ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1 <χ 2 ισχύει f(χ 1 )<f(χ 2 ). Γησίως φθίουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1 <χ 2 ισχύει f(χ 1 )>f(χ 2 ). Γησίως µοότοη: λέγεται µια συάρτηση f ότα είαι γησίως αύξουσα ή γησίως φθίουσα. Ολικό µέγιστο : παρουσιάζει µια συάρτηση f σε έα σηµείο χ ο του πεδίου ορισµού της Α, ότα f ( x) f ( x o ) για κάθε χ Α. Ολικό ελάχιστο : παρουσιάζει µια συάρτηση f σε έα σηµείο χ ο του πεδίου ορισµού της Α,ότα f ( x) f ( x o ) για κάθε χ Α. Άρτια λέγεται µία συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, ότα για κάθε χ Α ισχύει: -χ Α και f(-χ) = f(χ). Η γραφική της παράσταση είαι συµµετρική ως προς το άξοα ψ ψ. Περιττή λέγεται µία συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, ότα για κάθε χ Α ισχύει: -χ Α και f(-χ) = -f(χ). Η γραφική της παράσταση έχει κέτρο συµµετρίας τη αρχή τω αξόω.. Η f(x)=g(x)+c, c>0 προκύπτει από κατακόρυφη µετατόπιση της g(x) κατά c µοάδες προς τα πάω, και η f(x)=g(x)-c, c>0 κατά c µοάδες προς τα κάτω. Η f(x)=g(x-c),c>0 προκύπτει από οριζότια µετατόπιση της g(x), κατά c µοάδες προς τα δεξιά και η f(x)=g(x-c),c>0 κατά c µοάδες προς τα αριστερά.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ( κεφ. 3 ) 2 Τριγωοµετρικός κύκλος είαι ο κύκλος που έχει κέτρο τη αρχή τω αξόω, ακτία ρ=1 και έχει οριστεί θετική και αρητική φορά τω τόξω ( προσαατολισµέος κύκλος ). Ατίθετες γωίες ηµ(-θ) = -ηµθ, συ(-θ) = συθ, εφ(-θ) = -εφθ, σφ(-θ) = -σφθ Γωίες µε άθροισµα 180 ο (παραπληρωµατικές) ηµ(180 ο -θ)=ηµθ, συ(180 ο -θ)= -συθ, εφ(180 ο -θ)= -εφθ, σφ(180 ο -θ)= -σφθ Γωίες που διαφέρου κατά 180 ο ηµ(180 ο +θ)=-ηµθ, συ(180 ο +θ)= -συθ, εφ(180 ο +θ)= εφθ, σφ(180 ο -θ)= σφθ Γωίες µε άθροισµα 90 ο (συµπληρωµατικές) ηµ(90 ο -θ)=συθ, συ(90 ο -θ)=ηµθ, εφ(90 ο -θ)=σφθ, σφ(90 ο -θ)=εφθ Περιοδική συάρτηση λέγεται µία συάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α ότα υπάρχει θετικός πραγµατικός αριθµός Τ ο οποίος και λέγεται περίοδος της συάρτησης, τέτοιος ώστε για κάθε x Α α ισχύει: x + Τ Α, x -Τ Α και f(x+t) = f(x-t) = f(x) Η συάρτηση f(x)=ηµχ Πεδίο ορισµού: R Σύολο τιµώ: [-1, 1] Περίοδος: Τ=2π ( µελέτη στο διάστηµα [0, 2π] ): Μοοτοία: γ. αύξουσα στα [0, π/2] και [3π/2, 2π] γ. φθίουσα στο [π/2, 3π/2] Ακρότατα: µέγιστο για χ=π/2, το ηµ(π/2)=1 ελάχιστο για χ=3π/2, το ηµ(3π/2)= -1
3 Η συάρτηση f(x)=συx Πεδίο ορισµού: R Σύολο τιµώ: [-1, 1] Περίοδος: Τ=2π ( µελέτη στο διάστηµα [0, 2π] ): Μοοτοία: γ. φθίουσα στο [0, π] και γ. αύξουσα στο [π, 2π]. Ακρότατα: µέγιστο για χ=0 και χ=2π το συ0=συ2π=1 ελάχιστο για χ=π, το συπ= -1 Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βασικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0 x = κπ ηµx = 1 x = 2κπ+π/2 ηµx = -1 x = 2κπ+3π/2 συx = 0 x = κπ+π/2 συx = 1 x = 2κπ συx = -1 x = 2κπ+π εφx = 0 x = κπ σφx = 0 x = κπ+π/2 (κ Ζ) x x επίσης ισχύου : εφ x ηµ, σφ x συ συ x ηµ x = =, εφx σφx =1, ηµ 2 x + συ 2 x = 1
ορισµοί ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (κεφ.4) 4 Γεική µορφή πολυωύµου: α χ + α -1 χ -1 + α -2 χ -2 + +α 1 χ + α 0, θετικός ακέραιος. Συτελεστές πολυωύµου : α,α -1, α 1, α ο (µπορεί α είαι και παραµετρικοί ) Όροι πολυωύµου : α χ, α -1 χ -1,, α 1 χ, α 0 Σταθερός όρος : α 0 (ό,τι δε πολλαπλασιάζεται µε το χ ) Βαθµός πολυωύµου : ( ο µεγαλύτερος εκθέτης του χ ) Σταθερό πολυώυµο: P(χ) = c, ( c σταθερός αριθµός) είαι µηδεικού βαθµού α c 0. Μηδεικό πολυώυµο: Ρ(χ) = 0, για κάθε χ R. ε ορίζεται ο βαθµός του. (το µηδεικό είαι και σταθερό ) Αηγµέη µορφή : η τελική µορφή που παίρει το πολυώυµο ότα γίου όλες οι δυατές πράξεις. Αριθµητική τιµή : η τιµή που παίρει το πολυώυµο ότα ατικατασταθεί το χ µε έα αριθµό Ρίζα πολυωύµου : ο αριθµός που το µηδείζει Ίσα πολυώυµα : ότα οι συτελεστές τω οµοιόβαθµω όρω τους είαι ίσοι. Πολυώυµα σε γεική µορφή: 1 ου βαθµού : αχ+β, α 0. 2 ου βαθµού : αχ 2 +βχ+γ, α 0. 3 ου βαθµού : αχ 3 +βχ 2 +γχ+δ, α 0 κ.ο.κ. Ταυτότητα διαίρεσης (Τ..) : (χ) = δ(χ) π(χ) + υ(χ) Όπου (χ) ο διαιρετέος, δ(χ) ο διαιρέτης, π(χ) το πηλίκο και υ(χ) το υπόλοιπο. Ο βαθµός του υ(χ), α δε είαι το µηδεικό πολυώυµο, είαι µικρότερος από το βαθµό του δ(χ) και όχι απαραίτητα από το βαθµό του π(χ). Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είαι το υ=ρ(ρ) ΙΣΟ ΥΝΑΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 1. Ρ(ρ)=0 2. το ρ είαι ρίζα του Ρ(χ) 3. το χ-ρ είαι παράγοτας του Ρ(χ) 4. το χ-ρ διαιρεί το Ρ(χ) 5. το Ρ(χ) διαιρείται µε το χ-ρ 6. η διαίρεση Ρ(χ):(χ-ρ) είαι τέλεια 7. το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είαι 0 Οι παραπάω προτάσεις θα ατικαθιστούται µε τη 1 η : Ρ(ρ)=0 η οποία είαι αλγεβρική έκφραση και µπορεί α δουλευτεί.
αποδείξεις 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είαι το υ=ρ(ρ) Από τη Τ.. έχω : Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ)+υ για χ =ρ θα έχω: Ρ(ρ) = 0 π(ρ) + υ = υ 5 2. Το χ-ρ είαι παράγοτας του Ρ(χ) α και µόο α το ρ είαι ρίζα του Ρ(χ) Ευθύ: Έστω ότι το χ-ρ είαι παράγοτας του Ρ(χ),τότε θα ισχύει: Ρ(χ) = (χ-ρ) π(χ) άρα Ρ(ρ)=0 π(ρ) = 0 δηλ. το ρ είαι ρίζα του Ρ(χ). Ατίστροφα: Έστω ότι το ρ είαι ρίζα του Ρ(χ) τότε: Ρ(ρ) = 0 δηλ. υ=0 όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ). Από τη Τ.. έχω : Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ)+υ δηλ. Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ) από τη οποία φαίεται ότι το χ-ρ είαι παράγοτας του Ρ(χ). 3. Α µία πολυωυµική εξίσωση µε ακέραιους συτελεστές, έχει ρίζα έα ακέραιο αριθµό ρ 0, τότε ο αριθµός αυτός είαι διαιρέτης του σταθερού όρου. Έστω η πολυωυµική εξίσωση α χ + α -1 χ -1 + α -2 χ -2 + +α 1 χ + α 0 = 0 και ρ 0 η ακέραιη ρίζα της. Τότε α ρ + α -1 ρ -1 + α -2 ρ -2 + +α 1 ρ + α 0 = 0 ( α ρ -1 + α -1 ρ -2 + α -2 ρ -3 + +α 1 )ρ + α 0 =0 κ ρ + α 0 = 0 ( όπου κ= α ρ -1 + α -1 ρ -2 + α -2 ρ -3 + +α 1 ακέραιος, σα άθροισµα ακεραίω) άρα α 0 = -κρ. Η τελευταία ισότητα ακεραίω σηµαίει ότι το ρ διαιρεί το α 0
Ορισµοί ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ (κεφ. 5) 6 µ a a µ = όπου: α>0, µ ακέραιος και θετικός ακέραιος. H f(x) = α x ορίζεται στο R ( δηλ. έχει πεδίο ορισµού το R), ότα α>0. Α α>1 είαι γ. αύξουσα, α α<1 είαι γ. φθίουσα και α α=1 είαι σταθερή στο R, f(x)=1. Εκθετική συάρτηση µε βάση το α είαι η f(x) = α x µε α>0 και α 1 πεδίο ορισµού : R σύολο τιµώ : (0,+ ). Σηµεία τοµής µε τους άξοες: τέµει µόο το ψ ψ στο ( 0, 1) Μοοτοία: α α>1 είαι γ. αύξουσα, α α<1 είαι γ. φθίουσα Ασύµπτωτες: α α>1 είαι ο ηµιάξοας Οχ, α α<1 είαι ο ηµιάξοας Οχ Γραφική παράσταση : ψ ψ α>1 α<1 1 1 0 x 0 x 1 Ο αριθµός e : e= lim (1 + ) 2,718 + Εκθετική συάρτηση λέγεται η f(x) = e x ( όµοια µε τη f(x) = α x µε α>1 ) Λογάριθµος του θ µε βάση το α όπου θ>0 και α>0 µεα 1, οοµάζεται η µοαδική λύση της εξίσωσης α x =θ και συµβολίζεται µε log α θ δηλ. ισχύει η ισοδυαµία: εκαδικός λογάριθµος: logθ δηλ. ότα η βάση α=10. άρα log 10 θ = logθ Νεπέρειος λογάριθµος: lnθ δηλ. ότα η βάση α=e. άρα log e θ = lnθ α x =θ x = log α θ Άµεσες συέπειες του ορισµού του log α θ (θ>0 και α>0 µεα 1) log α α =1 log α α x = x a log a θ = θ log a 1 = 0 log10 =1 log10 x = x 10 logθ = θ λογ1 = 0 lne = 1 lne x = x e lnθ = θ ln1 = 0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ (θ, θ 1,θ 2 >0 και α>0 µε α 1, κ R ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 log α (θ 1 /θ 2 ) = log α θ 1 - log α θ 2 log α θ κ = κ log α θ ( * ειδικά α θ 0 τότε: log α θ 2κ = 2κ log α θ )
log log α α 1 θ = log α 1 logαθ θ = θ 7 Λογαριθµική συάρτηση είαι η f(x) = log α x µε α>0 και α 1 Πεδίο ορισµού: (0, + ) Σύολο τιµώ: R Σηµεία τοµής µε τους άξοες: τέµει µόο το χ χ στο ( 1, 0) Συµµετρία: είαι συµµετρική µε τη g(x) = α x ως προς τη διχοτόµο ψ=χ της γωία χοψ. Μοοτοία: α α>1 είαι γ. αύξουσα, α α<1 είαι γ. φθίουσα Ασύµπτωτες: α α>1 είαι ο ηµιάξοας Οψ, α α<1 είαι ο ηµιάξοας Οψ Γραφική παράσταση: ψ α>1 ψ α<1 0 1 χ 0 1 χ αποδείξεις: \ 1. Α θ 1,θ 2 >0 και α>0 µε α 1,.δ.ο. log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Απόδειξη: x1 x2 Έστω log α θ 1 = x 1 και log α θ 2 = x 2 (1), τότε από ορισµό έχουµε: α = θ καια = θ Εποµέως : απο ορισµο λογαριθµου 1 2 x1 x2 x1+ x2 α α = θ θ α = θ θ x + x = θ θ θ + θ = θ θ 1 2 1 2 1 2 α 1 2 α 1 α 2 α 1 2 (1) log ( ) log log log ( ) 2. Α θ >0 και α>0 µε α 1, κ R.δ.ο. log α θ κ = κ log α θ Απόδειξη: Έστω log α θ = x (1) τότε : α x =θ άρα και (α x ) κ = θ κ α xκ = θ κ κx = log α θ κ ( από ορισµό λογαρίθµου) κ log α θ = log α θ κ ( από τη (1) )