ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 > 0 για 0 < z +h. (α) Χρησιμοποιώντας τον γενικευμένο νόμο του Coulomb, βρείτε το βαθμωτό δυναμικό, V( r) πάνω στον άξονα z. (β) Βρείτε το βαθμωτό δυναμικό, V( r), παντού στον χώρο για r > h, λύνοντας τη σχετική εξίσωση του Laplace. Για την εύρεση των συντελεστών της λύσης της Laplace εφαρμόστε ότι αυτή πάνω στον άξονα z πρέπει να ταυτίζεται με τη λύση που βρήκατε στο ερώτημα (α), όταν κάνετε το ανάπτυγμα της τελευταίας για μεγάλες τιμές του z. (γ) Βρείτε το βαθμωτό δυναμικό V( r), στο χώρο r > h, μέσω του πλήρους πολυπολικού αναπτύγματος. Συμφωνεί η λύση που βρήκατε με την απάντηση του ερωτήματος (β); (δ) Βρείτε το ηλεκτρικό πεδίο E( r) και σχολιάστε την ομοτιμία των V( r) και E( r), συγκριτικά με αυτή των πηγών. q l ln ( 1 x 2) = n=1 x 2n /n, V( r) = 1 4πɛ 0 l=0 P r l+1 l (cos θ) όπου q l = ρ( r )r l P V l (cos θ )dv, P l (0) = 0 αν l = περιττός και P l (0) = ( 1) l/2 1 2 3...(l 1) αν l = άρτιος. 2 4 6...l ΘΕΜΑ 2 Θεωρήστε σημειακό φορτίο, Q, στη αρχή των αξόνων το οποίο περιβάλλεται από διηλεκτρική σφαίρα ακτίνας a, γραμμικού, μη ομογενούς και ισοτροπικού υλικού σχετικής διηλεκτρικής συνάρτησης, ɛ r = 1 + r. Στην εξωτερική επιφάνεια του διηλεκτρικού, r = a, a τοποθετείται μεταλλικό κέλυφος (αμελητέου πάχους) το οποίο φέρει φορτίο +Q. (α) Βρείτε το βαθμωτό δυναμικό V( r), το ηλεκτρικό πεδίο E( r), και την ηλεκτρική μετατόπιση D( r), παντού στο χώρο. (β) Βρείτε την πόλωση P( r), την ογκική/χωρική πυκνότητα ρ δ ( r) και την επιφανειακή πυκνότητα σ δ ( r) δέσμιων φορτίων πόλωσης παντού στο χώρο. Σχολιάστε τη φυσική σημασία τους και επιβεβαιώστε την ηλεκτρική ουδετερότητα του διηλεκτρικού. ( ˆr r 2 ) = 4π δ( r), ( f ( r) A( r) ) = A( r) f ( r) + f ( r) A( r), dr r 2 (1+ r a ) = 1 a ln (1 + a r ) 1 r ΘΕΜΑ 3 Μεταλλικό κυλινδρικό κέλυφος αμελητέου πάχους, άπειρου μήκους και ακτίνας ρ = a, διαρρέεται από ρεύμα K( r) = K 0 ẑ. Το κέλυφος στο εσωτερικό του έχει κενό, ενώ στο εξωτερικό του φέρει κυλινδρικό περίβλημα γραμμικού, ομογενούς και ισοτροπικού υλικού με μαγνητική επιδεκτικότητα χ m, έως την επιφάνεια ρ = b. (α) Λύνοντας τη σχετική εξίσωση 2 A = 0, με χρήση κατάλληλων συνοριακών συνθηκών υπολογίστε το διανυσματικό δυναμικό A( r), παντού στο χώρο. Από το A( r) βρείτε τα μαγνητικά πεδία B( r) και H( r) παντού στο χώρο. (β) Υπολογίστε τα B( r) και H( r) από το νόμο του Ampère, στις περιοχές ρ < a, a < ρ < b και ρ > b, συγκρίνετε με τις απαντήσεις που βρήκατε στο ερώτημα (α) και σχολιάστε. 1 µ 2 A 2 n 1 µ 1 A 1 n = K f ree, όπου το ˆn είναι το κάθετο μοναδιαίο από το μέσο 1 στο 2.
ΘΕΜΑ 4 Ηλεκτρίτης ημισφαιρικού σχήματος ακτίνας R φέρει ομογενή πόλωση P = P ẑ. Ο ηλεκτρίτης τοποθετείται πάνω σε άπειρη αγώγιμη γειωμένη πλάκα που ορίζει το επίπεδο z = 0. α) Να βρεθούν οι πυκνότητες δέσμιων φορτίων ρ δ ( r) και σ x δ ( r) στον ηλεκτρίτη. β) Χρησιμοποιώντας το είδωλο πόλωσης να βρείτε το δυναμικό και τα πεδία E( r) και D( r) στο χώρο z 0 (για r < R και r > R). Πόσο είναι το ολικό επαγώμενο φορτίο στην αγώγιμη πλάκα; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. R z P y ΘΕΜΑ 5 Σφαιρικός μαγνήτης ακτίνας a φέρει ομογενή μαγνήτιση M = M ẑ. α) Δικαιολογείστε την ύπαρξη μαγνητικού δυναμικού φ m που είναι λύση της Laplace: 2 φ m = 0 και H = φ m. Λύνοντας την εξίσωση Laplace με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες, υπολογείστε τα φ m ( r), H( r) και B( r) μέσα και έξω από τον μαγνήτη. β) Στον μαγνήτη του προηγούμενου ερωτήματος ανοίγεται σφαιρική κοιλότητα ακτίνας b (b < a) ομόκεντρη με τον μαγνήτη, και έτσι σχηματίζεται ένας σφαιρικός φλοιός με εσωτερική ακτίνα b και εξωτερική a. Χρησιμοποιώντας την αρχή της υπέρθεσης να βρεθούν τα πεδία H( r) και B( r) σε όλο το χώρο. Προσοχή γράφετε τα 4 από τα 5 ϑέματα! Καλή επιτυχία! Κυλινδρικές συντεταγμένες: f = f ˆρ + 1 f ˆϕ + f ẑ ρ ρ ϕ z, F = 1 ρ F = [ 1 F z ] [ F ϕ Fρ ] [ ρ ϕ z ˆρ + F z z ρ ˆϕ + 1 (ρfϕ ] ) F ρ ρ ρ ϕ ẑ, 2 f = 1 ρ 2 F = [ 2 F ρ 2 ρ 2 F ϕ ϕ d a = ρ dϕ dz ˆρ, dv = ρ dρ dz dϕ Σφαιρικές συντεταγμένες: f = f r ˆr + 1 r F = 1 F = 1 2 f = 1 r 2 ] [ F ρ ρ ˆρ + 2 F 2 ϕ + 2 F ρ ] [ ] F ϕ ρ 2 ϕ ρ ˆϕ + 2 F 2 z ẑ F φ φ (r 2 F r ) + 1 (sin θ F θ ) + 1 r 2 r r sin θ θ r sin θ [ (sin θ Fφ ] [ ) F θ r sin θ θ φ ˆr + 1 1 r sin θ r [ r 2 f r ] + 1 r 2 sin θ θ [ sin θ f θ f ˆθ + 1 f ˆφ θ r sin θ φ F r (r F φ) φ r ] + 1 2 f r 2 sin 2 θ φ 2 d a = r 2 dω ˆr, dv = r 2 dr dω, dω = sin θ dθ dφ ] ˆθ + 1 r [ (rfθ ) r (ρf ρ ) ρ ρ ] F r θ ˆφ [ ρ f ρ + 1 F ϕ ρ ϕ + F z z ] + 1 2 f + 2 f ρ 2 ϕ 2 z 2 Ιδιότητες Legendre: 1 1 dx P l(x) P m (x) = 2 2l+1 δ l m, P l ( x) = ( 1) l P l (x), P l (±1) = (±1) l