VII. Teorema lui Dirichlet

Σχετικά έγγραφα
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s

Analiza în regim dinamic a schemelor electronice cu reacţie Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 6 electronica.geniu.ro

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

cele mai ok referate

P r s r r t. tr t. r P

Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.

Jeux d inondation dans les graphes

Laboraratorul 6. AJUSTAREA MATEMATICĂ A DATELOR EXPERIMENTALE

Annulations de la dette extérieure et croissance. Une application au cas des pays pauvres très endettés (PPTE)

Transfert sécurisé d Images par combinaison de techniques de compression, cryptage et de marquage

Το άτομο του Υδρογόνου

Forêts aléatoires : aspects théoriques, sélection de variables et applications

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Consommation marchande et contraintes non monétaires au Canada ( )

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Contribution à l évolution des méthodologies de caractérisation et d amélioration des voies ferrées

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Émergence des représentations perceptives de la parole : Des transformations verbales sensorielles à des éléments de modélisation computationnelle

Modèles de représentation multi-résolution pour le rendu photo-réaliste de matériaux complexes

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

Transformations d Arbres XML avec des Modèles Probabilistes pour l Annotation

Tema: şiruri de funcţii

5. POZIŢIILE RELATIVE ALE ELEMENTELOR GEOMETRICE

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Analysis of a discrete element method and coupling with a compressible fluid flow method

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles

0. Erori Tipuri şi surse de erori

UNIVERSITE DE PERPIGNAN VIA DOMITIA

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Langages dédiés au développement de services de communications

Integrale cu parametru

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

m i N 1 F i = j i F ij + F x

Profiterole : un protocole de partage équitable de la bande passante dans les réseaux ad hoc

P P Ô. ss rt çã r s t à rs r ç s rt s 1 ê s Pr r Pós r çã ís r t çã tít st r t

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

APROXIMARE ÎN SENSUL CELOR MAI MICI PĂTRATE

Integrale generalizate (improprii)

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

met la disposition du public, via de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,



Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Stéphane Bancelin. Imagerie Quantitative du Collagène par Génération de Seconde Harmonique.

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.

Hygromécanique des panneaux en bois et conservation du patrimoine culturel. Des pathologies... aux outils pour la conservation

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Interaction hydrodynamique entre deux vésicules dans un cisaillement simple

1 s.e. 1 s.e. 1 s.e. 1 s.e. 1 s.e. 1 s.e.

Conditions aux bords dans des theories conformes non unitaires

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

E fficient computational tools for the statistical analysis of shape and asymmetryof 3D point sets

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

MULTIMEA NUMERELOR REALE

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

Points de torsion des courbes elliptiques et équations diophantiennes

MATRICES WITH CONVOLUTIONS OF BINOMIAL FUNCTIONS, THEIR DETERMINANTS, AND SOME EXAMPLES

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

Traitement STAP en environnement hétérogène. Application à la détection radar et implémentation sur GPU

Logique et Interaction : une Étude Sémantique de la

sin d = 8 2π 2 = 32 π

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

Développement d un nouveau multi-détecteur de neutrons

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.

Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

mărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t),

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

6. VARIABILE ALEATOARE

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS

Microscopie photothermique et endommagement laser

Analyse de modèles pour ITER ; Traitement des conditions aux limites de systèmes modélisant le plasma de bord dans un tokamak

Transcript:

VII Teorem l Drclet Teorem 7 (l Drclet: Orce rogree rtmetcă nfntă c termen nmere ntrle ş c rţ rmă c rml termen conţne o nfntte de nmere rme [8] [7] Dcă notăm c r Ν * rţ rogree tnc teorem l Drclet e ennţă tfel: În orce clă de retr rme c modll r etă o nfntte de nmere rme Pentr demontr cetă teoremă om ntrodce noţne de crcter fţă de modll r om ln td roretăţle ere ( ş ltor er ş om răt că er ete dergentă de nde l( mod r rezltă ltm formă teoreme l Drclet Defnţe Fncţ : Ζ e nmeşte crcter fţă de modll r crcter dcă îndelneşte condţle: ( dcă ( r > ; ( ; ( ( ; ( mod r [8] dcă Proretăţle fncţe dede dn defnţe nt: ( ; ( Ζ c ( r ( r ϕ ; nmărl crcterelor fţă de ( mod r olţe ecţe ( mod r tnc ş conjgt ete n crcter ( r ( r Defnţe rcterl ( r mod [8] ete ete fnt; dcă ete n crcter e nmeşte de eţ I rncl; crcterl > e nmeşte de eţ II dcă n ete rncl dr c lor nmerele rele: ; crcterl e nmeşte de eţ III dcă n tote lorle le nt rele Dn rorette: ( Ζ c ( r orce crcter ete de eţ I II III [8] ete olţe ecţe Teorem 7 ( d Ν * dcă ( d r ş d ( mod r î ( d [8] Demontrţe Fe r Dcă m rene d ( mod ( r ϕ e oeră că tnc etă cel ţn n crcter decomnere cnoncă în fctor rm modll r r rezlt d modr cee ce r contrzce entr orce otez teoreme Prn rmre tree ă ete cel ţn n fctor d mod Etă doă czr ole: I Să renem că etă cel ţn n fctor d mod ş în celş tm etă rădăcn rmte fţă de modll Dcă g ete o rădăcnă rmtă fţă de modll g t mod em nde în decomnere cnoncă l r î în decomnere cnoncă l r î entr Ν * Notăm c ( t ete nc determnt fţă de modll ϕ( ş ş-l notăm c Fe t π π ρ ( r ρ c ρ co n rădăcn rmtă ecţe ş ( r > Vom răt că fncţ ete n crcter Aem dcă ( r > m t ( mod em t t t t t t ρ Dcă ( r > ş ( r > tnc ρ ρ ρ ρ ( De emene dcă ( r > ( r > rezltă ( r dcă t t ( mod r rezltă t t ( mod ş dec ρ ρ ete n crcter ş Dec 8

rezltă t d ( mod ş tnc ( d ρ td cm d ( mod cet cz; II Să renem cm că n etă n fctor d mod tree ă ete cel ţn n fctor nm fţă de modl ş în celş tm etă rădăcn rmte fţă de modll Vom răt cm că Ν * determnt fţă de modll î d ( mod nde Ρ* dcă teorem ete demontrtă în în decomnere cnoncă l r î Dr ş cm m rătt De c ş dn ftl că etă rădăcn rmte ş dedcem că em: 5 ( mod Oerăm că cl de retr ( mod ( ( mod ş Ν * \{ } ( nde Ν ete n nmăr nc e decomne în clele de retr ( Acete cle de retr în nmăr de djncte între ele Vom căt o eonentl nmărl 5 fţă de modll nott c γ ( 5 nt Pentr m n cet rn ndcţe mtemtcă rătăm că 5 ( c m c ş n c nde c ş c relţ ete deărtă ş conderând relţ ( deărtă entr c oţnem j Ν * Pentr 5 m n c n ( 5 ( ( dec 5 c ş cm c oţnem ( c > c ` Dec relţ ( ete demontrtă Dn ( entr c { } nde c ` nde Ν * m oţnem 5 ( mod ş 5 ( mod ( Deorece γ ( 5/ ϕ( e ( 5 γ nde e ş reect 5 ( mod 5 5 j (5 nde 5 t( mod oţnem clele şrl ( m în şrl (5 nt n nmăr de 5 e ş dec γ rezltă că Prn rmre clele de retr j nt djncte între ele Pentr o clă orecre ( mod 5 cee ce doedeşte că orce clă dn şrl (5 concde c n dn clele dn şrl ( lte eentl în ltă ordne Adcă ( mod 5 ( mod cle dedcem că clele dn şrl (5 nt tocm em 5 ( mod nde Ν ete n nmăr nc determnt fţă de modll ( mod tnc ( mod 5 mod Deorece orce nmăr mr ete de form ( mod ( mod demontrtă onderăm o ş dec Dcă ş dec dcă 5 ( mod ρ π π co n nde rezltă că relţ ( ete o rădăcnă rmtă ecţe ρ ( r ş fncţ Vom răt că ete n crcter Aem dcă ( r > ( r > m ( mod em ρ Dcă ( r ş ( r rn defnţe em ρ ş ρ (6 Deorece r r dedcem ( ş ( Prn rmre ş nt nmere mre ş tnc ( ( ( mod de nde ( mod (( ( ( mod Dec ( mod ş dn relţle 5 ( mod 5 ( mod oţnem ( 5 ( mod ş 9

dec ( ρ Ţnând cont de (6 rezltă ( ş dcă ( r > ( r > căc tnc ( r dcă ( mod r rezltă ( mod ş dec ( mod de nde oţnem Dec d mod d mod rezltă d ( mod ş tnc ( d ρ d crcter ş cm ş Acetă relţe e oţne şor ete n dcă teorem ete demontrtă ş în cet cz cee ce încee demontrţ [8] Dn cetă teoremă dedcem rmătotre conecnţă: Etă crctere cre n nt de eţ I Teorem 7 Dcă rcrge n tem comlet de retr fţă de modll r tnc ( r ϕ [8] [7] Demontrţe Dcă conform defnţe rezltă medt ϕ ( r dcă într-n tem comlet de retr etă ect ϕ ( r retr rme c modll r Dcă n ete crcter rncl conform conecnţe teoreme etă n nmăr ntrl î ( r ş n tem comlet de retr tnc şrl r Fe r ete tot n tem comlet de retr ş fecre nmăr dn rml tem de retr ete congrent c nl ş nm c nl dn nmerele cel de l dole tem Dn cet ş dn relţle ( ş ( dedcem ( ş cm rezltă cee ce încee demontrţ [8] ş dec Teorem 7 Mlţme crcterelor fţă de modll r formeză n gr comtt fnt Demontrţe Fe ş doă crctere ş ( Ν Dcă ( r > em deorece Ao Pentr rodl oţnem ( r dcă ( mod r tnc Dec ete tot n crcter cee ce înemnă că mlţme crcterelor ete încă fţă de oerţ de înmlţre cre ete o oerţe octă ş comttă Deorece entr orce crcter ş entr ( Ν rezltă că jocă roll elementl ntte fţă de înmlţre Dcă ete n crcter orecre ϕ ( r ϕ ( r ϕ ( r tnc ete nerl ă deorece entr ( Ν em cee ce încee demontrţ [8] [7] [7] ( Teorem 7 Dcă c ete nmărl totl l crcterelor ( r c ( modr ( modr Demontrţe Dcă ( mod r oţnem ( c Dcă ( mod r nde m ete încă l tote crcterele fţă de modll r [8] ( ( ( r > oţnem ( Dcă ( mod r ş ( r ( ( Deorece crcterele lcătec n gr em nde ( ( ş cm rezltă ( ( ( ( mod tnc: ş legem n crcter î ( onecnţă: Nmărl crcterelor fţă de modll r ete egl c ϕ ( r de ( cee ce încee demontrţ

În deăr em: c ϕ r [8] ( ( ϕ ( r ( modr Teorem 75 Dcă ( r tnc: ( [8] ( ( modr Demontrţe Fe ` Ν * î ` ( modr tnc ( ` ( ` ( r ` ( modr ( ( ` r ( ( ` ( ` ϕ ( ( ( ` ( modr Dcă ` ( modr rezltă ` ( mod r ş deorece ` ( modr oţnem ( modr Dcă ` ( mod r rezltă l fel că ( mod r cee ce încee demontrţ ( ş dec Teorem 76 Dcă n crcter orecre fţă de modll r tnc er l Drclet ete olt conergentă entr R Demontrţe Deorece Ν * ş dec Drclet ( S Dr entr > er [8] ete zero olţe ecţe ( r ϕ rezltă ete conergentă ş rn rmre er l ete olt conergentă (tem conder ş czl σ t c > Teorem 77 Dcă tnc entr Demontrţe Fe y em: ( r ϕ [8] t Îmărţnd e t l r oţnem t q r m c m r σ Notând ( y ş folond oerţle S ( y S( y z S( z dedcem egltte S ( S q ( m S( m r( m r Dr nmerele conecte entr cre em ( m r modll r ş dec conform teoreme 7 em S ( m r( m r ϕ S ( S( m ( r Dcă în şrl m etă cel mlt m r nt în nmăr de r ş formeză n tem comlet de retr fţă de m m Dcă în şrl m modll r tnc S( m Prn rmre nmere rme c nt m mlt de nmere rme c modll r rezltă că şrl m m r conţne m ţn de S nmere rme c modll r ş dec S ( m S ( r S ( m r ( r S( m r S( m r em 7 Fe ε î ε ε cee ce încee demontrţ γ γ γ - nmere comlee rtrre ş nmerele rele w ε Dcă notăm ( w R γ entr w ε ş m R( w γ w ε tnc

em negltte: ε γ ε γ [8] Demontrţe Notând ( R ş ε oţnem ε γ ε ( R R( R ( ε ε R ( ε ε ε γ 7 relţ: cee ce încee demontrţ tnc er ( Demontrţe Dcă notăm Teorem 78 Dcă ş γ Dcă notăm ε n dende de re loc negltte Teorem 79 Ser în rort c entr că er ete nform conergentă fţă de γ conform teoreme 77 oţnem entr γ determnt în lem ţnând cont de lem 7 oţnem entr : onderând n ε > le rtrr dedcem că entr Demontrţe Deorece ln Deorece er N ( η ln ε ln > ε nde > ln ln cee ce încee demontrţ [8] nde ε ε ete olt conergentă entr > ş nform conergentă ε ete n nmăr ft [8] er ete olt conergentă entr > ete conergentă rezltă ε n dende de cee ce încee demontrţ Teorem 7 Dcă > ε ş ere ( re loc egltte: `( ln ete conergentă entr > Pentr > ε em ln ln ε tnc entr dert `( ln [8] Demontrţe Dn teoremele 78 ş 79: `( Teorem 7 Dcă ş tnc: Demontrţe Oerăm că fncţ dert entr ln ` f ln η ln entr > N( η rezltă ln ε nde în rort c ` ` ln ln [8] ln ete decrecătore entr > f re o ngră rădăcnă dert f ` ( ete negtă Pentr Ν *\{ } notăm În deăr e ş cm e ln ε Dn lem 7 entr

ε defnt m ş entr ln ln ln Teorem 7 Dcă > er conergentă [8] rezltă că er Demontrţe Deorece ( µ Teorem 7 Dcă > γ ş dn teorem 77 oţnem: µ ce ce încee demontrţ ( µ ln ln nde µ ete fncţ l Mö ete olt r er nde µ ete fncţ l Mö ete olt conergentă tnc: ( µ [8] ete conergentă entr > Demontrţe Deorece cele doă er nt olt conergente rezltă că ele ot f înmlţte ş că m rodl ete eglă c rodl melor erlor fctor Ţnând cont de relţ de roretăţle fncţe l Mö ş notând l oţnem: µ µ µ ( ( l l l Teorem 7 Dcă > tnc: entr tote nmerele Ρ [8] l ( µ Ρ Demontţe Oerăm că entr ξ > re loc egltte nde rodl ete condret ( µ Ρ ξ nde * ndcă ftl că mre e fce nm entr cele nmere ntrle cre n conţn c fctor rm nmerele rme În deăr dă efectre clclelor în rte tângă e oţne o mă de câţ > ξ t termen Un termen orecre ând form ( ( ( µ S t t * nde ξ nt nmere rme ş termenl reect rţne me dn rte dretă Iner fe t ( µ ţn n > oţnem n termen dn rte dretă ş dec rezltă µ t ( ( ( t t t c ξ t Dcă cel µ ş dec termenl reect ete egl c Dcă S t t ş dec cet termen e flă ş în rte tângă M oerăm că tât în rte dretă cât ş în rte tângă orcre do termen nt dferţ între e ş dec ( µ Ρ ξ * ξ µ Ν * c ξ e ote erm în mod nc form > ξ µ * deorece orce nmăr t t c ξ

t Dcă ξ rm mă tnde l ( r entr do em >ξ µ * >ξ Mngoldt [8] cee ce încee demontrţ Dn cetă teoremă rezltă că Teorem 75 Dcă > tnc: Demontrţe Deorece conergentă entr > demontrţ ( r `( ( ln rezltă că er m lnl oţnem: ( l l `( ( r dcă Teorem 76 Aem: l lm l > ( l l `( ( l [8] Demontrţe Dn teorem 75 ş dn ftl că ( r l ( l > entr > nde ete fncţ l lnl ` l ete olt ( cee ce încee ete crcter rncl entr > rezltă: nde m ete etnă entr tote nmerele Ν * rme c modll r Dr r tnc ( r rămâne ă rătăm că rme Ρ ln lm > ln deorece entr ( r > Ţnând cont de relţ Edent că entr ln m r dcă tnc ln oţnem: `( ( ete fntă ş entr demontr teorem Pentr cet oerăm că deorece er nerelor nmerelor ete dergentă rezltă că ş er ( ete dergentă ş o ş er dergentă Dec entr orce nmăr Ao deorece m * R Ρ * M orcât de mre etă R ete o fncţe contnă de entr orce nmăr rem determn n nmăr ε ε ( ω î entr ε ( ω de nde ω ω î * ω R ete > M orcât de mc re loc negltte onderând n nmăr N rtrr

determnăm nmărl M ω N M ω N ş ( N ω î ş dec m mod conenl e ş > cee ce încee demontrţ rezltă em 7 Dcă Demontrţe Deorece co co η R c co > M Aem în contnre ote f făctă orcât de mre legând în η tnc: ( η e η e η [8] co co co co η e η e ( η e η e Dr ( η e ( η e ( η co η ( η co η Dn negltte medlor η em ( co co ( η η co η η η co η η nde m folot negltte η η e r e ( Notăm η Teorem 77 Dcă > tnc: ( Demontrţe Fe crcterl î ( e η η e η e ( ( co co [8] nde Ρ η Dec dcă n dde e r ş η ş f Dn lem 7 em dcă n dde e r ş f dcă r Ρ f Dec ( Ρ em f de nde De c ţnând cont ere l f ş de teorem 7 oţnem: ( Teorem 78 Dcă ete n crcter de eţ III tnc: ( f ( ( [8] deorece mlcă Demontrţe Dcă ete n crcter de eţ III tnc ftl că ete n crcter de eţ II ând ş orcât de mre c ş l teorem 78 oţnem: > entr > Ao entr d ( ( > em ( ( r Ao dn teorem 77 oţnem > Dcă renem ( oţnem ( ( ( 5

em `( ξ dξ Folond cm teorem 7 dedcem ( ( ( deărt entr l ( ( ( 6 6 dcă ( ş rn rmre ( Dec entr ( cee ce n ete cee ce încee demontrţ Teorem 79 Dcă ete n crcter de eţ II tnc: ( Demontrţe Pentr încet tdem fncţ ( d [8] f nde m ete etnă l toţ d l dzor l Ν * Dcă nde Ρ ş l Ν oţnem f ( Dcă ete n crcter de eţ II rezltă că ote l lorle: m ( [ ] l rezltă: f ( l l l j l j l de nde f ( ( l Ν l j oeră că fncţ f ete mltlctă În deăr dcă ( tnc f ( d d d ( d d ( d ( d l f ( f de nde relţ f ( d d d ( l Ν l j ( Ν * dene f Să conderăm cm fncţ z ( n f ( n nde ( 6 Dn relţ n Ν * f ş dn ftl că între nmerele etă [ ] ătrte erfecte oţnem z ( [ ] 9 Pe de ltă rte z ( n f ( n ( n ( n n n n D mă ete etnă l tote nctele dn ln c coordontele Ν * D {( ; Ν *} Dcă conderăm ( D ( ; z Se Dec 9 î ; D nde ltm Dec ş oţnem D D Φ ş D D D ez fgr rmătore: 6

Notând D z ş D z oţnem z z z Vom mjor mele z ş z entr oţne o mjorre entr z Aem A B z nde m nott A ş B Alcând entr m B σ lem 7 lând γ ş ε oţnem σ dec z A Pentr D z nde lând σ nde notând c oţnem σ nde Rezltă z dr B ş conform teoreme 78 deorece B oţnem Înă conform teoreme 77 em ş deorece ş rezltă Introdcând negltăţle: 7

z z ( ş ( ( în ( ( z ( Acm dn z oţnem: ş ltm negltte oţnem z z z ( ( ( 9 z ( ( 9 Dn relţle z ( 9 oţnem: ( ( 9 > ( 9 de nde ( > cee ce încee demontrţ ş ltm negltte Teorem 7 Dcă ete n crcter de eţ II III tnc entr ere ete mărgntă [8] Demontrţe Dn teorem 7 rezltă că ( r teoremele 78 ş 79 frmă celş lcr entr Rezltă că ere 7 em că `( ete mărgntă entr Teorem 7 Dcă l > > nde ltm mă ete etnă l tote nmerele Ν * Demontrţe Dn teoremele 75 ş 75 em: ( l ( l ( mod r Teorem 7 (l Drclet: Dcă ( r ( modr l [8] `( ( dec că: entr > `( ( ete mărgntă entr onform teoreme ( `( Dec ş ere ( ` ş ( l r ( tnc: ( ( l ( congrente c l( mod r [8] `( l ( ( l `( de nde rezltă ( l ( ( ete mărgntă entr l l ( mod r ( mod r l tnc etă o nfntte de nmere Ρ Demontrţe Aem l Ν * ş conform teoreme 76 dcă > ş tnc ( 7 rtă că: oţnem: l ( l r entr conform teoreme 7 erele l ( mod r `( ( ( mod r E ln `( ( î nt mărgnte Rezltă dcă > ş Acet rezltt îmrenă c egltte dn teorem dcă > ş t E ln t Dr ţnând cont de defnţ fncţe nde c E m nott t l( modr Pentr t ş 8

em: Deorece er Dn Deorece l ( mod r egltte l ( mod r t E ln l ( mod r ln ln t t ln ln ln t t t ete conergentă rezltă că ere dcă > t E ln t entr ş dedcem l t E ln ln ln t ete mărgntă entr ş ere ( mod r l( mod r t E ln t ln t E ln t ete mărgntă rezltă Dec rezltă că nmărl nmerelor rme l( modr ote f fnt ş rn rmre: În orce clă de retr rme c modll r etă o nfntte de nmere rme Orce rogree rtmetcă nfntă c termen nmere ntrle ş c rţ rmă c rml termen conţne o nfntte de nmere rme cee ce încee demontrţ n VII Demontrre teoreme l Drclet rn eemlele 6 ş 6 5 Vom demontreze cetă teoremă entr rogrele: ş ; 6 ş 6 5 Îmărţnd l nmărl n Ν * etă rmătorele oltăţ: n ; n ; n ş n Ν * m în rml cz nmerele nt dzle c r în l trele cz c nmerele rme ot f de form n n Eemle: ş 5 Vom răt că rogre rtmetcă n conţne o nfntte de nmere rme Nmerele de form n ot f e form n Se conderă nmărl Acet nmăr ete dll rodl ttror nmerelor rme m N 57 nde Ρ mc egle c dn cre e cde Nmărl N ete de form N N 57 57 deorece m N ete or n nmăr rm or n nmăr com cre e decomne în fctor rm m mr decât dntre cre cel ţn nl ete de form deorece dcă toţ r f de form tnc rodl lor r f de cetă formă căc ( ( 6 ( rezltă că rogre de form conţne o nfntte de nmere rme deorece fot le rtrr În mod nlog e demontreză ş entr rogre n ornnd de l N 57 Orce nmăr n Ν * e ote ne form: n 6 ; n 6 ; n 6 ; n 6 ; 5 n 6 ş 6 n 6 5 m nmerele de rmă formă nt dzle c 6 cele de formele ş 5 c cele de form c ot f nmere rme dor nmerele n 6 ş n 6 5 Nmerele n 6 5 ot f e form 6 căc n 6 5 6 5 6 Fe cm nmărl N 5 7 nde Ρ Acet nmăr ete rodl ttror nmerelor rme m mc egle c dn cre e cde Nmărl N ete de form N 6 5 deorece N 57 6( 57 5 5 6 5 m N ete or nmăr rm or nmăr com cre e decomne în fctor rm m mr decât dntre cre cel ţn nl ete de form 6 5 deorece n ote f n rod de fctor nm de form 6 căc ( ( 6 6 9

( 6 6 6 6 6 6 rezltă că rogre de form 6 5 conţne o nfntte de nmere rme deorece fot le rtrr În mod nlog e demontreză ş entr rogre 6 ornnd de l N 57 VII Ar teoreme l Drclet teoreme dtrţe nmerelor rme ş îmărţr l eîşe În mlţme nmerelor comlee om nlz teorem l Drclet teorem dtrţe nmerelor rme ş îmărţre l eîşe: Teorem l Drclet: Etă n nmăr nfnt de nmere rme de form c ( Vom folo o generlzre metode l Eler Dn denttte l Eler R când rte tângă denttăţ ( tnde l entr > n n rm ( llă (er rmoncă dec tree ă ete n nmăr nfnt de fctor în rte dretă denttăţ ( dcă o nfntte de nmere rme Dcă notăm ς tnc n n π ς Dcă r et dor n nmăr fnt de nmere rme tnc 6 denttte ( r mlc ftl că π ete rţonl cee ce r contrzce demontrţ l egendre (dn 797 cre rtă că nde ( π ete rţonl Folond relţ ( Merten rtă că: > ln( rm n n ln ln ( dn cre rezltă că etă n nmăr nfnt de nmere rme Dn ( em cre ete eclentă c Etă o nfntte de nmere rme în rogre q ( mod q Fe X n mltlct ( mod q dcă o fncţe comleă X ( n cre îndelneşte condţle X ( m n X ( m X ( n ş X ( (în czl în cre X ( n cet lcr mlcă ftl că ete o rădăcnă ntăţ Folond moll l egendre ( Jco dcă q n ete nmăr rm em: n X ( n : A nde: A dcă q n ; q ltă tţe Etă ect ( q rmtă ş ϖ ete dt de ( X nde Φ n ( mod q ltfel X n : n n X A dcă n( mod q re o olţe; ş ( n Φ mltlct ( mod q c X ( n ϖ ln ρ ( q ( mod q Aem relţ de ortogonltte: Φ ϖ de A în orce : nde ρ ete o rădăcnă X X ( n Φ q ( cre ne ermte ă legem o rogree rtmetcă Dn fncţ l Drclet X X ln ( X X Φ q Φ ( X X ( rn logrtmre: ln ( X ln X ( q X X q X Φ ( q X X X ( ln X de ( o lcţe mlă

X ln ( X O ( q tnc când Φ X ( mod q ^ ( mod q (tnde l Prn crere ărţ relă ş comleă me oţnem: relţe ( ne dă X X n X X q ( mod q Φ( q X rncl ş or de câte or el ete egl c m ete ( X q ln ( X O ς dă cm n ( mod q ( în cre X ete fctorl ş în cz contrr Prm mă (de l X ete Acet termen nfnt gereză că etă n nmăr nfnt de nmere rme în rogre rtmetcă Sngr rolemă ete că nl dntre cellţ termen r te nl cet fnd zero l X ete fnt Prn rmre tree ă (înmre rţlă rtă că rătăm că ( X Acet lcr ete deărt entr nmerele comlee ( X contrr m e ( X cee ce r înemn că ( X dferţ cet lcr r mlc ftl că ln ( X X ( mod q > > deorece în cz ş deorece ş ceşt termen nt cee ce ete fl ş tfel X ( mod q ^n ( mod q lore de l tree ă fe oztă Prn rmre ltm mă dn relţ ( ete mărgntă m dn mjloc relţe ( e demontreză că ( ( q Drclet: ( ( q entr cre em forml nmărl de clă l π q ( mod w q q nde ete nmărl de clă lnε q ( mod Q q q r w nmărl de rădăcn le ntăţ dn cet domen m fecre dntre ltmele doă me conteză forte ţn fnd ozte rezltă: ( mod q Se ot d ş demontrţ mle folond nlze în mlţme nmerelor comlee zândne e teorem l nd: că o ere Drclet c termen ozt re n ol e c de conergenţă cre e lcă l ( X X ( mod q entr cre m rătt că re coefcenţ ozt Vom nlz cm teorem dtrţe nmerelor rme Dtrţ nmerelor rme ete detl de π ndctorl l Eler (nmărl neregltă dec ete m şor de tdt comortmentl lor tttc Fe ( nmerelor rme dt Dn relţ l Pon em π ( : ( dcă: roltte c n ln t nmăr n Ν * ă fe rm ete de romt ^n ^n ln ln π c ζ ` ζ c ` ς d ζ ln( π ζ Folom forml l Perron ln n de tlzre retrlor elcttă de on Mngoldt R > ln ( (5 în czl în cre m dn

dret re m mlte zeror le fncţe zet Remnn ζ cre ot f zeror trle l 6 zeror c R Forml (5 ne rtă că: nmere rme - nmerele rme nt întotden nmărte c mre grette ln ; - nmerele rme ş terle nmerelor rme r tre ă fe nmărte îmrenă; - etă m ţne ter le nmerelor rme decât nmere rme; ş - zerorle fncţe ζ nt frecenţele fndmentle de nmere rme ş în cet en nt dl de c eîşe defnt fncţle ( ln ş ϕ ( ln ( n ( n ln ^n n în czl în cre tnc când n m ş în cz contrr Înmre rţlă rtă că teorem dtrţe nmerelor rme ete eclentă c ( ϕ ( R( ete eclent c ( ( ϕ (trl ϕ ( ( O( R O ln R ρ ( ş că în generl π Elct dn relţ (5 e oeră că teorem de dtrţe nmerelor rme e ote leg de deorece fecre fctor de erore ete m mc decât nmărl de ordne Atfel teorem de dtrţe nmerelor rme rene l demontr că ζ ( t entr t Vom tlz nele denttăţ trgonometrce Dcă ρ t tnc dn ζ ( ρ rezltă Rln ζ ( σ t când σ (ne om lmt l R ( σ > Dr dn denttte mσ l Eler em ln ζ m e( t mln de nde R lnζ m m mσ co m ( t mln Dn ( co β co β co β oţnem lnζ ( σ R lnζ ( σ t R ln ( σ t ζ ( σ ζ ( σ t ζ ( σ t mσ em ζ ( σ ( σ ş ζ ( σ A( σ nde A ete o contntă Dec r tre c ζ ( σ t cre contrzce ftl că ( t ζ ş rn rmre mărgntă În conclze fncţ zet ζ n re nc n zero entr R ( q dtrţe nmerelor rme S- crezt mlt tm că π ( ( ( Ν * t ζ ete cee ce doedeşte teorem de În mod mlr eîşe rtă că nmărl nmerelor rme de form re f m mre decât cel l nmerele rme de form π ( { : ( mod q } tnc em ( q îmărţre l eîşe π dcă π Acetă frmţe e nmeşte În 9 ttlewood rtă că în relţ π ( ( de or ş celş lcr ete ll ş entr π ( π ( În 957 eec rătt că ( π ( entr 686 r Hdon în 978 că negltte mlră ( π ( entr 689889 N e şte dcă π ( > ( O lmtă eroră entr cet de fot dtă de către Relé cmre de emn e fce de n nmăr nfnt π > π > ete m întâ ll Acet comortment ote f şor de elct rn formle elcte În czl π ( (5 ermă e ϕ ( c o mă terlor 7 forml elctă onderând otez l Remnn e ote cre cet lcr c

( o ϕ ζ γ γ γ În fncţ ϕ ( n conteză nmerele rme c dor terle cetor î cee ce e rtă ete comortmentl fncţe ( ( o ζ γ γ γ dcă nde ϕ O Sm ζ γ γ ln e λ ( ete o ere trgonometrcă forte lent oclntă tfel că nterll de lor în cre e n-ş cmă emnl ete forte lng dec entr n tfel de nterl em ş ( O mlă crere ete ( în cre conteză nmărl de ter le nmerelor rme î nmărl nmerelor rme ete şor m mc deorece nmărl de ătrte rme ete de celş ordn c termenl de erore Etă o tfel de elcţe ş în czl rogrelor rtmetce nde em γ o γ forml elctă ^n X n ln γ Remnn (n etă nc n termen deorece ( X l cre - folot otez l n m ete n ol dcă X X m γ ϕ q ( ln X (condţ de înmre l rm ^ mod Φ Φ ( mod n q q q X q γ ^n mă: n ( mod q ( ln γ ş n ş l ltm γ ( mod q ( q ϕq ln q ^ ^ ( mod q O c ete nmărl de olţ ecţe y ( mod q ţne nmere rme în rogree ϕq ( c q O în czl în cre Acelş rgment rtă că or et întotden m qn tnc când ete n ret decât tnc când ete n nonret Pr ş ml nmărl nde e cmă enl ete o rmă tere n nmăr rm de form ( mod q rmtă de o ltă tere n nmăr rm tot de form ( mod q dec n nt nmere rme m ţn tnc când n ret ete de formă ătrtcă deorece nmărl de ătrte rme congrente l ete de celş ordn c termenl de erore dn formlele nltce În 99 Rnten ş Srn făct îmărţre l eîşe m recă dn otez: tote ordontele de zeror le fncţe nt lnr ndeendente m mr decât Q ş ln ( π ( n > ( n n ( n n π 6 n r ln ( π ( n > π ( n n 9959 nde condţle de înmre nt n π > ş n Dcă cete nt fle tnc ş îmărţre l eîşe ete flă