VII Teorem l Drclet Teorem 7 (l Drclet: Orce rogree rtmetcă nfntă c termen nmere ntrle ş c rţ rmă c rml termen conţne o nfntte de nmere rme [8] [7] Dcă notăm c r Ν * rţ rogree tnc teorem l Drclet e ennţă tfel: În orce clă de retr rme c modll r etă o nfntte de nmere rme Pentr demontr cetă teoremă om ntrodce noţne de crcter fţă de modll r om ln td roretăţle ere ( ş ltor er ş om răt că er ete dergentă de nde l( mod r rezltă ltm formă teoreme l Drclet Defnţe Fncţ : Ζ e nmeşte crcter fţă de modll r crcter dcă îndelneşte condţle: ( dcă ( r > ; ( ; ( ( ; ( mod r [8] dcă Proretăţle fncţe dede dn defnţe nt: ( ; ( Ζ c ( r ( r ϕ ; nmărl crcterelor fţă de ( mod r olţe ecţe ( mod r tnc ş conjgt ete n crcter ( r ( r Defnţe rcterl ( r mod [8] ete ete fnt; dcă ete n crcter e nmeşte de eţ I rncl; crcterl > e nmeşte de eţ II dcă n ete rncl dr c lor nmerele rele: ; crcterl e nmeşte de eţ III dcă n tote lorle le nt rele Dn rorette: ( Ζ c ( r orce crcter ete de eţ I II III [8] ete olţe ecţe Teorem 7 ( d Ν * dcă ( d r ş d ( mod r î ( d [8] Demontrţe Fe r Dcă m rene d ( mod ( r ϕ e oeră că tnc etă cel ţn n crcter decomnere cnoncă în fctor rm modll r r rezlt d modr cee ce r contrzce entr orce otez teoreme Prn rmre tree ă ete cel ţn n fctor d mod Etă doă czr ole: I Să renem că etă cel ţn n fctor d mod ş în celş tm etă rădăcn rmte fţă de modll Dcă g ete o rădăcnă rmtă fţă de modll g t mod em nde în decomnere cnoncă l r î în decomnere cnoncă l r î entr Ν * Notăm c ( t ete nc determnt fţă de modll ϕ( ş ş-l notăm c Fe t π π ρ ( r ρ c ρ co n rădăcn rmtă ecţe ş ( r > Vom răt că fncţ ete n crcter Aem dcă ( r > m t ( mod em t t t t t t ρ Dcă ( r > ş ( r > tnc ρ ρ ρ ρ ( De emene dcă ( r > ( r > rezltă ( r dcă t t ( mod r rezltă t t ( mod ş dec ρ ρ ete n crcter ş Dec 8
rezltă t d ( mod ş tnc ( d ρ td cm d ( mod cet cz; II Să renem cm că n etă n fctor d mod tree ă ete cel ţn n fctor nm fţă de modl ş în celş tm etă rădăcn rmte fţă de modll Vom răt cm că Ν * determnt fţă de modll î d ( mod nde Ρ* dcă teorem ete demontrtă în în decomnere cnoncă l r î Dr ş cm m rătt De c ş dn ftl că etă rădăcn rmte ş dedcem că em: 5 ( mod Oerăm că cl de retr ( mod ( ( mod ş Ν * \{ } ( nde Ν ete n nmăr nc e decomne în clele de retr ( Acete cle de retr în nmăr de djncte între ele Vom căt o eonentl nmărl 5 fţă de modll nott c γ ( 5 nt Pentr m n cet rn ndcţe mtemtcă rătăm că 5 ( c m c ş n c nde c ş c relţ ete deărtă ş conderând relţ ( deărtă entr c oţnem j Ν * Pentr 5 m n c n ( 5 ( ( dec 5 c ş cm c oţnem ( c > c ` Dec relţ ( ete demontrtă Dn ( entr c { } nde c ` nde Ν * m oţnem 5 ( mod ş 5 ( mod ( Deorece γ ( 5/ ϕ( e ( 5 γ nde e ş reect 5 ( mod 5 5 j (5 nde 5 t( mod oţnem clele şrl ( m în şrl (5 nt n nmăr de 5 e ş dec γ rezltă că Prn rmre clele de retr j nt djncte între ele Pentr o clă orecre ( mod 5 cee ce doedeşte că orce clă dn şrl (5 concde c n dn clele dn şrl ( lte eentl în ltă ordne Adcă ( mod 5 ( mod cle dedcem că clele dn şrl (5 nt tocm em 5 ( mod nde Ν ete n nmăr nc determnt fţă de modll ( mod tnc ( mod 5 mod Deorece orce nmăr mr ete de form ( mod ( mod demontrtă onderăm o ş dec Dcă ş dec dcă 5 ( mod ρ π π co n nde rezltă că relţ ( ete o rădăcnă rmtă ecţe ρ ( r ş fncţ Vom răt că ete n crcter Aem dcă ( r > ( r > m ( mod em ρ Dcă ( r ş ( r rn defnţe em ρ ş ρ (6 Deorece r r dedcem ( ş ( Prn rmre ş nt nmere mre ş tnc ( ( ( mod de nde ( mod (( ( ( mod Dec ( mod ş dn relţle 5 ( mod 5 ( mod oţnem ( 5 ( mod ş 9
dec ( ρ Ţnând cont de (6 rezltă ( ş dcă ( r > ( r > căc tnc ( r dcă ( mod r rezltă ( mod ş dec ( mod de nde oţnem Dec d mod d mod rezltă d ( mod ş tnc ( d ρ d crcter ş cm ş Acetă relţe e oţne şor ete n dcă teorem ete demontrtă ş în cet cz cee ce încee demontrţ [8] Dn cetă teoremă dedcem rmătotre conecnţă: Etă crctere cre n nt de eţ I Teorem 7 Dcă rcrge n tem comlet de retr fţă de modll r tnc ( r ϕ [8] [7] Demontrţe Dcă conform defnţe rezltă medt ϕ ( r dcă într-n tem comlet de retr etă ect ϕ ( r retr rme c modll r Dcă n ete crcter rncl conform conecnţe teoreme etă n nmăr ntrl î ( r ş n tem comlet de retr tnc şrl r Fe r ete tot n tem comlet de retr ş fecre nmăr dn rml tem de retr ete congrent c nl ş nm c nl dn nmerele cel de l dole tem Dn cet ş dn relţle ( ş ( dedcem ( ş cm rezltă cee ce încee demontrţ [8] ş dec Teorem 7 Mlţme crcterelor fţă de modll r formeză n gr comtt fnt Demontrţe Fe ş doă crctere ş ( Ν Dcă ( r > em deorece Ao Pentr rodl oţnem ( r dcă ( mod r tnc Dec ete tot n crcter cee ce înemnă că mlţme crcterelor ete încă fţă de oerţ de înmlţre cre ete o oerţe octă ş comttă Deorece entr orce crcter ş entr ( Ν rezltă că jocă roll elementl ntte fţă de înmlţre Dcă ete n crcter orecre ϕ ( r ϕ ( r ϕ ( r tnc ete nerl ă deorece entr ( Ν em cee ce încee demontrţ [8] [7] [7] ( Teorem 7 Dcă c ete nmărl totl l crcterelor ( r c ( modr ( modr Demontrţe Dcă ( mod r oţnem ( c Dcă ( mod r nde m ete încă l tote crcterele fţă de modll r [8] ( ( ( r > oţnem ( Dcă ( mod r ş ( r ( ( Deorece crcterele lcătec n gr em nde ( ( ş cm rezltă ( ( ( ( mod tnc: ş legem n crcter î ( onecnţă: Nmărl crcterelor fţă de modll r ete egl c ϕ ( r de ( cee ce încee demontrţ
În deăr em: c ϕ r [8] ( ( ϕ ( r ( modr Teorem 75 Dcă ( r tnc: ( [8] ( ( modr Demontrţe Fe ` Ν * î ` ( modr tnc ( ` ( ` ( r ` ( modr ( ( ` r ( ( ` ( ` ϕ ( ( ( ` ( modr Dcă ` ( modr rezltă ` ( mod r ş deorece ` ( modr oţnem ( modr Dcă ` ( mod r rezltă l fel că ( mod r cee ce încee demontrţ ( ş dec Teorem 76 Dcă n crcter orecre fţă de modll r tnc er l Drclet ete olt conergentă entr R Demontrţe Deorece Ν * ş dec Drclet ( S Dr entr > er [8] ete zero olţe ecţe ( r ϕ rezltă ete conergentă ş rn rmre er l ete olt conergentă (tem conder ş czl σ t c > Teorem 77 Dcă tnc entr Demontrţe Fe y em: ( r ϕ [8] t Îmărţnd e t l r oţnem t q r m c m r σ Notând ( y ş folond oerţle S ( y S( y z S( z dedcem egltte S ( S q ( m S( m r( m r Dr nmerele conecte entr cre em ( m r modll r ş dec conform teoreme 7 em S ( m r( m r ϕ S ( S( m ( r Dcă în şrl m etă cel mlt m r nt în nmăr de r ş formeză n tem comlet de retr fţă de m m Dcă în şrl m modll r tnc S( m Prn rmre nmere rme c nt m mlt de nmere rme c modll r rezltă că şrl m m r conţne m ţn de S nmere rme c modll r ş dec S ( m S ( r S ( m r ( r S( m r S( m r em 7 Fe ε î ε ε cee ce încee demontrţ γ γ γ - nmere comlee rtrre ş nmerele rele w ε Dcă notăm ( w R γ entr w ε ş m R( w γ w ε tnc
em negltte: ε γ ε γ [8] Demontrţe Notând ( R ş ε oţnem ε γ ε ( R R( R ( ε ε R ( ε ε ε γ 7 relţ: cee ce încee demontrţ tnc er ( Demontrţe Dcă notăm Teorem 78 Dcă ş γ Dcă notăm ε n dende de re loc negltte Teorem 79 Ser în rort c entr că er ete nform conergentă fţă de γ conform teoreme 77 oţnem entr γ determnt în lem ţnând cont de lem 7 oţnem entr : onderând n ε > le rtrr dedcem că entr Demontrţe Deorece ln Deorece er N ( η ln ε ln > ε nde > ln ln cee ce încee demontrţ [8] nde ε ε ete olt conergentă entr > ş nform conergentă ε ete n nmăr ft [8] er ete olt conergentă entr > ete conergentă rezltă ε n dende de cee ce încee demontrţ Teorem 7 Dcă > ε ş ere ( re loc egltte: `( ln ete conergentă entr > Pentr > ε em ln ln ε tnc entr dert `( ln [8] Demontrţe Dn teoremele 78 ş 79: `( Teorem 7 Dcă ş tnc: Demontrţe Oerăm că fncţ dert entr ln ` f ln η ln entr > N( η rezltă ln ε nde în rort c ` ` ln ln [8] ln ete decrecătore entr > f re o ngră rădăcnă dert f ` ( ete negtă Pentr Ν *\{ } notăm În deăr e ş cm e ln ε Dn lem 7 entr
ε defnt m ş entr ln ln ln Teorem 7 Dcă > er conergentă [8] rezltă că er Demontrţe Deorece ( µ Teorem 7 Dcă > γ ş dn teorem 77 oţnem: µ ce ce încee demontrţ ( µ ln ln nde µ ete fncţ l Mö ete olt r er nde µ ete fncţ l Mö ete olt conergentă tnc: ( µ [8] ete conergentă entr > Demontrţe Deorece cele doă er nt olt conergente rezltă că ele ot f înmlţte ş că m rodl ete eglă c rodl melor erlor fctor Ţnând cont de relţ de roretăţle fncţe l Mö ş notând l oţnem: µ µ µ ( ( l l l Teorem 7 Dcă > tnc: entr tote nmerele Ρ [8] l ( µ Ρ Demontţe Oerăm că entr ξ > re loc egltte nde rodl ete condret ( µ Ρ ξ nde * ndcă ftl că mre e fce nm entr cele nmere ntrle cre n conţn c fctor rm nmerele rme În deăr dă efectre clclelor în rte tângă e oţne o mă de câţ > ξ t termen Un termen orecre ând form ( ( ( µ S t t * nde ξ nt nmere rme ş termenl reect rţne me dn rte dretă Iner fe t ( µ ţn n > oţnem n termen dn rte dretă ş dec rezltă µ t ( ( ( t t t c ξ t Dcă cel µ ş dec termenl reect ete egl c Dcă S t t ş dec cet termen e flă ş în rte tângă M oerăm că tât în rte dretă cât ş în rte tângă orcre do termen nt dferţ între e ş dec ( µ Ρ ξ * ξ µ Ν * c ξ e ote erm în mod nc form > ξ µ * deorece orce nmăr t t c ξ
t Dcă ξ rm mă tnde l ( r entr do em >ξ µ * >ξ Mngoldt [8] cee ce încee demontrţ Dn cetă teoremă rezltă că Teorem 75 Dcă > tnc: Demontrţe Deorece conergentă entr > demontrţ ( r `( ( ln rezltă că er m lnl oţnem: ( l l `( ( r dcă Teorem 76 Aem: l lm l > ( l l `( ( l [8] Demontrţe Dn teorem 75 ş dn ftl că ( r l ( l > entr > nde ete fncţ l lnl ` l ete olt ( cee ce încee ete crcter rncl entr > rezltă: nde m ete etnă entr tote nmerele Ν * rme c modll r Dr r tnc ( r rămâne ă rătăm că rme Ρ ln lm > ln deorece entr ( r > Ţnând cont de relţ Edent că entr ln m r dcă tnc ln oţnem: `( ( ete fntă ş entr demontr teorem Pentr cet oerăm că deorece er nerelor nmerelor ete dergentă rezltă că ş er ( ete dergentă ş o ş er dergentă Dec entr orce nmăr Ao deorece m * R Ρ * M orcât de mre etă R ete o fncţe contnă de entr orce nmăr rem determn n nmăr ε ε ( ω î entr ε ( ω de nde ω ω î * ω R ete > M orcât de mc re loc negltte onderând n nmăr N rtrr
determnăm nmărl M ω N M ω N ş ( N ω î ş dec m mod conenl e ş > cee ce încee demontrţ rezltă em 7 Dcă Demontrţe Deorece co co η R c co > M Aem în contnre ote f făctă orcât de mre legând în η tnc: ( η e η e η [8] co co co co η e η e ( η e η e Dr ( η e ( η e ( η co η ( η co η Dn negltte medlor η em ( co co ( η η co η η η co η η nde m folot negltte η η e r e ( Notăm η Teorem 77 Dcă > tnc: ( Demontrţe Fe crcterl î ( e η η e η e ( ( co co [8] nde Ρ η Dec dcă n dde e r ş η ş f Dn lem 7 em dcă n dde e r ş f dcă r Ρ f Dec ( Ρ em f de nde De c ţnând cont ere l f ş de teorem 7 oţnem: ( Teorem 78 Dcă ete n crcter de eţ III tnc: ( f ( ( [8] deorece mlcă Demontrţe Dcă ete n crcter de eţ III tnc ftl că ete n crcter de eţ II ând ş orcât de mre c ş l teorem 78 oţnem: > entr > Ao entr d ( ( > em ( ( r Ao dn teorem 77 oţnem > Dcă renem ( oţnem ( ( ( 5
em `( ξ dξ Folond cm teorem 7 dedcem ( ( ( deărt entr l ( ( ( 6 6 dcă ( ş rn rmre ( Dec entr ( cee ce n ete cee ce încee demontrţ Teorem 79 Dcă ete n crcter de eţ II tnc: ( Demontrţe Pentr încet tdem fncţ ( d [8] f nde m ete etnă l toţ d l dzor l Ν * Dcă nde Ρ ş l Ν oţnem f ( Dcă ete n crcter de eţ II rezltă că ote l lorle: m ( [ ] l rezltă: f ( l l l j l j l de nde f ( ( l Ν l j oeră că fncţ f ete mltlctă În deăr dcă ( tnc f ( d d d ( d d ( d ( d l f ( f de nde relţ f ( d d d ( l Ν l j ( Ν * dene f Să conderăm cm fncţ z ( n f ( n nde ( 6 Dn relţ n Ν * f ş dn ftl că între nmerele etă [ ] ătrte erfecte oţnem z ( [ ] 9 Pe de ltă rte z ( n f ( n ( n ( n n n n D mă ete etnă l tote nctele dn ln c coordontele Ν * D {( ; Ν *} Dcă conderăm ( D ( ; z Se Dec 9 î ; D nde ltm Dec ş oţnem D D Φ ş D D D ez fgr rmătore: 6
Notând D z ş D z oţnem z z z Vom mjor mele z ş z entr oţne o mjorre entr z Aem A B z nde m nott A ş B Alcând entr m B σ lem 7 lând γ ş ε oţnem σ dec z A Pentr D z nde lând σ nde notând c oţnem σ nde Rezltă z dr B ş conform teoreme 78 deorece B oţnem Înă conform teoreme 77 em ş deorece ş rezltă Introdcând negltăţle: 7
z z ( ş ( ( în ( ( z ( Acm dn z oţnem: ş ltm negltte oţnem z z z ( ( ( 9 z ( ( 9 Dn relţle z ( 9 oţnem: ( ( 9 > ( 9 de nde ( > cee ce încee demontrţ ş ltm negltte Teorem 7 Dcă ete n crcter de eţ II III tnc entr ere ete mărgntă [8] Demontrţe Dn teorem 7 rezltă că ( r teoremele 78 ş 79 frmă celş lcr entr Rezltă că ere 7 em că `( ete mărgntă entr Teorem 7 Dcă l > > nde ltm mă ete etnă l tote nmerele Ν * Demontrţe Dn teoremele 75 ş 75 em: ( l ( l ( mod r Teorem 7 (l Drclet: Dcă ( r ( modr l [8] `( ( dec că: entr > `( ( ete mărgntă entr onform teoreme ( `( Dec ş ere ( ` ş ( l r ( tnc: ( ( l ( congrente c l( mod r [8] `( l ( ( l `( de nde rezltă ( l ( ( ete mărgntă entr l l ( mod r ( mod r l tnc etă o nfntte de nmere Ρ Demontrţe Aem l Ν * ş conform teoreme 76 dcă > ş tnc ( 7 rtă că: oţnem: l ( l r entr conform teoreme 7 erele l ( mod r `( ( ( mod r E ln `( ( î nt mărgnte Rezltă dcă > ş Acet rezltt îmrenă c egltte dn teorem dcă > ş t E ln t Dr ţnând cont de defnţ fncţe nde c E m nott t l( modr Pentr t ş 8
em: Deorece er Dn Deorece l ( mod r egltte l ( mod r t E ln l ( mod r ln ln t t ln ln ln t t t ete conergentă rezltă că ere dcă > t E ln t entr ş dedcem l t E ln ln ln t ete mărgntă entr ş ere ( mod r l( mod r t E ln t ln t E ln t ete mărgntă rezltă Dec rezltă că nmărl nmerelor rme l( modr ote f fnt ş rn rmre: În orce clă de retr rme c modll r etă o nfntte de nmere rme Orce rogree rtmetcă nfntă c termen nmere ntrle ş c rţ rmă c rml termen conţne o nfntte de nmere rme cee ce încee demontrţ n VII Demontrre teoreme l Drclet rn eemlele 6 ş 6 5 Vom demontreze cetă teoremă entr rogrele: ş ; 6 ş 6 5 Îmărţnd l nmărl n Ν * etă rmătorele oltăţ: n ; n ; n ş n Ν * m în rml cz nmerele nt dzle c r în l trele cz c nmerele rme ot f de form n n Eemle: ş 5 Vom răt că rogre rtmetcă n conţne o nfntte de nmere rme Nmerele de form n ot f e form n Se conderă nmărl Acet nmăr ete dll rodl ttror nmerelor rme m N 57 nde Ρ mc egle c dn cre e cde Nmărl N ete de form N N 57 57 deorece m N ete or n nmăr rm or n nmăr com cre e decomne în fctor rm m mr decât dntre cre cel ţn nl ete de form deorece dcă toţ r f de form tnc rodl lor r f de cetă formă căc ( ( 6 ( rezltă că rogre de form conţne o nfntte de nmere rme deorece fot le rtrr În mod nlog e demontreză ş entr rogre n ornnd de l N 57 Orce nmăr n Ν * e ote ne form: n 6 ; n 6 ; n 6 ; n 6 ; 5 n 6 ş 6 n 6 5 m nmerele de rmă formă nt dzle c 6 cele de formele ş 5 c cele de form c ot f nmere rme dor nmerele n 6 ş n 6 5 Nmerele n 6 5 ot f e form 6 căc n 6 5 6 5 6 Fe cm nmărl N 5 7 nde Ρ Acet nmăr ete rodl ttror nmerelor rme m mc egle c dn cre e cde Nmărl N ete de form N 6 5 deorece N 57 6( 57 5 5 6 5 m N ete or nmăr rm or nmăr com cre e decomne în fctor rm m mr decât dntre cre cel ţn nl ete de form 6 5 deorece n ote f n rod de fctor nm de form 6 căc ( ( 6 6 9
( 6 6 6 6 6 6 rezltă că rogre de form 6 5 conţne o nfntte de nmere rme deorece fot le rtrr În mod nlog e demontreză ş entr rogre 6 ornnd de l N 57 VII Ar teoreme l Drclet teoreme dtrţe nmerelor rme ş îmărţr l eîşe În mlţme nmerelor comlee om nlz teorem l Drclet teorem dtrţe nmerelor rme ş îmărţre l eîşe: Teorem l Drclet: Etă n nmăr nfnt de nmere rme de form c ( Vom folo o generlzre metode l Eler Dn denttte l Eler R când rte tângă denttăţ ( tnde l entr > n n rm ( llă (er rmoncă dec tree ă ete n nmăr nfnt de fctor în rte dretă denttăţ ( dcă o nfntte de nmere rme Dcă notăm ς tnc n n π ς Dcă r et dor n nmăr fnt de nmere rme tnc 6 denttte ( r mlc ftl că π ete rţonl cee ce r contrzce demontrţ l egendre (dn 797 cre rtă că nde ( π ete rţonl Folond relţ ( Merten rtă că: > ln( rm n n ln ln ( dn cre rezltă că etă n nmăr nfnt de nmere rme Dn ( em cre ete eclentă c Etă o nfntte de nmere rme în rogre q ( mod q Fe X n mltlct ( mod q dcă o fncţe comleă X ( n cre îndelneşte condţle X ( m n X ( m X ( n ş X ( (în czl în cre X ( n cet lcr mlcă ftl că ete o rădăcnă ntăţ Folond moll l egendre ( Jco dcă q n ete nmăr rm em: n X ( n : A nde: A dcă q n ; q ltă tţe Etă ect ( q rmtă ş ϖ ete dt de ( X nde Φ n ( mod q ltfel X n : n n X A dcă n( mod q re o olţe; ş ( n Φ mltlct ( mod q c X ( n ϖ ln ρ ( q ( mod q Aem relţ de ortogonltte: Φ ϖ de A în orce : nde ρ ete o rădăcnă X X ( n Φ q ( cre ne ermte ă legem o rogree rtmetcă Dn fncţ l Drclet X X ln ( X X Φ q Φ ( X X ( rn logrtmre: ln ( X ln X ( q X X q X Φ ( q X X X ( ln X de ( o lcţe mlă
X ln ( X O ( q tnc când Φ X ( mod q ^ ( mod q (tnde l Prn crere ărţ relă ş comleă me oţnem: relţe ( ne dă X X n X X q ( mod q Φ( q X rncl ş or de câte or el ete egl c m ete ( X q ln ( X O ς dă cm n ( mod q ( în cre X ete fctorl ş în cz contrr Prm mă (de l X ete Acet termen nfnt gereză că etă n nmăr nfnt de nmere rme în rogre rtmetcă Sngr rolemă ete că nl dntre cellţ termen r te nl cet fnd zero l X ete fnt Prn rmre tree ă (înmre rţlă rtă că rătăm că ( X Acet lcr ete deărt entr nmerele comlee ( X contrr m e ( X cee ce r înemn că ( X dferţ cet lcr r mlc ftl că ln ( X X ( mod q > > deorece în cz ş deorece ş ceşt termen nt cee ce ete fl ş tfel X ( mod q ^n ( mod q lore de l tree ă fe oztă Prn rmre ltm mă dn relţ ( ete mărgntă m dn mjloc relţe ( e demontreză că ( ( q Drclet: ( ( q entr cre em forml nmărl de clă l π q ( mod w q q nde ete nmărl de clă lnε q ( mod Q q q r w nmărl de rădăcn le ntăţ dn cet domen m fecre dntre ltmele doă me conteză forte ţn fnd ozte rezltă: ( mod q Se ot d ş demontrţ mle folond nlze în mlţme nmerelor comlee zândne e teorem l nd: că o ere Drclet c termen ozt re n ol e c de conergenţă cre e lcă l ( X X ( mod q entr cre m rătt că re coefcenţ ozt Vom nlz cm teorem dtrţe nmerelor rme Dtrţ nmerelor rme ete detl de π ndctorl l Eler (nmărl neregltă dec ete m şor de tdt comortmentl lor tttc Fe ( nmerelor rme dt Dn relţ l Pon em π ( : ( dcă: roltte c n ln t nmăr n Ν * ă fe rm ete de romt ^n ^n ln ln π c ζ ` ζ c ` ς d ζ ln( π ζ Folom forml l Perron ln n de tlzre retrlor elcttă de on Mngoldt R > ln ( (5 în czl în cre m dn
dret re m mlte zeror le fncţe zet Remnn ζ cre ot f zeror trle l 6 zeror c R Forml (5 ne rtă că: nmere rme - nmerele rme nt întotden nmărte c mre grette ln ; - nmerele rme ş terle nmerelor rme r tre ă fe nmărte îmrenă; - etă m ţne ter le nmerelor rme decât nmere rme; ş - zerorle fncţe ζ nt frecenţele fndmentle de nmere rme ş în cet en nt dl de c eîşe defnt fncţle ( ln ş ϕ ( ln ( n ( n ln ^n n în czl în cre tnc când n m ş în cz contrr Înmre rţlă rtă că teorem dtrţe nmerelor rme ete eclentă c ( ϕ ( R( ete eclent c ( ( ϕ (trl ϕ ( ( O( R O ln R ρ ( ş că în generl π Elct dn relţ (5 e oeră că teorem de dtrţe nmerelor rme e ote leg de deorece fecre fctor de erore ete m mc decât nmărl de ordne Atfel teorem de dtrţe nmerelor rme rene l demontr că ζ ( t entr t Vom tlz nele denttăţ trgonometrce Dcă ρ t tnc dn ζ ( ρ rezltă Rln ζ ( σ t când σ (ne om lmt l R ( σ > Dr dn denttte mσ l Eler em ln ζ m e( t mln de nde R lnζ m m mσ co m ( t mln Dn ( co β co β co β oţnem lnζ ( σ R lnζ ( σ t R ln ( σ t ζ ( σ ζ ( σ t ζ ( σ t mσ em ζ ( σ ( σ ş ζ ( σ A( σ nde A ete o contntă Dec r tre c ζ ( σ t cre contrzce ftl că ( t ζ ş rn rmre mărgntă În conclze fncţ zet ζ n re nc n zero entr R ( q dtrţe nmerelor rme S- crezt mlt tm că π ( ( ( Ν * t ζ ete cee ce doedeşte teorem de În mod mlr eîşe rtă că nmărl nmerelor rme de form re f m mre decât cel l nmerele rme de form π ( { : ( mod q } tnc em ( q îmărţre l eîşe π dcă π Acetă frmţe e nmeşte În 9 ttlewood rtă că în relţ π ( ( de or ş celş lcr ete ll ş entr π ( π ( În 957 eec rătt că ( π ( entr 686 r Hdon în 978 că negltte mlră ( π ( entr 689889 N e şte dcă π ( > ( O lmtă eroră entr cet de fot dtă de către Relé cmre de emn e fce de n nmăr nfnt π > π > ete m întâ ll Acet comortment ote f şor de elct rn formle elcte În czl π ( (5 ermă e ϕ ( c o mă terlor 7 forml elctă onderând otez l Remnn e ote cre cet lcr c
( o ϕ ζ γ γ γ În fncţ ϕ ( n conteză nmerele rme c dor terle cetor î cee ce e rtă ete comortmentl fncţe ( ( o ζ γ γ γ dcă nde ϕ O Sm ζ γ γ ln e λ ( ete o ere trgonometrcă forte lent oclntă tfel că nterll de lor în cre e n-ş cmă emnl ete forte lng dec entr n tfel de nterl em ş ( O mlă crere ete ( în cre conteză nmărl de ter le nmerelor rme î nmărl nmerelor rme ete şor m mc deorece nmărl de ătrte rme ete de celş ordn c termenl de erore Etă o tfel de elcţe ş în czl rogrelor rtmetce nde em γ o γ forml elctă ^n X n ln γ Remnn (n etă nc n termen deorece ( X l cre - folot otez l n m ete n ol dcă X X m γ ϕ q ( ln X (condţ de înmre l rm ^ mod Φ Φ ( mod n q q q X q γ ^n mă: n ( mod q ( ln γ ş n ş l ltm γ ( mod q ( q ϕq ln q ^ ^ ( mod q O c ete nmărl de olţ ecţe y ( mod q ţne nmere rme în rogree ϕq ( c q O în czl în cre Acelş rgment rtă că or et întotden m qn tnc când ete n ret decât tnc când ete n nonret Pr ş ml nmărl nde e cmă enl ete o rmă tere n nmăr rm de form ( mod q rmtă de o ltă tere n nmăr rm tot de form ( mod q dec n nt nmere rme m ţn tnc când n ret ete de formă ătrtcă deorece nmărl de ătrte rme congrente l ete de celş ordn c termenl de erore dn formlele nltce În 99 Rnten ş Srn făct îmărţre l eîşe m recă dn otez: tote ordontele de zeror le fncţe nt lnr ndeendente m mr decât Q ş ln ( π ( n > ( n n ( n n π 6 n r ln ( π ( n > π ( n n 9959 nde condţle de înmre nt n π > ş n Dcă cete nt fle tnc ş îmărţre l eîşe ete flă