβλητές είναι το άθροισμα των εκθετών που έχουν οι μεταβλητές αυτές, έχουμε: Βαθμός ως προς x Μονώνυμο Βαθμός ως προς x Βαθμός ως προς y και y 5x y 1 + 1= xy 1 1+ = 6x y + = 1x 1 0 1+ 0= 1 8y 0 1 0+ 1= 1

1. ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΟΝΩΝΥΜΟ. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή σε καθένα από τα παρακάτω μονώνυμα για τις τιμές των μεταβλητών που δίνονται σε κάθε περίπτωση: 5 α) 5x y για x = και y = 1 β) α β γ για α =, β = και γ = 1 Για να υπολογίσουμε την αριθμητική τιμή μονωνύμου, αρκεί να αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές του με τις τιμές που δίνονται κάθε φορά για καθεμία από αυτές. Έχουμε: α) 5 ( ) ( 1) = 5 ( 8) 1= 0. β) ( ) 1 5 = ( 7) = 81.. Να βρείτε ποια από τα μονώνυμα 5 xy, xy, 9x και 1x y είναι όμοια. Για να είναι όμοια, πρέπει να έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Παρατηρούμε ότι τα και 1x y είναι όμοια, διότι έχουν το ίδιο κύριο μέρος, το xy. 5x y 5. Να βρείτε ποια από τα μονώνυμα είναι αντίθετα. 1 x y z, 8 xy, 8 xy, 1 x yz, 7xz Για να είναι δύο μονώνυμα αντίθετα, πρέπει να είναι όμοια (να έχουν το ίδιο κύριο μέρος) και να έχουν αντίθετους συντελεστές. Τα μονώνυμα 8xy και 8xy είναι αντίθετα, διότι έχουν ως κύριο μέρος το xy και αντίθετους συντελεστές 8 και 8 αντίστοιχα. ν 1 6 ν 6. Για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν η παράσταση 5x y z είναι μονώνυμο; Για καθεμία από τις τιμές να βρείτε τον βαθμό του μονωνύμου α) ως προς x, β) ως προς y, γ) ως προς z και δ) ως προς όλες τις μεταβλητές. ν 1 6 ν Για να είναι η παράσταση 5x y z μονώνυμο, θα πρέπει να ισχύουν συγχρόνως: ν 1 0, και 6 ν 0, με ν φυσικό αριθμό. Δηλαδή θα πρέπει οι εκθέτες των xy, να είναι φυσικοί αριθμοί. Έχουμε ν 1 0, άρα ν 1 και 6 ν 0, άρα ν. Άρα για τον φυσικό αριθμό ν θα ισχύει 1 ν, συνεπώς ο ν μπορεί να πάρει τις τιμές ν = 1 ή ν = ή ν =.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Για ν = 1 έχουμε το μονώνυμο Για ν = έχουμε το μονώνυμο 0 5xyz = 5 yz. 5 xy z. 0 Για ν = έχουμε το μονώνυμο 5xyz = 5 xz. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται για καθεμία από τις τιμές του ν η μορφή και ο βαθμός σε κάθε περίπτωση του μονωνύμου. ν 1 Μονώνυμο Βαθμός ως προς x Βαθμός ως προς y Βαθμός ως προς z Bαθμός ως προς x και y και z 5y z 0 0+ + = 6 5xy z 1 1+ + = 5 5x z 0 + 0+ = ( ) 7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο o ΑΒΓ Α = 90, με πλευρά ΑΒ = x και o Β = 5. α) Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΓΔΕ που κατασκευάζουμε στο εξωτερικό μέρος του τριγώνου με πλευρά την υποτείνουσα ΒΓ. Στην περίπτωση που η παραπάνω αλγεβρική παράσταση είναι μονώνυμο, να γράψετε τον συντελεστή, το κύριο μέρος και τον βαθμό του. β) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου, όταν x = 8 cm. Ε Β Δ α) Είναι o Β = 5, άρα και o Γ = 5, οπότε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, με ΑΒ = ΑΓ = x. Eφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και έχουμε ΒΓ = ΑΓ + ΑΒ = x 5 = x + x = x. Το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΓΔΕ είναι Ε ( ) = ΒΓ = x. ΒΓΔΕ Α Γ Είναι μονώνυμο με συντελεστή, κύριο μέρος το x και είναι δευτέρου βαθμού. β) Για x = 8 cm, το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε ( ) = 8 = 6 = 18 cm. ΒΓΔΕ Ερώτηση κατανόησης Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Δύο αντίθετα μονώνυμα είναι όμοια. β) Δύο όμοια μονώνυμα είναι ίσα.

1. ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΟΝΩΝΥΜΟ γ) Κάθε σταθερό μονώνυμο είναι μηδενικού βαθμού ως προς οποιαδήποτε μεταβλητή. δ) Τα όμοια μονώνυμα διαφέρουν μόνο κατά τον συντελεστή τους. ε) Ένα μονώνυμο λέγεται μηδενικό όταν ο συντελεστής του είναι ίσος με μηδέν. στ) Ο βαθμός του μηδενικού μονωνύμου είναι 0. ζ) Το μηδενικό μονώνυμο μπορεί να έχει οσεσδήποτε μεταβλητές και με κάθε βαθμό. Ασκήσεις Προβλήματα προς λύση 1. Θεωρούμε τα τρίγωνα που έχουν ως βάση το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Αν το ύψος ενός από αυτά είναι υ, ποιο είναι το εμβαδόν του; Στην παράσταση αυτή του εμβαδού να οριστούν οι σταθερές και οι μεταβλητές. Αν είναι μονώνυμο, ποιος είναι ο συντελεστής, ποιο το κύριο μέρος και ποιος ο βαθμός του;. Θεωρούμε το σύνολο των τραπεζίων. Αν οι βάσεις ενός από αυτά είναι Β και β και το ύψος του είναι υ, ποιο είναι το εμβαδόν του; Στην έκφραση αυτή του εμβαδού ποιες είναι οι μεταβλητές;. Στα παρακάτω μονώνυμα να βρείτε τον συντελεστή, το κύριο μέρος και τον βαθμό ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές: 5, x, x 6 xy z, αβ x, 7 xyz, 5 α xy z xyz. Να γράψετε το μο-. Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και κύριο μέρος νώνυμο και το αντίθετό του. 5. Αν ο λ είναι πραγματικός αριθμός και ο ν είναι φυσικός αριθμός, να εξετάσετε ν + 1 αν υπάρχουν τιμές των λ, ν ώστε τα μονώνυμα ( λ 1) x y και x y ν να είναι: α) όμοια, β) ίσα, γ) αντίθετα. 6. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς x. Nα γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει: α) το ύψος του ΑΔ, β) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, γ) το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΔΕΖ που κατασκευάζουμε με πλευρά το ύψος ΑΔ. Α Ζ Στην περίπτωση που κάποια από τις παραπάνω x αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμο, να γράψετε τον συντελεστή, το κύριο μέρος και τον βαθμό του. Β Δ Γ Ε 5