Κεφάλαιο 8: Μέθοδοι Χρονικής Ολοκλήρωσης

Κεφάλαιο 8: Μέθοδοι Χρονικής Ολοκλήρωσης 8. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα εξετάσουμε τον τρόπο επίλυσης της εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας (ή εξίσωση κίνησης) του μονοβάθμιου ταλαντωτή με απ ευθείας χρονική ολοκλήρωση (Clough ad Pezie, 975; Bathe ad Wilso, 976; Belytschko ad Hughes, 983). Σημειώνουμε πως η μέθοδος αυτή επεκτείνεται άμεσα και σε πολυβάθμια συστήματα, αντικαθιστώντας απλώς τα βαθμωτά μεγέθη του μονοβάθμιου ταλαντωτή με μητρωικά και διανυσματικά μεγέθη (Argyris ad Mlejek, 99). Η εξίσωση κίνησης έχει την παρακάτω ημιδιακριτοποιημένη μορφή (μία έννοια που θα γίνει πιό ξεκάθαρη με αναφορά στα πολυβάθμια συστήματα) ut () cut () kut () pt () (8.) όπου η μάζα, απόσβεση c και δυσκαψία k είναι σταθερές, οι δε άγνωστες μεταβλητές του δυναμικού συστήματος ut (), ut (), ut () και ο φορτιστικός όρος pt () είναι συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου και ανεξάρτητες του χώρου. Η διαδικασία επίλυσης της παραπάνω εξίσωσης με χρονική ολοκλήρωση βασίζεται στις εξής δυο βασικές παραδοχές:. ικανοποίηση της Εξίσωσης (8.) ή κάποιας τροποποιημένης μορφής της σε διακριτά χρονικά σημεία t και. προκαθορισμός της χρονικής μεταβολής των αγνώστων μεταβλητών και του φορτιστικού όρου εντός του χρονικού βήματος t. Εφαρμόζοντας τις δύο αυτές παραδοχές, οι χρονικές συναρτήσεις () t στην Εξίσωση (8.) αντικαθίστανται από ακολουθίες = ( t), ενώ η διαφορική εξίσωση κίνησης παίρνει τη μορφή εξίσωσης διαφορών (dierece equatio). Σε γενικές γραμμές, οι αλγόριθμοι χρονικής ολοκλήρωσης μπορούν να καταταχθούν σε δύο θεμελιώδεις κατηγορίες:. Πεπλεγμένες (iplicit), όπου η εξίσωση διαφορών που αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση (8.) έχει στο αριστερό της σκέλος περισσότερα του ενός άγνωστα μεγέθη του διακριτού χρόνου, με αποτέλεσμα να μη γίνεται άμεσα ο διαχωρισμός γνωστών από αγνώστους, καθώς και η επίλυση.. Ρητές (explicit), όπου η αντίστοιχη εξίσωση διαφορών έχει στο αριστερό της σκέλος ένα μόνο άγνωστο μέγεθος του διακριτού χρόνου, οπότε και επιτυγχάνεται ο διαχωρισμός και η επίλυση ως προς το μέγεθος αυτό. Κρίσιμα χαρακτηριστικά για την αξιοπιστία και απόδοση ενός αλγόριθμου χρονικής ολοκλήρωσης είναι (i) η αριθμητική ευστάθεια και (ii) η ακρίβεια του. Η αριθμητική ευστάθεια είναι επιβεβλημένη προκειμένου να εξασφαλίζεται η σύγκλιση των αποτελεσμάτων του αλγόριθμου. Αν η απαίτηση της αριθμητικής ευστάθειας εισάγει περιορισμούς στο μέγεθος της χρονικής παραμέτρου διακριτοποίησης t (χρονικό βήμα; tie step), τότε ο αλγόριθμος χαρακτηρίζεται ως υπό συνθήκη ευσταθής (coditioally stable). Σε αντίθετη περίπτωση, χαρακτηρίζεται ως απόλυτα ευσταθής (ucoditioally stable). Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι η δέσμευση του μεγέθους του χρονικόυ βήματος t (σε sec) αποτελεί αναγκαία συνθήκη ώστε να εξασφαλισθεί η σύγκλιση του αλγόριθμου αλλά όχι ικανή. Συνεπώς, η επιθυμητή ακρίβεια μπορεί να απαιτεί ακόμα μικρότερο μέγεθος του βήματος χρονικής διακριτοποίησης t. 8. Διατύπωση Αλγορίθμων Χρονικής Ολοκλήρωσης Παρακάτω παρουσιάζονται οι πέντε πιο συνήθεις μέθοδοι χρονικής ολοκλήρωσης για τις εξισώσεις κίνησης μονοβάθμιων και πολυβάθμιων ταλαντωτών. 8.. Μέθοδος των Κεντρικών Διαφορών Η εξίσωση κίνησης (8.) είναι μια διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης με σταθερούς συντελεστές, και μπορεί 39

να επιλυθεί σε διακριτά χρονικά σημεία εάν προσεγγίσουμε τη μετακίνηση ut () στις χρονικές θέσεις ut ( + t) και ut ( t) με τη βοήθεια του αναπτύγματος σειράς Taylor, παραλείποντας όρους τρίτης τάξεως και άνω utt ut tut t ut ut t ut tut t ut ( ) () () ()... ( ) () () ()... Αφαιρώντας τις παραπάνω εξισώσεις και αναδιατάσσοντας έχουμε για την ταχύτητα το εξής ανάπτυγμα τύπου πεπερασμένων (ή κεντρικών) διαφορών (iite diereces) (8.) ut ( t) ut ( t) ut () t (8.3) ενώ προσθέτοντας τις ίδιες εξισώσεις προσεγγίζουμε την επιτάχυνση στον χρόνο t με πεπερασμένες διαφορές ως ut ( t) ut () ut ( t) ut () t Αν τώρα θεωρήσουμε τον χρόνο ως διακριτή μεταβλητή βήματος t, έχουμε u u t t t, u t u u u, και u t (8.4) (8.5) Η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας στον χρόνο t παίρνει τη μορφή u cu ku p (8.6) Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση (8.6) τις προσεγγίσεις από τις εξισώσεις (3.5), λαμβάνουμε τη διακριτή μορφή u u u u u c ku p t t c c ( ) u ( k ) u ( ) u p t t t t t (8.7) Αν το χρονικό βήμα t c, τότε η παραπάνω εξίσωση είναι γραμμική εξίσωση διαφορών δεύτερης τάξης, ενώ για την περίπτωση που t c, είναι γραμμική εξίσωση διαφορών πρώτης τάξης. Παρατηρούμε επίσης πως στην Εξίσωση (8.7) υπάρχει μόνο ένα άγνωστο μέγεθος, αφού έχουμε υπολογίσει όλα τα προγενέστερα σε χρόνο μεγέθη. Συνεπώς, έχουμε τη μετακίνηση u + στο χρονικό βήμα + ως cu p ku u u cu t t t t (8.8) Το γεγονός πως για τη λύση σε κάποιο χρονικό βήμα πρέπει να γνωρίζουμε μεγέθη από τα δυο αμέσως προηγούμενα βήματα δημιουργεί πρόβλημα εκκίνησης του αλγορίθμου, αφού για το πρώτο βήμα t πρέπει να γνωρίζουμε τα u (), u( t). Το u () είναι μια από τις αρχικές συνθήκες και συνεπώς γνωστό, ενώ το u( t) παραμένει άγνωστο. Μία πρώτη προσέγγιση είναι πως για αρνητικούς χρόνους το σύστημα είναι σε ηρεμία, δηλαδή έχουμε μηδενικές τιμές για τις μεταβλητές του προβλήματος. Αυτή η θεώρηση είναι όμως εσφαλμένη, καθότι ο χρονικός άξονας είναι αυθαίρετος και το παρόν φαινόμενο μπορεί να αποτελεί συνέχεια ενός προγενέστερου. Αυτό άλλωστε φαίνεται και από τις αναλυτικές λύσεις του Κεφαλαίου, που δίδουν αποτελέσματα 4

και για χρόνους προγενέστερους από τον χρόνο έναρξης. Εδώ χρειάζεται κάποια προσοχή, διότι οι λύσεις αυτές δεν είναι μονοσήμαντες και θεωρητικά άπειροι συνδυασμοί κινηματικών και εντατικών μεγεθών θα μπορούσαν να είχαν φέρει το δυναμικό σύστημα στις συνθήκες που τώρα θεωρούμε αρχικές. Συνεπώς, για να βρεθεί μία αποδεκτή προσέγγιση της τιμής u( t), απλώς χρησιμοποιούμε την Εξίσωση (8.) με t = για τη μετακίνηση, οπότε έχουμε τη σχέση u( t) u() tu() t u() (8.9) Η αρχική επιτάχυνση μπορεί να υπολογισθεί εύκολα από την Εξίσωση (8.) στο χρόνο t =, δηλαδή u() [ pt ( ) cu () k u()] (8.) Στον Πίνακα 8. παρουσιάζεται η μόρφωση του αλγόριθμου για πολυβάθμια συστήματα σε σταδιακά βήματα, ώστε να είναι εύκολος ο προγραματισμός σε H/Y. 8.. Μέθοδος Newark-beta (β) Σύμφωνα με τη μέθοδο Newark (Bathe ad Wilso, 976), οι μετακινήσεις και οι ταχύτητες εντός του παρόντος χρονικού βήματος προέρχονται από ολοκλήρωση της αντίστοιχης συνάρτησης επιτάχυνσης, με την παραδοχή κάποιας συγκεκριμένης γραμμικής μεταβολής της επιτάχυνσης εντός του βήματος. Μετά την παραπάνω ολοκλήρωση, έχουμε τις εξής πεπερασμένες διαφορές για την ταχύτητα και τη μετακίνηση: u u ( ) tu tu u u tu ( ) t u t u (8.) Αρχικοί υπολογισμοί:. Μόρφωση των μητρώων δυσκαμψίας Κ, μάζας Μ, και απόσβεσης C. Καθορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V 3. Υπολογισμός επιταχύνσεων A από ισορροπία στον χρόνο t 4. Καθορισμός χρονικού βήματος Δt 5. Υπολογισμός σταθερών ολοκλήρωσης w, w, w w, w3 t t w 6. Υπολογισμός του D D t V w A 3 7. Καθορισμός του ενεργού μητρώου μάζας Mˆ wmwc Επαναληπτικοί υπολογισμοί. Ενεργό φορτίο R ˆ ( ) ( ) R KwM D wmwc D ˆ ˆ ˆ. Επίλυση για μετακινήσεις στο βήμα + ως MD ˆ RD M R 3. Επιτάχυνση και ταχύτητα στο βήμα ως A ( D D D ) w V ( D D ) w Πίνακας 8. Μόρφωση αλγόριθμου της μεθόδου των Κεντρικών Διαφορών. 4

Η παράμετρος είναι ουσιαστικά ένας συντελεστής βάρους, που δίνει την επιρροή της αρχικής και τελικής επιτάχυνσης στον υπολογισμό της ταχύτητας. Ομοίως λειτουργεί και η παράμετρος, που είναι ο συντελεστής επιρροής της αρχικής και τελικής επιτάχυνσης στον υπολογισμό της μετακίνησης. Δύο από τις πλέον ευρέως διαδεδομένες υπο-περιπτώσεις της Newark-β είναι αυτές που προκύπτουν για (i), 4, η ονομαζόμενη μέθοδος σταθερής μέσης επιτάχυνσης που βασίζεται στην παραδοχή της επιτάχυνσης μέσα σ ένα χρονικό βήμα ως σταθερής και ίσης με το μέσο όρο της αρχικής και τελικής τιμής, και (ii) για, 6, που ονομάζεται μέθοδος γραμμικής επιτάχυνσης και βασίζεται στην παραδοχή γραμμικής συνάρτησης για την επιτάχυνση, ίσης με u στην αρχή του βήματος και με u + στο τέλος του. Η εξίσωση κίνησης (8.) στον διακριτό χρόνο t + έχει τη μορφή u cu ku p (8.) Με αναδιάταξη Με αναδιάταξη της δεύτερης της δεύτερης Εξίσωσης Εξίσωσης (8.) ως (8.) προς την ως επιτάχυνση προς την επιτάχυνση του βήματος του βήματος + προκύπτει η παρακάτω Εξίσωση προκύπτει (8.3), η παρακάτω η οποία Εξίσωση με τη σειρά (8.3), της η αντικαθίσταται οποία με τη σειρά στην της πρώτη αντικαθίσταται των Εξισώσεων στην (8.) πρώτη ώστε να προκύψει των η Εξίσωση Εξισώσεων (8.4): (8.) ώστε να προκύψει η Εξίσωση (8.4): u [ u u tu ( ) t u] (8.3) t u [ u u tu ( ) t u] (8.3) t u u ( ) tu [ u u tu ( ) t u] (8.4) Παρατηρούμε τώρα ότι οι δύο παραπάνω σχέσεις t μας δίδουν την επιτάχυνση και την ταχύτητα στο βήμα, εκφρασμένες ως προς τα στοιχεία του βήματος. Εάν αντικαταστήσουμε τις Παρατηρούμε τώρα ότι οι δύο παραπάνω σχέσεις μας δίδουν την επιτάχυνση και την ταχύτητα στο βήμα + σχέσεις, εκφρασμένες (8.3)-(8.4) ως προς στην τα στοιχεία (8.), έχουμε του βήματος μία εξίσωση. Εάν αντικαταστήσουμε μοναδικό άγνωστο τις σχέσεις τη μετακίνηση (8.3)-(8.4) στην (8.), έχουμε μία εξίσωση με μοναδικό άγνωστο τη μετακίνηση u u +, η οποία υπολογίζεται ως εξής:, η οποία υπολογίζεται ως εξής: ku ˆ pˆ, όπου ˆk k c t t και (8.5) pˆ p [ u ( ) ] u u t t t [ u ( ) u ( ) u] c t Η μέθοδος τώρα τώρα έχει έχει πάρει πάρει μία μία ρητή ρητή μορφή. μορφή. Αφού Αφού υπολογισθεί η uη u, + από, από την την Εξίσωση Εξίσωση (8.3) (8.3) υπολογίζεται το u +. Τέλος, από την Εξίσωση (8.4) υπολογίζεται το u +. Στο σημείο αυτό προκύπτει το ερώτημα εάν οι υπολογίζεται το u τιμές που έχουν υπολογισθεί. Τέλος, από την Εξίσωση (8.4) υπολογίζεται το u ικανοποιούν τη συνθήκη ισορροπίας (8.).. Στο σημείο αυτό Η απάντηση είναι πως όχι απαραιτήτως, διότι το η μέθοδος ερώτημα είναι εάν οι πεπλεγμένης τιμές που έχουν μορφής. υπολογισθεί ικανοποιούν τη συνθήκη ισορροπίας προκύπτει (8.). Ενα Η απάντηση άλλο εύλογο είναι ερώτημα πως όχι που απαραιτήτως, προκύπτει διότι είναι η εάν μέθοδος γνωρίζουμε είναι πεπλεγμένης ποιά είναι η μορφής. ακριβής μεταβολή της επιτάχυνσης μέσα στο διάστημα [ t, t + ] Ενα άλλο εύλογο ερώτημα που. Η προκύπτει απάντηση είναι στο εάν παραπάνω γνωρίζουμε ερώτημα ποιά δεν είναι είναι η ακριβής αυτονόητη. Εδώ θα αναφέρουμε απλώς πως η μεταβολή της επιτάχυνσης είναι γραμμική συνάρτηση μέσα στο διάστημα [ t, t + ], που μεταβολή της επιτάχυνσης μέσα στο ξεκινάει από την αρχική τιμή u() διάστημα ( [ t, t 6 ] ). Η u απάντηση ( στο 6 παραπάνω ) u ερώτημα και καταλήγει στην τελική δεν είναι τιμή u( αυτονόητη. t) (4Εδώ 6 θα ) αναφέρουμε u (4 απλώς 6 ) πως u η μεταβολή της επιτάχυνσης είναι, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.. Τέλος, στον Πίνακα γραμμική 8. δίδεται συνάρτηση η μόρφωση μέσα του αλγόριθμου στο διάστημα για εισαγωγή [ t, t ] σε, που Η/Υ ως ξεκινάει ειδική περίπτωση από την αρχική για την τιμή παράμετρο που θα διευκρινισθεί παρακάτω (ομοίως και στον Πίνακα 8.4 ως μέλος μίας ευρύτερης οικογένειας αλγόριθμων u() ( 6 ) u ( 6 ) u και καταλήγει, αριθμητικής ολοκλήρωσης με παραμέτρους ) στην τελική τιμή. u( t) (4 6 ) u (4 6 ) u, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.. Τέλος, στον Πίνακα 8. δίδεται η μόρφωση του αλγόριθμου για εισαγωγή σε Η/Υ ως ειδική περίπτωση για την παράμετρο που θα διευκρινισθεί παρακάτω (ομοίως και στον Πίνακα 8.4 ως μέλος μίας ευρύτερης οικογένειας αλγόριθμων αριθμητικής ολοκλήρωσης με παραμέτρους 4, ). (8.)

8..3 Μέθοδοι Wilso theta (θ) και η Συνδυαστική Μέθοδος θ-β Μία σημαντική μέθοδος χρονικής ολοκλήρωσης είναι και η μέθοδος Wilso-θ που αργότερα επεκτάθηκε και συνδυάστηκε με την οικογένεια των αλγόριθμων Newark-β, δίνοντας τους τον χαρακτηρισμό συνδυαστικές μέθοδοι (collocatio ethods). Μία πλήρης μελέτη αυτών των αλγόριθμων έχει γίνει από τους Bathe ad Wilso (976) και από τους Belytschko ad Hughes (983). Εδώ αναλύεται η πορεία μόρφωσης των συνδυαστικών αλγόριθμων, και ταυτόχρονα δίδονται οι απαραίτητες συνθήκες για να πάρουν αυτοί οι αλγόριθμοι μία προκαθορισμένη μορφή (Newark-β ή Wilso-θ). Σχήμα 8. Παραδοχή γραμμικής μεταβολής της επιτάχυνσης στη μέθοδο Newark-β. Η κεντρική ιδέα εδώ είναι η επέκταση της μεταβολής της επιτάχυνσης από το χρονικό διάστημα [ t, ( ) t] στο χρονικά αυξημένο διάστημα [ t, ( ) t], όπου. Προφανώς, για η μέθοδος εκφυλίζεται στην Newark-β. Η μετακίνηση και η ταχύτητα στον χρόνο θα δίδονται από τους τύπους u u( ) tu tu u u tu ( ) ( t) u ( t) u (8.6) u Λύνοντας τη δεύτερη Εξίσωση (8.6) ως προς έχουμε τη δεύτερη Εξίσωση (8.7) παρακάτω, την οποία τώρα αντικαθιστούμε στην πρώτη Εξίσωση (8.6) και ακολούθως επιλύουμε ως προς για να λάβουμε την πρώτη Εξίσωση (8.7): u u u ( ) tu u u tu t u t [ ( )( ) ] u u u tu t u ( t) [ ( )( ) ] (8.7) Η εξίσωση κίνησης (8.) στον διακριτό χρόνο t έχει τη μορφή u cu ku p (8.8) Για την εξωτερική δύναμη, υποθέτουμε γραμμική μεταβολή από έως + και εξωτερική γραμμική παρεμβολή για την τιμή της στο (σε μελλοντικό χρόνο), καταλήγοντας στη σχέση p ( ) p p (8.9) 43

Το επόμενο βήμα είναι η εισαγωγή των Εξισώσεων (8.7) και (8.9) στην Εξίσωση (8.8), οπότε και έχουμε μία εξίσωση της μορφής ku ˆ pˆ (8.) u που επιτρέπει την επίλυση για τη νέα μετακίνηση u. Ακολούθως, μπορούμε από την Εξίσωση (8.7) να υπολογίσουμε τη νέα επιτάχυνση. Οπως αναφέρθηκε και στην προηγούμενη ενότητα, η μεταβολή της επιτάχυνσης είναι μία γραμμική συνάρτηση μέσα στο διάστημα [ t, t + ], και το ίδιο ισχύει για τον παρόντα αλγόριθμο στο αυξημένο διάστημα [ t, ] t. Εχοντας λοιπόν υπολογίσει την u και γνωρίζοντας την u, μπορούμε με απλή γραμμική παρεμβολή να υπολογίσουμε την u από τον τύπο u u ( u u) (8.) Τέλος, θέτοντας στις Εξισώσεις (8.6) μας επιτρέπει να υπολογίσουμε στο + την ταχύτητα και τη μετακίνηση, απαλοίφοντας έτσι το μελοντικό χρόνο. Ο Πίνακας 8. παρουσιάζει τη μόρφωση του αλγόριθμου σε επιμέρους βήματα, ώστε να είναι εύκολη η εισαγωγή του σε Η/Υ. Εδώ απλώς αναφέρουμε πως η αρχέτυπη μέθοδος Wilso-θ είναι αυτή που προκύπτει για, 6και.5.. Επίσης, για η μέθοδος εκφυλίζεται στη Newark-β. 8..4 Μέθοδος Γενικευμένη Αλφα (α) Η μέθοδος αυτή είναι αποτέλεσμα ερευνητικών προσπαθειών των Belytschko ad Hughes (983) που απέβλεπαν σε αλγοριθμική απόσβεση της επιρροής των ανωτέρων ιδιομορφών του δυναμικού συστήματος κατά τη διάρκεια της επίλυσης, δίχως όμως ταυτόχρονα να ελαττώνεται η ακρίβεια του αλγόριθμου χρονικής ολοκλήρωσης. Αυτό φυσικά αφορά στα πολυβάθμια δυναμικά συστήματα, όπου οι υψηλόσυχνες ιδιομορφές συχνά διεγείρονται, αλλά η συνεισφορά τους στη συνολική λύση είναι κατά πολύ μεγαλυτερη από ότι θα προέβλεπαν οι ανάλογοι συντελεστές συμμετοχής. Η Γενικευμένη-α μέθοδος είναι ένας συνδυασμός των παλαιοτέρων αλγόριθμων ΗΗΤ-α (Hilbert-Hughes-Taylor) και WBZ-a (Wood-Bossak-Ziekiewicz) που επινοήθηκαν ακριβώς για τον παραπάνω σκοπό. Οπως φαίνεται στον Πίνακα 8.3, ο αλγόριθμος αυτός ελέγχεται από τέσσερις μεταβλητές (,,, ), και με συγκεκριμένη επιλογή τιμών εκφυλίζεται στους προαναφερθέντες αλγόριθμους, καθώς και στην οικογένεια αλγόριθμων Newark-β. Οι παραδοχές της Γενικευμένης-α μεθόδου για την επιτάχυνση, την ταχύτητα και τη μετατόπιση είναι ίδιες με αυτές της Newark-β που δίδονται στην Εξίσωση (3.), η δε διαφορά τους είναι στην εξίσωση κίνησης που εδώ λαμβάνει την παρακάτω τροποποιημένη μορφή με τα σχετικά αναπτύγματα για τα κινηματικά και τα φορτιστικά μεγέθη: Ι. Αρχικοί υπολογισμοί:. Μόρφωση των μητρώων δυσκαμψίας Κ, μάζας Μ, και απόσβεσης C. Καθορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V 3. Υπολογισμός επιταχύνσεων A από ισορροπία στον χρόνο t 4. Καθορισμός χρονικού βήματος Δt και σταθερών θ, β, γ 5. Υπολογισμός σταθερών ολοκλήρωσης w, w ( t) t, w w, w3 ( ), w4 ( ) w5 [( ) t ( ) t] 6. Καθορισμός του ενεργού μητρώου δυσκαμψίας Kˆ KwMwC 44

( t) t w5 [( ) t ( ) t] 3 4 6. Καθορισμός του ενεργού μητρώου δυσκαμψίας Kˆ KwMwC ΙΙ. Επαναληπτικοί υπολογισμοί: ΙΙ. Επαναληπτικοί υπολογισμοί:. Ενεργό φορτίο. Ενεργό φορτίο Rˆ Ρ ( R R) M( wd wv w3a) Rˆ C( Ρw D ( Rw 4VR ) wm 5A( ) wk D wd V w3a) C( w ˆ ˆ ˆ D w4v w5a) K D ˆ. Επίλυση για μετακινήσεις στο βήμα +θ ως KD R D K R. A 3. Επίλυση Eπιτάχυνση για μετακινήσεις στο βήμα +θ στο ως βήμα +θ ως w( ˆD D) ˆwV w3aˆ KD ˆ R D K R 4. Επιτάχυνση, ταχύτητα και μετακίνηση στο βήμα + ως 3. Eπιτάχυνση στο βήμα +θ ως A w( D D) wv w3a A ( ) A A 4. Επιτάχυνση, ταχύτητα και μετακίνηση στο βήμα + ως V A V ( ) At A ta A D D tv ( ) t A t A V V ( ) ta ta D D tv ( ) t A t A Πίνακας 8. Μόρφωση αλγόριθμου της μεθόδου Wilso-θ Πίνακας 8. Μόρφωση αλγόριθμου της μεθόδου Wilso-θ u cu ku p u ( a ) u a u a u ( a ) u a u a u ( a ) u a u a p ( a ) p a p a (8.) Στον Πίνακα 8.4 συνοψίζεται η μόρφωση και πορεία υπολογισμών του αλγόριθμου, ενώ περισσότερες πληροφορίες Πίνακα για τις 8.4 ιδιότητες συνοψίζεται του θα δούμε η μόρφωση στην Ενότητα και πορεία 8.3. υπολογισμών του αλγόριθμου, ενώ Στον περισσότερες πληροφορίες για τις ιδιότητες του θα δούμε στην Ενότητα 8.3. Γενικευμένη-α ΗΗΤ-α Γενικευμένη-α ΗΗΤ-α WBZ-α ΗΗΤ-α Γενικευμένη-α WBZ-α Newark-β 77 WBZ-α ΗΗΤ-α Γενικευμένη-α Newark-β 8.3 Βασικοί αριθμητικοί παράμετροι των αλγορίθμων χρονικής ολοκλήρωσης. Newark-β WBZ-α ΗΗΤ-α 8.3 Βασικοί Πίνακας αριθμητικοί 8.3 παράμετροι Βασικοί αριθμητικοί των αλγορίθμων παράμετροι χρονικής των αλγορίθμων ολοκλήρωσης. χρονικής ολοκλήρωσης. Newark-β WBZ-α κοί 8.3 υπολογισμοί: Βασικοί αριθμητικοί παράμετροι των αλγορίθμων χρονικής ολοκλήρωσης. Newark-β όρφωση των μητρώων δυσκαμψίας Κ, μάζας Μ, και απόσβεσης C κοί 8.3 υπολογισμοί: Βασικοί αριθμητικοί παράμετροι των αλγορίθμων χρονικής ολοκλήρωσης. θορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V όρφωση των μητρώων δυσκαμψίας Κ, μάζας Μ, και απόσβεσης C κοί ολογισμός υπολογισμοί: επιταχύνσεων A από ισορροπία στον χρόνο t θορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V όρφωση θορισμός των χρονικού μητρώων βήματος δυσκαμψίας Δt και Κ, σταθερών μάζας Μ, α, και α και απόσβεσης β, γ C κοί ολογισμός υπολογισμοί: επιταχύνσεων A από ισορροπία στον χρόνο t ολογισμός θορισμός αρχικών σταθερών συνθηκών ολοκλήρωσης για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V όρφωση θορισμός των χρονικού μητρώων βήματος a a, w ( δυσκαμψίας ) Δt και Κ, σταθερών μάζας Μ, α, και α και απόσβεσης β, γ C ολογισμός επιταχύνσεων A από ισορροπία ( a ) ολογισμός σταθερών ολοκλήρωσης, w στον χρόνο t θορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις, D w w t, 3 και ταχύτητες, V θορισμός χρονικού βήματος t t ( a ) (.5 ) ( a ) a a, w ( ) Δt και σταθερών α, α και β, γ ολογισμός επιταχύνσεων A από ισορροπία ( a ), w στον χρόνο t ολογισμός σταθερών ολοκλήρωσης, w 3 w t, θορισμός χρονικού βήματος 4 t a, w 5 t, 45 ( a ) (.5 ) ( a ) a a, w ( ) Δt και σταθερών α, α και β, γ ( a ) ολογισμός σταθερών ολοκλήρωσης, w, w 3 w t, t t

Ι. Αρχικοί υπολογισμοί:. Μόρφωση των μητρώων δυσκαμψίας Κ, μάζας Μ, και απόσβεσης C. Καθορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V 3. Υπολογισμός επιταχύνσεων A από ισορροπία στον χρόνο t 4. Καθορισμός χρονικού βήματος Δt και σταθερών α, α και β, γ 5. Υπολογισμός σταθερών ολοκλήρωσης w a, w ( a t ), w ( a ), w w t t 3, ( a ) (.5 ) ( a ) w4 a, w 5, t w 6 ( a ) ( ), w t ( ), t w w 7, w w t 7 t 8, (.5 ) w 9, 6. Καθορισμός του ενεργού μητρώου δυσκαμψίας Kˆ wkwmwc ΙΙ. Επαναληπτικοί υπολογισμοί:. Ενεργό φορτίο Rˆ R w ( R R ) M( w D w V w A ) 3 4 C( w D w V w A ) 5 6. Επίλυση για μετακινήσεις στο βήμα + ως 3. Eπιτάχυνση και ταχύτητα στο βήμα + ως A w ( D D ) w V w A 7 8 9 V V w A w A KD ˆ Rˆ D Kˆ Rˆ Πίνακας 8.4 Οι αλγορίθμοι Γενικευμένη-α, HHT-a, WBZ-a και Νewark-β. 8..5 Μέθοδος Ruge-Kutta-Nystro Μία από τις πλέον κλασικές κατηγορίες μεθόδων επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Ruge-Kutta, που σπάνια όμως χρησιμοποιείται για την επίλυση δυναμικών συστημάτων (Press et al., 989). Αυτό οφείλεται σε δυο βασικούς λόγους, (i) την πολυπλοκότητα της μόρφωσης του αλγόριθμου για πολυβάθμια συστήματα και (ii) δεν υπάρχει μια σαφής συνθήκη ευστάθειας, δηλαδή ο αλγόριθμος είναι υπό συνθήκη ευσταθής. Η μέθοδος όμως έχει ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο και η ακρίβεια της μπορεί να είναι υψηλή (ευστάθεια και ακρίβεια είναι όροι οι οποίοι θα παρουσιαστούν στην επόμενη ενότητα). Πιο συγκεκριμένα, σ όλους τους προηγούμενους αλγόριθμους επιτυγχάνουμε ακρίβεια πρώτης ή δεύτερης τάξης, με εξαίρεση τη μέθοδο Fox-Goodwi (που είναι η Newark-β με συντελεστές, και είναι υπό συνθήκη ευσταθής), για την οποία επιτυγχάνεται ακρίβεια τέταρτης τάξεως, αλλά μόνο για την περίπτωση μηδενικής απόσβεσης. Σε αντίθεση, η μέθοδος Ruge-Kutta-Nystro παρουσιάζει ακρίβεια τέταρτης τάξης. 46

Ι. Αρχικοί υπολογισμοί:. Μόρφωση των μητρώων δυσκαμψίας Κ, μάζας Μ, και απόσβεσης C. Καθορισμός αρχικών συνθηκών για μετακινήσεις D, και ταχύτητες V 3. Υπολογισμός επιταχύνσεων A από ισορροπία στον χρόνο t 4. Καθορισμός χρονικού βήματος Δt ΙΙ. Επαναληπτικοί υπολογισμοί:. Συντελεστές βήματος t w ( pt ( ), u, u) t w ( u.5 w) t t w3 ( p( t ), u w, u w) t t w4 ( p( t ), u w, u w3) w5 t ( u w4) t w6 ( pt ( h), u w5, u w4). Επίλυση για τις μετακινήσεις, ταχύτητες στο βήμα + ως D D t( V ( w w3 w4)) 3 ( 3 V V w w w4 w6 ) 3 3. Υπολογισμός επιτάχυνσης στο βήμα + από εξίσωση ισορροπίας ως A M ( P CV KD ) Πίνακας 8.5 Μόρφωση του αλγόριθμου της μεθόδου Ruge-Kutta-Nystro. O σχετικός αλγόριθμος μορφώνεται διαφορετικά από πριν, και ο απλούστερος τρόπος έναρξης της χρονικής ολοκλήρωσης είναι να φέρουμε τη διακριτή εξίσωση κίνησης (8.) στη μορφή u ( p, u, u) p c u k u (8.3) Για συντομία, η πορεία υπολογισμών της μεθόδου συνοψίζεται στον Πίνακα 8.5. Κλείνοντας, αναφέρουμε πως υπάρχουν και άλλες μέθοδοι χρονικής ολοκλήρωσης, πέραν αυτών που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Για παράδειγμα, η μέθοδος των Hilber-Hughes-Taylor (977) συνδυάζει όλα τα πλεονεκτήματα της μεθόδου Newark-β με αυτά της μεθόδου Wilso-θ, και για το λόγο αυτό προτείνεται ως η κύρια μέθοδος χρονικής ανάλυσης στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων SAP. 8.3 Ανάλυση Σύγκλισης των Αλγορίθμων Χρονικής Ολοκλήρωσης Κύρια απαίτηση για τη χρήση των παραπάνω αλγορίθμων χρονικής ολοκλήρωσης είναι η σύγκλιση. Λέμε πως ένας αλγόριθμος συγκλίνει εάν για κάποιο συγκεκριμένο διακριτό χρόνο t και βήμα t t, έχουμε u ut ( ) στο όριο καθώς t.. Δύο ακόμα έννοιες που έχουν να κάνουν με τη σύγκλιση του αλγόριθμου είναι η (i) ευστάθεια και (ii) η ακρίβεια. Αποδεικνύεται πως αν κάποιος αλγόριθμος πληροί συνθήκες ευστάθειας και ακρίβειας, τότε αναγκαστικά συγκλίνει. Εδώ θα εξετάσουμε συνοπτικά τους παραπάνω αλγόριθμους ως προς την ευστάθεια και την ακρίβεια τους. 47

8.3. Ευστάθεια Αλγορίθμων Χρονικής Ολοκλήρωσης Κάθε αλγόριθμος χρονικής ολοκλήρωσης είναι το διακριτό ανάλογο ενός συνεχούς (χρονικώς) δυναμικού συστήματος. Ενα δυναμικό σύστημα (διακριτό η συνεχές) χαρακτηρίζεται ως απόλυτα ευσταθές όταν σε καθεστώς απουσίας διεγέρσης το σύστημα αποφορτίζει την ενέργεια που έχει αποθηκευμένη (ή δεν εισάγει επιπλέον ενέργεια). Αρκεί συνεπώς να εξετάσουμε τη συμπεριφορά του διακριτού δυναμικού συστήματος σε περίπτωση μηδενικής εξωτερικής διέγερσης, οπότε και μπορούμε να διατυπώσουμε την απόκριση με την εξής συμπτυγμένη μορφή χρονικού βηματισμού: x Ax x A x (8.4) Εδώ έχουμε ως x το διάνυσμα που περιέχει την πλήρη απόκριση (μετακίνηση, ταχύτητα, επιτάχυνση) του συστήματος και ως A το μητρώο καταστατικής μετάβασης που δίνει την εξελικτική πορεία της λύσης στο χρόνο. Το μητρώο A είναι επίσης γνωστό στη δυναμική των κατασκευών ως μητρώο μεγέθυνσης, οι δε μεταβλητές που περιέχονται στο διάνυσμα x προφανώς δεν είναι οι ίδιες για κάθε αλγόριθμο. Το διάνυσμα x, μετά από έναν μεγάλο αριθμό βημάτων, δηλαδή όταν, παίρνει τη μορφή li x (li A ) x (8.5) Από τη θεωρία της γραμμικής άλγεβρας (Press et al., 989) είναι γνωστό ότι η συμπεριφορά του μητρώου A, υψωμένου σε κάποια δύναμη, εξαρτάται από τις ιδιοτιμές του. Για να είναι συνεπώς η παραπάνω λύση φραγμένη, και συνεπώς το δυναμικό σύστημα να είναι ευσταθές, πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες:. Το p( A ), αν το μητρώο A έχει διακριτές ιδιοτιμές, όπου ο τελεστής p( A ) ax( i ), με i ( i,,...) τις ιδιοτιμές του μητρώου.. Ιδιοτιμές του μητρώου A πολλαπλότητας μεγαλύτερης της μονάδας πρέπει να έχουν μέτρο (μέγεθος) μικρότερο της μονάδας. Εάν σ έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες δίχως να εμπλέκεται το βήμα χρονικής ολοκλήρωσης t, τότε ο αλγόριθμος αυτός ονομάζεται ευσταθής. Στην αντίθετη περίπτωση, ο αλγόριθμος ονομάζεται ασταθής. Τέλος, εάν το χρονικό βήμα t υπόκειται σε κάποιους περιορισμούς προκειμένου να ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες, τότε ο αλγόριθμος ονομάζεται υπό συνθήκες ευσταθής. Στη δυναμική των κατασκευών είναι επιθυμητή η χρήση ευσταθών αλγόριθμων, δίχως περιορισμούς του χρονικού βήματος ολοκλήρωσης, διότι σε αντίθετη περίπτωση η συνθήκη που προκύπτει εμπλέκει το t με τις ιδιοπεριόδους της κατασκευής. Για πολυβάθμια συστήματα, οι ιδιοπερίοδοι μπορεί να είναι πολυπληθείς και δύσκολα προσδιορίσιμες. Από τους αλγόριθμους που παρουσιάσαμε, οι άνευ συνθήκης ευσταθείς εμπεριέχονται στις οικογένειες αλγόριθμων Newark-β, Wilso-θ και Γενικευμένη-α. Πιο συγκεκριμένα, για τη Newark-β έχουμε ευστάθεια άνευ συνθηκών (επί του χρονικού βήματος ολοκλήρωσης) όταν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για τις παραμέτρους του αλγόριθμου (η δεύτερη σχέση αποτελεί ένα πιο αυστηρό κριτήριο).5 ή.5,.5(.5) (8.6) Επίσης, όσον αφορά το χρονικό βήμα, έχουμε πως T (.5) [.5 (.5) ] t.5 / (8.7) Η τιμή του t t για την οποία ισχύει η ισότητα στην Εξίσωση (8.7) ονομάζεται κρίσιμη (ή cr ). Σημειώνουμε πως η μέθοδος Κεντρικών Διαφορών αποτελεί ειδική περίπτωση της Newark-β όταν έχουμε πως.5,.. Συνεπώς, η Εξίσωση (8.6) δεν ισχύει για τη μέθοδο Κεντρικών Διαφορών, οπότε και είναι υπό συνθήκη ευσταθής. Πιο συγκεκριμένα, η συνθήκη ευστάθειας δίδεται ως t T από την Εξίσωση (8.7). Οσον αφορά τις ασταθείς μεθόδους, δηλαδή περιπτώσεις για τις οποίες το σφάλμα αυξάνεται χωρίς φράγμα και ανεξάρτητα από το t., μία τέτοια περίπτωση είναι η Newark-β για. 48

Η άνευ συνθηκών ευστάθεια για την περίπτωση της Wilso-θ προκύπτει όταν.5, οπότε έχουμε ακρίβεια αποτελεσμάτων δεύτερης τάξης με 3 ( ) 4 ( ), (8.8).5 Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε πως όταν, η απαιτούμενη τιμή της., δηλαδή προκύπτει η μέθοδος μέσης σταθερής επιτάχυνσης. Με όμοιο τρόπο υπολογίζεται η τιμή.3665 για την περίπτωση της γραμμικής επιτάχυνσης από u έως u +, σε συνδυασμό με την άνευ συνθήκης ευστάθεια. Σημειώνουμε πως η πιο συνήθης τιμή της παραμέτρου θ στη μέθοδο Wilso-θ είναι η παραπάνω, με μικρή όμως στρογγυλοποίηση, δηλαδή.4.. Τέλος, για την περίπτωση της Γενικευμένης-α μεθόδου και ακρίβεια τουλάχιστον δεύτερης τάξης, πρέπει να ισχύει.5 (8.9) ενώ η συνθήκη ευστάθειας χωρίς περιορισμό για το χρονικό βήμα δίδει τις εξής σχέσεις για τις παραμέτρους της μεθόδου:.5,.5.5 ( ) (8.3) 8.4 Παραδείγματα Εφαρμογής Στην παρούσα ενότητα δίδονται τρία παραδείγματα εφαρμογής των μεθόδων χρονικής ολοκλήρωσης που παρουσιάστηκαν προηγουμένως, με έμφαση σε θέματα ακρίβειας των υπολογισμών. 8.4. Παράδειγμα Εφαρμογής Ι Σε σχέση με το παράδειγμα της Ενότητας. που λύθηκε αναλυτικά, εδώ συνεχίζουμε και υπολογίζουμε τη χρονική απόκριση του μονοβάθμιου ταλαντωτή με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων χρονικής ολοκλήρωσης, και για τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Πιο συγκεκριμένα, η χρονική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης θα γίνει με τη μέθοδο Newark-β, περίπτωση γραμμικής επιτάχυνσης ( (, 6 ) ) και με την περίπτωση μέσης σταθερής επιτάχυνσης ( (, 4 ) ). Για υπό συνθήκη ευσταθείς μεθόδους, ένα χαρακτηριστικό μέγεθος είναι ο αριθμός Courat C (Belytschko ad Hughes, 983), που ορίζεται ως ο λόγος του βήματος ολοκλήρωσης προς το κρίσιμο βήμα για ευστάθεια. Στην περίπτωση της Newark-β, ο αριθμός Courat δίνεται από την σχέση (8.7) ως C t t (8.3) cr Για άνευ συνθήκη ευσταθείς αλγόριθμους, ο αριθμός Courat δεν ορίζεται γιατί tcr. Ενα άλλο χαρακτηριστικό μέγεθος των αλγόριθμων χρονικής ολοκλήρωσης, χρήσιμο για τη μελέτη της ακρίβειας, είναι ο λόγος του βήματος ολοκλήρωσης ως προς τη φυσική ιδιοπερίοδο της κατασκευής. Στο παρόν παράδειγμα ΜΒΤ (και χωρίς απόσβεση του συστήματος), το κρίσιμο βήμα ολοκλήρωσης (με, 6) είναι t cr.853 sec. Η ακριβής λύση του ΜΒΤ στον χρόνο t =.5 sec ήταν u(.5).49856 και u(.5).7 s ec για τη μετακίνηση και την ταχύτητα. Με χρονικό βήμα ολοκλήρωσης t.sec, η περίπτωση γραμμικής επιτάχυνσης δίδει τώρα τη μετακίνηση ως u γ (.5).498595, ενώ η περίπτωση μέσης σταθερής επιτάχυνσης δίδει u μ (.5).49849568. Και οι δυο αριθμητικές προσεγγίσεις είναι ικανοποιητικές. Οταν όμως το χρονικό βήμα ξεπεράσει το tcr (π.χ., t.5 sec ) u ), τότε οι αντίστοιχες λύσεις είναι γ (.5).33 και u μ (.5).33, που δεν θεωρούνται αποδεκτές. Παρατηρούμε απλώς ότι η λύση της γραμμικής επιτάχυνσης έχει ξεφύγει και ως προς την τάξη μεγέθους, διότι το σφάλμα αυξάνεται εκθετικά, ενώ το σφάλμα της μέσης επιτάχυνσης παραμένει φραγμένο. Οι παραπάνω δύο περιπτώσεις απεικονίζονται στα Σχήματα 8. και 8.3. Παρόμοια συμπεριφορά παρατηρείται και για τα υπόλοιπα κινηματικά μεγέθη της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. 49

.5 Σφάλμα στην Μέθοδο Μέσης Επιτάχυνσης..5 3 4 5 6 7 8 9 -.5 -. -.5 Σχήμα 8. Χρονική εξέλιξη σφάλματος για ΜΒΤ της μέθοδου Newark-β μέσης επιτάχυνσης. Ενας εναλλακτικός τρόπος παρακολούθησης της χρονικής πορείας ενός δυναμικού συστήματος (συνεχούς ή διακριτού) είναι η απεικόνιση ανεξάρτητων δυναμικών μεταβλητών στον χώρο φάσης (phase diagras). Στην περίπτωση του μονοβάθμιου ταλαντωτή, οι ανεξάρτητες δυναμικές μεταβλητές είναι δύο και μπορούμε να επιλέξουμε ως τέτοιες την ταχύτητα και τη μετατόπιση. Η επιτάχυνση θεωρείται ως εξαρτημένη μεταβλητή, και δίδεται από τη συνθήκη ισορροπίας. Παραμένοντας στο ίδιο παράδειγμα του ΜΒΤ, θεωρούμε τώρα πως η κατασκευή έχει ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης % και υπολογίζουμε την απόκριση του συστήματος με χρήση των ίδιων αλγόριθμων χρονικής ολοκλήρωσης όπως και πρίν. Στα Σχήματα 8.4 και 8.5 απεικονίζονται τα διαγράμματα μετακίνησης-ταχύτητας για αυξανόμενο χρονικό βήμα ολοκλήρωσης και για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, που επιτρέπει την πλήρη εξέλιξη της δυναμικής απόκρισης, και για δύο τιμές του αριθμού Courat. Παρατηρούμε πως όταν ο αριθμός Courat ξεπεράσει τη μονάδα (έστω και ελάχιστα), η περίπτωση της γραμμικής επιτάχυνσης οδηγεί σε απόκριση που πρακτικά απειρίζεται. Για το ίδιο χρονικό βήμα, η περίπτωση της μέσης σταθερής επιτάχυνσης τείνει να αποσβέσει την ενέργεια που εισέρχεται στο σύστημα από την κίνηση, όπως συμβαίνει και στην πραγματικότητα με υπάρχουσες κατασκευές, με αποτέλεσμα να μην παρατηρείται η προηγούμενη απόκλιση. 3 5 Σφάλμα στην Μέθοδο Γραμμικής Επιτάχυνσης 5 5 3 4 5 6 7 8 9-5 - -5 - -5 Σχήμα 8.3 Χρονική εξέλιξη σφάλματος για ΜΒΤ με μέθοδο Newark-β γραμμικής επιτάχυνσης. 5

8.4. Ακρίβεια Αλγόριθμων Χρονικής Ολοκλήρωσης H αριθμητική ακρίβεια των μεθόδων χρονικής ολοκλήρωσης προσδιορίζεται με τη βοήθεια δύο παραμέτρων: (i) τη σχετική επιμήκυνση της περιόδου (period elogatio) και (ii) τη μείωση του εύρους ταλάντωσης (aplitude decay). Η πρώτη παράμετρος ορίζεται ως PE ( T T) T, όπου T είναι η ιδιοπερίοδος του διακριτού συστήματος που προκύπτει από εφαρμογή του σχετικού αλγόριθμου, ενώ Τ είναι η ιδιοπερίοδος του ( ) ( ) αρχικού (συνεχούς) ταλαντωτή. Η δεύτερη παράμετρος ορίζεται ως AD r r r tt tt t t T, όπου r είναι το εύρος της ταλάντωσης που υπολογίζεται από τον αλγόριθμο. Η διατύπωση αναλυτικών σχέσεων για τις δυο παραπάνω παραμέτρους ακρίβειας είναι αρκετά πολύπλοκη, και ταυτόχρονα συνιστά ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα (Belytschko ad Hughes, 983). Παραταύτα, εύκολα προκύπτουν συμπεράσματα με τη βοήθεια αριθμητικών πειραμάτων, ώστε να καταλήξουμε σε κανόνες εκτίμησης της ακρίβειας των μεθόδων και στην οριοθέτηση κάποιων ορθών επιλογών ανάλογα με το πρόβλημα που παρουσιάζεται. Δt=.85, C =., Δt/T=.55 Δt=.74, C =.4, Δt/T=..8 Ακριβής Λύση.8 Ακριβής Λύση.6.6.4.4.. Ακριβής Λύση -.6 -.4 -...4.6 -. -.4 -.6 -.8 - -.6 -.4 -...4.6 -. -.4 -.6 -.8 - Μέση Σταθερή Επιτάχυνση Μέση Σταθερή Επιτάχυνση.8.6.4. -.6 -.4 -...4.6 -. -.4 -.6 -.8 - Μέση Σταθερή Επιτάχυνση.8.6.4. -.6 -.4 -...4.6 -. -.4 -.6 -.8 -.8 Μέθοδος Γραµµικής Επιτάχυνσης.8.6 Μέθοδος Γραµµικής Επιτάχυνσης.6.4 Γραμμική Επιτάχυνση.4. -.6 -.4 -...4.6 -. -.4 -.6 -.8 -. -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5.6 -. -.4 -.6 -.8 - Σχήμα 8.4 Διαγράμματα μετατόπισης-ταχύτητας του ΜΒΤ για αριθμούς Courat <.. 5

Δt=.8, C =.97, Δt/T=.535 Δt=.8, C =.97, Δt/T=.535.8 Δt=.85, C =., Δt/T=.55 Δt=.85, C =., Δt/T=.5.8.6 Ακριβής Λύση.6.8.8.4.4.6 Ακριβής Λύση.6 Ακριβής Λύση...4.4 Ακριβής Λύση Μέση Σταθερή Επιτάχυνση Γραμμική Επιτάχυνση. -. -.4 -.6 -.8.8.6.4. Ακριβής Λύση -.6 -.4 -...4.6 -. -.4 -.6 -.8 -.5..5. Μέση Σταθερή Επιτάχυνση Μέση Σταθερή Επιτάχυνση -.4 -.3 -. -....3.4.5.6 Μέθοδος Γραµµικής Επιτάχυνσης Γραμμική Επιτάχυνση -.6 -.4 -...4.6 -.6 -.4 -... -. -. -.6 -.4 -...4.6 -.4 -.4 -. -.6 -.6 -.4 -.8 -.8 -.6 -.8 Μέση Σταθερή Επιτάχυνση.8.8.6.6 Μέση Σταθερή Επιτάχυνση.8.4.4.6...4 -.4 -.3 -. -....3.4.5.6 -.3 -. -....3. -. -. -.6 -.4 -...4.6-4E+75-3E+75 -E+75 -E+75 E+75 5E+74.5 -.5-5E+74 -. -.6 -.4 -...4.6-4E+75-3E+75 -E+75 -E+75 E+75 E+75 3E+75 4E+75 -E+75 -.5 -.5-5E+74 -.5E+75 -. -. -E+75 -.5 -.5 -E+75 -. -.5 -.4 -.4 -.3 -. -....3.4.5.6 -. -.6 -.6 -.4 -.8 -.8 -.6 - - -.8.5 E+75 - Μέθοδος Γραμμικής Επιτάχυνσης..5E+75 E+75.5 Μέθοδος Γραµµικής Επιτάχυνσης E+75..5E+75 5E+74.5 E+75 -.5E+75 -E+75 Σχήμα 8.5 Διαγράμματα μετατόπισης-ταχύτητας του ΜΒΤ για αριθμούς Courat.. Σχήμα 8.5 8.5 Διαγράμματα Διαγράµµατα μετατόπισης-ταχύτητας µετατόπισης-ταχύτητας του του ΜΒΤ ΜΒΤ για για αριθμούς αριθµούς Courat.... 8.4.3 Παράδειγμα Εφαρμογής ΙΙ Εδώ συνεχίζουμε την επίλυση του μονοβάθμιου ταλαντωτή του παραδείγματ 8.4.3 8.4.3 Παράδειγμα Εφαρμογής ΙΙ ΙΙ μηδενική απόσβεση) για πέντε διαφορετικές μεθόδους χρονικής ολοκλήρωσης, σ Εδώ Εδώ συνεχίζουμε συνεχίζουμε την την επίλυση επίλυση του μονοβάθμιου του μονοβάθμιου ταλαντωτή ταλαντωτή του παραδείγματος του παραδείγματος 8.4. (με 8.4. μηδενική (με απόσβεση) τα αριθμητικά αποτελέσματα με την ακριβή λύση. Η αριθμητική επίλυση γίν για μηδενική πέντε διαφορετικές απόσβεση) για μεθόδους πέντε διαφορετικές χρονικής ολοκλήρωσης, μεθόδους χρονικής συγκρίνοντας ολοκλήρωσης, τα αριθμητικά συγκρίνοντας αποτελέσματα με την ακριβή τα αριθμητικά λύση. Η αριθμητική αποτελέσματα επίλυση με γίνεται την ακριβή διαφορετικά με δυο λύση. διαφορετικά χρονικά Η αριθμητική χρονικά βήματα, βήματα, επίλυση t γίνεται Tt T. με. και δυο και t T., τα δε α, τα διαφορετικά δε αποτελέσματα χρονικά παρουσιάζονται βήματα, Δ στα t παρουσιάζονται Σχήματα 8.6 και στα 8.7. Σχήματα 8.6 και 8.7. T =. και Δ t T =., τα δε αποτελέσματα παρουσιάζονται στα Σχήματα 8.6 και 8.7. 89 86 5

.6.4 Cetral Dierece Ruge-Kutta-Nystro Newark (β=/4) Newark (β=/6) Wilso-(θ=.37) Exact..5..5..5.3.35.4.45.5 -. -.4 -.6 Σχήμα 8.6 Χρονική εξέλιξη της μετακίνησης του ΜΒΤ με Δt/T=...6.4. Cetral Dierece Ruge-Kutta-Nystro Newark (β=/4) Newark (β=/6) Wilso (θ=.37) Exact.5..5..5.3.35.4.45.5 -. -.4 -.6 Σχήμα 8.7 Χρονική εξέλιξη της μετακίνησης του ΜΒΤ με Δt/T=.. 53

Παρατηρούμε πως η μέθοδος Ruge-Kutta-Nystro, και ιδιαιτέρως για το μικρό βήμα χρονικής ολοκλήρωσης t, είναι η πιο ακριβής απ όλες τις μεθόδους και τα αποτελέσματά της σχεδόν συμπίπτουν με την ακριβή λύση. Καθώς όμως το βήμα χρονικής ολοκλήρωσης αυξάνει σε t, παρατηρούμε πως η μέθοδος εισάγει αλγοριθμική απόσβεση και μία ελαφριά (τη μικρότερη στα σχήματα) επιμήκυνση της ιδιοπεριόδου του ταλαντωτή. Εδώ υπενθυμίζουμε πως η μέθοδος Ruge-Kutta-Nystro είναι υπό συνθήκη ευσταθής και σπάνια χρησιμοποιείται στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών. Αλγοριθμική απόσβεση εισάγει επίσης και η μέθοδος Wilso-θ, η οποία αυξάνεται έντονα με την αύξηση του βήματος χρονικής ολοκλήρωσης. Οι μέθοδοι Newark-β (με 4και 6)) και Wilso-θ παρουσιάζουν επιμήκυνση της ιδιοπεριόδου του ταλαντωτή, ενώ η μέθοδος των κεντρικών διαφορών παρουσιάζουν βράχυνση αυτής. Τέλος, η μέθοδος Newark-β (με 6) ) δίνει τη μικρότερη επιμήκυνση της ιδιοπεριόδου απ όλες, και σε συνδυασμό με το ότι δεν παρουσιάζει αλγοριθμική απόσβεση της κίνησης, την καθιστά προτιμότερη για το παρόν πρόβλημα. Παρ όλο που η μέθοδος Newark-β είναι υπό συνθήκη ευσταθής, έχοντας τη συνθήκη ευστάθειας που δίδεται από την Εξίσωση (8.7) και ταυτόχρονα γνωρίζοντας την ιδιοπερίοδο του συστήματος, μπορούμε να επιλέξουμε ένα χρονικό βήμα που θα δώσει καλά αποτελέσματα. Ως παράδειγμα αναφέρουμε πως η επιλογή του βήματος χρονικής διακριτοποίησης μπορεί να γίνει με βάση ένα γενικό κριτήριο που απαιτεί πως t. T tcr, για το οποίο τα αποτελέσματα όλων των προηγούμενων μεθόδων κρίνονται ικανοποιητικά. Σημείωνουμε εδώ πως η τιμή του βήματος χρονικής διακριτοποίησης εξαρτάται, εκτός από την ιδιοπερίοδο της κατασκευής, και από τον συγκεκριμένο τύπο και διάρκεια της φόρτισης. Η παραπάνω διαδικασία επιλογής γίνεται πολύ πιο δύσκολη όταν έχουμε να επιλύσουμε πολυβάθμια δυναμικά συστήματα, όπου ο αριθμός των ιδιοπερίοδων του συστήματος είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας της κατασκευής. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η δεσπόζουσα ιδιοπερίοδος Τ που χρησιμοποιείται ως κριτήριο επιλογής του χρονικού βήματος είναι προφανώς η μικρότερη ιδιοπερίοδος του συστήματος T i. Το κριτήριο αυτό όμως μπορεί να οδηγήσει σε χρήση πολύ πυκνής χρονικής διακριτοποίησης, καθιστώντας την όλη διαδικασία δυναμικής ανάλυσης ασύμφορη, ιδίως όταν πρέπει να μελετήθεί η κατασκευή για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Λαμβάνοντας υπ όψη το γεγονός πως η συνεισφορά των υψηλόσυχνων ιδιομορφών στη συνολική απόκριση της κατασκευής είναι μικρή, ιδίως για συμβατικές φορτίσεις όπως οι σεισμικές, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως είναι καλύτερα να μη χρησιμοποιηθεί η T i, διότι υπάρχει και ο κίνδυνος να εισαχθούν μολυσμένα, υψηλής συχνότητας αποτελέσματα στην λύση. Αυτή την ανάγκη έρχεται να καλύψει η Γενικευμένη-α μέθοδος, η οποία παρουσιάζει αλγοριθμική απόσβεση των υψηλόσυχνων ιδιομορφών, χωρίς να επηρεάζει τις χαμηλόσυχνες ιδιομορφές και δίχως να χάνεται η ακρίβεια δεύτερης τάξεως της όλης αριθμητικής προσέγγισης. 8.4.4 Παράδειγμα Εφαρμογής ΙΙΙ Στο τελευταίο παράδειγμα εφαρμογής θα μελετηθεί η απόκριση του υδατόπυργου του παραδείγματος της Ενότητας.5 με χρήση του αλγόριθμου χρονικής ολοκλήρωσης Newark-β με τις εξής τιμές των παραμέτρων του:, 6. Η πορεία των υπολογισμών θα ακολουθήσει τον Πίνακα 8.4, θέτοντας τους συντελεστές,. Περίπτωση Ι: Υδατόπυργος (πλήρης ύδατος) υπό τριγωνικό πλήγμα Τα στοιχεία της κατασκευής είναι η δυσκαμψία k =. kn, η μάζα tot = 55 t και η απόσβεση % T. Η ιδιοπερίοδος της κατασκευής είναι.989. sec και το χρονικό βήμα επιλέγεται ως t.t.sec. Σε κρουστικού-τύπου φορτία, όπου η διάρκεια της φόρτισης είναι πολύ μικρή, πολλές φορές χρειάζεται να επιλέξουμε ένα μικρότερο βήμα διακριτοποίησης, όχι τόσο για την ακρίβεια των αποτελεσμάτων, αλλά και για τη σωστή παρακολούθηση της εξέλιξης του δυναμικού φαινομένου. Οι αρχικοί υπολογισμοί της μεθόδου δίνονται στον Πίνακα 8.6, ενώ οι επαναληπτικοί υπολογισμοί για κάθε διακριτό χρόνο στον Πίνακα 8.7. Από τον δεύτερο πίνακα παρατηρούμε πως η μέγιστη μετακίνηση εμφανίζεται στο χρόνο t.3sec και η τιμή 3 της είναι u(.3).68. Χρησιμοποιώντας ένα μικρότερο χρονικό βήμα, δηλαδή t.t. sec, τα νέα αποτελέσματα δίδουν τη μέγιστη μετακίνηση στον χρόνο t =.33sec ως 54

χρόνο χρόνο t t.3sec.3sec και και η τιμή η τιμή της της είναι είναι u(.3) u (.3).68.68. Πίνακα. Χρησιμοποιώντας 8.7. Από τον ένα δεύτερο ένα πίνακα παρατηρούμε πω τον Πίνακα 8.6, ενώ οι επαναληπτικοί υπολογισμοί για κάθε διακριτό χρόνο στον 7. Από τον δεύτερο μικρότερο χρονικό βήμα, δηλαδή t. T. sec μικρότερο πίνακα χρονικό παρατηρούμε βήμα, δηλαδή πως η μέγιστη t. μετακίνηση T, νέα δίδουν τη. εμφανίζεται sec, νέα στο χρόνο t.3sec και η τιμή της είναι u(.3) αποτελέσματα δίδουν τη 3 3.3sec και μέγιστη η τιμή της είναι στον u (.3) χρόνο.68 t.33sec. Χρησιμοποιώντας ως u(.33).735 ένα μικρότερο χρονικό 3. Επιλύουμε βήμα, δηλαδή t.t. μέγιστη μετακίνηση στον χρόνο t.33sec ως u(.33).735. Επιλύουμε χρονικό βήμα, τώρα τώρα δηλαδή το ίδιο το ίδιο πρόβλημα t πρόβλημα.tόπως όπως. και και πρίν sec πρίν για, τα για ποσοστό νέα ποσοστό αποτελέσματα απόσβεσης δίδουν 5% μέγιστη 5%. Με μετακίνηση χρονικό βήμα στον χρόνο t.33sec ως. Με χρονικό βήμα 3 u(.33).735. Επιλύουμε τώρα το ίδιο πρόβλημα 3 3 όπως και πρίν για ποσοστό t απόσβεσης 5%.sec, τη μέγιστη ως u(.3).8 ετακίνηση στον t χρόνο.sec t,.33sec υπολογίζουμε ως u τη (.33) μέγιστη.735 μετακίνηση ως. Επιλύουμε τώρα το ίδιο πρόβλημα 3, και με όπως και πρίν για ποσοστό α u(.3).8, και 3με. Με χρονικό βήμα t.sec, υπολογίζουμε τη μέγιστη μετακίνηση ως u(.3).8, 3 διο πρόβλημα και με χρονικό βήμα βήμα t.sec t.sec 5% χρονικό όπως βήμα και πρίν t για.sec ποσοστό την απόσβεσης ως u(.94).3 3 χρονικό. Τέλος, στο την υπολογίζουμε ως u(.94). Με χρονικό.3 βήμα t.sec 3, υπολογίζουμε τη μέγιστη μετακίνησ την υπολογίζουμε ως u(.94).3. Τέλος, στο. Τέλος, στο Σχήμα 8.8 δίδεται η τέμνουσα 8.8 Σχήμα δύναμη δίδεται η βάση τέμνουσα του υδατόπυργου, δύναμη στη που βάση είναι του το 3 sec, υπολογίζουμε Σχήμα τη 8.8 μέγιστη δίδεται μετακίνηση η τέμνουσα ως δύναμη u(.3) στη βάση.8 του γινόμενο υδατόπυργου,, μετακίνησης και χρονικό που που είναι βήμα επί είναι το δυσκαμψίας το γινόμενο t γινόμενο.sec της κατασκευής. την υπολογίζουμε ως μετακίνησης επί επί δυσκαμψίας της της κατασκευής. 3 ήμα t.sec την υπολογίζουμε ως u(.94).3. Τέλος, στο Σχήμα 8.8 δίδεται η τέμνουσα δύναμη στη βάση το μετακίνησης επί δυσκαμψίας της κατασκευής. 8 δίδεται η τέμνουσα δύναμη στη βάση του υδατόπυργου, που είναι το γινόμενο M 55 = < K K>= = = = 35 D w w6.5 ης επί δυσκαμψίας Mτης 55 κατασκευής. K 35 D w w6.5 K =. V = = = w 3 w7 6 M 55 K. K 35 D V w 3 w7 6 5 CK C = 35 D c cr = 699.5 = cr.667 w 6 w8 6 cr w w c cr 699.5.667 6.5 K. V w 6 w8 6. 6.355 V tt.. w.5 w 33 = 6 w9 6.355 t. 3 w7 6 C ccr 699.5.667.5 w3 6 w9 ccr T = 699.5.667 w 6 w4 T.9887 w8 w 6 4 = w 6.355 t..5 =.5 w4 w.5.355 t..5 w3 6 w5.5 w9 T.9887 w 5w = 5 w w=.5.5.9887 Πίνακας 8.6 Αρχικοί υπολογισμοί για τον υδατόπυργο. Πίνακας 8.6 Αρχικοί υπολογισμοί για τον w υδατόπυργο. 4 w.5 Πίνακας 8.6 Αρχικοί υπολογισμοί για τον υδατόπυργο. w5 w.5 Πίνακας 8.6 Αρχικοί υπολογισμοί για τον υδατόπυργο. Περίπτωση ΙΙ: ΙΙ: Υδατόπυργος (άδειος) (άδειος) υπό υπό τριγωνικό τριγωνικό πλήγμα πλήγμα.6 Αρχικοί υπολογισμοί Ο άδειος Ο άδειος για τον υδατόπυργο. υδατόπυργος αναλύεται αναλύεται ακριβώς ακριβώς όπως όπως και και πριν, πριν, αλλά αλλά η μάζα η Περίπτωση μάζα του του συστήματος ΙΙ: Υδατόπυργος είναι είναι (άδειος) υπό τριγωνικό πλ τώρα 5 t και η γίνεται T.3 sec τώρα 5 t και η ιδιοπερίοδος γίνεται T, με την επιλογή η ΙΙ: Υδατόπυργος Περίπτωση (άδειος) ΙΙ: υπό Υδατόπυργος τριγωνικό (άδειος) πλήγμα υπό τριγωνικό πλήγμα.3 sec, με Ο αποτέλεσμα άδειος υδατόπυργος την επιλογή αναλύεται ακριβώς όπως και π υδατόπυργος t t.. T T.3sec. Επειδή όμως θέλουμε ένα μικρότερο (για ακρίβεια) Ο αναλύεται άδειος υδατόπυργος ακριβώς.3sec όπως αναλύεται. Επειδή και πριν, ακριβώς όμως αλλά θέλουμε η όπως μάζα και ένα του πριν, μικρότερο συστήματος αλλά η (για μάζα είναι τώρα 5 t και η ιδιοπερίοδος γίνεται T μεγαλύτερη του συστήματος ακρίβεια) είναι τώρα = 5 t 5 t και και η η ιδιοπερίοδος ιδιοπερίοδος γίνεται γίνεται T.3 sec,, με με αποτέλεσμα αποτέλεσμα την την επιλογή επιλογή t.t.3sec.. Επειδή Επειδή όμως όμως θέλουμε ένα μικρότερο (για μεγαλύτερη ακρίβεια) θέλουμε ένα μικ 89 T 89.3sec. Επειδή όμως θέλουμε ένα μικρότερο (για μεγαλύτερη ακρίβεια) 89 89 t pˆ u u u..88. 5 5.79799..6. 7.54.778.3 -.89.3 94.389.679887.8 -.8.4 8.5.34957 -.83 -.946.5 39.49.9478 -.53 -.45.6-8.583 -.576 -.65.3.7-69.563 -.97539 -.5.798.8-94. -.67545 -..8.9-83.8 -.3636.8.954. -4.74 -.5673.5.467. 7.6.48737.66 -.97. 68.57.94684.6 -.786 Πίνακας 8.7 Επαναληπτικοί υπολογισμοί για τον υδατόπυργο. 55

. χρονικό Πίνακας 8.7 βήμα 68.57 Επαναληπτικοί διακριτοποίησης, υπολογισμοί.94684 καθώς για τον και υδατόπυργο. μία.6 υποδιαίρεση -.786 του χρόνου σε χρονικό βήμα διακριτοποίησης, καθώς και μία υποδιαίρεση του χρόνου σε t κας 8.7 για τον.. sec sec, 8.7 Επαναληπτικοί χρονικό χρονικό υπολογισμοί βήμα βήμα διακριτοποίησης, διακριτοποίησης, για τον υδατόπυργο. καθώς καθώς και και μία μία υποδιαίρεση υποδιαίρεση του του χρόνου χρόνου σε σε t. sec, επιλέγουμε ως τελικό βήμα το ικό ό βήμα βήμα διακριτοποίησης, επιλέγουμε ως καθώς τελικό και βήμα και μία μία το υποδιαίρεση t.33.33 του T του χρόνου.. sec sec. Για μηδενική απόσβεση του σε σε tγια t. sec,. μηδενική sec, απόσβεση του επιλέγουμε επιλέγουμε ως ως τελικό τελικό βήμα βήμα το το t.33 T. sec. Για Για μηδενική μηδενική απόσβεση απόσβεση του του υδατόπυργου, υπολογίζουμε τη μέγιστη μετακίνηση στον χρόνο γουμε ως ως τελικό υδατόπυργου, βήμα βήμα το το υπολογίζουμε t t.33 TT τη. sec. Για του. μέγιστη sec. Για μετακίνηση μηδενική στον απόσβεση χρόνο t.3.3 sec sec ως του ως υδατόπυργου, υδατόπυργου, υπολογίζουμε υπολογίζουμε 3 τη τη μέγιστη μέγιστη μετακίνηση μετακίνηση στον στον χρόνο χρόνο t.3 sec ως ως 3 όπυργου, υπολογίζουμε u (.3) (.3) 6.34 6.34 χρονικό βήμα τη τη διακριτοποίησης, μέγιστη 3. Για ποσοστό απόσβεσης Για μετακίνηση ποσοστό απόσβεσης καθώς και στον στον μία υποδιαίρεση χρόνο χρόνο t5% 5%, το αντίστοιχο αποτελέσμα t.3 ως του.3 το χρόνου secαντίστοιχο σε ως t =. αποτελέσμα sec u (.3) 6.34. Για Για ποσοστό ποσοστό απόσβεσης απόσβεσης 5%, το το αντίστοιχο αντίστοιχο 3 αποτελέσμα αποτελέσμα, επιλέγουμε ως τελικό είναι 3 3) βήμα σε το χρόνο 3 6.34 είναι σε. tγια.33 T. sec. χρόνο Για ποσοστό t.. sec sec, μία μέγιστη μετακίνηση 3 απόσβεσης μία μέγιστη. Για μηδενική 5% μετακίνηση 5%,, το το απόσβεση αντίστοιχο u (.) (.) του αποτελέσμα υδατόπυργου, 4.9 4.9 3υπολογίζουμε. Οπως και Οπως και τη μέγιστη μετακίνηση στον χρόνο t =.3 sec ως u(.3) μετακίνηση είναι είναι σε σε χρόνο χρόνο t. sec, μία μία μέγιστη μέγιστη 3 μετακίνηση 6.34 u (.) 4.9 πριν, το Σχήμα 8.9 δίδει τη δύναμη τέμνουσας στην βάση του υδατόπυργου.. Οπως Οπως. 3Για ποσοστό απόσβεσης και και 5% σε χρόνο t πριν,. το Σχήμα sec, μία 8.9 δίδει τη δύναμη τέμνουσας u στην βάση του 3 υδατόπυργου.. Οπως και, το αντίστοιχο αποτελέσμα είναι σε χρόνο t = τέμνουσας ε χρόνο t 3 πριν, πριν,. το το sec Σχήμα Σχήμα, μία 8.9 8.9 μέγιστη δίδει δίδει τη τη μετακίνηση δύναμη δύναμη u(.) 4.9. Οπως και τέμνουσας. sec στην στην βάση βάση του του υδατόπυργου. υδατόπυργου., μία μέγιστη μετακίνηση u(.) 4.9. Οπως και ο το Σχήμα 8.9 8.9 Περίπτωση δίδει τη στην βάση του πριν, δίδει το τη Σχήμα δύναμη ΙΙΙ: Υδατόπυργος 8.9 τέμνουσας πριν, δίδει το τη Σχήμα δύναμη στην υπό ημιτονοειδές βάση 8.9 δίδει τέμνουσας του υδατόπυργου. πλήγμα Περίπτωση ΙΙΙ: Υδατόπυργος υπό ημιτονοειδές τη δύναμη πλήγμα στην τέμνουσας βάση του υδατόπυργου. στην βάση του υδατόπυργου. Για Περίπτωση Περίπτωση την περίπτωση ΙΙΙ: ΙΙΙ: Υδατόπυργος Υδατόπυργος ημιτονοειδούς υπό υπό ημιτονοειδές ημιτονοειδές πλήγματος, πλήγμα πλήγμα λύνουμε τον υδατόπυργο με τη μέθοδο Για την περίπτωση ημιτονοειδούς πλήγματος, λύνουμε τον υδατόπυργο με τη μέθοδο πτωση ΙΙΙ: ΙΙΙ: Υδατόπυργος Για Για Περίπτωση την την περίπτωση περίπτωση υπό υπό ΙΙΙ: ημιτονοειδές Περίπτωση Υδατόπυργος ημιτονοειδούς ημιτονοειδούς πλήγμα ΙΙΙ: υπό Υδατόπυργος ημιτονοειδές πλήγματος, πλήγματος, υπό πλήγμα ημιτονοειδές λύνουμε λύνουμε τον τον πλήγμα υδατόπυργο υδατόπυργο με με τη τη μέθοδο μέθοδο Newark-β (με την περίπτωση Newark-β (με,, 6 ) όπως και πριν, και χρησιμοποιούμε όπως και τον πριν, και χρησιμοποιούμε με τη t.sec.sec ώστε ώστε Για ημιτονοειδούς την περίπτωση πλήγματος, Για την ημιτονοειδούς λύνουμε περίπτωση πλήγματος, τον υδατόπυργο ημιτονοειδούς λύνουμε πλήγματος, τον με υδατόπυργο τη μέθοδο Newark-β Newark-β (με (με, 6 να επιτευχθεί ακρίβεια στην λύση, ) αλλά όπως όπως και και ταυτόχρονα πριν, πριν, και και χρησιμοποιούμε χρησιμοποιούμε να περιγραφεί λύνουμε αρκετή t τον με.sec λεπτομέρεια τη υδατόπυργο μέθοδο ώστε ώστε Newark-β με τη μέθοδο (με ark-β (με (με να επιτευχθεί,, ακρίβεια 6 6) όπως στην και λύση, πριν, αλλά και και ταυτόχρονα να t περιγραφεί με ώστε αρκετή λεπτομέρεια η να να συνάρτηση επιτευχθεί της ακρίβεια ακρίβεια Newark-β ) όπως φόρτισης. στην στην και πριν, Οταν λύση, λύση, και (με ο αλλά υδατόπυργος χρησιμοποιούμε, και και ταυτόχρονα 6είναι t.sec ) όπως πλήρης, να να και περιγραφεί περιγραφεί πριν, εχουμε και ώστε με με τα χρησιμοποιούμε αρκετή αρκετή παρακάτω να επιτευχθεί λεπτομέρεια λεπτομέρεια μέγιστα: ακρίβεια t.sec στην λύση, συνάρτηση της φόρτισης. Οταν πλήρης, εχουμε τα παρακάτω μέγιστα: ώστε ιτευχθεί ακρίβεια αλλά στην και στην ταυτόχρονα λύση, λύση, αλλά αλλά και να και περιγραφεί ταυτόχρονα με να να αρκετή περιγραφεί λεπτομέρεια με με αρκετή η συνάρτηση λεπτομέρεια της φόρτισης. Οταν ο υδατόπυργος η συνάρτηση συνάρτηση της της να φόρτισης. φόρτισης. επιτευχθεί Οταν Οταν ακρίβεια ο υδατόπυργος υδατόπυργος στην λύση, είναι είναι αλλά πλήρης, πλήρης, 3 και ταυτόχρονα εχουμε εχουμε τα τα να παρακάτω παρακάτω περιγραφεί μέγιστα: μέγιστα: Απόσβεση 3 με αρκετή λεπτομέρεια νάρτηση της της Απόσβεση είναι φόρτισης. πλήρης, Οταν Οταν εχουμε % % ο ο υδατόπυργος τα παρακάτω t.374.374 είναι είναι sec sec μέγιστα: πλήρης, u 3.55 3.55 εχουμε τα τα 3 παρακάτω μέγιστα: Απόσβεση % η συνάρτηση t.374 της φόρτισης. sec u Οταν 3.55 ο υδατόπυργος 3 Απόσβεση είναι πλήρης, εχουμε τα παρακάτω μέγιστα: 3 3 βεση % t sec u 3 % Απόσβεση t.374 5% 5% sec u t 3.55.38.38 sec sec u.86.86 3 3 Απόσβεση % t.374 sec u Απόσβεση 5% t.38 sec u.86 Οταν ο υδατόπυργος είναι άδειος, τότε έχουμε τα παρακάτω μέγιστα: 3.55 3 βεση Οταν υδατόπυργος t sec είναι u άδειος, τότε έχουμε 3 5% t.38 sec u.86 τα παρακάτω μέγιστα: 3 Οταν Οταν ο υδατόπυργος υδατόπυργος είναι Απόσβεση είναι άδειος, άδειος, τότε 5% τότε έχουμε τα t.38 τα παρακάτω παρακάτω 3 μέγιστα: sec u μέγιστα: Απόσβεση 3.86 ο υδατόπυργος Απόσβεση είναι είναι άδειος, τότε τότε έχουμε τα τα παρακάτω μέγιστα: 3 Απόσβεση % % t.7.7 sec sec u 7.83 7.83 % Οταν ο υδατόπυργος t.7 sec είναι u άδειος, 7.83 τότε έχουμε 3 Απόσβεση τα παρακάτω μέγιστα: 3 3 βεση % t sec u 3 % t.7 5% 5% sec u t 7.83.7.7 sec sec u 6.353 6.353 3 3 Απόσβεση Απόσβεση Απόσβεση % t.7 sec u 5% t.7 sec u 6.353 Η τέμνουσα δύναμη που αναπτύσσεται στη στη βάση βάση του του υδατόπυργου 7.83 και και για για τις τις δύο δύο παραπάνω παραπάνω περιπτώσεις 3 βεση τέμνουσα t δύναμη sec που αναπτύσσεται u στη 3 5% t.7 sec u 6.353 βάση του υδατόπυργου και για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις 3 Η δίδεται τέμνουσα τέμνουσα στο Σχήμα δίδεται δύναμη δύναμη 8.. Απόσβεση στο που που Σχήμα αναπτύσσεται αναπτύσσεται 8.. 5% στη στη t βάση βάση.7 του του sec υδατόπυργου υδατόπυργου u 6.353και και για για τις τις δύο δύο παραπάνω παραπάνω περιπτώσεις δίδεται στο Σχήμα μνουσα δύναμη περιπτώσεις περιπτώσεις που που αναπτύσσεται δίδεται δίδεται στη στη βάση βάση του του υδατόπυργου και και για για τις τις δύο δύο παραπάνω Η τέμνουσα στο στο Σχήμα Σχήμα δύναμη 8.. 8.. που αναπτύσσεται στη βάση του υδατόπυργου και για τις δύο παραπάνω τώσεις δίδεται στο στο Σχήμα 8.. 8.. περιπτώσεις δίδεται στο Σχήμα 8.. 8 6 4 9 9 9 9 9 9 ξ=5%, Δt=.s ξ=%, Δt=.s ξ=5%, Δt=.s ξ=%, Δt=.s Δύναμη στην κορυφή...3.4.5.6.7.8.9 - -4-6 -8 Σχήμα 8.8 Χρονική εξέλιξη της τέμνουσα βάσης του υδατόπυργου (πλήρης) για τριγωνικό πλήγμα. 56