X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt
X 3 x 3 C(t) F( X, t) grad[ Φ ( X, t)] Y X x X C Q P y x Q t QP t t P t X x dx F(X,t)dX T E - (F F - I) X 3 x 3 Y X x X Q C P U ( Y,t ) y U ( X,t ) x C(t) Q t P t X x H grad U X, t H + H ij U i U j + X j Xi T
P 4 P P S F t n ( ) F n F n ( ) F n F n n F t S P 3 P 5 n t S 3 n T ( n) n 3 n n 3 3 33 n 3
T n n imposé T n sur S e z q xx xy xz xz n xy yy yz yz q xz yz zz zz e x e y xz xx? yz xy? zz q yy?
d iv 3 ( ) + x dx 3 3 33 + x + x 3 3 + 33 3 3 dx dx 3 3 + x 3 3 3 3 dx x + x 3 3 33 dx dx 3 3 + x + x 3 dx dx + x 3 + + x x x 3 3 + + x x x 3 3 3 3 3 + + x x x 3 d x
P P 4 Su u est imposé S t est imposé f f ρ g par exemple u 5 P 3 fondation P fdv + tds ργ dv Ω S + S u Ω
Ω f + div ργ dv f + div ργ dans Ω
l z l y l x l x l z yy l y l y l z l x xx yy zz xx E xx E xx E xx xx xx yy zz yy E yy E yy E yy yy xx yy zz E zz zz zz
Traction le long de trois axes orthogonaux xx yy zz xx yy E E E yy xx E E E zz xx E E E zz zz yy Sollicitation en cisaillement z x F y S 3 F y y xy xz yz xy G xz G yz G G E ( + )
* xz xz yz yz xy xx xx yy yy zz z xy z E υ υ υ + + +
La loi de Hooke complète pour un matériau anisotrope ij ij kl Lijkl kl ji lk L L ijkl ijkl L L jikl ijkl
dw W V vol ij ij dv ij d W T W vol d V ij ij d ij dv
IV. L énergie de déformation IV.. Expression de l énergie en fonction des contraintes et des déformations W d vol ij ij ij M ijkl kl W vol : M : ij L ijkl kl : L :
IV. L énergie de déformation IV.. Propriétés de M et L W W vol vol T M M est défini postif T L Lest défini postif
I. Bilan I.. Nombre d inconnus
I. Bilan I.. Nombre d inconnus u x 3 u u y Vecteur déplacement u z
I. Bilan I.. Nombre d inconnus u x 3 u u y Vecteur déplacement u z Tenseur petites déformations xx yy zz xz yz xy 3 3 3 3 33 6
I. Bilan I.. Nombre d inconnus Vecteur déplacement u u x u y u z 3 Tenseur petites déformations Tenseur contraintes de Cauchy xx yy zz xz yz xy xx yy zz xz yz xy 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 6 6
I. Bilan I.. Nombre d équations en volume
I. Bilan I.. Nombre d équations en volume Équilibre : 3 équations scalaires / x + ij j f i
I. Bilan I.. Nombre d équations en volume Équilibre : 3 équations scalaires / x + ij j f i Compatibilité : 6 équations scalaires ij + kk ik jk x k x k xi x j x j x k xi x k
I. Bilan I.. Nombre d équations en volume Équilibre : 3 équations scalaires / x + ij j f i Compatibilité : 6 équations scalaires ij + kk ik jk x k x k xi x j x j x k xi x k Lois de Hooke : 6 équations scalaires ( + ) δ E { υ } l i ij ij l j
I. Bilan I.. Nombre de conditions limites 3 équations scalaires S : ijn j t i Pièce à étudier S : u U u i i ijn sur j t i S ou u sur i U i Su fondation
II. II.. Equations fondamentales de l élasticité Démarche 5 équations différentielles du premier ordre équilibre : / x + f ui u j compatibilité : ij + x j xi Hooke : ij ( + ) ij δ ij E { υ } ll 3 équations différentielles scalaires du second ordre sur (équations de Beltrami-Mitchel) ou ij sur u (équations de Navie r) j i
II. II.. II... Equations fondamentales de l élasticité Equation de Beltrami-Mitchell Cas général ( ) + { ( ) } ij + grad grad trace + grad grad trace( ) ( ) ( ) T grad div grad div grad f + ( + ) {( + ) υ trace( ) I} E { } T + grad f div ( ) + f + div f I { }
II. II.. II... Equations fondamentales de l élasticité Equation de Beltrami-Mitchell Cas général dérivées dusecond ordre de role particulier + + T + ( + ) grad f + grad f + div f ( + ) + grad grad trace( ) dérivées du premier ordre de f I
II. II.. II... Equations fondamentales de l élasticité Equation de Beltrami-Mitchell Forces de volume nulles ou constantes + ( ) + grad gradtrace( ) mm ij
II. II.. II..3. Equations fondamentales de l élasticité Equation de Beltrami-Mitchell Application : contraintes planes ou déformations planes ϕ xx y ( ) ϕ div xy x y ϕ yy x { T ( ) ( ) } grad u + grad u υ G trace( ) + I υ xx xy xy yy
II. II.3. II.3.. div ( ) Equations fondamentales de l élasticité Equation de Navier Cas général f grad ( u) T + grad( u) υ G θ I + υ θ trace ( ) dépend du champ des déplacements u + grad div ( u) comportement du matériau forces volumiques + f G comportement du matériau
II. Equations fondamentales de l élasticité II.3. Equation de Navier II.3.. Cas particuliers a) Forces de volume nulles u + grad div ( u) comportement du matériau u grad X. Φ + G G Φ Φ la nouvelle inconnue υ Φ
II. Equations fondamentales de l élasticité II.3. Equation de Navier II.3.. Cas particuliers a) Forces de volume dérivant d un potentiel f u + grad div( u) + G f grad V ( ) u + grad div u grad V + G
III. III.. Principe de superposition et unicité de la solution Principe de superposition Enoncé f ( A) ( A u ),, ( A) ( A) ( A) T f ( A) T ( A) ( B) + f ( B) T f ( B) T ( B) ( A) ( B) ( A) ( B) u + u + ( A) ( B) +,, ( B u ),, ( B) ( B)
III. III.. Principe de superposition et unicité de la solution Principe de superposition limitation : hypothèse des petites perturbations F ( A) F ( B) ( A) δ ( B) δ F F + F ( C ) ( A) ( B) δ < ( C ) ( A) ( B) δ + δ
III. III.. Principe de superposition et unicité de la solution Unicité de la solution T f u u ( A) ( B)? ( A u ),, ( A) ( A) T ( A) ( B) ( A) ( B)?? ( B u ),, ( B) ( B)
III. III.. Principe de superposition et unicité de la solution Unicité de la solution ( A) ( B) u' u u ( A) ( B) T ' T T ' est solution du problème f ' f f ( A) ( B) ' V T ' M ' dv T ' T u' ds S V A B T A B M dv A B ' M est défini positif '