Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Διάλεξη #2 Παραδείγματα Μοντελοποίησης Γραμμικού Προγραμματισμού Ερμηνεία Λύσεων Γραμμικού Προγραμματισμού Το παράδειγμα της ΕΛΕΓΚΤΙΚΗΣ ΙΙ Από το πρόβλημα στο μοντέλο Μελέτη Περίπτωσης: ΑΣΚΗΣΗ 1 - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΙΚΙΣΜΟΥ.docx (e-class) Ανάπτυξη Μοντέλου Επίλυση Ερμηνεία Λύσεων Επέκταση Μοντέλου Λύση Ερμηνεία Προβλήματα Μεταφοράς Προσδιορισμός δεδομένων Έμμεσες παραδοχές Μεταβλητές 2 διαστάσεων Π. Γ. Υψηλάντης ipsil@teilar.gr
Χρήση Μαθηματικών Μοντέλων Π ρ αγματικό Ε πιχειρησιακό Π ρ ό β λημα Μ αθηματικό Μ ο ν τ έ λο Π αραδοχές Μ ε θ ο δ ο λογία Λ ύ σ η Μ αθηματικού Μ ο ν τ έ λου Δ ε δ ο μ έ ν α Α ν άλυση / Ε ρ μ ηνεία Λύσης Μ αθηματικού Μ ο ν τ έ λου Υ λοποίηση Λ ύ σ ης
Γραμμικός Προγραμματισμός Ελεγκτική ΕΠΕ - Επέκταση Παραδείγματος Η Ελεγκτική ΕΠΕ έχει τώρα αναλάβει και ένα τρίτο έργο το έργο Γ (πέρα των άλλων δύο Α και Β). Επίσης, μετά από καθυστερήσεις που σημειώθηκαν στην παρακολούθηση των πρώτων έργων θεωρεί ότι στην ομάδα ελέγχου θα πρέπει να μετάσχει και ένας αναλυτής όχι κατά ανάγκη με πλήρη απασχόληση. Οι απαιτήσεις για κάθε έργο σε Ελεγκτές, Βοηθούς Ελεγκτές, Λογιστές και Αναλυτές καθώς και οι διαθέσιμες ώρες για τις 4 κατηγορίες ατόμων δίνονται στον παρακάτω πίνακα. ΕΡΓΟ Α ΕΡΓΟ Β ΕΡΓΟ Γ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΛΕΓΚΤΕΣ 1 1 1 55 ΒΟΗΘΟΙ 2 1 2 80 ΛΟΓΙΣΤΕΣ 2 3 3 150 ΑΝΑΛΥΤΕΣ 0,5 1 0,5 35 Το κέρδος της Ελεγκτικής ΕΠΕ έχει υπολογισθεί σε 300 την ώρα για το έργο Α, 400 για το έργο Β και 450 για το έργο Γ Η Ελεγκτική ΕΠΕ θεωρεί ότι για προφανείς λόγους η κάθε ομάδα θα πρέπει οπωσδήποτε να επισκεφθεί και τα 2 έργα για τουλάχιστον 10 ώρες το καθένα, αλλά εκ των πραγμάτων δεν μπορεί να εργαστεί περισσότερο από 25 ώρες στο κάθε έργο Ποιος είναι ο πιο αποδοτικός τρόπος κατανομής των ωρών στα τρία έργα;
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 2/5
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 3/5 Τιμές Επίλυσης
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 3/5 Κατάσταση: Με δέσμευση: Όταν ο περιορισμός εξαντλείται Χωρίς δέσμευση: Όταν υπάρχει περιθώριο (Αδράνεια) Αδράνεια: Ποσότητα Περιορισμού που δεν χρησιμοποιήθηκε
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Μειωμένο Κόστος (Reduced Cost): Αφορά τις μεταβλητές Μεταβλητή είναι πάνω από το όριο της Μειωμένο Κόστος = 0 Μεταβλητή είναι ακριβώς στο όριο Μειωμένο Κόστος 0 Αν δεν έχει τεθεί συγκεκριμένο όριο, θεωρείται ως όριο το μηδέν Μειωμένο Κόστος είναι η μεταβολή στο κέρδος αν η τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής αυξηθεί κατά 1 μονάδα πάνω από το όριο. Π.χ. Στο Έργο Α δίνονται από την Επίλυση 10 ώρες (ακριβώς το ελάχιστο όριο). Προφανώς γιατί συμφέρει περισσότερο να δοθούν οι ώρες στα άλλα 2 έργα. Παρ όλα αυτά αν θα αυξάναμε το όριο στις 11 ώρες (+1 ώρα), αυτό θα είχε επίδραση στο κέρδος μείωση κατά 150.
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Διακύμανση συντελεστών κέρδους: Αφορά τους συντελεστές κέρδους όλων των μεταβλητών Μέσα στα όρια της επιτρεπόμενης αύξησης / μείωσης οι τιμές των μεταβλητών δεν αλλάζουν. Το κέρδος προφανώς αλλάζει. Π.χ. Ο συντελεστής κέρδους για το έργο Α είναι 300 ανά ώρα. Το άνω όριο είναι 300+150 = 450. Το κάτω όριο είναι απεριόριστο. Επομένως αν το κέρδος ανά ώρα για το έργο Α είναι στα όρια [0 έως 450] η κατανομή των ωρών 10/20/20 δεν αλλάζει. Το προκύπτον κέρδος θα αλλάξει. Ποια είναι τα όρια για τους άλλους συντελεστές; Τι θα συνέβαινε αν το κέρδος για τον Α ξεπεράσει το όριο των 450;
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Διακύμανση συντελεστών κέρδους: Έργο Α : 300 [0 έως 450] Έργο Β : 400 [225 έως 900] Σε σχέση με το έργο Α [225/300 έως 900/300] [0,75 3,00] Έργο Γ : 450 [300 έως 800] Σε σχέση με το έργο Α [300/300 έως 800/300] [1,00 2,67] Έργο Β 3 2 1 Όρια συντελεστών Β & Γ 1 2 3 Έργο Γ
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Σκιώδεις τιμές (Shadow prices): Αφορά τους περιορισμούς Μη δεσμευτικός περιορισμός Σκιώδης τιμή = 0 Δεσμευτικός περιορισμός Σκιώδης τιμή 0 Σκιώδης τιμή είναι η αύξηση στο κέρδος αν η ποσότητα του περιορισμού αυξηθεί κατά 1 (αντίστοιχα με την μείωση). Π.χ. Ο περιορισμός των Ελεγκτών δεν είναι δεσμευτικός. Περισσεύουν 5 ώρες. Η σκιώδης τιμή είναι 0 γιατί και να προσθέσουμε μία ώρα επιπλέον (από 55 σε 56) το αποτέλεσμα είναι να περισσέψουν 6 ώρες. Αντίθετα ο περιορισμός Βοηθών Ελεγκτών είναι δεσμευτικός. Χρησιμοποιήθηκαν όλες οι διαθέσιμες ώρες. Αν είχαμε 1 επιπλέον ώρα (από 80 σε 81) θα υπήρχε αύξηση κέρδους κατά 167.
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5 Όρια αύξησης ή μείωσης των ποσοτήτων των πόρων Οι Σκιώδεις τιμές ισχύουν μέσα στα όρια επιτρεπόμενης αύξησης ή μείωσης κάθε πόρου. Π.χ. το επιπλέον κέρδος των 167 για κάθε ώρα Βοηθού ελεγκτή που προστίθεται ισχύει για το πολύ +7,5 ώρες δηλαδή έως 87,5. Η αντίστοιχη μείωση ισχύει έως αφαίρεση 15 ωρών, δηλαδή έως 65 ώρες. Η οριακή αξία της ώρας των Βοηθών Ελεγκτών είναι 167 στο διάστημα [65 έως 87,5] ώρες.
Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5
Ανάλυση Απαντήσεων Ελεγκτική ΕΠΕ - Επέκταση Παραδείγματος Πόσες ώρες θα πρέπει να επισκεφτεί η ομάδα το κάθε έργο ώστε να είναι πιο αποδοτικό για την εταιρεία? Ποιοι από τους περιορισμούς που τίθενται είναι δεσμευτικοί; Αν μπορούσαμε να απασχολήσουμε βοηθούς λογιστές υπερωριακά με επιπλέον κόστος 50 την ώρα θα τα κάναμε; Για πόσες ώρες? Ποια θα ήταν η επίδραση στο αποτέλεσμα? Αν υποθέσουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός των ωρών επίσκεψης σε κάθε έργο καθορίζονται σε 12, ποιες θα ήταν οι αναμενόμενες επιπτώσεις Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι συντελεστές κέρδους των έργων; Ποια είναι η σχέση τιμών για την οποία δεν θα υπάρξουν αλλαγές στην κατανομή των ωρών στα τρία έργα?
Από το Πρόβλημα στο Μοντέλο Οικιστική Ανάπτυξη Μεταβλητές.. Αντικειμενική Συνάρτηση... Περιορισμοί................,, Συνέχεια στο LP - Case 1 - Οικιστική Ανάπτυξη Solution
Οικιστική Ανάπτυξη Μεταβλητές Χ, Υ, Ζ : ο αριθμός κατοικιών τύπου Α, Β και Γ Περιορισμοί Οικόπεδο 400Χ + 600Υ + 800Ζ 280.000 Υλικά 30Χ + 40Υ + 50Ζ 12.000 Κεφάλαια 130Χ + 150Υ + 180Ζ 50.000 Σύνολο Κατοικιών Χ + Υ + Ζ 570 Κατοικίες 200τμ Ζ 220 Κατοικίες 110τμ Χ 350 Αντικειμενική Συνάρτηση Μax 15.000Χ + 20.000Υ + 26.000Ζ
Οικιστική Ανάπτυξη Επίλυση με Solver Excel
Οικιστική Ανάπτυξη Αν η εταιρεία έπρεπε να προμηθευτεί επί πλέον ποσότητα υλικού που χρησιμοποιείται στη θεμελίωση, πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει για να το εισάγει από το εξωτερικό και τι ποσότητα θα έπρεπε να προμηθευτεί? Τι θα συμβεί αν ξεπεραστεί αυτή η ποσότητα;
Οικιστική Ανάπτυξη Αν η εταιρεία έπρεπε να προμηθευτεί επί πλέον ποσότητα υλικού που χρησιμοποιείται στη θεμελίωση, πόσο θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει για να το εισάγει από το εξωτερικό και τι ποσότητα θα έπρεπε να προμηθευτεί? Τι θα συμβεί αν ξεπεραστεί αυτή η ποσότητα; Σκιώδης τιμή υλικών = 500. Κάθε επιπλέον κ.μ. υλικού αυξάνει το κέρδος κατά 500. Επομένως μέγιστη τιμή = 500. Μέχρι 1773 (επιτρεπτή αύξηση) Μετά το όριο άλλοι περιορισμοί δεσμεύουν τη λύση
Οικιστική Ανάπτυξη Τι ποσό θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η εταιρεία για μία καλύτερη προώθηση του οικισμού η οποία θα αύξανε τη ζήτηση για κάθε είδος κατοικίας κατά 10?
Οικιστική Ανάπτυξη Τι ποσό θα ήταν διατεθειμένη να πληρώσει η εταιρεία για μία καλύτερη προώθηση του οικισμού η οποία θα αύξανε τη ζήτηση για κάθε είδος κατοικίας κατά 10? Για τους τύπους Α και Β η αύξηση της ζήτησης δεν θα σήμαινε τίποτα γιατί οι περιορισμοί της ζήτησης δεν είναι δεσμευτικοί. Για κάθε οικία τύπου Γ, η αύξηση του κέρδους θα ήταν 1000 /κατοικία με επιτρεπτή αύξηση 20 κατοικίες. Επομένως όχι περισσότερο από 20.000 Επιχειρηματικά ίσως δεν συμφέρει γιατί οι 220 κατοικίες θα εξαντληθούν μόνον αν όλοι οι υψηλού εισοδήματος αγοραστές προτιμήσουν τύπου Γ
Οικιστική Ανάπτυξη Πόσο σίγουροι είστε για την υλοποίηση της προτεινόμενης λύσης που προέκυψε από το μοντέλο? Η λύση είναι οριακή και επομένως πολύ ευαίσθητη στις εκτιμήσεις των συντελεστών κέρδους για τις κατοικίες τύπου Α και Β. Αν το κέρδος για τον τύπο Α υπερβεί την εκτίμηση των 15000 η λύση θα αλλάξει (θα πρέπει να κατασκευάσουμε και κατοικίες τύπου Α. Αντίστοιχα αν το κέρδος για τις τύπου Β μειωθεί κάτω από τις 20.000 Στενά είναι τα όρια αύξησης ή μείωσης αντίστοιχα για τύπου Β και Γ
Οικιστική Ανάπτυξη Θα συνέφερε την εταιρεία να αυξήσει το ποσοστό των κοινόχρηστων χώρων? Μέχρι πόσα τετραγωνικά μέτρα μπορεί να διαθέσει χωρίς αυτό να επηρεάσει τον αριθμό των κατοικιών που θα κατασκευαστούν? Αν υποθέσουμε ότι η αύξηση των κοινόχρηστων χώρων έχει ένα επί πλέον κόστος 2 /τ.μ. αλλά θα επιφέρει μια αύξηση 10 /τ.μ. στην τιμή πώλησης κάθε κατοικίας εφ όσον οι νέοι χώροι είναι τουλάχιστον το 50% της κάλυψης των οικοπέδων. Ποια θα είναι η νέα διατύπωση του μοντέλου ;
Οικιστική Ανάπτυξη Νέο Μοντέλο (με αύξηση κοινόχρηστων χώρων) Μεταβλητές Χ, Υ, Ζ : ο αριθμός κατοικιών τύπου Α, Β και Γ W, τα επί πλέον τ.μ. που θα δοθούν σε κοινόχρηστους χώρους Περιορισμοί Οικόπεδο 400Χ + 600Υ + 800Ζ 280.000 W ή 400Χ + 600Υ + 800Ζ + W 280.000 Κοινόχρηστοι 0,5(400Χ + 600Υ + 800Ζ) W ή 200Χ + 300Υ + 400Ζ W 0 Υλικά 30Χ + 40Υ + 50Ζ 12.000 Κεφάλαια 130Χ + 150Υ + 180Ζ 50.000 Σύνολο Κατοικιών Χ + Υ + Ζ 570 Κατοικίες 200τμ Ζ 220 Κατοικίες 110τμ Χ 350 Αντικειμενική Συνάρτηση Μax 16.100Χ + 21.500Υ + 28.000Ζ 2W Φύλλο «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΙΚΙΣΜΟΥ 2» στο ΟΙΚΙΣΤΙΚΕΣ.xlsx
Οικιστική Ανάπτυξη Αν για λόγους marketing θα έπρεπε να κατασκευασθούν τουλάχιστον 10 κατοικίες κάθε κατηγορίας, ποιες θα ήταν οι επιπτώσεις; Ακέραιες λύσεις?
Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στόχος του είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος προμήθειας και μεταφοράς του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια.
Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Στόχος του είναι να ελαχιστοποιήσει το κόστος προμήθειας και μεταφοράς του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια. Βήμα 1 Βασικά στοιχεία που πρέπει να ληφθούν υπ όψη στη μοντελοποίηση αυτού του προβλήματος? Τι είδους δεδομένα είναι απαραίτητα? Βήμα 2 Παραδοχές Βήμα 3 Αρχικό μοντέλο: Μεταβλητές / Αντικειμενική Συνάρτηση / Περιορισμοί
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Μεταβλητές 2 δείκτες: i = 1,2,3 συμβολίζει τον προμηθευτή j = 1,2,3,4 συμβολίζει το εργοτάξιο Χ ij = Ποσότητα ready-mix που μεταφέρεται από προμηθευτή i στο εργοτάξιο j Αντικειμενική Συνάρτηση: Ελαχιστοποίηση κόστους μεταφοράς C ij = Κόστος μεταφορά ανά μεταφερόμενη μονάδα ready-mix από προμηθευτή i στο εργοτάξιο j Συνολικό Κόστος = σ i σ j C ij X ij
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Περιορισμοί Ικανοποίηση της ζήτησης: Το σύνολο της ποσότητας που μεταφέρεται στο εργοτάξιο j ικανοποιεί τη ζήτηση D j η συνολικά ζητούμενη ποσότητα ready-mix στο εργοτάξιο j, τότε X ij D j Ικανοποίηση του δυναμικού παραγωγής: i Το σύνολο της ποσότητας που μεταφέρεται από τον προμηθευτή i δεν μπορεί να ξεπερνά τη διαθέσιμη ποσότητα του συγκεκριμένου προμηθευτή S i η διαθέσιμη ποσότητα ready-mix στον προμηθευτή i, τότε X ij S i j
ΓΠ σε Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Ένας εργολάβος οργανώνει την προμήθεια ready-mix μπετόν σε τέσσερεις τοποθεσίες. Εκτιμά ότι η συνολική ημερήσια ζήτηση στα τέσσερα εργοτάξια ανέρχεται σε 24 φορτία και έχει προσδιορίσει τρεις προμηθευτές που μπορούν συνολικά να καλύψουν τη ζήτηση. Οι διαθέσιμες ποσότητες από κάθε προμηθευτή είναι: S1: 4; S2: 8; S3:12, ενώ οι απαιτούμενες ποσότητες στα τέσσερα εργοτάξια είναι: A: 5, B: 2, C:10, D:7 Συμφωνήθηκε ότι το κόστος μεταφοράς θα είναι ανάλογο της απόστασης από κάθε εργοτάξιο όπως στον πίνακα που ακολουθεί: A B C D S1 6 12 2 5 S2 18 21 13 12 S3 11 16 5 6 Με ποιο τρόπο θα ελαχιστοποιηθεί το κόστος προμήθειας του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια;
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος ΒΔ Γωνίας Ξεκινούμε από πάνω αριστερά και εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα σε κάθε διαδρομή. Όταν εξαντληθεί η διαθεσιμότητα ή ικανοποιηθεί η ζήτηση αλλάζουμε γραμμή ή στήλη αντίστοιχα Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσιμότητα Πάτρα 6 12 2 5 Βόλος 18 21 13 12 Θεσ/νίκη 11 16 5 6 4 8 12 Ζήτηση 5 2 10 7
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος ΒΔ Γωνίας Ξεκινούμε από πάνω αριστερά και εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα σε κάθε διαδρομή. Όταν εξαντληθεί η διαθεσιμότητα ή ικανοποιηθεί η ζήτηση αλλάζουμε γραμμή ή στήλη αντίστοιχα Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσιμότητα Πάτρα 6 4 12 2 5 4 Βόλος 18 1 2 21 5 13 12 8 Θεσ/νίκη 11 16 5 5 6 7 12 Ζήτηση 5 2 10 7 Κόστος: 216
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές II. Μέθοδος Ελάχιστου κόστους Ξεκινούμε από τη διαδρομή με το χαμηλότερο μοναδιαίο κόστος και συνεχίζουμε με αύξουσα σειρά κόστους. Κάθε φορά εκχωρούμε τη μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσιμότητα Πάτρα 6 12 2 4 5 4 Βόλος 18 5 2 21 13 12 1 8 Θεσ/νίκη 11 16 5 6 6 6 12 Ζήτηση 5 2 10 7 Κόστος: 218
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα 6 4 12 2 5 4 6-5=1 Βόλος 18 21 13 12 Θεσ/νίκη 11 16 5 6 Ζήτηση 5 2 10 7 8 12 13-12=1 6-5=1 Ποινές 11-6=5 16-12=4 5-2=3 6-5=1
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα 6 4 12 2 5 4 6-5=1 Βόλος 18 21 13 12 8 13-12=1 Θεσ/νίκη 11 16 5 10 6 12 6-5=1 Ζήτηση 5 2 10 7 Ποινές 11-6=5 18-11=7 16-12=4 21-16=5 5-2=3 13-5=8 6-5=1 12-6=6
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα 6 4 12 2 5 4 6-5=1 Βόλος 18 21 13 12 8 13-12=1 18-12=6 Θεσ/νίκη 11 1 16 5 10 6 12 6-5=1 11-6=5 Ζήτηση 5 2 10 7 Ποινές 11-6=5 18-11=7 16-12=4 21-16=5 5-2=3 13-5=8 6-5=1 12-6=6
Πρόβλημα Μεταφοράς: Αρχικές λύσεις Υποθέτουμε ότι Σύνολο διαθέσιμης ποσότητας = Σύνολο ζητούμενης Κατανομή στις διαδρομές ώστε να αθροίζουν οι στήλες και οι γραμμές I. Μέθοδος Vogel. Υπολογίζουμε ποινές (Διαφορά μικρότερου από το αμέσως επόμενο μικρότερο κόστος για κάθε πηγή και προορισμό). Ξεκινούμε από την πηγή ή προορισμό με τη μεγαλύτερη ποινή. Εκχωρούμε μέγιστη δυνατή ποσότητα στη διαδρομή με το μικρότερο κόστος. Επαναλαμβάνουμε. Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Διαθεσι μότητα Ποινές Πάτρα 6 4 12 2 5 4 6-5=1 Βόλος 18 21 2 13 12 6 8 13-12=1 18-12=6 Θεσ/νίκη 11 1 16 5 10 6 1 12 6-5=1 11-6=5 Ζήτηση 5 2 10 7 Κόστος: 205 Ποινές 11-6=5 18-11=7 16-12=4 21-16=5 5-2=3 13-5=8 6-5=1 12-6=6
Επίλυση του Προβλήματος Μεταφοράς με Solver ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΖΗΤΗΣΗΣ & ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Πάτρα 6 12 2 5 4 Βόλος 18 21 13 12 8 Θεσσαλονίκη 11 16 5 6 12 Ζήτηση 5 2 10 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ Κόστος Μεταφοράς ανά μονάδα Ζήτηση Διαθεσιμότητα ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΛΥΣΗ - ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟ >= Ζήτησης Διαθεσιμότητα ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Διαθεσιμότητα Ιωάννινα Λάρισα Αθήνα Ηράκλειο Πάτρα 4 0 0 0 4 Βόλος 0 2 0 6 8 Θεσσαλονίκη 1 0 10 1 12 Ζήτηση 5 2 10 7 ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΑΠΟ ΠΗΓΗ <= Διαθεσιμότητας Κοστος Ελαχιστοποίηση Συνολικό Κόστος Μεταφοράς 205
Ανάλυση του Προβλήματος Μεταφοράς με Solver 1/2 Microsoft Excel 15.0 Αναφορά ευαισθησίας Φ ύλλο εργασίας: [TRANSPORTATION.xls]TRANSPORTATION MODEL Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς: 17/1/2014 10:19:18 πμ Ρυθμιζόμενα κελιά Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός ΕπιτρεπόμενηΕπιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή κόστος συντελεστής αύξηση μείωση $B$11 Πάτρα Ιωάννινα 4 0 6 2 1E+30 $C$11 Πάτρα Λάρισα 0 2 12 1E+30 2 $D$11 Πάτρα Αθήνα 0 2 2 1E+30 2 $E$11 Πάτρα Ηράκλειο 0 4 5 1E+30 4 $B$12 Βόλος Ιωάννινα 0 1 18 1E+30 1 $C$12 Βόλος Λάρισα 2 0 21 1 21 $D$12 Βόλος Αθήνα 0 2 13 1E+30 2 $E$12 Βόλος Ηράκλειο 6 0 12 1 1 $B$13 Θεσσαλονίκη Ιωάννινα 1 0 11 1 2 $C$13 Θεσσαλονίκη Λάρισα 0 1 16 1E+30 1 $D$13 Θεσσαλονίκη Αθήνα 10 0 5 2 11 $E$13 Θεσσαλονίκη Ηράκλειο 1 0 6 1 1 Μειωμένο Κόστος: Μεταβολή στο βέλτιστο κόστος, στην περίπτωση που η τιμή της μεταβλητής αυξηθεί κατά 1 μονάδα. Δηλαδή αν εκχωρηθεί μία μονάδα προϊόντος για μεταφορά στην αντίστοιχη διαδρομή η οποία δεν έχει επιλεγεί στη βέλτιστη λύση. Προφανώς με προσαρμογές εκχωρήσεων στις άλλες διαδρομές
Ανάλυση του Προβλήματος Μεταφοράς με Solver 2/2 Microsoft Excel 15.0 Αναφορά ευαισθησίας Φύλλο εργασίας: [TRANSPORTATION.xls]TRANSPORTATION MODEL Ημερομηνία δημιουργίας αναφοράς: 17/1/2014 10:19:18 πμ Περιορισμοί Τελική Σκιώδης Περιορισμός ΕπιτρεπόμενηΕπιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή τιμή R.H. Side αύξηση μείωση $B$14 Ζήτηση Ιωάννινα 5 17 5 0 1 $C$14 Ζήτηση Λάρισα 2 21 2 0 2 $D$14 Ζήτηση Αθήνα 10 11 10 0 6 $E$14 Ζήτηση Ηράκλειο 7 12 7 0 6 $F$11 Πάτρα Διαθεσιμότητα 4-11 4 1 0 $F$12 Βόλος Διαθεσιμότητα 8 0 8 1E+30 0 $F$13 Θεσσαλονίκη Διαθεσιμότητα 12-6 12 6 0 Σκιώδης τιμή: Μεταβολή στο βέλτιστο κόστος αν ο περιορισμός (ζήτηση ή διαθεσιμότητα) αυξηθεί κατά 1 μονάδα. - Γιατί η διαφορά μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών; - Γιατί η μεταβολή στη διαθέσιμη ποσότητα στο Βόλο δεν επηρεάζει το συνολικό κόστος;
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Άλλα Ζητήματα Κόστος παραγωγής είναι διαφορετικό ανά προμηθευτή Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη ζήτηση Κάποιες διαδρομές δεν επιθυμούμε να χρησιμοποιηθούν ή αντίθετα επιθυμούμε να χρησιμοποιηθούν Χρησιμοποιούνται διαφορετικά μέσα μεταφοράς: Χωρητικότητα / Κόστος / Ταχύτητα /
Προβλήματα Μεταφοράς & Δρομολόγησης Στο προηγούμενο πρόβλημα ας υποθέσουμε ότι η μεταφορά γίνεται με διαφορετικά μεταφορικά μέσα το οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε όλες τις διαδρομές, αλλά έχουν διαφορετική χωρητικότητα και διαφορετικό κόστος? Πως θα άλλαζε το μοντέλο του προβλήματος
Homework Στο πρόβλημα μεταφοράς υποθέστε ότι οι διαθέσιμες ποσότητες από κάθε προμηθευτή είναι: S1: 4; S2: 8; S3:12, ενώ οι απαιτούμενες ποσότητες στα τέσσερα εργοτάξια είναι: A: 5, B: 2, C:10, D:7 Επίσης Συμφωνήθηκε ότι το κόστος μεταφοράς θα είναι ανάλογο της απόστασης από κάθε εργοτάξιο όπως στον πίνακα που ακολουθεί: A B C D S1 6 12 2 5 S2 18 21 13 12 S3 11 16 5 6 Με ποιο τρόπο θα ελαχιστοποιηθεί το κόστος προμήθειας του ready-mix μπετόν στα τέσσερα εργοτάξια. Επιλύστε το πρόβλημα λαμβάνοντας υπ όψη ότι το κόστος παραγωγής ανά μεταφερόμενο τόνο είναι διαφορετικό για κάθε προμηθευτή, δηλαδή S1: 110; S2: 100; S3:105,
Ένα άλλο παράδειγμα Μια επιχείρηση πρόκειται να επενδύσει σε διάφορα έργα επέκτασης των δραστηριοτήτων της. Τα αναγκαία κεφάλαια θα τα να δανεισθεί από διάφορες τράπεζες με τις οποίες συνεργάζεται και οι οποίες θεωρούν την επιχείρηση αξιόπιστη. Κάθε τράπεζα θέτει ένα μέγιστο όριο δανεισμού. Επίσης κάθε τράπεζα δίνει διαφορετικά επιτόκια για κάθε έργο ανάλογα με τον εκτιμώμενο κίνδυνο. Ο παρακάτω πίνακας δίνει συγκεντρωτικά τα χορηγούμενα επιτόκια στην επιχείρηση από κάθε τράπεζα, τις ανάγκες δανειοδότησης, καθώς και το ανώτατο όριο δανεισμού από κάθε τράπεζα. Τράπεζα Κίνησης Εξοπλισμού Επιτόκια ανά Τύπο Επένδυσης Κτιριακά Αγορές Εξωτερικού Μέγιστο όριο δανεισμού ΑΛΦΑ 8 8 10 11 100 ΠΙΣΤΙΣ 10 9 12 10 100 ΘΕΣΣΑΛΙΑ 11 9 10 9 120 Απαιτούμενα Κεφάλαια 40 60 130 Τουλάχιστον 70 και έως 100
End of Lecture